Giáo trình Địa văn hàng hải (Phần 2)

9.81) Công thức (9.81) tồn tại khi chỉ có thành phần của sai số ngẫu nhiên. Xét hàm mật độ xác suất phân phối theo quy luật chuNn đối với mỗi đường vị trí. Đối với đường vị trí thứ nhất có dạng. dxedPxf x 2 1 2 2 1 11 2 1)( σπσ −== Đối với đường vị trí thứ hai có dạng. dyedPxf y 2 2 2 2 2 22 2 1)( σπσ −== Mật độ xác suất vị trí tàu. dyedxedPdPdP yx 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 21 2 1 2 1 σσ πσπσ −− ×=×= Hay dxdyedP yx ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− = 22 2 2 1 2 2 1 212 1 σσ σπσ (9.82) Theo phương trình (9.96) khi ⇒=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− constyx 2 2 2 2 1 2 2 1 σσ dP = const. Do đó có thể đặt. 2 2 2 2 2 1 2 Cyx =+ σσ (9.83) Phương trình (9.83) là dạng chuNn tắc của elíp. Mặt khác mật độ xác suất của vị trí tàu không đổi dọc theo elíp và gọi là elíp sai số với hai bán trục a và b. Elíp bình phương trung bình vị trí xác suất của tàu nội tiếp trong hình bình hành ABCD (hình 9.23). Vị trí tàu trong Hình 9.23 Bộ môn Hàng hải học 90 elíp bình phương trung bình này có xác suất P = 39,3%. Elíp dựng cho hai lần sai số bình phương trung bình có xác suất là P = 86,5%. Trường hợp dựng ba lần thì xác suất bằng P = 98,6%. Hình 9.24 thể hiện mối quan hệ giữa số lần dựng Elip tương ứng số lần sai số bình phương trung bình với xác suất nhận được. Sử dụng định luật Apolonius để xác định hai hai bán trục a và b của elip. - Tổng bình phương hai bán kính liên hợp của elíp là trị số không đổi và bằng tổng bình phương hai bán trục. 22 2 2 2 2 2 1 bavv +=+ - Diện tích hình bình hành dựng theo hai bán kính liên hợp của elíp là đại lượng không đổi và bằng diện tích của hình chữ nhật dựng theo hai bán trục. abvv =θsin21 Suy ra: ( ) θsin2 2122212 vvvvba ++=+ ( ) θsin2 2122212 vvvvba −+=− Hay θsin2 212221 vvvvba ++=+ (9.84) θsin2 212221 vvvvba −+=− Trong đó: θθ sinsin 1 11 1 g Unv Δ=Δ= ; θθ sinsin 2 22 2 g Unv Δ=Δ= . Hình 9.24 Thay các giá trị này vào hệ phương trình (9.84). ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ΔΔ−Δ+Δ+Δ+Δ= θθ 2222122221222122 sin4sin2 1 nnnnnna (9.85) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ΔΔ−Δ+Δ−Δ+Δ= θθ 2222122221222122 sin4sin2 1 nnnnnnb Giải hệ phương trình (9.85) tìm được các bán trục a và b. Δn2 Δn1 Δn1 Δn2 2Δn2 2Δn2 R2M II II I I R45 R45 2Δn1 2Δn1 α θ b a M RM V1 V2 Bộ môn Hàng hải học 91 Xác định hướng bán trục lớn a. Giả sử gọi α là góc hợp bởi hướng bán trục lớn a và đường vị trí xác suất nhất (tức là đường vị trí có sai số nhỏ hơn) thì. θ θα θ θ θ θα 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =⇒ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =+= g g arctg g ggg gtg Hoặc ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Δ Δ = θ θα 2cos 2sin 2 1 2 1 2 n n arctg (9.86) Hệ thức (9.85) và (9.86) dùng để lập bảng MT 75 (phụ lục 5) thuận tiện việc tính các giá trị thông số phục vụ cho công việc dựng elíp sai số, cụ thể: - Hệ thức (9.85) lập bảng tính các giá trị của a và b; - Hệ thức (9.86) lập bảng tính giá trị α. Đối số tra vào bảng gồm: góc kẹp