Giáo trình Cơ học kết cấu - Chương 5, Phần 1: Khung phẳng, giàn

0 0 2433,85 101624 1 EJ M R H DX EJ Sau giải hệ phương trình giá trị các lực xác định như sau: H = -53,33 kN; R = 70,01 kN; M = -53,33 kN.m 6. Phương pháp ma trận cứng Trong khuôn khổ phương pháp chuyển vị cách xử lý bài toán qua ma trận cứng được dùng từ rất sớm. Ngày nay phương pháp ma trận cứng đang chiếm vị trí quan trọng trong số các phương pháp năng lượng. Thủ tục tính theo phương pháp ma trận cứng trình bày tại chương hai giành cho dầm được sử dụng vào hệ khung phẳng, không đổi thay nội dung. Ví dụ minh họa cách làm tại đây trùng với khung phẳng nêu tại “phương pháp ma trận dẻo”, hình 10. Chọn chuyển vị đang là ẩn số cho bài toán đang xem xét: 1- chuyển dịch ngang nút B, 2 - góc xoay góc tại nút B, và 3 – góc xoay tại nút C. Các lực và momen cố định tại nút các dầm: Lực tác động ngang 50 kN. Momen cố định tại đầu trái đoạn BC: mkN.40 12 430 2 −=×− Momen cố định đầu bên phải BC: 40kN.m Vecto lực được tính là: { } ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = 40 40 50 P Thành lập ma trận cứng. Chuyển vị đơn vị theo hướng lực số 1, tính cho trường hợp Δ=1: EJEJEJk 6875,1 2 12 4 12 3311 =+= EJEJkk 375,0 4 6 21221 −=−== 140 EJEJkk 5,1 2 6 21331 −=−== Chuyển vị đơn vị theo hướng hai tức góc xoay tại B, θ = 1: EJEJEJk 2 4 4 4 4 22 =+= EJEJkk 5,0 4 2 2332 == Chuyển vị đơn vị theo hướng ba tức góc xoay tại C, θ = 1: EJEJEJk 3 2 4 4 4 33 =+= Phương trình nêu quan hệ giữa độ cứng, chuyển vị và lực tác động có dạng: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− 40 40 50 3 5,02 5,1375,06875,1 C B H DX EJ θ θ Vecto chuyển vị tính từ hệ phương trình: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 667,26 35556 1 EJ H C B θ θ Biểu đồ momen tính cho khung phẳng đang nêu có dạng: 0 4 35556.3667,260 4 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= EJM AB kNm EJ EJM BA 333,134 355563667,26201 4 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×−×+×= ( ) kNm EJ EJM BC 333,1340667,262 1 4 2 −=−×= kNm EJ EJMCB 333,5340667,26 1 4 2 =+×= [ ] kNm EJ EJMCD 333,5335556302 1 2 2 −=×−= [ ] kNm EJ EJM DC 333,5335556302 1 2 2 −=×−= 141 7. Phương pháp chuyển vị góc Dầm liên tục trong khung phẳng phức tạp được hiểu theo nghĩa rộng hơn cách chúng ta đã quen. Ví dụ nêu tại hình 11 trình bày một trong những tình huống phức tạp ấy. Nút 2 và 4 trên hình là điểm tập trung không chỉ hai đoạn dầm mà thực tế là ba đoạn. Khác cách tính trình bày phần trên, momen uốn tại gối thứ n, tại đây là gối số 2, áp dụng cho thanh 1 – 2 và 2 – 3 không giống nhau vì khi xoay nút thứ 2 này còn xuất hiện momen nữa trong thanh 2 – 6. Điều có thể nhìn nhận tại đây, từ điều kiện cân bằng góc, tồng tất cả momen tại nút phải bằng 0. Và như vậy, về