Giáo trình Phương pháp phần tử hữu hạn - Lê Minh Quý

trục Ox. ⇒ Đặt cos & s sinc θ θ= = . Ta có: * * 1 1 2 2 3 4c s ; c e e e eq q q q q q= + = + s ⇒ { } 1 * * 1 2 * 2 3 4 0 0 0 0 e e e e q c sq q q c sq q q ⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 -3.3- Đặt [ ] ⇒ {0 00 0c sT c s⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ } [ ]{ }* eq T q= ⇒ Quan hệ biến dạng & chuyển vị nút: ( ) ( ) ( ) ( )* *2 1 3 4 1 2 3 1 4 21 1s se e e e e e e e e e e q q q c q q c q q q c q q s L L L ε − ⎡ ⎤ ⎡= = + − + = − + − ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⇒ Quan hệ ứng suất & chuyển vị nút: ( ) ( )3 1 4 2e e e e e EE q q c q q s L σ ε ⎡ ⎤= = − + −⎣ ⎦ 3.2 Ma trận độ cứng phần tử ⇒ Ma trận độ cứng phần tử trong hệ toạ độ O*x*: * 1 1 1 1 e e e A Ek L −⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ ⇒ Gọi thứ tự là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của phần tử trong hệ toạ độ O*x* & Oxy. { } {* & eqδ }qδ { } [ ]{ }* eq T qδ δ= ⇒ Năng lượng biến dạng của phần tử trong di chuyển khả dĩ: { } { } { } [ ] [ ]{ }* * * *int T T Te eW q k q q T k T qδ δ δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ e T ⇒ : ma trận độ cứng của phần tử trong hệ Oxy. ek⎡ ⎤⎣ ⎦ ⇒ [ ] [ ]*Tek T k⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ e e e e c cs c c cs s cs sA Ek L c cs c cs cs s cs s s Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 -3.4- Ví dụ 3.1 x y P Hình 3.3 Tính chuyển vị của hệ thanh phẳng gồm hai thanh ⇒ Cho hệ thanh phẳng gồm hai thanh có kết cấu & chịu lực như hình 3.3. Các thanh có tiết diện A và mô đun đàn hồi E, chiều dài L1 & L2. Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu & chọn hàm nội suy ⇒ Chia kết cấu thành 2 phần tử (mỗi thanh là một phần tử) được đánh số nút và số phần tử như hình 3.3. ⇒ Mỗi phần tử có 4 bậc tự do trong hệ toạ độ Oxy, véc tơ chuyển vị nút của phần tử là { } 1 2 3 4 Te e e e eq q q q q⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⇒ Số bậc tự do của cả hệ là 6, véc tơ chuyển vị nút của cả hệ là: { } [ ]1 2 3 4 5 6 TQ Q Q Q Q Q Q= ⇒ Đã biết , tìm Q1 2 5 6 0Q Q Q Q= = = = 3 & Q4. 1 1 2 2 3 L2, A, E L1=L, A, E 2 2 3 3 L L= Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 -3.5- Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử ⇒ Phần tử 1: 00 cos 1 ; sinc sθ θ 0θ= ⇒ = = = = 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ AEk L ⇒ Phần tử 2: 0150 cos 3 2 ; s sin 1 2cθ θ= ⇒ = = − = =θ 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 3 8 8 8 84 4 4 4 3 3 33 1 3 1 8 8 8 84 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 8 8 8 8 3 1 3 1 3 3 3 4 4 4 4 8 8 8 8 AE AEk L L 3 3 ⎡ ⎤⎡ ⎤ − −− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − −− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Bước 3: Ghép phần tử & tính ma trận độ cứng của kết cấu [K] [ ] 11 12 13 14 15 16 22 23 24 25 26 33 34 35 36 44 45 46 55 56 66 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Sym