Giáo trình Giải tích lồi

tuỳ ý, IntA là tập mở, và là tập con mở lớn nhất của A, A mở khi và chỉ khi A = IntA. c) Với A là tập tuỳ ý, A là tập đóng, và là tập đóng bé nhất chứa A, A đóng khi và chỉ khi A = A. Từ tính chất a) và các tính chất của tập mở ta suy ra các tính chất của tập đóng: i) ∅ và X là các tập đóng, ii) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng, iii) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Một tập được sắp thứ tự (I,<) được gọi là tập định hướng nếu với mọi λ, µ ∈ I tồn tại γ ∈ I sao cho λ < γ và µ < γ. Một dãy suy rộng trong X là một ánh xạ ϕ từ một tập được định hướng I vào X. Nếu ký hiệu xλ := ϕ(λ) thì ta có thể nói (xλ) là một dãy suy rộng trong X. Giả sử (xλ)λ∈I là một dãy suy rộng, J là một tập định hướng khác và φ là một ánh xạ từ J vào I, với λµ := φ(µ); µ ∈ J , thoả mãn: + Với mọi µ < µ′ ta có λµ < λµ′ ; + Với mọi λ ∈ I tồn tại µ ∈ J sao cho λ < λµ. Lúc đó, ta gọi ϕ ◦ φ là dãy (suy rộng) con của dãy ϕ hay (xλµ) là dãy con của dãy (xλ). Dãy suy rộng (xλ) trong không gian tôpô (X, τ) được gọi là hội tụ đến x¯ nếu vơi mọi lân cận V của x¯, tồn tại λ0 sao cho với mọi λ > λ0 ta có xλ ∈ V . Lúc đó, ta ký hiệu xλ → x¯. Một tập con A của X được gọi là compact nếu mọi dãy suy rộng trong A đều tồn tại dãy con hội tụ đến một điểm thuộc A. Ta có thêm các kết quả sau 9d) A là tập đóng ⇐⇒ với mọi dãy (xλ) ⊂ A, nếu xλ → x¯ thì x¯ ∈ A. Ta gọi một phủ mở của A là một họ {Uα | α ∈ Λ} các tập mở sao cho A ⊂ ⋃ α∈Λ Uα. Lúc đó, nếu có họ hữu hạn H = {α1, α2, · · · , αk} ⊂ Λ sao cho A ⊂ ⋃ α∈H Uα, thì ta nói đây là một phủ con hữu hạn của phủ trên. e) A là tập compact ⇐⇒ mọi phủ mở của A đều tồn tại phủ con hữu hạn. 1.3.2. Không gian tôpô tuyến tính. Cho không gian vectơ X. Lúc đó, một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số trên X nếu dưới tôpô này, các ánh xạ sau liên tục. + :X ×X → X, . :R×X → X. Tức là: Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊂ W. Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và mọi lân cận W của λx, tồn tại  > 0 và lân cận V của x sao cho µV ⊂ W với mọi µ ∈ (λ− , λ+ ). Lúc đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một không gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính. Bổ đề 1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính X, Phép tịnh tiến: Ta(x) := a+ x, Phép vị tự: ϕα(x) := αx, với a ∈ X, α ∈ R \ {0}, là các phép đồng phôi từ X lên X. Hệ quả 1.3. Trên không gian tôpô tuyến tính ta có a) V là lân cận gốc ⇔ V + a là lân cận của a; b) V là lân cận gốc ⇔ αV là lân cận gốc, với mọi α 6= 0. Hệ quả 1.4. Nếu V là lân cận gốc trong không gian tôpô tuyến tính X, thì a) V là tập hấp thụ. 10 b) Tồn tại một lân cận gốc cân đối U sao cho U + U ⊂ V . Định lý 1.8. Cho X là một không gian vectơ. a) Nếu τ là một tôpô tuyến tính, thì tồn tại cơ sở lân cận gốc B ⊂ τ thoả mãn i) V cân đối, hấp thụ với mọi V ∈ B, ii) αV ∈ B với mọi α 6= 0 và V ∈ B, iii) Với mọi V ∈ B tồn tại U ∈ B sao cho U + U ⊂ V , iv) Với mọi V1, V2 ∈ B, tồn tại U ∈ B sao cho U ⊂ V1 ∩ V2. b) Ngược lại, nếu B ⊂ P(X) là họ các tập thoả mãn các điều kiện (i-iv), thì tồn tại tôpô tuyến tính τ trên X nhận B làm cơ sở lân cận gốc. Cụ thể, τ = {U | ∀x ∈ U, ∃V ∈ B, x+ V ⊂ U}. Mệnh đề 1.9. Nếu tôpô tuyến tính τ trên X nhận B làm cơ sở lân cận gốc, thì τ là tôpô Hausdorff khi và chỉ khi ⋂ V ∈B V = {0}. 