nguyên tác không thể đánh bằng momen M21 và momen M23. Tình hình này xảy ra đúng cho nút thứ 4 trên hình. Theo cách làm nêu trước đây, tại gối thứ n chỉ tồn tại một momen đóng vai trò ẩn số, còn trong trường hợp cụ thể này tồn tại ba giá trị momen. Trên hình chúng ta còn nhìn thấy đường gạch gạch miêu tả đoạn dầm bổ sung, gắn vào nút 4 khi có điều kiện. Trường hợp sau, số lượng momen tại nút 4 sẽ tăng lên 4 chứ không còn ba như đang đề cập. D z x1 2 3 4 5 q2 q1 P Hình 11 Phương pháp chuyển vị áp dụng vào đây mang đặc trưng khác thường. Ẩn số chính của bài toán nằm ngay trong góc xoay của gối. Hệ phương trình áp dụng tại đây nhằm miêu tả điều kiện cân bằng các góc xoay. Phương pháp chuyển vị trong trường hợp này mang tên gọi phương pháp chuyển vị góc1. Bài toán làm công tác chuẩn bị dạng dầm đơn, tựa trên hai gối i, j được trình bày tại hình 12. Theo cách làm này, góc quay tại hai đầu mút của mỗi sải trong dầm tính theo các biểu thức quen thuộc: wi’ = w’i (Qij) - ij jiij EI lM EI lM ϕ++ 63 wj’ = w’j (Qij) + EI lM ij 6 - ij ji EI lM ϕ+ 3 (a) 1 Thuật ngữ chuyên ngành bằng tiếng Anh “Slope Deflection Method”, phát triển từ năm 1915. 142 trong đó góc xoay dầm như một thanh rất cứngtính theo biểu thức l hh j ij 1−=ϕ , hj, h – chiều cao gối so với mặt chuẩn; w’i (Qij), w’j (Qij) góc xoay dầm do tác động lực phân bố trên dầm. Sau khi giải hệ phương trình trên có thể nhận được: M α αϕ ij i ij j M [ ] ( ) [ ] ( )⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −+−+= −+−+= ijij ij ij ijiijj ij ij ji ijji ij ij ijjiji ij ij ij l EI QQ l EI M l EI QQ l EI M ϕαααα ϕαααα 32 2 )()(2 2 32 2 )()(2 2 Trong công thức trên góc α thay cho biểu thức w’ nêu trước đó. Giả sử rằng nút thứ n chúng ta đang xem xét bị ngàm chặt, trong trường hợp đó αi = αj = ϕij = 0. Nếu ký hiệu [ ] [ ])()(22;)()(22 ijiijj ij ij jiijjiji ij ij ij QQl EI mQQ l EI m αααα +=+= , phương trình cuối sẽ mang dạng: Mij = mij - kij K0( 2αi + αj - 3ϕij ) Mji = mj i - kjiK0 ( 2αj + αi- 3ϕij ) (c) trong đó các hệ số được qui về dạng không thứ nguyên kij = ij ij l l I I 0 0 , 0 0 0 2 l EI K = . Tại mỗi nút liên kết phương trình cân bằng góc đưa bài toán về dạng cân bằng momen xoay góc: Mij Mik il Mim M Mik + Mil + Mim +...+ M = 0. (d) Trong thành phần tham gia vào (d) phải kể cả momen ngoại lực M . Công thức tính Mij bất kỳ được trình bày tại (c). Hình 12a Trong công thức (c), góc ϕij = 0 áp dụng cho trường hợp các nút cố định. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]irihigij riirhiihgiigiiij mmmmM K kkkk ++++ =+++++++ 0 1 2222 αααααααα (e) Dưới dạng chung công thức cuối có dạng: 143 ∑ ∑ ∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=+ j j j ijijijiji mMK kk 0 12 αα (f) Ví dụ 1: Giải khung phẳng sau đây, khi giải tính đến trường hợp các nút tham gia chuyển vị tuyến tính. Biết trước mô đun đàn hồi vật liệu làm khung E, momen quán tính mặt cắt ghi tại hình 13. 