Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 2, Phần 1: Dầm thẳng

6 3 2 2 2 1022,221056,55006,02 10,0 1035,12 1010 22 . zxxz xx xtzh I Vtq y −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== −τ q3 = q1. Momen tĩnh S* tính cho thành trên và thành đứng DA mang giá trị: 2362 2 * 105,11075,9003,0 2 1,0 2 104,0003,005,0 zxxzxxS −− −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= Từ đó q4 = 263* 10111,111022,72 zxxSI V y −= Dòng cắt trong khung kín ký hiệu bằng qc, công thức tính tổng ứng suất cắt các thành miền kín được thể hiện như sau: ∑ = =− 4 1 0 i i ici t qq Từ đây có thể tính: 0 003,0 10111,111022,772 006,0 1022,221056,552 003,0 10111,12 3 100 3 40 6 100 3 40 05,0 0 263 05,0 0 26304,0 0 6 1 =×−×+ ×−×−×=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ ∫ ∫∫ dzz dzzdssqc Từ đó qc1 = -27,05x103 N/mm. Dòng cắt trong mỗi thành tính lần lượt như sau. Thành BA và CD: q = 1,111.106s – 27,05.103 và 266 /10.017,910.4,370 003,0 mNsq −==τ Thành CB: q = 55,56.103 – 22,22.106z2 + 27,05.103 = 82,61.103 – 22,22.106z2 và 2266 /10.704,310.77,13 006,0 mNzsq −==τ Thành AD: q = 77,22.103 – 11,111.106z2 - 27,05.103 = 45,17.103 –11,111.106z2 và 2266 /10.704,310.06,15 003,0 mNzsq −==τ 49 Đồ thị ứng suất cắt trong các thành trình bày tại hình 14 . Để xác định tâm cắt cần thiết xác định tổng momen của điểm C. Trường hợp kết cấu đơn liên này cần tính hai thành phần lực cắt Q1 tại thành AB, lực trong thành AD. [ ] NdssQ 1,193003,010.017,910.4,37004,0 0 66 1 −=−= ∫ [ ] NdszQ 3590003,010.704,310.06,152 05,0 0 266 4 =−= ∫ Tổng momen của C với V = 10kN: 008,193.1003590.4010.10. 3 =−+−=∑ emC Từ phương trình cuối xác định tâm cắt: e = 12,4mm. Dầm composite Dầm cấu tạo từ ít nhất hai vật liệu cơ tính khác nhau được gọi là dầm tổng hợp (dầm composite). E E E E E dầm composite mặt cắt dầm composite mặt cắt dầm tương đương b h2 h1 bb h1 h2 be Hình 15. Ví dụ minh họa theo đây giới thiệu dầm công xôn, làm từ hai vật liệu, lớp dưới có mô đun đàn hồi E1 còn vật liệu lớp trên có mô đun đàn hồi E2. Trong ví dụ này, không mất tính tổng quát chúng ta giả thiết rằng E2 > E1. Công việc cần thực hiện tại đây là chuyển dầm composite, mặt cắt dầm gồm nhiều lớp vật liệu với mô đun đàn hồi khác nhau về mặt cắt tương đương, ứng với một vật liệu được chọn. Chúng ta thử tiến 50 hành các động tác chuyển đổi cho dầm nêu tại hình 15, ảnh trên. Hình dưới trình bày mặt cắt dầm composite trước khi chuyển đổi còn hình phía phải miêu tả mặt cắt tương đương sau chuyển đổi. Từ phần trước chúng ta đã xác định được, biến dạng dọc dầm trong trường hợp dầm uốn là hàm của tọa độ z: EJ zM x .