Giáo trình Bảo toàn năng lượng - Chương 1: Các phương pháp năng lượng

3, , trong đó qi - chuyển vị tổng quát. Với Wint = U, có thể viết: U = U(q1, q2, . . . , qn) (1.7) Trường hợp chuyển vị ảo, công thức sau đây đúng cho bài toán đang xét: δWint = δ U Điều có thể nêu tại đây, tuy chưa được gọi thống nhất giữa các nhà nghiên cứu, chuyển vị ảo được xét như thay đổi cực kỳ nhỏ, tương tự như biến phân 10 (variations) của chuyển vị hiện hữu. Tương tự thuyết biến phân, công thức tính biến phân công biến dạng vật thể đàn hồi U được hiểu là: δU = ∑ = ∂ ∂n i i i q q U 1 δ (1.7) Trong khi đó biến phân công ngoại lực được hiểu là: ∑= = = ni i iiext qFW 1 δδ (1.8) Từ nguyên lý công ảo có thể viết: ∑∑ = = = = ∂ ∂= ni i i i ni i ii qq UqF 11 δδ (1.9) Thế năng của hệ thống, công thức (1.6), luôn biểu diễn được dưới dạng hàm toạ độ tổng quát. Nếu vật cứng ở trạng thái cân bằng, δΠ sẽ triệt tiêu, chúng ta có quyền viết: δΠ = 0 11 =−∂ ∂ ∑∑ == n i ii n i i i qFq q U δδ (1.10) hoặc nn n qF q UqF q UqF q U δδδ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −∂ ∂ ...22 2 11 1 = 0 (1.10a) Vì rằng δqj mang giá trị bất kỳ, bởi vậy các biểu thức trong ngoặc phải tự triệt tiêu, ví dụ 1 1 q UF ∂ ∂= , để thỏa mãn phương trình đang nêu chúng ta nhận: ni q UF i i ,...,2,1; =∂ ∂= (1.11) Công thức (1.11) đã được đề cập tại “lý thuyết đàn hồi”, hiểu như sau: Với kết cấu làm từ vật liệu đàn hồi, lực tổng quát (generalized load) là đạo hàm lấy theo chuyển vị tương ứng của công biến dạng. Theo cách gọi phổ biến trong các sách in tại các nước phương Tây, công thức đang nêu có tên gọi định lý thứ nhất Castigliano. Thế năng V các lực bên ngoài tại vật thể cứng hiểu như sau: ∑ = = N i iiqFV 1 (1.12) Nếu coi rằng i i F q V −=∂ ∂ , i= 1, 2, , và tổng năng lượng hệ thống bằng Π = U – V, từ định lý Castigliano có thể viết: 11 ( ) ni q VU q ii ,...,2,1;0 ==∂ −∂=∂ Π∂ (1.13) Ví dụ 2: Xác định chuyển vị kết cấu tại ví dụ 1 vừa trình bày. Thế năng trong mỗi lò xo tính theo công thức: ½ κ.s2, trong đó κ – độ cứng, s – giãn dài lò xo. Công biến dạng của hệ thống được hiểu là: 2 3 2 2 2 1 )2(2 1)5,1( 2 1 2 1 skskksU ++= (1.14) Thay các giá trị của sj, j =1, 2, 3 vào biểu thức tính U có thể xác định: vv kukkuU 2 1 2 3 4 3 22 ++= (1.15) Thế năng của ngoại lực: V = (-P)v (1.16) Từ đó: vvv PkukkuVU +++=−=Π 2 1 2 3 4 3 22 (1.17) Từ quan hệ 0 2 1 2 3;0 =+⇒=∂ Π∂ vkku u Từ quan hệ 03 2 1;0 =++⇒=∂ Π∂ Pkku v v Hay là: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ P u k 0 32/1 2/12/3 v (1.18) Kết quả phép tính trùng với lời giải đã nêu trên. 3. Nguyên lý công bù Giải thích về công bù bạn đọc đã quen tại trang trước. Trong hình 7 tiếp theo diện tích phần trên đường σ = f(ε) biểu diễn công bù. Khái niệm công bù ảo không khác cách hiểu