Giáo trình Cơ sở xử lý ảnh

hông đổi, rõ ràng chúng ta có thể giảm năng lượng của nó. Nguyên lý đồng dạng phát biểu rằng thu hẹp một hàm không những giãn rộng biến đổi của nó, mà còn làm giảm biên độ của nó, để giữ cho năng lượng trong hai miền bằng nhau. 10.3. HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét biến đổi Fourier đóng những vai trò quan trọng như thế nào trong phân tích hệ thống tuyến tính. 10.3.1. Thuật ngữ trong hệ thống tuyến tính Hình 10-3 trình bày, trong cả hai miền, thuật ngữ thường sử dụng cho hệ thống tuyến tính. Nói chung, biến đổi Fourier của một tín hiệu được gọi là phổ tín hiệu, và biến đổi Fourier ngược của phổ là một tín hiệu. Tương tự, đáp ứng xung và hàm truyền đạt tạo thành một cặp biến đổi Fourier 150 10.3.2. Định danh hệ thống tuyến tính Thông thường, chúng ta chưa biết đáp ứng xung và hàm truyền đạt của một hệ thống và phải đi xác định chúng. Quá trình này gọi là định danh hệ thống. Đối với hệ thống tuyến tính trong hình 10-3, nguyên lý tích chập ngụ ý rằng      sGsFsH  (79) Bây giờ chúng ta có thể viết        0 sF sF sHsG (80) HÌNH 10-3 Hình 10-3 Thuật ngữ hệ thống tuyến tính Và do đó                  tf thtg 1 (81) Nghĩa là chúng ta có thể nhập một hàm f(t) đã biết, đáp ứng xung h(t), và tính g(t) bằng phép tích phân số học. Ví dụ, giả sử f(t) là một xung. Thì h(t) chỉ đơn thuần là đáp ứng xung, và không cần thêm một hành động nào để định danh hệ thống. Một ví dụ đáng quan tâm hơn, giả sử rằng    ttf  (82) Là đầu vào và    tth  (83) được đo tại đầu ra, như đã cho trong hình 10-4. Bây giờ HÌNH 10-4 151 Hình 10-4 Định danh hệ thống, ví dụ 1            t s s s s tg                      sin sin 2 2 1 (84) Là đáp ứng xung Một ví dụ thứ 2, xem hình 10-5. Giả sử chúng ta chọn một đầu vào HÌNH 10-5 Hình 10-5 Định danh hệ thống, ví dụ 2                0 2 1 00 0 2 1 2 1 t t t tutf (85) nó là một hàm biên có phổ   s jsF 2   (86) Nếu đáp ứng hệ thống được cho bởi              1 2 1 11 1 2 1 t tt t th (87) Có phổ là      22 sin s sjsH    (88) 152 Chúng ta có thể viết        s s sF sHsG  sin  (89) chứng tỏ đáp ứng xung là    ttg  (90) Trong các ví dụ trước, đầu ra hệ thống được thể hiện theo phép giải tích và bài toán được giải trực tiếp. Tuy nhiên, trong trường hợp thông thường, quá trình này giống điều này hơn: Đầu ra được số hoá, cả đầu vào lẫn đầu ra được biến đổi bằng tích phân số học. Tỷ lệ trong biểu thức (80) được tính trực tiếp, và biến đổi Fourier ngược của biểu thức (81) được thực hiện bằng tích phân số học. Biến đổi nhanh Fourier, một thuật giải hiệu quả cho việc tính toán biến đổi Fourier, được sử dụng phổ biến nhất. Chú ý rằng chọn lựa thận trọng một hàm đầu vào mà phổ của nó không có những giá trị 0. Trong ví dụ thứ hai, chúng ta đã vi phạm điều này, nhưng rất may chúng ta gặp phải một đáp ứng xung có những giá trị 0 trong miền tần số. Nếu F(s) có chéo 0, thì H(s) cũng sẽ, và G(s) có thể được nội suy từ các giá trị liền kề trước khi thực hiện biến đổi ngược. 