=ε . Để dễ xem xét vấn đề trong phần này chúng ta ký hiệu biến dạng trong dầm composite bằng (εx)C, với C viết tắt từ composite, còn biến dạng đó tính cho dầmvới mặt cắt tương đương về cơ tính ký hiệu bằng (εx)E, với ký tự e viết tắt từ equivalent. Tại mặt cắt qua vị trí xác định x-x có thể nhận thấy rằng: ( ) ( )cxex εε = . Từ định luật Hooke có thể viết: ( ) ( ) 21 EE cxex σσ = (a) Ứng suất đang nêu tính cho mặt cắt tương đương (σx)E, ứng suất thực tế tính cho vùng vật liệu với E2 được hiểu là: ( ) ( )excx E E σσ 2 1= (b) Để có thể tính ứng suất nhất thiết phải xác định chiều rộng tương đương của vật liệu có E1 vừa bị thay thế bằng E2. Xuất phát từ tính tương đương của lực tác động lên phần tử mặt cắt bcΔz = beΔz, có thể viết: ( ) ( ) zbzb eexccx Δ=Δ σσ (c) Sau khi loại Δz khỏi phương trình cuối sẽ nhận được: ( ) ( ) cex cx e bb σ σ= (d) Mặt khác, từ quan hệ ( ) ( ) 1 2 E E ex cx =σ σ công thức cuối được viết thành: ce bE Eb 1 2= (e) Từ hình có thể nhận xét tiếp rằng, diện tích mặt cắt tương đương của dầm bị đổi thay sau chuyển đổi, momen quán tính tính cho mặt cắt này cũng đổi thay theo cách đang đề cập: ce AE EA 1 2= và ce IE EI 1 2= . Ví dụ: Dầm tiết diện hình chữ nhật, xem hình 16, làm từ bron với Eb = 100GPa, dán chặt với lớp thép Es = 200GPa, chịu tác động momen uốn, tính tại mặt 51 cắt x-x là M = 25N.m. Xác định ứng suất tại mặt tiếp xúc hai lớp vật liệu và ứng suất lớn nhất trong phần thép và bron. bron thép Hình 16. Tỷ lệ giữa hai mô đun đàn hồi vật liệu n = 200/100 = 2. Chiều rộng tương đương be tính cho lớp bron sẽ là: be = 2x6 = 12mm. Trục trung hòa mặt cắt tương đương: mmzn 0,54848 2)412(8)86( =+ ××+××= Momen quán tính, tính qua trục trung hòa: 42 3 2 3 11840,348 12 4120,348 12 86 mmIeq =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×+×+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×+×= Tại vị trí mặt tiếp xúc hai lớp vật liệu, z = 1mm cách trục trung hòa ứng suất tính cho vật liệu bron xác định theo quan hệ: 263 9, /102,21101018,1 25 / mN zI M eq bx ×=××== − −σ Ứng suất tính cho vật liệu thép xác định theo quan hệ: 263 9, /104,42101018,1 252 / 2 mN zI M eq bx ×=×× ×== −−σ Ứng suất lớn nhất tính cho lớp vật liệu bron cách trục trung hòa z = -7mm. 52 263 9, /103,14810)7(1018,1 25 / mN zI M eq bx ×−=×−××== − −σ Ứng suất lớn nhất tính cho lớp vật liệu thép cách trục trung hòa z = 5mm. 263 9, /109,2111051018,1 252 / 2 mN zI M eq bx ×=××× ×== −−σ 4. Phương trình năng lượng dầm 4.1 Thế năêng dầm chịu tải Để nhắc lại các biểu thức liên quan đến thế năng dầm chịu tải chúng ta có thể làm quen với trường hợp đơn giản nhất sau đây. Giả sử dưới tác động của lực dọc trục P, kéo dầm tiết diện A, dài l, dầm bị biến dạng. Trong phạm vi giới hạn đàn hồi của vật liệu, khi tăng P, dầm bị kéo dài thêm. Độ giãn dài của dầm theo hướng trục là δ = Pl AE . Trong giới hạn đàn hồi của vật liệu nếu P tăng thêm dP, độ giản dài sẽ tăng dδ. Công