công ảo như đã trình bày phần đầu tài liệu này. 12 Công biến dạng = Công ngoại lực σ P ∆ dσ σ P u W Hình 7 Với vật thể đàn hồi, công bù được tính U* = ( )∫ V dVu σ*0 = ∫ V T dV}{}{ 2 1 εσ còn công do ngoại lực áp đặt tính bằng V* . Năng lượng Π∫ Δ= uS T dSP }{}{ * = U* - V* được tính bằng biểu thức: Π* = . Biến phân hàm Π∫∫ Δ− S T V dSPdVu }{}{)(*0 σ * tính theo δΠ* = bằng không khi thỏa mãn điều kiện dừng. Trong trường hợp này bài toán trở thành: δ(U ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Δ− ∫∫ uS T V dSPdVu }{}{)(*0 σδ * -V*) = 0. Ví dụ tiếp sau minh họa sử dụng biểu thức δ(U* -V*) = 0 xác định chuyển vị điểm giữa dầm dài L, độ cứng chịu uốn EJ, ngàm hai đầu, chịu tải trọng phân bố đều q(x) = const. Chuyển vị điểm giữa dầm ký hiệu bằng wC. Từ sức bền vật liệu chúng ta có thể viết phương trình tính momen uốn M(x), trong đó x – khoảng cách tính từ ngàm bên trái dầm: ( ) 22 2212 xqxqlqlxM −+−= Công bù bằng công biến dạng, tính theo biểu thức ∫= L dxEJxMU 0 2 * 2 )( . Công ngoại lực do “lực ảo” δP đặt tại giữa dầm, tác động cùng chiều với q, gây ra V* = δP.wC. Có thể tính δU* từ phương trình năng lượng ∫= L dxEJMMU 0 * δδ , với 2 0; 28 LxxPPLM ≤≤+−= δδδ LxLxLPPLM ≤≤−+−= 2 );( 28 δδδ Kết quả phép tích phân cho thấy: 13 EJ qLPdx EJ MMU L 384 4 0 * ×== ∫ δδδ Mặt khác CwPV ×= δδ * Từ quan hệ δ(U* -V*) = 0 xác định tiếp: EJ qLwC 384 4 = Công bù ảo, dạng nội công của hệ thống các phần tử (internal complementary virtual work) nêu tại hình trên được viết theo cách quen sau: ∑ < = Δ= N ji ji ijij frW 1, * int δδ (1.19) Trong công thức, các thành phần tham gia vào tích số của lực với chuyển vị mang tính đặc trưng, vector chuyển vị là thay đổi thật, trong khi đó vector nội lực mang tính chất ảo. Công ngoại lực ảo (external complementary virtual work) tính bằng tổng các tích của “ngoại lực ảo” với chuyển vị thật được viết dưới dạng: ∑ = = N i iiext FqW 1 * δδ (1.20) Trường hợp hệ thống ở trạng thái cân bằng sẽ thỏa mãn điều kiện: ∑∑ < == Δ= N ji ji ijij N i ii frFq 1,1 δδ (1.21) từ đó có thể viết: * int * WWext δδ = (1.22) Để tiện phân biệt lực thực và lực ảo tác động lên hệ thống các phần tử vật chất đang xem xét, có thể khảo sát độ chuyển dịch lò xo sau đây dưới tác động các lực đang đề cập, hình 8. A B C W C T1 T2 y x W 6045 6045 C A B δQ Hình 8. Hệ thống hai dây lò xo cùng độ cứng k, nối với nhau tại nút C và chịu tác động lực thực W điểm đặt tại C, theo chiều hút trái đất. Ứng dụng nguyên lý công bù ảo xác định chuyển vị nút nối đó theo hướng ngang. Đặt lực ảo δQ tại C, tác động 14 theo hướng ngang chúng ta sẽ xác định chuyển vị ngang dưới tác động các lực đang đề cập, cùng nội lực trong hệ thống. Công ảo do lực ảo bên ngoài gây tính theo cách vừa trình bày: QuWext δδ =* (1.23) Để