giữa hai đường vị trí 090〈θ (góc nhọn) và tỷ số 2 1 n n Δ Δ . Bảng 9.9. Bảng tra giá trị α 2 1 n n Δ Δ θ0 200 300 400 500 600 700 800 900 0.2 10 20 20 20 20 20 10 00 0.3 20 30 30 30 30 30 10 00 0.4 30 40 40 50 50 40 20 00 0.5 40 60 50 50 50 60 30 00 0.6 50 80 9 9 100 100 50 00 0.7 60 90 120 120 150 150 90 00 0.8 70 110 170 170 190 220 170 00 0.9 90 130 190 190 220 260 260 00 1.0 100 150 200 250 300 350 400 00 Chú ý. - N ếu hai đường vị trí cùng loại và do cùng một sỹ quan thực hiện, tức là g1 = g2 = g thay vào phương trình (9.85) nhận được dạng đơn giản là. Bộ môn Hàng hải học 92 ( )θθ ε sin12 sin +=+ g ba (9.87) ( )θθ ε sin12 sin −=− g ba Giải hệ phương trình (9.87) tính được a và b. 2 cos 2 θε ec g a = và 2 sec 2 θε g b = - Khi 21 vv = thì trục của elíp trùng với đường chéo hình bình hành và trong trường hợp này là hình thoi. khi đó 2 θα = và sai số bình phương trung bình đánh giá bằng vòng tròn sai số. 22222 baMbaM +±=⇒+= N hư vậy có mối liên hệ giữa xác suất của hình tròn sai số và elíp sai số, nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố của elíp sai số. Xác xuất vị trí tàu nằm trong vòng tròn sai số có bán kính Mc tính theo bảng toán I-C (MT 75). Bảng 9.10. Xác suất sai số bán kính (%) M M C Tỷ số bán trục elíp a b 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,1 8,0 4,5 2,5 1,8 1,4 1,2 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0 0,5 38,3 37,7 35,6 31,9 28,5 26,0 24,3 23,2 22,5 22,2 22,1 1,0 68,3 68,3 38,2 68,0 67,4 66,3 65,2 64,3 63,6 63,3 63,2 1,5 86,6 86,8 87,0 87,5 88,1 88,6 89,0 89,2 89,4 89,4 89,5 2,0 95,4 95,5 95,8 96,1 96,5 97,0 97,4 97,8 98,0 98,1 98,2 2,5 98,8 98,8 98,8 99,0 99,2 99,4 99,5 99,7 99,8 99,8 99,8 3,0 99,7 99,7 99,8 99,8 99,9 99,9 99,9 100 100 100 100 3,5 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Trong đó: MC - sai số bán kính cho trước. M - sai số bán kính bình phương trung bình. Ví dụ. Biết khoảng dịch chuyển bình phương trung bình của đường vị trí thứ nhất là Δn1 = 0,2 hải lý và của đường vị trí thứ hai là Δn2 = 0,15 hải lý. Góc được tạo bởi hai đường vị trí θ0 = 500. Bộ môn Hàng hải học 93 Tính xác suất chứa vị trí tàu của vòng tròn sai số có tâm là vị trí xác định F và bán kính MC = 0,5 hải lý. Bài giải. Sai số bán kính bình phương trung bình là. 326,015,05,0 50sin 1 sin 1 22 0 2 2 2 1 =+±=Δ+Δ±= nnM θ hải lý Tỷ lệ bán trục a b tính theo hệ công thức (9.85). ( ) ( ) 44,050sin15,05,0415,05,015,05,0 50sin15,05,0415,05,015,05,0 022222222 022222222 = ×××−+++ ×××−+−+= a b Giá trị chuNn hóa vùng sai số cho trước bằng. 53,1 326,0 5,0 == M M C Tra bảng 9.10 với đối số là 53,1= M M C và 44,0= a b tìm được xác suất P = 89%. Vậy xác suất vị trí tàu trong vòng tròn tâm F, bán kính MC là 89%. Trong thực tiễn hàng hải thường áp dụng độ chính xác tối thiểu xác suất là 95%. Vòng tròn xác suất 95% có bán kính R95% = k.a. Hệ số k được tính theo bảng 9.11 (bảng 9.11 trích trong cuốn Admiralty Mannual of navigation quyển số I). Bảng 9.11. Bảng tính hệ số k a b R 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 R50% 0,67 0,68 0,71 0,75 0,81 0,87 0,93 