Giáo trình Lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn

mật độ phân bố đó đ−ợc gọi lμ đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn. Trong nhiều hiện t−ợng tự nhiên vμ kỹ thuật, một quá trình đang xét lμ kết quả tác động tổng hợp của hμng loạt các nhân tố ngẫu nhiên. Khi đó đại l−ợng ngẫu nhiên đặc tr−ng bằng số của quá trình đang xét lμ tổng của một chuỗi các đại l−ợng ngẫu nhiên mμ mỗi một trong chúng tuân theo một luật phân bố nμo đó. Nếu đại l−ợng ngẫu nhiên lμ tổng của một số lớn các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc yếu, vμ mỗi một trong các đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần có tỷ trọng đóng góp không lớn lắm so với tổng chung, thì luật phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên tổng lμ chuẩn hoặc gần chuẩn, không phụ thuộc vμo phân bố của các đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần. Điều nμy rút ra từ định lý nổi tiếng của Liapunov: nếu đại l−ợng ngẫu nhiên X lμ tổng của các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập X1, X2,..., Xn,  = = n 1i iXX vμ thoả mãn điều kiện: Hình 1.7 0 ]X[ ]X[ lim n 1i 3 i3 n = σ μ = ∞→ , (1.5.2) thì khi n→∞ luật phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên X tiến vô hạn đến luật chuẩn. Điều kiện (1.5.2) phản ánh sự tiến dần đến không của tỷ số giữa tổng các mômen trung tâm tuyệt đối bậc ba μ3[Xi] của các đại l−ợng ngẫu nhiên Xi vμ lập ph−ơng độ lệch bình ph−ơng trung bình của đại l−ợng ngẫu nhiên tổng cộng X khi tăng dần số các số hạng, vμ đặc tr−ng cho sự nhỏ t−ơng đối của từng số hạng ngẫu nhiên trong tổng chung. Đ−ờng cong phân bố của luật phân bố chuẩn dẫn ra trên hình 1.7 có tên lμ lát cắt Ơle, hay đ−ờng cong Gauxơ. Đ−ờng cong phân bố đối xứng qua đ−ờng thẳng x=a vμ có cực đại bằng 1 2σ π tại 19 điểm x=a. Để xác định ý nghĩa của các tham số a vμ σ, ta tính kỳ vọng toán học vμ ph−ơng sai của đại l−ợng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn: ∞ ∞− − − = dxxem ax x 2 2 2 )( 2 1 σ πσ . (1.5.3) Thay biến trong tích phân (1.5.3): x a t− = σ 2 (1.5.4) ta đ−ợc:  +∞ ∞− −+σ= dte)at2( 2 1m 2t x =  +∞ ∞− − +∞ ∞− − π + π σ dteadtte2 22 tt . (1.5.5) Tích phân thứ nhất trong (1.5.5) bằng không vì đó lμ tích phân của hμm lẻ trên miền giới hạn đối xứng, tích phân thứ hai lμ tích phân Poatxông đã biết, bằng π . Từ đó mx=a, tức lμ tham số a trong hμm (1.5.1) lμ kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu nhiên. Tiếp theo: Dx = ( ) ( )  ∞+ ∞− σ − − − πσ dxeax 2 1 2 2 2 ax 2 , (1.5.6) Thực hiện việc đổi biến (1.5.4) trong tích phân (1.5.6) ta đ−ợc: Dx =  ∞+ ∞− − π σ dtet2 2t2 2 . (1.5.7) Lấy tích phân từng phần (1.5.7) ta đ−ợc: Dx = σ 2 (1.5.8) Do đó, tham số σ lμ độ lệch bình ph−ơng trung bình của đại l−ợng ngẫu nhiên. Tham số a chỉ vị trí tâm đối xứng của đ−ờng cong phân bố, thay đổi a có nghĩa lμ dịch chuyển tâm nμy dọc theo trục 0x. Tham số σ xác định tung độ đỉnh đ−ờng cong phân bố, bằng 1 2σ π . Trị số σ cμng nhỏ thì đỉnh cμng cao, tức lμ đ−ờng cong phân bố cμng nhọn. Nh− vậy, mật