Giáo trình Hàm số liên tục trong R

0 0 0( , ) ( , )f x x y y f x y+ Δ + Δ − = 0 0( ) ( , )x+ y f x x y yx y θ θ∂ ∂= Δ Δ + Δ + Δ∂ ∂ . (7.8.4)’ Ví dụ 1: Khai triển hàm ( ) 2 6 3 52 2f x,y = x xy y x y+− − − − theo công thức Taylor trong lân cận điểm A(1,−2). Giải: Hàm số đã cho có đạo hàm riêng đến cấp bất kì. Mặt khác ta thấy các đạo hàm riêng cấp cao hơn hai đều bằng 0, nên số hạng dư bằng 0 và ta có công thức: 21( , ) ( ) ( ) ( ) 2! = + +f x y f A df A d f A , hay (1, 2) (1, 2)( , ) (1, 2) ( 1) ( 2) ... 1 (1, 2) (1, 2) (1, 2)( 1) ( 1)( 2) ( 2) . 2! ∂ − ∂ −= − + − + + + +∂ ∂ ⎡ ⎤∂ − ∂ − ∂ −− −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 2 f ff x y f x y x y f f fx + x y+ + y+ x x y y Ta thấy: 4 6∂ = − −∂ f x y x , 2 3∂ = − − −∂ f x y y , 2 2 2 2 24, 1, 2 ∂ ∂ ∂= = − = −∂ ∂ ∂ ∂ f f f x x y y , nên f(1,−2)=5, (1, 2) (1, 2)0, 0∂ − ∂ −= =∂ ∂ f f x y , 39 39 2 2 2 2 2 (1, 2) (1, 2) (1, 2)4, 1, 2∂ − ∂ − ∂ −= = − = −∂ ∂ ∂ ∂ f f f x x y y . Thay các đạo hàm riêng vừa tìm được vào công thức trên ta được: 2 2( , ) 5 2( 1) ( 1)( 2) ( 2)= + − − − + − +f x y x x y y . 7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số a) Điều kiện cần của cực trị Giả sử: f:D → \ và D là tập mở trong 2\ . Điểm 0 0 0( , )M x y là điểm cực trị địa phương của hàm f(x,y) nếu tồn tại 0δ > sao cho: ( , )0M B M Dδ∀ ∈ ∩ 0 0( ) ( , ).f x,y f x y≤ (7.8.5) trong đó M=M(x,y) và 0( , )B M δ là hình tròn tâm M0 bán kính δ. Điểm 0 0 0( , )M x y là điểm cực tiểu địa phương của hàm f nếu tồn tại 0δ > sao cho: ( , )0M B M Dδ∀ ∈ ∩ 0 0( ) ( , ).f x,y f x y≥ (7.8.6) Để biểu thị cực đại, cực tiểu ta dùng một danh từ chung là cực trị. Trước hết ta hãy chứng minh định lí về điều kiện cần để tồn tại cực trị. Định lí 7.8.2: Giả sử hàm z=f(x,y) đạt cực trị tại điểm 0 0 0M (x , y ) và tại đó các đạo hàm riêng 0 0( , ) f x y x ∂ ∂ và 0 0( , ) f x y y ∂ ∂ tồn tại thì các đạo hàm riêng này bằng không. Chứng minh: Cố định 0y và xét hàm một biến số z=f(x, 0y ). Theo giả thiết hàm số z=f(x, 0y ) đạt cực trị tại x= 0x , nên theo định lí Fecma: 0 0( , ) 0xf x y′ = . Tương tự: 0 0( , ) 0yf x y′ = . Trong thực tế có những hàm số liên tục đạt cực trị tại 0 0( , )x y nhưng không có đạo hàm riêng tại 0 0( , )x y . Ví dụ như hàm số 2 2z= x +y đạt cực tiểu tại gốc toạ độ O(0,0), nhưng tại điểm này hàm số không có đạo hàm riêng. Thật vậy: 0 ( 0) (0,0)(0,0) lim x f f x, f x xΔ → ∂ Δ −=∂ Δ 0 0 1 khi lim lim 1 khi . +2 -x x x 0xx x x x 0Δ → Δ → ⎧ Δ →ΔΔ ⎪= = = ⎨Δ Δ − Δ →⎪⎩ Vậy (0,0)f x ∂ ∂ không tồn tại. Tương tự (0,0) f y ∂ ∂ không tồn tại. 40 b) Điểm tới hạn: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trong tập mở 2D ⊂ \ . Những điểm mà tại đó f x ∂ ∂ và f y ∂ ∂ triệt tiêu, hoặc f x ∂ ∂ , hoặc f y ∂ ∂ không tồn tại gọi là những điểm tới hạn của hàm số. c) Điều kiện đủ của cực trị Giả sử hàm z=f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một, cấp hai liên tục trong khoảng nào đó của điểm dừng 0 0 0( , )M x y , tức là các điểm thoả mãn điều kiện: 0 0( , ) f x y x ∂ ∂ =0 và 0 0( , ) f x y y ∂ ∂ =0. (7.8.7) Xét số gia: 0 0 0 0 0 0 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) 1! f ff=f