Giáo trình Nhóm và biểu diễn

huẩn tắc đều có một nhóm con mà cấp của | | nó bằng chỉ số của nhóm con Hall chuẩn tắc đó. Gọi P là một nhóm con Sylow của N. Theo lập luận Frattini (Định lí 2) ta có G = N (P )N. Suy ra N (P ) = N (P ) N E N (P ), và do đó G/N = N (P )N/N = G N G ∩ G G ∼ N P/N P N = N P/N P , theo định lí đẳng cấu thứ nhất. Do đó N (P ): G G ∩ G N | G N (P ) = n, và vì N (P ) chia hết N nên N (P ) là một nhóm con Hall chuẩn N | | N | | | N tắc của NG(P ). Nếu NG(P ) < G thì theo giả thiết quy nạp, NN (P ), và do đó G, có một nhóm con cấp n. Từ đó, ta giả sử NG(P ) = G, hoặc một cách tương đương là P E G. Giả sử P C G. Theo định lí tương ứng, N/P E G/P và G/P : N/P = G : | | | N = n. Vì N/P chia hết N và G/P G nên theo giả thiết quy nạp G/P có | | | | | | | ≤ | | một nhóm con cấp n, nhóm con này có dạng L/P , với P C L 6 G. Từ đó L N chia | ∩ | hết L = n P và N , lại do n và N là các nguyên tố cùng nhau nên L N 6 P . | | | | | | | | | ∩ | | | Nhưng P 6 L N, suy ra L N = P ; đặc biệt, L < G. Vì P và L/P = n nguyên ∩ ∩ | | | | tố cùng nhau nên theo giả thiết quy nạp L, và do đó G, có một nhóm con cấp n. Tiếp theo, ta giả sử N = P . Giả sử N không abel. Đặt Z = Z(N), theo Định lí 1, 1 < Z C N vì N là một p-nhóm, lại có tâm của một nhóm là một nhóm con đặc trưng nên từ Bài tập 2.4 ta suy ra Z C G. Theo định lí tương ứng, G/Z có một nhóm con chuẩn tắc N/Z chỉ số n. Từ đó theo giả thiết quy nạp, G/Z có một nhóm con cấp n dạng L/Z với Z C L 6 G. Lập luận như trong đoạn trên, ta có L N = Z, đặc biệt L < G. Vì ∩ Z và L/Z = n là nguyên tố cùng nhau nên theo phép quy nạp L, và do đó G, có | | | | một nhóm con cấp n. Bây giờ ta cần chứng minh rằng, nếu A là một nhóm con Hall chuẩn tắc abel của G thì A có một phần bù trong G. Trong nhóm abel A, chúng ta sẽ ký hiệu theo lối cộng, nhưng chúng ta vẫn giữ ký hiệu theo lối nhân khi coi A như một nhóm con của G. (Cách lựa chọn ký hiệu mới của chúng ta là do mối liên hệ tới những gì suy ra cùng với đối đồng điều của các nhóm; các mối liên hệ này sẽ được thảo luận sau phần chứng minh và trong các bài tập mở rộng.) Đặt H = G/A và lấy h H, ta xem h như là một lớp kề của A trong G. Nếu t ∈ và u là các phần tử của G cùng thuộc lớp kề h thì t−1u A (vì tA = uA = h), và ∈ do đó txt−1 = uxu−1 với mọi x A (vì A abel). Từ đó, với x A và h H, chúng ∈ ∈ ∈ 80 CHƯƠNG 3. CẤU TRÚC ĐỊA PHƯƠNG ta có thể định nghĩa hx A là txt−1, với mọi t H. Điều này cho ta một tác động ∈ ∈ của H lên A; hơn nữa, tác động này có tính chất theo cộng là h(x + y) =h x +h y với mọi x, y A, và h( x) = (hx) với mọi x A. (Chúng ta có thể giải thích điều ∈ − − ∈ này bằng một đồng cấu từ H đến Aut(A).) Với mỗi lớp kề h H, ta chọn một phần tử t h; điều này cho ta một tập ∈ h ∈ n-phần tử t h H , chính là một lớp ngang của A trong G. Vì t−1 A = h h1h2 −1 { | ∈−1 } −1 −1 −1 (th h A) = (h1h2) = h h , với mọi h1, h2 H, nên th th t A. Do đó 1 2 2 1 ∈ 1 2 h1h2 ∈ ta có thể sử dụng cách biểu diễn lớp kề để định nghĩa một hàm f : H H A × → bằng cách đặt f(h , h ) là phần tử trong A