Giáo trình Giải tích Toán học I

cos π π dxxxx 7.51. ∫ − 1 1 cos xthxdx 7.52. ∫ − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 3 3 32 3 cos5sin π π dxxtgxxx 97 7.53. ∫ − 1 0 22 1 dxxx 7.54. ∫ − 2ln 0 1dxex 7.55. ∫ − 2ln 0 dxxe x 7.56. ∫4 0 2sin π xdxx 7.57. ∫ 1 0 arccos xdx 7.58. ∫ 3 1 dxxarctg 7.59. ∫ + e xx dx 1 ln1 7.60. ∫ − 2 0 sin2 π x dx 7.61. ∫ + 2 3 cos3 π π x dx 7.62. ( )∫ ++ 4 3 0 2 11 xx dx 7.63. ∫ − 9 0 3 1 dxxx 7.64. ∫ + 1 0 815 31 dxxx 98 7.65. ∫2 0 3sin2sinsin π xdxxx 7.66. ∫ 2ln 0 4xdxsh 7.67. ∫ 2 1 2 ln xdxx 7.68. ∫ n n xdxx 0 ln 7.69. ∫ 3 1 xarctgxdx 7.70. ∫ 1 0 arcsin dxx 7.71. ∫ π 0 2cos xdxex 7.72. ∫ e e dxx 1 ln 7.73. ( )∫ e dxxx 0 2ln 7.74. ∫ + 3 0 1 arcsin dx x x 7.75. 0, 2 4 22 ≠−∫ adxx axa a 7.76. ∫ − ++ 1 1 2 1xx xdx 7.77. ( )∫ + +1 0 21 1ln dx x x 99 7.78. ∫ + π 0 cos xba dx 7.79. Z∈≠+−∫− kkxx dx ,, 1cos2 1 1 2 παα 7.80. ∫ +⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+ 2 2 1 1 11 dxe x x x x 7.81. N∈ ′ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∫ − ndx xne ,1lncos 1 2 π 7.82. Chứng minh rằng, nếu ( )xf là hàm liên tục trên đoạn [ ]ba; và tại các điểm đối xứng với điểm 2 bax += nhận các giá trị bằng nhau, thì: ( ) ( )∫∫ + = 2 2 ba a b a dxxfdxxf 7.83. Chứng minh rằng ( ) ( )∫∫ −+= b a b a dxxbafdxxf đối với mọi hàm số ( )xf liên tục trên đoạn [ ]ba; . 7.84. CMR ( ) ( ) ( )( )∫∫ −+−= 1 0 dxxabafabdxxf b a đối với mọi hàm số ( )xf liên tục trên đoạn [ ]ba; . 7.85. Đối với hàm ( )xf liên tục trên );0[ ∞ , hãy chứng minh đẳng thức: ( ) ( ) 0, 2 1 2 00 23 >= ∫∫ adxxxfdxxfx aa 7.86. Chứng minh rằng, đối với hàm ( )xf bất kỳ liên tục trên đoạn [ ]1;0 , ta có các đẳng thức: 1. ( ) ( )∫∫ = 2 0 2 0 cossin ππ dxxfdxxf 100 2. ( ) ( )∫∫ = ππ π 00 sin 2 sin dxxfdxxxf 7.87. Chứng minh rằng, nếu ( )xf là hàm liên tục trên đoạn [ ]ba; và đối với mọi [ ]abt −∈ ;0 thoả mãn hệ thức ( ) ( )tbftaf −=+ , thì: ( ) ( )∫∫ += b a b a dxxfbadxxxf 2 7.88. Chứng minh rằng, có một nguyên hàm của hàm chẵn là hàm lẻ, còn nguyên hàm bất kỳ của hàm lẻ là hàm chẵn. 7.89. Đối với hàm ( )xf liên tục trên [ ]ba; hãy tìm ( )∫ + β α dyyxf dx d , trong đó βα −<<−< bxa0 . 7.90. Tính tích phân ∫ − + a a dxxa 22 7.91. Cho ( ) ( ) 14 13 3 1 24 2 +− −−= xx xxarctgxF . CMR ( ) 6 4 1 1 x xxF + +=′ và giải thích tại sao ∫ + +1 0 6 4 1 1 dx x x không bằng ( )1 0 xF . Tính các tích phân sau (7.92-7.96): 7.92. 10, cos1 2 0 <≤+∫ εε π x dx 7.93. ∫ − π100 0 2cos1 dxx 7.94. ∫ + π 0 2cos1 sin x xx 7.95. 0,0, cossin 2222 >>+∫− baxbxa dxπ π 101 7.96. ∫ + π2 0 44 cossin xx dx 7.97. Chứng minh rằng, nếu ( )xf là hàm liên tục trên toàn bộ trục số, có chu kỳ T, thì với mọi số a ta có: ( ) ( )∫∫ = + TTa a dxxfdxxf 0 7.98. Gọi ∫∫ == 2 0 2 0 cos,sin ππ xdxJxdxI nn n n 1. Chứng minh nn JI = 2. Chứng minh công thức truy hồi 2 1 − −= nn In nI 3. Từ đó suy ra: ( ) ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − − =∫ chẵn sốlà nếu lẻ sốlà nếu 2 n n n n n n xdxn π π !! !!1 !! !!1 sin 2 0 7.99. Chứng minh công thức truy hồi: 2 