10.3.3. Phân tích hàm điều hoà Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính, sử dụng số mũ ảo như hàm hạt nhân của nó. Như đã cho trong biểu thức (33), biến đổi Fourier có thể biểu diễn như tổng của hai biến đổi hàm sin và hàm cosin. Do đó, không có gì phải ngạc nhiên khi các hàm sin và cosin được đối xử đặc biệt trong biến đổi Fourier. Bài tập dưới đây sẽ mang lại sự hiểu biết sâu sắc mối quan hệ giữa đáp ứng xung và hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính. Xem lại hệ thống tuyến tính đã cho trong hình 10-3, và giả sử rằng, để thuận tiện cho đồ thị, f(t) và g(t) là thực và chẵn. Trong hình 10-6, đầu vào và đáp ứng xung được vẽ trong cả hai miền. Đối với phổ đầu vào, cho phép chúng ta chia trục s thành các đoạn s nhỏ và chia F(s) thành các dải hẹp rộng s. Nếu s đủ nhỏ, F(s) sẽ xấp xỉ với tổng của các xung chữ nhật, như trong hình 10-7. Chú ý rằng phép xấp xỉ F(s) được đưa ra tổng vô hạn các cặp xung như vậy. HÌNH 10-6 Hình 10-6 Ví dụ hệ thống tuyến tính 153 HÌNH 10-7 Hình 10-7 Phân tích điều hoà                              1i s sis s sissiFsF (91) Xem xét một cặp xung cụ thể, mà vị trí của chúng nằm tại s = s0 và có biên độ F(s0), độ rộng s, và diện tích là F(s0)s. Khi s tiến tới 0, cặp xung tiến tới một cặp xung đơn vị chẵn tại s = s0, với F(s0)s vô cùng nhỏ. Biến đổi ngược của cặp xung chẵn tiến tới     sistsssF  000 2cos2  (92) Bởi vì F(s) gần bằng tổng của các cặp xung chẵn [biểu thức (91)], nên f(t) tiến tới tổng các hàm cosin có dạng như trong biểu thức (92). Điều đó có nghĩa là các hàm chẵn có thể phân thành tổng của rất nhiều hàm cosin có biên độ vô hạn. Do phổ đầu ra là tích của phổ đầu vào và hàm truyền đạt, nên tín hiệu ra h(t) có thể được biểu diễn như là tổng của các hàm cosin có dạng      tsssFsG 000 2cos2  (93) Bây giờ chúng ta có thể xem hoạt động của bộ lọc tuyến tính như sau đây. Đầu tiên tín hiệu vào f(t) được phân tích thành tổng các hàm cosin có tần số khác nhau. Biên độ của mỗi hàm cosin riêng biệt được xác định duy nhất bởi F(s), nó là biến đổi Fourier (duy nhất) của f(t). Trong hệ thống tuyến tính, mỗi hàm cosin tần số s0 được nhân với G(s0), biên độ hàm truyền đạt xác định tại tần số đó. Cuối cùng, tất cả các hàm cosin có biên độ thay đổi được cộng với nhau tại đầu ra bộ lọc để tạo thành tín hiệu ra h(t). Lưu ý rằng cách giải thích này phù hợp với hai tính chất của hệ thống tuyến tính đã đề cập trước đây: (1) Một đầu vào điều hoà luôn tạo ra đầu ra điều hoà có cùng tần số, và (2) hàm truyền đạt tại tần số s là biên độ tín hiệu điều hoà có tần số s nhân với một hệ số. Nếu chúng ta đã tạo hàm f(t) lẻ, thì F(s) sẽ là ảo và lẻ, cặp xung sẽ phải ảo và lẻ, và sau đó f(t) sẽ được phân tích thành các hàm sin. Quá trình còn lại là giống nhau, ngoại trừ, tại đầu ra, các hàm sin có biên độ biến thiên sẽ được cộng lại để tạo tín hiệu ra h(t) lẻ. Tương tự, nếu f(t) không lẻ hoặc không chẵn, thì đầu tiên nó được phân tích thành các hàm thành phần lẻ và chẵn, mỗi một thành phần sau đó sẽ phân tích như trên thành các hàm cosin và sin tương ứng. Các hàm sin và cosin biến thiên lại được cộng với nhau tại đầu ra để tạo tín hiệu ra h(t). Thảo luận trước đây giả thiết rằng hàm truyền đạt thực và chẵn. Giả sử tín hiệu vào là thực và chẵn, nhưng đáp ứng xung g(t) là thực và lẻ. Điều này tạo ra hàm truyền đạt ảo và lẻ. Khi các cặp xung đến, chẵn được nhân với hàm truyền đạt ảo và lẻ, chúng chuyển 154 đổi thành các cặp xung ảo lẻ. Quá trình này chuyển đổi các hàm đến cosin thành các hàm ra sin. Khi đó hàm ra trở thành tổng của các hàm sin, và g(t) là lẻ. Phần trước chứng minh rằng tích chập một hàm vào chẵn với một đáp ứng