sao cho t = f(h , h )t . Ta có 1 2 h1th2 1 2 h1h2 th (th th ) = (th t )th với mọi h1, h2, h3 H, theo phép kết hợp trong G, ta có 1 2 3 1 h2 3 ∈ t (t t ) = t f(h , h )t = t f(h , h )t−1t t h1 h2 h3 h1 2 3 h2h3 h1 2 3 h1 h1 h2h3 h1 f(h2, h3)f(h1, h2h3)th1h2h3 , và (th1 th2 )th3 = f(h1, h2)th1h2 th3 = f(h1, h2)f(h1h2, h3)th1h2h3 . Như vậy hàm f thoả mãn đồng nhất đối chu trình h1 f(h2, h3) + f(h1, h2h3) = f(h1, h2) + f(h1h2, h3), với mọi h , h , h H. 1 2 3 ∈ Giả sử rằng một ánh xạ tập hợp c : H A thoả mãn → f(h , h ) = c(h h ) c(h ) h1 c(h ) 1 2 1 2 − 1 − 2 với mọi h , h H. Khi đó 1 2 ∈ h1 c(h1h2)th1h2 = c(h1) c(h2)f(h1h2)th1h2 = c(h )t c(h )t−1t t 1 h1 2 h1 h1 h2 = c(h1)th1 c(h2)th2 , với mọi h , h H. Nếu tồn tại ánh xạ c như vậy thì ánh xạ ϕ : H G xác định 1 2 ∈ → bởi ϕ(h) = c(h)th là một đơn cấu nhóm, và ảnh của nó là một nhóm con của G có cấp H = n. (Nếu 1 = h H thì t / A, và do đó c(h)t = 1, suy ra ker ϕ là tầm | | 6 ∈ h ∈ h 6 thường.) Do đó ta cần chứng minh tồn tại một hàm c như vậy. Ta định nghĩa một hàm e : H A bởi e(h) = f(h, k) với h H. Theo tính → k∈H ∈ P Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 3. ĐỊNH LÍ SCHUR-ZHASSENHAUS 81 đồng nhất đối chu trình, ta có nf(h1, h2) + e(h1h2) = (f(h1, h2) + f(h1h2, h3)) hX3∈H h1 = f(h2, h3) + f(h1, h2h3) hX3∈H   h1 = f(h2, k) + f(h1, k) ! kX∈H kX∈H h1 = e(h2) + e(h1), và do đó nf(h , h ) = e(h h ) + e(h ) +h1 e(h ) với mọi h , h H. Vì A là abel 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ∈ nên ánh xạ mà biến mọi phần tử của A thành luỹ thừa mũ n của nó là một toàn cấu của A, và vì n và A nguyên tố cùng nhau nên ánh xạ này là một tự đẳng cấu. | | Bởi vậy, với mỗi x A có duy nhất một nghịch ảnh đối với ánh xạ luỹ thừa mũ ∈ n, và ta kí hiệu là 1 x; nhận thấy rằng 1 x(x + y) = 1 x + 1 y với mọi x, y A, và n n n n ∈ 1 ( x) = 1 x với mọi x A. Bây giờ, ta định nghĩa c : H A bởi c(h) = 1 e(h) n − − n ∈ → − n với h H, và ta suy ra rằng ∈ 1 f(h , h ) = e(h )h ) + e(h ) +h1 e(h = c(h h ) c(h ) +h1 c(h ) 1 2 n − 1 2 1 2 1 2 − 1 2   với mọi h , h H, yêu cầu được chứng minh. 1 2 ∈ Bây giờ, chúng ta muốn áp dụng một số ý tưởng trong phần chứng minh của định lí Schur -Zhassenhaus vào một trường hợp tổng quát hơn. Giả sử H là một nhóm bất kì và A là một nhóm abel với phép toán được viết theo lối cộng. Giả sử ta có một tác động của H như là các tự đẳng cấu của A, hoặc tương đương là một đồng cấu từ H vào Aut(A). Một hàm f : H H A thỏa × → mãn đồng nhất đối chu trình như trong phần chứng minh trên được gọi là một 2- đối chu trình của cặp (H, A). Tập của tất cả các 2-đối chu trình của (H, A) được kí 2 hiệu là Z (H, A), và nếu chúng ta định nghĩa (f + g)(h1, h2) = f(h1, h2) + g(h1, h2) với f, g Z2(H, A) và h , h H thì Z2(H, A) trở thành một nhóm abel. Một ∈ 1 2 ∈ 2-đối chu kì đựơc gọi là một 2-đối biên nếu tồn tại một hàm c : H A thoả mãn → f(h , h ) = c(h ) + h c(h ) c(h h ) với mọi h , h H. Tập các 2-đối biên của 1 2 1 1 2 − 1 2 1 2 ∈ (H, A) được kí hiệu là B2(H, A) và là một nhóm con của Z2(H, A). Nhóm thương Z2(H, A)/B2(H, A) được