Giáo trình Bảo toàn năng lượng - Chương 1: Các phương pháp năng lượng - Nội suy

ong đó a, b các hệ số. Tích vô hướng của các hàm f1 và f2 có thể biểu diễn dưới dạng: ≡ f x f x dx x x 1 2 1 2 ( ) ( )∫ Trong tài liệu này tích vô hướng mang những đặc tính sau: • = ; • a = ; • = + ; • = 0 nếu f1 = 0; > 0 nếu fi ≠ 0. 64 Các hàm f1, f2,.... được coi là tuyến tính, không phụ thuộc, nếu tồn tại phương trình: a1f1 + a2 f2 + a3 f3 +... + an fn = 0 và tất cả hệ số ai, i=1,2,...,n bằng 0. Hàm u được xác lập, nếu thỏa mãn điều kiện: u a fi i i N 0 1 − = ∑ ε, Hệ thống các hàm fi mang tính trực giao khi thoả mãn điều kiện: = 0 hoặc viết lại dưới dạng nếu i≠j, ∫ =b a ji dxxfxf 0)()( và = 1 hoặc dưới dạng ∫ =b a ii dxxfxf 1)()( Ví dụ:các hàm cosx, sinx, cos2x, sin2x,..., cosnx, sinnx trực giao trong đoạn [-π, +π]: )(;0cos.sinsin.sincos.cos kllxdxkxlxdxkxlxdxkx ≠=== ∫∫∫ + − + − + − π π π π π π )(;sin.sincos.cos kllxdxkxlxdxkx === ∫∫ + − + − π π π π π Hàm u có thể viết dưới dạng chuỗi với N thành phần, như đã nêu. Phương trình xấp xỉ với chuỗi N thành phần được ký hiệu như sau: u aN i i i N ( ) = = ∑ 1 f . (15) Với hệ thống fi được chọn đúng, chúng ta có thể viết được phương trình gần đúng thỏa mãn điều kiện: u N( ) → 0u f khi N→ ∞. (16) 5.3. Hàm xấp xỉ Hàm xấp xỉ được xây dựng trên cơ sở hàm u(N) được nêu ở trên , trong không gian C. Điều quan tâm đầu tiên khi chọn các hàm thử f u aN i i i N ( ) = = ∑ 1 i, i =1,2,... (hay còn gọi hàm cơ sở) là đảm bảo cho hàm này tiệm cận với hàm chính xác u0 trong miền tính toán khi tăng thành phần của chuỗi, có nghĩa u(N) → u0 khi N → ∞. Hàm xấp xỉ và hàm chính xác cùng được biểu diễn trên hình tiếp theo, trong đó hàm chính xác thể hiện trên đường cong với nét liền, hàm xấp xỉ dạng không liên tục. 65 Áp dụng cách làm trên khi xử lý những bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn chúng ta tiến hành như sau. Để nhanh chóng hình dung diễn tiến câu chuyện, chúng ta bắt đầu từ trường hợp đơn giản, trong không gian 2D. Để tìm hàm xấp xỉ với hàm u(x) cho trước trong đoạn λ = [ 0, L] tiến hành chia λ làm E đoạn, tọa độ các điểm nút, tính từ trái qua phải được đánh số e = 0, 1, 2,..., E. Mỗi đoạn giới hạn trong e ≤ x ≤ e+1 gọi là một phần tử. Bản thân các vị trí mang ký hiệu e, e = 0, 1, 2,... gọi là nút. Theo cách đánh số cổ điển này, mỗi phần tử giản đơn thứ e gồm hai nút e và e + 1. Một trong những cách làm là có thể viết hàm xấp xỉ dạng đường gẫy khúc, trong mỗi đoạn của đường gẫy khúc này, hàm cơ sở fe được lập nhằm thỏa mãn fe = 1, ngoài phạm vi trên fe = 0. Hàm xấp xỉ có dạng: u u fe e e E = = ∑ 1 trong [0, L]. (14) trong đó ue -giá trị cục bộ, const trong phạm vi phần tử. Hàm trên đây được minh họa trên hình 5 Hình 5 Trong phạm vi phần tử, hàm u(x) được biểu diễn bằng công thức nêu ở trên . song vì rằng hàm