xung lẻ sẽ tạo ra một hàm lẻ. Từ giải thích bằng đồ thị của tích phân chập, ta có thể tự chứng minh điều đó là đúng. Bây giờ xem xét trường hợp khi hàm đầu vào là hàm cosin, có nghĩa là     02cos 00  ftftf  (94) Và đáp ứng xung là thực, bao gồm các thành phần chẵn và lẻ      tgtgtg oe  (95) Hàm truyền đạt      sjGsGsG oe  (96) đây là công thức Hermite, có nghĩa là       00000  ffjGfGfG oe (97) Và         0* 00000  ffjGfGfGfG oe (98) Nhắc lại phổ của hàm cosin là       002 1 fsfssF   (99) Chúng ta bây giờ có thể viết lại phổ ra như sau                000000 2 1 2 1 fsfsfGjfsfsfGsH oe   (100) Điều đó có nghĩa là tín hiệu ra là          tffGtffGth oe 0000 2sin2cos   (101) Cũng có thể viết lại như sau      tfAth 02cos (102) Trong đó              0 0 0 2 0 2 arctan fG fG fGfGA e o oe  vµ (103) Đây là kết quả mong đợi về mặt tính chất mà một hệ thống tuyến tính có thể thay đổi biên độ và pha của một đầu vào điều hoà, nhưng không thể thay đổi tần số hay dạng hàm của nó. Bài tập trước minh hoạ mối quan hệ giữa các thành phần chẵn và lẻ của một đáp ứng xung thực và các thành phần thực và ảo của hàm truyền đạt. Nó cho thấy cách mà một thành phần lẻ trong đáp ứng xung đưa một hàm lẻ ảo vào hàm truyền đạt. Việc này tạo ra một thành phần sin đầu ra từ thành phần cosin của đầu vào và tác động lên pha dịch 155 của chính nó tại đầu ra. Cuối cùng, nó chứng tỏ rằng biên độ đầu ra phụ thuộc vào căn bậc hai bình phương trung bình biên độ của hàm truyền đạt phức. Chú ý rằng bây giờ chúng ta đã có hai phương pháp tương đương để xem xét hoạt động của một hệ thống tuyến tính: (1) Chúng ta có thể hình dung tích chập, với các hàm được phản xạ, dịch chuyển, nhân và tích phân, hay (2) chúng ta có thể hình dung sự phân tích điều hoá theo sau bởi phép nhân và phép cộng. Chúng ta cũng hiểu những hạn chế mà tính chẵn và lẻ trong một miền được thay bằng các hàm trong miền khác. Có hai tuỳ chọn rất linh hoạt và hữu ích cho chúng ta khi tiếp cận một bài toán phân tích hệ thống tuyến tính. Nó cũng minh hoạ sự tương tự song ngữ đã đề cập tại phần đầu của chương này. 10.3.4. Tần số âm (Negative Frequency) Những người đã có kinh nghiệm với truyền sóng vô tuyến hay sử dụng một bộ phân tích dạng sóng hay bộ phân tích phổ đôi khi cảm thấy không được thoải mái với các khái niệm tần số nhỏ hơn 0. Các bộ phân tích dạng sóng và phân tích phổ hợp nhất các bộ lọc thông dải hẹp chỉ cho phép năng lượng đi qua trong một dải hẹp xung quanh các tần số điều hoà nào đó. Những bộ lọc này có tác dụng chọn lựa, bên ngoài tín hiệu, thành phần điều hoà tại một tần số cụ thể. Ta có thể nhận được phổ của một tín hiệu điện bằng cách đổi chiều bộ lọc dải hẹp ngang qua dải tần số (dương) và vẽ biên độ của đầu ra. Những người có kinh nghiệm trong việc sử dụng loại thiết bị này có thể xa lạ với khái niệm tần số âm. Nhắc lại biến đổi Fourier của hàm cosin là một cặp xung chẵn và biến đổi của hàm sin là một cặp xung lẻ và ảo. Vì hàm cosin là một hàm chẵn, nên nó phải có phổ chẵn, và tương tự cho tính lẻ của hàm sin. Đối với một hàm thực bất kỳ, phổ là hàm Hermite, và nửa trái chỉ đơn thuần là liên hợp phức của nửa phải. Vì thế, đối với các hàm thực chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật hai cạnh trong toán học có phần không cần thiết. Bởi vì nửa phổ bên trái là không cần thiết