gọi là nhóm đối đồng điều thứ hai của (H, A) và được kí hiệu là H2(H, A). (Thuật ngữ này xuất phát từ tôpô đại số. Chúng ta sẽ định nghĩa nhóm đối đồng điều thứ n của (H, A) với mọi n N trong các bài tập mở rộng của ∈ Phần 12.) Bây giờ, ta giả sử rằng A là một nhóm con Hall chuẩn tắc abel của một nhóm hữu 82 CHƯƠNG 3. CẤU TRÚC ĐỊA PHƯƠNG hạn G. Chúng ta đã chỉ ra trong phần chứng minh của định lí Schur-Zhassenhaus rằng, mọi 2-đối chu trình f của (G/A, A) đều là một 2-đối biên, hoặc tương đương H2(G/A, A) = 0. (Sự khác biệt về kí hiệu giữa định nghĩa của 2-đối biên đưa ra ở trên và những gì đã được đưa ra trong phần chứng minh là không liên quan.) Hơn nữa, ta đã chứng minh rằng điều này hàm ý sự tồn tại của một phần bù cho A trong G. Chúng ta cố gắng làm cho mối quan hệ giữa nhóm đối đồng điều thứ hai của (G/A, A) và sự tồn tại của các phần bù cho A trong G rõ ràng hơn trong các bài tập mở rộng dưới đây. Một phiên bản mạnh hơn của định lí Schur-Zhassenhaus khẳng định rằng nếu N là một nhóm con Hall chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn G thì không chỉ N có một phần bù trong G, mà tất cả các phần bù đó đều liên hợp với nhau trong G. Để chứng minh điều này, ta cần khái niệm về các nhóm giải được, mà sẽ được giới thiệu trong Phần 11; hãy xem [22, trang 246-8] để có chi tiết hơn. BÀI TẬP 1. Giả sử G là một nhóm hữu hạn thoả mãn G = N o H, trong đó H là abel. Hãy chứng minh, nếu N và H nguyên tố cùng nhau tương đối thì tất cả các | | | | phần bù của N trong G đều liên hợp. 2. Yêu cầu giống Bài tập 1 nhưng với giả thiết rằng H là luỹ linh chứ không phải là abel. BÀI TẬP MỞ RỘNG Các bài tập này là tiếp tục của các bài tập mở rộng cho Phần 2. Giả sử N và H là các nhóm. Một cặp nhân tử của N bởi H là một cặp (f, ϕ) của các ánh xạ tập hợp f : H H N và ϕ : H Aut(N) thoả mãn tính chất 1, 2 và 3 được liệt kê ở × → → trang 28. Gọi là tập các mở rộng của N bởi H và là tập các cặp nhân tử của E F N bởi H. Trong phần tiếp, ta luôn sử dụng "mở rộng" để chỉ một phần tử của và E "cặp nhân tử" để chỉ một phần tử của . F 3. Cho (f, g) là cặp nhân tử và định nghĩa (x, α) (y, β) = ((xϕ(α)(y)f(ϕ, β), αβ) · với (x, α), (y, β) N H. Hãy chứng minh rằng phép toán này mang lại một ∈ × cấu trúc nhóm trên N H; ta kí hiệu nhóm này là E . Hãy chứng minh × f,ϕ tiếp rằng (Ef,ϕ, i, π) là một mở rộng, trong đó i(x) = (x, 1) và π(x, α) = α, và (f, ϕ) là một cặp nhân tử xuất phát từ phần được chuẩn tắc hóa nào đó của Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 3. ĐỊNH LÍ SCHUR-ZHASSENHAUS 83 Ef,ϕ. (Chú ý rằng cấu trúc này là sự tổng quát hoá của khái niệm tích nửa trực tiếp ngoài.) Trong Bài tập 2.13, chúng ta thấy rằng một mở rộng cho một cặp nhân tử qua cách lựa chọn phần được chuẩn tắc hoá, và chúng ta chỉ vừa mới đưa ra một cấu trúc rõ ràng của một mở rộng từ một cặp nhân tử cho trước. Chúng ta xem các qua trình này như là một ánh xạ cho trước giữa và , bây giờ ta xét mối quan hệ giữa các E F ánh xạ này. Trước hết, ta xét mối quan hệ giữa các cặp nhân tử xuất phát từ các phần được chuẩn tắc hoá của cùng một mở rộng. 4. (tiếp) Giả sử t và u là các phần được chuẩn tắc hóa của một mở rộng E, và (f, ϕ), (g, ρ) là các cặp nhân tử xuất phát lần lượt từ t và u. Gọi c : H N → là một ánh xạ tập hợp thoả mãn u(α) = c(α)t(α) với mọi α H. Hãy chứng ∈ minh rằng các tính chất sau được thoả mãn: 4 ρ(α) = Ψ(c(α))ϕ(α) với α H, trong đó Ψ(c(α)) là tự đẳng cấu trong ∈ của N tương ứng với c(α). 