x,y f x y x y x+ x y y x y ⎡ ⎤∂ ∂Δ − = Δ Δ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) o( ) 2! f f fx y x + x y x y x y y x x y y ⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ Δ Δ Δ + Δ + ρ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ trong đó 2 2x yρ = Δ + Δ . Với các điều kiện (7.8.7) ta có: 0 0( ) ( , )f=f x,y f x yΔ − = = 2 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 1 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2! 2f f fx y x + x y x y x y y x x y y ⎡ ⎤∂ ∂ ∂Δ Δ Δ + Δ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ 2o( )ρ+ . Đặt 2 2 2 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , )2 2 f f f= x y = x y = x y x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂A B C , khi đó: 2 2 21 2 o( ) 2! f= x + x y y ρ⎡ ⎤Δ Δ Δ Δ + Δ +⎣ ⎦A B C . (7.8.8) α )Trường hợp 1 Nếu 0 0( 0) 2⎧ − >⎨ > >⎩ AC B A C Khi đó dạng toàn phương là xác định dương, nên fΔ cũng dương, tức là hàm đạt cực tiểu tại điểm 0 0(x , y ) . β ) Trường hợp 2 Nếu 2 0 0( 0) ⎧ − >⎨ < <⎩ AC B A C Trong trường hợp này dạng toàn phương xác định âm, nên <0fΔ tức là hàm đạt cực đại tại điểm 0 0( , )x y . γ ) Trường hợp 3 41 41 Nếu 2 0− <AC B . Khi đó với giá trị tuỳ ý của xΔ và yΔ tam thức: 2 22x + x y yΔ Δ Δ + ΔA B C có thể lấy giá trị dương, cả những giá trị âm. Trong trường hợp này hàm số không có cực trị. δ ) Trường hợp 4 Nếu 2 0− =AC B . Trong trương hợp này ta không thể nói gì về tính chất của các điểm dừng, nó có thể là điểm cực trị, cũng có thể không. Để giải quyết bài toán ta cần phải xét các đạo hàm cấp cao hơn. Ví dụ 2: Xét hàm số 2 2 4 2 2z x+ y x y= + − − . Ta thấy hệ phương trình: 2 2 0 4 2 0 z x= x z y y ∂⎧ = −⎪∂⎪⎨∂⎪ = − =∂⎪⎩ có nghiệm x=1, y=2. Do đó hàm số đã cho chỉ có một điểm dừng 0M (1,2). Giá trị tương ứng của hàm là z=7. Bây giờ ta tính các đạo hàm riêng cấp hai: 2 2(1,2) 2, (1,2) 0, (1,2) 2.xyx y=z =z =z′′ ′′ ′′= − = = −A B C Như vậy 2 4 0− = >AC B , A=−2 < 0. hàm số đạt cực đại tại 0M (1,2). Ví dụ 3: Xét hàm số z=xy. Ta có A=0, B=1, C=0. Do 2 1 0− = − <AC B , nên hàm số không có cực trị tại (0,0). Ví dụ 4: Xét hàm số 4 4 2 22z x y x xy y= + − − − Trước hết ta tính các đạo hàm riêng 3 3' 4 2 2 , ' 4 2 2 .x yz x x y z y x y= − − = − − Các điểm dừng tìm được từ hệ 3 3 4 2 2 0 4 2 2 0. x x y y x y ⎧ − − =⎪⎨ − − =⎪⎩ Hệ này có 3 nghiệm: x1=0, y1=0; x2=−1, y2=−1; x3=1, y3=1. Để kiểm tra điều kiện đủ của cực trị địa phương, ta tính các đạo hàm riêng cấp hai. 2 212 2, 2, 12 2xx xy yyz x z z y′′ ′′ ′′= − = − = − . Tại điểm (−1, −1) ta có A=10, B=−2, C=10, 2 0Δ = − >AC B , nên tại điểm này hàm đạt cực tiểu, CTz 2= − Tại điểm (0,0) ta có A=−2, B=−2, C=−2, 2 0Δ = − =AC B . Để tìm hiểu sự tồn tại cực trị, ta hãy xét số gia của hàm tại điểm (0,0): 42 4 4 2 2(0,0) ( , ) (0,0) 2 .z z h k z h k h k khΔ = − = + − − − Nếu k h= và 30 2 h< < thì 4 2 4 2 2 2 3(0,0) 2 4 2 3 2 ( ) 0 2 z h h h h h hΔ = − < − = − < Nếu k=−h và h>0 thì 4 4 2 2 2 4(0,0) 2 2 0z h h h h h hΔ = + − − + = > Ta thấy số gia (0,0)zΔ nhận các giá trị có dấu khác nhau, bởi vậy tại x1=0, y1=0 hàm số không có cực trị. Tại điểm (1,1) ta có A=10, B=−2, C=10, 2 0Δ = >AC - B nên tại điểm này hàm đạt cực tiểu, zCT=−2. 7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac Ta biết rằng mọi hàm số nhiều biến số liên tục trên tập compac (đóng và bị chặn) D đều đạt giá trị lớn nhất,nhỏ nhất trên tập D. Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại một điểm trong của tập D, thì điểm ấy phải là điểm cực trị của hàm số, do đó nó phải là điểm tới hạn. Hàm số cũng có thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên biên của tập D. Do đó muốn tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số trên tập D, ta phải tìm các điểm tới hạn của nó ở trong tập D, tính giá trị của hàm số tại các điểm ấy và so sánh chúng với những giá trị của hàm số trên biên của tập D. Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 8 3 1 (2 1)2 2 2 2 2z= x + y + x +y +− trên tập đóng D xác định bởi 12 2x +y ≤ . Ta thấy z liên tục trên D nên nó đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên tập D. Ta có 8 (1 2 ) 2 (1 4 2 )2 2 2 2z zx x y , y x y x y ∂ ∂= − − = − −∂ ∂ . Hệ phương trình: 0 0 z x z y ∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩ Có các nghiệm 1 10 = 0 0 ; , 0. 2 2 x= ,y ; x= ,y= x= y± ± = Vậy ta có 5 điểm tới hạn là O(0,0), 1 1A (0, ), 2 2 1A (0, ), 2 − 3 1A ( ,0),2 4 1A ( ,0). 2 − Các điểm này đều nằm trong D. Giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: 1 2 3 4 1(0)=0, (A ) (A ) , (A ) (A ) 1. 4 z z z z z= = = = Bây giờ ta xét hàm số trên biên của tập D. Trên biên này ta có: 43 43 1 12 2 2 2x +y y x= ⇒ = − , do đó: 3(1 ) 1 (2 1 1) (1 )2 2 2 2 2 2 2z=8x + x + x + x + =x x− − − − với 1 1x− ≤ ≤ . Hiển nhiên z 0≥ ; z = 0 khi (1 )2 2x x− =0 hay khi x=0( y= 1± ) và = 1x ± (y=0). Mặt khác 22 2 2 2+1 1 1 1; = khi =1 hay khi = . 2 4 4 2 x xz z x x x ⎛ ⎞−≤ = − ±⎜ ⎟⎝ ⎠ So sánh tất cả các giá trị đã tính, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất m=0 tại O(0,0); (0,+1); (0,−1); (1,0); (−1,0) và giá trị lớn nhất M=1 tại 1( ,0); 2 1( ,0) 2 − . 7.9 Cực trị có điều kiện 7.9.1 Định nghĩa: Cho hàm số z=f(x,y) được xác định trong tập mở 2D ⊂ \ . Trong tập hợp D cho một đường cong γ có phương trình là ( 0x,y)ϕ = . Người ta gọi cực trị của hàm số z=f(x,y) (7.9.1) trong đó các biến số x,y bị ràng buộc bởi hệ thức: ( 0x,y)ϕ = (7.9.2) là cực trị có điều kiện. Cụ thể ta nói rằng hàm f(x,y) đạt cực đại(hay cực tiểu) có điều kiện tại 0 0 0( , )M x y γ∈ nếu tồn tại lân cận V D⊂ của điểm 0 0 0( , )M x y sao cho: 0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )) ( )f x,y f x y (hay f x,y f x y M x,y V γ≤ ≥ ∀ ∈ ∩ (7.9.3). 7.9.2 Phương pháp tìm cực trị A. Phương pháp thứ nhất Giả sử rằng từ điều kiện ( ) 0x,yϕ = ta xác định được một cách duy nhất hàm số y = y(x) đơn trị, khả vi của biến số x. Khi đó hàm z = f(x,y) trở thành: z = f(x,y(x)) =g(x). (7.9.4) Vì vậy việc tìm cực trị có điều kiện được đưa về việc tìm cực trị thông thường đối với hàm hợp một biến z= g(x). Ta chú ý rằng phương pháp này không phải bao giờ cũng áp dụng được và nó đòi hỏi phải giải phương trình ( ) 0x,yϕ = đối với một biến số nào đó. B. Phương pháp thứ hai (Phương pháp nhân tử Lagrange) Giả sử 0 0 0( , )M x y là điểm