Giáo trình CAD - Thiết kế ô tô (Phần 1)

1 122 1 ii ii iii iii ttt ttt tttt tttt Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng cách giữa các điểm nút: )( 1 iii tt −=∇ + (3.16a) )(... 1 ikikii k i tt −+∇++∇=∇ +−+ (3.16b) Sử dụng toán tử vi phân ∇ , hàm Cox-deBoor với n = 2 có giá trị: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈ ∈ ∇− ∇− == ++ + ++ khác t các ],[ ],[ ,0 ,/)( ,/)( )( 21 1 12 2 ii ii ii ii i ttt ttt tt tt tL Với n = 3, ta có: )()()()()( 2 12 32 2 3 tLtttLtttL i i i i i i i + + ∇ −+∇ −= ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ∇∇− ∇∇∇−∇−∇∇− ∇∇− = +++ +++ 0 ),/()( ),/()()/()( ),/()( 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 322 22 iii iiiiiiii iii tt tttt tt ],[ ],[ ],[ 32 21 1 ++ ++ + ∈ ∈ ∈ ii ii ii ttt ttt ttt (3.17) C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2. Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên hình 3.4. Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]: )()(][ tLtL n i n ki ≡ với nkttt kiki ,...,2,1:],[ 1 =∈ +−+ (3.18) Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên ],[ 1+∈ ii ttt được trình bày lại như sau: )()( 33 ]1[ tLtL ii ≡ với )/()(],[ 221 iiikiki ttttt ∇∇−=∈ +−+ Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau: u = (t - ti)/(ti+1 - ti) = (t - ti)/∇i (3.19) Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị khác không trên miền ],[ 1+∈ ii ttt , bao gồm )(3 ]3[2 tLi− , )(3 ]2[1 tLi− , )(3 ]1[ tLi− . )./()()( 2 1 2 1 3 ]3[2 iiiii tttL ∇∇−= −+− )/()/2()/( 2 1 22 1 2 1 −−− ∇∇+∇∇−+∇∇= iiiiii uu (3.20a) )(20 uN≡ với 10 ≤≤ u t t t t )(1 tLi )(2 tLi )(3 tLi )(4 tLi ti ti+1 ti+2 ti+3 ti+4 Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-spline không đều C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH )/()()./()()( 1 223 11 2 1 2 1 3 ]2[1 −−−−−− ∇∇∇−∇−∇∇−= iiiiiiiii tttttL ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∇ ∇−∇ ∇ ∇ ∇+∇∇+∇∇= − −− −−− 2 3 1 2 11 22 1 2 11 )/()/( i i i i i i iiii uu (3.20b) )(21 uN≡ với 10 ≤≤ u )./()()( 223 ]1[ iiii tttL ∇∇−=− )./()( 22 iiiu ∇∇∇= (3.20c) )(22 uN≡ với 10 ≤≤ u 2. Đường cong B-spline không đều. Với chuỗi điểm 3D cho trước {Pj} và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) )(3 tLj (3.17) trên miền tham số ],[ 1+∈ ii ttt , ta thiết lập hàm vectơ: ∑ −= + ∈= i ij iijj ttttLPtr 2 1 3 ],[:)()( (3.21) Như đã minh hoạ trên hình 3.5, hàm kết nối (3.21) có giá trị khác 0 chỉ khi j=i- 2, i-1, i. Ta đặt: V0 = Pi-2; V1 = Pi-1; V2 = Pi từ (3.17) và (3.20) hàm vectơ (3.21) được biểu diễn bởi: ∑ −= = i ij jj tLPtr 2 3 )()( với ],[ 1+∈ ii ttt )()()( 33 11 3 22 tLPtLPtLP iiiiii ++= −−−− với ],[ 1+∈ ii ttt (3.22) )()()( 3 ]1[2 3 ]2[11 3 ]3[20 tLVtLVtLV iii ++= −− )()()( 222 2 11 2 00 uNVuNVuNV ++= )(urRUNq ≡= với ]1,0[∈u trong đó: [ ]21 uuU = ; [ ]TVVVR 210= ti-2 ti+1ti-1 ti ti+2 3 1+iL ti+3 3 ]2[1−iL 3 ]1[iL 3 ]3−iL 3 ]3[2−iL Hình 3.5 - Hàm cơ sở B-spline bậc 2 khác 0 trên miền [ti, ti+1][2] t C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∇ ∇ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∇ ∇−∇ ∇ ∇ ∇∇∇ ∇∇∇∇− ∇∇∇∇ = − −− − −− −−− 22 3 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 )/( 0)/2()/2( 0)/()/( i i i i i i i i ii iiii iiii qN : )( 1 iii tt −=∇ + ; ,...12 +∇+∇=∇ iii và đường cong (3.22) được gọi là đường cong NUBRS bậc 2. Khảo sát giá trị của hàm kết nối B-spline không đều bậc 2, ta có thể rút ra kết luận: đường cong NURBS bậc 2 được hỗ trợ bởi 6 điểm nút ti-2 đến ti+3, ngay cả khi miền tham số xác định là [ti, ti+1] (Hình 3.5). Tuy nhiên các điểm biên ti-2 và ti+3 không cần thiết bởi vì dữ liệu này không được sử dụng để xác định đường cong. Do đó đường cong NURBS bậc 2 hoàn toàn được xác định bởi 3 giá trị bước nút 11 ,, +− ∇∇∇ iii và 3 đỉnh điều khiển V0, V1, V2. Tương tự ta có đường cong NURBS bậc 3 có dạng như sau: ∑ −= = i ij jj tLPtr 3 4 )()( với ],[ 1+∈ ii ttt (3.23) r(u)R ≡= cUN với ]1,0[∈u 3. Trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS. Qua khảo sát ta thấy rằng đường cong NURBS bậc 3 (3.23) có dạng tương tự như đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13), nhưng ma trận hệ số Nc không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các điểm nút. Do vậy với cùng tập hợp đỉnh điều khiển, ta có thể đạt được hình dáng đường cong khác nhau bằng cách thay đổi khởng cách giữa các điểm nút. Khi tất cả điểm nút {ti} được xác định trên miền số nguyên liên tục và khoảng cách giữa chúng đều nhau, nếu đặt ∇i = 1, với mọi i và từ đó 22 =∇ i ,..., ma trận hệ số Nc của đường cong NURBS (3.23) trở thành ma trận N của đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13). Như vậy đường cong B-spline đều bậc 3 (3.13) là trường hợp đặc biệt của đường cong NURBS khi khoảng cách giữa các điểm nút đều nhau. Tương tự, đường cong NURBS có thể trở thành đường cong Bezier nếu đặt các giá trị: ti-2 = ti-1 = ti = 0; ti+1 = ti+2 = ti+3 = 1 Từ đó ta có khoảng cách giữa các điểm nút tương ứng có giá trị như sau: ∇i = 1; ∇j = 0, với mọi ij ≠ Điều này làm cho ma trận hệ số B-spline không đều bậc 3 Nc (3.23) biến đổi thành ma trận hệ số M của đường cong Bezier bậc 3 (3.8). Ma trận hệ số B-spline không đều bậc 2 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 12 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Vậy cả 2 đường cong B-spline đều và Bezier chỉ là trường hợp đặc biệt của dường cong NURBS. 3.1.5. ĐƯỜNG CONG HỮU TỶ. Hàm hữu tỷ được định nghĩa như là tỷ số của 2 hàm đa thức. Đường cong hữu tỷ có độ linh hoạt về hình dáng cao hơn so với các dạng đường cong đa thức chuẩn tắc khác. Đường cong hữu tỷ sẽ có dạng đa thức chuẩn tắc nếu như được biểu diễn theo hệ toạ độ đồng nhất. Ta sẽ khảo sát dạng hữu tỷ của mô hình đường cong Bezier. 