K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Bảng ghép nối phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 1 1 1 1 11 11 12 12 13 13 14 14 15 16 1 1 1 22 22 23 23 24 24 25 26 1 2 1 2 2 2 33 33 11 34 34 12 35 13 36 14 1 2 2 2 44 44 22 45 23 46 24 2 2 55 33 56 34 2 66 44 ; ; ; 0; ; ; ; 0; ; ; ; ; ; ; ; ; K k K k K k K k K K K k K k K k K K K k k K k k K k K k K k k K k K k K k K k K k = = = = = = = = = = = = + = + = = = + = = = = = 0; 0; ; ; Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 3 -3.6- Bước 4: Quy đổi ngoại lực về nút ⇒ R1 & R2 thứ tự là phản lực theo phương Ox & Oy tại nút 1. ⇒ Tại nút 2 ngoại lực tác dụng theo phương Ox bằng 0, theo phương Oy là –P. ⇒ R5 & R6 thứ tự là phản lực theo phương Ox & Oy tại nút 3. ⇒ Véc tơ lực nút của hệ là: { } [ ]1 2 5 60 TF R R P R R= − Bước 5: Hệ phương trình PTHH 1 2 3 4 5 6 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 3 3 3 3 31 0 1 08 8 8 8 03 3 3 30 0 8 8 8 8 03 3 3 3 3 30 0 08 8 8 8 3 3 3 30 0 8 8 8 8 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪− + − − ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎢ ⎥ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ R R QEA PQL R R Bước 6: Áp dụng điều kiện biên 1 2 5 6 0Q Q Q Q= = = = . ⇒ Loại bỏ dòng 1, 2, 5,và 6 và cột 1, 2, 5,và 6 của hệ trên ta có hệ 2 phương trình 2 ẩn số. 3 4 3 3 31 08 8 3 3 8 8 QEA Q PL ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭−⎢ ⎥⎣ ⎦ Kết Quả ⇒ Chuyển vị: 3 4 83 ; 3 33 PL PLQ Q EA E ⎛ ⎞= − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ A ⇒ Phản lực liên kết tại các gối tựa: 1 2 53 ; 0 ; 3 ; 6R P R R P R= = = − P= ⇒ Lời giải theo phương pháp PTHH trùng với lời giải chính xác của Sức Bền Vật Liệu. Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.1- Chương 4 PTHH Trong Bài Toán Dầm 4.1 Rời rạc hoá kết cấu & chọn hàm nội suy 1 2 3 4Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Pf ξ ξ1= -1 ξ2=1 21 x1 x2e 1 2 c) d) e) 2 ef 4 ef 1 ef 3 ef x1 x2 1 2 1 eq 4 eq2 eq 3 eq e x y z 1 2 3 a) b) Hình 4.1 a) Kết cấu dầm; b) Mô hình PTHH; c) Biểu diễn lực nút của phần tử; d) Biểu diễn chuyển vị nút của phần tử; e)Phần tử quy chiếu ⇒ Chỉ xét dầm có mặt cắt ngang đối xứng với mặt phẳng tải trọng. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. ⇒ Chia dầm thành các phần tử, mỗi phần tử có 2 nút gồm 4 bậc tự do, dùng phần tử quy chiếu 2 nút như trên hình 4.1. ⇒ Toạ độ x tại một điểm được biểu diễn bởi các toạ độ x1 tại nút 1 và x2 tại nút 2 và các hàm dạng ( ) ( )1 &N N 2ξ ξ như sau: ( ) ( )1 21 2x N x Nξ= + xξ với ( ) ( )1 21 1;2 2 ξ ξξ ξ− += =N N ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của phần tử là { } 1 2 3 4 Te e e e eq q q q q⎡ ⎤= ⎣ ⎦ • 1 1 2 1&eq u qe ϕ= = thứ tự là độ võng của trục dầm và góc xoay của mặt cắt ngang của dầm tại nút 1. • 3 2 4 2&e eq u q ϕ= = thứ tự là độ võng của trục dầm và góc xoay của mặt cắt ngang của dầm tại nút 2. ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử là: { } 1 2 3 4 Te e e e ef f f f f⎡ ⎤= ⎣ ⎦ • 1 &e 3ef f thứ tự là lực nút theo phương Oy tại nút 1 và nút 2. • 2 &e 4ef f thứ tự là mô men đối với trục Oz tại nút 1 và nút 2. Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.2- F2i-1 e 1 2 a) b) 2 eq 4 eq 1 eq 3 eq 1 2 1 ef 4 ef2 ef 3 ef e e i j i j e F2i F2j-1 F2j Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j x y z x y z Hình 4.2 Lực nút và chuyển vị nút biểu diễn trong: a) hệ địa phương của phần tử và b) hệ tổng thể của kết cấu ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của cả kết cấu: { } [ ]1 2 ... TmQ Q Q Q= ⇒ Trong hệ tổng thể, chuyển vị tại nút i gồm: • là độ võng của trục dầm; 2 1iQ − • là góc xoay của mặt cắt ngang của dầm. 2iQ ⇒ Véc tơ lực nút của cả kết cấu: { } [ ]1 2 ... TmF F F F= ⇒ Trong hệ tổng thể, lực nút tại nút i gồm: • là lực tác dụng theo phương Oy. 2 1iF − • là mô men đối với trục Oz. 2iF ⇒ m là tổng số chuyển vị nút của kết cấu. (số bậc tự do của kết cấu). Số phần tử là m/2-1; số nút m/2. ⇒ Độ võng của trục dầm được xác định từ các chuyển vị nút & hàm nội suy ( )iN ξ như sau: ( ) 41 1 2 1 3 2 4 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 ξ ϕ ϕ = = + + + = + + + = ∑e e e e i i i v N v N N v N N q N q N q N q N qe Đặt [ ] [ ]1 2 3 4N N N N N= {[ ]( ) }ξ = ev N q ⇒ Dưới dạng ma trận: ⇒ Từ đó xác định được góc xoay của mặt cắt ngang của dầm: Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.3- ( ) 4 1 2ξϕ ξ ξ ξ== = = ∑ e iiie dNdv dv d q dx d dx L d ⇒ Độ võng tại nút 1 (ξ1=-1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3 2 41 1 1 1 1v v N v N N v N 2ϕ ϕ= − = − + − + − + − ⇒ ( ) ( ) ( ) (1 2 3 41 1; 1 0; 1 0; 1N N N N− = − = − = − =) 0; ⇒ Tương tự đối với góc xoay tại nút 1 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '1 1 1 1 2 2 3 221 1 1 1 e v N N v N N L ϕ ϕ ϕ ϕ 4 1⎡ ⎤= − = − + − + − + −⎣ ⎦ ⇒ ( ) ( ) ( ) (' ' ' '1 2 3 41 0; 1 2; 1 0; 1 0eN N L N N− = − = − = − =) ; ⇒ Tổ hợp điều kiện về độ võng và góc xoay tại các nút ta có các điều kiện sau đối với các hàm nội suy ( )iN ξ 1N '1N 2N ' 2N 3N ' 3N 4N ' 4N ξ1=−1 1 0 0 Le/2 0 0 0 0 ξ2=1 0 0 0 0 1 0 0 Le/2 ⇒ Với mỗi hàm nội suy ( )iN ξ có 4 phương trình để xác định các hệ số của nó, do đó ta tìm ( )iN ξ dưới dạng đa thức bậc 3 như sau: 2 3ξ ξ ξ= + + +i i i i iN a b c d ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 1 2 2e e 2 2 3 3 2 2e e 4 1 1N 1 2 2 3 4 4 L LN 1 1 1 8 8 1 1N 1 2 2 3 4 4 L LN 1 1 1 8 8 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 3 3ξ ξ ξ ξ = − + = − + = − − = − − + = + − = + − = − + + = − − + + ξ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.4- 4.2 Ma trận độ cứng của phần tử 4.2.1 Biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút x y z x Mz e 1 2 2 ef 4 ef 1 ef 3 ef Qy A A A-A x1 x2 Hình 4.3 Mặt cắt ngang của dầm trong hệ Oxyz và các thành phần nội lực ⇒ Theo Sức Bền Vật Liệu: 2 2&z zxx M Md vyJ dx EJσ = − = ⇒ 2 2 ϕσ = − = −xx d v dyE yEdx dx mà ( ) 4 1 2ξϕ ξ ξ ξ== = = ∑ e iiie dNdv dv d q dx d dx L d ⇒ 24 2 2 1 4 e i i ie d Nd d d yE q dx d dx L d ϕ ϕ ξ ξ ξ== = − ∑ Do đó 24 2 2 1 4 e i xx i ie d NyE q L d σ ξ== − ∑ Ký hiệu: 22 2 2 '' 31 2 2 2 2 d Nd N d N d NN d d d dξ ξ ξ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 2ξ ( ) ( )'' 1 3 3 1 3 3 2 2 2 e eL LN ξ ξ ξ ξ⎡ ⎤⎡ ⎤ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1+ ⇒ { } { } { }''24 exx e Ey N q L σ σ ⎡ ⎤= = − ⎣ ⎦ 4.2.2 Biểu diễn biến dạng qua chuyển vị nút { } { } { } { }''21 4 exx xx e y N q E L ε ε σ ⎡ ⎤= = = − ⎣ ⎦ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.5- 4.2.3 Biểu thức ma trận độ cứng phần tử ⇒ Gọi { }eqδ là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của phần tử. { } 1 2 3 Te e e e eq q q q qδ δ δ δ δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦4 V ⇒ Năng lượng biến dạng của phần tử trong di chuyển khả dĩ: { } { }int e Te V W dδ δε σ= ∫ mà { } { } ''24 T TT e e y q N L δε δ ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ ⇒ { } { } { } { }2 '' '' 2 '' ''int 4 416 16 e e T TT Te e e e e eV V E EW y q N N q dV q y N N dV q L L δ δ δ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ e ⇒ 2 '' ''416 e Te e V Ek y N N L ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ dV là ma trận độ cứng của phần tử. 2 eA J y dA= ∫ là mô men diện tích của tiết diện ngang của dầm đối với trục Oz. và 2 eLdx dξ= ⇒ 2 1 1 2 '' '' '' '' 4 3 1 16 8 e x T Te e eA x E EJk y dA N N dx N N d L L ξ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 21 2 2 3 39 93 1 3 1 4 8 4 8 31 3 3 1 9 1 8 4 8 16 39 3 1 4 8 3 1 16 e e e e e e ee e L L L L L EJk d LL LSym ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − ⎡ ⎤− − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ξ ⇒ 2 2 3 2 2 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 6 4 e e e e e ee e ee e e e e L L L L L LEJk L LL L L L L −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.6- 4.3 Quy đổi ngoại lực về lực nút ⇒ Giải phóng liên kết của kết cấu (như ngàm, gối tựa...), và coi lực liên kết như ngoại lực tác dụng. ⇒ Để quy đổi ngoại lực về lực nút ta cần tính công của ngoại lực trong di chuyển khả dĩ. 4.3.1 Quy đổi lực và mô men tập trung ⇒ Khi chia phần tử, chọn điểm đặt lực hoặc mômen tập trung làm nút. ⇒ Nút thứ i của kết cấu có lực tập trung P2i-1 (tương ứng với độ võng Q2i-1) và mô men tập trung M2i (tương ứng với góc xoay Q2i). ⇒ { }Qδ là véc tơ chuyển vị nút khả dĩ của kết cấu: { } [ ]1 2 m ⇒ Công của ngoại lực & momen tập trung trong di chuyển khả dĩ: ... TQ Q Q Qδ δ δ δ= m TP ex i iW Q P Q Pδ δ δ= =∑ { } { }t 1i= ⇒ Với {P} là véc tơ lực nút chứa tất cả các thành phần ngoại lực tập trung & momen tập trung tác dụng lên các nút của kết cấu: { } [ ]1 2 ... TmP P P P= ⇒ Khi thực hành tính toán, tại nút có lực hoặc mô men tập trung, ta cộng thêm giá trị của lực hoặc giá trị của mô men tập trung vào thành phần véc tơ lực nút tổng thể tương ứng với nút đó. .3.2 Quy đổi lực phân bố 4 ⇒ Phần tử dầm chịu lực phân bố đều có cường độ f . Công của lực phân bố trong di chuyển khả dĩ là: 2 1 1 1 t 1 1 . . . . 