Giáo án Toán 12 - Công thức cần nhớ

, k cos x 0 2           2 2 2PP : t tanx cotx , t 2 tan x cot x t 2              2a d tan x btanx c d 0 Nam Potato 7 Tổ hợp và xác suất 1) Hoán vị: ! ( 1)( 2)...3.2.1nP n n n n    Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: ( 1)!nQ n  Chú ý : - n! = 1.2.3n -  ! 1 !n n n  - 0! = 1 -  ! 1 !n n n  - n! = (n–1)!n - ! ! n p = (p+1).(p+2)n với n>p - ! ( )! n n p = (n–p+1).(n–p+2)n (với n>p) 2) Chỉnh hợp:     ! 0 ! k n n A k n n k     - k nA = n.(n – 1)(n – 2)(n – k + 1) 3) Tổ hợp:   ! ! ! k n n C n k k   -   0k n kn nC C k n    -   1 1 1 0 k k k n n nC C C k n       4) Nhị thức Niu – tơn:   0 1 1 1 1 0 ... n n n n n n n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C ab C b C a b             Công thức nhị thức Niu – tơn (1) có: - (n+1) số hạng. - Số hạng thứ k+1 là k n k k nC a b  (Số hạng tổng quát) - Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất k n k n nC C  - Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n - Nếu bài toán cho khai triển :         1 1 in n n n i a n i iba b i a b i n n i i x x C x x C x          thì hệ số của xm là Cin sao cho phương trình  a n i bi m   có nghiệm i - i nC đạt MAX khi : 1 2 n i   hay 1 2 n i   với n lẽ, 2 n i  với n chẵn. - n chẵn: Số hạng chính giữa là 1 2 nT  - n lẻ: Hai số hạng chính giữa là 1 2 nT  và 1 1 2 nT    Cần nhớ:  0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C      0 1 2 ... ( 1) ... ( 1) 0k k n nn n n n nC C C C C              nn a b a b          0 0 1 kn n kk n k k n k k n n k k C a b C a b            0 1 0 1 . . ... . n n k k n n n n n n k x C x C C x C x             0 1 1 n n n k k n k x C x     =  0 0 1 1 ... 1 n n n n n nC x C x C x         0 1 1 n n k k n k n k x C x      =  0 1 1 0... 1 nn n n n n nC x C x C x        1 0 0 2 1 1 ... n nn k n n n n n n k C C C C              0 0 1 1 1 n n k k n k C      =  0 1 ... 1 n n n n nC C C    5) Xác suất: ( ) ( ) ( ) n A P A n   Tính chất của xác suất:  0  P(A)  1;  P() = 0  P() = 1  Công thức cộng : Nếu A và B xung khắc (A  B = ) thì: P(A  B) = P(A) + P(B) Với A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)  P( A ) = 1 – P(A)  Công thức nhân: Nếu A và B độc lập thì: P(A.B) = P(A). P(B)  Với hai tập hợp hữu hạn A và B bất kì, ta có: ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B     Nam Potato 8 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM: (C)’ = 0 (C: hằng số) Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x (u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’ (x)’ = 1 ; (Cx)’ = C (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) '...'')'...( 2121 nn uuuuuu  1.)'(    xx '..)'( 1 uuu    (u.v)’ = u’.v + v’.u (u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ 2 1 )' 1 ( xx  với (x )0 '. 1 )' 1 ( 2 u uu  ; '.)'( 2 uu C u C  2 '.'. )'( v uvvu v u   x x 2 1 )'(  với ( x>0) '. 2 1 )'( u u u  ; '. 2 )'( u u C uC  2)( )'( dcx bcad dcx bax      xx cos)'(sin  '.cos)'(sin uuu  22 2 2 2 )( )(2)( )'( qpxmx cpbqxcmaqxbmap qpxmx cbxax      xx sin)'(cos  '.sin)'(cos uuu  2 22 )( 2 )'( qpx cpbqaqxapx qpx cbxax      x x x 2 2 tan1 cos 1 )'(tan  (x ) 2   k ').tan1( cos ' )'(tan 2 2 ux u u u  )0(;)' 1 ( 1   x x n x nn )cot1( sin 1 )'(cot 2 2 x x x  ; (x )k ').cot1( sin ' )'(cot 2 2 ux u u u  )0(; '. )' 1 ( 1   u u un u nn xx ee )'( '.)'( uee uu  xx 2sin)'(sin2  ; xx 2sin)'(cos2  aaa xx ln.)'(  '.ln.)'