6m 6m B C A D 2I 2II A B D C 4 m ∆ ∆ Hình 13 Có thể tính momen tại ngàm ảo cho dầm BC theo các công thức từ sức bền vật liệu: mkNM mkNM FCB FBC .120 ;.120 12 640 2 = −=×−= MFAB = MFBA = MFCD = MFDC = 0 Phương trình cân bằng chuyển vị góc: Δ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−++= 375,0 4 32 4 20 BAAB EIM ϕϕ Δ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−++= 375,0 4 32 4 20 BBABA EI EIM ϕϕϕ ( ) CBCBBC EIEIIEM ϕϕϕϕ 887,0333,112026 )2(2120 ++−=++−= ( ) CBCBCB EIEIIEM ϕϕϕϕ 333,1667,012026 )2(2120 ++=++= Δ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−+= EIEIIEM CDCCD 333,0333,16 32 6 )2(2 ϕϕϕ 144 Δ−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−+= EIEIIEM CDCDC 333,0667,06 32 6 )2(2 ϕϕϕ Phương trình cân bằng momen. ∑ = 0BM ∑ ∑ =+ 0BCBA MM 0667,0333,1120375,0 =++−Δ− CCB EIEIEI ϕϕϕ (a) Ba công thức này được dồn lại trong biểu thức sau: 120375,0667,0333,2 =Δ−+ CB EIEI ϕϕ (b) ∑ = 0CM ∑ ∑ =+ 0CDCB MM 0333,0333,1667,0120 =Δ−++ EIEIEI CB ϕϕ Ba công thức này được dồn lại trong biểu thức: 120333,0667,2667,0 −=Δ−+ CB EIEI ϕϕ (c) Nếu coi rằng các phản lực ngang tại nút A và D mang giá trị sau: 4 BAAB A MMH += và 6 DCCD D MMH += Trong khi đó HA + HD = 0, chúng ta có thể viết: 3(MAB + MBA ) + 2(MCD + MDC ) = 0. Từ đó có thể viết phương trình cân bằng thứ ba, tiếp (b) và (c): 0583,345,4 =Δ−+ CB IEI ϕϕ (d) Giải hệ ba phương trình ba ẩn (a), (b), (c) nhận được nghiệm: EIϕB = 72,414; EIϕC = -60,172; EIΔ= 23,842; Thay các giá trị vừa tìm vào hệ phương trình cân bằng chuyển vị góc sẽ nhận được: MAB = 0,5.(72,414) – 0,375. 23,842 = 27,266 kN.m MBA = 72,414 – 0,375. 23,842 = 73,473 kN.m MBC = -120 + 1,333. 72,414 + 0,667.(-60,127) = 63,577 kN.m MCB = 120 + 0,667.72,414 + 1,333 (-60,127) = 88,151kN.m MCD = 1,333.(-60,127) –0,333.23,842 = 88,089 kN.m 145 MDC = 0,667.(-60,127) – 0,333.(23,842 = -48,044 kN.m Biểu đồ momen uốn giới thiệu tại cùng hình. Ví dụ 2: Giải bằng phương pháp chuyển vị góc khung phẳng, hình 14. Đặc tính hình học của khung: l12 = l 34 = l; l 14 = l 23 = 1,2l; I14 = I; I12 = I34 = 2I; I23 = 4I. q q Hình 14 m12 = 2 2 12 033,0 30 ql ql = ; m21 = 2 2 12 05,0 20 ql ql =− ; m23 = ql ql23 2 2 12 0 12= , ; Hệ phương trình đại số có dạng: 4 14 12 1 EI l ϕ + +4 14 142 ϕ l EI 4 12 12 1 EI l ϕ + +2 12 122 ϕ l EI m12 = 0 4 12 12 2 EI l ϕ + 2 14 14 1 EI l ϕ + m21 + 4 23 23 2 EI l ϕ + 2 23 23 23 EI l ϕ + m23 = 0 (a) với ϕ4 = - ϕ1; ϕ3 = - ϕ2 ; l I l I 6 5 14 14 = ; l I l I 2 12 12 = ; l I l I 3 10 23 23 = ; Hệ phương trình sau khi thay thế các giá trị trung gian có dạng: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −=+ −=+ EI