Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 1: Tấm mỏng

trung hòa của tấm, còn mặt 0xy song song với mặt phẳng của tấm. Những giả thiết dùng cho tấm mỏng gọi là giả thiết Kirchhoff1 áp dụng cho tấm mỏng2: 1 Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) 2 xem S.Timoshenko and Woinowsky-Krieger,”Theory of Plates and Shells”,McGrawHill,N.Y.,1959. 5 1. Độ võng của tấm bị uốn w theo hướng trục 0z phân bố đều theo chiều dầy tấm và là đại lượng nhỏ. 2. Chuyển vị u,v trong mặt x0y hết sức nhỏ nếu so với w. 3. Pháp tuyến mặt trung hòa tấm trước khi tấm bị biến dạng vẫn giữ nguyên tư thế vuông góc với mặt trung hòa sau biến dạng. Chiều dài các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa, đi qua tấm, không thay đổi kích thước kể cả sau khi chịu tải trọng. Từ lý thuyết đàn hồi, chúng ta nhận được quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị bài toán phẳng dạng sau, được dùng cho tấm: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂+∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂= xy u y x u xy y x v v γ ε ε (1) Các giả thiết Kirchhoff nêu trên cho phép diễn đạt phương trình chuyển vị trong tấm u, v theo chuyển vị w và góc xoay y w x w yx ∂ ∂−=∂ ∂−= θθ ; mặt trung hòa theo cách sau: w z u= z x x z y A A A t θ zθ Hình 1.2 ⎭⎬ ⎫ ×= ×= y x z zu θ θ v (2) Thay biểu thức tính u, v từ (2) vào (1) chúng ta nhận được các biểu thức tính biến dạng trong tấm. Từ giả thiết đảm bảo độ vuông góc của pháp tuyến sau biến dạng, các biểu thức γxz = γyz = 0, còn biến dạng εz = 0 và như vậy biến dạng tấm trong mặt phẳng 0xy sẽ là: 6 ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂×= ∂ ∂×= ∂ ∂×= xy z y z x z yx xy y y x x θθγ θε θε (3) Nếu ký hiệu xyyx yx xy y y x x ∂ ∂=∂ ∂−=∂ ∂=∂ ∂= θθκθκθκ ;; , phương trình (3) trở thành: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ×= ×= ×= xyxy yy xx z z z κγ κε κε 2 (3a) Thay thế w y w x yx ∂ ∂−=∂ ∂−= θθ ; vào (3) có thể thấy: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂∂ ∂×−= ∂ ∂×−= ∂ ∂×−= yx wz y wz x wz xy y x 2 2 2 2 2 2γ ε ε (4) Quan hệ biến dạng – ứng suất thể hiện tại định luật Hooke, trường hợp đang xem xét có dạng: ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x E τ σ σ υ υ υ γ ε ε 1200 01 01 1 (5) Từ đó có thể tính vec tơ ứng suất trong trạng thái ứng suất phẳng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − xy y x xy y x E γ ε ε υ υ υτ σ σ υ 2 1 2 00 01 01 1 (6) Trong nghiên cứu tấm mỏng, thay vì xem xét ứng suất σx, σy, τxy người ta thường dùng đại lượng hợp lực (stress resultants) tính bằng giá trị lực trên đơn vị chiều dài, dạng thường gặp sau: 7 ∫∫∫ −−− === 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ ;;; t t xyxy t t yy t t xx dzNdzNdzN τσσ Trường hợp trạng thái ứng suất phẳng quan hệ giữa hợp lực và biến dạng tương tự phương trình trong định luật Hooke: và ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − xy y x xy y x Et N N N γ ε ε υ υ υ υ 2 1 2 00 01 01 1 (7) hoặc tính ngược lại: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x N N N Et )1(200 01 01 1 υ υ υ γ ε ε (8) Ứng suất và hợp lực trong phần tử tấm diễn tả tại hình tiếp theo. t/ 2 t/ 2 Momen và lựcσ σ τ τ τ τ τ σ τ τ τ σ z y x xy xO q yq M M M M yx y x xyxy xy xy xy y yx yx xz xz x x y Hình 1.3 Momen uốn, momen xoắn và lực cắt liên quan ứng suất vừa trình bày được biết dưới dạng: Momen uốn, momen xoắn ∫ − ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 2 2 t t zdz M M M xy y x xy y x τ σ σ (9) và lực cắt dz q q t t yz xz y x ∫ − ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 2 2 τ τ (10) 8 Thay thế các biểu thức tính ứng suất từ (6) vào biểu thức (9) có thể thấy rằng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − xy y x xy y x Et M M M κ κ κ υ υ υ υ 2 1 2 3 00 01 01 )1(12 (11) Đại lượng )1(12 2 3 υ−= EtD trong công thức cuối có tên gọi độ cứng tấm. Trường hợp biểu diễn các hệ số κx, κy, κxy trong quan hệ với w: yx w yy w yx w x x xy y y x x ∂∂ ∂−=∂ ∂−=∂ ∂−=∂ ∂=∂ ∂−=∂ ∂= 2 2 2 2 2 2;; θκθκθκ quan hệ (11) được hiểu theo cách khác như sau: ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂− ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ −−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ yx w x w y w y w x w Et M M M xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 )1(12 υ υ υ υ (11a) Từ phương trình (11) có thể viết: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ xy y x xy y x M M M Et )1(200 01 01 12 3 υ υ υ κ κ κ (12) Thay thế các hệ số từ (12) vào phương trình (3a) và tiếp đó thay kết quả vừa nhận được vào (6) sẽ nhận được biểu thức tính ứng suất của tấm trong trạng thái ứng suất phẳng: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = 12/ 12/ 12/ 3 3 3 t zM t zM t zM xy xy y y x x τ σ σ (13) 9 Phân bố ứng suất theo chiều dày tấm có dạng trình bày tại hình 4. t/ 2 t/ 2 σ σ τ ττ τ yz yx y xy xz x x y z Hình 1.4 2. Điều kiện cân bằng Chúng ta cùng xem xét phương trình cân bằng của một phần tử tấm dx.dy dày t, chịu tác động áp lực theo phương pháp tuyến, hình 5. M dx x z M y dy p M q xy x y qx y Myx dx x MM xx ∂ ∂+ dx x M M xyxy ∂ ∂+ dx x qq xx ∂ ∂+ dy y M M yxyx ∂ ∂+ dy y M M yy ∂ ∂+ dy y q q yy ∂ ∂+ Hình 1.5 Điều kiện triệt tiêu các lực theo phương thẳng đứng: 0=+∂ ∂+∂ ∂ pdxdydxdy y q dxdy x q yx hay là 0=+∂ ∂+∂ ∂ p y q x q yx (14) 10 Tổng momen so với trục Ox triệt tiêu với điều kiện: 0=−∂ ∂+∂ ∂ dxdyqdxdy y M dxdy x M y yxy hay là 0=−∂ ∂+∂ ∂ y yxy q y M x M (15) Tổng momen so với trục Oy triệt tiêu với điều kiện: 0=−∂ ∂+∂ ∂ x xyx q x M y M (16) Trường hợp Mxy = Myx các phương trình cuối có thể viết lại dưới dạng sau: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =−∂ ∂+∂ ∂ =−∂ ∂+∂ ∂ =+∂ ∂+∂ ∂ 0 0 0 y xyy x yxx yx q x M y M q y M x M p y q x q (17) Thay thế hai công thức cuối từ hệ phương trình đang đề cập vào phương trình đầu, chúng ta nhận được phương trình cân bằng bậc cao hơn sau đây: 02 22 2 2 =+∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ p y M yx M x M yxyx (18) 3. Phương trình vi phân uốn tấm Thay thế các biểu thức từ (11a) vào vị trí Mx, My, Mxy của phương trình (18) chúng ta nhận được phương trình vi phân bậc 4 trình bày điều kiện cân bằng. D p y w yx w x w =∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ 4 4 22 4 4 4 2 (19) Công thức cuối này còn được viết theo cách sau đây: D pw =∇ 4 (19a) Trong đó , còn ( )22224 ∇=∇∇=∇ 22222 yx ∂∂+∂∂=∇ Với các tấm làm từ vật liệu trực hướng, quan hệ giữa ứng lực và biến dạng trong trạng thái ứng suất phẳng từ lý thuyết đàn hồi, có dạng: σx = ( yxE ενενν 22111 +− ) 11 σy = ( xyE ενενν 12121 +− ) τxy = Gγxy Trong đó E1 = Ex ; E2 = Ey; νyz = ν2 ; νxy = ν1. và E2ν1 = E1ν2. Momen: Mx = - D1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 2 2 22 2 y w x w ∂ ∂ν∂ ∂ My = - D2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + 2 2 12 2 y w x w ∂ ∂ν∂ ∂ Mxy = Myx = -2DT yx w ∂∂ ∂ 2 trong đó độ cứng chịu uốn: D1 = )1(12 21 3 1 νν− tE ; D2 = )1(12 21 3 2 νν− tE và độ cứng chịu xoắn DT = 12 3Gt Các đại lượng qx, qy được tính theo chuyển vị w. qx = - )( 2 2 32 2 1 y wD x wD x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + qy = - )( 2 2 32 2 2 x wD y wD y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + (2.20) trong đó: D3 = D1ν2 + 2DT = D2ν1 + 2DT (2.21) Trong tài liệu này chúng ta xem xét các tấm cứng, làm từ vật liệu đồng hướng hoặc trong một vài trường hợp, vật liệu trực hướng, với cách hiểu như sau. Tấm cứng với độ võng rất nhỏ, và do vậy ảnh hưởng của các lực Nx, Ny, Nxy đến độ võng có thể bỏ qua khi tính. Phương trình vi phân uốn tấm cứng làm từ vật liệu đẳng hướng có dạng như đã trình tại (19): D.∇2∇2 w = q(x,y) (2.22) Với tấm trực hướng: D1 ∂ ∂ 4 4 w x + 2D3 ∂ ∂ ∂ 4 2 2 w x y + D2 ∂ ∂ 4 4 w y = q(x,y) (2.23) 12 4. Điều kiện biên áp dụng cho các bài toán về tấm Mép tấm tựa trên các nẹp cứng. Chuyển vị các điểm trên mép, mo men uốn tại mép bằng 0. Ví dụ một cạnh của tấm nằm trên biên x = const, điều kiện biên được thể hiện trong các biểu thức sau: w = 0; M = - D( ∂∂ ν ∂ ∂ 2 2 2 2 w x w y + ) = 0; (1.33) Điều kiện trên có thể viết tương đương w = 0; và ∂∂ 2 2 w x = 0. (1.34) Điều kiện cân bằng công trên các biên, giả sử biên x=a được biểu diễn dưới dạng: 0 b ∫ (qxw - Mxy. ∂∂wy )dy = (q 0 b ∫ x + ∂ ∂Myxy )wdy - Mxy.w x ay b== + Mxy.w x ay == 0 Và như vậy, tại các biên phải có sự cân