( uaaa uu  axaax cos)'(sin  ; axaax sin)'(cos  x x 1 )'(ln  ax xa ln. 1 )'(log  u u u ' )'(ln  '. ln. 1 )'(log u au ua  ax a ax 2cos )'(tan  ax a ax 2sin )'(cot   Nam Potato 9 Giới hạn của dãy số: Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: ; ; 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b  (nếu b  0) b) Nếu un0,n và lim un=a thì a0 và lim c) Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn : S = u1 + u1q + u1q 2 + = 1. Giới hạn đặc biệt: 2. Định lí: a)Nếu thì b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim = 0 c) Nếu lim un =a  0, lim vn = 0 thì lim = d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì lim(un.vn) = * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. Giới hạn của hàm số: Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: ; (c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu thì: * * * (nếu M  0) b) Nếu thì c) Nếu thì 3. Giới hạn một bên:  1. Giới hạn đặc biệt: ; ; ; 2. Định lí: a) Nếu thì * b) Nếu thì: Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. 1 lim 0 n n  1 lim 0 ( ) k n k n     lim 0 ( 1) n n q q    lim n C C   lim n n u a v b  n u a n n u v lim n u a 1 1 u q  1q  lim n n    lim ( )k n n k      lim ( 1) n n q q     lim n u   1 lim 0 n u  n n u v n n u v . 0 . 0 n n neáu a v neáu a v      0 0neáu aneáu a   0 0   0 0 lim x x x x   0 lim x x c c   0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x L g x M          0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M       0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M       0 lim ( ). ( ) . x x f x g x L M   0 ( ) lim ( )x x f x L g x M  0 f(x) 0 lim ( ) x x f x L      0 lim ( ) x x f x L   0 lim ( ) x x f x L   0 lim ( ) x x f x L   0 lim ( ) x x f x L   0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L      lim k x x    lim k x neáu k chaün x neáu k leû     lim x c c   lim 0 k x c x  0 1 lim x x    0 1 lim x x    0 0 1 1 lim lim x xx x       0 0 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x f x L g x          0 0 0 . lim ( ) 0 lim ( ) ( ) . lim ( ) 0x x x x x x neáu L g x f x g x neáu L g x          0 ( ) lim 0 ( )x x f x g x  0 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0 x x x x f x L g x          0 ( ) . ( ) 0 lim . ( ) 0( )x x f x neáu L g x neáu L g xg x      0 0   Nam Potato 10 Bấm máy tính giới hạn: - Nhập f(x) - CALC: Khi 0x x thì nhập 9 0 10x  Khi 0x x  thì nhập 90 10x  Khi 0x x  thì nhập 90 10x  Khi x thì nhập 910 Khi x thì nhập 910 - Ấn “=” ra kết quả : _ Hiện ra 1 số thì kết quả là chính số đó Hiện ra 10 mũ dương thì kết quả là  Hiện ra 10 mũ âm thì kết quả là 0  Hàm số liên tục: 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0   Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , ) B3: So sánh với f(x0) và rút ra kết luận. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và 4.  Hàm số đa thức liên tục trên R.  Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.  Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. 6. Chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). - Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. - Chứng tỏ f(a).f(b)<0 - Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b). - Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm. a, x x 1 1 e x        lim b,   1 x x 0 1 x e   lim c, x 0 x 1 1 x   ln( ) lim d, x x 0 e 1 1 x lim    e, x 0 1 x  s inx lim  Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = ,M = Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b) sao cho f(c) = T. 