ql EI ql 3 21 3 21 21,04412 099,01229 ϕϕ ϕϕ (b) từ đó: EI ql 3 1 00162,0−=ϕ EI ql 3 2 00433,0−=ϕ (c) Momen uốn được xác định theo công thức: M12 = m12 + 4 12 12 1 EI l ϕ + 2 12 12 2 EI l ϕ = 0,0028ql 2. M23 = m23 + 4 23 23 2 EI l ϕ − 2 23 23 2 EI l ϕ = 0,091ql 2 (d) 146 Trong cả hai phương pháp giải khung, phương pháp lực và phương pháp chuyển vị, phân bố tải trọng đúng cách sẽ giúp cho mô hình hóa đúng và gọn hơn. Với những khung ngang sườn tàu thông thường, kết cấu và hình học khung có tính đối xứng qua mặt cắt dọc, khi tính nên sử dụng mô hình tải trọng đối xứng, phản đối xứng hoặc á đối xứng nhằm giảm thiểu số ẩn. Một số cách làm thông dụng có thể gặp như sau. Trường hợp kết cấu và hình học khung đối xứng qua trục 0z, chỉ cần thực hiện tính trên một nửa mô hình. Điều kiện biên và điều kiện liên tục tại các điểm tiếp xúc giữa kết cấu và mặt phẳng đối xứng cần được tuân thủ nghiêm ngặt khi lập mô hình. Trường hợp tải trọng tác động lên khung dưới dạng không đối xứng, trong nhiều trường hợp có thể khai triển tải trọng đã có thành dạng tác động đối xứng và phản đối xứng lên khung. Ví dụ dưới đây miêu tả cách khai triển tải trọng thành tổng của lực đối xứng và phản đối xứng. Bài toán sẽ được chia làm hai bài riêng biệt, theo hai dạng chịu tải không giống nhau. Tuy nhiên nhờ đặc trưng hình học và đặc tính vật liệu của kết cấu không đổi, công tác chuẩn bị của người tính cho công trình chỉ phải thực hiện một lần, cho một nửa công trình. Sau khi áp đặt lực thực tế cho hệ thống sẽ nhận được các lời giải cho cùng một bài toán. Hình 15 Ví dụ để xác định momen uốn và lực cắt trong khung đối xứng, chịu tác động hai lực P/2 đặt tại các góc trên của khung, chỉ cần tiến hành các bước sau. Ví dụ này là một nửa bài toán đã nêu trên. Hình 16 Chúng ta sử dụng một nửa khung trong tính toán. Áp dụng phương pháp lực cho bài toán, có thể viết: a11 X1 + a1p = 0 (a) 147 trong đó a11 = EI l 12 7 3 , a1p = - EI Pl 4 3 từ đó: X1 = 7 3 P (b) Momen uốn và lực cắt cho công việc vừa nêu có dạng như trên hình minh họa. Ví dụ tiếp theo đề cập khung tầu chở dầu có một vách ngăn chạy dọc thường gặp trong tính độ bền cục bộ. Kết cấu khung đối xứng qua mặt cắt dọc giữa tàu. Tải trọng lên khung sẽ đối xứng nếu tàu chứa dầu với lượng như nhau tại hai khoang, và không đối xứng khi lượng dầu hai bên khác nhau. Trường hợp xấu nhất, chỉ một khoang bên phải nhận hàng, khoang trái để trống. Trường hợp này tiến hành chia bài toán thành hai bài toán có cùng khung dầm song tải trọng ở trạng thái đối xứng và á đối xứng. Hình 17. Khung sườn tàu chở dầu một vách dọc. Áp dụng phương pháp tính trình bày khi xử lý khung tàu dầu một vách dọc, cấu hình giống khung phẳng trình bày tại hình. Cấu hình của khung có dạng: l 12 = l 34 = l 56 = l 13 = l 35 = l 24 = l 46 = l. I12 = I34 = I56 = I13 = I35 = I; Tải trọng áp đặt tại khoang phía phải: Q1 = 0,5ql; Q2 = ql. Bài toán được tính cho hai mô hình phân bố tải trọng: đối xứng, trường hợp (1) dưới đây và á đối xứng, trường hợp (2). (1) Trường hợp chịu tải bố trí đối xứng góc xoay các nút thoả mãn điều kiện: Hình 18 148 Q/2 2 1 Q/2 2 6 1 3 5 Q/2 62 4 2 5 Q/21 1 3 4 Q/2 Q/2 1 2 Q/21 Q1 Q/2 2 α3 = α4 = 0; α5 = -α1 ; α6 = -α2. 2121 12 1331 0167,0 15 5,0 0 qllQM MM == == 2121 21 025,010 5,0 qllQM −=−= 2242 4224 0415,012 5,0 qllQMM −==−= Các kệ số kij tính như sau: ;2;1;1 24 24 24 13 13 13 12 12 12 ====== Il lIk Il lI k Il lIk Phương trình cân bằng góc xoay: M12 + M13 = 0; M24 + M21 = 0; (a) Có thể dùng ký hiệu sau cho các bước tiếp theo K0αi = xi. ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −=+−= −−=+−= −=+−= −−=+−= 2 2 12242424 12 2 12122121 131131313 21 2 21121212 40415,02 2025,02 22 20167,02 xqlxxkmM xxqlxxkmM xxxkmM xxqlxxkmM (b) Thay các giá trị tại (b) vào hệ phương trình (a) sẽ nhận được: ⎭⎬ ⎫ =+ =+ 2 21 2 21 0165,06 0167,04 qlxx qlxx (c) Nghiệm của hệ phương trình được xác định: ⎭⎬ ⎫ = = − − 22 2 22 1 10.215,0 10.358,0 qlx qlx (d) Từ đó: M12 = 72.10-4 ql 2; M13 = -71,6.10-4 ql 2; M21 = -329.10-4 ql 2; M24 = 329.10-4 ql 2; Momen uốn tính cho các nút tại trục đối xứng: 149 M31 = -k13.x1 = - 3,58.10-3 ql 2; M42 = m42 -k24.x2 = - 41,5.10-3 ql 2 - 2. 2,15.10-3 ql 2 = - 45,8.10-3 ql 2; (2) Trường hợp chịu tải bố trí á đối xứng góc xoay các nút thoả mãn điều kiện: α5 = α1 ; α6 = α2. Momen tại các nút mang tính chất sau: M42 = M46; M64 = M24; (*) Momen tại các nút tính theo công thức sau: ;0 ;0 64244642 53353113 =−=−== ==== MMMM MMMM ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ −=−= == == =−= 2341 43 2341 34 2121 21 2121 12 05,0 10 0333,0 15 5,0 025,0 10 5,0 0167,0 15 5,0 qllQM qllQM qllQM qllQM (**) Nhờ tính đối xứng độ cứng các dầm có thể viết: k12 = k13 = k34 = k35 =1; k24 = k46 =2. Các phương trình cân bằng góc xoay có dạng: M12 + M13 = 0; M24 + M21 = 0; M31 + M34 + M35 = 0; M42 + M43 + M46 = 0; (a) Vì rằng M31 = M35; M42 = M46, hai phương trình cuối có thể hiểu là: 2M31 + M34 = 0; 2M42 + M43 = 0; Có thể dùng ký hiệu sau cho các bước tiếp theo K0αi = xi. ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −−−=+−= −−=+−= −−=+−= −−=+−= 42 2 42242424 12 2 12122121 3131131313 21 2 21121212 240415,02 2025,02 22 20167,02 xxqlxxkmM xxqlxxkmM xxxxkmM xxqlxxkmM (b’) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ −−−=+−= −−=+−= −−=+−= −−=+−= 34 2 34344343 24 2 24244242 43 2 43343434 2113133131 205,02 240415,02 20333,02 22 xxqlxxkmM xxqlxxkmM xxqlxxkmM xxxxkmM (b’’) 150 Thay các giá trị tại (b’), (b’’) vào hệ phương trình (a’) sẽ nhận được: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =++ =++ −=++ −=++ 2 432 2 431 2 421 2 321 0333,0104 0333,062 0165,026 0167,04 qlxxx qlxxx qlxxx qlxxx (c’) Nghiệm của hệ phương trình được xác định: ⎭⎬ ⎫ −= −= − − 22 2 22 1 10.318,0 10.501,0 qlx qlx (d’) ⎭⎬ ⎫ = −= − − 22 4 22 3 10.392,0 10.656,0 qlx qlx Từ đó: M12 = -3,5.10-3 ql 2; M13 = 3,46.10-3 ql 2; M21 = 36,4.10-3 ql 2; M24 = -36,6.10-3 ql 2; M31 = -8,11.10-3 ql 2; M34 = 16,26.10-3 ql 2; M42 = 32,18.10-3 ql 2; M43 = -64,6.10-3 ql 2; Nghiệm của bài toán được xác định sau khi cộng kết quả tính từ hai sơ đồ (1) và (2) vừa trình bày. M12 = (7,2 - 3,5) 10-3 ql 2; = -3,7.10-3 ql 2; M13 = (-7,16 + 3,46) 10-3 ql 2; = - 3,7.10-3 ql 2; M21 = (-32,9 +36,4) 10-3 ql 2 = 3,5.10-3 ql 2; M24 = (32,9 -36,6) 10-3 ql 2 = -3,7.10-3 ql 2; M31 = (-3,58 -8,11) 10-3 ql 2 = -11,69.10-3 ql 2; M34 = 16,26.10-3 ql2; M35 = (3,58 - 8,11) 10-3 ql 2 = -4,53.10-3 ql 2; M42 = (-45,8 + 32,18) 10-3 ql 2 = -13,62.10-3 ql 2; M43 = -64,4.10-3 ql2; M46 = (45,8 + 32,18) 10-3 ql 2 = 77,98.10-3 ql 2; M53 = (7,16 + 3,46) 10-3 ql 2 = 10,62.10-3 ql 2; 151 M56 = (-7,2 - 3,5) 10-3 ql 2 = -10,7.10-3 ql 2; M64 = (-32,9 -36,6) 10-3 ql 2 = -69,5.10-3 ql 2; M65 = (32,9 +36,4) 10-3 ql 2 = 69,3.10-3 ql 2; Khi thực hiện xong việc xác định momen uốn tại các nút cần tiến hành kiểm tra điều kiện cân bằng các nút. Ví dụ nút số 3 được kiểm tra theo cách sau. M31 + M34 + M35 = (-11,69 + 16,26 - 4,53). 10-3 ql2 = 0,04. 10-3 ql 2; Sai số phép tính sẽ là: %12,0 48,32 4 53,426,1669,11 100.04,0 ==++=Δ Sai số này có thể chấp nhận trong các phép tính thực tế. 8. Phương pháp Cross Phương pháp tính do H. Cross, người Mỹ đề xuất năm 1930, áp dụng cho bộ môn cơ học kết cấu và sức bền vật liệu2. Đặc trưng rất quí của phương pháp nằm ở chỗ, nhờ phép tách dầm khi tìm ẩn dạng momen tại nút không cần thiết lập hệ phương trình và giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Cách làm này có lợi trong điều kiện các phương tiện tính toán chưa phát triển đầy đủ. Ngày nay phương pháp còn mang ý nghĩa khoa học giáo dục. Các công đoạn chính của phương pháp Cross như sau: (1) Xác định phân bố momen cân bằng giữa các thanh riêng lẻ cùng chung một nút, (2) Xác định độ lớn và dấu của các mômen đầu thứ hai các thanh là thành viên của nút đang xem xét. 3 m 4i2 α i2 i1 m i4mi3 m Có thể chọn kết cấu với một nút bốn nhánh tại hình 19 làm ví dụ tính toán. Các đầu thứ hai của các thanh nhánh được ngàm cứng. Dưới tac động momen ngoại iM tại nút thứ i, nút bị xoay góc αi. Giá trị momen mij của mỗi thanh tính theo công thức tổng quát: Hình 19 [ ] [ ])()(22;)()(22 ijiijj ij ij jiijjiji ij ij ij QQl EI mQQ l EI m αααα +=+= . 2 Hardy Cross, người Mỹ. Phương pháp xử lý hệ thống dầm không tĩnh định này ngày nay mang tên “Moment Distribution Method”. 