1. Toạ độ đồng nhất. Ta đã biết phương trình tham số của đường tròn đơn vị như sau: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = ((1-u2)/(1+u2), 2u/(1+u2), 0/(1+u2)) Vì mỗi tyhành phần của vectơ 3D trên có cùng mẫu số, nên ta có thể chuyển chúng thành vectơ đồng nhất 4 thành phần R(u) với 3 thành phần đầu tiên ứng với tử số và thành phần thứ 4 ứng với mẫu số chung: R(u) = ((1-u2), 2u, 0, (1+u2)) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) Vectơ R(u) được gọi là vectơ đồng nhất và thành phần của chúng trở thành toạ độ đồng nhất của điểm 3D (r(u)). Ta có thể chuyển đổi (X, Y, Z, h) thành (X/h, Y/h, Z/h, 1) tức là thành (x, y, z, 1). Sự chuyển đổi này gọi là sự chuẩn hoá. Ý nghĩa hình học của sự chuẩn hoá là vectơ 4D được chiếu lên mặt phẳng h = 1 trong không gian 4 chiều. Như vậy vectơ đồng nhất (x, y, z, 1) và (hx. hy, hz, h) biểu diễn cùng một điểm 3D (x, y, z) nếu 0≠h . Theo mô hình hữu tỷ mõi dỉnh điều khiển Vi(xi, yi, zi) được định nghĩa như đỉnh điều khiển đồng nhất: Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi ) trọng số wi làm tăng tính linh hoạt về hình dáng. Biểu diễn toạ độ Đề các dưới dạng đồng nhất được sử dụng rộng rãi trong các phép biến đổi tạo độ ứng dụng trong đồ hoạ cũng như Robot học. 2. Đường cong hữu tỷ bậc 2. Nếu vectơ đỉnh điều khiển Bezier chuẩn tắc được thay thế bởi vectơ đồng nhất tưong ứng ta sẽ đạt được đường cong Bezier hữu tỷ. Đường cong Bezier bậc 2 có dạng: ∑ = == 2 0 2 )())(),(),(()( i ii VuBuzuyuxur , với 10 ≤≤ u (3.10b) đặt : )1,,,( iii h i zyxV = , với i = 0, 1, 2. Ta chuyển đổi đường cong Bezier bậc 2 này thành dạng hữu tỷ. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 13 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Sử dụng Hi để biểu diển đỉnh điều khiển đồng nhất của Vi, sao cho: ),,,( iiiiiii h iii wzwywxwVwH == ; 0≠iw (3.25) Toạ độ Đề các của đỉnh điều khiển đồng nhất Hi trên biểu thức (3.25) tương đương với đỉnh điều khiển Vi, không phụ thuộc vào trọng số wi. Do vậy đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được biểu diễn dưới dạng: ∑ = == 2 0 2 )())(),(),(),(()( i ii HuBuhuZuYuXuR (3.26) Ta sẽ khảo sát hình dánh đường cong đồng nhất này. Điều kiện biên của đường cong hữu tỷ được xác định bằng cách tính biểu thức (3.26) và đạo hàm của chúng tại u = 0 và u = 1. Đặt rh(u) là phương trình đồng nhất chuẩn tắc như sau: rh(u) = R(u)/h(u) = (x(u), y(u), z(u), 1) (3.27) Lấy đạo hàm phương trình trên theo u ta có: )(/)())(/())()(()( 2 uhuRuhuhuRur h &&& −−= (3.28) Cụ thể đối với đường cong Bezier bậc 2 ta có: 0 1 01 ).(2)0( w wVVr hhh −=& ; 2 1 12 ).(2)1( w wVVr hhh −=& Kết quả trên chứng tỏ rằng tiếp tuyến của đường cong Bezier đồng nhất (3.26) và đường cong Bezier chuẩn tắc (3.24) tại các điểm biên có cùng phương với nhau nhưng độ lớn của chúng thay đổi theo tỷ lệ w1/w0 và w1/w2 (Hình 3.6). Phương trình Bezier đồng nhất (3.26) được biểu diễn dưới dạng thành phần đồng nhất như sau: ))(),(),(),(()( uhuZuYuXuR = ( )∑ ∑∑∑ = === 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 22 )(,)(,)(,)( i i ii i iii i iiiiii wuBzwuBywuBxwuB t1=2(V2-V1) t0=2(V1-V0) V0 V2 V1 r(u) a. t1=2(w1/w2)((V2-V1) V0 V2 V1 r(u) b. t0=2(w1/w0)(V1-V0) Hình 3.6 - Tính chất của đường cong Bezier hữu tỷ - Đường cong Bezier chuẩn tắc. - Đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 14 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Và phương trình Bezier được biểu diễn ngắn gọn hơn dưới dạng hữu tỷ: ))(),(),(()( uzuyuxur = 2 21 2 0 2 2 2110 2 0 )1(2)1( )1(2)1( uwuuwuw VuwVuuwVuw +−+− +−+−= (3.30) ( ) ( )∑∑ == 2 0 2 2 0 2 )(/)( i ii i iii wuBVwuB trong đó: Vi = (xi, yi, zi) : đỉnh điều khiển Bezier, wi : trọng số. Như vậy ta đã chỉ ra rằng có thể biểu diễn đường cong Bezier hữu tỷ hoặc dưới dạng đồng nhất (3.26) hoặc dưới dạng hữu tỷ (3.30) và đường cong Bezier hữu tỷ bậc 2 được chuyển đổi thành đường cong chuẩn tắc khi wi = 1 với mọi i. Mô hình đường cong hữu tỷ bậc 2 được sử dụng rất phổ biến trong phép tham số hoá đường cong mặt cắt cônic. 3. Đường cong hữu tỷ bậc 3. Ta có thể dễ dàng xác định mô hình hữu tỷ cho đường cong Bezier và B-spline bậc cao hơn. Đường cong Bezier bậc 3 hữu tỷ có dạng đồng nhất tương tự như đường cong Bezier chuẩn tắc (3.7): R(u) = (X(u), Y(u), Z(u), h(u)) = U M H (3.31) trong đó: [ ]321 uuuU = ; Hi = (wixi, wiyi, wizi, wi) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −= 1331 0363 0033 0001 M ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 0 H H H H H Vi(xi,yi,zi) : đỉnh điều khiển, wi : trọng số. Dạng dồng nhất trên tương đương với dạng hữu tỷ sau: ( ) ( )∑∑ == = 3 0 3 3 0 3 )(/)()( i ii i iii wuBVwuBur Mô hình đường cong hữu tỷ có bậc tự do cao hơn dùng để định nghĩa hình dáng. Sử dụng các giá trị trọng số khác nhau có thể điều khiển hình dáng đường cong hữu tỷ trong miền giới hạn bởi đa tuyến đặc tính. Nhưng quá nhiều bậc tự do thường không phải là tốt, thực tế rất ít khi sử dụng bậc cao hơn 2. 3.2. ĐƯỜNG CONG PHỨC HỢP Trong các bài toán dựng hình, phần lớn dữ liệu cho trước ở dạng dữ liệu điểm. Dữ liệu điểm có thể là dữ liệu thực nghiệm từ các phép đo bằng dụng cụ thông thường hay bằng máy quét toạ độ. Vấn đề cần giải quyết trong các bài toán này là thiết lập đường cong tham số trơn láng r(t) từ chuỗi điểm {Pi: i = 0,...,n}. Với cấu hình dữ liệu điểm này, ta thường sử dụng mô hình đường cong phức hợp từ các đoạn cong liên kết theo chuỗi. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 15 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Về mặt lý thuyết, để dựng đường cong phức hợp có thể sử dụng mô hình đường cong bất kỳ như chương trước đã đề cập. Tuy nhiên mô hình đường cong Ferguson và B-spline được sử dụng phổ biến nhất do các đặc điểm: • Dễ sử dụng, • Có hiệu suất tính toán cao, • Có tính liên tục về toán học, • Đạt được độ trơn láng thẫm mỹ và độ đồng đều của đường cong. Về cơ bản, giải quyết vấn đề dựng đường cong phức hợp là giải hệ phương trình tuyến tính. Bằng cách đặt điều kiện liên tục bậc 2 tại mỗi điểm Pi, chúng ta thiết lập được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số là hệ số của phương trình đường cong. Do vậy, để dựng đường cong phức hợp cần thiết phải có các điều kiện liên tục thích hợp và giải được hệ phương trình tuyến tính. Ở đây ta sẽ khảo sát phương pháp dựng hình theo các dạng mô hình sau: a. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm cách đều: - Đường cong bậc 3, - Đường cong B-spline đều. b. Mô hình cấu hình dữ liệu điểm không cách đều: - Đường cong cát tuyến, - Đường cong B-spline không đều. c. Mô hình đường cong 2D: - Theo cấu trúc cung đôi, - Theo đường mặt cắt conic. 3.2.1. DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM CÁCH ĐỀU. 1. Điều kiện liên tục tham số. Xét 2 đoạn đường cong ra(u) và rb(u) (Hình 3.7) trên miền tham số ]1,0[∈u . Để 2 đoạn đường cong kết nối với nhau, chúng phải thoả điều kiện liên tục vị trí: ra(1) = P1 = rb(0) (3.32a) Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc nhất (C1) nếu đạo hàm bậc nhất của 2 đoạn đường cong tại điểm kết nối có giá trị như nhau: )0()1( 1 ba rtr && == (3.32b) Đường cong phức hợp được gọi là liên tục bậc 2 nếu: )0()1( ba rr &&&& = (3.32c) Các điều kiện (3.32) được gọi chung là điều kiện liên tục tham số C2. Giả thiết đường cong phức hợp đi qua 3 điểm cho trước P0, P1, P2 với tiếp tuyến đầu cuối t0, t2 (Hình 3.7). Nếu vectơ tiếp tuyến t1 tại điểm kết nối cũng được cho trước ta có thể mô tả mỗi đoạn đường cong như đường Ferguson. Vì vậy ta sẽ xác định t1 sao cho 2 đoạn đường cong thoả điều kiện liên tục tham số C2 tại điểm kết nối P1, tức là cần xác định t1 từ dữ liệu cho trước (P0, P1, P2, t0, t2) và điều kiện liên tục tham số C2. P0 t0 P2 P1 t1 rb(u) ra(u) Hình 3.7 - Điều kiện liên tục tham số tại điểm kết nối t2 . .. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 16 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 2. Dựng đường cong phức hợp bậc 3. Đầu tiên ta sẽ xác định tiếp tuyến chung t1 của 2 đoạn đường cong ra(u) và rb(u) sao cho thoả điều kiện liên tục tham số C2 (3.32). Phương trình Ferguson cho 2 đoạn đường cong được biểu diễn như sau: ra(u) = U C Sa ; rb(u) = U C Sb (3.33) trong đó: [ ]321 uuuU = ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−= 1122 1233 0100 0001 C [ ]Ta ttPPS 1010= ; [ ]Tb ttPPS 2121= Ta có: [ ] 10101a 42666200S)1( ttPPCSCUr aua ++−=== =&&&& (3.34a) [ ] 21210b 24660200S)0( ttPPCSCUr bub −−+−=== =&&&& (3.34b) Kết hợp với điều kiện C2, ta có: t1 =(3P2-3P0-t0-t2)/4 (3.35) Xét trường hợp tổng quát, dựng đường cong liên tục C2 đi qua chuỗi (n+1) điểm {Pi} (hình 3.8). Giả thiết tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được cho trước. Đặt vectơ tiếp tuyến tại điểm kết nối Pi là ti, khi đó mỗi cặp đường cong kế cận ri-1(u) và ri(u) thoả phương trình tuyến tính (3.36): )(34 1111 −++− −=++ iiiii PPttt i=1,...,n-1 (3.36) Ta có thể biểu diễn hệ phương trình trên dưới dạng ma trận: A X = B trong đó: A là ma trận hệ số cấp (n+1)x(n+1); X là vectơ ẩn của phương trình. Sau khi sắp xếp các phương trình (3.36), ta có: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − − n nn nn n n n t PP PP PP PP t t t t t t t )(3 )(3 . . )(3 )(3 . . 1100 1110 0111 ........ ........ 