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   0 lim ( ) x x f x  0 lim ( ) x x f x  0 lim ( ) x x f x  0 lim ( ) x x f x  lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b      ( ) ( ) f x g x  ; min ( ) a b f x  ; max ( ) a b f x Nam Potato 11 Nguyên hàm – tích phân a. '( ) ( )f x dx f x C  b. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x C        ; c. ( ) ( ) ( 0)a.f(x)dx aFa f x dx x C a     . CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC HÀM HỢP CÔNG THỨC MỞ RỘNG   Cxdx C x dxx     1 1      Cxx dx ln 2 dx x C x     C n bax a dxbax n n       1 1 )( 1   Cedxe xx   Ca a dxa x x ln   Cxdxx sin.cos ;   Cnxn dxnx sin 1 ).(cos   Cxdxx cos.sin ;   Cnxn dxnx cos 1 .sin    Ctgxxtgdxx )1( cos 1 2 2    Cgxgxdxx cot)cot1( sin 1 2 2 du u C    1 u u du C 1 1           du ln u C u 0 u    2 du u C u        u u a a du C 0 a 1 lna u u e du e C  cosudu sinu C  sinudu cosu C   2 1 du tan u C cos u   2 1 du cot u C sin u    C a x xa dx    arcsin22   C a x axa dx arctan 1 22   Cbax a dx bax ln 1 )( 1 C un dxudx u n n n        1).1( 11    Ce a dxe baxbax 1 ;   Cbaxa dxbax )cos( 1 )sin(   Cbaxa dxbax )sin( 1 )cos(    Cuu du dx u u ln '   Cudx u u 2 '   Cu dx u u 1' 2       C xa xa axa dx ln 2 1 22    Caxx ax dx 2 2 ln Phƣơng pháp: Phƣơng pháp đổi biến: Bƣớc 1: Đặt x=v(t) Bƣớc 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận Bƣớc 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt Bƣớc 4: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v bb a v a v b f x dx g t dt G t v a    Bƣớc 5: Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) v b G t v a Phƣơng pháp từng phần: Bƣớc 1: Chọn u và dv Bƣớc 2: Tính du và v Bƣớc 3: Tính:  ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x v x u x dx a    hay b b a a b udv uv vdu a    Bƣớc 4: Kết luận. Nam Potato 12 Các chọn ẩn phụ đối với phƣơng pháp đổi biến: Dấu hiệu Có thể chọn 2 2a x | | sin , 2 2 | | ,0os x a t t x a c t t             2 2x a | | , ; 0 sin 2 2 | | ,0 ; 2os a x t t t a x t t c t                  2 2x a | | tan , 2 2 | | ,0ot x a t t x a c t t             a x a x   hoặc a x a x   Đặt cos2x a t ( )( )x a b x  Đặt 2( )sinx a b a t   Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu Hàm ( , ( ))f x x Đặt ( )t x Hàm ( , ( ), ( ))n mf x x x  Đặt ( )mnt x Hàm sin cos ( ) sin cos a x b x f x c x d x e     Đặt tan 2 x t  Hàm lẻ với sinx Đặt cost x Hàm lẻ với cosx Đặt s inxt  Hàm chẵn với sinx và cosx Đặt t =tanx Cách đặt u và dv đối với phƣơng pháp từng phần: ( ) b x a P x e dx ( ) ln b a P x xdx ( )cos b a P x xdx cos b x a e xdx u P(x) lnx P(x) xe dv xe dx P(x)dx cosxdx cosxdx  Chú ý: đặt u: “NHẤT LOG, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ”, còn lại đặt dv TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ  Dạng 1 1 ln dx adx ax b ax b a ax b a            Dạng ( ) 1 ( ) ( ) ax+b ax+b ax+b P x m dx Q x dx Q x dx m dx                 Dạng: 2 2 2 1 arctan ax (mx+n) p mp dx dx mx n c bx c p         2 2 2 1 ln | | ax (mx+n) p 2mp dx dx mx n p c bx c mx n p            Nam Potato 13  Dạng: 2 ( ) ax mx n dx bx c    - Nếu mẫu có nghiệm kép x =x1 ta có : 2 2 ( ) ax 1 (x-x1) mx n A B bx c x x       Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số để tìm A, B. - Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ta có: 2 ( ) ax 1 x-x2 mx n A B bx c x x       Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số để tìm A, B. - Nếu mẫu vô nghiệm: 2 2 2 2 (2 ) ( ) ( ) (2 )2 2 ( ) ax ax 2 ax 2 ax m mb ax b n mx n