do lực P thực hiện trong quá trình này là dW = P.dδ. Như vậy khi kéo dài dầm đoạn δ, lực kéo đã thực hiện công W = ∫Pdδ, giới hạn tích phân từ 0 đến δ. Trong phạm vi tuyến tính của giới hạn đàn hồi giá trị tích phân đúng bằng diện tích tam giác giới hạn bởi đường P = f(δ) và δ. Mặt khác trong dầm đàn hồi bị biến dạng xẩy ra quá trình tích tụ năng lượng. Nếu quá trình tác động của ngoại lực xẩy ra theo dạng tĩnh, năng lượng biến dạng tích tụ trong dầm đúng bằng thế năng mà ngoại lực đã truyền. Và như vậy diện tích tam giác trên đây cũng biểu diễn năng lượng U tích lũy trong dầm đàn hồi bị biến dạng. U = W = 2 δP (a) Thay δ = AE Pl vào biểu thức cuối sẽ được: AE lPU 2 2 = (b) Hình 17 P A δ L δ hoặc: l AEU 2 2δ= (c) Phương trình (b) biểu thị hàm năng lượng biến dạng là hàm của lực P, còn hàm thứ hai (c) chỉ rõ, cũng năng lượng ấy chính là hàm của chuyển vị δ. Công thức thế năng dầm tiết diện tròn bị xoắn bằng momen xoắn MT: ϕdMdU T2 1= , trong đó ϕ - góc xoắn tại tiết diện đang xét, p T GI dxMd =ϕ , Ip - momen quán tính tiết diện trong hệ độc cực, tâm nằm tại tâm vòng tròn. Trường hợp tổng quát, mặt cắt ngang của dầm khác hình tròn, hệ số C = GIp được thay thế bằng C = 53 GIt, trong đó It - momen quán tính mặt cắt ngang bất kỳ, tính trong hệ độc cực. Hàm thế năng tính bằng biểu thức: ∫= l t T GI dxMU 0 2 2 (d) Công thức thế năng dầm bị uốn: φMddU 2 1= M.dφ, trong đó dx EI M d dxd == ρφ , xem (2.1), (2.4), từ đó có thể viết: ∫= l EIdxMU 0 2 2 1 (e) Hàm thế năng trong trường hợp chịu ứng suất cắt: Xét trường hợp năng lượng tích tụ trong một phần tử dx.dy dày t, hàm U sẽ mang giá trị: dU = 1 2 τα.dxdy.t, trong đó t - chiều dầy phần tử. Năng lượng trong một đơn vị thể tích sẽ là dU/dV = ½ τ α. Áp dụng định luật Hooke vào trường hợp này công thức cuối có dạng:u0 = GdV dU 2 2τ= . Áp dụng biểu thức trên cho toàn mặt cắt sẽ được: u0.dA. dx = G2 2τ dA.dx. Thế năng trên toàn mặt cắt: ∫= A dA G dxdU 2 2 τ , trong đó bI SN . *.=τ , do đó ∫= A b dAS GI dxNdU 2 *2 2 2 . Nếu ký hiệu: ky = ∫ A y x dAS bI A 2* 22 1 , kz = ∫ A z z dAS bI A 2* 22 1 , hàm năng lượng có dạng: dU = kz GA dxN z 2 2 và dU = ky GA dxN y 2 2 (f) Công thức dùng trong trường hợp dầm bị tác động bởi các lực kéo, nén, cắt, momen uốn, momen xoắn. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++++= ∫ ∫∫∫∫∫ GAdxNkGAdxNkAE dxP EI dxM EI dxM GI dxM U zyxz tz z tx tx t t 222222 2 1 (2.45) 4.2 Xác định chuyển vị dầm theo phương pháp năng lượng Giả sử vật thể làm từ vật liệu đàn hồi tuân thủ định luật Hooke chịu tác động ngoại lực nhất định. Dưới tác động này các phần tử vật chất chuyển vị, rời khỏi vị trí chúng chiếm ban đầu, để chiếm vị trí mới trong lòng vật thể. Các chuyển vị này được giả thiết hết sức nhỏ nếu so với kích thước vật thể, và tỉ lệ tuyến tính với lực gây ra chuyển vị. Trong trường hợp ngoại lực gia tăng hết sức chậm, động năng của nó có thể được bỏ qua, công sinh ra được xét dưới dạng thế năng. Quá trình biến dạng trong lòng vật thể cũng là quá trình tích tụ năng lượng dạng thế năng. Năng lượng này bằng công mà ngoại lực đã thực hiện lên vật. Như chúng ta đã xét, giả sử dưới tác động của lực tổng quát P1 các phần tử vật chất dịch chuyển δ1, còn dịch chuyển δ2, δ3 do P2 P3 54 gây ra, thế năng toàn hệ, từ lý thuyết đàn hồi, được viết bằng biểu thức Clapeyron U = 1 2 P1δ1 + 12 P2δ2 +... Trong công thức này, δk, k =1, 2, 3,... được coi là hàm tuyến tính của lực P1, P2, P3,.... Nếu đưa các hàm này vào biểu thức tính công, biểu thức sẽ mang tính chất hàm bậc 2 của ngoại lực. Mặt khác nếu coi P1, P2, P3,... là hàm tuyến tính của chuyển vị, sau khi thay các hàm này vào vị trí các giá trị lực P1, P2, P3,.... hàm U là hàm bậc hai của chuyển vị. Nhìn lại công thức tính công phần lý thuyết đàn hồi chúng ta thấy rõ, năng lượng là hàm bậc 2 của lực tổng quát P (generalized loads), hoặc là hàm bậc 2 của chuyển vị tổng quát δ (generalized displacements). Từ công thức dùng cho dầm bị kéo hoặc nén đang xem xét tại đây U = P l AE 2 2 , nếu tiến hành lấy đạo hàm của U theo P, kết quả sẽ được chuyển vị δ==∂ ∂ AE Pl P U . Đây là trường hợp riêng lẻ của định lý Castigliano (1875)3, cho phép sử dụng đạo hàm theo lực tổng quát từ công thức năng lượng, để xác định chuyển vị tổng quát, do lực gây ra. Trường hợp chung, như đã trình bày tại chương hai, nếu lấy đạo hàm của U theo Pk, k =1,2,... chúng ta sẽ nhận được phương trình của định lý Castigliano: k kP U δ∂ ∂ = , k =1, 2, 3,.... (2.46) Trong công thức (2.46) Pk - lực tổng quát (generalized loads), δk - chuyển vị tổng quát (generalized displacements). Những ví dụ minh họa ứng dụng phương pháp năng lượng xác định chuyển vị điểm của dầm đơn trình bày thủ tục cần thiết giải bài toán cơ học. Ví dụ 1: Xác định góc xoắn ϕ đầu tự do bên trái dầm cứng dài l, độ cứng chịu xoắn GIt, bị ngàm bên phải. Momen xoắn dầm mang giá trị MT, đặt tại đầu tự do của dầm. Thế năng dầm bị xoắn tính theo công thức : U = ∫l t T GI dxM 0 2 2 (a) Sau tích phân công thức tính U có dạng: t T GI lMU 2 2 = (b) Lấy đạo hàm biểu thức U theo MT xác định góc xoắn dầm tại đầu tự do: t T T GI lM M U =∂ ∂=ϕ (c) 3 Tài liệu gốc của Castgliano, “Nuova teoria intorno dell’equilibrio dei sistemi elastici”, Torino, 1875, bản dịch tiếng Anh “Elastic Stress in Structures”, London,1919. 