5 g(α, β) = c(α)ϕ(α)(c(β))f(α, β)c(αβ−1 ) với α, β H. ∈ Các bài tập trên dẫn đến định nghĩa sau đây: Chúng ta nói rằng hai cặp nhân tử (f, ϕ) và (g, ρ) là tương đương nếu có một ánh xạ c : N H sao cho các tính chất → 4 và 5 trên được thoả mãn. (Hãy chứng minh rằng đây là một quan hệ tương đương trên .) Gọi ¯ là tập các lớp tương đương của các cặp nhân tử; ta sử dụng [f, ϕ] F F để kí hiệu cho lớp cặp nhân tử (f, ϕ). Ta có một ánh xạ được định nghĩa tốt từ E tới ¯ mà biến một mở rộng thành lớp các cặp nhân tử xuất phát từ một phần được F chuẩn tắc hoá bất kì. Bây giờ, ta cần xét những gì sẽ xảy ra khi ta chuyển từ ¯ F quay lại qua cấu trúc trong Bài tập 3. Ở đây ta sẽ cần nhắc lại định nghĩa chính E xác của một mở rộng. 5. (tiếp) Cho (f, ϕ) và (g, p) là các cặp nhân tử sao cho [f, ϕ] = [g, p]. Gọi i : N E và j : N E là các phép nhúng tự nhiên (của N thành → f,ϕ → g,p tập con của N H), và π : E H, τ : E H là các phép chiếu tự × f,ϕ → g,p → nhiên (của tập hợp N H lên H). Hãy chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu × ξ : E E thoả mãn ξ i = j và τ ξ = π. f,ϕ → g,p ◦ ◦ Từ bài tập trên, ta nói rằng hai mở rộng (E, i, π) và (F, j, τ) là tương đương nếu tồn tại một đẳng cấu ξ : E F thoả mãn ξ i = j và τ ξ = π. (Hãy chứng minh rằng → ◦ ◦ đây là một quan hệ tương đương trên .) Ta kí hiệu ¯ là tập các lớp tương đương E E của các mở rộng và [E] là lớp của một mở rộng E. Trong trường hợp này, Bài tập 84 CHƯƠNG 3. CẤU TRÚC ĐỊA PHƯƠNG 5 khẳng định rằng tồn tại một ánh xạ được định nghĩa tốt từ ¯ vào ¯, biến [f, ϕ] F E thành [Ef,ϕ]. Z 6. (tiếp) Nếu p là một nguyên tố lẻ, hãy chứng minh rằng p2 có thể được xác định theo p 1 cách không tương đương như là một mở rộng của Z bởi Z . − p p 7. (tiếp) Ta đã có được một ánh xạ từ tới ¯, biến một mở rộng E thành lớp E F cặp nhân tử xuất phát từ một phần được chuẩn tắc bất kì của E. Hãy chứng minh rằng ánh xạ này cảm sinh một ánh xạ từ ¯ vào ¯. E F 8. (tiếp) Hãy chứng minh rằng ánh xạ từ ¯ vào ¯ trong Bài tập 7 là ánh xạ E F ngược của ánh xạ từ ¯ vào ¯ biến [f, ϕ] thành [E ]. Hãy kết luận rằng, tồn F E f,ϕ tại một tương ứng song ánh giữa tập các lớp tương đương của các mở rộng và tập các lớp tương đương của các cặp nhân tử. Từ Bài tập 8 suy ra rằng, để nghiên cứu các mở rộng sai khác một quan hệ tương đương, ta cần nghiên cứu các lớp tương đương của các cặp nhân tử. Hai bài tập tiếp theo làm rõ một cách tương đối cho sự tương ứng này. 9. (tiếp) Cho η : Aut(N) Out(N) là ánh xạ tự nhiên. Hãy chứng minh rằng, → nếu (f, ϕ) và (g, ρ) là hai cặp nhân tử bất kì xuất phát từ một mở rộng E thì η ϕ = η ρ và ánh xạ từ H vào Out(N) (kí hiệu là