fu aN i i i N ( ) = = ∑ 1 f e được định nghĩa bằng 1 trong phạm vi này bởi vậy u ≈ ue. Cách làm thứ hai được tiến hành theo cách sau. Hàm xấp xỉ vẫn là hàm gẫy khúc song tuyến tính trong phạm vi phần tử. Các nút giờ đây đóng vai trò điểm gẫy khúc của đồ thị miêu tả hàm như trên hình 6, áp dụng cho phần tử tuyến tính BAR. 66 Hình 6 5.4. Hàm nội suy Các nguyên tắc lập hàm xấp xỉ trên đây được sử dụng để xác lập các hàm nội suy dùng trong phần tử. Hàm nội suy thường được viết dưới dạng đa thức, bậc cao bất kỳ. Để làm quen với hàm nội suy, bước đầu chúng ta xét hàm bậc 1, qua 2 điểm cho trước trong hệ tọa độ chung. Giả sử hàm thực có giá trị tại x1 là u(x1) = u1, và tại x = x2 là u(x2) = u2, chiều dài giữa hai điểm là x2 - x1 = l. Hàm xấp xỉ bậc 1 (đường nét khuất), đi qua hai điểm A và B, hình 7, được tìm theo biểu thức: Hình 7 u(x) = a + bx, trong đó a, b các hệ số phải tìm. Sau khi thay {δ} = [ a b ] : x x 1 2 ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ u1 = a + b x1 u2 = a + b x2 xác định a, b: a = 12 1221 xx xuxu − − và b = 12 12 xx uu − − từ đó: u(x) = 12 1221 xx xuxu − − + 12 12 xx uu − − .x (a) Nếu viết biểu thức u(x) dưới dạng:{u} = [N] {δ} trong đó 67 [N] = [N1 N2], {δ} = , sẽ nhận được biểu thức hàm [N]: uu 1 2 ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ N1(x) = x x l 2 − N2(x) = x x l − 1 , với l = x2 - x1. (b) Tính chất của hàm nội suy Li được hiểu theo cách đã trình bày trên. u(x) = [ L1 L2 ] = L u u 1 2 ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ i=∑1 2 i.u1,L1 = N1(x) còn L2 = N2(x). Tại x = x1:L1 = 1; tại x = x2:L2 = 0; Tại x = x2:L2 = 1; tại x = x1:L1 = 0; Hàm nội suy bậc cao Hàm bậc 2. Lấy ví dụ phần tử BAR, dài l trên đây để tiếp tục xác lập hàm nội suy bậc cao hơn 1. Hàm bậc 2 có thể viết dưới dạng: u(x) = a + bx + cx2. (a) Ngoài 2 điểm nằm tại 2 đầu mút của phần tử như đã chọn, điểm thứ 3 có thể chọn ngay điểm nằm giữa đoạn thẳng. Đơn giản vấn đề hơn nữa, viết hàm xấp xỉ trong hệ tọa độ gắn liền với phần tử, và như vậy, hàm xấp xỉ phải đi qua 3 điểm sau: u(x= 0 ) = u1 u(x= l/2 ) = u2 u(x= l ) = u3 Các hệ số suy ra từ quan hệ cuối này: a = u1; b = (4u2 - 3u1 - u3) / l; c = 2(u1 - 2u2 + u3) /l2 Nếu viết u(x) = [N]{ δ} với [N] = [N1 N2 N3], sẽ được: N1(x) = ( 1 - 2 x l ) ( 1- x l ) N2 (x) = 4 x l ( 1 - x l ) N3 = - x l ( 1 -2 x l ) (b) 68 Hàm nội suy Lagrange Hàm Lagrange, được định nghĩa như sau: Lk(x) = )( )( ;0 ik i n kii xx xx − − ≠= I (15) Có thể thấy rằng Lk(x) là đa thức bậc n, cấu tạo từ tích của n hàm thành viên. Hàm thành viên là hàm tuyến tính. Xét các thành phần tại tử số và mẫu số, nếu x = xk, tử số và mẫu số sẽ như nhau, hàm Lagrange mang giá trị đơn vị ( = 1) cho trường hợp này. Trong những trường hợp khác, nếu x = xi, và x ≠ xk, tử số trở về 0 và do vậy Lk(x) cũng bằng 0. Tính chất này cho phép biểu diễn hàm bất kỳ u(x) trong đoạn bất kỳ của x, dưới dạng hàm xấp xỉ. Ví dụ, nếu biết trước 4 giá trị y0, y1, y2, y3 của một sự kiện nào đó, ghi tại vị trí x0, x1, x2, x3, chúng ta có thể sử dụng hàm Lagrange để tìm hàm xấp xỉ miêu tả sự kiện dưới dạng: u(x) = u i= ∑ 0 3 iLi(x) (a) trong đó ui - giá trị u tại x = xi, i= 0,1,2,3 Hình ảnh minh hoạ của hàm nội suy, xấp xỉ hoá (đường bằng nét khuất ) so với hàm thực (đường bằng nét liền) được trình bày tại hình đầu, còn các hình tiếp giới thiệu hàm Lagrange L0, L1, L2, L4. Hình 8 Ví dụ 1: Áp dụng công thức Lagrange xác định hàm hình dáng cho phần tử BAR, tuyến tính. Hàm Lagrange tuyến tính, dùng cho phần tử 2 nút, vị trí x1 = 0, x2 = l có dạng: L1 = ( )x x x x − − 2 2 1 = l x l − = 1 - x l (b) 69 L1(x= 0) = 1; L1 (x= l) = 0; Hàm hình dáng N1 (x) = L1(x) = 1- x/l; L2 = ( ( ) x x x x − − 1 2 1 ) = x l ( c) Hàm hình dáng N2(x) = L2(x) = x/l. Hàm hình dáng vừa xác định trùng lặp hoàn toàn với [N] từ ví dụ trên. Hàm u(x) sẽ là: u(x) = L i= ∑ 1 2 i.u1 = (1 - x l )u1 + (x/l).u2 (d) Hàm Hermite Hàm Hermite Hki(N), một biến số x, khi dùng cho bài toán 1 chiều, có đặc tính rất quí, có thể lấy đạo hàm đến bậc N. Trong hàm trên chỉ số i chỉ vị trí của xi, và k biến thiên từ 0 đến N, giúp vào việc miêu tả đặc tính của hàm. Đặc tính của hàm là: d dx m m Hki (N) (xp) = δip δkm với i,p=1,2,... k,m=0,1,2,...,N (16) trong đó xp - giá trị của x tại điểm nằm ở vị trí p ,còn δij là hàm Kronecker, định nghĩa như sau: δij = 0 nếu i≠j, δij = 1 nếu i=j . (17) Ví dụ sử dụng có thể thấy từ hàm xấp xỉ, qua 2 điểm ( i=2) như sau: u(x) = H k N i == ∑∑ 01 2 ki (N) (x) ui(k) = = [ H i= ∑ 1 2 0i (N) (x) ui(0) + H1i(N) (x) ui(1) + H2i(N) (x) ui(2) +....... + + HNi(N) (x) ui(N) ] (18) Đạo hàm bậc m của u(xp) tiến hành theo công thức vừa nêu: d dx m m u(xp) = k N i == ∑∑ 01 2 d dx m m Hki (N) (xp) ui(k) d dx m m u(xp) = δ k N i == ∑∑ 01 2 ip δkm ui(k) = up(m) từ đó có thể thấy: 70 u(x) = H k N i == ∑∑ 01 2 ki (N) (x) d dx k k (xi) (19) Ví dụ 1: Áp dụng hàm Hermite bậc 0, qua 2 điểm, thành lập hàm hình dáng cho phần tử BAR tuyến tính. Toạ độ 2 điểm mút phần tử x1 = 0 và x2 = l. Hàm H1 được tìm để thỏa mãn: H1( x1) = 1; còn H1( x2 ) =0; Nếu đặt H1(x) = a + bx, hệ số a, b sẽ là: a =1 ; b = - 1 l . N1 = H1(x) = 1 - 1 l x Hàm H2(x) phải thỏa mãn: = 0 tại x1 ; còn = 1 tại x2. Các hệ số a,b sẽ là: a= x l còn b =0; N2 = H2 (x) = x l Hàm Hermite H1 và H2 trong ví dụ này trùng với hàm Lagrange L1 và L2 nêu trên. Ví dụ 2: Áp dụng hàm Hermite bậc 1, qua 2 điểm, thành lập hàm hình dáng cho phần tử tuyến tính. Toạ độ 2 điểm mút phần tử x1 = 0 và x2 = l. Thay N =1 vào phương trình xác định hàm Hermite dưới đây u(x) = H k N i == ∑∑ 01 2 ki (N) (x) d dx k k (xi) Điều kiện cho các đa thức trong hàm H, ví dụ cho H(x) = H01(1): H(x1) = 