tính công nội lực theo (1.19) cần thiết xác định các tích nằm sau dấu ∑ theo cách ijijijij fsfr δδ Δ=Δ . Độ giản dài lò xo tính theo công thức k f s ijij =Δ , với fij là lực thực, dạng nội lực của lò xo. Trường hợp cụ thể này có thể viết: BC BC AC AC f k ff k fW δδδ ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=*int (a) = ( ) Q k WQ k WQ k W δδδ 0717,0)7320,0(7320,08966,05176,0 −=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ (b) Thay kết quả tính vào phương trình (1.23) nhận được: Q k WQu δδ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 0717,0 (c) hay là u = -0,0717 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ k W (d) Với vật thể đàn hồi, công ảo nội lực bằng công biến dạng bù U* và có thể biểu diễn dạng hàm U*( F1, F2, , Fn). Công biến dạng ảo được hiểu là: ∑ = ∂ ∂== n i i i F F UUW 1 * ** int δδδ (1.24) trong khi đó (1.25) ∑ = = n i iiext FqW 1 * δδ Nguyên lý cân bằng công bù nọâi lực và ngoại lực cho phép viết: ∑∑ == =∂ ∂⇒= n i ii n i i i ext FqFF UWW 11 * ** int ; δδδδ (1.26) Công thức đúng cho trường hợp các tải ảo δF1, δF2, , δFn bất kỳ, hay còn hiểu là δFi của mỗi vế phương trình như nhau: ni F Uq i i ,...,2,1; * =∂ ∂= (1.27) 15 Cũng theo cách gọi trong các sách viết tại nước ngoài, công thức (1.27) có tên định lý thứ hai của Castigliano. Cách gọi trong tài liệu nước ta đây là định lý Castigliano. Với vật liệu đàn hồi, chuyển vị là đạo hàm bậc nhất của hàm công bù, tính theo tải trọng tương ứng. Tương tự cách giải thích tại trang trước, định lý thế năng bù tối thiểu (theorem of minimum complementary potential energy) có dạng: ( ) ni F VU F ii ,...,2,1;0 *** ==∂ −∂=∂ Π∂ (1.28) Trong đó tổng năng lượng hệ thống bằng Π* = U* – V* và . ∑ = = N i iiqFV 1 * Ví dụ 1. Xác định phản lực cho khung phẳng hệ thống siêu tĩnh tại hình 8. Chuyển vị nút d cuối dầm số 3 trên hình có thể xác định theo công thức Mohr: z 1 A x y B 3 D 2 C 3m2,732 3m P=20kN 2k N/ m Rha 2k N/ m Ma Rva Rvd Md F=10kN Hình 8 ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂==∂ ∂= ∂ ∂==∂ ∂= ∂ ∂==∂ ∂= ∫ ∫ ∫ dx M MM EJM U dx R MM EJR U dx R MM EJR Uu DD HH VV 10 10 10 θ v (a) Có thể viết các phương trình sau đây cho toàn hệ gồm các dầm mang số 1, 2, 3, các nút ký hiệu A, B, C, D: x’RHD + MD = M|3 3RHD + x’’RVD + MD = M|2 16 ( ) ( ) DVDHD MRxRy +++− '''~3'''~3 ( ) 1 2 0 2 ''''''~'''~ MxpyPxP xz =−− với p0 = 2kN/m. trong đó o60;cos''''''~;sin''''''~ === ααα xxxy ; 0 ≤ x’ ≤ 3; 0 ≤ x’’ ≤ 3; 0 ≤ x’’’ ≤ 3,464. và M|i, i = 1, 2, 3. Tiến hành các phép tích phân sau: 0111 321 =∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∫∫∫ dxRMMEJdxRMMEJdxRMMEJ VDVDVD (b) với ;'''~3;'';0 123 xR Mx R M R M VDVDVD +=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ Kết quả tính đưa lại: 32,088RHD + 61,638RVD + 18,696MD = 524,694. (c) Tiếp tục tính theo dòng 2 công thức (a): ;'''~3;3;' 123 yR M R Mx R M VDVDVD +=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ và từ dòng 3: 1123 =∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ DDD M M M M M M Có thể xác lập tiếp hai phương trình cân bằng, dạng tương tự (c). Tập họp lại trong hệ phương trình đại số tuyến tính có thể thấy: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 810,125 35,122 694,524 464,9892,17698,18 696,18088,32392,46 89,17638,61088,32 D VD HD M R R , được hiểu là (matrận dẻo) x (vecto lực) = (vecto chuyển vị) Giải hệ phương trình theo phương pháp lực đang nêu nhận được: RHD = -10,205 kN; RVD = 9,188 kN; MD = 16,217 kN.m Ví dụ 2: Giải bài toán đã nêu, hình 9, theo nguyên lý công bù tối thiểu. 17 PA B DC F2 F3F1y x P A 45 k 1,5k 2k Hình 9. Nếu lý hiệu F1, F2, F3 – lực dọc lò xo, thế năng các lò xo được viết như sau: V* = -P.v (a) Tổng công biến dạng bù: 3 2 3 2 2 2 1 2 1* 222 k F k F k FU ++= (b) Tổng thế năng bù: Π* = U* - V* (c) Pv k F k F k F +++=Π 3 2 3 2 2 2 1 2 1* 222 (d) Trước khi giải ( ) ni F VU F ii ,...,2,1;0 *** ==∂ −∂=∂ Π∂ cần thiết cân bằng hệ thống lực, xây dựng mối liên hệ giữa các thành phần F1, F2, F3 và P. Phương trình cân bằng lực, viết cho điểm A: ⎭⎬ ⎫ =+++ =+− 045sin45sin 045cos45cos 321 31 PFFF FF oo oo (e) Giá trị P đã xác định còn F1, F2, F3 đang là ẩn số. Giải hệ phương trình trên với giả thiết hai trong các đại lượng của nhóm F1, F2, F3 là biến của thành phần còn lại và P, ví dụ F2, F3 là biến của F1, P. Điều này đưa đến kết quả: ⎭⎬ ⎫ = +−= 13 12 2 FF PFF (f) Trong trường hợp này, thành phần F1 đóng vai tròn ẩn độc lập. Tải này trong các sách người ta gọi là tải không tĩnh định (redundant load). Thay các giá trị vừa xác định vào biểu thức tổng thế năng, có thể viết: vP k PF k P k F +−+=Π 1 22 1* 9428,03333,0417,1 (g) Thực hiện phép lấy đạo hàm riêng của tổng thế năng theo các biến F1, P, theo công thức (1.28) trong khuôn khổ nguyên lý công bù tối thiểu để xác định các ẩn. 18 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =++−=∂ Π∂ =−=∂ Π∂ 06667,09428.0 09428,0833,2 1 * 1 1 * v k P k F P k P k F F (h) Từ phương trình đầu xác định F1, còn chuyển vị v xác định từ phương trình 2. F1 = 0,3328P; v = -0,3529 (P/k) (i) Hai lực còn lại tính theo biểu thức (f): F2 = 0,5294P; F3 = 0,3328P. (j) Ví dụ 3 nêu tiếp trình bày ứng dụng định luật Castigliano vào giải bài toán dầm công xôn đã nhiều lần đề cập. Sử dụng công thức (a), trang 104, xác định chuyển vị và góc xoay đầu dầm conson dài l, ngàm bên phải, chịu tác động lực tập trung P theo hướng vuông góc với trục dầm, cùng momen uốn M đặt tại đầu mút bên trái. Tại mặt cắt bất kỳ, công thức tính momen uốn dầm có dạng M(x) = -Px - M. Thế