Giáo trình Mật độ mức hạt nhân (Phần 1)

húng ta sử dụng ph−ơng pháp thống kê đ−ợc mô tả trong Đ1.1 và Đ1.2. Tr−ớc hết ta biến đổi Laplax ở phần bên trái và bên phải biểu thức (1.79): ( ) ∑=∫ ∫ −δ−δ∫∑=ω∫ α+β−∞ ∞ ∞ α+β−α+β−∞ i NE 0 o o NE i NE 0 iie)NN()EE(edNdEE,NedNdE (1.85) ii 30 ế thống kê, đại l−ợng đứng bên phải của (1.85) đ−ợc gọi là Trong cơ ch tổng thống kê đầy đủ Q( β,α ) [1.10] mà nó có thể đ−ợc viết d−ới dạng : ( ) ( )NˆHˆ i α+β− (1.86) Nh− vậy phép biến đổi Laplax đã biến mật độ trạng thái (1.79) sang tổng Tất nhiê Q(β,α) sẽ cho mật độ trạng ái : NˆHˆNE eSpieie,Q ii α+β−α+β− ∑ ≡≡∑=αβ thống kê đầy đủ. n rằng phép biến đổi Laplax ng−ợc từ th ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ ∫ ∞+β ∞−β ∞+α ∞−α αβ ∞+β ∞−β ∞+α ∞−α α−β αβπ=αβαβπ=ω i i i i ),(S 2 i i i i NE 2 ' ' ' ' ' ' ' ' edd i2 1,Qedd i2 1E,N (1.87) với ( ) ( ).,QlnNE,S αβ+α−β=αβ (1.88) tích phân (1.87). Tích phân tro có thể tính đ−ợc bằng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa. Khi sử dụng ph−ơng pháp đ−ờng yên ngựa đối với hàm nhiều biến phức thì xảy ra với các toạ độ β và α , ta tách hàm S(β,α) thành chuỗi và giới hạn bằng hai số hạng không bị triệt tiêu: Hệ thức (1.87) đ−ợc coi là công thức xác định chính xác mật độ trạng thái ω(N,E) và bài toán tính ω(N,E) lại quay về tính ng (1.87) tr−ờng hợp t−ơng tự nh− tr−ờng hợp một chiều [11]. Trong vùng điểm yên ngựa O O ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )202 2 00 2 2 02 2 00 S 2 α∂ 1SS 2 1,S,S α−α∂+α−αβ−βα∂β∂ ∂+β−ββ∂ ∂+αβ=αβ (1.89) ở đây đạo hàm bậc hai của S theo α và β đ−ợc tính ở điểm yên ngựa β0 và 0 tọa độ của chúng đ−ợc xác định từ ph−ơng trình: α mà 0S;0S =α∂∂=β∂ ∂ (1.90) hoặc là sử dụng (1.88): α∂∂=β∂∂−= QlnN;QlnE (1.91) 31 Thay (1.89) vào (1.87) và sử dụng phép đổi biến β = β0 + iy ; α =α0+ ix, ta thu đ−ợc: ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ −∫ ∞ expy 2 0 ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α∂ ∂+β∂α∂ ∂+β∂ ∂∫π=ω ∞ − ∞ ∞− αβ 2 2 22 2 2 2 2 ,S yS 2 1xySxS 2 1ddx1eE,N 0 Tích phân trong (1.92) ở dạng chung có thể viết nh− sau: (1.92) ( ) 212n D2dx,...,dxxexp... −∞ ∞ π=⎞⎛− (1.93) n1n j,i jiji xa2 1 ∞− ∞− ∫ ∫ ⎟⎠⎜⎝ ∑ ận (aij). Điều này th−ờng đ−ợc chứng minh nhờ sự biến đổi trực giao ma trận (a ) của các tích phân chuyển động sang dạng chéo sau khi thu đ−ợc tích phân bằng tích các tích phân Laplax một lớp (1.18). Sử dụng (1.93) với mật độ trạng thái ω ( N, E ) cuối cùng ta thu đ−ợc: ở đây D - định thức của ma tr ịj ( ) ( )[ ]21 00D2 SexpE,N π αβ=ω (1.94) ở đây 0 0 2 α=αα∂ 22 2 QlnQln β=β ∂ α∂β∂ ∂ α∂β∂β∂= (1.95) 22 QlnQln D ∂∂ và S là entrôpy của hệ: ( ) ( ).,QlnNE,S 000000 αβ+α−β=αβ (1.96) Hệ thức (1.91) có thể viết lại ở dạng khác thuận tiện hơn khi đ−a vào toán nh toán tử thống kê  ó dạng [10]: tử trung bình theo tổng thống kê đầy đủ. Theo đó, trung bì c ( )( ) ( )( )NˆHˆNˆHˆ eSp/eAˆSpAˆ λ−β−λ−β−= (1.97) 32 ở đây λ = α/β. Khi đó với toạ độ của điểm yên ngựa ta thu đ−ợc ph−ơng trình: ( )[ ]{ }( )[ ]{ } HˆNˆHˆexpSp ˆˆˆQE =λ−β−=β∂−=β∂−= (1.98a) NHexpHSpQ1Qln λ−β−∂∂ NN = (1.98b) Dựa vào