đối với các hàm thực, nên ta có thể bỏ qua nó như khi nó hoàn toần bị bỏ qua trong việc sử dụng bộ phân tích phổ. Tuy nhiên, chúng ta đang sử dụng cách tiếp cận có phần tổng quát hơn để mô phỏng các quá trình vật lý, và việc phân tích sẽ đơn giản hơn nếu chúng ta giữ lại phần bên trái của các hàm. Qua phần 2 của tài liệu, chúng ta đã vẽ phổ hai cạnh, mặc dù phổ thường được vẽ ở nơi khác chỉ là phổ mang tần số dương. Chúng ta nên giữ nguyên ý nghĩ, ngay cả khi chúng ta sử dụng toán học hai cạnh để mô phỏng hoạt động của hệ thống tuyến tính, thì nửa trái của hàm, mặc dù nó có thể không cần thiết, là một phần của phép phân tích. 10.4. BIẾN ĐỔI FOURIER HAI CHIỀU Từ trước tới giờ, chúng ta đã nghiên cứu biến đổi Fourier của các hàm một chiều theo thời gian. Trong xử lý ảnh số, và trong phân tích các hệ thống quang học, đầu vào và đầu ra thường là hai chiều và, trong một số trường hợp, có thể nhiều chiều hơn. Sự đầu tư của chúng ta vào biến đổi Fourier một chiều không chứng tỏ được rằng nó sẽ trở nên mất tác dụng, vì biến đổi có thể được tổng quát hoá lên nhiều chiều hơn. 10.4.1. Định nghĩa Đối với các hàm hai chiều, biến đổi Fourier trực tiếp và biến đổi Fourier ngược được định nghĩa tương ứng như sau             dxdyeyxfvuF vyuxj 2,, (104) 156 và             dudvevuFyxf vyuxj 2,, (105) trong đó f(x,y) là ảnh còn F(u,v) là phổ của nó. Nói chung, F(u,v) là một hàm phức hai biến tần số thực u và v. Biến u tương ứng với tần số theo trục x và tương tự cho biến v và trục y. Hình 10-8 cho thấy một ảnh và phổ biên độ hai chiều của nó. Mức xám được lấy tỷ lệ để biểu diễn độ lớn (căn bậc hai tổng bình phương các phần thực và phần ảo) tại mỗi điểm u, v trong không gian hai chiều. Gốc toạ độ định vị tại tâm của ảnh biến đổi. Nhiễu tuần hoàn trong ảnh tạo ra các đỉnh nhọn trong biến đổi. HÌNH 10-8 Hình 10-8 Biến đổi Fourier hai chiều 10.4.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) hai chiều Nếu g(i, k) là ma trận N  N, giống như thu được bằng cách lấy mẫu một hàm liên tục hai chiều với các khoảng cách bằng nhau trên một lưới chữ nhật, sau đó biến đổi Fourier rời rạc hai chiều (DFT) của nó là ma trận được cho bởi                 1 0 1 0 2 ,1, N i N k N kn N imj ekig N nmG  (106) Và DFT ngược là                 1 0 1 0 2 ,1, N m N n N nk N mij enmG N kig  (107) Cũng như trong một chiều, DFT rất giống biến đổi Fourier liên tục. Và như trước, DFT hai chiều của một hàm giới hạn dải được lấy mẫu trên một lưới chữ nhật là trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier liên tục. Tính tách được. Hệ số mũ trong biểu thức (106) có thể phân tích thừa số, cho phép chúng ta viết lại biến đổi như sau                              1 0 21 0 2 ,11, N i N imjN k N knj eekig NN nmG  (108) 157 Bằng cách tách biến đổi thành các phép toán theo chiều ngang và dọc. Ở đây, số hạng trong các dấu ngoặc đơn thể hiện các DFT một chiều được tính theo các hàng của ảnh. Tổng ngoài thực hiện các DFT một chiều theo cột trên mảng kết quả. Các phép thực hiện hiệu quả của DFT hai chiều sử dụng cách tiếp cận của FFT một chiều. DFT ngược cũng có khả năng tách được. 10.4.3. Công thức ma trận Theo ký hiệu ma trận, DFT có thể được viết như sau FgFG  (109) Trong đó           Nikjik eN fF /21  (110) Là một ma trận hạt nhân N  N các hệ số phức. F là ma trận đơn vị; tức