1,00 1,06 1,12 1,18 R95% 1,96 1,96 1,97 1,98 2,01 2,04 2,08 2,15 2,23 2,33 3,04 R99% 2,58 2,58 2,58 2,59 2,61 2,63 2,67 2,72 2,79 2,90 3,04 Ví dụ. Khi xác định vị trí tàu bằng hai đường vị trí, biết khoảng dịch chuyển bình phương trung bình của đường vị trí thứ nhất là Δn1 = 0,2 hải lý và của đường vị trí thứ hai là Δn2 = 0,15 hải lý. Góc được tạo bởi hai đường vị trí θ0 = 500. Tính bán kính vòng tròn sai số có xác suất chứa vị trí tàu là P = 95%. Bài giải. Sai số bán kính bình phương trung bình là. 326,015,05,0 50sin 1 sin 1 22 0 2 2 2 1 =+±=Δ+Δ±= nnM θ hải lý Bộ môn Hàng hải học 94 II II I I θ a+b A F M M1 v2 v2 M2 v2 v1 a-b Tỷ lệ bán trục a b tính theo hệ công thức (9.85). ( ) ( ) 44,050sin15,05,0415,05,015,05,0 50sin15,05,0415,05,015,05,0 022222222 022222222 = ×××−+++ ×××−+−+= a b Tính bán trục lớn a theo công thức (9.85). ( ) 09,050sin15,05,0415,05,015,05,0 50sin2 1 022222222 02 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×××−+++=a Suy ra: a = 0,3 hải lý Tra trong bảng 9.11 với đối số R95% và 44,0=a b tìm được giá trị k = 2,01. Bán kính vòng tròn sai số có xác suất chứa vị trí tàu P = 95% bằng. 603,001,23,0 =×== kaM C hải lý. Phương pháp dựng elíp sai số theo hình học như sau. Từ vị trí tàu F đặt một đoạn FA = v1 trên đường I-I. Từ điểm A kẻ đường vuông góc với đường II-II tại điểm M. Đặt đoạn AM1 = AM2 = v2. N ối điểm F với điểm M1 và điểm M2 nhận được. FM1 = a - b và FM2 = a + b Khi đó đường phân giác của góc M2FM trùng với bán trục lớn của elíp và bán trục nhỏ b sẽ vuông góc với bán trục lớn a (hình 9.25). Xét tam giác ΔFAM2 luôn tồn tại. ( ) θsin2 2122212 vvvvba ++=+ Tương tự tam giác ΔFAM1 tồn tại. ( ) θsin2 2122212 vvvvba −+=− 9.13.2. Ảnh hưởng của sai số hệ thống Khi có sai số hệ thống tác động lên đường vị trí I-I, đường vị trí sẽ dịch chuyển song song đoạn ∆n1 gọi là đường I’-I’. Tương tự có đường II’-II’ với một khoảng dịch chuyển ∆n2. Giao của hai đường I’-I’ và II’-II’ là điểm F1 hoặc điểm F2 (hình 9.26). Do tính chất và đặc điểm của sai số hệ thống nên chỉ xét ảnh hưởng của sai số hệ thống theo một chiều (theo cùng chiều dương hoặc cùng chiều âm). Vị trí tàu khi ảnh hưởng của sai số hệ thống sẽ ở điểm F1 hoặc điểm F2 và cách điểm F một khoảng là Δ. Tính giá trị khoảng dịch chuyển Δ. θcos2 2122212 vvvv −+=Δ (9.88) Mặt khác: θθ sinsin 1 11 1 g unv Δ=Δ= và Hình 9.25 Bộ môn Hàng hải học 95 θθ sinsin 2 22 2 g unv Δ=Δ= . Thay các giá trị vào (9.88) nhận được. θθ cos2sin 1 21 21 2 2 2 2 1 1 gg uu g u g u ΔΔ−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Δ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Δ=Δ (9.89) Theo phương trình (9.89) giá trị sai số hệ thống chủ yếu phụ thuộc vào góc θ0 mà góc θ0 biến đổi từ 00 - 1800 và khi θ0 > 900 xuất hiện dấu dương (+). Hình 9.27 Trường hợp đặc biệt khi tồn tại ε=Δ=Δ=Δ uuu 21 , công thức (9.89) trở thành dạng đơn giản hơn. 21 2 2 2 1 cos211 sin gggg θ θ ε −+±=Δ Nhận xét. Sự khác nhau khi có tác động của sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống lên đường vị trí: - Khi có ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên làm cho đường vị trí dịch chuyển thành một dải song song và vị trí xác định của tàu nằm trong diện tích của dải đó. Đối với sai số hệ thống tác động được đánh giá bằng giá trị sai số tuyến tính và hướng tuyến tính được biết trước; - Độ chính xác của vị trí tàu nhận được khi có ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên sẽ tăng dần khi góc θ tăng dần và đạt giá trị cực đại θ = 900. Trong khi đó độ chính xác vị trí tàu nhận được khi có ảnh hưởng của sai số hệ thống sẽ giảm nhiều hơn khi góc θ nhọn so với góc θ tù. Thông thường hướng dịch chuyển vị trí tàu khi có ảnh hưởng của sai số hệ thống được biết trước do vậy sai số hệ thống có thể được loại trừ một phần hay toàn bộ; - Quy luật tích tụ của sai số ngẫu nhiên và hệ thống hoàn toàn khác nhau. Sai số ngẫu nhiên thường đánh giá bằng giá trị bình phương trung bình và trong khi đó sai số hệ thống phụ thuộc nhiều vào tính quy luật. Bộ môn Hàng hải học 96 Hình 9.28 B1 A1 C1 D1 I I II II A B C D D2 C2 B2 A2 Δ Δ F M1 M2 9.13.3. Ảnh hưởng đồng thời sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên Khi không có sai số tác động thì vị trí xác định của tàu F là giao của hai đường vị trí I-I và II-II. Trường hợp ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên vị trí tàu F nằm trong diện tích xác suất bao quanh F, được đánh giá bằng hình bình hành sai số hoặc elip sai số hoặc hình tròn sai số. Trường hợp ảnh hưởng của sai số hệ thống thì vị trí tàu bị dịch chuyển lượng Δ về một phía hoặc dương hoặc âm, dựa trên tính chất và đặc điểm quy luật của sai số hệ thống. Khi ảnh hưởng đồng thời của sai số hệ thống và ngẫu nhiên, căn cứ vào đánh giá sai số ngẫu nhiên bằng phương pháp nào (hình tròn, hình bình hành hay elíp sai số) kết hợp với hướng dịch chuyển tuyến tính của sai số hệ thống sẽ nhận được diện tích xác suất giới hạn vị trí tàu. Hình 9.29 Chẳng hạn trong trường hợp cụ thể xác định được sự phân bố của sai số hệ thống theo phương M1M2, mặt khác sai số ngẫu nhiên đánh giá bằng hình bình hành sai số. Khi đó vị trí tàu nằm trong diện tích xác suất giới hạn bởi A1B1B2C2D2 (hình 9.28). Trường hợp đánh giá sai số ngẫu nhiên bằng hình tròn sai số (hình 9.29) thì vị trí tàu sẽ phân bố trong diện tích xác suất giới hạn bởi đường gạch ngang. Bộ môn Hàng hải học 97 9.14. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐNNH VN TRÍ XÁC SUẤT NHẤT KHI XÁC ĐNNH VN TRÍ TÀU BẰNG BA ĐƯỜNG VN TRÍ TRỞ LÊN CÓ SAI SỐ NGẪU NHIÊN TÁC ĐỘNG 9.14.1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất Trong quá trình khảo sát, nghiên cứu và đo tham số hàng hải không thể tránh khỏi sai số đo. Để đáp ứng các vấn đề liên quan đến sai số này ứng dụng cả trong lý thuyết và thực tiễn có thể sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất. Phương pháp này không cần xét tới quy luật phân phối xác suất của đường vị trí. 9.14.1.1. Khái niệm bình phương nhỏ nhất Tiến hành đo thông số hàng hải X, kết quả phép đo là: l1, l2,... ln và với các sai số bình phương trung bình tương đương là: m1, m2,... mn hoặc với trọng số là: p1, p2,... pn. Gọi giá trị cuối