4 0 1 1 −−−== ∫ nnn InxdxtgI π Từ đó suy ra các công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2ln 2 1 22 1 4 1 122 1 11 1 1 12 1 1 2 −− = − − = − −+− −= −+−− −= ∑ ∑ mm k k m mm k k m km I km I π 7.100. Chứng minh rằng, nếu ( )xf là hàm liên tục tuần hoàn trên toàn bộ trục số, có chu kỳ T, thì hàm ( ) ( )∫= x x dttfxF 0 là tổng của hàm tuyến tính và hàm tuần hoàn chu kỳ T. 102 7.101. Chứng minh rằng ( )( ) 2!!12 !!2 12 1lim 2 π=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+∞→ n n nn Chỉ dẫn: sử dụng kết quả bài 7.98. 7.102. Chứng minh các công thức 1. ( ) 01cossin 0 1 =+∫ − π dxxnxn 2. ( ) 01sincos 0 1 =+∫ − π dxxnxn 7.103. Chứng minh các công thức 1. ( ) ( )( ) !!12 !!2120 22 +=− +∫ nnadxxa n a n 2. ( ) ( )( ) 2!!2 !!1220 21222 π n nadxxa n a n −=−∫ − Tính các tích phân sau (7.104 – 7.106) 7.104. ∫ − +++ 2005 2005 211 xx dx 7.105. ( )∫ ++ −+ b dx xa xa 0 222 22 1 1 7.106. ∫ − + a a xa dxx 1 6 7.107. Tính ( ) ∫= t dx x xtgtI 0 4 2cos với ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈ 4 ;0 πt , từ đó chứng minh: ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +>⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + tgtttgttg 332exp4 2π 7.108. Chứng minh 0sin 100 2 >∫ π π dx x x 103 7.109. Tính tích phân N∈⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −∫ + ndx xx xx n , cossin cossin4 0 12 π c. Các ứng dụng của tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng cong (7.110-7.124): 7.110. π≤≤== xyxy 0,0,sin 7.111. 0,,,0,1 >>==== babxaxy x y 7.112. xyxy 2 32, 2 2 −== 7.113. 4 0,cos,sin π≤≤== xxyxy 7.114. 1,,1,0,log >==== aax a xyxy a 7.115. 0,2, 22 2 >= − = aay xa ay 7.116. 4 3 4 ,0,cossin 33 ππ ≤≤−=+= xyxxy 7.117. 1,0, 2 ==+= xxyxarctgy 7.118. 4 45, 4 10 2 2 2 + ++=+= x xxy x y 7.119. ( ) 0,0,22 ≥=−= xyexxy x 7.120. 0,, 23 >== − aaxexy x 7.121. 2 1,12,2 222 ≥−==+ xxyyx 7.122. 5,1,12,12 33 =+=+= −− yyy xx 7.123. 22 22 32 9, 32 9,1 94 xyxyyx ≤==+ 7.124. ( ) 0,0,ln3,6ln ===+= yxxyxy 104 7.125. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 21, xx , nếu: 1. 0,3,94 21 2 =−=++= xxxxy 2. 3,0,14 21 2 ==+−= xxxxy 7.126. Tìm diện tích hình phẳng hạn chế bởi các đ−ờng: ,ln 22 22 ya y yaa ax −−−+= ayyyx <<== 00 0,,0 7.127. Đ−ờng thẳng tiếp xúc với parabol tại điểm A, cát tuyến BC của parabol song song với đ−ởng thẳng này. Chứng minh rằng diện tích quạt parabol hạn chế bởi cát tuyến BC và cung BAC bằng 3 4 diện tích ABC∆ (Aximet). 7.128. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong ( ) ,coscos12 ttax −= ( ) ttay sincos1−= (Cardioid) 7.129. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong ( ) ,11 22 2 t tax + −= ( )221 2taty += 7.130. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi ,sin,cos 3 2 3 2 t b cyt a cx == 222 bac −= (Túc bế của Elip) Tìm diện tích của các hình phẳng “nút” của đ−ờng cong (7.131-7.135): 7.131. 0,, 322 >−=−= atatytatx 7.132. 