là, ngịch đảo của nó là chuyển vị liên hợp phứccủa chính nó. Để lấy nghịch đảo một ma trận đơn vị, đơn giản ta chỉ đổi chỗ hàng và cột cho nhau và đổi dấu phần ảo của mỗi phần tử. Vì F cũng là đối xứng nên phép chuyển vị là không có giá trị. Lưu ý rằng hàng đợc xếp lại để tạo thành một vec tơ cột và tác dụng của một ma trận khối vòng tròn lớn, như đã đòi hỏi cho tích chập hai chiều (Phần 9.3.4), là không cần thiết cho việc tính DFT hai chiều. Điều này là do hàm hạt nhân có thể tách được thành các toán hạng hàng và cột, và F là một ma trận đơn vị. 10.4.4. Các tính chất của biến đổi Fourier hai chiều Các nguyên lý biến đổi Fourier hai biến được tổng kết trong bảng 10-3. Chú ý việc tổng quát hoá từ một chiều lên hai chiều hầu như là trực tiếp. Biến đổi Fourier hai chiều có một vài tính chất mà biến đổi Fourier một chiều không có. Một là tính chất mà nếu một ảnh hai chiều nhóm số hạng thành một tích các thành phần một chiều, điều đó cũng đúng cho phổ hai chiều của ảnh. Một tính chất khác là tính chất quay, nó tỏ ra quan trọng trong các máy chụp X quang trục nhờ máy tính (CAT), được đề cập trong chương 22. Laplace là một toán tử đạo hàm bậc hai theo mọi hướng thường sử dụng trong phát hiện biên và tăng cường biên. Chú ý việc sử dụng Laplace trên một hàm sẽ nhân phổ của nó với số hạng 22 vu  . Đối với nguyên lý tích chập, Laplace tương ứng với một hệ thống tuyến tính có hàm truyền đạt tăng theo bình phương tần số. 10.4.4.1. Tính tách được Giả sử rằng      yfxfyxf 21,  (111) BẢNG10-3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER HAI CHIỀU 158 BẢNG 10-3 Thì               dxdyeyfxfvuF vyuxj 221, (112) Có thể sắp xếp để được                  vFuFdyeyfdxexfvuF vyjuxj 21 2 2 2 1,  (113) Vì thế, nếu một ảnh hai chiều phân tích thừa số thành các thành phần một chiều, thì phổ của nó cũng như vậy. Xem xét biến đổi Gauss elliptic hai chiều như một ví dụ   22222222 2/2/2/2/ yxyx yxyx eee    (114) được phân tích thừa số thành tích của hai hài Gauss một chiều. Nếu độ lệch tiêu chẩn của hai thừa số bằng nhau thì ta có   2222222 2/2/2/  yxyx eee   (115) đây là hàm Gauss vòng tròn. Hàm này cực kỳ hữu dụng trong phân tích các hệ thống quang học vì nó đối xứng vòng tròn và có thể phân tích thừa số thành các thành phần một chiều. 10.4.4.2. Tính đồng dạng Nguyên lý đồng dạng có thể tổng quát hoá cho trường hợp các biến đổi hai chiều. Chúng ta có thể viết            dxdyeybxaybxafybxaybxaf vyuxj 222112211 ,, (116) Thay biến ybxazybxaw 2211  (117) Trong trường hợp đó dzBdwAdydzBdwAdx zBwAyzBwAx 2211 2211   (118) Trong đó 1221 1 2 1221 2 2 1221 1 1 1221 2 1 baba aB baba aA baba bB baba bA           (119) 159 Khi đó biến đổi Fourier trở thành                vBuBvAuAFBABA BABAdzdwezwf ybxaybxaf zvBuBwvAuAj 21211221 1221 2 2211 , , , 2121           - -  (120) 10.4.4.3. Phép quay Từ nguyên lý đồng dạng hai chiều, ta có phép quay f(x,y) một góc quay  cũng làm quay phổ của f(x,y) một lượng tương tự như vậy. Chúng ta đặt  cossinsincos 2211  baba (121) Sao cho  cossinsincos 2211  BABA (122) Và     cossin,sincoscossin,sincos vuvuFyxyx  (123) 10.4.4.4. Phép chiếu Giả sử chúng ta giảm một hàm hai chiều f(x, y) thành một hàm một biến bằng phép chiếu lên trục x để tạo thành        dyyxfxp , (124) Thì biến đổi Fourier (một chiều) của p(x) là           dxdyeyxfuP