dx m ax b dx mb dxa a dx n bx c bx c a bx c a bx c                     = 2 2 2 (ax ) ( ) 2 ax 2 ax m d bx c mb dx n a bx c a bx c          = 2 2 ln | ax | ( ) 2 2 ax m mb dx bx c n a a bx c        Dạng: 2 2 2 1 1 1 ln | ( ) (mx+n) | ax (mx+n) I dx dx mx n k c mbx c k             2 2 2 1 1 1 arcsin ax (mx+n) mx n I dx dx c m pbx c p            Dạng: 2 2 2 2 1 2 2ax ax ax mx n m ax b mb I dx dx dx a abx c bx c bx c                     = 2 2 2 (ax ) 1 2 2ax ax mb d bx c mb dx a abx c bx c              Dieän tích hình phaúng- Theå tích vaät theå troøn xoay: -Vieát phöông trình caùc ñöôøng giôùi haïn hình phaúng. -Choïn coâng thöùc tính dieän tích: ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b S f x g x dx S f y g y dy       -Choïn coâng thöùc tính theå tích: *Hình phaúng quay quanh truïc Ox: 2 2( ) ( ) a b V f x g x dx  *Hình phaúng quay quanh truïc Oy: 2 2( ) ( ) a b V f y g y dy  - Bieán x thì caän laø x= a; x=b laø hoaønh ñoä caùc giao ñieåm. - Bieán y thì caän laø y= a; y=b laø tung ñoä caùc giao ñieåm. Nam Potato 14 Lũy thừa 1. n n thua so a a.a...a  8. m n n m m.n (a ) (a ) a  2. 0 a 1 a 0  9. n n na. b a.b 3. n n 1 a a   10. n n n a a bb  4. m n m n a .a a  11. n m mnn m aaa  )( 5. m m n n a a a  12. nkn k aa  6. n n n(a.b) a .b 13. m n m n m n 1 1 a a a    7. n n n a a ( ) b b  14.         knvoia knvoia an n 2 12, Logarit 1. a log 1 0 , a log a 1 6. )(log)(log x y y x aa  2. ma m a log 7. log loga ab b   2log 2loga ab b 3. ba ba log 8. 1log logaa b b   , log logaa b b     4. yxyx aaa loglog).(log  9. bbb 10logloglg  5. yx y x aaa loglog)(log  y y aa log) 1 (log  10. ,logln bb e 11. 1 log logna ab b n   Các tính chất về bất đẳng thức: Cho m, n là các số nguyên dương, ta có: - Với a>1 thì m na a m n   - Với 0<a<1 thì m na a m n   - Với a > 0 thì: m na a m n   Cho 0<a<b và số nguyên n ta có: - 0m ma b m   - 0m ma b m   - 0m ma b m    Công thức đổi cơ số - a b b c c a log log log  - a b b a log 1 log  ; - xxb aba loglog.log  - a b ba ln ln log  - abc cba loglog  1. Phƣơng trình, bất phƣơng trình logarit * log ma x m x a   0 1 *log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ) 0 f(x)=g(x) a a a f x g x f x g x          *Với a>1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0a af x g x f x g x    * Với 0<a<1: log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )a af x g x f x g x    2. Phƣơng trình , bất phƣơng trình mũ: * logx aa m x m   ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) * 1 / ( ), ( ) f x g x a f x g x a a a f x g x           *Với a>1: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   *Với 0<a<1: ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   Nam Potato 15 Hàm số lũy thừa: a) Hàm số y x  , với R được gọi là hàm số lũy thừa. b) Tập xác định của hàm số y x  là: - R với  nguyên dương -  \ 0R với  nguyên âm hoặc bằng 0 -  0; với  không nguyên Hàm số mũ: a) Hàm số ( 0; 1) xy a a a   được gọi là hàm số mũ cơ số a. b) Tình chất: - TXĐ của hàm số mũ là R - Khi a>1 hàm số mũ luôn đồng biến Khi 0<a<1 hàm số mũ luôn nghịch biến - Đồ thị của hàm số mũ có tiện cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các điểm (0;1), (1;a) và nằm phía trên trục hoành. Hàm số logarit a) Hàm số log ( 0; 1)ay x a a   được gọi là hàm số logarit cơ số a. Hàm số logarit có đạo hàm tại mọi x dương và  a 1 x x a log ' ln  b) Tính chất - TXĐ của hàm số logarit là  0; - Khi a>1: hàm số logarit luôn đồng biến Khi 0<a<1 hàm số logarit luôn nghịch biến . - Đồ thị của hàm số logarit có tiện cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1;0), (a;1) và nằm phía bên phải trục tung. a>1 y=a x y x1 0<a<1 y=a x y x 1 a>1 y=logax 1 y x O 0<a<1 y=logax 1 x y O Nam Potato 16 Ứng dụng đạo hàm 1) Tính đơn điệu của hàm số Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm tập xác định. - Tính đạo hàm )('' xfy  tìm các điểm nxxx ;......;; 21 mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm nxxx ;......;; 21 theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y = f(x;m) đơn điệu trên miền xác định của nó.  Với hàm bậc 3 - Tìm tập xác định: D=R - Tính đạo hàm y’ - Suy ra đồng biến, nghịch biến.  Với hàm ax b cx d   - Tìm tập xác định D=R\( d c  ) - Tính đạo hàm y’ - Suy ra đồng biến, nghịch biến. Tìm tham số m để hàm số y = f(x;m) đơn điệu trên miền D? Trong đó D có thể là ( ; ),( ; ),( ; ),[ ; ),( ; ]..         - Ghi điều kiện để ( ; )y f x m đơn điệu trên D, chẳng hạn: Đề yêu cầu ( ; )y f x m đồng biến trên D ' '( ; ) 0y f x m   Đề yêu cầu ( ; )y f x m nghịch biến trên D ' '( ; ) 0y f x m   - Đưa m ra khỏi biến số, và đặt vế còn lại là g(x) được: ( ) ( ) m g x m g x      - Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g(x) trên D, - Dựa vào bảng biến thiên kết luận: ( ) m max ( ) ( ) m min ( ) D D m g x g x m g x g x          2) Cực trị * Qui tắc tìm cực đai, cực tiểu của hàm số - Tìm tập xác định. - Tính đạo hàm )('' xfy  tìm các điểm nxxx ;......;; 21 mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm nxxx ;......;; 21 theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.  Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a; b). a) 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x x f x    được gọi là điểm cực tiểu của f(x). b) 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x x f x    được gọi là điểm cực đại của f(x). Lƣu ý: 1. Hàm đa thức y = P(x) đạt cực trị tại các nghiệm đơn của P’(x) = 0. 2. Hàm số  3 2 0y ax bx cx d a     có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 3. Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b     có cưc đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu. 4. Hàm số ( ) ( ) P x y Q x  đạt cực trị tại x0 thì giá trị của hàm số tại điểm cực trị x0 là 0 0 0 '( ) '( ) P x y Q x  với P’(x0) và Q’(x0) lần lượt là đạo hàm của P(x) và Q(x) tại x0. 5. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b     là 2 ' ax b y a   . 6. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  3 2 0y ax bx cx d a     Thực hiện phép chia y cho y’ ta được : y = y’(x).g(x) + Ax + B, tại các điểm cực trị thì y’(x) = 0 nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = Ax + B. Nam Potato 17 3) GTLN, GTNN a) Cách tìm GTLN, GTNN trên một đoạn Định lý: Hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn [a;b] => tồn tại [ ; ] max ( ) a b f x , [ ; ] min ( ) a b f x . Cách tìm: - Tìm [ ; ] (i=1; 2; ...; n)ix a b tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Tính ( ), ( ), ( )if a f b f x (i=1; 2; ...; n) - Tìm 1 2max{ ( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )}nGTLN f a f x f x f x f b 1 2min{ ( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )}nGTNN f a f x f x f x f b b) Cách tìm GTLN, GTNN trên một khoảng ( )y f x liên tục trên đoạn (a;b), ta xét 2 trường hợp: x a x0 b y’ - + y GTNN x a x0 b y’ + - y GTLN 4) Tịnh tiến đồ thị hàm số - Tịnh tiến (C) lên trên 0y đơn vị thì ta được đồ thị: 0( )y f x y  . - Tịnh tiến (C) xuống dưới 0y đơn vị thì ta được đồ thị: 0( )y f x y  . - Tịnh tiến (C) sang trái 0x đơn vị thì ta được đồ thị: 0( )y f x x  . - Tịnh tiến (C) sang phải 0x đơn vị thì ta được đồ thị: 0( )y f x x  . 