1 ; H(x2) =0; d dx H(x1) = d dx H(x2) = 0; Chọn hàm H(x) dạng đa thức bậc 3: H(x) = a + bx + cx2 + dx3 Sau khi thỏa mãn điều kiện nêu trên, các hệ số trở thành: a = 1 ; b =0; c = - 32l ; d = 23l H01(1) (x) = 1 3l (2x3 -3l x2 + l3) Tương tự cách làm như vậy: Hàm H02(1) (x) = - 1 3l (2x3 -3lx2) H11(1) (x) = 1 2l (x3 -2lx2 +l2x) 71 H12(1) (x) = 1 l (x3 -lx2) (20) Hàm nội suy có dạng: Hình 9 u(x) = H01 (x).u(0) + H02(x). u(l) + H11(x) ddx u(0) + H12(x). d dx u(l) So sánh với công thức chuyển vị quen thuộc dùng cho phần tử dầm chịu uốn trong các chương trước, viết dưới dạng u(x) = [N] {δ}, trong đó [N] = {N1 N2 N3 N4] còn {δ} = . Có thể thấy rõ: N u u o u l u l ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) 0⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ 1 = H01 ; N2 = H02 ; N3 = H11 ; N4 = H12. Ví dụ 3: Áp dụng hàm Hermite bậc 1 viết biểu thức hàm hình dáng cho phương trình chuyển vị, trong bài toán uốn tấm mỏng. Yêu cầu của phương trình chuyển vị là phải liên tục đến bậc 1+1 =2. Biểu thức phương trình chuyển vị: u(x,y) = [ H ji == ∑∑ 1 2 1 2 01(x).H02(y). u12(x,y) + H11(x).H02(y). ∂ ∂x u12(x,y) + H01(x).H12(y). ∂ ∂y u12(x,y) + H11(x).H12(y). ∂ ∂ ∂ 2 x y u12(x,y) ] Nếu biểu diễn chuyển vị nút {δ} = dùng cho phần tử tam giác, miêu tả chuyển vị tại các nút 1,2,3, trong đó chuyển vị tại mỗi nút bao gồm 4 thành phần, ví dụ cho nút 1: δ δ δ 1 2 3 ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ {δ1} = u u u u x y xy 11 11 11 ' ' ' ' , , ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ Theo cách biểu diễn quen thuộc hàm u(x,y) có dạng: u(x,y) = [N] {δ}, có thể suy ra: N1(x,y) = H01(x).H01(y). N2(x,y) = H11(x).H01(y). N3(x,y) = H01(x).H11(y). N4(x,y) = H11(x).H11(y). ................................... N16(x,y) = H11(x).H12(y). (21) 72 Hệ tọa độ cong Trong nhiều trường hợp, có thể biểu diễn hàm hình dáng của phương trình chuyển vị trong hệ tọa độ tương đối, gắn liền với cấu hình phần tử, ví dụ trong phần tử được chuẩn hoá về chiều dài [-1 1]. Quan hệ giữa hệ tọa độ chung và hệ tọa độ cong, hoặc còn gọi hệ tọa độ tham chiếu, hệ chuẩn hóa, được biểu diễn như sau, thể hiện trong phần tử dầm giản đơn, 2 nút tại x1, x2: x = x1L1 + x2 L2 (a) hoặc là: 1 x ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ = (a’) 1 1 1 2 1 2x x L L ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ Các hàm L1 và L2 xác định từ quan hệ: L L 1 2 ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ = 1 1 12 1 2 1( )x x x x− − − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 x ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭ (b) So sánh với u(x) = [N]{δ} = N1u1 + N2u2,chúng ta suy ra quan hệ giữa [N] và [L] như sau: N1 = L1 ; và N2 = L2. Cách làm trên dược áp dụng cho phần tử BAR, chiều dài l = x1 - x2. Trong hệ tọa độ tương đối chuẩn hóa [-1 1], vị trí x1 => ξ = -1; còn x2 => ξ = +1. Tọa độ x = x1L1 + x2 L2 được hiểu là: x = 1 2 (1-ξ).x1 + 12 (1+ξ).x2 = hi=∑1 2 ixi ( c ) h1 = 1 2 (1-ξ). h2= 12 (1+ξ). (d) Tương tự công thức biểu diễn x, chuyển vị trong hệ tọa độ chung được miêu tả bằng đúng các tham số đã dùng để miêu tả tọa độ chung: u(x) = h i= ∑ 1 2 iui (e) Cách làm như vừa nêu là cơ sở để lập đặc trưng phần tử “đẳng tham số”. Thông thường biên các phần tử nhóm này là đường thẳng, mặt phẳng trong hệ tọa độ tương đối sẽ trở thành đường cong, mặt cong trong hệ tọa độ chung. Phép chuyển từ đường thẳng sang đường cong thông qua phép biến hình quen thuộc trong bộ môn hình học. Với ví dụ phần tử BAR, các đặc trưng cơ học được tính như sau: biến dạng: ε = dx d dr du ξ× 73 trong đó: 2 12 uu d du −=ξ ; còn 1:( dξ/dx) = ξd dx = 22 12 lxx =− và ε = l uu 12 − Ma trận chuyển B = 1 l [ -1 1]. Nếu chúng ta ký hiệu J là toán tử Jacoby, miêu tả quan hệ giữa chiều dài phần tử trong hệ tọa độ chung với chiều dài phần tử trong hệ tương đối, chuẩn hoá: dx = J. dξ (f) Ma trận cứng phần tử tính theo đặc trưng hình học ghi trong hệ toạ độ tương đối sẽ có dạng: [k] = ∫+− 11lAE −⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥11 [ -1 1] J dξ = lAE 1 11 1−−⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ (g) Thủ tục xác định đặc trưng phần tử “đẳng tham số” bắt đầu từ việc sử dụng hệ thống tọa độ tương đối của phần tử để xác định tọa độ và chuyển vị dưới dạng hàm nội suy. Cách làm cụ thể cho phần tử trong 3D có dạng: x = h i N = ∑ 1 ixi ; y = h i N = ∑ 1 iyi ; z = h i N = ∑ 1 i zi (h) Trong đó hi được viết trong hệ tọa độ tương đối, các biến của nó gồm ξ, η, ζ biến thiên từ -1 đến +1. Ẩn hi chính là hàm nội suy, có thể xác định khi thỏa mãn tất cả điều kiện đặt ra cho nó. Xác định hi có thể tìm hiểu qua ví dụ cụ thể cho phần tử BAR có 3 nút: nút 1 tại đầu bên trái, nút 2 tại 0,3l, kể từ bên trái, còn nút 3 tại đầu bên phải. Tương ứng 3 nút trên, tọa độ của ξ sẽ là ξ= -1 tại x = 0, ξ = 0 tại x = 0,3l, và ξ = +1 tại x = l. Với phần tử 3 nút, đa thức trong hàm nội suy sẽ là hàm ít nhất bậc 2, có nghĩa là hàm chứa cả ξ2. Hàm h1 phải thỏa mãn điều kiện: tại ξ = -1 hàm h1 = 1; tại hai nút còn lại h1 = 0. Và như vậy hàm h1 = (1/2).(1-ξ) - (1/2).(1 - ξ2). Tương tự cách làm trên có thể xác định h2 = (1 - ξ2) và h3 = (1/2).(1+ξ) - (1/2).(1-ξ2). Phương trình chuyển vị: u = h i N = ∑ 1 i ui ; v = h i N = ∑ 1 ivi ; w = h i N = ∑ 1 i wi (i ) Trong tất cả công thức vừa nêu x, y, z, và ξ, η, ζ được hiểu như sau: 74 x = f1(ξ, η, ζ ); y = f2(ξ, η, ζ ); z = f3(ξ, η, ζ ); (j) r = f4( x, y, z); s = f5( x, y, z); t = f6( x, y, z); Toán tử đạo hàm được viết theo biểu thức: x∂ ∂ = xxx ∂ ∂ς ∂ς ∂ ∂ ∂η ∂η ∂ ∂ ∂ξ ∂ξ ∂ ++ (k) Cách làm này áp dụng cho việc xác định hai toán tử tiếp theo ∂∂y và ∂ ∂z . Ngược lại đạo hàm riêng theo ξ, η, ζ được tính theo biểu thức chung: ∂ /∂ξ = J* ∂/∂x (l) hay dưới dạng đầy đủ của toán tử: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y x yx yx zyx ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ς ∂ ∂ς ∂ ∂ς ∂ ∂η ∂ ∂η ∂ ∂η ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ς ∂ ∂η ∂ ∂ξ ∂ (m) Công thức tính [k] trong trường hợp này có dạng: [k] = B Ve∫ TD B dV (n) với dV = det J. dξdηdζ (o) Nếu hàm u(ξ, η, ζ ) được biểu diễn dưới dạng: u(ξ, η, ζ ) = [N]{δ}, các biểu thức tính vector lực có dạng: PB = N Ve∫ T.pb.dV PI = B Ve∫ TσI dV Ps = N S∫ T pS dS trong đó dV và dS đều được tính với sự tham gia của det J, tương tự cách tính trên. Toán tử đạo hàm riêng ∂ /∂x có thể tính ∂ /∂x = J-1. ∂/∂r Ví dụ 1: Phần tử dầm chịu kéo nén TRUSS ba nút, nút 1 tại ξ = -1, nút 2 tại ξ = 0, nút 3 tại ξ = +1. Phần tử dài L, nằm trùng trục hệ tọa độ Ox. Xác lập các hàm N, B, J. ξ=-1 ξ=0 ξ=+1 75 1 3 2 x, u Hình 10 Hàm nội suy của phần tử trình bày tại hình có dạng: N = ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−− )1()1( 2 1 2 2ξξξξξ Ma trận biến dạng-chuyển vị B bằng đạo hàm của N theo ξ, nhân với ma trận nghịch đảo từ J. B = J-1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++− ξξξ 2 2 1 2 1 Nếu viết đủ x thể hiện bằng quan hệ sau. ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−++++−−= 211212 1211 LxLxrxrx ξξξ từ đó ξ 221 LLxx ++= Sử dụng quan hệ này khi tính có thể nhận được biểu thức cho J. J = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 L Và J-1 = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ L 2 ; det J = 2 L Ví dụ 2: Lập toán tử J cho phần tử tấm chữ nhật cạnh nằm ngang, theo trục Ox 6cm, cạnh đứng 4cm, hình a, và tấm hình bình hành cạnh nằm ngang 6cm, chiều cao 1cm, cạnh đứng nghiêng với trục Ox góc 60° hình 13b. Phần tử tại hình a Từ các quan hệ x = 3ξ; y = 2η có thể viết: J = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 20 03 Phần tử tại hình b 2 1 2 y 1 y x x 3 4 76 3 4 Hình 11. a b Các biểu thức viết cho x và y sau đây: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ } ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ })(11)(11)(11)(11 ;)1(11)1(11)1(11)1(11 4 3 4 3 4 1 4 5 4 1 4 1 ηξηξηξηξ ηξηξηξξξ +−++−++−+++= +−+−+−+−+−+++= −y x Và J = ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + + ξ η 30 14 4 1 Ví dụ 3: Xây dựng ma trận N, B cho phần tử tam giác, với các nút bố trí như sau: ( 0, 0); (4, 0); (1, 3). Trường hợp này chúng ta có: x = 4ξ + η; y = 3η; Toán tử J có dạng J = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 30 04 ξ∂ ∂⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=∂ ∂ 41 03 12 1 x Và N = ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −− η η ξ ξ ηξ ηξ 0 0 0 0 10 01 B = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − 04 40 00 31 10 03 33 30 03 12 1 5.5 Thứ tự thực hiện các phép tính khi xác lập ma trận cứng và vector lực Hàm chuyển vị u(x,y,z) trong phần tử được biểu diễn dưới dạng vector với sự giúp đỡ hàm nội suy, sẽ được miêu tả trong phần hàm nội suy, phần tiếp của tài liệu. u = Pα (a) trong công thức này các thành phần của P là đa thức phụ thuộc x,y,z còn a là vector tọa độ tổng quát. Sử dụng hàm trên đây xác định chuyển vị các nút của phần tử {δ}: δ = Cα (b) 77 Ma trận [C] thành lập trên cơ sở khuôn mẫu [P], chỉ áp dụng tại vị trí các nút. α = C-1.δ (c) u = P.C-1.δ = Nδ (d) với N = PC-1 (e) Biến dạng phần tử viết lại dưới dạng : ε = B.δ (f) trong đó matrận [B] là ma trận miêu tả quan hệ biến dạng-chuyển vị, thường ở dạng toán tử đạo hàm riêng theo x,y,z. Ứùng suất trong phần tử thể hiện bằng [D]{ε} được viết lại: σ = D ε (g) Matrận đàn hồi [D] được trình bày tiếp dưới đây, tùy thuộc kiểu phần tử. Trong các biểu thức sau đây E - mođun đàn hồi của vật liệu, I - momen quán tính mặt cắt ngang dầm, ν - hệ số Poisson, t - chiều dầy tấm. Phần tử BAR E Phần tử BEAM EJ Trạng thái ứng suất phẳng ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− 2/)1(00 01 01 1 2 ν ν ν ν E Trạng thái biến dạng phẳng ( )( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −− − −+ − )1(2 2100 01 1 0 1 1 211 )1( ν νν ν ν ν νν νE Vật thể 3D 78 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −− −− −− −+ − ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν ν 12 21 12 21 12 21 1 11 1 1 1 11 1 211 )1(E Phần tử tấm uốn ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− 2/100 01 01 )1(12 2 3 ν ν ν ν Et 5.6. Những phần tử thông dụng dùng trong cơ học kết cấu Những phần tử dùng trong cơ học kết cấu dựng trên cơ sở các nguyên lý năng lượng kết hợp các phương pháp xây dựng hàm nội suy trong mỗi phần tử đảm bảo độ chính xác nhất định cho các lời giải. Căn cứ các hàm toán xây nên hàm nội suy, như trình bày tại phần đầu chương này có thể chia các phần tử đang dùng thành các nhóm: Phần tử 1 chiều (1D) từ hai đến nhiều nút, hình 12a. Trong thực tế sử dụng chúng ta có thể dùng phần tử tuyến tính hoặc phần tử cong. Phần tử phẳng (2D) thường dạng hình tam giác hoặc tứ giác, cạnh thẳng hoặc cong. Nút phần tử dạng này nắm tại đỉnh và cả tại các cạnh, xem hình 12b. Nhóm phần tử 3D có thể chia làm ba phân nhóm, phần tử hình thù giống kim tự tháp gồm bốn mặt, 4 nút hoặc nhiều hơn 4 nút thuộc phân nhóm đầu tiên, từ kỹ thuật các nước đang dùng đều mang âm hưởng tiếng La tinh tétrahédrique chỉ phần tử này. Phân nhóm thứ hai trong cụm này là khối 6 mặt (hexahédrique) có từ 6 nút trở lên. Trong tài liệu này chúng ta chỉ làm quen với phần tử có số nút đến 20. Phân nhóm thứ ba đề cập phần tử có mặt cắt ngang không đổi, gọi là khối lăng trụ, hình 12c. Cách xác định hàm đại số