uxj 2, (125) Nhưng P(u) có thể viết như sau        0,, 02 uFdxdyeyxfuP yuxj          (126) vậy biến đổi của hình chiếu f(x,y) lên trên trục x là F(u,v) được xác định theo trục u. Phép chiếu kết hợp với tính chất quay chứng tỏ rằng biến đổi Fourier một chiều của f(x,y) được chiếu lên một đường thẳng hợp với trục x một góc  là F(u,v) xác định theo một đường thẳng hợp với trục u một góc  (hình 10-9). Tính chất chiếu tạo cơ sở cho định danh hệ thống bằng các hàm tán xạ dòng (chương 16) và việc chụp X quang trục nhờ máy tính (CAT). HÌNH 10-9 160 Hình 10-9 Tính chất chiếu của biến đổi Fourier hai chiều 10.4.5. Đối xứng vòng và biến đổi Hankel Rất nhiều hàm hai chiều quan trọng mang tính chất đối xứng vòng tròn. Điều đó có nghĩa là các hàm có thể biểu diễn như là một hàm nhìn nghiêng (profile) có một biến đơn    rfyxf r, (127) Trong đó 222 yxr  (128) Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu ảnh hưỏng do đối xứng vòng tròn gây ra đối với biến đổi Fourier hai chiều. Chúng ta có thể viết biến đổi Fourier của f(x,y) như sau                  0 2 0 cos22,   rdrderfdxdyeyxf qrjr vyuxj (129) Trong đó chúng ta đã chuyển đổi từ tích phân hình vuông sang hình vòng và thay biến  jj qejvurejyx  vµ (130) Chúng ta có thể sắp xếp lại biểu thức (129), loại bỏ  vì tích phân được tính trên một chu kỳ đầy đủ của hàm cosin, ta được               0 2 0 cos2 rdrderfx,yf qrjf    (131) Bây giờ xét tích phân trong dấu ngoặc, và xem lại định nghĩa hàm Bessel bậc 0 của phần thứ nhất          2 0 cos 0 2 1 dezJ jz (132) Thay biểu thức (132) vào biểu thức (131) ta có          0 0 22 rdrqrJrfx,yf f  (133) Chú ý rằng biến đổi Fourier của một hàm đối xứng vòng là một hàm chỉ có duy nhất một biến tần số xuyên tâm q. Nghĩa là    qFvuF r, (134) Trong đó 222 vuq  (135) 10.4.5.1. Biến đổi Hankel Đối với các hàm đối xứng vòng, biến đổi trực tiếp là         0 0 22 rdrqrJrfqF rr  (136) Và biến đổi ngược là 161         0 0 22 qdqqrJqFrf rr  (137) Các biểu thức này định nghĩa cho trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier hai chiều đó là biến đổi Hankel bậc 0. Đây là biến đổi tích phân tuyến tính một chiều tương tự biến đổi Fourier, ngoại trừ hạt nhân là hàm Bessel. Vì vậy, có thể coi các hàm hai chiều đối xứng vòng tròn như các hàm một chiều một biến đơn nếu biến đổi Hankel được thay thế cho biến đổi Fourier. Biến đổi Hankel của một số loại hàm quan thuộc được liệt kê trong bảng 10-4. Bảng 10-5 minh hoạ các nguyên lý của biến đổi Hankel BẢNG 10-4 BIẾN ĐỔI HANKEL CỦA MỘT SỐ HÀM BẢNG 10-4 BẢNG 10-5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI HANKEL BẢNG 10-5 10.4.5.2. Tính toán biến đổi Hankel Nguyên lý của phép chiếu cho chúng ta một cách tính biến đổi Hankel đơn giản của một hàm, nó rất hữu dụng, ví dụ, trong nghiên cứu các hệ thống quang học, thường có các đáp ứng xung và hàm truyền đạt đối xứng vòng. Các biểu thức (124), (125), (126) và (134) cho phép chúng ta viết         xpuPuFqFr  0, (138) Và các biểu thức (124), (127) và (128) chứng tỏ rằng 162      dyyxfxp r 22 (139) Như vậy       dyyxfqF r 22 (140) Cho ta một quá trình hai bước để tính toán biến đổi Hankel: Đầu tiên là chiếu hàm, và sau đó tính biến đổi Fourier (một chiều) của nó. 10.4.6. Giải thích Chúng ta kết thúc sự giới thiệu về biến đổi Fourier hai chiều bằng hình 10-10, hình