5) Tiệm cận a) Đƣờng tiệm cận ngang. (TCN) Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng: );(),;(),;(  ba ) Đường thẳng: 0yy  được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0)(lim yxf x   ; 0)(lim yxf x   Chú ý: Có tiện cận ngang khi bậc của tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu. b) Đƣờng tiệm cận đứng. (TCĐ) Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng: );(),;(),;(  ba ) Đường thẳng: 0x x được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:   )(lim 0 xf xx ;   )(lim 0 xf xx   )(lim 0 xf xx ;   )(lim 0 xf xx Chú ý: Tiệm cận đứng 0xx  thì tại giá trị đó làm cho mẫu không xác định và 0 ( )lim x x f x   c) Đƣờng tiệm cận xiên (TCX) Đường y=ax+b (a0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y= f(x) nếu: lim [ ( ) (ax )] 0 x f x b     hoặc lim [ ( ) (ax )] 0 x f x b     Phương pháp tìm TCX: Cách 1: Tìm a, ( ) lim : ax+b lim[ ( ) ] x x f x a x TCX y b f x ax         Cách 2: Chia đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x k k f x r x f x r x h x h x h x       lim[ ( ) ( )] lim 0 ( )x x k f x r x h x      y=r(x) là tiệm cận xiên. Chú ý: - Đồ thị có TCX khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 bậc. - Có TCX thì không có TCN Nam Potato 18 Số phức : z=a+bi - Số phức bằng nhau : a c a bi c di b d        - Số phức đối của z kí hiệu là z và z a bi    - Số phức liên hơp̣ của z kí hiệu là z và z a bi  . - Moodun của số phức: 2 2| |z a b  - Các phép toán: *( ) ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i a bi c di a c b d i               * ( ).( ) ( ) ( ) .a bi c di ac bd ad bc i      * 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) c di c di a bi ac bd ad bc i a bi a bi a bi a b a b              - Tính chất:  Tính chất 1: Số phức z là số thực z z   Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z    Cho hai số phức 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2; ; , , ,z a bi z a b i a b a b     ta có:  Tính chất 3: 1 2 1 2z z z z    Tính chất 4: 1 2 1 2. .z z z z  Tính chất 5: 1 1 2 2 2 ; 0 z z z z z         Tính chất 6: 1 2 1 2| . | | | . | |z z z z  Tính chất 7: 1 1 2 2 2 | | ; 0 | | z z z z z    Tính chất 8: 1 2 1 2| | | | | |z z z z    Phƣơng triǹh bâc̣ hai: 2 0 ( 0)az bz c a     TH1: a, b, c là các số thưc̣  Nếu 0  thì phương trình có 2 nghiêṃ thưc̣ phân biêṭ 2 b z a      Nếu 0  thì phương trình có nghiệm 2 b z a    Nếu 20 ( )i     thì phương trình có 2 nghiêṃ phức phân biêṭ 2 b i z a      TH2: a, b, c là các số phức  0  thì phương trình có nghiệm 2 b z a    20; ( )a bi x iy       Khi đó phương trình có hai nghiêṃ ( ) 2 b x yi z a     Hệ thức lƣợng trong tam giác Định lý cosin: - 2 2 2 2 cosa b c bc A   - 2 2 2 2 cosb a c ac B   - 2 2 2 2 cosc a b ab C   - 2 2 2 cos 2 b c a A bc    - 2 2 2 os 2 a c b c B ac    - 2 2 2 cos 2 a b c C ab    Định lý hàm số sin: 2 sin sin sin a b c R A B C    Công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến: - 2 2 2 2 2 4 a b c a m    - 2 2 2 2 2 4 b a c b m    - 2 2 2 2 2 4 c a b c m    Công thức tính độ dài đƣờng phân giác trong: - 2 cos 2 a A bc l b c   - 2 cos 2 b B ac l a c   - 2 cos 2 c C ab l a b   Công thức tính diện tích tam giác: - 1 1 1 . . . 2 2 2 a b cS a h b h c h   - 1 1 1 .sin .sin .sin 2 2 2 S bc A ab C ac B  