1.3.3. Không gian tôpô lồi địa phương. Từ kết quả của mục trước, ta thấy cấu trúc của một tôpô tuyến tính hoàn toàn được xác định bởi hệ cơ sở lân cận gốc. Nếu tồn tại một hệ cơ sở lân cận gốc gồm toàn các tập lồi thì τ sẽ được gọi là tôpô (tuyến tính) lồi địa phương và X được gọi là không gian tôpô (tuyến tính) lồi địa phương. Định lý 1.10. Cho X là một không gian vectơ. a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc B gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ. b) Ngược lại, nếu B0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau B := {  m⋂ 1 Vi |  > 0; m ∈ N; Vi ∈ B0 } là cơ sở lân cận gốc của một tôpô lồi địa phương nào đó. Hơn nữa, tôpô này là Hausdorff khi và chỉ khi ⋂ V ∈B0 V = {0}. Nếu chú ý rằng, với mọi V ∈ B ta có V ⊂ 2V , thì ta có thể khẳng định rằng mọi tôpô lồi địa phương đều tồn tại một cơ sở lân cận gốc lồi, cân đối và đóng. 11 Ví dụ 1.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi họ chỉ gồm một tập: B0 = {B(0; 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là B = {B(0; 1) |  > 0} = {B(0; ) |  > 0}. Ví dụ 1.2. Với mỗi p > 0 ta vẫn ký hiệu lp = {x = (xn) ⊂ R | ∞∑ 1 |xn|p <∞}. Đó là các không gian vectơ. Đặt V := { x ∈ lp ∣∣∣ ( ∞∑ 1 |xn|p ) 1 p <  } . Lúc đó, B = {V |  > 0} là cơ sở lân cận gốc của một tôpô tuyến tính trên lp. Hơn nữa, ta có thể chứng minh được rằng lp là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi p ≥ 1. 1.3.4. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất. Trên không gian vectơ X có thể có nhiều tôpô lồi địa phương khác nhau. Ta gọi tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên X là tôpô τ0 sinh bởi họ B0 gồm tất cả các tập lồi, cân đối, hấp thụ trong X. Sở dĩ có tên gọi như vậy vì với mọi tôpô lồi địa phương τ trên X, ta có τ ⊂ τ0. Định lý 1.11. Tôpô lồi địa phương mạnh nhất τ0 trên X là Hausdorff. Trong tôpô ấy ta có a) Mọi tập lồi, hấp thụ đều là lân cận gốc; b) Nếu C là tập con lồi của X, thì coreC = IntC; c) Cho Y là một không gian lồi địa phương tuỳ ý. Lúc đó, mọi ánh xạ tuyến tính từ X vào Y đều liên tục. Định lý 1.12. Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì trong X chỉ có một tôpô lồi địa phương Hausdorff duy nhất. Đó chính là tôpô Euclide thông thường. Hệ quả 1.5. Trong Rn ta có a) Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì IntC = coreC; b) Mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn vào một không gian lồi địa phương Y đều liên tục. Hệ quả 1.6. Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi địa phương đều đóng. 12 1.3.5. Không gian tích - Phần bù tôpô. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô lồi địa phương. Lúc đó, không gian vectơ tích X × Y với tôpô tích Tikhonov cũng là không gian lồi địa phương, cụ thể ta có kết quả sau Định lý 1.13. a) Tích của hai không gian lồi địa phương (Hausdorff) X, Y là không gian lồi địa phương (Hausdorff) X × Y . b) Nếu Z là một không gian lồi địa phương thì mọi ánh xạ A ∈ L(X × Y, Z) đều có dạng A(x, y) = A1(x) + A2(y), với A1 ∈ L(X,Z) và A2 ∈ L(Y, Z) là các ánh xạ được xác định bởi A1(x) = A(x, 0); A2(y) = A(0, y). Hơn nữa, A liên tục khi và chỉ khi A1 và A2 đều liên tục. Bây giờ giả sử M ≤ X và N là phần bù đại số của M (tức là, với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất một cặp m ∈M và n ∈ N sao cho x = m+n). Với tôpô cảm sinh, M và N cũng là các không gian lồi địa phương và do đó ta có không gian lồi địa phương M ×N . Xét ánh xạ ϕ :M ×N → X (m,n)→ m+ n. Dễ thấy rằng ϕ là một song ánh tuyến tính liên tục. Nếu ϕ−1 cũng là một ánh xạ liên tục, thì M , N sẽ được gọi là phần bù tôpô của nhau và ký hiệu X = M ⊕N. Mệnh đề 1.14. Nếu M là không gian con đóng của X và codimM < ∞, thì mọi phần bù đại số của M đều là phần bù tôpô. Để chứng minh mệnh đề này ta cần sử dụng kết quả sau. Bổ đề 1.3. Cho M và C là hai tập con của một không gian tôpô tuyến tính sao cho M đóng, C compact. Lúc đó M + C là tập đóng. 1.4. Tập lồi trong không gian tôpô lồi địa phương. Trong suốt mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả thiết X là một không gian tôpô lồi địa phương. 13 1.4.1. Sự liên tục của phiếm hàm Minkowski - Nửa chuẩn. Mệnh đề 1.15. a) Cho C là tập lồi, hấp thụ trong X. Lúc đó pC là hàm liên tục khi và chỉ khi C là một lân cận gốc. Hơn nữa, ta có IntC = {x ∈ X | pC(x) < 1}; C = {x ∈ X | pC(x) ≤ 1}. b) Cho C và D là hai tập lồi, hấp thụ trong X và α > 0. Lúc đó, p(αC) = 1 α pC ; p(C∪D) = max{pC , pD}. c) Nếu p là một phiếm hàm dưới tuyến tính không âm trên X thì p = pC, với C = {x ∈ X | p(x) < 1}. Một phiếm hàm p trên X được gọi là một nửa chuẩn nếu a) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), với mọi x, y ∈ X; b) p(λx) = |λ|p(x), với mọi λ ∈ R và x ∈ X. Vậy, p là một chuẩn nếu p là nửa chuẩn và p(x) = 0⇔ x = 0. Mệnh đề 1.16. Cho p là một phiếm hàm trên X. a) p là nửa chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ. b) p là chuẩn nếu và chỉ nếu p = pC với C là một tập lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa trọn đường thẳng nào. Từ Định lý 1.10 ta thấy, một tôpô lồi địa phương τ trên không gian vectơ X hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập lồi, cân đối, hấp thụ B0 (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất nhận mọi tập V ∈ B0 làm lân cận gốc). Kết hợp với Mệnh đề 1.15 và Mệnh đề 1.16 ta có thể khẳng định thêm rằng τ hoàn toàn được xác định bởi một họ P0 các nửa chuẩn (theo nghĩa τ là tôpô tuyến tính yếu nhất sao cho mọi nửa chuẩn p ∈ P0 đều liên tục). Đặc biệt, mọi chuẩn đều hoàn toàn được xác định bởi một tập C lồi, cân đối, hấp thụ và không chứa đường thẳng nào (lúc đó, với chuẩn này, B(0; 1) ⊂ C ⊂ B′(0; 1)). 1.4.2. Các tính chất tôpô. Cho C là tập lồi trong X. Ta vẫn ký hiệu IntC là phần trong của C. Ngoài ra, ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này theo tôpô cảm sinh trong Aff(C). Cụ thể, riC := {x ∈ C | tồn tại lân cận gốc V : (x+ V ) ∩ Aff(C) ⊂ C}. Với x, y ∈ X, ta ký hiệu [x, y) := {(1−λ)x+λy | λ ∈ [0; 1)} là đoạn thẳng nửa mở với hai mút x, y. 14 Định lý 1.17. Cho C là tập lồi khác rỗng trong X. Lúc đó, a) IntC, C là các tập lồi. b) Nếu x ∈ IntC và y ∈ C thì [x, y) ⊂ IntC. c) Nếu IntC 6= ∅ thì