55 Ví dụ 2: Thực hiện phép tính xác định dịch chuyển đầu tự do dầm công xôn dài l, độ cứng chịu uốn EJ. Lực P tác động vuông góc lên dầm, điểm đặt lực tại đầu tự do của dầm. Thủ tục giải bài toán giống như đã thực hiện trong ví dụ 1 vừa nêu. Thế năng dầm bị uốn tính theo công thức : U = 1 2 ∫ l EI dxM 0 2 (a’) Trong đó M = Px, với x- đo từ điểm đặt lực. Tiến hành tích phân theo (f) có thể thấy: EJ lPU 6 32 = (b’) Độ dịch chuyển đầu tự do theo hướng lực P tác động tính từ công thức: EJ Pl P U end 3 3 =∂ ∂=Δ (c’) 5. Nguyên lý công ảo dùng cho dầm liên tục Dầm chịu uốn Công thức xác định ứng suất pháp mang dạng: σx = - )( ).( xI zxM Tải ảo được tính theo cách đã trình bày trên z xI xM x )( ).(δδσ −= . Công thức tính lực cắt: bI SxN bI S dx dM xx s . *).( . * ==τ , bI SxN x s . *).(δδτ = . Sử dụng công thức tính công bù cho vật liệu đẳng hướng có thể xác định: ( ) dxdA t S GJ NNdxdAz EJ MM dAdx tJ S G NNdAdxz EJ MMdxdA G dxdA E dV GE dVW L A L A L A L A L A xy xs L A x x V xy xs x x V xyxsxx ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+= 0 2 2 * 2 0 2 2 22 2 * 0 2 0 2 00 * int δδ δδτδτσδσ τδτσδσγδτεδσδ (a) Từ quan hệ này có thể suy ra: dx GA NNdx EJ MMW L L s ∫ ∫+= 0 0 * int δδδ (b) Hay là công bù thực hiện trong dầm gồm công bù do ứng suất pháp từ uốn và công bù do ứng suất cắt cùng gây ra. 56 δW*int = δW*uốn +δW*cắt (c) Trong công thức đang nêu (2.27) EJ chỉ độ cứng dầm chịu uốn còn GAs - độ cứng dầm chịu cắt. Có thể thấy rằng thành phần As, gọi là diện tích hữu hiệu chịu cắt (area effective in shear) tính theo biểu thức: ∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ = A s dA t N JA 2 2 (d) Dầm chịu xoắn Trường hợp dầm chịu xoắn dưới tác động momen xoắn Q (thay cho ký hiệu MT dùng ở trên), có thể viết các biểu thức tính ứng suất của dầm sau. σx = σy = σz = τxz = 0. (e) ;; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∂ Ψ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∂ Ψ∂= z zJ Qy zJ Q xyxz ττ (f) Công bù ảo tính cho vật liệu đẳng hướng tìm theo cách hiểu quen thuộc: ( ) ( )dV G dVW V xyxyxzxz V xyxyxzxz ∫∫ +=+= δττδττγδτγδτδ 1*int (g) trong đó: ;; ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ Ψ∂=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∂ Ψ∂= z yJ Qy zJ Q xyxz δδτδδτ Công thức tính δW*int cho dầm dài L trở thành: dxdAz y y zGJ QQW A L ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ Ψ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∂ Ψ∂= ∫∫ 22 0 2 * int δδ (h) Có thể thấy được rằng biểu thức trong ngoặc vòng dưới dấu tích phân mang ý nghĩa hằng số xoắn (torsion constant): dAz y y z J 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ Ψ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∂ Ψ∂= (i) Do vậy có thể viết: Q GJ QLdx GJ QQW L δδδ == ∫ 0 * int giành cho dầm bị xoắn. (j) Trường hợp dầm chỉ chịu kéo hoặc nén công thức tính công bù ảo mang dạng: (∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=== L L x x V xx AdxAE T A TAdx E dVW 0 * int )( δσδσεδσδ ) (k) 57 hay là ∫= L dxAETTW 0 * int