cùng nhận được từ những kết quả đo của đại lượng X là x cần phải lập hiệu số. ii vlx =− (i = 1, 2,... n) (9.90) Tìm giá trị x với các điều kiện sau. [ ] min2 == pvσ (9.91) Trong đó: σ - hàm của biến số x. Thay giá trị vi của phương trình (9.90) vào (9.91) nhận được. [ ] 22222112 nnvpvpvppv +⋅⋅⋅++==σ Hay min)()()( 2222 2 11 =−+⋅⋅⋅+−+−= nn lxplxplxpσ (9.92) Vấn đề đặt ra là với giá trị nào của x thì σ = σmin? Giải quyết câu hỏi này tiến hành đạo hàm phương trình (9.92) theo x. 0)(2)(2)(2 2211 =−+⋅⋅⋅+−+−= nn lxplxplxpdx dσ Hay 0)()()( 2211 =−+⋅⋅⋅+−+− nn lxplxplxp Suy ra: [ ] p pl ppp lplplp x n nn =+⋅⋅⋅++ +⋅⋅⋅++= 21 2211 (9.93) Nhận xét. Biểu thức [ ] min2 =pv ⇔ giá trị cuối cùng của đại lượng x bằng số trung bình cộng hay số trung bình số học. Tiếp tục lấy đạo hàm bậc hai của (9.92) được kết quả. [ ]pppp dx d n 2222 212 2 =+⋅⋅⋅++=σ > 0 Chứng tỏ rằng: 2 2 dx d σ và hàm [ ]2pv đạt giá trị nhỏ nhất khi trị của biến số bằng trung bình số học x. N ếu tất cả các lần đo đều chính xác như nhau thì các trọng số. pppp n ==⋅⋅⋅== 21 Kết quả thu được. Bộ môn Hàng hải học 98 [ ] n lx = và [ ] min2 == vσ Kết luận. Số trung bình cộng tương ứng với quy tắc bình phương nhỏ nhất và cũng là giá trị tin cậy nhất của đại lượng X. 9.14.1.2. Ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất để tìm sai số nhỏ nhất của phép đo các tham số hàng hải Giả sử đo đại lượng Q = f(X, Y,..., W), sau n lần đo tương ứng các giá trị thật của Q là: Q1, Q2,... Qn, thu được kết quả q1, q1,... qn, với những sai số thật Δ1, Δ2,... Δn. Do các lần đo có độ chính xác khác nhau và tương ứng với các lần đo có trọng số khác nhau p1, p2,... pn. Để tìm sai số và độ tin cậy nhỏ nhất thực hiện lập phương trình chuNn tắc. Tương ứng với mỗi lần đo thu được một dạng hàm số theo sau. Q1 = f1(X, Y,..., W) Q1 = f1(X, Y,..., W) (9.94) .............................. Qn = fn(X, Y,..., W) Tương ứng tính những sai số thật thỏa mãn hệ. 111 Δ=− qQ 222 Δ=− qQ (9.95) .................... nnn qQ Δ=− Từ hệ phương trình (9.94) và (9.95) suy ra hệ tương đương. 111 ),...,( Δ=− qWYXf 222 ),...,( Δ=− qWYXf (9.96) ....................................... nnn qWYXf Δ=−),...,( Theo hệ phương trình (9.96) các giá trị X, Y,... W chưa biết do đó có thể thay chúng bằng giá trị tùy ý là x, y,... w và các sai số thật được thay bằng v1, v2,... vn, khi đó hệ (9.96) có dạng. 111 ),...,( vqwyxf =− 222 ),...,( vqwyxf =− (9.97) ................................... nnn vqwyxf =−),...,( Hệ phương trình (9.97) chính là hệ phương trình sai số. Để tìm độ tin cậy nhất của các biến x, y,...w sử dụng quy tắc bình phương nhỏ nhất. [ ] min22222112 =+⋅⋅⋅++== nnvpvpvppvσ (9.98) Do các chênh sai v là hàm của biến x, y,...w nên đại lượng σ cũng là hàm của những biến ấy. [ ] min),...,(2 === wyxFpvσ (9.99) Bộ môn Hàng hải học 99 Các biến x, y,...w độc lập nhau, để tìm giá trị của biến này làm cho hàm σ nhận giá trị nhỏ nhất cần thiết lấy đạo hàm riêng của từng biến và cho chúng bằng 0. Kết quả nhận được như sau. 0= dx dσ 0= dy dσ (9.100) ............ 