152 Trường hợp dầm đơn nhịp, ngàm bên phải, tựa tự do bên trái, chịu tác động momen uốn đặt tại nút bên trái có thể viết quan hệ sau đây: ; 4 iiji ij ij ij Kl EI m αα =−= (a) trong đó ij ij ij l EI K 4= (b) Từ điều kiện cân bằng nút gồm n thanh có thể viết: ∑∑ == −== n j iji n j iji KmM 11 α (c) m m i j ij ij i l α Hình 20 Như vậy góc αi sẽ được tính theo cách sau: ∑ = −= n j ij i i K M 1 α (d) và ∑ = = n j ij ij iij K K Mm 1 (e) Phân số nằm về bên phải iM mang tên gọi hệ số phân bố momen tại nút, mang ký hiệu λij. ∑ = = n j ij ij ij K K 1 λ (f) Trường hợp dầm bị ngàm cả hai đầu quan hệ giữa momen mij và góc xoay được thể hiện qua công thức nêu tại chương 3 tài liệu. Trong trường hợp này có thể viết biểu thức tính mij theo dạng sau. 0 36 =− ij ijji ij ijij EI lm EI lm (g) Từ đây: ijji mm 2 1= (h) Trong thực tế tính toán nhiều kết cấu khung phẳng mô hình hóa từ sườn tàu có tính đối xứng qua mặt dọc giữa tàu. Trong trường hợp này có thể chuyển cấu hình khung về dạng ½ kết cấu thực để dùng vào tính toán. Tải trọng tác động lên khung 153 bố trí theo thể đối xứng phải được mô hình hóa theo cách trình bày trên. Tải trọng bố trí không đối xứng trên khung với kết cấu đối xứng cần được chuyển thành tổng của những tải trọng bố trí đối xứng và phản đối xứng. Trường hợp tải trọng bố trí đối xứng: ' ' ' ' ' ' 263 ii ii ii ii ii ii i EI Ml EI Ml EI Ml −=−−=α (i) Điều này cho phép viết: ' ' ' 2 ii ii ii l EIK = (j) Trường hợp tải trọng bố trí phản đối xứng: ' ' ' ' ' ' 663 ii ii ii ii ii ii i EI Ml EI Ml EI Ml −=+−=α (k) Điều này cho phép viết: ' ' ' 6 ii ii ii l EIK = (l) Trường hợp có thể gặp khi tính, đầu thứ hai của thanh bất kỳ xuất phát từ nút chung đang khảo sát tựa trên gối cứng. Hệ số cứng của các thanh kiểu này tính theo biểu thức: ij ij ii l EI K 3 ' = (m) Biểu thức tính hệ số phân bố momen như đã biết, không thứ nguyên. Có thể thay thế giá trị tuyệt đối của Kij bằng giá trị tương đối, xác định theo cách sau: ij ij ij ij lI lI k δ 0 0= (n) với δij = 1 cho tất cả các thanh nối vào một nút, chịu cân bằng góc xoay, δii’ = ½ - dùng cho thanh nối các nút đối xứng, chịu tải đối xứng, δii’ = 3/2 - dùng cho thanh nối nút đối xứng, chịu tải phản đối xứng, δij = ¾ - cho thanh đơn, tựa tự do tại đầu thứ hai. Công thức xác định hệ số phân bố giờ có dạng: ∑ = = n j ij ij ij k k 1 λ (o) 154 Các bước thực hiện khi tính độ bền khung phẳng phức tạp bao gồm: (1) Tính momen tại hai đầu mút các thanh do tác động của lực áp đặt lên thanh với giả thiết, mỗi thanh bị ngàm cả hai đầu, (2) Xác định độ cứng tương đối của các thanh và tính hệ số phân bố momen tại các nút, (3) Cân bằng các nút của khung và tính các momen thứ tại các nút lân cận, (4) Thực hiện cân bằng nút theo bảng sau đây. Quá trình này bắt đầu từ nút ít cân bằng nhất. Có thể đồng thời cân bằng nhiều nút lân cận với nút đang xét. Ví dụ 1: Dùng phương pháp tính của Cross xác định momen tại các nút kết cấu khung phẳng, kích thước như tại hình 21. 