C = IntC, IntC = IntC và coreC = IntC. d) Nếu dimC <∞ thì riC 6= ∅ và C = riC; riC = riC. Cho A ⊂ X, ta ký hiệu coA là tập lồi đóng bé nhất chứa A. Từ định lý trên, ta thấy coA = coA. Tuy nhiên chú ý rằng nói chung ta chỉ có bao hàm thức coA ⊂ coA. Mệnh đề 1.18. Nếu A ⊂ X là một tập compact và tồn tại số nguyên dương n sao cho, với mọi x ∈ coA đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của không quá n phần tử thuộc A, thì coA là tập compact. Hệ quả 1.7. Nếu A ⊂ X là một tập compact và dimX < ∞, thì coA là tập compact. Hệ quả 1.8. Nếu C1, C2, · · · , Cn ⊂ X là các tập lồi compact, thì co(C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn) cũng là tập compact. Mệnh đề sau là một mở rộng của Hệ quả 1.7. Mệnh đề 1.19. Nếu A là một tập compact trong không gian Banach X, thì coA là tập compact. Thật vậy, lúc đó coA là tập hoàn toàn bị chặn. 1.4.3. Nón lùi xa của tập lồi. Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ X. Ta nói vectơ d là một phương lùi xa của C nếu x+ λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0. Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được ký hiệu là o+(C). Vậy, o+(C) = {d ∈ X | x+ λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}. Mệnh đề 1.20. o+(C) là nón lồi chứa gốc. Hơn nữa, o+(C) = {d ∈ X | C + d ⊂ C} 15 Ví dụ 1.3. Trong R2 cho các tập C1 = {(x, y) | x > 0; y ≥ 1 x }; C2 = {(x, y) | y ≥ x2}; C3 = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}; C4 = {(x, y) | y ≥ √ 1 + x2}; C5 = {(x, y) | (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x = y = 0)}. Lúc đó, o+(C1) = {(u, v) | u ≥ 0; v ≥ 0}; o+(C2) = {(0, v) | v ≥ 0}; o+(C3) = {(0, 0)}; o+(C4) = {(u, v) | v ≥ |u|}; o+(C5) = C5. Ví dụ 1.4. Cho ai ∈ Rn, αi ∈ R; 1 ≤ i ≤ m. Xét tập hợp C6 = {x ∈ Rn | 〈ai, x〉 ≤ αi; 1 ≤ i ≤ m} 6= ∅. Ta có o+(C6) = {x ∈ Rn | 〈ai, x〉 ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}. Mệnh đề 1.21. Cho C lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o+(C) là nón lồi đóng và a) d ∈ o+(C)⇔ ∃x0 ∈ C,∀λ > 0 : x0 + λd ∈ C. b) o+(C) = ∩ λ>0 λ(C − x0); với mọi x0 ∈ C. Mệnh đề 1.22. Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ Rn. Lúc đó, C bị chặn khi và chỉ khi o+(C) = ∅. Chương 2 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP TÔPÔ YẾU 2.1. Định lý tách. 2.1.1. Phiếm hàm tuyến tính liên tục. Cho X là một không gian tôpô lồi địa phương. Ta vẫn ký hiệu X# là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. Với mỗi f ∈ X# \ {0} và α ∈ R tập hợp H(f ;α) = {x ∈ X | f(x) = α} là một siêu phẳng trong X, song song với không gian con Ker f = f−1(0). Mệnh đề 2.1. Siêu phẳng H(f ;α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục. Ta ký hiệu tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là X∗ và gọi là không gian liên hợp, hay không gian đối ngẫu tôpô của X. Dễ kiểm chứng được rằng X∗ là một không gian vectơ con của không gian đối ngẫu đại số X#. Hệ quả 2.1. Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêu phẳng trong X đều đóng. Nói cách khác, X∗ = X#. Ta nói siêu phẳng H(f ;α) để tập A ⊂ X về một phía nếu A là tập con của một trong hai nửa không gian sau: H+(f ;α) := {x ∈ X | f(x) ≥ α}; H−(f ;α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}. Như vậy, theo định nghĩa trong Mục 1.2.3. siêu phẳng H(f ;α) tách hai tập A và B khi và chỉ khi siêu phẳng đó để hai tập này về hai phía khác nhau. Tức là A ⊂ H+(f ;α) và B ⊂ H−(f ;α) (hoặc ngược lại). 