độ xác suất của luật phân bố chuẩn đ−ợc xác định bởi hai tham số lμ kỳ vọng toán học của đại l−ợng ngẫu nhiên vμ độ lệch bình ph−ơng trung bình hoặc ph−ơng sai của nó. Ta tính mômen trung tâm của phân bố chuẩn: μk= ( ) ( ) +∞ ∞− − − − dxeax ax k 2 2 2 2 1 σ πσ , (1.5.9) Sử dụng phép thay biến (1.5.4) vμo tích phân ta nhận đ−ợc: 20 μk= ( ) ∞+ ∞− − dtet tk k 22 π σ , (1.5.10) Lấy tích phân từng phần ta có: μk= ( )( ) ∞+ ∞− −− − dtetk tk k 22 2 21 π σ , (1.5.11) Vì: μk-2= ( ) ∞+ ∞− −− − dtet tk k 22 2 2 π σ , (1.5.12) nên ta nhận đ−ợc công thức truy hồi: μk = (k−1)σ2μk-2, (1.5.13) Vì μo=1 vμ μ1=0 đối với bất kỳ đại l−ợng ngẫu nhiên nμo, nên tất cả các mômen trung tâm bậc lẻ của phân bố chuẩn bằng không. Đối với các mômen trung tâm bậc chẵn ta có: μ2=σ2; μ4=3σ4; ... μ2l = (2l −1)!!σ2l Từ đó thấy rằng, đối với phân bố chuẩn độ bất đối xứng vμ độ nhọn bằng không: ,03 3 == σ μS ,0344 =−= σ μE Ta hãy tính xác suất rơi của đại l−ợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn vμo khoảng (α,β). Theo (1.1.5) ta có P(α<X<β) = ( )  − − β α σ πσ dxe ax 2 2 2 2 1 (1.5.14) Thay (1.5.4) vμo ta đ−ợc: P(α<X<β) = σ −β σ −α − π 2 a 2 a t dte1 2 (1.5.15) Hμm Φ(x) =  − π x 0 t dxe2 2 (1.5.16) đ−ợc gọi lμ hμm Laplas. Từ đẳng thức (1.5.15) có thể biểu diễn xác suất rơi vμo khoảng (α;β) qua hμm Laplas: P(α<X<β) =         π − π  σ −α − σ −β − 2 a 0 t 2 a 0 t dte2dte2 2 1 22 = 21 =       −Φ−   −Φ 222 1 σ α σ β aa (1.5.17) Hμm Laplas có các tính chất sau: 1. Φ(0) = 0; 2. Φ(∞) = ∞ − 0 22 dte t π =1; 3. Φ(−x) = −Φ(x). Hình 1.8 Thực vậy: Φ(−x) =  − − π x 0 t dte2 2 Thay t = −u ta có: Φ(−x) =  − π − x 0 u due2 2 = − Φ(x) Nếu tính xác suất rơi trong khoảng đối xứng qua kỳ vọng toán học (a-h, a+h), thì P(a−h<X<a+h) = 1 2 2 2 Φ Φa h a a h a+ −   − − −       σ σ = 1 2 2 2 Φ Φh h σ σ     − −         = Φ h σ 2     (1.5.18) Hμm phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên X phân bố chuẩn đ−ợc xác định d−ới dạng: F(x) = ( )  ∞− σ − − πσ x 2 ax dxe 2 1 2 2 = =  ∞− − π 0 t dte1 2 + σ − ∞− − π 2 ax t dte1 2 = 1 2 1 2 + −       Φ x a σ (1.5.19) Đồ thị của F(x) đ−ợc biểu diễn trên hình 1.8. Điểm x=α t−ơng ứng với F(x)=1/2. 1.6. Luật phân bố Rơle vμ Macxoen Đại l−ợng ngẫu nhiên X đ−ợc gọi lμ tuân theo luật phân bố Rơle nếu hμm mật độ phân bố có dạng: 22    < ≥ = − 0khi0 0khi)( 2 2 2 2 x xexxf x σ σ (1.6.1) Trong mục 1.11 sẽ chỉ ra rằng modul của vectơ ngẫu nhiên phân bố chuẩn hai chiều có các độ lệch bình ph−ơng trung bình của các thμnh phần bằng nhau vμ các kỳ vọng bằng không lμ đại l−ợng ngẫu nhiên có luật phân bố Rơle. Đồ thị hμm (1.6.1) có dạng nh− trên hình 1.9. Theo (1.1.8), hμm phân bố (hình 1.10) bằng:    < ≥−= − 0khi0 0khi1)( 2 2 2 x xexF x σ (1.6.2) Ta hãy xác định đặc tr−ng số của phân bố Rơ le: ∞ −= 0 22 2 2 2 1 dxexm x x σ σ (1.6.3) Sau khi lấy tích phân từng phần ta nhận đ−ợc: mx =  ∞ σ − ∞ σ − +− 0 2 x 0 2 x dxexe 2 2 2 2 (1.6.4) Số hạng thứ nhất trong (1.6.4) bằng 0, số hạng thứ hai sau khi thay biến x t= 2σ sẽ dẫn đến tích phân Poatxông. Từ đó: mx = σ π =σ ∞ − 2 dte2 0 t 2 (1.6.5) Theo (1.2.12), ph−ơng sai bằng: Dx = 2 0 2 x2 2 2 2dxxe 2 x1 2 2 σ   π −=    σ π − σ  ∞ σ − (1.6.6) T−ơng tự, nếu sử dụng các đẳng thức thứ hai vμ thứ ba trong (1.2.15) vμ sau khi tính các tích phân t−ơng ứng ta nhận đ−ợc giá trị của mômen trung tâm bậc ba vμ bậc bốn của phân bố: μ3 = ( )π πσ− 3 2 3 (1.6.7) μ4 = 8 3 4 2 4 −     π σ (1.6.8) Từ (1.2.13) vμ (1.2.14) ta nhận đ−ợc giá trị của độ bất đối xứng vμ độ nhọn đối với phân bố Rơle: 23 S = ( )π πσ π σ π π π π − −     = − − − ≈ 3 2 2 2 2 3 4 4 0 63 3 3 3 , (1.6.9) E = ( ) ( ) 32 3 4 3 0 3 2 4 2 4 − − − ≈ − π σ π σ , (1.6.10) Hình 1.9 Hình 1.10 Hình 1.11 Từ đây thấy rằng đ−ờng cong phân bố Rơle không đối xứng qua kỳ vọng toán học. Điểm cực đại gọi lμ mốt của phân bố, nằm phía trái kỳ vọng toán học. Giá trị âm của độ nhọn chỉ ra rằng đ−ờng cong phân bố Rơle có đỉnh bằng phẳng hơn so với phân bố chuẩn t−ơng ứng (khi cùng giá trị σ). Nếu vectơ ngẫu nhiên ba chiều tuân theo luật phân bố chuẩn có các độ lệch bình ph−ơng trung bình của các thμnh phần bằng nhau còn kỳ vọng toán học bằng không, thì có thể chỉ ra rằng modul của vectơ ấy lμ một đại l−ợng ngẫu nhiên có mật độ phân bố bằng: f(x) = x e khi x khi x x2 2 22 0 0 0 2 2 σ π σ − ≥ <    (1.6.11) Hμm f(x) nh− trên đ−ợc gọi lμ luật phân bố Măcxoen. Ví dụ, phân bố của vận tốc các phân tử khí tuân theo luật Măcxoen. Đồ thị hμm (1.6.11) dẫn trên hình 1.11. Giống nh− phân bố Rơle, phân bố Măcxoen cũng đ−ợc xác định bởi một tham số σ. T−ơng tự nh− đã lμm đối với phân bố Rơle, có thể nhận các biểu thức sau đối với hμm phân bố vμ đặc tr−ng số của phân bố Măcxoen: F(x) = 2 0 0 0 2 22Φ x x e khi x khi x x σ σ σ   −       ≥ <      − (1.6.12) 24 mx = 2 2 π σ (1.6.13) Dx = 3 8 2 −    π σ (1.6.14) 1.7. Hệ các đại l−ợng ngẫu nhiên vμ luật phân bố của chúng Khi giải quyết nhiều bμi toán ng−ời ta th−ờng gặp tình huống lμ kết quả thí nghiệm đ−ợc mô tả không phải chỉ bởi một, mμ lμ một số đại l−ợng ngẫu nhiên. Ví dụ, hình thế synop phụ thuộc vμo nhiều đại l−ợng ngẫu nhiên: nhiệt độ không khí, áp suất, độ ẩm... Trong các tr−ờng hợp nμy ta sẽ nói rằng có một hệ các đại l−ợng ngẫu nhiên. Các tính chất của hệ đại l−ợng ngẫu nhiên không đ−ợc mô tả hết bởi những tính chất của các đại l−ợng ngẫu nhiên riêng rẽ, chúng còn bao hμm cả những mối quan hệ t−ơng hỗ giữa các đại l−ợng ngẫu nhiên của hệ. Chúng ta sẽ xem hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên nh− lμ các toạ độ của điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng, còn hệ ba đại l−ợng ngẫu nhiên nh− lμ toạ độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian ba chiều. Một cách t−ơng tự, hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên sẽ đ−ợc xem nh− toạ độ của điểm ngẫu nhiên trong không gian n chiều. Cũng có thể xét hệ đại l−ợng ngẫu nhiên nh− các thμnh phần của vectơ ngẫu nhiên trên mặt phẳng, trong không gian ba chiều hoặc n chiều. T−ơng ứng với điều nμy, các giá trị ngẫu nhiên xi, yi của hệ các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y