2 2 δ δ δ ξ δ ξ − − = = =∫ ∫ ∫ x ef e e ex x L L fW f v dx f v d vd [ mà { }]= ev N q ⇒ { } [ ]δ δ= T Tev q N Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.7- ⇒ { } [ ] { } [ ]1 1t 1 12 2 δ δ ξ − − ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ T TT Tef e ee e ex L f L fW q N d q N ξd ⇒ Véc tơ lực nút { }ef của phần tử do lực phân bố gây ra: { } [ ]1 2 2 12 2 12 2 T Te e e e efL fL fL fL fLf N dξ − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠∫ 12e− Hình 4.4 Quy đổi lực phân bố về lực nút f Le fLe/2 fLe/22 12 efLx y z 2 12 efL 4.4 Tính nội lực x y z e 1 2 2 eq 4 eq 1 eq 3 eqA A x1 x2 1 Mz 1 ef A A x1 2 ef Qy ξξ1= -1 ξ2=1 21 b) ξξ1= -1 a) 1 Hình 4.5 Mặt cắt ngang của dầm để tính nội lực trong: a) phần tử thực và b) phần tử quy chiếu ⇒ Tính mô men uốn: ( ) ( )2 e e ez 1 e 2 32 2 e d v EJM EJ 6 q 3 1 L q 6 q 3 1 L q dx L ξ ξ ξ ξ⎡ ⎤= = + − − + +⎣ ⎦ee 4 ⇒ Tính lực cắt: e e e e y 1 e 23 e dM 6EJQ 2q L q 2q L q dx L ⎡ ⎤= − = − − + −⎣ ⎦3 e 4 Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.8- 4.5 Ví dụ 4.5.1 Ví dụ 4.1 a) b) P L L A B C 1 2 1 2 3Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 EJ Hình 4.6 Dầm chịu lực tập trung: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH Cho dầm có kết cấu & chịu lực như hình 4.6. Tính độ võng tại giữa dầm và góc xoay của mặt cắt ngang tại vị trí gối tựa. Lời giải: Chia dầm thành 2 phần tử như hình 4.6. ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử 1 & 2 là: 2 2 1 2 3 2 2 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 6 4 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦ L L L L L LEJk k L LL L L L L ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của kết cấu là: { } [ ]T1 2 3 4 5 6Q Q Q Q Q Q Q= ⇒ Gọi R1 & R5 thứ tự là phản lực gối tựa tại nút 1 & nút 3. Véc tơ lực nút của kết cấu là: { } [ ]T1 5F R 0 P 0 R 0= − ⇒ Hệ phương trình của cả kết cấu: 11 12 13 14 15 16 1 1 22 23 24 25 26 2 33 34 35 36 3 44 45 46 4 55 56 5 5 66 6 0 0 0 K K K K K K Q R K K K K K Q K K K K Q P K K K Q K K Q R Sym K Q ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⇒ Hệ phương trình PTHH sau khi đã tính đến điều kiện biên Q1=Q5=0. 22 23 24 26 2 33 34 36 3 3 44 46 4 66 6 0 0 0 K K K K Q K K K Q PEJ K K QL Sym K Q ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.9- Bảng ghép nối các phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 ⇒ 1 1 1 22 22 23 23 24 24 26 1 2 1 2 2 33 33 11 34 34 12 36 14 1 2 2 44 44 22 46 24 2 66 44 ; ; ; ; ; ; ; ; K k K k K k K K k k K k k K k K k k K k K k = = = = = + = + = = + = = 0; ; ⇒ 2 2 2 3 3 2 2 4 2 6 04 6 2 0 24 0 6 08 2 04 QL L L Q PLEJ QL L L QSym L ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦ ⇒ Chú ý do kết cấu có tính đối xứng nên Q2=-Q6. