Giáo trình Cơ lưu chất

ộ diện tích :ø : moment tĩnh của diện tích A đối với trục OX ∫∫A ydA AyydA CA =∫∫ Do đó ( )AhpF c0 γ+= ApF c= Vậy áp lực F tác dụng lên diện tích A bằng áp suất tại trọng tâm (pc ) diện tích A nhân cho diện tích đó. F c hc hp dA y x yc c A ( ) ( )dAypdAhppdAdF αγγ sin00 +=+== ( ) ∫∫∫∫ ∫∫ αγ+=αγ+= AA 00 ydAsindApdAsinypF ∫∫αγ+= A0 ydAsinAp AysinApF c0 αγ+= Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 5 Điểm đặt : D ( yD và xD) của F trường hợp áp suất trên mặt thóang p0=0 Xác định yD : - Moment của F đối với trục OX Mox = F. yD = γhcA. yD = γyc sin α A. yD (2.12) Ngòai ra: monent của dF trên dA đối với trục OX là: dMox = dF . y = γ h dA y = γ y2 sin α dA Vậy moment của F đối với trục OX là : ∫∫ αγ= A 2ox dAsinyM đặt : moment quán tính của A đối với OX ∫∫= Axx dAyI 2 (2.13)oxox IM αγ sin= (2.12) và (2.13) : γyc sin α A. yD= γsinα IOX Suy ra : (2.14)Ay I y c ox D = Moment quán tính đ/v trục ox có thể tính từ moment quán tính đ/v trục đi ngang qua trọng tâm C theo công thức Ay AyI y c 2 cc D += Ay I yy c c CD += Ay I yy c c CD =− (2.15) Ic luôn luôn dương, do đó . Nghĩa là vị trí D thấp hơn Cy yD C> Tọa độ xD : không cần xác định nếu diện tích A có một trục đối xứng song song với oy thì D sẽ nẳm trên trục đối xứng đó Suy luận : Hãy tìm cách xác định điểm đặt áp lực trong trường hợp trên mặt thoáng có áp suất po≠ 0 po hc h y yc y o α A dA c p c yD D D F ∫∫αγ= A 2dAysin AyII 2ccox += a b c 6.2 Áp lực chất lỏng lên mặt cong: Xét một mặt cong abc có cạnh ab song song với trục oy dAx dA b’ a’ x z y o dFx dAx α dF α dA Lực tác dụng lên mặt cong tổng quát: 222 zyx FFFF ++= Trường hợp ab // oy nên Fy = 0, tìm Fx và Fz Áp lực dF trên diện tích vi phân dA : dF = p. dA Chiếu dF trên phương ox dFx = p. dA sin α = p. dAx Do đó Fx = ∫∫ xA xpdA Fx : chính là lực tác dụng lên hình chiếu của abc trên phương thẳng góc với trục ox ( phương thẳng đứng) hay nói cách khác là lực trên mặt phẳng a’b’c Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 6 Tương tự , chiếu dF lên phương oz: do đó Fz = ∫∫ zA zpdA Trường hợp áp suất trên mặt thoáng bằng không và gọi h là khoảng cách thẳng đứng từ diên tích vi phân dA đến mặt thoáng thì : Fz = γ. W W: được gọi là thể tích vật áp lực ( thể tích abb’c) Định nghĩa VAL: Thể tích vật áp lực là thể tích giới hạn bởi mặt cong và các mặt bên thẳng đứng tựa vào mép mặt cong rồiø kéo dài lên cho đến khi gặp mặt thoáng hay phần nối dài cuả mặt thoáng. dFz = p. dA cos α = p. dAz x z y o a b c dAz dA b’ a’ dFx dAx α dF α dA ∫∫∫∫ = zz A z A z hdAhdA γγFz = dAz dFzh Po=0 A B D C• • 2R 2R A B D C• • 2R 2R Po γ1 γ2 Thí dụ 2 (?) Xem xét trường hợp có nhiều loại chất lỏng và trên mặt thoáng không phải áp suất khí trời . (?) Xem xét trường hợp một phần tám qủa cầu trong chất lỏng, xác định Fx và Fz Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 7 Thí nghiệm : Ottovon Guericke (8.5.1654) tại Maydeburg, Đức Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trong qủa cầu bằng khơng . Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn khơng tách bán cầu ra được. Vậy phải cần 1 lực bằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu khơng đáng kể) DF =? F =? Chân khơng p(tuyệt đối) = 0 Suy luận 6.3 Lực đẩy Archimède: V1 V2 V A B m n + γ Một vật nằm trong môi trường chất lỏng sẽ bị một lực đẩy thẳng đúng từ dưới lên trên và bằng trọng lượng của chất lỏng mà vật đó chiếm chỗ. (287-212 BC) Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 8 • C D • • C D• VII. SỰ CÂN BẰNG MỘT VẬT TRONG CHẤT LỎNG: Cân bằng ổn định 7.1 Vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng : D dưới C FA G • C D• FA G • C D • FA G D trên C Cân bằng không ổn định C : điểm đặt trọng lượng, D : điểm đặt lực đẩy archimede FA G 7.2 Vật ngập một phần trong chất lỏng : C • D • Tâm định khuynh M nằm trong CD MD được xác định : W I MD yy= Iyy: moment quán tính của mặt nổi đối với trục quay yy W : Thể tích vật chìm trong chất lỏng • M D • • C D• M• D dưới C Tâm định khuynh M nằm ngoài CD D dưới C G D • • C • D FA G • C • D FA G FA • D’ G •D’ FA Cân bằng ổn định Cân bằng không ổn định D : điểm đặt lực đẩy ArchimedeC : điểm đặt trọng tâm vật Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 9 VIII. TĨNH HỌC TƯƠNG ĐỐI : 8.1- Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng ngang với gia tốc không đổi Xét chất lỏng chuyển động thẳng với gia tốc a, áp dụng phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng: a x p x pa ρρ −=∂ ∂⇒=∂ ∂−− 01 => p = -ρax + f(y,z) 0010 =∂ ∂=>=∂ ∂− y p y p ρ => p = -ρax + f(z) g z p z pg ρρ −=∂ ∂=>=∂ ∂−− 01 và từ trên z f z p ∂ ∂=∂ ∂ g z f ρ−=∂ ∂ => f = -ρgz +C1 thay f vào p = -ρax - ρgz + C1 Phương trình mặt đẳng áp: dp = 0 => 0=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ dz z pdy y pdx x p Thay các gía trị vào rút ra đượczpypxp ∂∂∂∂∂∂ /,/,/ zCxg az +−= Mặt đẳng áp là những mặt phẳng nghiêng song song với mặt thóang. Khi xe chuyển động và chất lỏng không bị tràn ra ngoài thì mặt thoáng lúc nầy sẽ đi ngang qua trung điểm M của mặt thống khi xe đứng yên a>0 x>0 z M 01 =− pgradF ρ r 8.2 Chất lỏng trong bình chuyển động quay đều quanh trục thẳng đứng Xét chất lỏng trong bình chuyển động quay với góc ω không đổi. h/2 h/2 h ω z r Chất lỏng cân bằng với lực khối trên các phương như sau: Phương trình phân bố áp suất 1 22 2 1 Cgzrp +−= ρρω Phương trình mặt đẳng áp 2222 1 Cr g z += ω Mặt đẳng áp là những mặt paraboloid tròn xoay Chú ý : Do thể tích chất lỏng trong bình trước và sau khi quay bằng nhau, nên khoảng cách từ mặt thoáng chất lỏng khi bình đứng yên đến đỉnh và chân của paraboloid bằng nhau. xFx 2ω= yFy 2ω= gFz −= Thay vào phương trình cơ bản và viết lại trên tọa độ trụ co:ù Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 10 T Đ Hình 1.2 1 21 22 3 4 5 7 8 9 10 11 12 23 6 A B C D E F G H I J Đ Câu 1: Hãy cho biết các áp suất nào bằng nhau trong thí nghiệm sau đây và mực chất lỏng nào ngang nhau nếu tất cả các ống đều có đường kính giống nhau (1 ) (2 ) (4 ) Câu 2 Hãy cho biết biểu đồ phân bố áp suất tuyệt đối nào sau đây là đúng: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 (3) (2 ) (3 ) (4 )(1 ) Hãy cho biết biểu đồ phân bố áp suất dư nào sau đây là đúng: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 11 paCâu 3 Các ví dụ về vật áp lực Vval: Pdu w Fz Pa Pck w Fz Pa Pck Pa w Fz w pa w pdư pdư/γ Fz w pck