việc xác định các giá trị trung bình thống kê (1.97) cho đạo hàm bậc hai trong (1.95) ta sẽ có: ˆ ⎪⎪ ⎪∂ α ˆˆˆˆQn 2 ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ −= ∂ ⎠⎝ NHNHl NN2 22 (1.99) ⎡ τ β α α ⎪ ⎪ −=∂ −=⎟⎞⎜⎛ β∂ ∂−β∂ ∂=β∂ ∂ ˆˆQln HˆHˆQ Q 1Qln Q 1Qln 22 2 22 2 222 β∂β∂ Trong tr−ờng hợp chung, nếu cần tính mật độ trạng thái ở năng l−ợng E và có các tích phân chuyển động K1, ... Kτ , đối với hệ nh− vậy có thể viết tổng thống kê d−ới dạng nh− sau: ( ) ⎥⎦⎢⎣ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∑ α+β−=ααβ =τ 1i ii1 KˆHˆexpSp,...,,Q (1.100) Các tọa độ của điểm yên ngựa 0, 01, ... , 0τ đ−ợc tìm ra bằng cách giải hệ ph−ơng trình: ⎤ ii KˆK;HˆE == với τ,...,2,1i = (1.101) Mật độ trạng thái đ−ợc xác định bằng biểu thức sau : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]τ−+τ−τ ααβπ=ω 00102/12/11 ...,,,SexpD2K,...,K,E (1.102) ở đây D - định thức ma trận đ−ợc tạo nên từ các đạo hàm bậc hai của lnQ theo β, α1..., ατ. đ−ợc tính tại điểm yên ngựa ; S - entrôpy của hệ. ( ) ( )∑ ααβ+α−β=ααβ τ = ττ 1i 0010ii000010 ,...,,QlnKE,...,,S (1.103) 33 ới hệ kín suy ra rằng sự mô tả khả dĩ nhất của hệ đ−ợc giới hạn bằng bài toán số hạt prot −ợng toàn phần E, mômen góc J và độ chẵn lẻ π. Khi đó bài toán giá trị ba tích phân chuyển động đầu tiên - Z, N và E - là cần thiết để tính mật độ trạng thái ω(Z,N,E): Các giá trị N và Z cố định đã biết để tách hạt nhân cụ thể ra khỏi tập hợp các hạt nhân, năng l−ợng E xác định mức độ kích thích của hạt nhân đ−ợc gọi là mật độ trạng thái toàn phần của hạt nhân. Với một hạt nhân cụ thể, Vì thế rất quan trọng nếu biết sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào mômen góc toàn phần J mà nó th−ờng đ−ợc gọi là sự phụ mômen góc một hạt là vectơ, còn hình hiếu của nó đại l−ợng đại số nên th−ờng nghiên cứu sự phụ thuộc ω(Z, N, E, ) vào hình chiếu mômen góc M trên một trục cố định. Để tính mật độ trạng ω( Z,N, E, J ) theo các biểu thức đã biết với ω ( Z, N, E, M ) ng−ời ta sử dụng hệ thức: Trong phần kết luận chúng ta sẽ nói về việc lựa chọn tích phân chuyển động. Các đại l−ợng vật lý bảo toàn theo thời gian đ−ợc gọi là các tích phân chuyển động. Từ định luật bảo toàn số khối, điện tích, năng l−ợng, mômen góc và độ chẵn lẻ đối v on Z và nơtron N, năng l đ−ợc khảo sát. Th−ờng thì ω(Z,N,E) các đặc tính Z và N không đ−ợc nhắc tới, và thay vì năng l−ợng toàn phần E ng−ời ta th−ờng sử dụng năng l−ợng kích thích U bằng: (1.104) ở đây E0 là năng l−ợng trạng thái cơ bản. Trong các phản ứng hạt nhân, sự giới hạn liên quan tới tính bảo toàn của mô men góc đóng vai trò lớn. 0EEU −= thuộc spin của mật độ trạng thái. Bởi vì c M thái ( ) ( ) ( ) ( ) 2/1JMM M,E,N,Z1JM,E,N,ZJM,E,N,ZJ,E,N,Z +=∂ ω∂−≈+=ω−=ω=ρ (1.105) xác định mật độ mức ρ(Z, N, E, J). Sự khác nhau ở các thuật ngữ “mật độ trạng ái” và “mật độ mức” liên quan tới việc tách các số l−ợng tử ví dụ theo mômen động l−ợng trong tr−ờng hợp đã c (1.105) cần đ−ợc lý giải. Các trạng thái có J), còn các th cho. Công thứ J’ ≥ J có đóng góp vào mật độ trạng thái ω(Z, N, E, M= 34 trạng thái có J’≥ J+ (Z, N, E, M=J+1). hi tr −ợc mật độ trạng thái với giá trị J cố định. Tuy 1 có đóng góp vào mật độ trạng thái ω K ừ nhau (theo 1.105) ta thu đ nhiên vì mỗi trạng thái với J đã cho sẽ tách ra 2J + 1 lần theo hình chiếu mômen góc, nên đại l−ợng đ−ợc xác định theo (1.105) đ−ợc gọi là mật độ mức và ký hiệu là ρ(Z,N,E, J). Mật độ mức ρ(Z,N,E, J) liên quan với mật độ trạng thái theo hệ thức: ( ) ( ) ( )J,E,N,Z1J2J,E,N,Z ρω += (1.106) hácòn với mật độ toàn phần ω(Z,N,E) liên quan với mật độ trạng t i theo hệ thức sau: ( ) ( ) ( )J,E,N,Z1J2E,N,Z J ρ∑ +=ω (1.107) Trong ch−ơng 5 sẽ khảo sát mật độ trạng thái khi số giả hạt kích thích cố định. Từ các định luật bảo toàn không suy ra đ−ợc tích phân chuyển động nh− số vào đại l−ợng vật liên hợp với hàm toán tử Hamilton. Theo quan điểm nh− vậy, đại l−ợng vật lý ân chuyển động và trong các mẫu thái theo số giả hạt kích thích. giả hạt kích thích n. Song trong mẫu lớp và mẫu hạt nhân siêu chảy, có thể đ−a lý đ−ợc xác định bằng số giả hạt kích thích và toán tử của nó này là tích ph đó có thể dẫn ra của các trạng 35 các đặc tr−ng thống kê củ trong mẫu các hạt độc lập ên cứu mật độ trạng thái và các đặc tr−ng thống kê khác của hạt nhân nguyên tử trong các mẫu cụ thể. Việc nghiên cứu này đ−ợc bắt đầu từ việc khảo sát dạng t−ờng minh của ω(U) trong mẫu các hạt độc lập. Để đơn giản tr−ớc hết ta hãy tính cho hệ một thành phần và nó sẽ đ−ợc mở rộng ra với nh− h Chúng ta khảo sát hệ gồm N hạt Fermi cùng loại chuyển động trong một tr−ờng thế trung bình. Hamilton H0 diễn số lấp đầy có dạng sau (xem các công thức (1.70) và (1.71)): Ch−ơng 2 a hạt nhân 2.1 Các hệ thức cơ bản : Chúng ta nghi hạt nhân ệ hai thành phần gồm proton và nơtron. và toán tử số hạt N của hệ này trong biểu ∑ ∑ε=ε= ννν+ν ννHˆ (2.1a) ν nˆaao ∑ ∑== ν ν νν + ν ν nˆaaNˆ (2.1b) ở đây các toán tử a+ν và aν tuân theo hệ thức giao hoán (1.60), ε là năng l−ợng của trạng thái một hạt thứ ν. Chúng ta tìm thấy tổng thống kê của hệ : ( ) ( )[ ] ( )∑ ⎞⎛=α+β−=αβ i expiNHˆexpSp,Q ⎟⎠⎜⎝ ∑ λ−εβ− ν νν inˆ (2.2) ở đâ tử ∧ ∑=Η y λ = α/β. Bởi vì các hàm sóng ⎢i > là các hàm riêng của toán ∧( ) νν λ−ε n với các giá trị riêng là ν ( )∑ λ−ε=ε ν νν )i(ni nên Q(α,β) có thể viết lại nh− sau : ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∑ λ−εβ− ν νν in (2.3) Với n ( ) ∑=αβ i exp,Q ( ) ( ) ν(i) bằng 0 và 1, tổng trong (2.3) đ−ợc tính cho tất cả các trạng thái khả dĩ của hệ. Điều đó có nghĩa rằng trong tổng phải tính là mỗi trạng thái một hạt thứ ν là bị chiếm khi nν(i)=1 hay tự do khi nν(i) = 0. Nh− vậy ta có: ( ) ( )[ ]{ } )[ ]{ } ( )[ ] ( )[ ]{ } ( { } =λ−εβ−+ìλ−εβ−+ìλ−εβ−+=αβ ν ν21 exp1...exp1exp1,Q (2.4) ∏ α+εβ−+= 2exp1 36 ( ) ( )[ ]∑ α+βε−+=αβ ν ν exp1ln,Qln (2.5) Chúng ta đã thu đ−ợc kết quả rất quan trọng: chuyển từ tổng theo các trạng thái của hệ trong (2.2) sang tổng theo các trạng thái một hạt (2.5). Chúng ta tính giá trị trung bình của số lấp đầy các trạng thái một hạt (1.97), dựa trên các hệ thức (2. 