δδ giành cho dầm chịu kéo hoặc nén (l) Trường hợp tổng quát, công bù ảo tính cho dầm chịu kéo (hoặc nén), uốn, xoắn có dạng tập họp từ các biểu thức (b), (j), (l). Ứng dụng nguyên lý công bù ảo xác định độ võng dầm Các công thức tính công bù ảo vừa nêu được dùng xử lý dầm con son chiều dài L, độ cứng chịu uốn EJ, cứng chịu cắt GAs, chịu tải phân bố p sau đây. z 1 2 x p EI ,GA p MN δN δM δQ δC δMδN Hình 18 Để xác định chuyển vị đầu tự do dầm theo hướng từ trên xuống cần thiết đặt lực ảo δP tại vị trí x = 0 trên dầm. Thoả mãn điều kiện nguyên lý công bù ảo có thể viết: ( ) ( )∫∫ +−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−= L s L dxPxp GA dxxPpx EJ P 00 2 1 ).( 1. 2 1 δδδv (a) Thực hiện phép tích phân trên có thể thấy: P GA pLP EJ pLP s δδδ 28 24 1 +=v (b) Từ đó: sGA pL EJ pL 28 24 1 +=v (c) Hiểu cụ thể hơn, chuyển vị toàn bộ gồm chuyển vị do uốn và chuyển vị khi bị cắt. Trường hợp này dầm bị uốn và góc xoay dầm tại điểm tính, vị trí x = 0, từ biểu thức sau: ( ) ( )∫∫ +−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−= L s L dxxp GA dxMpx EJ M 00 2 1 0).( 1 2 1 δδθ (d) Từ đó: EJ pL 6 3 1 =θ (e) 6. Dầm siêu tĩnh Các ví dụ trên dùng cho cho hệ tĩnh định, với các trường hợp đó người ta luôn có khả năng thành lập hệ phương trình cân bằng lực, momen cho trạng thái tĩnh, trong 58 đó số phương trình bằng số ẩn. Trong thực tế nhiều trường hợp người ta phải phân tích những dầm mà khi xác lập hệ phương trình cân bằng tĩnh không đạt được điều vừa nêu. Số phương trình có thể lập nhỏ hơn số ẩn. Dầm nhóm này mang tên gọi dầm siêu tĩnh (hyper static) hoặc không tĩnh định (indeterminate beam). Ví dụ đơn giản về dầm siêu tĩnh có thể chọn trường hợp dầm liên tục dài l, ngàm một đầu tại A, còn đầu kia B, gối tự do, chịu tải trọng tập trung P tại vị trí cách B khoảng cách c. Để giải bài toán đang đặt ra, ví dụ phải xác định phản lực các gối, 2 phản lực, RA tại ngàm A, RB tại gối B, và momen tại ngàm Ma, cần thiết xác lập hệ phương trình cân bằng lực. Điều có thể làm được tại đây là viết một phương trình cân bằng lực và một phương trình cân bằng momen, trong khi số ẩn vẫn là 3. Trong trường hợp này chúng ta gặp bài toán về dầm không tĩnh định (siêu tĩnh) với bậc không tĩnh định (degree of indeterminacy) bằng (3 – 2) = 1. Phần tiếp theo chúng ta tìm hiểu cách xử lý các bài toán dạng này bằng con đường đã đề cập trong lý thuyết đàn hồi, nhờ điều kiện tương hợp của biến dạng. Bậc không tĩnh định của dầm tính theo công thức: Số ẩn – số phương trình của hệ phương trình cân bằng tĩnh Để tìm số ẩn của dầm cần sử dụng qui tắc xác định thành phần lực các gối đỡ: Gối lăn: chỉ có 1 phản lực. Khớp bản lề: 2 Ngàm: 3 Hệ phương trình giành cho dầm liên tục, một sải: 3 phương trình. Theo qui tắc này bậc không tĩnh định của dầm thường gặp tính như sau. 1 2 4 53 N =5 -3=2 2 N =6 -3=3 1 6 4 5 2 N =4 -3=1 1 43 4 7 6 32 1 5 N =7 -3=4 N =7 -(3+2 )=2 1 2 3 4 5 7 6 a ) b ) c ) d ) e ) Hình 19 Những cách giải bài toán bằng cách khử thành phần “siêu tĩnh” của dầm siêu tĩnh thông qua biến dạng được minh họa cho dầm đề cập tiếp theo, hình 20. 