bằng nội lực với ngoại lực. 0 a ∫ [ry(x,0)+ry(x,b)]dx = [r 0 b ∫ x(0,y)+rx(a,y)]dy+ 2M i= ∑ 1 4 xy,i + q(x,y)dxdy = 0. A ∫∫ Các đại lượng đặc trưng cho phản lực rx, ry tính theo w: Tấm trực hướng rx = qx+ ∂ ∂ M y xy = - ∂∂x [ D1 ∂ ∂ 2 2 w x + (D3 + DT) ∂ ∂ 2 2 w y ] (1.35) ry = qy+ ∂ ∂ M x xy = - ∂∂x [ D2 ∂ ∂ 2 2 w y + (D3 + DT) ∂ ∂ 2 2 w x ] (1.36) Tấm đẳng hướng: rx = qx+ ∂ ∂ M y xy = -D ∂∂x [ ∂ ∂ 2 2 w x + (2-ν) ∂∂ 2 2 w y ] (1.37) ry = qy+ ∂ ∂ M x xy = -D ∂∂x [ ∂ ∂ 2 2 w y + (2-ν) ∂∂ 2 2 w x ] (1.38) Nếu mép bị ngàm tại x = const, điều kiện biên sẽ là: w = 0 ; ∂∂ w x = 0. (1.39) Mép tấm hoàn toàn tự do tại x = const: Mx = qx = Mxy = Myx = 0. (1.40) Mép tấm tựa trên nẹp đàn hồi, với độ cứng EI. 13 Hình 1.6 Điều kiện biên trên mép x = a có dạng: C. ∂∂ ∂ 3 2 w x y = - D( ∂∂ ν ∂ ∂ 2 2 2 2 w x w y + ); (1.41) EI. ∂∂ 4 4 w y = D ∂∂x [ ∂ ∂ 2 2 w x + (2-ν) ∂∂ 2 2 w y ] (1.42) Trong đó C - độ cứng chịu xoắn. Thông thường với các nẹp gia cường cấu tạo từ các tấm thành mỏng, chiều dầy các thành ti, i=1,2,... công thức tính C có dạng: C = 1 3 G i ∑ biti3 , với bi - chiều dài tấm. Cách xác định điều kiện biên đặc trưng cho các tấm trên tàu tìm trong các ví dụ sau. Điều kiện biên cho tấm bị ngàm tại mép x = 0, gối tự do tại x = a, mép tự do tại y = 0 còn mép y = b tựa lên nẹp đàn hồi có momen quán tính tiết diện I. Tại x = 0: w = 0 ; w,x = 0. (1.43) Tại x = a: w = 0; Mx = 0. (1.44) Tại y =0: My = 0; ry = 0; (1.45) Tại y = b: My = 0; ry = - EI. ∂ ∂ 4 4 w x . (1.46) Các điều kiện trên đây được thể hiện qua w dưới dạng sau: Tại x = 0: w = 0 ; w,x = 0. (1.47) Tại x = a: w = 0; ∂∂ 2 2 w x = 0. (1.48) Tại y = 0: ∂∂ 2 2 w y + ν1 ∂∂ 2 2 w x = 0; - ∂∂x [ D2 ∂ ∂ 2 2 w y + (D3 + DT) ∂ ∂ 2 2 w x ]= 0; (1.49) 14 Tại y = b: ∂∂ 2 2 w y + ν1 ∂∂ 2 2 w x = 0; EI. ∂∂ 4 4 w x = - ∂∂ y [ D2 ∂ ∂ 2 2 w y + (D3 + DT) ∂ ∂ 2 2 w x ]. (1.50) Lập điều kiện biên cho trường hợp mép chịu tác động momen My = - ∂ ∂ M x t , với Mt - momen xoắn tác động lên nẹp gia cường. Từ biểu thức tính momen Mt = C ∂ ∂ ∂ 2w x y có thể viết My = - C ∂ ∂ ∂ 3 2 w x y và: tại y = b: w = 0; My = - C ∂ ∂ ∂ 3 2 w x y (1.51) hoặc là: w = 0; D2 ∂ ∂ 2 2 w x = - C ∂∂ ∂ 3 2 w x y , với C = 1 3 G i ∑ biti3. (1.52) 5. Lý thuyết đàn hồi áp dụng trong các bài toán về tấm chữ nhật. Phương pháp chung để giải các bài toán tấm hình chữ nhật là tìm cách xác lập hàm Airy chuẩn xác và thực hiện xử lý phương trình: 02 4 4 22 4 4 4 =∂ Φ∂+∂∂ Φ∂+∂ Φ∂ yyxx (a) hoặc dưới dạng viết gọn ∇2∇2Φ(x,y) = 0, cùng các điều kiện biên trên đó. Như đã đề cập trong lý thuyết đàn hồi, các điều kiện biên có thể qui về dạng: nynx ynx xn yx yn yx xn y σσ =∂ Φ∂+∂∂ Φ∂−=∂∂ Φ∂−∂ Φ∂ ),cos(),cos(;),cos(),cos( 2 222 2 2 (b) ∫∫ +=∂Φ∂−=∂Φ∂ AB nAB n dsXLydsYKx ; (c) Xác định ứng suất theo công thức: yxxy xyyx ∂∂ Φ∂−=∂ Φ∂=∂ Φ∂= 2 2 2 2 2 ;; τσσ (d) Với trạng thái ứng suất phẳng: σz = 0; τzx = τyz = 0. Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất có dạng: εx = 1 12Ex x(σ ν σ− y ) ; (e) 15 εy = 1 21E y y(σ ν σ− x ) ; (f) εz = - ν σ ν σ13 23Ex Ex y y− ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ; (g) và: σx = Ex x1 12 21 21− +ν ν ε ν ε( y ) (i) σx = E y y1 12 21 12− +ν ν ε ν ε( x ) (j) τxy = Gxyγxy (k) Dưới dạng ma trận, các ma trận [C] và [D] dùng trong trạng thái ứng suất phẳng chứa các thành phần sẽ khác nhau, tùy thuộc tính chất vật liệu. [C] của vật liệu trực hướng: [C] = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − xy yx yxy y yx x G EE EE 100 01 01 ν ν với vật liệu đẳng hướng: [C] = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − )1(200 01 01 1 ν ν ν E [D] cho vật liệu trực hướng: [D] = yxxyνν−1 1 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − )1(00 0 0 yxxyxy yyxy xyxx G EE EE νν ν ν với vật liệu đẳng hướng: [D] = E 1 2−ν ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − 2 100 01 01 νν ν 16 Hàm thế năng đơn vị: W = [ ])(22 2 1 2222 yxxyyxE σστντσσ −+++ (l) Ứng suất chính trong trạng thái ứng suất phẳng tính theo công thức: σ1,2 = ( ) 22 4 2 1 2 xyyx yx τσσσσ ++±+ ; (m) Điều kiện biên của tấm nên trình bày dưới dạng phân bố ứng suất hoặc phân bố biến dạng. Một vài phương pháp xác định hàm Φ(x,y) được giới thiệu làm tài liệu tham khảo sau đây. Hàm đa thức. Có thể chọn đa thức bậc cao, thỏa mãn phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc 4 và các điều kiện biên, làm hàm ứng suất. Φ(x,y) = a0 + a1x + a2y + a3x2 + a4xy + a5y2 + a6x3 + a7x2 y + a8xy2 + a9y3 + a10xy3 + a11x3 y (a) Ứng suất tại điểm trong tấm tính theo công thức (d) nêu trên: σx = 2a5 + 2a8 x + 6a9 y + 6a10 xy; σy = 2a3 + 6a6 x +2a7 y + 6a11 xy; τxy = -(a4 + 2a7 x + 2a8 y + 3a10 y + 3a11 x ) (b) Một số trường hợp đặc trưng của phương trình (b) có thể là: khi a5 ≠ 0, các hệ số ai = 0, chúng ta nhận được: σx = 2a5 ; σy = τxy = 0; tương ứng trường hợp tấm chịu kéo – nén dọc trục Ox với cường độ σnx = -2a5 áp đặt trên cạnh x = a. Trường hợp đặc trưng này sẽ được xem xét kỹ trong các phần tiếp theo của tài liệu. Nếu trong tất cả các hệ số ai chỉ có a4 ≠ 0, ứng suất pháp bằng 0 σx = σy = 0; τxy = -a4. Trường hợp này tấm bị cắt tại các mép. Trường hợp này được khảo sát tại phần sau, khi xét tấm bị cắt thuần túy. Nếu a5 ≠ 0; a9 ≠ 0, với giả thiết a9 = -(2a5 / 3b) có thể nhận được: 0;212 5 ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= xyyx b ya τσσ Trường hợp này thường gặp khi nghiên cứu tấm chịu uốn dưới tác động lực ngang, phân bố theo qui luật tuyến tính. Sử dụng hàm lượng giác. 17 Rất nhiều bài toán liên quan tấm được giải nhờ hàm lượng giác. Ví dụ đơn giản trong trường hợp này là sử