cực trị của hàm số f(x,y) với điều kiện ( ) 0x,yϕ = . Khi đó ( ) 00 0x ,yϕ = . Ta giả thiết thêm rằng: 44 i) Các hàm f(x,y), ( )x,yϕ có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận nào đó của điểm 0 0 0( , )M x y . ii) 0 0( , ) 0x yy ϕ∂ ≠∂ . Theo định lí về hàm ẩn trong một lân cận V nào đó của điểm 0 0( , )x y tồn tại duy nhất một hàm khả vi y = y(x) sao cho 0 0( )y y x= . Khi đó hàm g(x) = f(x,y(x)) xác định và có đạo hàm liên tục trong một lân cận nào đó của điểm 0x . Hơn nữa tại điểm x= 0x hàm số g(x) = f(x,y(x)) đạt cực trị địa phương. Do đó: 0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( , ( )) ( , ( )). ( ) 0x y dg x f x y x + f x y x y x dx ′ ′ ′= = , hay: 0 0 0 0( , ) ( , ) 0 f fx y dx + x y dy= x y ∂ ∂ ∂ ∂ . (7.9.5) Mặt khác ta cũng có: 0 0 0 0( , ) ( , ) 0d x y dx + x y dy=x y ϕ ϕϕ ∂ ∂= ∂ ∂ . (7.9.6) Nhân (7.9.6) với λ rồi cộng từng vế đẳng thức nhận được với (7.9.5) ta được: 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 f fx y x y dx+ x y x y dy= x x y y ϕ ϕλ λ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (7.9.7). Đẳng thức (7.9.7) thoả mãn với mọi λ do đó nếu ta chọn λ sao cho 0 0 0 0( , ) ( , ) f x y x y y y ϕλ∂ ∂+∂ ∂ =0 (7.9.8) thì ta có: 0 0 0 0( , ) ( , ) f x y x y x x ϕλ∂ ∂+∂ ∂ =0. (7.9.9) Số λ được chọn như vậy được gọi là nhân tử Lagrange. Như ta đã biết (7.9.8) và (7.9.9) là điều kiện cần của cực trị thông thường tại điểm 0 0 0( , )M x y của hàm số: ( ) ( )f x,y + x,yλϕ . Do đó muốn tìm những điểm có thể là điểm cực trị của hàm z = f(x,y) thoả mãn điều kiện ( ) 0x,yϕ = ta hãy lập hàm phụ: F(x,y) = ( ) ( )f x,y + x,yλϕ ( 7.9.10) rồi tìm các điểm dừng của nó. Hệ phương trình: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 x x x y y y F f x,y + x,y = F f x,y + x,y = x,y = λϕ λϕ ϕ ′ ′ ′⎧ =⎪ ′ ′ ′=⎨⎪⎩ (7.9.11) cho ta λ và các toạ độ của những điểm có thể là điểm cực trị. Phương pháp này gọi là phương pháp thừa số không xác định Lagrange. 45 45 Giả sử 0 0 0, ,x y λ là nghiệm của hệ (7.9.11). Khi đó ( )x,y γ∀ ∈ , ( ) 0x,y =ϕ , ta xét: 0 0 0 0( , ) ( ) ( , )F x y F x,y F x yΔ = − = [ ]0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( , ) ( , )=f x,y + x,y f x y x yλ ϕ λ ϕ− + 0 0( , )F x yΔ [ ]0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ) ( , )f x,y f x y x,y x yλ ϕ ϕ= − + − 0 0 0 0( ) ( , ) ( , )f x,y f x y f x y= − = Δ . Vậy nếu 0 0( , )x y là điểm cực trị của hàm F(x,y), thì 0 0( , )x y cũng là điểm cực trị có điều kiện của hàm f(x,y). Do đó ta hãy tìm cực trị của hàm F(x,y). Hàm F(x,y) được xác định bởi hệ thức (7.9.10) gọi là hàm Lagrange. Mặt khác 0 0( , )x y là điểm cực trị của hàm F(x,y) hay không tuỳ thuộc vào dấu của biểu thức: 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) , , ) 2 ( , , ) 2 2 2 F Fd F x y (x y dx x y dxdy x x y λ λ λ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ 2 0 0 0( , , ) 2 2 F+ x y dy y λ∂∂ (7.9.12) Do: 0 0 0 0( , ) ( , )x y dx+ x y dy=0x y ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ , (7.9.13) hay 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y xdy= dx x y y ϕ ϕ ∂ ∂− ∂ ∂ . (7.9.14) Thay biểu thức này vào 0 0 0( , , ) 2d F x y λ ta được: 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) 2 2d F x y G x y dxλ λ= . (7.9.15) Cho nên nếu: a) 0 0 0( , , ) 0G x y λ > thì 0 0( , )x y là điểm cực tiểu có điều kiện. b) 0 0 0( , , ) 0G x y λ < thì 0 0( , )x y là điểm cực đại có điều kiện. Ví dụ 1: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi l , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Giải: Ta hãy tìm cực trị của hàm z = xy thoả mãn điều kiện 2x+2y= l . Phương pháp thứ nhất: Từ điều kiện của bài toán 2 2 l xy= − . Ta có hàm z là hàm một biến: 22 1( ) ( 2 ) 2 2 l xz x x lx−= = − + , với 0 2 lx< < . 46 Dễ thấy hàm này đạt cực đại khi 4 lx = , từ đây 4 ly = . Vậy trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất. Phương pháp nhân tử Lagrange Hàm Lagrange: (2 2 )F xy x y lλ= + + − . Hệ phương trình: ' 2 0 ' 2 0 2 2 x y F y F x x y l λ λ ⎧ = + =⎪ = + =⎨⎪ + =⎩ có nghiệm , , . 8 4 4 l l l x yλ = − = = Ta thấy 2 2" 0, " 1, " 0xyx yF F F= = = , nên: 0 0 0( , , ) 2 2d F x y dxdyλ = . Mặt khác từ điều kiện ( ) 2 2 0x,y = x+ y lϕ − = , suy ra hệ thức: 0 0 0 0( , ) ( , ) 0x y dx+ x y dy=x y ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ , có dạng 2dx+2dy=0→ dy=−dx. Do đó: 2 20 0 0( , , ) 2 0d F x y dxλ = − < . Vậy hàm z(x,y) đạt cực đại có điều kiện khi 4 lx = , 4 ly = . Tức là trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình có diện tích lớn nhất. Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm z = xy trên vòng tròn bán kính 1 với tâm tại gốc toạ độ. Giải: Ta phải tìm cực trị của hàm z = xy thoả mãn điều kiện 2 2 1 0x y+ − = . Hàm Lagrange: 2 2( ) ( 1)F x,y xy x yλ= + + − . Xét hệ phương trình: 2 2 2 0 2 2 0 2 1 0 x y F y x y x xF x y y x y λ λ λ λ ′ = + = ⇒ = −⎧⎪⎪ ′ = + = ⇒ = −⎨⎪⎪ + − =⎩ Từ hai phương trình đầu suy ra 1 2 λ = ± . Với 1 2 λ = hệ có nghiệm 2 2 x = , y=− 2 2 và x=− 2 2 , y= 2 2 . 47 47 Với 1 2 λ = − hệ có nghiệm x= 2 2 , y= 2 2 và x=− 2 2 , y=− 2 2 . a) Với 1 2 λ = hàm Lagrange trở thành: 2 21( , ) ( 1) 2 = + + −F x y xy x y , nó có hai điểm dừng: 1 2 2( , )2 2−A và 2 2 2( , ) 2 2 −A . Mặt khác: 1, 1, 12 2x y xyx yF' x+y, F' x+y, F" F" F"= = = = = . Khi đó: 1( , ) ( ) 2 2 2 2 2 1d F A dx +2dxdy+dy = dx+dy= . Mặt khác từ điều kiện 1 02 2x +y − = ta được: 2xdx + 2ydy = 0. Tại 1A đẳng thức trên trở thành 2 2 02 2dx dy dx dy 2 2 − = ⇒ = . Từ đây 2 21( , ) 4 21 d F A dx= . Vậy hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại 1A và giá trị cực tiểu bằng z( 1A )=− 12 . Tương tự hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại 2A và giá trị cực tiểu bằng z( 2A )=− 12 . b) Với 1 2 λ = − Hàm Lagrange 1( ) ( 1) 2 2 2F x,y =xy x +y− − có hai điểm dừng 3 2 2( , )2 2A và 4 2 2( , ) 2 2 − −A . Ta có: 1, 1, 12 2x y xyx yF y-x, F x y, F" F" F"′ ′= = − = − = = − . Khi đó: 21( , ) 2 ( ) 2 2 2 2 3d F A dx dxdy dy dx dy− = − + − = − − . Mặt khác từ điều kiện 1 02 2x +y − = ta được 2xdx + 2ydy = 0. Tại 3A đẳng thức này trở thành 2 2 2 2 0 2 2 dx+ dy= dx= dy⇒ − và 1( , ) 4 2 2 2 3d F A dx− = − . 