1110 0111 0011 2 31 13 02 0 1 2 2 1 0 (3.37) t0 tn P0 P1 P2 Pn-2 Pn-1 Pn Hình 3.8 - Chuỗi điểm cần nội suy C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 17 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Với vectơ tiếp tuyến ti, đường cong Ferguson ri(u) trên miền [Pi, Pi+1] được xác định bởi: ri(u) = U C Si , với i = 0, 1,...,n-1 (3.38) trong đó: Si = [Pi, Pi+1, ti, ti+1]T U và C được định nghĩa theo (4.2). Trong thực tế, hầu hết các trường hợp tiếp tuyến đầu cuối t0, tn không được cho trước. Do vậy ta có thể xác định tiếp tuyến đầu cuối theo một trong các điều kiện sau: a. Điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn. b. Điều kiện biên đa thức. c. Điều kiện biên tự do. Điều kiện biên tiếp tuyến vòng tròn. Có thể nhận thấy rằng vectơ chưa biết r = Q-P0 được xác định bởi: )c}/(2)()(a{ 222 acbcbr ×+×= (3.40) Điều kiện biên đa thức. Tiếp tuyến đầu cuối t0, tn được xác định bằng cách dựng đường cong đa thức chuẩn tắc qua các điểm biên ( 3 hoặc 4 điểm). Tiếp tuyến )0(0 rt &= . Điều kiện biên tự do. Giả thiết rằng độ cong tại các điểm P0, Pn bằng 0. Điều kiện này tương ứng với trạng thái khi đường cong phức hợp không bị ảnh hưởng bởi điều kiện ngoại vi nào tại các điểm biên: 0)0( =r&& ; 0)1(1 =−nr&& Theo điều kiện biên tự do, biểu thức (4.3a) và (4.3b) được biến đổi thành: )(32 0110 PPtt −=+ ; )(32 11 −− −=+ nnnn PPtt Hai phương trình tuyến tính này bổ sung vào hệ phương trình (3.37) để tạo thành hệ (n+1) phương trình tuyến tính với (n+1) ẩn số: t0,...,tn: Q t0 P0 P2 P1 r a b Hình 3.9 - Tiếp tuyến đường tròn Dựng đường tròn qua 3 điểm đầu. Đặt : Q là tâm đường tròn cần dựng, r là bán kính: r = Q-P0, a=P1-P0, b=P2-P0, c = a x b. Phương của tiếp tuyến t0 sẽ vuông góc với đoạn thẳng r = Q-P0 và vectơ c = a x b , ta có: crcrat ××= /)(0 (3.39) C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 18 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − )(3 )(3 )(3 . . )(3 )(3 )(3 . . 2100 1410 0141 ........ ........ 1410 0141 0012 1 2 31 13 02 01 1 2 2 1 0 nn nn nn n n n PP PP PP PP PP PP t t t t t t (3.41) Kết luận: Đối với phương pháp dựng hình này, không phụ thuộc vào điều kiện biên, đường cong phức hợp bậc 3 bao gồm các đoạn đường cong Ferguson và có thể chuyển đổi dễ dàng thành đường cong Bezier bậc 3. 3. Dựng đường cong phức hợp B-spline đều. Xét phương pháp dựng đường cong phức hợp trơn láng đi qua chuỗi điểm {Pi : i=0,...,n} sử dụng mô hình đường cong B-spline đều (3.13). Đường cong kết quả bao gồm nhiều đoạn đường cong B-spline đều bậc 3 kết nối theo điều kiện liên tục C2. Ví dụ nếu gán thêm điểm điều khiển bV3 cho đoạn đường cong B-spline đều trên Hình 3.3, chúng ta sẽ có đoạn đường cong mới (Hình 3.10). Phương trình của 2 đường cong có dạng: ra(u) = U N Ra ; rb(u) = U N Rb (3.42) trong đó: U = [1 u u2 u3] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −= 1331 0363 0303 0141 6 1N ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = a a a a a V V V V R 3 2 1 0 ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = b b b b b V V V V R 3 2 1 0 ba VV 01 = ba VV 12 = ba VV 23 = aV0 M1 M0 P0 r a(u) bV3 t0 Hình 3.10 - Dựng đường cong B-spline đều phức hợp rb(u) C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 19 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Ta thấy rằng các đỉnh điều khiển của 2 đường cong trùng nhau: ab VV 10 ≡ ; ab VV 21 ≡ ; ab VV 32 ≡ Bằng cách xây dựng đường cong theo biểu thức (4.11), dễ dàng thấy rằng: 6/)4()0(6/)4()1( 210321 bbbbaaaa VVVrVVVr ++=≡++= (3.43) và các đạo hàm của chúng sự bằng nhau. Theo điều kiện liên tục C2, ta có: )1()0( ab rr = ; )1()0( ab rr && = ; )1()0( ab rr &&&& = (3.44) Như vậy vấn đề dựng đường cong B-spline đều phức hợp từ chuỗi (n+1) điểm {Pi : i=0,1,...,n} tương đương với việc xác định (n+3) đỉnh điều khiển {Vi : i=0,1,...,n+2}. Từ điều kiện liên tục vị trí (4.12) ta có: Vi+4Vi+1+Vi+2 = 6Pi , với i = 0,1,...,n (3.45) • Khi tiếp tuyến đầu cuối được cho trước ta có thêm 2 phương trình: )1(22 )0(22 1 2 0 002 − + ≡=− ≡=− n nnn rtVV rtVV & & (3.46) Giải hệ phương trình (4.14) và (4.15) để xác định các đỉnh điều khiển Vi. Hệ phương trình tuyến tính theo điều kiện biên được biểu diễn dưới dạng ma trận: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + n n n n n n t P P P P t V V V V V V 2 6 6 . . 6 6 2 . . 1010 1410 0141 ........ ........ 1410 0141 0101 1 1 0 0 2 1 2 1 0 (3.47) • Nếu tiếp tuyến đầu cuối không được cho trước ta có thể xác định theo điều kiện biên tiếp tuyến đường tròn hoặc điều kiện biên đa thức. Theo điều kiện biên tự do để đơn giản ta có thể cho độ cong tại 2 điểm biên của đường cong phức hợp bằng 0, nên ta nhận được hệ phương trình tuyến tính với (n+3) ẩn số: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 20 GVC NGUYỄN THẾ TRANH ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + 0 6 6 . . 6 6 0 . . 1100 1410 0141 ........ ........ 1410 0141 0011 1 1 0 2 1 2 1 0 n n n n n P P P P V V V V V V (3.48) Khi đỉnh điều khiển Vi đã được xác định, đường cong B-spline đều bậc 3 qua điểm {Pi,Pi+1} được biểu diễn bởi: ri(u) = U N Ri , với i = 0,1,...,n-1 (3.49) trong đó: [ ]Tiiiii VVVVR 321 +++= Như vậy đường cong phức hợp bao gồm n đoạn đường cong xác định bởi (n+3) đỉnh điều khiển {Vi : i = 0,1,...,n+2}. Trong cả 2 phép dựng hình chúng ta đều sử dụng điều kiện liên tục tham số C2, tức là tại điểm kết nối Pi ta sử dụng chung một vectơ tiếp tuyến ti cho cả 2 đoạn đường cong: )0()1( 1 1 ii rtr && ==− Do vậy ta có thể suy ra rằng: đường cong phức hợp có thể là phẳng hoặc lồi khi khoảng cách vật lý giữa các điểm dữ liệu không bằng nhau. Như thế nếu khoảng cách vật lý không bằng nhau chúng ta phải sử dụng phương pháp khác. 3.2.2. DỰNG ĐƯỜNG CONG TỪ CHUỖI ĐIỂM KHÔNG CÁCH ĐỀU. Khảo sát theo 2 dạng mô hình: - Đường cong cát tuyến: dùng phương pháp dựng đường cong bậc 3 với hiệu chỉnh sao cho chiều dài cát tuyến được tính đến khi xác định vectơ tiếp tuyến ti. - Đường cong B-spline không đều: dùng phương pháp cho chiều dài cát tuyến như là khoảng cách giữa các điểm nút. Hai phương pháp này đều thích hợp trong việc dựng các đường cong phức hợp trơn láng đi qua chuỗi điểm phân bố không đều. 1. Điều kiện liên tục hình học. Hai đoạn đường cong kế cận ra(u) và rb(u) thoả điều kiện ra(1) = rb(0), được gọi là liên tục tiếp tuyến, nếu thoả: Trrrr bbaa == )0(/)0()1(/)1( &&&& (3.50a) trong đó: T là vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm kết nối. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 21 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Mối quan hệ trên được gọi là điều kiện hình học C1, hay được gọi tắt là điều kiện G1. Nếu đặt : 1)1( tr a =& ; α=)1(ar& β=)0(br& ; αβω /= thì (4.19a) trở thành: 1)1( tr a =& ; 1)0( tr b ω=& (3.50b) Cho r(u) là đường cong tham số chuẩn tắc. Đạo hàm của r(u) được tính như sau: TdusddudTsdurdr sTdudsdsdrdudrr )/()/(/ )//()/(/ &&&&& && +== ≡== TskNsTsdsdTs &&&&&& +=+= 22 )/( Thực hiện tích vectơ với 2 đạo hàm trên: kBrNTkskNsTsrr 332 )( &&&&&&& ≡×=×=× trong đó: B = T x N là vectơ pháp tuyến đôi của đường cong. Do đó có thể biểu diễn độ cong của đường cong tham số r(u) bởi: 3/)( rrrkB &&&&×= (3.51a) Đường cong ra(u) và rb(u) liên tục theo độ cong tại điểm ra(1) = rb(0), nếu thoả điều kiện: 33 )0( )0()0( )1( )1()1( b bb a aa r rr r rr & &&& & &&& ×=× (3.51b) Suy ra: ))1(()/()0( 2 ab rTrT &&&& ×=× αβ Nghiệm của phương trình vectơ là: )1()/()0( 2 ab rr &&&& ωβ= (3.52) Mối quan hệ giữa các đạo hàm bậc 2 này được gọi là điều kiện liên tục hình học C2 hay được gọi tắt là điều kiện G2. 2. Dựng đường cong cát tuyến. Cho ra(u) và rb(u) là 2 đợn đường cong Ferguson. Việc cần giải quyết là xác định vectơ tiếp tuyến t1 chưa biết tại điểm kết nối. Giả sử t1 là vectơ tiếp tuyến tại điểm cuối của đoạn cong ra(u): )1(1 art &= (3.53a) Điều kiện liên tục G2 yêu cầu vectơ tiếp tuyến tại điểm đầu của đoạn cong rb(u) thoả điều kiện: t0 t1 t2 P0 P2 P1 β α rb(u) ra(u) Hình 3.10-Đường cong cát tuyến Ví dụ ta dựng đường cong phức hợp trơn láng qua 3 điểm P0, P1, P2 với vectơ tiếp tuyến đầu cuối t0, t2 (Hình 3.10) theo mô hình Ferguson và điều kiện G2. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 22 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 1)0( tr b ω=& (3.53b) Theo phương pháp dựng đường cong cát tuyến, độ lớn của vectơ tiếp tuyến tại điểm kết nối được đặt bằng chiều dài cát tuyến: 01 PP −=α ; 12 PP −=β Do vậy tỷ số độ lớn của các vectơ trở thành tỷ số chiều dài cát tuyến. Điều kiện G2 được viết lại như sau: )1()0( 2 ab rr &&&& ω= (3.54) trong đó: 0112 / PPPP −−=ω Viết lại phương trình Ferguson cho đường cong ra(u) và rb(u) : ra(u) = U C Sa (3.55a) rb(u) = U C Sb (3.55b) trong đó: [ ]321 uuuU = ; ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−−= 1122 1233 0100 0001 C [ ]Ta ttPPS 1010= ; [ ]Tb ttPPS 1021 ω= Sau khi tính đạo hàm bậc 2 của các biểu thức (3.55) ta có thể xác định được t1 theo điều kiện G2: )4266()2466( 1010 2 2121 ttPPttPP ++−=−−+− ωω (3.56) Xét trường hợp tổng quát: dựng đường cong đi qua (n+1) điểm thoả điều kiện G2. Cho trước: Chuỗi điểm 3D : {Pi : i = 0,1,...,n} Vectơ tiếp tuyến biên : t0, tn Xác định: Hệ số tỷ lệ cát tuyến: }1,...,2,1:1/1i{ −=−−−+= niiPiPiPiPω với ω0 = 1. Ti