dụng chuỗi hàm sinus. ∑∞ = =Φ 1 sin)(),( n n a xnyfyx π (a) trong đó n – số dương, chẳn. Hàm fn(y) cần được xác định tiếp. Đưa hàm (a) vào hàm ứng suất có thể thấy: 0sin)()(2)( 1 4 '' 2 )4( = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−∑∞ = a xnyf a nyf a nyf n nnn πππ (b) Để tìm các hàm fn(y) cần thiết giải hệ phương trình vi phân bậc bốn: ∞==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ,...,3,2,1;0)()(2)( 4 '' 2 )4( nyf a nyf a nyf nnn ππ (c) Cách làm này sẽ được nhắc lại trong phần tiếp theo, khi bàn về chuỗi Lévy. Tại đây chúng ta thử tìm hiểu vài cách xử lý hàm (c ), theo cách làm của những nhà nghiên cứu tấm trong những năm gần đây. Các bước giải toán tiếp theo tiến hành theo các bước như sau. Cần thiết phải tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính trên đây, ví dụ tìm ở dạng: exp( αnη), ηexp( αnη), exp( -αnη), ηexp( αnη) hoặc dạng các hàm sin và cosin hyperbolic: sinh αnη, cosh αnη, ηsinh αnη, ηcosh αnη. Nghiệm chung bài toán tìm ở dạng hàm chứa nghiệm riêng vừa trình bày: fn(y) = (An + Bn ) sinh αnη + (Cn + Dn η) cosh αnη (d) trong đó: b y a b nn = = = η γ πγα ; ; Nghiệm của phương trình (c) có thể viết như sau: fn(y) = [ ])()1()()1( 040322212 2 ηβηβηβηβα nnnnnnnnn BBBB b +−++− (e) trong đó Bin – hằng số bất kỳ, và 18 ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −= −+= n n nn n nnnnn n α ηαηβηβ α ηαηαηαααηβ sinh sinh )()( sinh2 coshsinhcoth2 )( 02 0 (f) Để xác định ứng suất, thông lệ cần thiết tính đạo hàm của hàm ứng suất, trong trường hợp này tính đạo hàm của hàm βin theo cách ký hiệu tại đây. Đạo hàm các hàm trên được tìm theo công thức: i n i i n ni n in d d d d η β αη β αηβ 0,1 11)( == − , (g) Từ đó: ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −=== −== == −+== n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n nnnnn n n n d d d d d d d d d d d d α ηαηβηβη β αη β α α ηαηβηβη β α ηβη β αη β α α ηαηαηαααηβη β α sinh sinh2 )()(11 sinh cosh )()(1 )(11 sinh2 sinhcoshcoth1 )(1 24 3 2 2 2 2 13 2 2 1 2 0 2 2 1 0 (h) Có thể thấy rằng, mỗi hàm βin(η) là nghiệm riêng của (c ), do vậy thay các hàm này cùng đạo hàm tính theo công thức vừa nêu vào vị trí trong (c), chúng ta nhận được quan hệ: βi+4,n - 2βi+2, n + βin = 0 (i) Quan hệ này cho phép diễn tả các hàm β() sau đây: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −=+= −=+= −=== === n nn n n nn n n nn n n nn n nnn nnn α ααβα ααβ α ααβα ααβ βββ βββ 2321 31 420 420 sinh4 2sinh2 )1(; sinh4 2sinh2 )1( ; sinh2 1coth )0(; sinh2 coth1 )0( ;1)1(;1)1(;1)1( ;0)0(;0)0(;0)0( (j) Hàm (a) giờ đây được viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] πξηβηβηβηβα nBBBB byx n nnnnnnnn n sin111),( 1 040322212 2∑∞ = −+−++−=Φ với a x=ξ (k) 19 Công thức xác định ứng suất, theo cách làm này sẽ là: ( ) ( )[ ( ) ( )] ;sin11 2423 1 4241 πξηβηβηβηβσ nBBBB nnnn n nnnnx +−++−= ∑∞ = ( ) ( )[ ( ) ( )] ;sin11 0403 1 2221 πξηβηβηβηβσ nBBBB nnnn n nnnny +−++−−= ∑∞ = ( ) ( )[ ( ) ( )] ;cos11 1413 1 3231 πξηβηβηβηβτ nBBBB nnnn n nnnnxy +−+−−= ∑∞ = (l) Hàm (a) được Filon viết từ 1903. Trước đó vào năm 1898 Rivier đề xuất sử dụng chuỗi các hàm cosine làm hàm cơ sở. ∑∞ = =Φ 1 cos)(),( n n a xnyfyx π (m) Tiến hành các bước trên hàm (m) như đã thực hiện cho (a), kết quả nhận được các biểu thức tính ứng suất dạng sau: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=∂∂ Φ∂= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=∂ Φ∂= =∂ Φ∂= ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = 1 ' 22 1 2 2 2 1 '' 2 2 sin)( cos)( cos)( n nxy n ny n nx nyf a n yx nyf a n x nyf y πξπτ πξπσ πξσ Phương pháp trình bày trên phù hợp cho tấm tựa tự do trên hai cạnh đối diện, bài toán này trong tài liệu gắn liền với tên gọi bài toán Lévy. Trường hợp tổng quát, đều kiện biên bài toán không trùng với các điều kiện trên, hàm ứng suất nên tìm dưới dạng tổng quát, ví dụ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] πηξβξβξβξβα πξηβηβηβηβα mAAAAa nBBBBb xyAyx mmmm m mmmm n nnnn n nnnn n sin11 sin111 ),( 04403 1 22212 2 0403 1 22212 2 0 +−++−+ +−+−++−+ +−=Φ ∑ ∑ ∞ = ∞ = (a) Ứng suất trong trường hợp chung này sẽ là: ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] ;sin 11sin 11 24 23 1 424124 23 1 4241 πηξβ ξβξβξβπξηβ ηβηβηβσ mB BBAnB BBB mm mm m mmmmnn nn n nnnnx +−++−− +−++−= ∑ ∑ ∞ = ∞ = (b) 20 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] ;sin11 sin11 0403 1 2221 0403 1 2221 πηξβξβξβξβ πξηβηβηβηβσ mAABA nBBBB nnmm m mmmm nnnn n nnnny +−++−+ ++−++−−= ∑ ∑ ∞ = ∞ = (c) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] ;cos11 cos11 1413 1 3231 1413 1 3231 πηξβξβξβξβ πξηβηβηβηβτ mAAAA nBBBB mmmm m mmmm nnnn n nnnnxy +−+−−+ ++−+−−= ∑ ∑ ∞ = ∞ = (d) Cách làm nêu tại phần chung này được sử dụng khi giải bài toán tấm Navier, theo đó tấm chữ nhật có bốn cạnh tựa tự do. Để dễ thực hiện tích phân các phương trình vi phân uốn tấm có thể chuyển bài toán sang hệ tọa độ tương đối, thực hiện các phép tích phân trong phạm vi đường từ 0 đến 1. Cách làm như sau. Sử dụng các ký hiệu giành cho tọa độ tương đối: b y a x == ηξ ; . Độ võng trong trường hợp này ký hiệu bằng w, còn độ võng trong hệ tọa độ tương đối tính bằng 1 4 ;* D qaN N ww == Trong trường hợp này hàm Airy liên quan đến hàm độ võng theo quan hệ: ( ) 44 *4 1 2 22 *4 4 1 3 4 *4 4 1,121 γηξηηξγξγ Φ=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ w D Dw D Dw (e) với b a=γ (f) Phương trình vi phân uốn tấm trở thành: ( ηξηαηξγαβξ , 12 4 *4 2 22 *4 44 *4 Φ=∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ www ) (g) trong đó: 21 3 1 22 ; DD D D D == βγα (h) Trường