48 Vậy hàm đạt giá trị cực đại có điều kiện tại 3A và có giá trị cực đại là z( 3A )= 1 2 . Tương tự hàm đạt cực trị có điều kiện tại 4A và có giá trị cực đại là 4 1( ) 2 z A = . c.Chú ý: Phương pháp nhân tử Lagrange cũng được mở rộng cho hàm n biến số ( 3n ≥ ). Muốn tìm cực trị của hàm số u=f(x,y,z) với điều kiện ( ) 0x,y,zϕ = , ta hãy lập hàm Lagrange: ( ) ( ) ( )F x,y,z =f x,y,z x,y,zλϕ− . Toạ độ điểm dừng của hàm F(x,y,z) và λ là nghiệm của hệ: ( , , ) ' ( , , ) 0 ( , , ) ' ( , , ) 0 ( , , ) ' ( , , ) 0 ( , , ) 0. x x y y z z f x y z x y z f x y z x y z f x y z x y z x y z λϕ λϕ λϕ ϕ ′ + =⎧⎪ ′ + =⎪⎨ ′ + =⎪⎪ =⎩ . 7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong Giả sử γ là một đường cong trong 3\ được cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t), [ ]t ,α β∈ , trong đó x(t), y(t), z(t) là những hàm khả vi trong đoạn [ , ]α β (khi đó γ được gọi là đường cong trơn). Giả sử M là một điểm thuộc γ (xem hình 7.10.1). Khi đó M có toạ độ là (x(t), y(t), z(t)) và véc tơ OM JJJJG , trong đó O là gốc toạ độ, có các thành phần là: { }( ) ( ) ( )x t , y t , z t . Hình 7.10.1 Lấy một điểm 0M γ∈ , ( ( ), ( ), ( )) ( )0 0 0 0 0M x t y t z t M t= = . Đặt ,0 0 0t=t t OM OM OM M MΔ − Δ = − = JJJJG JJJJG JJJJJG JJJJJJG . Ta thấy vectơ 0M M JJJJJJG có các thành phần là { }( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0x t x t y t y t ,z t z t− − − . 49 49 Xét véc tơ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( , , )0 0 00 x t x t y t y t z t z tOM M M t t t t t − − −Δ = =Δ Δ Δ Δ Δ JJJJG JJJJJJG . Khi 0 , 0t t t→ Δ → thì M(t) dần tới 0 0( )M t M= và cát tuyến 0M M dần tới tiếp tuyến của đường cong tại 0M . Mặt khác ta có: { }lim ( ), ( ), ( ) ( ).0 0 0 0 0t 0 M M x' t y' t z' t v ttΔ → = =Δ JJJJJJG G Véc tơ 0 1 t M MΔ JJJJJJG nằm trên phương cát tuyến 0M M nên khi 0tΔ → véc tơ ( )0v t G nằm trên phương của tiếp tuyến của đường cong γ tại 0M . Do đó véc tơ { }0 0 0 0( ) '( ), '( ), '( )v t x t y t z t=G gọi là véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong γ tại điểm 0M . Từ đấy suy ra phương trình của tiếp tuyến của đường cong γ tại 0M là: 0 0 0 0 0 0'( ) '( ) '( ) x x y y z z x t y t z t − − −= = (7.10.1) trong đó 0 0 0 0 0 0( ), ( ), ( )x x t y y t z z t= = = . 7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong Giả sử S là mặt cong trong không gian được cho bởi phương trình f(x,y,z)=0 (xem hình 7.10.2), trong đó f(x,y,z) là hàm số khả vi. Cho 0 0 0( , , )0M x y z là một điểm nào đó nằm trên mặt S và γ là một đường cong trơn bất kì nằm trên mặt S và đi qua 0M . Giả sử rằng đường cong γ có phương trình tham số: γ : x=x(t), y=y(t), z=z(t), t [ , ]α β∈ . Ngoài ra giả sử: 0 0( ),x x t= ( ), ( )0 0 0 0y y t z z t= = trong đó x(t), y(t), z(t) là những hàm khả vi trong [ , ]α β . Vì γ nằm trên mặt S nên: f(x(t),y(t),z(t)=0, [ , ]t α β∀ ∈ . γ 50 Hình 7.10.2 Ta có: '( ) '( ) '( ) 0, [ , ]df f f fx t y t z t t dt x y z α β∂ ∂ ∂= + + = ∀ ∈∂ ∂ ∂ (7.10.2) Kí hiệu 0 0 0 0grad ( ) ( ), ( ), ( ) f f ff M M M M x y z ⎧ ⎫∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭ JJJJG , còn véc tơ { } 0( ) ( ), ( ), ( ) ( )0 0 0 0v t x' t y' t z' t v M= =JJJJG JJJJJJG là véc tơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong γ tại 0M . Theo công thức