0,, 2322 >−=−= atatyatx 7.133. ( )222 11,1 1 tttytx +−=+= 7.134. ( )0sin,2sin >== ataytax 7.135. ( ) 0,cos1,sin2 >−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= atayttax π 105 Tìm diện tích của hình dẻ quạt với πϕϕϕϕϕ 2, 1221 ≤−≤≤ (7.136-7.138): 7.136. ϕπ2 ar = (xoắn Aximet) 7.137. ar =ϕ (xoắn Hypebol) 7.138. ϕkr Re= (xoắn Logarit) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình toạ độ cực (7.139-7.144) 7.139. ϕcosar = (đ−ờng tròn đ−ờng kính a) 7.140. ( )ϕcos1+= ar (Cardioid) 7.141. 0,cos >≥+= baabr ϕ 7.142. ϕ2cos2 22 ar = (Lemnhixcat) 7.143. 1,1,2sin22 ≥== rrr ϕ 7.144. ( ) ararar ≤=−= ,,2cos2122 ϕ 7.145. Tìm diện tích quạt cong hạn chế bởi cung Elip 12 2 2 2 =+ b y a x với 2 mút ( )bA ;0 và ( ) 0,0,; 0000 >> yxyxM và các đoạn thẳng OA và OM. 7.146. Tìm diện tích Elip 0,0,12 222 >−>=++ BACACyBxyAx 7.147. Tìm diện tích của tứ giác cong hạn chế bởi các cung của các Elip 12 2 2 2 =+ b y a x và ba a y b x >=+ ,12 2 2 2 . Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ−ờng cong (7.148-7.151): 7.148. ( )22244 yxayx +=+ 7.149. ( ) xyayx 2222 2=+ 7.150. yaxyx 244 =+ 7.151. ( ) ( ) ( )222222222222 ,2 ayxayxyxayx ≥+=+−=+ 106 Tìm độ dài cung của đ−ờng cong (7.152-7.163): 7.152. 110,2 2 3 ≤≤= xxy 7.153. ( ) 320,1 3 2 3 ≤≤−= xyx 7.154. 6,5 2232 ≤+= yxyx 7.155. 311,12 6 −≤≤−+= xxxy 7.156. 81, 5 1 2 3 3 5 3 1 ≤≤⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= xxxy 7.157. axchxy ≤≤= 0, 7.158. axxshy ≤= ,2 7.159. 31, 4 ln 2 2 ≤≤−= xxxy 7.160. 3 2 3 ,sinln ππ ≤≤= xxy 7.161. 2ln7ln,arcsin −≤≤−= xey x 7.162. 10,2 4 2 ≤≤−= xxxy 7.163. 16 90,arcsin1 2 ≤≤+−= xxxy 7.164. Với những giá trị nào của các số hữu tỷ 0, ≠αα , độ dài cung của đ−ờng cong txxxy ≤≤<= 00,αα là hàm số sơ cấp theo t. Chỉ dẫn: sử dụng tính chất của tích phân nhị thức (Đ6). Tìm độ dài cung của đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình tham số (7.165-7.170): 7.165. π20,sin,cos 33 ≤≤== ttaytax (Axtroit) 7.166. 2223 2 3 2 ,0,sin,cos bactt b cyt a cx −=≤≤== π (Túc bế của Elip) 7.167. ( ) ( ) π20,cos1,sin ≤≤−=−= ttayttax (Xicloid) 107 7.168. 033 0,, tttshytchx ≤≤== 7.169. 00,sin,cos ϕϕϕϕ ϕαϕ ≤≤== aaeyaex 7.170. 00,2,22 1 ttchtytshtx ≤≤=−= 7.171. Giả sử ( )tf là hàm khả vi liên tục ba lần trên ( )ba; . Tính độ dài cung của đ−ờng cong: ( ) ( ) ( ) ( ) ,sincos,sincos ttfttfyttfttfx ′′−′=′+′′= bttta <≤≤< 21 7.172. Tính độ dài cung của đ−ờng cong: ( ) ( ) π≤≤−−=+−= tttttyttttx 0,sin2cos2,cos2sin2 22 7.173. Tính độ dài cung của đ−ờng cong: ( ) ( ) π≤≤−=+= tttttayttttax 0,sin2cos2cos2sin,sin2sincos2cos2 7.174. Tìm độ dài “nút” của đ−ờng cong: 1. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== 22 3 1, ttytx 2. ( ) 423 15,12 tyttx =−= 7.175. Tìm độ dài đ−ờng cong: 1. 0 0 2 0 2 0,sin,cos ttdydx tt ≤≤== ∫∫ ϕϕϕϕ 2. 0 11 1,cos,sin ttdydx tt ≤≤== ∫∫ ϕϕϕϕϕϕ 7.176. Tìm đ−ờng thẳng consty = mà nó chia đoạn cung Xicloid ( ),sin ttax −= ( ) π20,cos1 ≤≤−= ttay thành ba cung có độ dài bằng nhau. Tìm độ dài cung của đ−ờng cong cho d−ới dạng ph−ơng trình toạ độ cực (7.177-7.184) 7.177. ϕsinar = 7.178. 21, ϕϕϕϕ ≤≤= kaer (xoắn Logarit) 7.179. ( )ϕcos1−= ar (Cardioid) 7.180. ( ) 1,cos12 ≤+= rr ϕ 108 7.181. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 3 cos3 ϕar 7.182. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 4 sin4 ϕar 7.183. 00, ϕϕϕ ≤≤= ar 7.184. 40,2 ≤≤= ϕϕar 7.185. Tìm đ−ờng cong mà độ dài cung từ điểm 0M đến điểm bất kỳ M trên đ−ờng cong tỷ lệ với hiệu 0OMOM − , trong đó O - điểm cố định cho tr−ớc trên mặt phẳng. 7.186. Tìm độ dài cung của đ−ờng cong 1. ( ) 22 1arcsin xxy −=− 2. ayx =+ 3. 13 2 3 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ b y a x Tìm độ dài cung của các đ−ờng cong không gian (7.187-7.7.196): 7.187. 00,,sin,cos ttbtztaytax ≤≤=== 7.188. 210,cos,sin, tttttazttayatx ≤≤<=== 7.189. 00,2,, tttzeyex tt ≤≤=== − 7.190. π20,2cos,sin,cos 33 ≤≤=== ttztytx 7.191. 21,,sin,cos zzzbezaeyaex kkk ≤≤=== ϕϕϕ ϕϕ 7.192. 212 0,,ln,2 ttttztytx ≤≤<=== 7.193. 0 2 0, 2 ,sin,cos ttatztatytatx ≤≤=== 7.194. ayaaxzyax 9 3 ,2,3 223 ≤≤== 7.195. 270,92,32 ≤≤== yzxyyx 7.196. 12,916,9 22 ≤== zzxyyx 109 7.197. Tính thể tích vật tạo bởi hình trụ 222 Ryx =+ và các mặt phẳng ,0=y 01,01,0 =+−=−+= H z R x H z R xz , 0,0 >> RH Tìm thể tích vật tròn xoay do bản phẳng hạn chế bởi các đ−ờng cong quay xung quanh trục Ox (7.198-7.218): 7.198. axypxy === ,0,22 7.199. axaxyaxy 2,,0,2 ==== 7.200. ( )0,0,3 2 ≥==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= xaxy a x b y 7.201. 0, 2 0,2sin =≤≤= yxxy π 7.202. bxxy a xachy ===⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ,0,0, 7.203. ( ) 0,0sin 2 =≤≤= yxxy π 7.204. 6 ,0,0, cos 1 π==== xxy x y 7.205. ( ) axxyxay ===+= − ,0,0,122 7.206. 0,11, 3 12 =≤≤−− −= yx x xy 7.207. 2 0,0,cos,sin π≤≤=== xyxyxy 7.208. 0,1 15 ,2 925 2 2 22 ≥=−=+ xyxyx 7.209. 0,0,log2,2 2 ==−== yxxyy x 7.210. 12 2 2 2 =+ b y a x 7.211. hax b y a x +==− ,12 2 2 2 110 7.212. ( ) ( ) ( )RyRxyxRRyRx ≤≤===−+− ,0,0,222 7.213. ( ) ( ) 2 , 2 02322 axaxxaxaxy =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤≤−=− 7.214. ( ) ( )34 2 −=− xxyx 7.215. ( ) ( )22222 4 xaaxyx −+= 7.216. π≤≤== xxxyxy 0,sin,sin2 7.217. ( )xaxy xa xxy −=−= 2,2 7.218. 222 ayxyx =+− 7.219. Chứng minh rằng, nếu ( )xyy = là hàm (đơn trị) khả vi liên tục, ( ) 0≥xy trên [ ] baba ≤≤0,; thì thể tích vật tròn xoay do bản phẳng xác định bởi ( )xyybxa ≤≤≤≤ 0, quay quanh trục Oy là: ( )∫= b a dxxxyV π2 Tính thể tích vật tròn xoay do hình phẳng hạn chế bởi các đ−ờng cong quanh quanh trục Oy (7.220-7.224): 7.220. 1,0,0, 2 ==== xxyey x 7.221. 3 ,0,2 π=== yytgxy 7.222. N∈+≤≤== nnxnyxy ,22,0,sin πππ 7.223. ( ) 1,1,10cos 2 ==≤≤= xyxxy 7.224. ( ) 0,,2 32 ===− xayxxay Tìm thể tích vật tròn xoay do các hình phẳng tạo bởi các đ−ờng cong quay quanh: a) trục Ox, b) trục Oy (7.225-7.234): 7.225. ( )( ) 0,0, ≥>=−−= abybyaxy 7.226. π≤≤== xyxy 0,0,sin 7.227. 1,0,arcsin === xyxy 111 7.228. ( ) axxyxa ay ===+= ,0,0,22 3 7.229. ( ) 0,6,20 3 33 ==≤≤− += xyx x xxy 7.230. xyxpy == ,2 2 7.231. 0,,6 2 ==+= xeyey xx 7.232. π≤≤+== xxxyxy 0,sin, 2 7.233. 12 2 2 2 =+ b y a x 7.234. 