sẽ đ−ợc biểu diễn hoặc d−ới dạng các điểm Ni,j có các toạ độ (xi, yi), hoặc d−ới dạng bán kính véctơ ri,j của các điểm đó (hình 1.12). Ta xét các luật phân bố của hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên. Hμm phân bố của hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y lμ xác suất thực hiện đồng thời các bất đẳng thức X<x, Y<y F(x,y) = P (X<x, Y<y) (1.7.1) Về mặt hình học, F(x,y) lμ xác suất rơi của điểm ngẫu nhiên (X,Y) vμo một hình vuông không giới hạn nằm ở góc trái bên d−ới của đỉnh ở điểm (x,y) (hình 1.13). Hμm phân bố có các tính chất sau đây: 1. F(x,y) lμ hμm không giảm, tức nếu x2>x1 thì F(x2,y)≥F(x1,y), còn nếu y2>y1 thì F(x,y2)≥ F(x,y1). rij Nij yj xi y x Hình 1.12 Thực vậy, chẳng hạn khi dịch chuyển biên phải của hình vuông (tăng x) ta không thể giảm xác suất rơi vμo nó. 2. Vì các sự kiện X<−∞ vμ Y<−∞ lμ những sự kiện bất khả, nên 25 F(−∞,y) = F(x,−∞) = F(−∞,−∞) = 0. 3. Vì các sự kiện X<+∞, Y<+∞ lμ những sự kiện chắc chắn, nên F(x,+∞)=P(X<x,Y<+∞) = P(X<x) = F1(x), với F1(x) lμ hμm phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên X. Một cách t−ơng tự: F(+∞,y) = F2(y), với F2(y) hμm phân bố của đại l−ợng ngẫu nhiên Y. 4. F(+∞,+∞) = 1. Ta hãy xác định xác suất rơi của điểm ngẫu nhiên vμo một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ. y x (x,y) 0 Hình 1.13 (α;γ) α y x (α;δ) (β;γ) (β;δ) β γ δ Hình 1.14 Xét hình chữ nhật R giới hạn bởi các đ−ờng thẳng x=α, x=β, y=γ, y=δ Các biên trái vμ d−ới thuộc hình chữ nhật, còn các biến phải vμ trên thì không. Sự kiện điểm ngẫu nhiên N(X,Y) rơi vμo trong hình chữ nhật R, tức N∈R, t−ơng đ−ơng với việc các sự kiện α≤X≤β, γ≤Y≤δ đồng thời xảy ra. Xác suất rơi vμo trong hình chữ nhật R bằng xác suất rơi vμo trong hình vuông có đỉnh (β, δ) trừ đi xác suất rơi vμo hình vuông có đỉnh (α,δ), trừ đi xác suất rơi vμo hình vuông đỉnh (β, γ), cộng với xác suất rơi vμo hình vuông đỉnh (α, γ). P(N∈R) = F(β,δ)−F(α,δ)−(Fβ,γ)+F(α,γ) (1.7.2) Ta đ−a vμo khái niệm mật độ phân bố của hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên. Giả sử có hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục X vμ Y. Lấy trên mặt phẳng điểm (x,y) vμ một hình chữ nhật nhỏ RΔ kề sát nó có các cạnh lμ Δx vμ Δy. Xác suất rơi của điểm ngẫu nhiên N (X,Y) vμo trong hình vuông RΔ, theo (1.7.2), bằng: P(N∈RΔ) = F(x+Δx,y+Δy)−F(x,y+Δy)−F(x+Δx,y)+F(x,y)(1.7.3) Chia xác suất nμy cho diện tích hình chữ nhật ΔxΔy vμ lấy giới hạn khi Δx→0 vμ Δy→0, ta nhận đ−ợc mật độ xác suất tại điểm (x,y). Giả thiết rằng hμm F(x,y) khả vi hai lần, khi đó: 26 lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δx y F x x y y F x y y F x x y F x y x y→ → + + − + − + + 0 0 = lim lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Δ ΔΔ Δ Δ Δ Δ Δ Δy xy F x x y y F x y y x F x x y F x y x→ → + + − + − + −   0 0 1 = lim ( , ) ( , ) ( , ) Δ Δ Δy F x y y x F x y x y F x y x y→ + − = 0 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.7.4) Hμm f(x,y) = ∂ ∂ ∂ 2F x y x y ( , ) (1.7.5) đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố của hệ. Về mặt hình học có thể biểu diễn hμm hai biến f(x,y) nμy nh− lμ một mặt trong không gian vμ đ−ợc gọi lμ mặt phân bố. Hμm f(x,y) không âm vì nó lμ giới hạn của tỷ số giữa hai đại l−ợng không âm lμ xác suất rơi vμo hình chữ nhật vμ diện tích hình chữ nhật. Biểu thức f(x,y)dxdy đ−ợc gọi lμ yếu tố xác suất của hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên. Yếu tố xác suất lμ xác suất rơi vμo trong hình chữ nhật yếu tố RΔ tiếp giáp điểm (x,y). Xác suất rơi của điểm N(X,Y) vμo một miền D bất kỳ đ−ợc xác định d−ới dạng tích phân hai lớp: P(N∈D) = f x y dxdy D ( , ) ( )  (1.7.6) Trong tr−ờng hợp nếu miền D lμ hình chữ nhật R, thì: P(N∈R) = f x y dxdy( , ) γ δ α β  (1.7.7) Khi sử dụng công thức (1.7.7) có thể biểu diễn hμm phân bố F(x,y) qua mật độ phân bố f(x,y) F(x,y) = f x y dxdy yx ( , ) −∞−∞  (1.7.8) Vì xác suất rơi trên toμn mặt bằng 1, nên: f x y dxdy( , ) −∞ +∞ −∞ +∞  = 1 (1.7.9) Về mặt hình học, xác suất rơi vμo trong miền D lμ thể tích hình lăng trụ đ−ợc giới hạn bởi miền D ở phía d−ới, còn phía trên lμ mặt phân bố (hình 1.15) Để cho tích phân xác định f x y dxdy( , ) −∞ +∞ −∞ +∞  = 1 hội tụ, thì cần thiết lμ mặt phân bố phải tiệm cận tới mặt x0y theo mọi h−ớng. 27 Khi biết hμm phân bố của hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên, có thể xác định hμm phân bố của mỗi đại l−ợng ngẫu nhiên trong đó: F1(x) = F(x,+∞) (1.7.10) F2(y) = F(+∞,y) (1.7.11) Ta hãy biểu diễn mật độ phân bố của từng đại l−ợng ngẫu nhiên qua mật độ phân bố của hệ: F1(x) = F(x,+∞) = f x y dxdy x ( , ) −∞ +∞ −∞  (1.7.12) Nh−ng mật độ phân bố lμ đạo hμm của hμm phân bố, khi đó f1(x) = F x f x y dy1 ′ = −∞ +∞ ( ) ( , ) (1.7.13) f2(y) = F y f x y dx2 ′ = −∞ +∞ ( ) ( , ) (1.7.14) Luật phân bố của một đại l−ợng ngẫu nhiên của hệ với điều kiện đại l−ợng ngẫu nhiên thứ hai nhận một giá trị xác định gọi lμ luật phân bố có điều kiện. Luật phân bố có điều kiện sẽ đ−ợc ký hiệu d−ới dạng: f(x/y) − luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên X với điều kiện Y=y f(y/x) − luật phân bố đại l−ợng ngẫu nhiên Y với điều kiện X=x. Xác suất rơi trong hình chữ nhật yếu tố RΔ, bằng f(x,y)dxdy, có thể biểu diễn nh− lμ tích xác suất rơi vμo dải I, bằng f1(x)dx vμ xác suất rơi vμo dải II, bằng f(x/y)dy, với điều kiện đã xảy ra sự kiện rơi vμo dải I (hình 1.16). Từ đó: f(x,y)dxdy = f1(x)dxf(y/x)dy (1.7.15) Giản −ớc cho dxdy, ta có: f(x,y) = f1(x)f(y/x) (1.7.16) T−ơng tự có thể thu đ−ợc đẳng thức: f(x,y) = f2(y)f(x/y) (1.7.17) Hình 1.15 Hình 1.16 Từ đó có thể biểu diễn luật phân bố có điều kiện qua mật độ phân bố của hệ d−ới dạng: 28 f(x/y) = f x y f y f x y f x y dx ( , ) ( ) ( , ) ( , )2 = −∞ +∞  (1.7.18) f(y/x) = f x y f x f x y f x y dy ( , ) ( ) ( , ) ( , )1 = −∞ +∞  (1.7.19) Các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y đ−ợc gọi lμ độc lập nếu luật phân bố của một trong chúng không phụ thuộc vμo việc đại l−ợng ngẫu nhiên kia nhận giá trị nμo. Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập: f(x/y) = f1(x) (1.7.20) f(y/x) = f2(y) (1.7.21) Nếu X không phụ thuộc vμo Y, thì Y cũng không phụ thuộc vμo X. Thật vậy, từ các đẳng thức (1.7.16) vμ (1.7.17) ta thấy rằng, nếu f(x/y)=f1(x) thì f(y/x) = f2(y). Ta có định lý sau: Để cho các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y lμ độc lập, điều kiện cần vμ đủ lμ đẳng thức sau đ−ợc thực hiện: f(x,y) = f1(x)f2(y), (1.7.22) tức lμ mật độ phân bố của hệ bằng tích mật độ phân bố của các đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần trong hệ. Một cách t−ơng tự, có thể xác định đ−ợc luật phân bố của hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên. Hμm phân bố của hệ n đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn lμ xác suất để thực hiện đồng thời n bất đẳng thức Xi<xi, i= 1,2,...,n. F(x1,x2,...,xn) = P(X1<x1,X2<x2,...,Xn<xn) (1.7.23) Nếu tồn tại đạo hμm riêng hỗn hợp của hμm F(x1,x2,...,xn) đ−ợc lấy lần l−ợt theo từng đối số: f(x1,x2,...,xn) = ∂ ∂ ∂ ∂ n n n F x x x x x x ( , ,..., ) ... 1 2 1 2 (1.7.24) thì nó đ−ợc gọi lμ mật độ phân bố của hệ các đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục (X1, X2,..., Xn). Ta sẽ nhận đ−ợc hμm phân bố của mỗi đại l−ợng ngẫu nhiên của hệ, nếu trong hμm phân bố của hệ ta đặt tất cả các biến còn lại bằng +∞. F1(x1) = F(x1,+ ∞,...,+∞) (1.7.25) Hμm phân bố của hệ con (X1, X2,...,Xk) nhận đ−ợc từ hệ có dạng: F1,2,...,k(x1,x2,...,xk) = F(x1, x2,...,xk,+ ∞,...,+∞) (1.7.26) Mật độ phân bố của mỗi đại l−ợng của hệ nhận đ−ợc bằng cách tích phân mật độ của hệ trong khoảng vô hạn theo các biến còn lại. 29 f1(x1) = ... ( , ,..., ) ...f x x x dx dxn n1 2 2 −∞ +∞ −∞ +∞  (1.7.27) Mật độ phân bố của hệ con (X1, X2,...,Xk) đ−ợc xác định d−ới dạng: f1,2,...,k(x1,x2,...,xk) = ... ( , ,..., ) ...f x x x dx dxn k n1 2 1+ −∞ +∞ −∞ +∞  (1.7.28) Luật phân bố có điều kiện của hệ con (X1, X2,...,Xk) lμ luật phân bố đ−ợc tính với điều kiện các đại l−ợng còn lại (Xk+1,..., Xn) đã nhận các giá trị xác định xk+1, ..., xn: f x x x x x f x x x f x xk k n n k n k n ( , ,..., / ,..., ) ( , ,..., ) ( ,..., ),...., 1 2 1 1 2 1 1 + + + = (1.7.29) Các đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2,...,Xn đ−ợc gọi lμ độc lập nếu luật phân bố của mỗi hệ con không phụ thuộc vμo các đại l−ợng ngẫu nhiên còn lại nhận giá trị nμo. Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập: f x x x f x f x f xn n n( , ,..., ) ( ) ( )... ( )1 2 1 1 2 2= (1.7.30) Hμm phân bố của hệ đ−ợc biểu diễn qua mật độ phân bố d−ới dạng: F(x1,x2,...,xn) = ... ( , ,..., ) ...f x x x dx dx dxn n xxx n 1 2 1 2 21 −∞−∞−∞  (1.7.31) Xác suất rơi của điểm ngẫu nhiên N(X1, X2,...,Xn) trong giới hạn miền D−n chiều đ−ợc xác định d−ới dạng: P(N∈D) = ... ( , ,..., ) ... ( )   D n nf x x x dx dx dx1 2 1 2 (1.7.32) 1.8. Các đặc tr−ng số của hệ các đại l−ợng ngẫu nhiên Mômen gốc mk s, bậc k+s của hệ hai đại l−ợng ngẫu nhiên (X,Y) lμ kỳ vọng toán học của tích Xk vμ Ys : mk s, = M[ X k Ys ] (1.8.1) Mômen trung tâm μk s, , bậc k+s lμ kỳ vọng toán học của tích Xk o . Ys o , ở đây X o vμ Y o lμ các đại l−ợng ngẫu nhiên qui tâm. μk s, = M[ Xk o . Ys o ] (1.8.2) Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc ta có: mk s, = x y pi k j s i j ji , (1.8.3) 30 μk s, = ( ) ( )x m y m pi x k j y s i j ji − − , (1.8.4) trong đó pi,j = P(X=xi,Y=yj). Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: mk s, = x y f x y dxdy k s ( , ) −∞ +∞ −∞ +∞  (1.8.5) μk s, = ( ) ( )x m y m f x y dxdyx k y s− − −∞ +∞ −∞ +∞  ( , ) (1.8.6) Số k+s đ−ợc gọi lμ bậc của mômen. Cũng giống nh− đối với một đại l−ợng ngẫu nhiên, các mômen của hệ đại l−ợng ngẫu nhiên không phải lμ những đặc tr−ng bao quát đầy đủ, tuy nhiên chúng xác định một loạt các tính chất quan trọng của hệ. Các mômen bậc nhất m1,0 vμ m0,1 lμ kỳ vọng toán học của các đại l−ợng ngẫu nhiên thμnh phần của hệ. m1,0 = M[XY o] = M[X] = mx (1.8.7) m0,1 = M[X oY] = M[X] = my (1.8.8) Về mặt hình học, đây lμ các toạ độ của điểm trung bình mμ các điểm ngẫu nhiên N(X,Y) phân tán xung quanh nó. Ta hãy xét các mômen trung tâm bậc hai của hệ: μ2,0 = M X Y o o o 2      = M X o 2      = D[X] (1.8.9) μ0,2 = M X Yo o o 2      = M Y o 2      = D[Y] (1.8.10) Đây lμ ph−ơng sai của các đại l−ợng ngẫu nhiên, chúng đặc tr−ng cho sự phân tán của các điểm ngẫu nhiên theo h−ớng các trục toạ độ. Mômen trung tâm hỗn hợp bậc hai đ−ợc gọi lμ mômen t−ơng quan hay mômen liên hệ của các đại l−ợng ngẫu nhiên vμ bằng: μ1,1 = M X Y o o 1 1      = M[(X-mx)(Y-my)] = Rxy (1.8.11) Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên rời rạc: Rxy = ( )( )x m y m pi x j y i j ji − − , (1.8.12) Đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục: Rxy = ( )( )x m y m f x y dxdyx y− − −∞ +∞ −∞ +∞  ( , ) (1.8.13) 31 Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập Rx,y=0. Thực vậy, từ (1.7.22): R x m y m f x f y dxdyxy x y= − − = −∞  ( )( ) ( ) ( )1 2 = − − = = −∞ ∞ −∞ ∞  ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]x m f x dx y m f y dy X Yx y1 2 1 1 0μ μ Từ đó thấy rằng, nếu Rx,y ≠ 0, thì X vμ Y lμ những đại l−ợng phụ thuộc. Đại l−ợng: r R xy xy x y = σ σ (1.8.14) đ−ợc gọi lμ hệ số t−ơng quan của các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y. Đối với các đại l−ợng ngẫu nhiên độc lập thì rxy = 0. Điều ng−ợc lại sẽ không đúng, tức rxy = 0 lμ điều kiện cần để X vμ Y độc lập, nh−ng ch−a phải lμ điều kiện đủ. Các đại l−ợng ngẫu nhiên X vμ Y có rxy = 0 đ−ợc gọi lμ các đại l−ợng ngẫu nhiên không t−ơng quan với nhau. Từ tính độc lập của đại l−ợng ngẫu nhiên suy ra tính không t−ơng quan của chúng. Với t− cách lμ các đặc tr−ng số của hệ, từ n đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn ta nhận đ−ợc n kỳ vọng toán học mxi , i = 1,2,...,n của các đại l−ợng ngẫu nhiên ban đầu, n ph−ơng sai Dxi của chúng vμ n(n−1) mômen t−ơng quan Rx xi j : Rx xi j = M[(Xi- mxi )(Xj- mxj )] (1.8.15) Ph−ơng sai Dxi có thể xem nh− mômen t−ơng quan của đại l−ợng ngẫu nhiên Xi với chính nó, có nghĩa lμ: Dxi = R x xi i = M[(Xi- mxi ) 2] (1.8.16) Để thuận tiện ta sắp xếp các mômen t−ơng quan d−ới dạng ma trận vuông vμ gọi lμ ma trận t−ơng quan của hệ các đại l−ợng ngẫu nhiên (X1, X2,..., Xn). R R R R R R R R R R n n n n nn ij 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ...       = (1.8.17) Từ định nghĩa mômen t−ơng quan ta thấy rằng: R R M X X M X X R Rij x x i o j o j o i o x x jii j j i= =     =     = = (1.8.18) Vì vậy có thể chỉ cần điền một nửa trên của ma trận t−ơng quan tính từ đ−ờng chéo chính. 32 R R R R R R R ij n n nn =       11 12 1 22 2 ... ... ... ... (1.8.19) Trong tr−ờng hợp khi các đại l−ợng ngẫu nhiên X1, X2,..., Xn không t−ơng quan, ma trận t−ơng quan có dạng: R R R R ij nn =       11 22 0 0 0 ... ... ... ... (1.8.20) Ma trận nh− vậy gọi lμ ma trận đ−ờng chéo. Thay cho các mômen t−ơng quan ng−ời ta th−ờng sử dụng các hệ số t−ơng quan r r R ij x x x x x x i j i j i j = = σ σ (1.8.21) vμ chúng lập thμnh ma trận t−ơng quan chuẩn hoá mμ các phần tử trên đ−ờng chéo chính của nó bằng đơn vị, rx xi j = 1 r r r r ij n n =       1 1 1 12 1 2 ... ... ... ... (1.8.22) 1.9. Các định lý về đặc tr−ng số Đối với các đặc tr−ng số của đại l−ợng ngẫu nhiên những định lý sau đây lμ đúng: 1. Kỳ vọng toán học của đại l−ợng không ngẫu nhiên bằng chính nó. Đại l−ợng không ngẫu nhiên c có thể đ−ợc coi nh− một đại l−ợng ngẫu nhiên có một giá trị có thể c, mμ đại l−ợng ngẫu nhiên nhận nó với xác suất bằng 1. Từ đó: M[c] = c.1 = c (1.9.1) 2. Ph−ơng sai của đại l−ợng không ngẫu nhiên bằng không. D[c] = M[(c−mc) 2] = M[(c−c) (1.9.2) 3. Nếu c lμ đại l−ợng không ngẫu nhiên, thì: M[cX] = cM[X], (1.9.3) D[cX] = c2D[X], (1.9.4) tức lμ có thể đ−a đại l−ợng không ngẫu nhiên ra ngoμi dấu kỳ vọng toán học vμ có thể đ−a đại l−ợng không ngẫu nhiên ra ngoμi dấu ph−ơng sai nh−ng sau đó lấy bình ph−ơng 33 của nó. Ta tiến hμnh phép chứng minh đối với đại l−ợng ngẫu nhiên liên tục. M[cX] = cxf x dx c xf x dx cM X( ) ( ) [ ] −∞ +∞ −∞ +∞  = = , D[cX]= ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]M cX m M cX cm c M X m c D Xcx x x− = − = − =2 2 2 2 2 [ ] Lấy căn bậc hai cả hai vế (1.9.4), đối với độ lệch bình ph−ơng trung bình ta nhận đ−ợc: σ[cX] = cσ[X] (1.9.5) tức lμ có thể đ−a đại l−ợng không ngẫu nhiên ra ngoμi dấu độ lệch bình ph−ơng trung bình. 4. Kỳ vọng toán học của tổng một số các đại l−ợng ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán học của chúng. Định lý nμy đ−ợc gọi lμ định lý cộng của kỳ vọng toán học. Ta sẽ chứng minh nó cho tr−ờng hợp hai đại l−ợng ngâu nhiên liên tục: M[X+Y]= ( ) ( , )x y f x y dxdy+ = −∞ +∞ −∞ +∞  = xf x y dxdy yf x y dxdy( , ) ( , ) −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞   + = = x f x y dxdy y f x y dxdy( , ) ( , ) −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞  + = = xf x dx yf y dy1 2( ) ( ) −∞ +∞ −∞ +∞  + = M[X]+M[Y] (1.9.6) 5. Ph−ơng sai của tổng hai đại l−ợng ngẫu nhiên bằng tổng các ph−ơng sai của chúng cộng với hai lần mômen t−ơng quan. D[X+Y] = D[X] + D[Y] + 2Rxy (1.9.7) Ta ký hiệu: X + Y = Z, Z X Y X m Y m o o o x y= + = − + −( ) ( ) , (1.9.8) khi đó: D[X+Y] = M Z M X Y M X M Y M XY o o o o o o o 2 2