0= dw dσ Thực hiện phép biến đổi đạo hàm riêng nhận được. 0222 2211 =∂ ∂+⋅⋅⋅+∂ ∂+∂ ∂= x v pv x vpv x vpv dx d n n σ 0222 22 1 1 =∂ ∂+⋅⋅⋅+∂ ∂+∂ ∂= y vpv y vpv y vpv dy d n n σ (9.101) ........................................................................... 0222 2211 =∂ ∂+⋅⋅⋅+∂ ∂+∂ ∂= w v pv w vpv w vpv dw d n n σ Có thể viết hệ phương trình (9.101) dưới dạng vắn tắt. 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dx dpv σ 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dy dpv σ (9.102) .................... 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dw dpv σ Hệ vắn tắt (9.102) gọi là hệ các phương trình chuẩn tắc. Trong hệ này có bao nhiêu Nn sẽ có bấy nhiêu phương trình và sau khi loại các giá trị vi sẽ tìm được những trị tin cậy nhất của các biến. Trường hợp đo chính xác như nhau thì các trọng số pi bằng nhau. [ ] min),...,(2 === wyxFvσ và hệ (9.102) có dạng. 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dx dv σ 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dy dv σ (9.103) ................. 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dw dv σ Bộ môn Hàng hải học 100 θ1 θ2 θ3 O e1 e2 e3 h1 h2 h3 x y x y E N S W I I II II III IIIM Chú ý. Giá trị của các biến trong phương trình chuNn tắc chỉ xác định được khi số hàm đo các đại lượng cần xác định (n) lớn hơn số Nn (k), tức n > k. Khi n < k bài toán trở lên vô định và n = k giải bình thường không nhất thiết lập phương trình chuNn tắc. 9.14.2. Phương pháp xác suất lớn nhất N ếu tiến hành thực hiện một loạt phép đo cùng loại như nhau (cùng khoảng cách hay cùng phương vị). Vị trí xác định của tàu là giao của ba hay nhiều đường vị trí này. Thực tế các đường vị trí không cắt tại một điểm mà tạo thành tam giác, tứ giác hay đa giác. N hiệm vụ của sỹ quan hàng hải phải tìm vị trí xác suất nhất làm vị trí tàu. Trường hợp này giả thiết sai sót và sai số hệ thống được loại trừ, các đường vị trí độc lập với nhau và chỉ còn chịu ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên. Áp dụng phương pháp xác suất lớn nhất để xác định vị trí tàu tin cậy nhất. Giả sử có n đường vị trí, chẳng hạn n = 3 (hình 9.30), vị trí dự đoán chính xác nhất tại điểm O. Qua điểm O dựng hệ toạ độ vuông góc Oxy. Khoảng cách từ điểm O tới các đường vị trí tương ứng là e1,e2, ,en. Góc tính từ hướng Ox tới các hướng khoảng cách ie ngược chiều kim đồng hồ tương ứng là 1θ , nθθθ ,..., 32 . Khoảng dịch chuyển bình phương trung bình hay độ lệch tiêu chuNn của các đường vị trí tương ứng là nσσσ ,..., 21 . Gọi nhhh ,..., 21 là khoảng cách từ một điểm xác định M đến vị trí thật của đường vị trí. Từ kết quả quan trắc, xác định các đường vị trí I-I, II-II và III-III. Phương trình đường vị trí lần lượt là. 0111 =−+ lybxa 0222 =−+ lybxa 0333 =−+ lybxa ............................ 0=−+ nnn lybxa Từ hình 9.30, thiết lập phương trình đường vị trí có dạng. 0sincos 111 =−+ eyx θθ 0sincos 222 =−+ eyx θθ 0sincos 333 =−+ eyx θθ .......................................... 