pa pck/γFz pa w Fz pck pa pck/γ w Fz pck pa pck/γ w1 w2 Fz1 Fz2 Câu 4: Các thùng trên hình vẽ đều có đáy tròn và cùng đường kính, chứa nước và dầu. Gọi F1, F2 và F3 là lực tác dụng trên đáy thùng. Ta có : nước dầu F1 nước dầu F2 nước dầu F3 a) F1 > F2 > F3 b) F1 F1 = F2 Câu 5. Trong thí nghiệm của Toricelli ông dùng một ống nghiệm úp trên một chậu thủy ngân và hút hết không khí trong ống ra thì thấy mực thủy ngân dâng lên trong ống nghiệm 76 cm. Nếu thay thủy ngân bằng nước thì mực nước trong ống nghiệm sẽ là : a) Thấp hơn mực thủy ngân b) Cao hơn mực thủy ngân c) Bằng mực thủy ngân d) Có thể cao hơn hoặc thấp tuỳ thuộc vào đường kính của ống nghiệm lớn hay nhỏ. Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 12 Câu 6. Một thùng nước có trọng lượng Wn và một qủa cầu có trọng lượng Wc . Nếu gọi W là trị số đọc trên cân khi bỏ qủa cầu vào trong nước thì a) W < Wn + Wc khi qủa cầu nổi trên mặt thoáng b) W < Wn + Wc khi qủa cầu nổi chìm lơ lững như hình vẽ c) W = Wn + Wc khi qủa cầu chìm xuống đáy bình d) Cả 3 đều đúng W Qủa cầu ω A • Câu 7: Một ống hình chữ U, một đầu bịt kín và một đầu để hở tiếp xúc với khí trời. Khi đứng yên mực nước trong bình nằm ngang như hình vẽ. Nếu bình quay tròn qua trục thẳng đứng đối xứng với vận tốc quay ω thì áp suất tại A so với lúc đứng yên sẽ là : a)Nhỏ hơn b) Lớn hơn c) Không đổi d) Chưa xác định còn phụ thuộc vào vận tốc quay ω Archimede 287-212 BC Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 13 Pascal 1623-1662 , Pháp (1 ) (2 ) (4 ) Hãy cho biết biểu đồ phân bố áp suất tuyệt đối nào sau đây là đúng: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 (3) (2 ) (3 ) (4 )(1 ) Hãy cho biết biểu đồ phân bố áp suất dư nào sau đây là đúng: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 14 pa¾ Các ví dụ về vật áp lực Vval: Pdu w Fz Pa Pck w Fz Pa Pck Pa w Fz w pa w pdư pdư/γ Fz w pck pa pck/γFz pa w Fz pck pa pck/γ w Fz pck pa pck/γ w1 w2 Fz1 Fz2 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 1 Chương 3 ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT I HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.1– Phương pháp Lagrange. (J.L de Lagrange, nhà toán học người Pháp,1736-1883) Theo dõi qúa trình chuyển động của các phần tử chất lỏng và những diễn biến trong qúa trình di chuyển của nóù. x y z zo xo yo to t ( )t,rfr orr = (3.1) hay ( )t,z,y,xxx ooo= ( )t,z,y,xyy ooo= ( )t,z,y,xzz ooo= Vận tốc được xác định: dt rdu =r 2 2 dt rd dt uda rrr == dt dzu ; dt dyu ; dt dxu zyx === 2 2 z2 2 y y2 2 x x dd=a ;d d =a ; d d =a dt z dt u dt y dt u dt x dt u z === Trong phương pháp Lagrange , các yếu tố chuyển động là một hàm có biến số là thời gian Ví dụ : u = at2 + b (a, b là hằng số) x z yro r 1.2– Phương pháp Euler. ( L. Euler, nhà toán học người Thụy Sĩ, 1707-1783) Mô tả các yếu tố dòng chảy tại từng điểm trong không gian, do đó các thông số dòng chảy là một hàm theo vi trí và thời gian ( )t,z,y,xu=u rr và các thành phần ( )tzyxuu xx ,,,= ( )tzyxuu yy ,,,= ( )tzyxuu zz ,,,= Thí dụ : ux = 5x(1+t) , uy = 5y(-1+t) Gia tốc của chuyển động : dua dt = rr trên phương x: x x x xx x y z u u u ua u u u x y z t ∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂ trên phương y: y y y yy x y z u u u u a u u u x y z t ∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂ trên phương z: Gia tốc đối lưu Gia tốc cục bộ z z z z z z y z u u u ua u u u x y z t ∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂ Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 2 II. MỘT SỐ KHÁI NIỆM 2.1 Đường dòng : Đường cong đi qua các phần tử chất lỏng có các vector vận tốc là tiếp tuyến với đường cong đó. Phương trình vi phân của đường dòng dx u dy u dz ux y z = = + Hai đường dòng không cắt nhau + Trong chuyển động ổn định , đường dòng trùng với qũi đạo Tính chất: 2.2 Dòng nguyên tố : dA Dòng nguyên tốXét diện tích dA, các đường dòng bao quanh chu vi diện tích dA taọ thành một ống dòng, chất lỏng di chuyển trong ống dòng được gọi là dòng nguyên tố Lưu chất di chuyển trong dòng nguyên tố thì không đi ra khỏi và lưu chất bên ngoài cũng không đi vào dòng nguyên tố Đường dòng a b 2.3 Diện tích ướt - Chu vi uớt – Bán kính thủy lực Diện tích ướt là diện tích thẳng góc với các đường dòng và chứa chất lỏng Chu vi ướt phần tiếp xúc với chất lỏng và thành rắn Bán kính thủy lực : tỉ số giữa diện tích ướt và chu vi ướt Dp π=baabap +=++= 2 4 4/2 D D D P AR === π π 2.4 Lưu lượng Thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian (m3/s) Khi lưu lượng tính theo khối lượng(kg/s) ∫∫ ρ= Am udAQ Nhận xét: Từ (3.5) cho thấy lưu lượng chính là thể tích của biểu đồ phân bố vận tốc ∫∫= AudAQ (3.5) 2.5 Vận tốc trung bình:. V Q A = Biểu đồ phân bố vận tốc ba ab P AR +== 2 a b D Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 3 III. PHÂN LOẠI CHUYỂN ĐỘNG 3.1 Phân loại theo ma sát: Chuyển động chất lỏng lý tưởng, : không có ma sát 3.2 Phân loại theo thời gian: * Chuyển động ổn định: u = u(x,y,z) a = a(x,y,z) ∂ ∂ ∂ ∂ u t a t = =0 0 * Chuyển động không ổn định u = u(x,y,z,t) a = a(x,y,z,t) 3.3 Phân loại theo không gian Dòng chảy 1 D, 2D và 3D (Dimension) Chuyển động chất lỏng thực: có ma sát Chuyển động tầng Chuyển động rối Hệ số Reynolds VD 4VRRe = =ν ν ν : Hệ số nhớt động học IV. PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH KIỂM SOÁT VÀ ĐẠO HÀM CỦA MỘT TÍCH PHÂN KHỐI 4.1.Phương pháp thể tích kiểm soát: ∫∫∫= W dWX κρ W: thể tích kiểm soát X : Đại lượng cần nghiên cứu K : Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng) Thí dụ : Đại lượng đơn vị của khối lượng K =1 Đại lượng đơn vị của động lượng ur=κ 4.2. Đạo hàm của một tích phân khối ∫∫∫= W dWX κρ (Tích phân khối) ( )∫∫∫= W dWdtddtdX κρ (Đạo hàm của một tích phân khối)? S W u dw CV Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 4 ( ) ( ) 221122 AtCtBtAtAtBt XXXXXXX −++−+=Δ Tại thời điểm t1 111 BtAtt XXX += Thời điểm t2 X X Xt Bt Ct2 2 2= + Trong thời gian t, có sự biến đổi ( ) ( ) 1122 BtAtCtBt XXXXX +−+=Δ ( ) ( ) 2212 AtCttBAtBA XXXX −+−= ++ ( ) ( ) t XX t XX t X AtCttBAtBA Δ −+Δ −=Δ Δ ++ 2212 đạo hàm theo t Trong đó (1) ∫∫= 2 2 SCt dAn.utX rrκρΔ ∫∫−= 1 2 SAt dAn.utX rrκρΔvà t dAn.utdAn.ut lim t XX lim SS t AtCt t Δ κρΔκρΔ Δ ΔΔ ∫∫∫∫ +=− →→ 1222 00 rrrr ∫∫+= S CVCV dAnu t X dt dX rr.κρ∂ ∂ ( ) ( ) t X t XX tBAtBA t ∂ ∂=Δ − ++ →Δ 12 0 lim (3.8) ∫∫∫∫ == + SSS dAn.udAn.u rrrr κρκρ21 (3.9) (3.10) Thay (3.8), (3.9) vào (3.7) Do đó (2) 44 344 21444 3444 21 )2( 0 )1( )()( 00 2212 limlimlim t XX t XX t X dt dX AtCt t tBAtBA tt Δ −+Δ −=Δ Δ= →Δ ++ →Δ→Δ (3.7) CV: thể tích kiểm soát ( Control Volume) S: diện tích bao quanh thể tích kiểm soáùt t2 S2 S1 C A B W t1 ∫∫∫∫ += 12 .. SS dAnudAnu rrrr κρκρ 3.5. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC Bảo toàn khối lượng dm dt = 0 Áp dụng phương pháp thể tích kiểm soát ∫∫∫= W dWX κρ 0=+= ∫∫S CVHT dAn.u t m dt dm rrρ∂ ∂ 0=+ ∫∫∫∫∫ SW dAn.udWt rrρ∂∂ρ ( ) 0=+ ∫∫∫∫∫∫ WW dWudivdWt rρ∂∂ρ ( ) 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +∫∫∫W dWudivt rρ∂∂ρ ( ) 0=+ udivt rρ∂ ∂ρ K=1 (PT liên tục) Biến đổi Gauss CV ∫∫∫= W dWm ρ 0=ρ+ρ∂ ∂ ∫∫∫∫∫ SW dAn.udWt rr Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 5 CV * Chất lỏng không nén được: 0=udiv r Hay ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u x u y u z x y z+ + = 0 Trong tọa độ cực ( ) 011 =++ z uu r ru rr z r ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ θ *Trường hơp lưu chất chuyển động ổn định , chọn thể tích kiểm sóat bao quanh dòng chảy 0 21 ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ =++= A SAS b dAn.udAn.udAn.udAn.u rrrrrrrr ρρρρ 0=+ ∫∫∫∫∫ SW dAn.udWt rrρ∂∂ρ u2 n u1 A1 A2 n Sb 0 21 222111 ∫∫∫∫ =+ AA dAn.udAn.u rrrr ρρ Q Qm m1 2= o ConstAVAV == 222111 ρρ ρ ρ1 2= = Const Q Q1 2=Chất lỏng không nén được: V A V A Const1 1 2 2= = (ρ = const) ConstQQ == 2211 ρρ ( ) 0=+ udiv t rρ∂ ∂ρ 021 =+− mm QQ 3.6 PHÂN TÍCH CHUYỂN ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT: Vận tốc quay: uRot rr 2 1=ω ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ zyx uuu zyx kji rrr 2 1= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= z u y u yz x 2 1ω ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= x u z u zx y 2 1ω ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= y u x u xy z 2 1ω Chuyển động 1. Tịnh tiến 2. Quay 3. Biến dạng Một chuyển động không quay thì : ωx = ωy = ωy = 0 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 6 Thú dụ: Xác định đường dòng của một dòng chảy có : ux = 2y và uy = 4x yx u dy u dx = x dy y dx 42 = ydyxdx 24 = ydyxdx =2 Cyx +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 22 2 22 Cyx =− 222 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 1 z o x y dx dy dz Chương 4 ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT I. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER) Xét một khối hình hộp vi phân dxdydz trong khối chất lỏng lý tưởng chuyển động. Tổng lực tác động trên khối hình hộp vi phân => pp dx x ∂+ ∂ p Với : lực khối đơn vị p(x,y,z,t) : áp suất u (x,y,z,t) : vận tốc F r dt udpgrad1F vr =ρ− Nếu viết trên phương x thì : dt du x pF xx =∂ ∂− ρ 1 dt dt t u dt dz z u dt dy y u dt dx x u x pF xxxxx ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂− ρ 1 thêm vào vế phải t u z uu y uu x uu x pF xxzxyxxx ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂− ρ 1 x uu x u u x uu x u u zz y y z z y y ∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂ dt udpgradF rr =− ρ 1 sau khi biến đổi, ta có: t u y u x u u x u z uu uuu xx pF xxyyzxz zyx x ∂ ∂+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ ∂ ∂=∂ ∂− 2 1 222 ρ [ ] t uuu u xx pF xzyyzx ∂ ∂+−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂=∂ ∂− ωωρ 222 1 2 và viết dưới dạng vector 21 u uF gradp grad 2 u t 2 ∂− = + + ω×ρ ∂ ruuuuur uuuurr r r pt Euler dạng Lam-Gromêko Tương tự trên phương y [ ]2 yy x z z x u1 p uF u 2 u 2y y 2 t ∂⎛ ⎞∂ ∂− = + ω − ω +⎜ ⎟ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ trên phương z 2 z z y x x y 1 p u uF u 2 u 2 z z 2 t ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤− = + ω − ω +⎜ ⎟ ⎣ ⎦ρ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 2 uxugrad t ugradpF rr rr ωρ 22 1 2 ++∂ ∂=− II.TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG Lực có thế: Lực khối đơn vị F là lực có thế khi có thể tìm được một hàm π(x,y,z) sao cho F gradπ= −uuuurr nghĩa là : x Fx ∂ ∂−= π y Fy ∂ ∂−= π z Fz ∂ ∂−= π và π(x,y,z) được gọi là hàm thế Thí dụ : Lực khối đơn vị là trọng lực là một lực có thế với : π(x,y,z) = gz Hàm áp suất: Π(x,y,z) gọi là hàm áp suất khi pgradgrad ρ 1=Π Cdp +=Π ∫ ρ Nếu chất lỏng không nén được: ρ = const thì : C p +=Π ρ Thay vào phương trình Lamb Gromêkô : 2u ugrad 2 xu 2 t ⎛ ⎞ ∂− π+Π + = + ϖ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ruuuur r r 1. Trường hợp chuyển động không quay (chuyển động thế): Một chuyển động không quay luôn luôn tìm được một hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z,t) sao cho: ϕgradu =r chuyển động không quay 0=ϖr 2ugrad 0 t 2 ⎛ ⎞∂ϕ− + π+Π + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ uuuur Cu t =+Π++∂ ∂ 2 2 πϕ chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất là trọng lực Cupgz =++ 2 2 ρ 2u ugrad 2 xu 2 t ⎛ ⎞ ∂− π+Π + = + ϖ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ruuuur r r ( )2ugrad grad2 t⎛ ⎞ ∂− π+Π + = ϕ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ uuuur uuuur 2ugrad grad 2 t ⎛ ⎞ ∂ϕ⎛ ⎞− π+Π + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎝ ⎠ uuuur uuuur Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 3 2. Chuyển động ổn định, tích phân dọc theo đuờng dòng: Chuyển động ổn định : 0=∂ ∂ t ur 2ugrad 2 xu 2 ⎛ ⎞− π+Π + = ϖ⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur r r Nhân (4.11) hai vế cho ds 2ugrad .ds 2 xu.ds 2 ⎛ ⎞− π+Π + = ϖ⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur uurr r mà trên đường dòng ux rrϖ ds 2ugrad .ds 0 2 ⎛ ⎞π +Π + =⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur 0 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +Π+ ds ud π Cu =+Π+ 2 2 π Nếu chất lỏng chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hường duy nhất là trọng lực thì thay (4.12) cho trên một đường dòng là Cupgz =++ 2 2 ρ uxrrω urdS ωv 3. Chuyển động ổn định tích phân dọc theo đường xoáy: Đường xoáy là cong đi qua các điểm có vector vận tốc xoáy là tiếp tuyến. Tương tự như trên đường dòng, nhân 2 vế , là một vector vi phân trên đường xoáydsds 2ugrad .ds 2 xu.ds 2 ⎛ ⎞− π+Π + = ϖ⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur uurr r mà trên đường xoáy uxrrϖds 2ugrad .ds 0 2 ⎛ ⎞π+Π + =⎜ ⎟⎝ ⎠ uuuur uur 0 2 2 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +Π+ ds ud π Cu =+Π+ 2 2 π Nếu chất lỏng chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hường duy nhất là trọng lực thì thay (4.12) cho trên một đường xoáy là Cupgz =++ 2 2 ρ Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 4 4. Chuyển động ổn định, tích phân theo phương pháp tuyến với đuờng dòng Ta có : τrr .uu = dt du dt du dt ud ττ rrr += . n R uu s uu t u dt ud rrr +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= .