13 2 3 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ b y a x Tìm thể tích vật tròn xoay do hình phẳng tạo bởi các đ−ờng cong 7.235. 2 ,1,arcsin π−=== yxxy 1. quay quanh đ−ờng thẳng 2 π=y 2. quay quanh đ−ờng thẳng 1=x 7.236. π≤≤+== xxxyxy 0,sin, 2 , quay quanh đ−ờng thẳng xy = . 7.237. 2 3,2 2 pxyxpy =−= 1. quay quanh đ−ờng thẳng 0=y 2. quay quanh đ−ờng thẳng 0=x 3. quay quanh đ−ờng thẳng 2 3pxy =− 7.238. Giả sử ( )ϕrr = là hàm liên tục trên [ ] πβαβα ≤<≤0,; . Chứng minh rằng thể tích vật tròn xoay do phần hình quạt ( )ϕβϕα rr ≤≤≤≤ 0, quay quanh trục cực Ox , bằng: ( )∫= β α ϕϕϕπ drV sin 3 2 3 112 Tính thể tích vật tròn xoay do phần hình quạt xác định bởi các bất đẳng thức trong hệ trục toạ độ cực quay quanh trục cực (7.239 – 7.244) 7.239. πϕπ ≤≤3r 7.240. ϕ2cos0 ar ≤≤ 7.241. ϕsin20 ar ≤≤ 7.242. ( )ϕcos10 +≤≤ ar 7.243. ϕ2sin0 ar ≤≤ 7.244. ( ) 4 3 4 , sin2cos2 2cos30 πϕπϕϕ ϕ ≤≤+−≤≤ ar 7.245. Tính thể tích vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong ( ) ( )222222 yxayx −=+ quay xung quanh đ−ờng thẳng xy = . Tính thể tích của vật giới hạn bởi các mặt cong (7.246-7.251): 7.246. Hz b y a x ==+ ,12 2 2 2 7.247. Hz b y a x c z =+= ,2 2 2 2 2 7.248. 12 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x 7.249. zxaxyx ==+ ,22 7.250. 1,1 2 2 2 2 2 2 2 2 =+=+ c z b y c z a x 7.251. ( ) ( ) bxzazxbyzaxby ==−=−= ,0,, Tìm diện tích mặt tròn xoay do đ−ờng cong quay quanh trục Ox (7.252-7.258): 7.252. 4 21 4 5, ≤≤= xxy 7.253. 10,3 ≤≤= xxy 7.254. π≤≤= xxy 0,sin 113 7.255. 30,42 ≤≤= xxy 7.256. aybya y yaa ax ≤≤<−−−+= 0,ln 22 22 7.257. ( ) ( )⎩⎨ ⎧ −= −= ttay ttax 2sinsin2 2coscos2 7.258. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≤−= = 22, 2 4 3 2 3 tty tx Tìm diện tích mặt tròn xoay do đ−ờng cong quay quanh trục Oy (7.259-7.261): 7.259. 3 5 4 5,1ln 2 ≤≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= yyyx 7.260. 3ln2ln,cos43 ≤≤= yyx 7.261. ( ) 10,122 ≤≤−= yxy 7.262. Tìm diện tích mặt tròn xoay do “nút” của đ−ờng cong ( )22 39 xaxay −= quay: 1. quanh trục Ox 2. quanh trục Oy 7.263. Tìm diện tích mặt tròn xoay do Axtroid ( )03 2 3 2 3 2 >=+ aayx quay quanh: 1. đ−ờng thẳng xy = 2. đ−ờng thẳng ayx =+ 7.264. Tìm diện tích mặt tròn xoay do Lemnhixcat ϕ2cos2 22 ar = quay quanh: 1. trục cực 2. tia 2 πϕ = 3. tia 4 πϕ = 114 Đ 8. Tích phân suy rộng I. Tóm tắt lý thuyết a. Tích phân suy rộng cận hữu hạn, vô hạn Giả sử ( )xf là hàm khả tích trên [ ]Ba; bất kỳ, với mọi bBa <≤ , trong đó b có thể là ∞ . Nếu b hữu hạn thì giả thiết thêm ( )xf không giới nội trong lân cận trái của b, tức là: ( ) ( )∞−∞=−→ hoặcxfbx 0lim Nếu tồn tại ( )∫→= B a bB dxxfI lim thì nói ( )xf khả tích suy rộng trên );[ ba , còn I đ−ợc gọi là tích phân suy rộng của hàm ( )xf trên );[ ba . Trong tr−ờng hợp này ng−ời ta còn nói tích phân suy rộng ( )∫ b a dxxf hội tụ. Tr−ờng hợp ng−ợc lại ng−ời ta nói tích phân suy rộng ( )∫ b a dxxf phân kỳ. Hoàn toàn t−ơng tự định nghĩa tích phân suy rộng trên ( ]ba; (a có thể là ∞− ). Khi ∞=b , tích phân suy rộng ( )∫ ∞ a dxxf đ−ợc