hợp tấm làm từ vật liệu đẳng hướng, các hệ số xuất hiện trong công thức được hiểu D1 = D2 = D3 = D; β = 1; α = γ4, hàm w trở thành: 13 4 * K Et qbNww == (i) 21 Hệ số K1 áp dụng cho mỗi điểm của tấm, tùy thuộc tọa độ điểm, là hàm số của γ. Momen uốn tấm là hàm của w như đã nêu. Khi đã xác định w* chúng ta chuyển sang tính momen theo công thức: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂−= 2 *2 2 1 2 *2 42 2 2 *2 22 *2 2 42 1 1 ηγ ν ηγ ηνξγγ wwqbM wwqbM (j) Có thể viết lại hai công thức này: ⎭⎬ ⎫ = = 2 32 2 21 qbKM qbKM (k) Các hệ số K1, K2, K3 tùy thuộc tọa độ điểm và tỷ lệ a/b, có thể xác lập dạng bảng phục vụ tính toán nhanh. Áp dụng định luật Hooke cho kết cấu làm từ vật liệu đẳng hướng có thể xác định ứng suất tấm bị uốn. Ứng suất pháp tính cho lớp ngoài cùng của tấm z = 2 t± : ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ −= 2 2 12 2 21 2 2 2 22 2 21 1 12 12 y w x wtE y w x wtE y x νννσ νννσ (l) Từ đó: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ±= ±= 2 2 2 1 6 6 t M t M y x σ σ (m) Tích phân phương trình (e) có thể tiến hành cho từng trường hợp riêng lẻ. Giả sử tấm bị ngàm tại hai cạnh đối xứng, hai cạnh còn lại tựa tự do, điều kiện biên có dạng: tại ξ = 0; và ξ = 1: 0*;0* 2 2 =∂ ∂= ξ ww (n) Trong trường hợp này w*(ξ, η) cần thành lập theo đề xuất Lévy: ∑∞ = = 1 sin)(),(* m m mfw πξηηξ (p) Các hàm fm(η) được xác định sau khi giải hệ phương trình (g). Hệ phương trình vi phân xuất hiện sau khi thay thế: 22 ( ) ( ) ( )∑∞ = Φ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− 1 2 4 2 ''2)4( ,sin)(1)(2)( m mmm mfmfmf α ηξπξηπαηπα βη (q) Hàm Airy có thể xác lập dưới dạng chuỗi lượng giác: ∑∞ = Φ=Φ 1 sin)(),( m m mπξηηξ (r ) trong đó (s) ( ) ξπξηξη dmsin,2)( 1 0 ∫Φ=Φ Thay (r ) vào (q) và cân bằng các hệ số trong phương trình lượng giác, sẽ nhận được phương trình vi phân tiếp theo, cần thiết cho xác định fm(η). ( ) ( ) ( )242''2)4( ,)(1)(2)( α ηξηπαηπα βη Φ=+− mmm fmfmf (t) Phương trình chung trên đây chứa bốn hằng số tích phân. Các hằng số này chỉ được xác định theo điều kiện biên, ví dụ trên η = const. Điều kiện biên dạng này không hạn chế. Một trong các cách giải có thể như sau. Viết hàm (t) dưới dạng: ( ) ∑ = += 4 1 )( s k s r mm seCff ηη (a*) trong đó - nghiệm riêng của phương trình vi phân, )(rmf Cs - hằng số tích phân, ks - nghiệm phương trình đặc trưng. Phương trình đặc trưng có dạng: ( ) ( ) 012 42224 =+− παπα β mkmk (b*) Nghiệm phương trình đặc trưng sẽ là: 2 111 βα βπ −±±= mks (c *) Hàm fm(η) phụ thuộc vào dấu của biểu thức trong căn bậc hai biểu thức cuối. Nếu 112 >β , điều này đúng cho vật liệu đẳng hướng, dấu của biểu thức dưới dấu căn sẽ âm, và như vậy nghiệm thu được sẽ là nghiệm phức. Trong trường hợp này, tích phân tổng quát có thể mang dạng: ( ) )(sinsinhcossi