0sincos =−+ nnn eyx θθ Hình 9.30 Bộ môn Hàng hải học 101 Giả sử các đường vị trí có xác suất phân phối theo quy luật. ( ) ( )yxfhfdP ,1111 == ( ) ( )yxfhfdP ,2222 == ( ) ( )yxfhfdP ,3333 == ..................................... ( ) ( )yxfhfdP nnnn ,== Xác suất vị trí tàu tại điểm M tính bằng. ndPdPdPdPdP ×⋅⋅⋅×××= 321 Hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxgyxfyxfyxfyxf hfhfhfhfdP n nn ,,,,, )()()()( 321 332211 =×⋅⋅⋅×××= =×⋅⋅⋅×××= Vị trí tàu có xác suất lớn nhất là. ( )[ ]yxgdP ,maxmax = (9.104) Trong thực tiễn hàng hải có thể coi các đường vị trí phân phối theo quy luật phân phối chuNn. ( ) 21 2 1 2 1 111 2 1 σ πσ h ehfdP −== ( ) 22 2 2 2 2 222 2 1 σ πσ h ehfdP −== ( ) 33 3 3 2 3 333 2 1 σ πσ h ehfdP −== ............................................. ( ) 2 2 2 2 1 n nh n nnn ehfdP σ πσ −== Suy ra: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅⋅+++− ×⋅⋅⋅××× = 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22321 2 1 n nhhhh edP σσσσππσσσσ N hư vậy, để dPmax ⇔ min 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅⋅+++= n nhhhhC σσσσ Kết luận. Bộ môn Hàng hải học 102 Vị trí M của tàu được coi là tin cậy nhất khi đại lượng ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅⋅+++ 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 n nhhhh σσσσ đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt khác, giả sử M có tọa độ (xM, yM). Phương trình đường vị trí có dạng. 1111 sincos heyx MM =−+ θθ 2222 sincos heyx MM =−+ θθ 3333 sincos heyx MM =−+ θθ ................................................ nnnMnM heyx =−+ θθ sincos 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 sincossincos sincos ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++⋅⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅⋅+++ n n n n M n n MMM MM n n eyxeyx eyxhhhh σσ θ σ θ σσ θ σ θ σσ θ σ θ σσσσ Để ⇔⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∑ = min1 2 2n i i ihC σ 0=∂ ∂ Mx C và 0=∂ ∂ My C , nghĩa là. 0 sincoscos2 sincoscos2sincoscos2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ +⋅⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ n n n n M n n M n n MMMM eyx eyxeyx σσ θ σ θ σ θ σσ θ σ θ σ θ σσ θ σ θ σ θ 0 sincossin2 sincossin2sincossin2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ +⋅⋅⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ n n n n M n n M n n MMMM eyx eyxeyx σσ θ σ θ σ θ σσ θ σ θ σ θ σσ θ σ θ σ θ Giải hệ phương trình trên với Nn xM, yM nhận được. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − −= − −= 2 22 S2 2 22 2 GSC GEECy GSC GESEx C M C M (9.105) Trong đó: EC = n n neeee θσθσθσθσ coscoscoscos 2222 2 12 1 1 2 +⋅⋅⋅++=∑ Bộ môn Hàng hải học 103 n n n S eeeeE θσθσθσθσ sinsinsinsin 2222 2 12 1 1 2 +⋅⋅⋅++== ∑ n n C θσθσθσθσ 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 22 cos 1cos1cos1cos1 +⋅⋅⋅++== ∑ n n S θσθσθσθσ 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 22 sin 1sin1sin1sin1 +⋅⋅⋅++== ∑ nn n G θθσθθσθθσθθσ cossin 1cossin 1 cossin1cossin1 2222 2 112 1 2 +⋅⋅⋅++== ∑ Chú ý. - Phương pháp này chỉ áp dụng cho trường hợp các đường vị trí tuân theo quy luật phân phối chuNn. - Tuy nhiên việc giải hệ phương trình và áp dụng các công thức trên rất phức tạp, vì vậy thường áp dụng cho trường hợp ba đường vị trí có độ lệch tiêu chuNn như nhau 321 σσσ == . Khi đó vị trí tin tưởng là vị trí có đại lượng ( )min232221 hhh ++ , đây chính là giao điểm của ba đường đối trung tuyến (hình 9.31). Hình 9.31 Hình 9.32 9.14.3. Phương pháp sai lệch nhỏ nhất Giả sử phương trình đường vị trí có dạng. 0111 =−+ lybxa 0222 =−+ lybxa ............................ 