ψ ) là một đồng cấu. Hãy ◦ ◦ E suy ra rằng, tồn tại một ánh xạ được định nghĩa tốt từ vào tập các đồng E cấu từ H vào Out(N), biến E thành ψE. 10. (tiếp) Cho ψ : H Out(N) là một đồng cấu. Hãy chứng minh rằng có một → tương ứng song ánh giữa tập các lớp [E] của ¯ với ψ = ψ và tập các lớp [f, ϕ] E E của ¯ với η ϕ = ψ, trong đó η : Aut(N) Out(N) là ánh xạ tự nhiên. F ◦ → Bây giờ ta xét trường hợp nhóm N là abel; chúng ta viết A thay cho N, và ta sẽ viết phép toán của A theo lối cộng. Chú ý rằng Out(N) = Aut(N). Ta cố định một đồng cấu ϕ : H Aut(N) và ta viết xa thay cho ϕ(x)(a) với x H và a A. → ∈ ∈ Chúng ta muốn nghiên cứu các lớp tương đương [E] của các mở rộng của N bởi H với ψE = ϕ; ta nói rằng các mở rộng như vậy giữ nguyên tác động của H lên A. Theo Bài tập 10, ta cần nghiên cứu các lớp tương đương [f, ϕ] của các cặp nhân tử của A bởi H. Bỏ ϕ trong kí hiệu, chúng ta nghiên cứu các hàm f : H H A thoả × → mãn f(x, 1) = f(1, x) = 0 với mọi x H đồng thời ∈ f(x, y) + f(xy, z) = xf(y, z) + f(x, yz) Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 3. ĐỊNH LÍ SCHUR-ZHASSENHAUS 85 với mọi x, y, z H, hai hàm f và g như thế là tương đương nếu tồn tại một ánh xạ ∈ c : H A sao cho c(1) = 0 và → g(x, y) = f(x, y) + c(x) + xc(y) c(xy) − với mọi x, y H. Như đã đề cập ở trên, tập H2(H, A) của các lớp tương đương của ∈ các hàm như thế tạo thành một nhóm abel và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ hai của (H, A). Bây giờ, từ Bài tập 10 ta suy ra rằng có một mối tương ứng song ánh giữa nhóm H2(H, A) và tập các lớp tương đương của các mở rộng của A bởi H mà giữ nguyên tác động của H lên A. Đặc biệt, nếu H2(H, A) = 0 thì mọi mở rộng của A bởi H đều là chẻ được. 11. (tiếp) Giả sử H và A đều là hữu hạn. Hãy chứng minh rằng cấp của mọi phần tử của H2(H, A) đều chia hết H và số mũ của A. (Điều này suy ra | | rằng H2(G/A, A) = 0) nếu A là một nhóm con Hall chuẩn tắc abel của một nhóm hữu hạn G, mà được nói đến trong phần chứng minh của định lí Schur- Zhassenhaus.) 4 Cấu trúc chuẩn tắc Vấn đề chính của chương này là xem xét một nhóm G qua việc nghiên cứu các chuỗi giảm các nhóm con của G mà trong đó, mỗi số hạng hoặc chuẩn tắc trong G hoặc ít nhất là chuẩn tắc trong số hạng đứng liền trước nó. Các chuỗi này cho phép ta xét ”cấu trúc chuẩn tăc” của các nhóm, một mảng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết nhóm. Trong Mục 10, chúng ta thảo luận về các chuỗi hợp thành và các chuỗi cơ bản, còn trong Mục 11, ta quan tâm đến các chuỗi dẫn xuất, chuỗi tâm và do đó dẫn đến khái các khái niệm về tính giải được và lũy linh. 10. Chuỗi hợp thành Ta nói rằng một chuỗi các nhóm con G = G > G > > G = 1 của một 0 1 ··· r nhóm G là một chuỗi hợp thành của G nếu Gi+1 /Gi với mọi i và nếu mỗi thương liên tiếp Gi/Gi+1 là đơn. Chuỗi hợp thành ở trên được gọi là có đô dài r. Các thương liên tiếp của một chuỗi hợp thành được gọi là các nhân tử hợp thành của chuỗi. Tổng quát hơn, một nhóm được gọi là một nhân tử hợp thành của G nếu nó đẳng cấu với một trong các nhân tử hợp thành trong