của tích vô hướng: 0 0 0 0 0 0 0 0grad ( ). ( ) ( ). '( ) ( ). '( ) ( ) '( ) f f ff M v t M x t M y t M z t x y z ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ JJJJG JJJJG (7.10.3) Điều này có nghĩa là véc tơ 0gradf( )M JJJJG vuông góc với tiếp tuyến của γ tại 0M . Vì γ là đường cong bất kì nằm trên S và đi qua điểm 0M , nên ta suy ra véc tơ 0gradf( )M JJJJG vuông góc với mọi tiếp tuyến của các đường cong γ nằm trên S và đi qua điểm 0M . Nói cách khác tất cả các tiếp tuyến tại điểm 0M của mọi đường cong γ nằm trên mặt S đi qua điểm 0 SM ∈ đều cùng nằm trong một mặt phẳng (P) vuông góc với véc tơ 0gradf( )M JJJJG . Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong S tại điểm 0M . Như vậy một điểm M(x,y,z) nằm trên mặt phẳng tiếp xúc khi và chỉ khi véc tơ 0M M JJJJJJG trực giao với véc tơ 0gradf( )M JJJJG , tức là khi và chỉ khi: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 f fx y z x x x y z y y x y f x y z z z z ∂ ∂− + −∂ ∂ ∂+ − =∂ (7.10.4) trong đó 0 0 0, ,x x y y z z− − − là các thành phần của véc tơ 0M M JJJJJJG . Do đó (7.10.4) là phương trình của mặt phảng tiếp xúc của mặt S tại 0M . Đường thẳng đi qua 0M cùng phương với 0gradf( )M JJJJG được gọi là pháp tuyến của mặt S tại điểm 0M . Phương trình của pháp tuyến của mặt S tại điểm 0M là: 0 0 0 0 0 0' ( ) ' ( ) ' ( )x y z x x y y z z f M f M f M − − −= = . (7.10.5) Ví dụ 1: Viết phương trình của pháp tuyến và mặt phẳng tiếp xúc của mặt 2 2 2 0x y z+ − = tại điểm 0M (3,4,5). Ta có f(x,y,z)= 2 2 2x y z+ − , 2 , 2 , 2x y zf x f y f z′ ′ ′= = = − . Phương trình của pháp tuyến của mặt S tại 0M là: 51 51 3 4 5 6 8 10 x y z− − −= = − và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt S tại 0M là: 6(x−3)+8(y−4) −10(z−5)=0 hay là 3x+4y−5z=0. 7.10.3 Độ cong a) Độ cong của đường cong phẳng Cho đường cong γ không tự giao nhau. Trên γ chọn một hướng làm hướng dương, tiếp tuyến của γ tại M ứng với hương dương của γ được gọi là tiếp tuyến dương (xem hình 7.10.3). Định nghĩa 1: Cho M và M’ là hai điểm trên đường cong γ , MT và M’T’ là hai ttiếp tuyến dương. Ta gọi độ cong trung bình của cung qMM ′ , kí hiệu qtbC ( ')MM , là tỉ số của góc giữa hai tiếp tuyến dương MT và M’T’ với độ dài của cung qMM ′ : q qtbC (MM') MM' = α (7.10.6) trong đó ( , ' ')MT M Tα = . Hình 7.10.3 Định nghĩa 2: Người ta gọi độ cong của đường γ tại M, kí hiệu C(M), là giới hạn (nếu có) của độ cong trung bình qtbC ( ')MM khi M’ dần tới M trênγ : q tbM' M C( )= lim C ( ')M MM→ . (7.10.7) Ví dụ 1: Trên đường thẳng tbC ( ') 0MM = trên mọi đoạn MM’, do đó: C(M)=0, M∀ . Ví dụ 2: Trên đường tròn bán kính R, ta có: 52 q qtb 1C ( ') R R' MM MM α α= = =α với mọi cung MM’. Do đó (xem hình 7.10.4): C(M)= 1 R , M∀ . M T’ T M’ α α Hình 7.10.4 b) Công thức tính a) Giả sử đường cong γ có phương trình trong hệ toạ độ Descartes vuông góc là y=f(x). Người ta chứng minh được công thức tính độ cong của đường γ như sau: 3 2 ( ) (1 )2 y" C M = y′+ . (7.10.8) b) Nếu γ được cho bởi phương trình tham số x=x(t), y=y(t) thì: 3 2 ( ) ( )2 2 x y" y x" C M = x y ′ ′− ′ ′+ . (7.10.9) c) Nếu γ được cho bởi phương trình trong toạ độ cực ( )r f ϕ= thì: 3 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 r +2r rr C M = r r' ′ ′− + . (7.10.10) Ví dụ 3: Tính độ cong của đường dây xích ( )ach 0xy a a = > tại một điểm bất kì. Ta có: 2sh , 1 ' chx x yy y a a a ′ = + = = , 21 ch x yy a a a′′ = = . Thay vào công thức (7.10.8) ta được: 3 2 3 2 y a aC a y y = ⋅ = . 