năng dầm U= ∫l EI dxxM0 2 2 )( . (a’) Áp dụng công thức (a) cho trường hợp lực P sẽ nhận được chuyển vị theo 0z: w = ∂U /∂P = dx P xMxM EI l∫ 0 )()(1 ∂ ∂ (b’) w = EI 1 0 l ∫ (P + M)xdx = EIMlEIPl 23 23 + (c’) Góc xoay đầu bên trái dầm tính theo đạo hàm của U từ momen M: θ = M U ∂ ∂ = dx M xMxM EI l∫ 0 )()(1 ∂ ∂ = EI Ml EI Pl + 2 2 (d’) Áp dụng cho hệ khung dầm cấu tạo từ các dầm chịu kéo nén, phương trình tính năng lượng cho hệ thống sẽ có dạng: U = ∑= = mi i i ii EA lS 1 2 2 (1.29) Trong đó Si - lực dọc trục trong dầm thứ i, do hệ thống lực Pk , k =1, 2, ..., m gây ra. Chuyển vị của dầm dưới tác động lực Pn được tính như sau. wn = n i mi i i ii n P S EA lS P U ∂ ∂ ∂ ∂ ×= ∑= =1 (1.30) 19 Ví dụ 4: Xác định chuyển vị điểm A của khung trên sơ đồ sau. l l l P A 4 5 6 3 1 2 Hình 10. Bước đầu cần tìm lực Si trong tất cả các thanh của khung. Vector lực S có dạng sau: {S} = [ P -P 2 P -P - P 2 2P]T. Thế năng của toàn khung: U = ∑= = mi i i ii EA lS 1 2 2 = AE lP 2 2 ( 7 + 4√2 ) wa = ∂U /∂P = AE Pl (7 + 4√2 ). Khi áp dụng công thức trên đây tìm chuyển vị tại những vị trí không đặt ngoại lực thực tế, có thể sử dụng lực ảo với giá trị tuyệt đối bằng 0, thay cho lực tổng quát. Chuyển vị của điểm đặt lực ảo vẫn tính theo công thức Castigliano ∂U /∂Pảo. Công thức tính chuyển vị dùng vào trường hợp của công thức (1.30) sẽ có dạng: wp = 0= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ XX U ∂ ∂ = X S EA lS imi i i ii ∂ ∂ . 1 ∑= = (1.31) Ví dụ 5: Xác định chuyển vị góc của thanh AB, do lực P tác động theo hướng thẳng đứng gây như hình 11 dưới. Để tìm góc xoay tại B, phải gán momen ảo M = 0 tại đầu cuối thanh AB, như trên hình vẽ. Lực dọc trục trong các thanh do P gây ra như sau. Trong thanh AB: P + M l3 , trong thanh AC là P - 2 M l3 . Hình 11 l l C A P B M Thế năng của hệ: U = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 22 3 2 32 l MP l MP AE l Góc xoay tính theo công thức: θ = AE P lAE M AE P M U MM 3 3 53 00 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ==∂ ∂ 20 4. Công thức Maxwell-Mohr Công thức mang tên Maxwell và Mohr ngày nay có tên phương pháp tải đơn vị (The Unit Load Method), dùng rộng rãi trong cơ học kết cấu. Phương pháp dùng xác định chuyển vị của điểm, các điểm theo hướng xác định của kết cấu, trong đó trạng thái ứng suất và biến dạng của kết cấu đã rõ. Cách làm tại đây vẫn sử dụng nguyên lý công bù ảo như đã đề cập, áp đặt tải ảo δF tại điểm đang xem xét, theo hướng chuyển vị u cần xác định. Công ngoại lực tính theo công thức quen nêu trên, δWext* = u. δF. Vì rằng đại lượng ảo vừa nêu có thể mang giá trị bất kỳ, trường hợp này người ta gán giá trị đơn vị cho nó. Các phép tính tiếp theo thực hiện theo thứ tự đã trình bày. Điều này giải thích qua ví dụ đơn giản, áp dụng tính chuyển vị trong dầm chịu uốn như sau. Công bù ngoại lực do tải đơn vị gây tại vị trí j của dầm viết dưới dạng: wjδFj = wj (1) (1.62) Có thể ký hiệu momen uốn do tải đơn vị này gây trong dầm là δM. Trong khi đó góc xoay dầm do lực thực gây tính theo công thức: EJ Mdxd =θ Công bù ảo dạng nội công do δM thực hiện tính bằng: EJ MdxM .