một chuỗi hợp thành nào đó của G. Ví dụ, xét nhóm 5. Theo Định lý 7.4, 5 có một nhóm con chuẩn tắc A5 là nhóm đơn . Do 5 /AP5 ∼= Z2 cũng đơn nênP ta có 5 > A5 > 1 là một chuỗi hợp thành của 5. ThựcP tế, đây là chuỗi hợp thành duyP nhất của 5 vì trong chứng minh của ĐịnhP lý 7.5 đã chỉ ra rằng 5 chỉ có đúng một nhómP con chuẩn tắc thực sự không tầm thường là A5. P Chúng ta nói rằng N là một nhóm con chuẩn tắc cực đại của một nhóm G nếu N/G và nếu không có nhóm con chuẩn tắc thực sự của G chứa thực sự N. Mọi nhóm hữu hạn không tầm thường đều có các nhóm con chuẩn tắc cực đại. Theo định lý về sự tương ứng, N là một nhóm con chuẩn tắc cực đại của G khi và chỉ khi G/N đơn. Một nhóm con cực đại đồng thời chuẩn tắc rõ ràng là một nhóm con chuẩn tắc cực đại (và phải có chỉ số nguyên tố), nhưng một nhóm con chuẩn tắc cực đại có thể không phải là một nhóm con cực đại, vì nó có thể được chứa thực sự trong một nhóm con thực sự mà không chuẩn tắc. Ví dụ, nhóm A Z có 1 Z 5 × 2 × 2 là một nhóm con chuẩn tắc cực đại nhưng không phải là nhóm con cực đại. Mệnh đề 1. Mọi nhóm hữu hạn đều có chuỗi hợp thành. Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn. Ta chứng minh qui nạp theo G . Nếu | | G đơn thì G > 1 là một chuỗi hợp thành của G. Ngược lại, G có một nhóm con chuẩn 10. CHUỖI HỢP THÀNH 87 tắc cực đại G , và theo qui nạp, G có một chuỗi hợp thành G > G > > G = 1. 1 1 1 2 ··· r Do G/G đơn nên G = G > G > > G = 1 là một chuỗi hợp thành của G. 1 0 1 ··· r Các nhóm vô hạn có thể không có chuỗi hợp thành. Ví dụ, theo Định lý 1.5 ta thấy rằng mọi nhóm con không tầm thường của nhóm xyclic vô hạn Z đều đẳng cấu với Z. Vì Z không là nhóm đơn nên Z không có nhóm con đơn nào. Mặt khác số hạng không tầm thường cuối cùng của một chuỗi phải là một nhóm con đơn của Z nên ta không thể xây dựng được một chuỗi hợp thành của Z. Bổ đề 2. Giả sử G là một nhóm có một chuỗi hợp thành và N E G. Khi đó N có một chuỗi hợp thành. Chứng minh. Giả sử G = G > G > > G = 1 là một chuỗi hợp thành của 0 1 ··· r G. Đặt N = N G với mỗi i. Khi đó, ta có một chuỗi hợp thành N = N > i ∩ i 0 N > > N = 1 các nhóm con của N. Cố định một i. Theo định lý đẳng 1 ··· r cấu thứ nhất, ta dễ thấy N E N và từ N G = (N G ) G , ta có i+1 i ∩ i+1 ∩ i ∩ i+1 N /N = N G /N G = (N G )G /G . Giả sử η : G G /G là ánh i i+1 ∩ i ∩ i+1 ∼ ∩ i i+1 i+1 i → i i+1 xạ tự nhiên. Khi đó, (N G )G /G = η(N G ) E η(G ) = G /G , và suy ∩ i i+1 i+1 ∩ i i i i+1 ra Ni/Ni+1 đẳng cấu với một nhóm con chuẩn tắc của nhóm đơn Gi/Gi+1. Do đó, hoặc Ni = Ni+1 hoặc Ni/Ni+1 ∼= Gi/Gi+1 là đơn. Như vậy ta nhận được một chuỗi hợp thành của N bằng cách xóa đi từ chuỗi N = N > N > > N = 1 mọi sự 0 1 ··· r lặp lại có thể xẩy ra. Giả sử G = G > G > > G = 1 là một chuỗi hợp thành và giả sử G = 0 1 ··· r H > H > > H = 1 là một chuỗi hợp thành khác có cùng độ dài r. Ta nói rằng 0 1 ··· r các chuỗi này là tương đương nếu tồn tại ρ r sao cho Gi−1/Gi ∼= Hρ(i)−1/Hρ(i), ∈ 2 3 với mọi i. Ví dụ, cho G =∼= Z6, đặt PG1 =, H1 = và xét hai chuỗi hợp thành G > G1 > 1, G > H1 > 1. Các chuỗi này tương đương vì G/G = H /1 = Z và G /1 = G/H = Z (Ở đây, ta đặt ρ = (12) ). 1 ∼ 1 ∼ 2 1 ∼ 1 ∼ 3 ∈ 2 Kết quả tiếp theo của chúng ta khẳng định rằng một nhóm có nhiềuP nhất một chuỗi hợp thành, sai khác một phép tương đương. Hệ quả là môt nhóm có một chuỗi hợp thành sẽ có tập hợp các nhân tử hợp thành được định nghĩa tốt và việc hiểu các nhân tử này cho chúng ta một cái sườn để tăng thêm các thông tin về nhóm. Do các nhân tử hợp thành là các nhóm đơn nên trong việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn chúng ta muốn có những hiểu biết về các nhóm đơn hữu hạn. Việc phân loại tất cả các nhóm đơn hữu hạn đã được hoàn thành vào 1980 sau hai thập kỷ tập trung nghiên cứu bởi một số nhà toán học xuất sắc và nó được xem như một trong những viên ngọc lớn của toán học thế kỷ 20. 88 CHƯƠNG 4. CẤU TRÚC CHUẨN TẮC Định lý Jordan-Holder.¨ Giả sử G là một nhóm có chuỗi hợp thành. Khi đó hai chuỗi hợp thành bất kỳ của G có độ dài bằng nhau và tương đương với nhau. Chứng minh. Giả sử G = G > G > > G = 1 và G = H > H > > H = 1 0 1 ··· r 0 1 ··· s là hai chuỗi hợp thành của G. Ta chứng minh qui nạp theo r là độ dài của một trong các chuỗi hợp thành. Nếu r = 1 thì G là đơn và rõ ràng trong trường hợp này G > 1 là chuỗi hợp thành duy nhất của G. Bây giờ giả sử r > 1 và giả sử rằng kết quả đúng cho mọi nhóm có chuỗi hợp thành với độ dài nhỏ hơn r. Nếu G1 = H1 thì G1 có hai chuỗi hợp thành có độ dài tương ứng là r 1 và s 1 và theo giả thiết qui − − nạp ta có r = s. Do đó hai chuỗi hợp thành của G tương đương. Bây giờ giả sử G = H . Do G E G và H E G và theo Mệnh đề 1.7, ta có 1 6 1 1 1 G1H1 E G. Nhưng G/G1 đơn nên không thể có G1 E H1. Do đó ta phải có H1 < G H . Từ G/H đơn suy ra G H = G. Đặt K = G H E G. Theo định lý đẳng 1 1 1 1 1 1 ∩ 1 cấu thứ nhất, ta có G/G1 ∼= H1/K và G/H1 ∼= G1/K. (Nói riêng, G1/K và H1/K là đơn). Theo Bổ đề 2, ta có một chuỗi hợp thành K = K > K > > K = 1 0 1 ··· t của K. Như vậy, ta có hai chuỗi hợp thành G > G > > G = 1 và G > K > K > 1 2 ··· r 1 1 K > > K = 1 của G . Các chuỗi này có độ dài lần lượt là r 1 và t + 1. Bởi giả 2 ··· t 1 − thiết qui nạp, ta có t = r 2 và các chuỗi đó là tương đương. Tương tự, bây giờ ta có − hai chuỗi hợp thành H > H > > H = 1 và H > K > K > K > K = 1 1 2 ··· s 1 1 2 ··· r−2 của H . Các chuỗi này có độ dài tương ứng là s 1 và r 1. Bởi giả thiết qui nạp, 1 − − ta có r = s và các chuỗi này tương đương. Cuối cùng, bởi tính đẳng cấu được suy ra trong đoạn trước, các chuỗi G = G > G > K > > K = 1 và 0 1 ··· r−2 G = H > H > K > > K = 1 tương đương với nhau. Vậy hai chuỗi hợp 0 1 ··· r−2 thành ban đầu của G là tương đương. Các chuỗi hợp thành là một trong những kiểu chuỗi các nhóm con đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm. Vì vậy, bây giờ chúng ta muốn giới thiệu một vài thuật ngữ tổng quát. Một chuỗi các nhóm con G = G > G > > G = 1 của 0 1 ··· r một nhóm G được gọi là một chuỗi dưới chuẩn tắc của G nếu Gi+1 E Gi với mọi i, và một chuỗi dưới chuẩn tắc được gọi là chuỗi chuẩn tắc nếu Gi+1 E G với mọi