53 53 Ví dụ 4: Tính độ cong của đường cycloit: x=a(t−sint), y=a(1−cost) với a>0. Ta có x’=a(1−cost), y’=asint, x”=asint, y”=acost. Thay vào (7.10.9) ta được: cos 1= = − t- t aa t 3 2 1 C 4 sin2 (1 cos ) 2 . Chú ý độ cong chỉ xác định tại các điểm ứng với ≠ πt 2k . Ví dụ 5: Tính độ cong của đường ϕ= br ae (a>0, b>0). Ta có: ϕ ϕ′ ′′= =b br abe r ab e2, . Thay và công thức (7.10.10) ta được: = +C b r2 1 1 . . c) Độ cong của đường trong không gian Cho đường cong γ trong không gian có phương trình tham số là: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Tương tự như trong mặt phẳng,người ta chứng minh được công thức tính độ cong của đường γ như sau: ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦= + + x y y z z x x y y z z x C x y z 1 2 2 2 2' ' ' ' ' ' '' '' '' '' '' '' 3 2 2 2 2( ' ' ' ) . (7.10.11) 7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong Giả sử f(x,y,c) là hàm khả vi của hai biến độc lập x,y và tham số c. Nếu phương trình f(x,y,c)=0 (7.10.12) biểu diễn một đường cong với mỗi giá trị của tham số c, thì tập hợp của những đường cong này gọi là họ (một tham số ) những đường cong phụ thuộc vào tham số c. Họ những đường cong phụ thuộc vào tham số c có thể được cho dưới dạng: ( ) ( )x t,c , y ψ t,cϕ= = , ví dụ như họ những đường tròn đồng tâm 2 2 2x y c+ = có thể biểu diễn dưới dạng tham số: cos sinx c t, y c t= = . Ta có định nghĩa sau Định nghĩa: Nếu mọi đường cong của họ (7.10.12) đều tiếp xúc với một đường cong E và ngược lại tại mỗi điểm của đường cong E có một đường cong của họ (7.10.12) tiếp xúc với E tại điểm ấy, thì E gọi là bao hình của họ đường cong (7.10.12). 54 Hình 7.10.5 Ví dụ 6: Phương trình 2 2( ) 1x c y− + = , trong đó c là tham số, biểu diễn một ho đường tròn có bán kính bằng 1 và có tâm trên trục Ox (xem hình 7.10.5). Bao hình của đường tròn này là hai đường thẳng song song 1y = ± . Ví dụ 7: Phương trình cos sin 1 0x yα α+ − = trong đó α là tham số biểu diễn một họ đường thẳng mà khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng ấy bằng 1. Bao hình của họ đường thẳng ấy là đường tròn tâm O bán kính 1. Ví dụ 8: Tuy nhiên có những họ đường cong phụ thuộc vào một tham số không có bao hình. Ví dụ như họ đường thẳng song song y=x+C, hay họ các đường cong tích phân ( )y f x dx C= +∫ không có bao hình. Định lí 7.10.1: Cho họ đường cong ( ) 0f x,y,c = (7.10.12) phụ thuộc vào tham số c. Nếu tại tất cả các điểm của mỗi đường cong ấy ( , , ), ( , , )x yf x y c f x y c′ ′ không đồng thời bằng không, (tức là ( , , ) ( , , ) 02 2x yf x y c +f x y c′ ′ ≠ ) thì phương trình của bao hình E của họ đường cong nói trên được xác định bằng cách khử c từ hệ: ( , , ) 0 ( , , ) 0c f x y c f x y c =⎧⎨ ′ =⎩ (7.10.13) Chứng minh: với mỗi giá trị của tham số c có một đường cong cL của họ (7.10.12) tiếp xúc với E,