này cho chúng ta hiểu biết đôi chút về vai trò của biên độ và pha. Phần (b) và (c) của hình thể hiển các thành phần biên độ và pha, tương ứng của phổ ảnh trong phần (a). Một điểm lưu ý là vị trí rất quan trọng với phổ biên độ, vì nó ít xuất hiện trong một vài cấu trúc có thể nhận biết hơn so với pha, nên nó đập vào mắt như một sự cần thiết yếu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, việc loại trừ các thông tin pha bằng cách đặt pha bằng 0 và thực hiện biến đổi ngược ta sẽ được phần (d) của hình-một cái gì đó mang dáng vẻ hơi tương đồng với cái ban đầu. Nói cách khác, việc loại bỏ thông tin biên độ (bằng cách đặt biên độ bằng một hằng số trước khi thực hiện biến đổi ngược) cho ta phần (e), một chân dung có khả năng nhận biết được. Trong khi phổ biên độ chỉ rõ có bao nhiêu thành phần điều hoà được thể hiện, thì thông tin pha cho chúng ta biết mỗi thành phần điều hoà được đặt ở đâu bên trong ảnh. Hình 10-10 minh hoạ việc phá vỡ vị trí sắp xếp có thể tạo ra một kết quả hỏng. Tuy nhiên, miễn là các thành phần giữ đúng vị trí, biên độ của chúng có vẻ không ảnh hưởng tới toàn bộ ảnh. Vì các nguyên nhân này, các bộ lọc phổ biến nhất chỉ tác động lên biên độ, mà ít tác động hoặc không hề tác động đến thông tin pha trong phổ. 10.5. SỰ TƯƠNG QUAN VÀ PHỔ NĂNG LƯỢNG Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một loạt các công cụ phân tích hữu dụng cho việc nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu trong một hệ thống tuyến tính. 10.5.1. Tự tương quan Nhắc lại tích chập của chính bản thân một hàm            dttftftftf  (141) Nếu không mang lại một số hạng trong tích, chúng ta sẽ tạo ra một hàm tự tương quan              dttftftftfR f  (142) Hàm tự tương quan luôn chẵn và đạt giá trị cực đại tại t = 0. Nó có tính chất     2          dttfdR f  (143) Mọi hàm có một hàm tự tương quan duy nhất, nhưng điều ngược lại không đúng. 163 10.5.2. Phổ năng lượng Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan là                     2* sFsFsFsFsFtftfRsP ff   (144) Và được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng hay phổ năng lượng của f(t). Nếu f(t) là thực thì hàm tự tương quan của nó là thực và chẵn, và do đó phổ năng lượng của nó cũng là thực và chẵn. Ngoài ra, một f(t) bất kỳ có một phổ năng lượng duy nhất, nhưng điều ngược lại không đúng trong trường hợp này. 10.5.3. Tương quan chéo Cho hai hàm f(t) và g(t),hàm tương quan chéo của chúng được cho bởi              dttgtftgtfR fg  (145) Theo một nghĩa nào đó, hàm tương quan chéo cho biết mức độ liên quan giữa hai hàm phù hợp cho những lượng sắp xếp sai hàng (dịch chuyển). Biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo là hàm mật độ phổ năng lượng chéo hay phổ năng lượng chéo.     fgfg RsP  (146) 10.6. TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương này, chúng ta đã trình bày một số tính chất biến đổi Fourier mà sẽ hữu dụng trong phân tích các hệ thống xử lý ảnh tiếp theo. Để thuận tiện cho tham khảo, nghiên cứu tính chất này được tổng kết trong bảng 10-6. BẢNG 10-6 TỔNG KẾT NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER BẢNG 10-6 10.7. TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 1. Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân tuyến tính thiết lập sự tương ứng giữa một hàm mang giá trị phức (chẳ