17 Mệnh đề 2.2. a) Nếu siêu phẳng H(f ;α) để A về một phía, thì H(f ;α) ∩ coreA = ∅. b) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng. 2.1.2. Định lý Tách. Định lý 2.3 (Định lý Tách). Giả sử hai tập lồi A và B trong không gian X rời nhau. Hơn nữa, nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn a) dimX <∞, b) IntA ∪ IntB 6= ∅, thì có một siêu phẳng đóng tách A và B. Cho tập lồi C ⊂ X và một điểm x0 ∈ C. H(f ;α) được gọi là siêu phẳng tựa của C tại x0, nếu nó chứa x0 và để C về một phía. Lúc đó, ta nói x0 là điểm tựa của C trên siêu phẳng H(f ;α) và f là phiếm hàm tựa của tập lồi C tại x0. Nếu hơn nữa, C ⊂ H−(f ;α) thì f được gọi là một vectơ pháp tuyến ngoài của C tại x0. Lúc đó, f(c− x0) ≤ 0; ∀c ∈ C. Ta ký hiệu NC(x0) là tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến ngoài liên tục của C tại x0; tức là NC(x0) := {f ∈ X∗ | f(c− x0) ≤ 0; ∀c ∈ C}. Hệ quả 2.2. Cho tập lồi C và x0 ∈ C. a) NC(x0) là nón lồi chứa gốc trong X ∗. b) Nếu IntC 6= ∅ và x0 ∈ ∂C, thì NC(x0) 6= {0}. Từ kết quả này ta thường gọi NC(x0) là nón pháp tuyến của C tại x0. 2.1.3. Định lý Tách mạnh. Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f 6= 0 và các số γ > β sao cho A ⊂ H−(f ; β) và B ⊂ H+(f ; γ). Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) ta cũng nói siêu phẳng H(f ;α) tách mạnh A và B. Định lý 2.4 (Định lý Tách mạnh). Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho A đóng và B compact. Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách mạnh A và B. 18 Hệ quả 2.3. Cho M là một không gian con của X và x0 ∈ X \M . Lúc đó, tồn tại f ∈ X∗ sao cho f(x0) = 1 và f(m) = 0 với mọi m ∈M. Hệ quả 2.4. Một không gian con M là trù mật trong X khi và chỉ khi, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên X mà bằng không trên M thì f = 0. Cuối cùng, ta nhận được mệnh đề sau mà là mở rộng một phần của Hệ quả 1.1. Mệnh đề 2.5. Cho M là một không gian con của X. Lúc đó, với mọi g ∈M∗ tồn tại f ∈ X∗ sao cho f |M = g. 2.2. Tôpô yếu - Tôpô yếu*. 2.2.1. Tôpô yếu trên X. Cho (X, τ) là không gian tôpô lồi địa phương. Với mỗi f ∈ X∗, tập hợp V (f ; 1) := {x ∈ X | |f(x)| < 1} là một tập lồi cân đối hấp thụ trong X. Do đó, từ kết quả Định lý 1.8, họ B0 := {V (f ; 1) | f ∈ X∗} sẽ xác định một tôpô lồi địa phương τw trên X. Tôpô này nhận họ sau làm cơ sở lân cận gốc: B = { m⋂ i=1 V (fi; ) | m ∈ N∗;  > 0; fi ∈ X∗, 1 ≤ i ≤ m } . Dễ kiểm chứng được rằng đây là tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X∗. Nói riêng, τw ⊂ τ . Do đó, ta sẽ gọi τw là tôpô yếu trên X để phân biệt với tôpô mạnh là τ . Tương ứng với tôpô này ta có các khái niệm mới trên X như tập mở yếu, tập đóng yếu, hội tụ yếu, compact yếu... Ta sẽ ký hiệu xλ w→ x¯ để chỉ rằng dãy suy rộng (xλ) hội tụ yếu đến x¯ để phân biệt với ký hiệu xλ → x¯ nói rằng (xλ) hội tụ mạnh đến x¯. Mệnh đề 2.6. Cho dãy suy rộng (xλ) trong X và x¯ ∈ X. Lúc đó, xλ w→ x¯⇐⇒ f(xλ)→ f(x¯); ∀f ∈ X∗. Mệnh đề 2.7. Nếu tôpô mạnh trên X là Hausdorff thì tôpô yếu cũng Hausdorff. 