τ Thay vào pt Euler: ( ) n R uu s uu t ugrad rr +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂=Π+− .τπ Nhân 2 vế cho dn ( )[ ] dnn R uu s uu t udngrad ... ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂=Π+− rrτπ ( )[ ] dn R udngrad 2 . =Π+− π Nếu chất lỏng chuyển động ổn định, không nén được và chỉ chịu ảnh hường duy nhất là trọng lực thì cho trên phương pháp tuyến của đường dòng là R upgz n 2 −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ ρ ( ) R u n 2 −=Π+∂ ∂ π khi những đường dòng thẳng song song thỉ R Ỉ ∞ hay 0=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ ρ pgz n Cpgz =+ ρ áp suất phân bố theo qui luật thủy tĩnh trên phương thẳng góc với đường dòng R s , o n ur Vector đơn vị trên phương s và nnvr ,τ W CV III. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG Xét thể tích kiểm soát W, bao quanh diện tích A. u n dA Đại lượng nghiên cứu là năng lượng X = E Năng lượng đơn vị K = u2/2 + gz (động năng + thế năng) ∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += W dWgzuE ρ 2 2 dAnugzudWgzu tdt dE AW ∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= rrρ 22 22 Theo định luật I nhiệt động lực học, sự biến thiên năng lương trong một hệ thống của các phần tử chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) , bằng công suất cung cấp cho hệ thống cộng với nhiệt lượng thêm vào hệ thống trong một đơn vị thời gian dt QdP dt dE ~+= ∫∫∫= W dWX κρ Không có sự trao đổi nhiệt dt QdP dt dE ~+= Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Tóm tắt bài giảng Cơ lưu chất- TS Huỳnh công Hoài ĐH Bách Khoa tp HCM 5 Không có sự trao đổi nhiệt P dt dE = P do lực tác dụng trên diện tích A bao quanh thể tích kiểm soát gồm nr áp suất-p τr Ứng suất do ma sát ( ) ( ) dAuudAnpP AA ∫∫∫∫ τ+−= rrrv ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ AAAW dAuudAnpdAnugzudWgzu t rrrvrr τρ 22 22 Thay vào: sắp xếp lại : ( ) dAudAnugzpudWgzu t AAW ∫∫∫∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂ rrrr τρρ22 22 Chuyển động ổn định: ( ) dAudAnugzpu AA ∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrr τρρ2 2 W C V u n dA dAnugzugzu tdt dE AW ∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂= rrρ 22 22 ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ dAnugzpdAnuudAnugzpdAnuudAnugzpu rrrrrrrrrr ρρρρρρρρ 222 222 Trường hợp chọn thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy tại mặt cắt A1 và A2 có đường dòng song song : ( ) dAudAnugzpudAnugzpudAnugzpu ASbAA ∫∫∫∫∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrrrrrr τρρρρρρ 222 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 V1 p2 V2 p1 Mặt chuẩn z1 z2 A1 A2 ( ) dAudAnugzpu AA ∫∫∫∫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ rrrr τρρ2 2 Hằng số Đường thẳngsong song Printed with FinePrint - purchase at www.fineprin