gọi là tích phân suy rộng loại một. Khi b hữu hạn ( ( )xf là hàm không giới nội trong mọi lân cận trái của b) thì tích phân suy rộng ( )∫ b a dxxf đ−ợc gọi là tích phân suy rộng loại hai. Để tránh cồng kềnh và lặp lại các lý luận của hai loại tích phân này chúng ta đã gộp lại và xét chúng trong một lập luận thống nhất. Nếu ( )xf khả tích (cả theo nghĩa tích phân suy rộng) trên các khoảng ( ) ( ) ( )bcccca n ;,,;,; 211 Κ thì theo định nghĩa, ta đặt 115 ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +++= b c c c c a b a n dxxfdxxfdxxfdxxf Κ 2 1 1 Từ tiêu chuẩn Cauchy giới hạn hàm số (Đ1) ta có tiêu chuẩn Cauchy cho hội tụ tích phân suy rộng sau: Với mọi 0>ε tồn tại B trong khoảng );[ ba sao cho với mọi b′ và b ′′ trong khoảng ( )bB; ta đều có ( ) ε<∫ ′′ ′ b b dxxf . Hay bằng ngôn ngữ vị từ: ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∀ ∫ ′′ ′ εε b b dxxfbBbbBbbbbaB ;;);[0 Ví dụ 1: Chứng minh tích phân ∫ +∞ 1 2sin dx x x α phân kỳ với 1≤α Giải: Giả sử ( )∞+∈ ;1B , chọn +∈Zn sao cho Bn >π và đặt ππ nBnB 2, 21 == . Khi đó ta có: 4 1 22 1 2 2cos1 2 1 sin 2 1sinsinsin 2 2 2 2 22 222 1 ==−= ≥≥= ∫ ∫∫∫∫ π ππ π π π π π π π π π αα n n dxx n xdx n dx x xdx x xdx x x n n n n n n n n B B Nh− vậy, ta đã chọn đ−ợc 4 1 0 =ε để với mọi 1>B tồn tại BnBBnB >=>= ππ 2, 21 nh−ng 0 22 1 sin εα ≥∫ B B dx x x Theo tiêu chuẩn Cauchy, tích phân đã cho phân kỳ. Ví dụ 2: Nghiên cứu sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại một: ( )0, >= ∫ +∞ a x dxI a λ Giải: Ta có: ( )111 1 1 1 +−+−+− −−=+−=∫ λλ λ λ λλ aA x x dxA a 116 Do ( )∞→> AA 1 nên giới hạn sau cùng tồn tại khi và chỉ khi 01<+− λ hay 1>λ . Nh− vậy là tích phân suy rộng ∫ +∞ a x dx λ hội tụ khi 1>λ , phân kỳ khi 1≤λ . Ví dụ 3: Nghiên cứu sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại hai: ( )0, 0 >∫ ax dxa λ Giải: T−ơng tự nh− ví dụ 1, ta có: [ ]11 1 1 +−+− −−=∫ λλε λ ελ ax dxa Do 10 − λ hay 1<λ , tức là tích phân suy rộng ∫ a x dx 0 λ hội tụ khi 1<λ , phân lỳ khi 1≥λ . Công thức Newton-Leibniz: Nếu ( ) );[, baxxf ∈ liên tục và ( ) );[, baxxF ∈ là một nguyên hàm nào đó của ( )xf , thì: ( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxf b a b a −==∫ (8.1) trong đó, khi b hữu hạn ta hiểu: ( ) ( ) ( )BFbFbF bB bB < →=−= lim0 , khi ∞=b thì ( ) ( ) ( )BFFbF B ∞→=∞= lim T−ơng tự nh− tích phân xác định, với sự thay đổi hợp lý, ta cũng có các công thức đổi biến và tích phân từng phần trong tích phân suy rộng sau: ( ) ( )( ) ( )∫∫ ′= β α ϕϕ dtttfdxxf b a (8.2) trong đó ( )xf là hàm liên tục trên );[ ba , ( )tϕ khả vi liên tục trên );[ βα và ( ) ( ) ( ) btta =≤≤= ϕϕαϕ , tất nhiên đ−ợc hiểu ( ) bt t = −→ 0β ϕ khi b hữu hạn và ( ) ∞=−→ tt ϕβ 0lim nếu ∞=b 117 và ∫∫ −= b a b a b a vduuvudv (8.3) trong đó ( ) ( ) ( )avauuvuv bx b a −= −→ 0lim khi b hữu hạn và ( ) ( )avauuvuv x b a −= ∞→lim khi ∞=b . Ví dụ 4: Tính ( )∫ −−= 1 0 12 xx dxI Giải: Đặt 0,1 2 >=− ttx ; khi đó 0,1:,2,1 2 ==−=−= βαttdtdxtx . Từ đó ta có: ( ) 221212 10 1 0 2 1 0 2 π==+=+−= ∫∫ arctgtt dt