2) và (2.5) ta thu đ−ợc: thứ ν. Nhờ ( )[ ]( )( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]{ } 1exp1NˆHˆexpSpnˆ −ννννν λ−εβ+=λ−ε∂β−=λ−β−== 0 có dạng: QlnNˆHˆexpnˆSp ∂λ−β−n (2.6) Các ph−ơng trình (1.91) để xác định toạ độ điểm yên ngựa β0, α ( )[ ]∑ ∑ ε=λ−εβ+ ε=∂−= ννυ nQlnE (2.7a) β∂ ν ννexp1 ( )[ ]∑ ∑=ε∂ ∂= νν n QN λ−β+=α ν νexp1 1ln (2.7b) của lnQ theo α và β: và ta cũng dễ dàng thu đ−ợc biểu thức đối với entrôpy S và các đạo hàm bậc 2 ( )[ ] ( ) ( )[ ]−−∑ ∑ λ−εβ=α+βε−++α−β= ννννexp1lnNES ν ν n1lnn (2.8) ( )∑ −ε=β∂ ν ννν n1n22 (2.9a) ∂ Qln2 ( )∑ −ε=β∂α∂ ν ννν ∂ n1nQln 2 (2.9b) (∑ −= )α∂ ∂ ν νν n1nQln2 2 Các giá trị trê ệ ph−ơng trình (2.7). Chúng ta đã tìm ra tất cả các hệ thức cần thiết để tính mật độ trạng thái n thiết để xác định ω(U) thì phải thực hiện các việc sau : (2.9c) n sẽ tính đ−ợc khi thu đ−ợc β và α từ nghiệm của h của hệ ω(N,E). Từ trên suy ra rằng nếu với hệ có phổ các trạng thái một hạt đã biết, cầ 1. Với N và E đã cho, từ (2.7) tìm đ−ợc các toạ độ điểm yên ngựa β0 và α0.. 2. Nhờ β0 và α0 , theo các công thức (2.8) và (2.9) tính entrôpy S của hệ và các đạo hàm bậc hai lnQ theo β và α. 37 3. Thay thế S và các đạo hàm bậc 2 vào (1.94), tính ω(N,E) - mật độ trạng t Ta nhận thấy rằng các tính chất t phụ thuộc năng l−ợng của cá 2.2 Mẫu khí Fermi Ta thu đ−ợc mật độ trạng thái ω(N,E) đối với hệ N hạt Fermi độc lập có năng l−ợng E khi giả thiết rằng phổ mật hạt của nó là không suy biến, phân bố . Để tính các đặc tr−ng thống kê, chúng ta sẽ sử dụng gần đúng liên tiếp bằng cách thay tổng theo các trạng thái một hạt bằng tích phân theo các trạng thái một hạt tức là hái của hệ gồm N hạt Fermi độc lập ở năng l−ợng toàn phần E đã cho. hống kê của hệ mà từ đó biết đ−ợc sự c đại l−ợng β, α, S và ω thực tế phụ thuộc vào phổ các trạng thái một hạt εν. cách đều và có mật độ g ∑ ∫→ν εdg . T−ơng ứng với (2.5), đối với ]d)exp(1lng)exp(1ln),(Qln (2.10) −ợc chọn sao cho các giá trị năng l−ợng một hạt luôn d−ơng (ε ≥ 0), tức là năng l−ợng bằng 0 ở đáy hố thế. Biểu thức (2.10) đ−ợc biến đổi thành: logarit tổng thống kê lnQ(β,α) ta có: [ ] [ εα+βε−+=α+βε−+=αβ ∫∑ ∞ ν ν 0 Trong (2.10) điểm gốc năng l−ợng ε đ ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]∫ ∫∫ βα ∞ βα βα εα+βε−++εα−βε++εβε−α=αβ /. / o dexp1lngdexp1lngdg,Qln (2.11) o / Tích phân thứ hai trong (2.11), khi đổi biến x = α - βε sẽ có dạng: ( )[ ] ( )∫∫ α −βα +β=εα−βε+ o x / o dxe1ln1dexp1ln giá trị tích phân này khi α→ ∞ sẽ tiến đến π2/12 [9], còn với tích phân thứ ba chúng ta thu đ−ợc: ( )[ ]∫ ∞ βα β π=εβε−α+ / 2 12 dexp1ln Nh− vậy ở gần đúng a >> 1 đối với lnQ(β,α) ta có: ( ) )6/(g)2/(g,Qln 2022 βπ+βα=αβ (2.12) Hệ các ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa β0, α0 trong tr−ờng hợp này có dạng: ( ) ( )20220200 6/g2/g/QlnE βπ+βα=β∂−∂= (2.13a) 38 39 00 /g/QlnN βα=α∂∂= (2.13b) Chúng ta tìm mối liên hệ giữa β0 , α0 và năng l−ợng Fermi εF. Để làm điều đó ta sử dụng công thức tính số hạt N và năng l−ợng E0 ở trạng thái cơ bản của hệ: 2 gdgE 2 F 0 F F ε=εε=ε= ∑ ∫ ε ν ε ν ν (2.14a) ∑ ∫ ε ε ν ε=ε== F F 0 Fgdg1N (2.14b) Từ (2.13b) và (2.14b) ta thấy rằng α0= β0εF v trình (2.13a) có dạng: ở đây a = (π2/6)g - thông số mật độ mức ; t = β0-1 - nhiệt độ của hệ. Ta thu đ−ợc ph−ơng trình trạng thái nổi tiếng của mẫu khí Fermi [1 Ta tính Entrôpi S của hệ: à ph−ơng 22 00 at/a)EE(U =β=−= (2.15) 0]. ( ) ( ) β+βα+α−β=αβ+α−β= /a2/gNE,QlnNES 2 Sử dụng hệ thức (2.13) và (2.15) ta thu đ−ợc: aU2U2S 0 =β= (2.16) Các đạo hàm bậc hai của lnQ có dạng: 2 2 2 2222 gQlnggQln ∂∂πα∂ 332 gQln;; 3 β α−=α∂β∂β=α∂β+β=β∂ 2 2 4 0 22 22 2 U12 3 g QlnQln D π=β π=∂ β∂ ∂ α∂β∂β∂= (2.17) 2 22 QlnQln 0α∂α∂ ∂∂ β=β và định thức D bằng: 0α=α Thay các giá trị (2.16) và (2.17) vào (1.94) đối với mật độ trạng thái ω(N,E)= ω(U) ta sẽ có: )U48/()aU2exp()U( ì=ω (2.18) Công thức (2.18) đ−ợc viết d−ới dạng khác: )n(pgg )gU(48 gU 6 2exp )U( 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ π =ω ở đây đã đ−a vào các số )n(/]n)/(exp[)n(p,gUn 4862 2π== . Cách viết nh− v cho ậy phép đ−a về dạng (2.18). Thừa số g đầu tiên chính là mật độ mức của hệ. Trong tr−ờng hợp đang khảo sát, nó trùng với mật độ các trạng thái a số nguyên n thành các số hạng thu −ợc rằng số trạng thái với phổ đã biết khi U = 4d là bằng 5. Khi đó dễ dạng coi tổng các số nguyên bằng số tổ hợp sau : 4 = 1+3 = 2+2 = 1+1+2 = 1 F 0 t = β0-1 nhỏ hơn năng l−ợng kích thích rộng. Trong công thức (2.18) không có sự phụ thuộc rõ ràng của ω(U) vào số hạt N của hệ. Đó là vì hai gần đúng sau : Thứ nhất là trong các hệ quả đã sử dụng sự gần đúng nhiệt độ thấp. Thứ 2 - điều quan trọng nhất là chúng ta khảo sát hệ với phổ một hạt phân bố đều. Mật độ trạng thái một hạt g không phụ thuộc năng l−ợng là thông số duy nhất đặc tr−ng cho hệ. Nh− sẽ đ−ợc chứng minh trong $2.4, trong tr−ờng hợp hệ có phổ lớp vỏ không đồng nhất sẽ xuất hiện sự phụ thuộc rất mạnh của các đặc tr−ng thống kê vào N. Trên hình 2.1 đ−a ra sự phụ một hạt. Điều tất yếu đó đ−ợc khảo sát khá kỹ ở trong mục $1.4 (công thức 1.84). Thừa số thứ hai là sự suy biến mức của hệ ở năng l−ợng kích thích bằng U. Ta nhận đ−ợc biểu thức đối với suy biến p(n) đầu tiên ở [23] khi giải quyết vấn đề thuần tuý toán học để xác định giá trị tiệm cận của tổ hợp P(n) củ nguyên độc lập với bậc của chúng. Bài toán này tỏ ra liên quan chặt chẽ tới sự xác định số trạng thái của hệ Fermi ở năng l−ợng kích thích đã cho U. Thực vậy, trong ví dụ đ−ợc nghiên cứu ở mục 1.4 đã đ +1+1+1 tức là số tổ hợp bằng 5 hay P(4) = 5. Trong các hệ quả của công thức (2.18) đã sử dụng gần đúng α0= ε β >>1 mà nó th−ờng đ−ợc gọi là sự gần đúng nhiệt độ thấp. Từ đó suy ra rằng nhiều so với năng l−ợng Fermi. Bởi vì với hạt nhân, εF ≅ 35MeV nên bất đẳng thức t << εF luôn thoả mãn tốt ở vùng thuộc năng l−ợng của mật độ trạng thái của hệ có phổ phân bố đều. Rõ ràng là đối với tất cả các năng l−ợng kích thích U bắt đầu từ U = 5/g, công thức (2.18) đ−a lại giá trị chính xác cho mật độ trạng thái. Đồng thời nh− đã nêu trong Đ1.2 khi U → 0 mật độ trạng thái ω(U) đ−ợc tính theo ph−ơng pháp điểm yên ngựa sẽ tiến tới ∞ tức là trái ng−ợc rõ ràng với tính toán chính xác. 40 Hình 2.1. Sự phụ thuộc ω(U) đối t gián đoạn: liên tục: Tính theo (2.18) ; Đ−ờng bậc thang: Tính theo số tổ Năng l−ợng kích thích U đ−ợc đo trong đơn vị d = g-1. S và cả ph−ơng trình ạng thái (2.15) thể hiện mối quan hệ năng l−ợng của trạng thái với mật độ sẽ tự đúng” khi U = 0. “Sự không đúng” tức là dạng mật độ trạng thái trái ng−ợc giữa lý thuyết và tính toán chính xác đ−ợc lý giải là do có thừa số tr−ớc hàm e Chúng ta tính số trạng thái trung bình với hệ hạt Fermi có phổ một hạ Đ−ờng hợp; Tuy nhiên các đặc tr−ng thống kê khác nh− entrôpy tr “ mũ tỷ lệ với U-1 và nó sẽ tiến tới ∞ khi U → 0. n xuất hiện trong hệ ở năng l−ợng kích thích U bằng tổng số hạt và lỗ trống kích thích : ( )[ ] ( )∫ ≈∫ π=ε−εβ+ ε=ε= ∞ ∞ gU08.1gU/2ln62dg2d)(ng2n (2.19) ε F Trong (2.19), tích phân đ−a lại giá trị trung bình của số hạt kích thích với năng l−ợng > εF và thừa số 2 thể hiện là cứ mỗi lần sinh ra một hạt sẽ t−ơng ứng 2.3 Sự phụ thuộc spin của mật độ trạng thái hạt nhân. Chúng ta xem xét mẫu hạt nhân mà các hệ thức của nó hiện nay đ−ợc sử dụng rộng rãi để mô tả mật độ trạng thái. Trong mẫu này, hạt nhân nh− một hệ đ−ợc đặc tr−ng bằng số proton Z và số nơtron N, năng l−ợng toàn phần E và hình chiếu mô men quỹ đạo M trên trục cố định. Chúng ta cũng giả thiết rằng phổ của trạng thái một hạt là phân bố đều và có mật độ gZ và gN đối với các thành phần proton và nơtron t−ơng ứng. Ngoài ra còn giả thiết là các phổ một hạt sẽ suy biến bậc hai theo dấu của hình chiếu của mômen một hạt mZ và mN , giá trị của chúng không phụ thuộc vào chỉ số ν. Có thể thấy rằng phổ một hạt nh− vậy là quá “nhân tạo” và sẽ “tự nhiên” hơn nếu giả thiết mZ = mN = 1/2 tức ệ số bổ sung do có m = 1/2 và chính sự phụ thuộc đặc tr−ng thống kê vào hình chiếu m t hạt m bị triệt tiêu. Chúng ta l−u ý là trong tr−ờng hợp đ−ợc bằng với mật độ mức một hạt ε εF F exp1 ε sinh ra một lỗ trống với ε > εF. là khảo sát phổ một hạt tách đôi theo spin. Tuy nhiên khi đó xuất hiện các h mômen góc ộ khảo sát, mật độ trạng thái một hạt gZ,N không g N,Z~ mà bằng g N,Z~ /2. 41 Trong mẫu này, hệ proton và nơtron độc lập - theo ý nghĩa là Hamilton c a hạt nhân (1.70) là tổng các Hamilton của nhóm proton v ron ∑= ZZ nmM và giao hoán với tức là hình chiếu mômen góc là tích phân chuyển động nên t−ơng tự với hệ quả của công thức (2.5) đối với ủ à nơt . Khi đó lôgarit tổng thống kê của hạt nhân bằng tổng các lôgarit của tổng thống kê của các nhóm nói trên. Bởi vì toán tử hình chiếu mômen góc của hệ M có dạng: ∧∧∧ ν ν ν ν ∑+ NN nm 0ν ν ∧ H lnQ của cả hệ thu đ−ợc: ( ) ( )[ ] ( )[ ]∑ =κ+α+βε−++ ∑ +κ+α+βε−+=κααβ ν νν ν νν 1 1 mexpln mexpln,,,Qln NNN ZZZNZ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫ εκ−α+βε−++∫ εκ+α+βε−++ +∫ εκ−α+βε−++∫ εκ+α+βε−+= ∞∞ 00 00 1 2 1 2 1 2 1 2 dmexpln g dmexpln g dmexplndmexpln NN N NN N ZZ Z ZZ (2.20) ∞∞ ggZ ở đây đã sử dụ có hình chiếu mômen một hạt mZ và mN có giá trị d−ơng và âm ra. Trong số các tích phân trong u tiên có thể biến đổi ở dạng: ng phép gần đúng liên tiếp, khi cộng theo ν đã tách các tổng (2.20) chúng ta hãy xét một ví dụ nh− tích phân đầ ( )[ ] ( ) ( ) ( + αZ ) ∫ εκ+α+βε−+ ∫ κ−α−βε++ +εβε∫ += βκ+ βκ+α ∞ 0 0 00 1 1 1 /m ZZ /m ZZ Z ZZ d)]mexp(ln[ )mexp(ln[ d)exlnI có: ∫ −κ+α=εκ+α+βε− βκ+α /m ZZZZ ZZ m(dmp +εd] (2.21) Khi tính tích phân trong (2.21), ta giả thiết rằng (α + kmZ) >> 1 tức là ta lại sử dụng gần đúng nhiệt độ thấp. Khi đó dễ dàng chứng tỏ rằng khi thay thế biến x = az + kmZ - βε và x = βε - αZ - kmZ , các tích phân thứ 2 và thứ 3 trong (2.21) đều bằng π2/(12β). Nh− vậy ta thu đ−ợc: I = (αZ + kmZ)2/(2β) + π2/(6β) (2.22) Các giá trị của các tích phân còn lại trong (2.20) với độ chính xác đến dấu của km trùng với (2.22). Với lnQ chúng ta 42 ( ) ( ) ( ) ( ) β+β+β+β==β+β+ 22264 NNZZNNN ở đây đ−a vào các biểu diễn: καααπκ−α +β κ+α+β π +κ 46 2222 2 2 2 2 2 mggg g mg mg g mgmg N NNN Z Z β +β= 44Qln ZZZZZ −ακ+α 2 (2.23) ( ).gmgm1m;ga;ggg 2Z222 +=π=+= (2.24) g6 NNZNZ Hệ ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa có dạng: 2 2222 mgggQln κααα 22 NN 2 ZZ 222 E β+β+β+β=β∂−= (2.25a) ;/g/QlnZ ZZZ βα=α∂∂= (2.25b) βα=α∂∂= /g/QlnN N (2.25c) NN ;/mg/QlnM βκ=κ∂∂= 2 (2.25d) Khi sử dụng các hệ thức đối với trạng thái cơ bản của hệ: 2 gg EgZ 2 NFN 2 ZFZ 0Z ε+ε=ε= 2 ;gN; FNNFZ ε= và hệ thức )mg/(MK 2β= mà nó đ−ợc suy ra từ (2.25g), không khó khăn gì chúng ta có thể thu đ−ợc ph−ơng trình trạng thái: ( ) 222 taamg2U =β= 2M− (2.26) E0 – năng l−ợng kích thích. Entở đây t = β-1 , U = E – rôpy của hệ có dạng: ( )[ ].mg2MUa2at2QlnMNZES 22NZ = −=+κ−α−α−β= (2.27) chúng ta đ−a vào biểu thức đối với đạo hàm bậc 2 của lnQ theo β, αZ, αN và K: 43 .0QlnQlnQln;mgQln a2mgggQln 22222 καα∂ ;gQln;gQln ;mgQln;gQln;gQln 2 NN N 2 2 ZZ Z 2 2 N 2 Z 2 β α=α∂β∂ ∂ β α−=α∂β∂ ∂ β=κ∂ ∂ β=∂ ∂ β=α∂ ∂ N 2 Z 2 NZ 2 2 222 2222 ;333 NN 3 ZZ =κ∂α∂ ∂=κ∂α∂ ∂=α∂α∂ ∂ β κ−=κ∂β∂ ∂ − β β++β+= Định thức ma trận của các đạo h 2 βββ∂ àm bậc 2 tính tại điểm yên ngựa là: ./maggg2D 62NZ β= th−ờng sử dụng gần đúng gZ = gN = g/2. Khi đó: ( )[( ) ( ) ( ) ] 2/mg26D 32π= (2.28) Thay (2.27) và (2.28) vào (1.102) đối với mật độ trạng thái ω( Z,N,E,M ) = = ω ( U, M) ta thu đ−ợc : /MUam62/ma 22 3262432 −π=β ( )[ ] ( )]( ) [ 232 22 MUmg212 mg2/MUa2exp M,U − ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ − =ω (2.29) 22 mg2/ Biểu thứ m thái ở dạng (2.29) không phụ thuộc vào Z hỉ thể hiện qua mật độ trạng thái một hạt tổng cộng g = gZ + gN và trung bình bình ph−ơng hình chiếu của mô men một hạt c đối với ật độ trạng và N, và mọi đặc tr−ng của hệ trong ω c 2m = (gZm2Z + gNm 2 N)/g. Kết quả nà bố đều và gần đúng nhiệt độ thấp t = β-1 << FZ FN hạt không phải là phân bố đều. Trong gần đúng liên tiếp, mật độ trạng thái của hạt phụ thuộc vào năng l−ợng và hình chiếu mô men một hạt g(ε,m), đối với ω(Z,N,E,M) có thể thu c thông số của hệ g và m2 đ−ợc xác định nh− y là do giả thiết về phổ một hạt phân ε , t <<ε . Trong hạt nhân nguyên tử, phổ các trạng thái một đ−ợc biểu thức (2.29) [3]. Khi đó cá sau: (2.30a)NZ ggg += ( ) gmgmgm 2NN2ZZ2 += (2.30b ở đây: ) 44 ∞− ττ dmm,F (2.31a ) ( )+∞ ττ ∫ ε= gg τ ( ) ττ+∞ ∞− ττττ ∫ ε= g/dmm,gmm F22 (2.31b) với τ = Z hoặc N. Nh− vậy mật độ trạng thái hạt nhân trong mẫu khí Fermi đ−ợc xác định bằng hai thông số : mật