2' 13 4' 3' 1' 3 1 2 4 l l12 l34 24 l Hình 21 Dữ liệu liên quan đến cấu hình khung phẳng đang xem xét: l13 = l24 = l 1’3’ = l 2’4’ = H; l 12 = l 1’2’ = l 34 = l 3’4’= 422 '33'11 Bll == I24 = I2’4’ ; I13 = I1’3’; I34 = I3’4’; I12 = I1’2’; Và B = 2H = 2l0; I11’ = 5I0; I12 = 3IO; I13 = I24 = 3I0; I34 = I0; I33’ = 2I0. Đọâ cứng tương đối các thanh tính theo công thức: 5,2 2 5 '11 '110 0'11 11 === δlI lIk 6 5,0 3 120 012 12 === lI lIk 3 130 013 13 == lI lIk 3 240 024 24 == lI lIk 155 2 5,0 1 340 034 34 === lI lIk 1 2 1 1 2 '33 '330 0'33 '33 === δlI lIk Hệ số phân bố momen tại các nút: Nút 1. 22,0 365,2 5,2 1312'11 '11 '11 =++=++= kkk kλ 52,0 35,26 6 13'1112 12 12 =++=++= kkk kλ 26,0 365,2 3 1312'11 '11 13 =++=++= kkk kλ Nút 2. 67,0 36 6 2412 12 21 =+=+= kk kλ 33,0 36 3 2412 24 24 =+=+= kk kλ Nút 3. 17,0 213 1 3413'33 '33 33 =++=++= kkk kλ 5,0 213 3 3413'33 13 31 =++=++= kkk kλ 33,0 213 2 3413'33 34 34 =++=++= kkk kλ Nút 4. 6,0 23 3 3424 24 42 =+=+= kk kλ 4,0 23 2 3424 34 43 =+=+= kk kλ Momen mij tính cho trường hợp thanh bị ngàm cả hai đầu có dạng: 156 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ == −=−= −=−=−= == 2 0 2 42 42 2 0 2 24 24 2 0 2 12 2112 2 0 2 '11 '11 033,0 30 05,0 20 021,0 12 083,0 12 qlqlm qlqlm qlqlmm qlqlm Quá trình cân bằng các góc và xác định momen tại nút tiến hành theo thứ tự ghi tại bảng 1 sau đây. Hai dòng đầu giành để ghi số thứ tự các nút và thanh. Dòng thứ ba ghi các giá trị hệ số phân bố momen trong các nút, dòng bốn các giá trị momen nhóm đầu dạng không thứ nguyên. Cân bằng bắt đầu từ nút 1 được coi như nút kém cân bằng nhất, theo nghĩa, giá trị tổng momen nhóm đầu lớn nhất. Dòng năm, theo thứ tự các cột tương ứng cho các thanh 1 – 1’, 1 – 2, 1 – 3 ghi các giá trị momen cân bằng bằng tích của momen không cân bằng nút hiện tại, ví dụ 0,062ql02, lấy ngược dấu, với hệ số phân bố momen. Tại các cột ứng với thanh 2 – 1 và 3 – 1 của cột ghi các giá giá trị momen nhóm hai, bằng một nửa các momen cân bằng, đã ghi tại các cột 1 –2 và 1 – 3. Dòng cuối dùng cho nút thứ tư. Quá trình tính tiếp tục cho đến khi giá trị các momen nhóm hai của cân bằng các góc đạt giới hạn sai số cho phép. Cộng tất cả momen ghi tại mỗi cột sẽ nhận được giá trị tính toán cho momen tại nút. Bảng 1 Nút 1 2 3 4 Thanh i – j 1 – 1’ 1 – 2 1 – 3 2 – 1 2 – 4 3 – 1 3 – 3’ 3 – 4 4 – 2 4 – 3 Hệ số phân bố λij 0,22 0,52 0,26 0,67 0,33 0,50 0,17 0,33 0,60 0,40 Hệ sô 2 0ql mij 0,083 -0,021 0,021 -0,050 0,033 1 -0,014 -0,032 -0,016 -0,016 -0,008 4 -0,010 -0,007 -0,020 -0,013 2 0,019 0,037 0,018 0,009 1 -0,004 -0,010