19 Vì tôpô yếu là yếu hơn tôpô mạnh, nên mọi tập đóng yếu (mở yếu) đều đóng (mở). Điều ngược lại thì không nhất thiết đúng. Tuy vậy, đối với tập lồi thì hai khái niệm đóng và đóng yếu là tương đương. Điều này được thể hiện trong kết quả sau: Mệnh đề 2.8. Mọi tập lồi đóng trong X cũng đóng yếu. Hệ quả 2.5 (Bổ đề Mazur). Giả sử X là không gian định chuẩn và (xn) là một dãy trong X hội tụ yếu đến x¯. Lúc đó, tồn tại một dãy (yn) hội tụ (mạnh) đến x¯ sao cho yn ∈ co{xk | k ∈ N}, với mọi n ∈ N . 2.2.2. Tôpô yếu* trên X∗. Như đã nhận xét trong 1.1.1. X∗ là một không gian vectơ con của không gian X#. Sau đây chúng ta sẽ tìm cách xây dựng một tôpô lồi địa phương trên X∗. Tương ứng với mỗi x ∈ X, ta thiết lập một phiếm hàm φx trên X∗ được xác định bởi φx(f) := f(x); ∀f ∈ X∗. Dễ kiểm chứng được rằng đây là một phiếm hàm tuyến tính trên X∗, và do đó, nếu đồng nhất mỗi x ∈ X với φx ta có thể xem X như một họ các phiếm hàm tuyến tính trên X∗. Tôpô tuyến tính yếu nhất τw∗ trên X∗ bảo đảm sự liên tục của mọi x ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗. Tương tự tôpô yếu, ta có thể thấy τw∗ là tôpô lồi địa phương, có cơ sở lân cận gốc gồm các tập có dạng B∗ = { m⋂ i=1 V ∗(xi; ) | m ∈ N;  > 0; xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ m } , trong đó, V ∗(x; ) := {f ∈ X∗ | |f(x)| < }. Một điều đáng chú ý là bất luận tôpô trên X như thế nào, tôpô yếu* trên X∗ luôn luôn là Hausdorff. Tương tự sự hội tụ trong tôpô yếu, ta ký hiệu fλ w∗→ f để chỉ rằng dãy suy rộng (fλ) hội tụ theo tôpô yếu* về phiếm hàm f trong X ∗. Mệnh đề 2.9. Cho dãy suy rộng (fλ) trong X ∗. Lúc đó, fλ w∗→ f ⇐⇒ ∀x ∈ X, fλ(x)→ f(x). Cho V là một tập con khác rỗng của X, ta gọi đối cực của V là tập hợp sau V 0 := {f ∈ X∗ | f(x) ≤ 1}. Bổ đề 2.1. a) V 0 là tập lồi, đóng yếu* trong X∗, b) Nếu V cân đối thì V 0 cũng vậy, 20 c) Nếu V ⊃ U 6= ∅ thì V 0 ⊂ U0. Định lý 2.10 (Alaoglu). Nếu V là một lân cận gốc trong X thì V 0 là compact yếu*. Hệ quả 2.6. Cho V là một lân cận gốc trong X và ϕ : V → R là một phiếm hàm liên tục trên V . Lúc đó, tập hợp K = {f ∈ X∗ | f(v) ≤ ϕ(v), ∀v ∈ V } là compact yếu*. Hệ quả 2.7. Hình cầu đơn vị đóng B′∗(0; 1) trong không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là compact yếu*. 2.2.3. Cặp đối ngẫu tổng quát. Cho X và Y là hai không gian vectơ và 〈·, ·〉 : X × Y → R là một dạng song tuyến tính tách được theo từng biến. Nghĩa là 〈x, λy1 + µy2〉 = λ〈x, y1〉+ µ〈x, y2〉; ∀x ∈ X, y1, y2 ∈ Y, λ, µ ∈ R, 〈λx1 + µx2, y〉 = λ〈x1, y〉+ µ〈x2, y〉; ∀x1, x2 ∈ X, y ∈ Y, λ, µ ∈ R. ∀x0 ∈ X \ {0},∃y ∈ Y : 〈x0, y〉 6= 0, ∀y0 ∈ Y \ {0},∃x ∈ X : 〈x, y0〉 6= 0. Lúc đó, mỗi y ∈ Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X theo quy tắc x ∈ X −→ 〈x, y〉 ∈ R, và mỗi x ∈ X cũng xác định một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi y ∈ Y −→ 〈x, y〉 ∈ R. Như vậy có thể xem X là một không gian vectơ những phiếm hàm tuyến tính trên Y , hay X ≤ Y #. Tương tự, Y ≤ X#. Ta sẽ ký hiệu tôpô tuyến tính yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm y ∈ Y bởi σ(X, Y ) và tôpô tuyến tính yếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm x ∈ X bởi σ(Y,X). Định lý 2.11. σ(X, Y ) là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X. Hơn nữa, không gian liên hợp của (X, σ(X, Y )) cũng chính là Y . Dĩ nhiên, một kết quả tương tự cũng đúng đối với tôpô σ(Y,X) và ta cũng có (Y, σ(Y,X))∗ = X. Để chứng minh các kết quả này ta cần đến bổ đề sau Bổ đề 2.2. Nếu f1, f2, · · · , fm và g là các phiếm hàm tuyến tính trên không gian vectơ X sao cho m⋂ i=1 Ker fi ⊂ Ker g, thì g là một tổ hợp tuyến tính của họ {f1, f2, · · · , fm}. 21 Hệ quả 2.8. Giả sử (X, τ) là một không gian lồi địa phương Hausdorff với không gian liên hợp X∗. Lúc đó với dạng song tuyến tính 〈x, f〉 = f(x) trên X ×X∗ ta có σ(X,X∗) = τw, σ(X∗, X) = τw∗. Đặc biệt, (X, τw)∗ = X∗ và (X∗, τw∗)∗ = X. Do tính đối xứng giữa các không gian X và X∗, được thể hiện qua hệ quả trên, ta thường ký hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lồi địa phương X là x∗ ∈ X∗ và viết 〈x, x∗〉 thay cho x∗(x). 2.2.4. Không gian Banach phản xạ. Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X∗ là không gian liên hợp của nó. Ta đã biết X∗ cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi ‖x∗‖ = sup{|〈x, x∗〉| : ‖x‖ ≤ 1}; x∗ ∈ X∗. Đến lượt nó, không gian định chuẩn X∗ cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên nó mà ta ký hiệu là X∗∗, với chuẩn ‖x∗∗‖ = sup{|〈x∗, x∗∗〉| : ‖x∗‖ ≤ 1}; x∗∗ ∈ X∗∗. Chú rằng trên X∗ cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà ta gọi là tôpô mạnh và tôpô yếu* τw∗ = σ(X ∗, X). Vì |〈x, x∗〉| ≤ ‖x∗‖; ∀x ∈ X, x∗ ∈ X∗, nên sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* là yếu hơn tôpô mạnh. Bây giờ với mỗi phần tử x ∈ X, phiếm hàm tuyến tính tương ứng φx đã xét trong 2.2.2. là liên tục theo tôpô σ(X∗, X) nên cũng liên tục theo tôpô chuẩn. Tức là φx ∈ X∗∗. Mặt khác, chuẩn của φx trong X∗∗ được xác định bởi ‖φx‖ = sup{|〈x∗, φx〉| : ‖x∗‖ ≤ 1} = sup{|〈x, x∗〉| : ‖x∗‖ ≤ 1} = ‖x‖. Như vậy ánh xạ Φ : X → X∗∗ với Φ(x) = φx là một phép nhúng đẳng cự từ X vào X∗∗, và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con Φ(X) của X∗∗. Với quan điểm như vậy, từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X∗∗. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X∗∗ (tức là ánh xạ nhúng Φ là một song ánh từ X lên X∗∗, điều này xảy ra khi và chỉ khi Φ(B′) = B′∗∗). Vì không gian X∗∗ luôn luôn là không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không gian Banach. Định lý dưới đây cho thấy khi nào một không gian Banach là phản xạ. Định lý 2.12. Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng B′(0; 1) là compact yếu. 22 Hệ quả 2.9. Trong một không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là compact yếu. Hệ quả 2.10. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy con hội tụ yếu. Chương 3 HÀM LỒI 3.1. Cấu trúc hàm lồi. 3.1.1. Định nghĩa hàm lồi. Cho (X, τ) là một không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff và f : X −→ [−∞,∞] là một phiếm hàm trên X. Các tập hợp dom f := {x ∈ X | f(x) <∞}, epi f := {(x, γ) ∈ X × R | f(x) ≤ γ} lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và epi đồ thị của f . Ngoài ra, với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức dưới của hàm f tương ứng với mức α: C(f ;α) := {x ∈ X | f(x) ≤ α}. Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f(x) > −∞, ∀x ∈ X, và được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi trong không gian X × R. Nếu −f là hàm lồi thì f được gọi là hàm lõm. Mệnh đề 3.1. Nếu f lồi thì dom f lồi. Mệnh đề 3.2. Nếu f lồi thì C(f ;α) lồi với mọi α ∈ R. Mệnh đề 3.3. Cho f : X → (−∞,+∞]. Lúc đó, f lồi ⇔ f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y); ∀x, y ∈ X; ∀λ ∈ (0, 1). 24 Mệnh đề 3.4 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : X → (−∞,+∞]. Lúc đó, f lồi ⇔ f ( m∑ 1 λix i ) ≤ m∑ 1 λif(x i); ∀xi ∈ X; ∀λi ≥ 0 : m∑ 1 λi = 1. Một ví dụ đơn giản của hàm lồi là hàm chỉ; Cho C là tập con của X, ta gọi hàm chỉ của C là hàm δC(x) = { 0, x ∈ C, ∞, x ∈ X \ C. Lúc đó, dễ kiểm tra được rằng δC là hàm lồi khi và chỉ khi C là tập lồi. Hàm f : X → R được gọi là thuần nhất dương nếu f(λx) = λf(x); ∀x ∈ X, ∀λ > 0. Mệnh đề 3.5. Cho hàm thuần nhất dương f : X → (−∞,+∞]. Ba phát biểu sau là tương đương a) f lồi, b) f(x+ y) ≤ f(x) + f(y); ∀x, y ∈ Rn. c) epi f là một nón lồi. Hệ quả 3.1. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì f ( m∑ 1 λix i ) ≤ m∑ 1 λif(x i); ∀xi ∈ X; ∀λi > 0. Hệ quả 3.2. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì f(x) + f(−x) ≥ 0; ∀x ∈ X. 3.1.2. Các phép toán trên hàm lồi. Mệnh đề 3.6. Cho hàm lồi f : X → R và hàm lồi không giảm ϕ : R→ (−∞,+∞]. Lúc đó, ϕ ◦ f là hàm lồi. Mệnh đề 3.7. Nếu f1, f2 là những hàm lồi chính thường thì f1 + f2 cũng lồi. Hệ quả 3.3. Nếu f1, f2, · · · , fm lồi chính thường và λi > 0, 1 ≤ i ≤ m, thì hàm λ1f1 + λ2f2 + · · ·+ λmfm lồi. Ta thấy mỗi hàm f trên X xác định một tập hợp epi f ⊂ X × R. Bây giờ, với mỗi tập F ⊂ X × R cho trước, ta xét hàm tương ứng fF trên X được định nghĩa như sau fF (x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ F}; x ∈ X. Rõ ràng, fepi f ≡ f . Tuy vậy, nói chung ta chỉ có bao hàm thức F ⊂ epi fF . 25 Bổ đề 3.1. Cho F ⊂ X × R là tập lồi. Lúc đó fF là hàm lồi trên X. Bây giờ cho f1, f2, · · · , fm là những hàm lồi chính thường trên X. Ta gọi tổng chập của họ các hàm (fi)1≤i≤m là hàm f được xác định bởi: f(x) := inf { m∑ 1 fi(x i) ∣∣∣ xi ∈ X : m∑ 1 xi = x } ; x ∈ X và ký hiệu f = m⊕ 1 fi. Mệnh đề 3.8. Tổng chập của họ các hàm lồi, chính thường cũng là hàm lồi. Cho f : X → R. Ta định nghĩa bao lồi của f là hàm co f := fco epi f . Tức là, co f(x) := inf{γ ∈ R | (x, γ) ∈ co epi f}; x ∈ X. Mệnh đề 3.9. co f là hàm lồi lớn nhất trong số các hàm lồi non hơn f . Chú ý rằng, nói chung epi(co f) 6= co(epi f). Mệnh đề 3.10. Với mọi x ∈ X, ta có co f(x) = inf { m∑ 1 λif(x i) ∣∣∣ λi ≥ 0, m∑ 1 λi = 1; x i ∈ X, m∑ 1 λix i = x } . Cho họ hàm fα : X → R, α ∈ I. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ hàm này lần lượt là các hàm∨ fα = ∨ α∈I fα := sup fα; ∧ fα = ∧ α∈I fα := inf fα. Mệnh đề 3.11. Nếu fα lồi (lõm) với mọi α ∈ I, thì ∨fα (∧fα) cũng lồi (lõm). 3.2. Sự liên tục của hàm lồi. 3.2.1. Hàm nửa liên tục dưới. Cho f : X → R. f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu lim inf x→x0 f(x) ≥ f(x0). Nếu f(x0) hữu hạn thì điều kiện này có thể viết lại một cách tương đương rằng,