độ trạng thái một hạt g hoặc mật độ mức a = (π2/6)/g và trung bình của bình ph−ơng hình chiếu mô men một hạt 2m . Chúng ta sẽ tìm ra hiện trong gần đúng giả hạt khi giả thiết rằng hạt nhân bao gồm các ó spin liên quan năng l−ợng một hạt ε có dạng là [4]: mối liên hệ của các đại l−ợng này với số nucleon [24, 25]. Điều này không khó thực nucleon có khối l−ợng à chuyển động trong hố thế hình cầu có độ sâu vô hạn bán kính R = r0A1/3. Điều kiện l−ợng tử hoá đối với hạt không c tới số l−ợng tử chính n tức là số thứ tự của mức một hạt với mô men quỹ đạo l và ( )∫ ∫ +−εà==π⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + R r 2 2 2 min dr r 2/1l2drp1 2 1n hh ) ở đây rmin - giá trị bán kính trong đó xung l−ợng p tiến tới 0. Lấy tích phân trong (2.32) ta thu đ−ợc: (2.32 ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ àε +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−εàπ=+ R2 2/1larccos 2 1l 2 1lR21 2 1n 2 2 h h (2.33) Mật độ trạng thái một hạt sẽ là: ( ) ( ) 2 ε+=ε d/dnlgl,g 12 (2.34) với g(ε, l) ta thu S Thừa số đầu tiên trong (2.34) đ−ợc xác định bằng biểu diễn của spin và spin đồng vị. Để đơn giản ta giả thiết rằng hạt nhân bao gồm số hạt proton và nơtron bằng nhau : Z = N = A/2. Vì thế gs = 4. Thừa số thứ hai dn/dε là mật độ mức một hạt, thừa số (2l+1) tính đến sự suy biến theo mô men quỹ đạo của mỗi mức một hạt. Khi đạo hàm (2.33) theo ε và thay vào (2.34) đối đ−ợc: ( ) 2 22 R 22R 2 1g ⎠⎝−àε⎟⎠ ⎞ ⎝πε h (2 1l ⎟⎞⎜⎛ + l4l, ⎜⎛ +=ε .35) Chúng ta sẽ tìm ra đ−ợc mật độ trạng thái một hạt: 45 ( ) ( ) 23 2 2l 0 R2 3 4dll,gg max ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ à π ε=ε=ε ∫ h (2.36) Giới hạn trên lmax trong (2.36) đ−ợc chọn từ điều kiện là khi l = lmax thì xung l−ợng [ căn thức trong (2.35)] bằng 0. Số nucleon tổng cộng của hạt nhân trong trạng thái cơ bản bằng: ( ) 23 2 2 F 0 R2 9 8dgA F ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ àε π=εε= ∫ ε h (2.37) Từ đó, với năng l−ợng Fermi εF ta có: 32 2 2 F 8 A9 R2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ π à=ε h (2.38) Thay (2.38) vào (2.36), đối với mật độ trạng thái một hạt ở năng l−ợng Fermi (εF) ta thu đ−ợc: ( ) ( ) A3 r4g 2212 2 0 F hπ à=ε (2.39) và thông số a sẽ là: ( ) 5,13 AAr2 3 g 6 a 2 0 234 F 2 =à⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛π=επ= h (2.40) ở đây a đ−ợc biểu thị trong đơn vị MeV-1. Ta thu đ−ợc đánh giá mới nhất trong φm. Chúng ta đánh giá trung bình của bình ph−ơng hình chiếu của mô men một hạt (2.40) ở r0=1,2 ở năng l−ợng Fermi. Do tính đối xứng cầu của hố thế : 2m ( ) ( )∫ εε== maxãl 0 F 2 F 22 dll,gl g3 1l 3 1m (2.41) Thay (2.35) vào (2.41) và tích phân theo l ta thu đ−ợc ( ) 2TB3/52 2 0 F 2 Al 5 2gm hh ℑ=à=ε (2.42) ở đây ℑTB = (2/5)àr20A5/3 - mô men quán tính của vật rắn hình cầu có khối l−ợng m = àA và bán kính R = r0A1/3. Do vậy có thể coi đại l−ợng M2/2g 2m ) trong công thức (2.26) nh− năng l−ợng quay, và 2m g theo đánh giá bán cổ điển (2.42) trùng với mômen quán tính của vật rắn hình cầu. Từ (2.42) hoàn toàn có thể thu đ−ợc : 46 ( ) 323/2322 A31,