i. (Một số tác giả sử dụng thuật ngữ “ chuỗi chuẩn tắc” cho một chuỗi mà ta gọi là chuỗi dưới chuẩn tắc và “ chuỗi bất biến” cho chuỗi mà ta gọi là chuỗi chuẩn tắc). Chuỗi hợp thành là ví dụ về chuỗi dưới chuẩn tắc, nhưng chuỗi dưới chuẩn tắc có thể có các thương liên tiếp tầm thường hoặc không tầm thường nhưng không đơn. Hai chuỗi dưới chuẩn tắc cùng độ dài được gọi là tương đương nếu chúng thỏa mãn điều kiện như đã nêu trong định nghĩa về sự tương đương của các chuỗi hợp thành. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà 10. CHUỖI HỢP THÀNH 89 Mọi chuỗi dưới chuẩn tắc nhận được từ một chuỗi dưới chuẩn tắc cho trước bởi sự xen thêm vào giữa các số hạng được gọi là một sự làm mịn chuỗi dưới chuẩn tắc cho trước. Một sự làm mịn như vậy được gọi là thực sự nếu ít nhất một trong các số hạng được xen thêm là không có mặt trong chuỗi. Với thuật ngữ này, một chuỗi hợp thành là một chuỗi dưới chuẩn tắc mà không có số hạng lặp lại và không tồn tại một sự làm mịn thực sự. Một chuỗi cơ bản của G là một chuỗi chuẩn tắc của G không có số hạng lặp lại và cộng thêm tính chất không có nhóm con chuẩn tắc nào của G được chứa trong thực sự giữa hai số hạng bất kì của chuỗi. Chú ý tương tự: Một chuỗi hợp thành là một chuỗi dưới chuẩn tắc không có chuỗi dưới chuẩn tắc mà được xem như một sự làm mịn thực sự, và một chuỗi cơ bản là một chuỗi chuẩn tắc không có chuỗi chuẩn tắc mà được xem như một sự làm mịn thực sự. Các nhân tử cơ bản của một chuỗi cơ bản là các thương liên tiếp, trong khi một nhóm được gọi là một nhân tử cơ bản của G nếu nó đẳng cấu với một nhân tử cơ bản của một chuỗi cơ bản nào đó của G. Định lý Jordan-H¨older đúng cho cả các chuỗi cơ bản, tức là hai chuỗi cơ bản của một nhóm có độ dài bằng nhau và tương đương. Việc chứng minh giống hệt như chứng minh được đưa ra cho trường hợp các chuỗi hợp thành. Cả hai kết quả này là các trường hợp đặc biệt của một kết quả tổng quát hơn, định lý Jordan-H¨older cho các nhóm toán tử, một vấn đề sẽ không được đề cập ở đây. (Xem [26, Mục 2.3]). Ta nói rằng N là một nhóm con chuẩn tắc cực tiểu của một nhóm G nếu 1 = 6 N E G và nếu không tồn tại nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G mà được chứa thực sự trong N. Mọi nhóm hữu hạn không tầm thường đều có nhóm con chuẩn tắc cực tiểu và nhóm đơn có duy nhất nhóm con chuẩn tắc cực tiểu chính là bản thân nó. Mệnh đề 3. Tất cả các nhóm hữu hạn đều có chuỗi cơ bản. Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn. Ta sẽ chứng minh qui nạp theo G . | | Nếu G đơn thì G > 1 là một chuỗi cơ bản của G. Ngược lại, G có một nhóm con chuẩn tắc cực tiểu thực sự N. Bởi sự qui nạp và theo định lý tương ứng, G/N có một chuỗi cơ bản G/N = G /N > G /N > > G /N = 1, ở đó, với mỗi i, G E G 0 1 ··· r i và không có nhóm con chuẩn tắc thực sự của G nằm giữa Gi−1 và Gi. Bây giờ, do N là một nhóm con cực tiểu, ta thấy rằng G = G > G > > G = N > 1 là 0 1 ··· r một chuỗi cơ bản của G. Từ định nghĩa, các nhân tử hợp thành của một nhóm hữu hạn G là các nhóm đơn. Ta sẽ kết thúc mục này bởi sự xác đ