tt tdtI Ví dụ 5: Tính ( )∫ +∞ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−= 2 22 1 2 1 1 dx xx I Giải: Dễ dàng thấy ( ) 1 1ln 2 1 + −= x xxF là nguyên hàm của ( ) 1 1 2 −= xxf , còn ( ) 1 1 +−= xxG là nguyên hàm của ( ) ( )21 1 += xxg , nên theo công thức Newton-Leibnitz (8.1), ta có: 3 23ln 2 1 1 2 1 1ln 2 1 22 +=+−+ −= +∞+∞ xx xI Ví dụ 6: Tính ∫ +∞ = 1 2 dxx arctgxI Giải: áp dụng công thức tích phân từng phần (8.3) cho tích phân suy rộng. Đặt 2, x dxdvarctgxu == Khi đó x v x dxdu 1 1 2 −=+= và cho nên 118 ( ) ( ) ∞+∞+ +∞+∞+∞ + =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+=++−= ∫∫ 1 21 2 1 2 1 2 1 1 ln 4 1ln 2 1ln 4 1 1 41 x xxx dx x x xxx dx x arctgxI ππ π 2 2ln 4 += π b. Các tiêu chuẩn hội tụ b.1. Tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức Nếu ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf ≤≥ ,0, với mọi );[ bax∈ thì từ sự hội tụ của ( )∫ b a dxxg suy ra hội tụ của ( )∫ b a dxxf , hay cũng nh− thế: từ sự phân kỳ của ( )∫ b a dxxf suy ra phân kỳ của ( )∫ b a dxxg . b.2. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn Nếu ( ) 0>xg trên );[ ba và ( )( ) 0,lim ≠=→ kkxg xf bx thì các tích phân ( )∫ b a dxxf và ( )∫ b a dxxg cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. b.3. Các tiêu chuẩn Dirichle và Abel Xét hàm số ( ) ( )xgxf . trên );[ ba thoả mãn các điều kiện và quy −ớc nh− trong định nghĩa tích phân suy rộng ( )∫ b a dxxf . Tiêu chuẩn Dirichle: Tích phân ( ) ( )∫ b a dxxgxf hội tụ nếu: i. Hàm ( )xf liên tục và có nguyên hàm giới nội trên );[ ba ; ii. Hàm ( )xg khả vi liên tục và đơn điệu trên );[ ba sao cho ( ) 0lim =→ xgbx 119 Tiêu chuẩn Abel: Tích phân ( ) ( )∫ b a dxxgxf hội tụ nếu: i. Hàm ( )xf liên tục trên );[ ba và ( )∫ b a dxxf hội tụ; ii. Hàm ( )xg giới nội, khả vi liên tục và đơn điệu trên );[ ba Tích phân suy rộng ( )∫ b a dxxf đ−ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu hội tụ tích phân ( )∫ b a dxxf . Trong tr−ờng hợp tích phân ( )∫ b a dxxf hội tụ còn ( )∫ b a dxxf phân kỳ thì nói tích phân suy rộng ( )∫ b a dxxf hội tụ t−ơng đối. Ví dụ 7: Khảo sát hội tụ tuyệt đối và hội tụ t−ơng đối tích phân suy rộng loại hai sau: ∫ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −= 1 0 11 1sin x dx x I Giải: áp dụng tiêu chuẩn Dirichle, đặt ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= xxxf 1 1sin 1 1 2 và ( ) xxg −=1 Hàm ( )xf liên tục trên )1;0[ và nguyên hàm của nó là ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− x1 1cos giới nội trên )1;0[ . Còn hàm ( )xg khả vi liên tục trên )1;0[ và có ( ) 0lim 01 =−→ xgx . Cả hai điều kiện của định lý Dirichle đều thoả mãn cho nên tích phân đã cho hội tụ. Vì xxxx −−≥−− 1 1sin 1 1 1 1sin 1 1 2 và tích phân ∫ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − 1 0 2 11 1sin x dx x phân kỳ, cho nên tích phân đã cho không hội tụ tuyệt đối. Vậy ta đã chỉ ra: tích phân I hội tụ t−ơng đối. 120 II. Bài tập Tính các tích phân hay chứng tỏ tính phân kỳ của các tích phân sau (8.1-8.30): 8.1. ∫ 1 0 x dx 8.2. ( )∫− ++ 0 2 3 11 xx dx 8.3. ∫ + 4 0 xx dx 8.4. ∫ +− 2 0 2 xxxx dx 8.5. ∫ − 2 0 2 1x dx 8.6. ∫ − 3 0 2 2 9 x dxx 8.7. ∫ 5,0 0 2ln xx dx 8.8. ∫ 1 0 2ln xx dx 8.9. ∫ π 0 tgxdx 8.10. ∫ − +4 0 3 cossin cossin π dx xx xx 8.11. ∫ π 0 sin cos dx x x 8.12. ∫ − e xe dx 0 1 121 8.13. ∫ − 0 1 3 1 x dxe x 8.14. ∫ − 1 1 3 1 x dxe x 8.15. ∫ − 1 0 21 arcsin dx x x 8.16. ( )∫ − 1 0 2 arcsin1 xx dx 8.17. ∫ ∞ 2 2x dx 8.18. ∫ ∞ +0 2 4x dx 8.19. ∫ ∞ 0 3sin xdx 8.20. ∫ ∞ − 1 3 dxe x 8.21. ∫ ∞− + 0 1x dx 8.22. ∫ ∞− + +0 2 1 1 dx x x 8.23. ∫ ∞ −+ + 3 2 103 52 dx xx x 8.24. ∫ ∞ ∞− +− 752 2 xx dx 8.25. ∫ ∞ e xx dx ln 122 8.26. ∫ ∞ e xx dx 2ln 8.27. ∫ ∞ − 0 2 dxxe x 8.28. ( )∫∞ + 1 2ln dx x xx 8.29. ∫ ∞ 0 xx dx 8.30. ∫ ∞ −1 1xx dx Tính các tích phân sau (8.31-8.58): 8.31. ∫ −− 1 0 5 3 332 dx x xx 8.32. ∫ − − + 25,0 5,0 12xx dx 8.33. ( )∫ −− 2 2 2 21 xx dx 8.34. ∫ −− 2 1 2 123 xxx dx 8.35. ( )∫− −+ 1 1 22 4 11 xx dxx 8.36. ∫ − −+ a a bxba dx 222 8.37. ∫ − 1 0 21 x dxxn 123 8.38. ∫2 0 π dxtgx 8.39. ∫ − 1 0 2 3 1 arcsin dx x xx 8.40. ∫2 0 cosln π xdx 8.41. ∫ π 0 sinln xdxx 8.42. ( )∫2 0 2coscosln π nxdxx 8.43. ( )∫ ∞ +1 1 xx dx 8.44. ( )∫ ∞ +1 45 4 1x dxx 8.45. ∫ − ∞− − 2 2 1xx dx 8.46. ∫ ∞ +0 xx ee dx 8.47. ∫ ∞ −2 3 1x xdx 8.48. ∫ ∞ + + 1 4 2 1 1dx x x 8.49. ∫ ∞ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++0 2 2 1 xx dx 124 8.50. ( )∫ ∞ ++0 22 114 xx dx 8.51. 0,sin 0 >∫ ∞ − abxdxe ax 8.52. N∈∫ ∞ − ndxex xn , 0 8.53. ( )∫ ∞ −−2 2 21 xx dx 8.54. ( )∫ ∞ −−1 2 112 xx dx 8.55. ( )( )∫ ∞ − − 0 3 21 1 dx x xarctg 8.56. ( )∫ ∞ −−1 22 114 xx dx 8.57. ∫ ∞ +0 21 ln dx x x 8.58. ( )( ) R∈++∫ ∞ αα ,110 2xx dx Tính diện tích các hình thang cong giới hạn bởi các đồ thị hàm số (8.59-8.70): 8.59. )4,0;0[, 52 1 ∈−= xxy 8.60. [ ] 0,1;1,1 5 3 ≠−∈+= xx x xy 8.61. ( )( ) ( )baxbxax xy ;, ∈−−= 8.62. ];1(, ln 1 ex xx y ∈= 125 8.63. )1;0[, 1 1ln ∈− += x x xxy 8.64. )1;0[, 1 arcsin ∈−= xx xy 8.65. );0[,2 2 ∞∈= − xxey x 8.66. ( ) );1[,1 2 ∞∈+= xx xy 8.67. );0[, ∞∈= − xthxey x 8.68. );0[,4 ∞∈= − xexy x 8.69. );0[, 15 ∞∈+= xx xxy 8.70. );0[,sin ∞∈= − xexy x Tìm diện tích hình phẳng hạn chế bởi đ−ờng cong và tiệm cận của nó (8.71-8.77): 8.71. 0, 2 3 2 >−= axa xy 8.72. 0, 3 2 3 2 2 >− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = a xa axx y 8.73. ( ) 0, 2 2 2 >− −= a xa axxy 8.74. xxy 482 −= 8.75. ( ) 0,1 22 <=+ xxyx 8.76. ( ) 0,1 222 >=− xxyx 8.77. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈== 4 3; 4 ,2cos,2cos ππttgttytx 126 Chứng minh các bất đẳng thức (8.78-8.84): 8.78. ( ) 84sin410 2 0 2 ππ < −+ < ∫ xx dx 8.79. 0 1 4 sin1 0 2 > − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ∫ dx x xπ 8.80. 1,0 1 0 10 4 2 <++< ∫ ∞ xx dxx 8.81. 44 4cos 0 2 π<+∫ ∞ dx x x 8.82. 35,0 1 125,0 1 11 6 <+ +< ∫ ∞ dx x x 8.83. 59 1 29 1 1 1 29 1 1 60 30 +<+ +< ∫ ∞ dx x x 8.84. 01,0 100 0 0 <+< ∫ ∞ − x dxe x Nghiên cứu sự hội tụ, phân kỳ các tích phân (8.85-8.100) 8.85. ∫ + 8 0 32 xx dx 8.86. ∫ − +2 0 4 4 16 16 dx x x 8.87. ( )∫ +− −2 1 23 43 2