59 Dưới tác động của P dầm bị uốn, đầu A xuất hiện momen chống uốn Ma chống tại tác động này. Thay bài toán dầm bị ngàm tại A bằng dầm tựa trên cả hai gối, chịu thêm momen “không tĩnh định” tại A. Xét góc xoay tại A có thể thấy rằng, do P tác động dầm bị xoay góc θ1 ngược chiều kim đồng hồ, còn dưới tác động momen Ma dầm bị xoay góc θ1* ngược lại. Tổng cộng hai góc theo điều kiện đặt ra sẽ bằng 0: θ1 + θ1* = 0 hay là θ1 = -θ1* (a) B A L c B A Ma Góc xoay trên đây tính bằng công thức quen thuộc từ sức bền vật liệu: LEI cLcP 6 )(. 22 1 −=θ còn EI LM 3 .* −=θ (b) Hình 20. Thay hai giá trị trên vào công thức cân bằng góc xoay sẽ nhận được biểu thức tính momen uốn tại ngàm: 2 22 2 )(. L cLcPM A −−= (c) Nếu thay đổi ngoại lực P của bài toán vừa nêu bằng tải phân bố đều, cường độ q, lời giải sẽ mang dạng sau. Có thể thay đổi tải không tĩnh định (redundant load) của bài toán bằng phản lực RB. Trường hợp này dầm đang xem xét bị chuyển thành dầm công xôn, chịu hai tải, ngoại lực q và Rb đang đặt ra. Độ võng đầu dầm B dưới tác động của tải q được biết là EJ ql 8 4 =Δ . Theo chiều ngược lại, đầu dầm bị RB gây độ võng EJ lRB 3 3 . Điều kiện biên bài toán qui định, gối B không dịch chuyển lên trên và cũng không xuống thấp, trong trường hợp đó EJ lR EJ ql B 38 34 = . Từ biểu thức trình bày chuyển vị này có thể xác định: B q A x Rb x ,GA L q B EJ A Hình 21. Phản lực tại B: qlRB 8 3= (d) Phản lực tại A: qlqlqlRA 8 5 8 3 =−= (e) Momen tại A: 82 2qllqllRM Ba −=×−= (f) 60 6.1 Phương pháp năng lượng áp dụng giải dầm siêu tĩnh Ví dụ tiếp theo sử dụng phương pháp năng lượng tìm các phản lực tại gối dầm chịu uốn thuần túy, chiều dài L, độ cứng EJ, ngàm bên phải, tựa tự do tại đầu phía trái, chịu tải q, đã được xem xét một lần trong sách này. x B B q R A x ,GA L EJ q A R AB R δR L x δMδNN M Hình 25 Phản lực tại gối bên trái dầm, ký hiệu bằng R, xét dưới dạng lực không tĩnh định. Momen uốn và lực cắt tại mặt cắt bất kỳ dầm, cách x từ đầu bên trái, tính theo công thức: 2 2qxRxM −= (a) Thế năng dầm bị uốn tính theo công thức (f): dx EJ qxRx U L∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = 0 22 2 2 (b) Vì rằng chuyển vị gối bên trái dầm bằng 0, từ định lý Castigliano có thể viết: 0 2 2 0 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − =∂ ∂ ∫ dxEJ xqxRx R U L (c) Sau khi thực hiện tích phân sẽ nhận được phương trình: 0 83 1 43 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − qLRL EJ Từ đó tính được phản lực tại gối: qLR 8 3= (d) 6.2 Sử dụng nguyên lý công bù ảo giải dầm siêu tĩnh Trong phần này chúng ta giải bài toán đang nêu theo nguyên lý công bù ảo. Phản lực tại gối bên trái dầm, qui ước gối B, hãy ký hiệu bằng R, xét dưới dạng lực không tĩnh định. Momen uốn và lực cắt tại mặt cắt bất kỳ dầm, tính bằng x từ đầu bên trái, tính theo công thức: 2 2qxRxM −= và tiếp đó xRM .