thỏa mãn các yêu cầu của bài toán trải qua các bước, như đã đề cập: u = Pα Trong đó P là đa thức phụ thuộc x, y, z còn α là vector tọa độ tổng quát. Ví dụ P có thể bậc cao [P] = [ 1 x y xy y2 xy2 y3 xy3 ] 79 2 núta) b) c) d) 3 nút 4 nút 3 nút 6 nút 9 nút 4 nút 8 nút 12 nút 4 nút 10 nút 8 nút 20 nút Hình 12 Sử dụng hàm trên đây xác định chuyển vị các nút của phần tử {δ}: δ = Cα Ma trận [C] thành lập trên cơ sở khuôn mẫu [P], chỉ áp dụng tại vị trí các nút α = C-1.δ u = P.C-1.δ = Nδ với N = PC-1 Trong hệ tọa độ cong hay chuẩn hoá có thể biểu diễn hàm hình dáng của phương trình chuyển vị trong hệ tọa độ tương đối, gắn liền với phần tử, ví dụ trong phần tử được chuẩn hoá về chiều dài [-1 1]. Hệ tọa độ Oξηζ dùng tính toán còn được gọi bằng tên hệ tọa độ tham chiếu, phần tử chuẩn xây dựng trong hệ này gọi tên tươpng tự phần tử tham chiếu (éléments de référence). Những công thức chuyển đổi hệ tọa độ như đã đề cập tại phần mở đầu chương: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =−= =−= b dyd b yy a dxd a xx C C ηη ξξ ngược lại: 80 { } ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ),,( ),,( ),,( ζηξ ζηξ ζηξ z y x z y x x { } [ ]{ }ξξ dDdx = trong đó [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ςηξ ςηξ ςηξ ξ ,,, ,,, ,,, zzz yyy xxx D Ví dụ 1: Xây dựng hàm hình dáng phần tử 1D, hai nút. z 2 y 1 x Hình 13 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ n n n z y x N z y x ][ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + − = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 2 1 2 1 2 1 ξ ξ N N và ds = ( ) 2/122122122121 zyx ++ Họ hàm dùng cho phần tử chuẩn hình chữ nhật, cạnh từ 11 +=→−= ξξ và từ 11 +=→−= ηη giới thiệu tại hình 12a. y y C η ξ a a b b η=1 η=-1 ξ= -1 ξ= 1 Hình 12a 81 Hàm hình dáng phần tử 4 nút biểu diễn qua các thông số: ( )( 11 4 1 ++ ηξ ) bằng đơn vị tại góc phải bên trên, ξ = η = 1, còn bằng 0 tại những nút khác. Nếu sử dụng ký hiệu ξ0 = ξξi ; η0 = ηηi chúng ta có thể viết các hàm hình dáng trong khuôn khổ một biểu thức. ( )( 00 114 1 ηξ ++=iN ) Công thức giành cho các phần tử bậc hai, bậc ba có thể viết theo cách tương tự. Phần tử bậc hai. ( )( )( 111 4 1 0000 −+++= ηξηξiN ) các nút trên hai cạnh. ( )( )02 11210 ηξξ +−== ii N ( )( )02 11210 ξηη +−== ii N Phần tử bậc ba. ( )( ) ( )[ ]2200 91011321 ηξηξ ++−++=iN các nút trên hai cạnh. ( )( )02 11210 ηξξ +−== ii N tại các nút trên hai cạnh. ( )( )( )020 91113291;1 ηηξηξ ++−=±=±= iii N Hình 14 giới thiệu những phần tử 2D, hình vuông, phía trên và hình tam giác, dưới, trong hệ tọa độ tham chiếu. 82 Hình 14. Các phần tử 2D trong hệ tọa độ ξηζ Hình 15 trình bày kết cấu thực tế các đập nước nhà máy thủy điện. Mô hình hóa kết cấu đập đòi độ chính xác nhất định. Phân tử 3 chiều dùng thích hợp cho trường hợp này nên là phần tử cạnh cong, sát thực tế.