0=−+ nnn lybxa Do các đường vị trí đều mang sai số là Vi. Giả sử vị trí tàu tại điểm M(xM, yM) thì tồn tại hệ phương trình. I III I II II III M h1 h2 h3 I IIII II II III M Bộ môn Hàng hải học 104 1111 Vlybxa MM =−+ 2222 Vlybxa MM =−+ .................................... nnMnMn Vlybxa =−+ Theo phương pháp này, điểm tin tưởng nhất của vị trí tàu là điểm thỏa mãn sai lệch giữa các giá trị Vi là nhỏ nhất. Để thỏa mãn điều kiện này có thể biểu diễn bằng biểu thức. ∑ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅⋅⋅++−= n i n i n VVV V 1 2 min 21ω min 1 1 1 1∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −−+⇔ n i n i n i n i iiMiM iMiMi n lbyax lybxa Suy ra: 0=∂ ∂ Mx ω 0=∂ ∂ My ω 0 1 1 1 11 = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −−+ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = == n i n i n i n i iiMiM iMiMi n i i i n lbyax lybxa n a a (9.106) 0 1 1 1 11 = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ −−+ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = == n i n i n i n i iiMiM iMiMi n i i i n lbyax lybxa n b b Giải hệ phương trình (9.106) với Nn số là xM và yM sẽ xác định được vị trí tin tưởng nhất theo phương pháp này. Tuy nhiên hệ phương trình (9.106) khá phức tạp và việc giải tương đối lâu, do đó ít được áp dụng. Trường hợp riêng 321 ggg == (như phương pháp ba khoảng cách, ba đường cao hoặc ba phương vị nếu ba mục tiêu phân bố đều xung quanh vị trí tàu, tức là 321 DDD == ) thì vị trí tin tưởng nhất ứng với 321 hhh == , đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (hình 9.32). Bộ môn Hàng hải học 105 9.15. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC VN TRÍ TÀU BẰNG BA ĐƯỜNG VN TRÍ TRỞ LÊN KHI CÓ SAI SỐ NGẪU NHIÊN TÁC ĐỘNG 9.15.1. Đánh giá độ chính xác sử dụng elíp sai số Khi xác định bằng ba đường vị trí trở lên các đường vị trí cắt nhau dưới các góc khác nhau và tạo ra một số giao điểm K. 2 )1(2 −== nnCK n Dựng hình elíp sai số cho từng cặp đường vị trí và sau đó dựng một elíp sai số tổng hợp. Có thể dựng được N số lượng hình elíp như vậy. 2 )1(2 −== nnCN n Thực tế không nhất thiết dựng một loạt hình elíp sai số như thế nếu những đường vị trí tương đương. Chẳng hạn hai đường vị trí thẳng góc với nhau thì hình elíp có kích thước như nhau và có thể làm chuNn cho hình elíp sai số đối với n đường vị trí nhận được. N hư vậy elip sai số tổng hợp sẽ có bán trục đặc trưng cho hướng phân bố mật độ xác suất vị trí tàu đạt cực trị và đó là hướng gradiăng lớn nhất gmax và nhỏ nhất gmin. Bán trục của elíp được biểu diễn như sau. ming m a tb= và maxg m b tb= Gradiăng của các đường vị trí có thể được tính toán bằng cách giải hệ phương trình. 222 2 1 2 min 2 max nggggg +⋅⋅⋅++=+ (9.107) →→→→ =+⋅⋅⋅++=−