δδ = (a) 61 ( ) RqLRL EJ dxRxqxRx EJ dx EJ MMW L L δδδδ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −== ∫ ∫ 83121 43 0 0 2 * int (b) Vì rằng chuyển vị theo hướng từ trên xuống của tải không tĩnh định bằng 0 do vậy δW*ext = 0, kéo theo δW*int = 0. 0 83 1 43 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − RqLRL EJ δ (c) Từ đó qLR 8 3= (d) Áp dụng nguyên lý công bù ảo xác định giá trị phản lực momen tại ngàm trái dầm bị ngàm hai đầu. Độ cứng dầm EJ. Lực tập trung P đặt tại vị trí 1/3 L, tính từ đầu bên trái. Tải không tĩnh định trong trường hợp này được chọn Y1 và M1. Phương trình cân bằng lực xác lập cho trường hợp vừa hình thành: M = Y1 x – M1 cho 0 ≤ x ≤ L/3 M = Y1 x – P(x – L/3) - M1 cho L/3 ≤ x ≤ L (a) Từ các điều này có thể viết: δM = δY1 x – δM1 cho 0 ≤ x ≤ L (b) nếu bỏ qua ứng suất cắt công thức tính δW*int có dạng: ( )( ) ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+− ⎩⎨ ⎧ +−−== ∫ ∫ ∫ L L L L dxMxYMPLxPY dxMxYMxY EJ dx EJ MMW 3/ 1111 0 3/ 0 1111 * int 3 1 δδ δδδδ (c) Sau tích phân sẽ nhận được: 1 33 1 2 11 22 11 * int 81 14 3 1 2 11 9 2 2 11 YPLLYLM EJ MPLLYLM EJ W δδδ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= Vì rằng chuyển vị theo hướng từ trên xuống của tải không tĩnh định δY1 bằng 0, công góc xoay cũng bằng 0, do vậy δW*ext = 0, kéo theo δW*int = 0. 0 81 14 3 1 2 11 9 2 2 11 1 33 1 2 11 22 11 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− YPLLYLM EJ MPLLYLM EJ δδ (d) Từ phương trình trên tiến hành xác lập hệ phương trình cân bằng: 62 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧− = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 31 1 32 2 81 14 9 2 3 1 2 1 2 1 PL PL Y M LL LL (e) Hệ phương trình này mang dạng phương trình phương pháp lực. Sau khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính trên đây có thể nhận giá trị phản lực dạng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ P PL Y M 27 20 27 4 1 1 (f) 7. Uốn và cắt dầm thành mỏng Kết cấu trong các phương tiện giao thông như máy bay, tàu thủy, ô tô thường gặp ở dạng dầm thành mỏng (thin-walled beams). Nếu coi đây là dầm 3D chúng ta có quyền sử dụng cách làm đã nêu tại (c): Adxd E dVW V x x V xxuán ∫∫ == εδσεδσδ *int, (a) Adxd G dVW V xy xy V xyyxcat ∫∫ == τδτγδτδ *int, (b) Như đã đề cập, ứng suất cắt tiếp tuyến đường tâm thành mỏng, giá trị không đổi trên cả chiều dày t, tính the