δ Công bù ảo tính cho toàn bộ dầm suy ra từ tích phân: ∫L dxMEJM0 .δ Thay δM = 1 vào công thức tính công có thể thấy rằng: ∫= Lj dxMEJMw 0 .δ (1.63) Ví dụ 1: sử dụng phương pháp tải đơn vị xác định độ võng đầu tự do dầm con son với độ cứng EJ, chiều dài L, chịu tải trọng phân bố đều, cường độ p0. Áp đặt lực đơn vị tác động tại điểm cuối dầm, đầu dầm tự do. Momen do tải này gây ra tính bằng δM = - x. 1. Momen do phân bố tải thực p0 gây mang giá trị M = -p0x2 / 2. Từ đó có thể tính: EJ Lp EJ xpdx EJ xpx dx EJ MMw L LL 88 2. 40 0 4 0 0 2 0 0 0 == ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ == ∫∫ δ (a) Góc xoay dầm tại vị trí bất kỳ tính theo công thức: ∫= MdxEJM δθ )1( (b) Để xác định góc xoay này tại đầu tự do dầm công xôn đang đề cập tiến hành áp đặt momen đơn vị tại vị trí đang xét, kết quả sẽ là: 21 EJ Lpdx EJ xpdx EJ MM LL x 62 3 0 0 2 0 0 0 === ∫∫= δθ (c) Ví dụ 2: Xác định chuyển dịch điểm A của kết cấu dàn cẩu, có dạng như trên hình 12. ϕ R R Hình 12 Momen uốn trên đoạn AB: M = 0; (a) Momen uốn trên đọan BC: M = - P.z. (b) Trên đoạn CD : M = PR( 1 + sin ϕ) (c) Momen uốn do lực X =1 được áp đặt tại diểm A gây ra trên đoạn CD là MX = -1. R(1-cosϕ). (d) Áp dụng công thức M-M vào trường hợp cụ thể sẽ được: wa = PR EI 3 0 2π / ∫ (1+sinϕ) ( 1-cosϕ)dϕ (e) Khi tiến hành tích phân trên cung CD đã thay dz = R.dϕ Kết quả tính sau khi tích phân: wa = π −1 2 3PR EI (f) Ví dụ 3 tiếp theo nhằm xác định momen uốn, lực cắt của kết cấu vòm che theo mô hình dưới. Trong mô hình tính của vòm che momen quán tính được tính I(s), diện tích tiết diện A(s). P P/2 M M H H R=P/2 H M H ϕ ϕ Hình 13 22 Momen M0 được gán tại vị trí đỉnh vòm. Lợi dụng tính đối xứng của kết cấu chúng ta sẽ xét nửa cung nằm phía phải. Momen uốn và lực trên đoạn vòm cong: M(s) = M0 + P 2 rsinϕ - H r (1-cosϕ) (a) N(s) = P 2 cosϕ - Hsinϕ (b) T(s) = -Hcosϕ - P 2 sinϕ (c) Trên đoạn thành thẳng đứng: M(s) = M0 + P 2 r - H( r + z) (d) N(s) = -H; (e) T(s) = - P 2 . (f) Lực tác động ngang H thỏa mãn điều kiện: M0 + P 2 r - H.h = 0 do đó: H = M0/h + P 2 . r h (g) Thay H vào các biểu thức trên kết quả tính sẽ là: Momen uốn và lực trên đoạn vòm cong: M(s) = M0 [1 - + r h ( 1-cosϕ)] + P 2 r[ sinϕ - r h (1-cosϕ)]; (h) N(s) =- M h 0 sinϕ + P 2 (cosϕ - r h sinϕ); (i) T(s) = - M h 0 cosϕ - P 2 ( r h cosϕ + sinϕ) (j) Trên đoạn thành thẳng đứng: M(s) = M0 ( b z h − ) + P 2 r( b z h − ) (k) N(s) = - M h 0 - P 2 r h ; (l) T(s) = - P 2 . (m) 23 Để xác định chuyển vị tại điểm đăït M0, thực hiện tính đạo hàm theo công thức M-M. Tại đây cần đưa thêm giả thiết, biến dạng do cắt và chuyển vị dọc thành đứng vô cùng nhỏ, có thể bỏ qua khi tính. Từ đó có thể viết: ∂ ∂ U M0 = M s EI s M s M ds s ( ) ( ) ( )∫ ∂∂ 0 = 0; (n) Thay M(s) và đạo hàm riêng của M(s) theo M0 vào biểu thức cuối sẽ nhận được biểu thức: M r EI 0 0 0 2π / ∫ II s0( ) [1 - rh (1-cosϕ)]2 dϕ + Pr 2 02EI 0 2π / ∫ II s0( ) [sinϕ - rh (1-cos ϕ) [1 - rh (1-cosϕ) ]dϕ + + M EI 0 0 0 5+ , Pr ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −b dz h zb sI I 0 2 0 )( = 0. (o) Với khung có momen quán tính không đổi I(s) = I0 = const,biểu thức tính M0 tính từ công thức cuối sẽ là: M0 = P.r. [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ +−+− 4 2 23 14 1)12/(2)1(5,0 23 ππ π nnn nn , với n = b r . (p) Biểu thức tính lực ngang H: H = [ ] ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ +−+−− 4 2 23 14 1)12/(2)1(5,05,0 23 ππ π nnn nn h rP hoặc: H = P. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ +− 4 2 23 14 1)1 2 (2 23 ππ π nnn n (q) 24 5. Nguyên lý năng lượng tối thiểu Định luật Castigliano còn được hiểu theo nghĩa rộng là một phần của nguyên lý năng lượng tối thiểu2 khi áp dụng cho hệ siêu tĩnh. Từ chuyên ngành gọi đây là theorem of least work. Trong hệ thống này, nếu ký hiệu phản lực các gối đỡ bằng X, Y, Z,..., trong thành phần hàm năng lượng của hệ có mặt cả X,Y,Z. Với các gối cố định, chuyển vị gối bằng 0 dưới tác động của lực, do vậy khi đạo hàm hàm năng lượng theo X, Y, Z, ... kết quả này phải bằng 0. ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ U X U Y U Z = = =... = 0 (1.65) Biểu thức này trình bày điều kiện cần để hàm U trở thành minimum, hay còn gọi nguyên lý năng lượng tối thiểu, ra đời từ 1858. Biểu thức cho phép chúng ta xác định phản lực của hệ siêu tĩnh trên cơ sở nguyên lý năng lượng tối thiểu bằng cách đưa đạo hàm của hàm năng lượng, theo phản lực trên hệ siêu tĩnh về 0. Ví dụ 1: Xác định phản lực tại các gối của dầm dài l, bên trái ngàm cứng, bên phải tựa tự do trên gối. Tải trong tác động lên dầm q0(x) = const. Nếu coi momen tại gối trái Ma, còn lực tác động theo hướng ngược chiều của q0(x) tại gối phải X2 là lực tổng quát cần tìm, phương trình momen uốn dầm được viết: Trường hợp đưa X2 vào tính toán: M = X2.x – q0 x2/2 (a) Hàm năng lượng U = ∫l EIdxM0 2 2 (b) Thay thế hàm M vào tích phân, sau khi lấy đạo hàm theo X2, sẽ nhận được: dx dX dMM EIdX dU l∫= 0 22 1 = ∫lEI 0 1 (X2.x – q0 x2/2)xdx = 0; (c) Từ đó X2 = 3 8 q0 l. (d) Khi sử dụng Ma vào tính toán, phương trình momen uốn dầm sẽ có dạng: M = ( l Mlq a− 2 0 )x - 2 2 0xq (e) Thay M vào phương trình của U và lấy đạo hàm U theo X = Ma: 2 Nguyên lý năng lượng tối thiểu do F.Menabrea công bố 1858, được Castigliano chứng minh đầy đủ 1884 và áp dụng cho hệ siêu tĩnh. Người có công áp dụng phương pháp thế năng vào kỹ thuật là O. Mohr, như đã nêu trong các ví dụ. Ngày nay người ta còn gọi đây là định lý về tính tương hợp Engesser. 25 adM dU = dx dM dMM EI l a ∫ 0 1 = 0 2 1 0 2 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∫ dxxxqxlMqlEI l a ; (f) Sau khi thay thế giá trị Ma sẽ là: Ma = 2 8 1 ql (g) Ví dụ 2: Từ ví dụ 1 bố trí thêm gối đỡ thứ hai cách gối đỡ thứ nhất tại x = 0 đoạn x = a1. Xác định các phản lực R1 tại gối x = 0, R2 gối x = a1, RR và MR tại ngàm x = l. Hệ thống bất định dầm có bốn phản lực. Để tìm bốn giá trị phản lực, hiện có thể xác lập hai phương trình độc lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng tối thiểu. Hai trong số bốn ẩn có thể coi là lực không tĩnh định. Có thể chọn R1, phản lực gối tại x = 0 và R2 tại x = a1 làm lực không tĩnh định. Theo nguyên lý vừa nêu, có thể viết: ;0;0 21 =∂ ∂=∂ ∂ R U R U (a) Phương trình cân bằng lực và momen trình bày dạng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =−−+ =−++ 0 2 0 2 021 021 lpMlRRa lpRRR RR R (b) Công U viết theo hàm của R1 và R2 sẽ là: ∫= l dxEJMU 0 2 2 (c) trong đó ⎩⎨ ⎧ −−+ −= )2/()( )2/( 2 0121 2 01 xpaxRxR xpxR M 1 1 ax ax ≥ ≤ Từ nguyên lý năng lượng tối thiểu: ∫∫ =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂ ll dx R M EJ M R Udx R M EJ M R U 0 220 11 ;0;0 (d) có thể viết: ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ =−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ 0 82463236 0 82633 44 1 3 1 0 3 1 2 2 1 33 1 1 4 0 2 1 3 1 3 2 3 1 lalapalRlalaR lplaalRlR (e) Từ hệ hai phương trình (e) xác định R1 và R2 theo p0, thay chúng vào (b) xác định tiếp RR và MR. 26 Thí dụ sử dụng nguyên lý năng lượng tối thiểu còn được trình bày tại phần xác định momen uốn và lực cắt của vòm che lối đi trong hầm trục tàu thủy, tại ví dụ trên. 6. Lý thuyết hoán đảo Maxwell-Betti Lý thuyết về chuyển vị tương hỗ hay chuyển vị hoán đảo ra đời từ sớm nhờ công của E. Betti (1872). Một trong những trường hợp riêng, có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực cơ học được J. C. Maxwell diễn giải trong cùng thời gian3. Thuyết này còn có tên gọi thuyết công và chuyển vị tương hỗ. Tiếng Anh có thuật ngữ chỉ thuyết này: reciprocal theorem. Chúng ta cùng bắt đầu bằng việc xét chuyển vị ngang dầm một nhịp đã nhiều lần nhắc đến trong cơ học kết cấu và sức bền vật liệu, hình 11. Từ chương một bạn đọc còn nhớ công thức tính độ võng tại điểm D, cách gối trái đoạn d, của dầm dài l, tựa trên hai gốiA và B, chịu tác động lực tập trung P đặt tại C. Từ hình vẽ có thể thấy, điểm C cách B đoạn b, hình 11a. Nếu ký hiệu độ võng w, có thể v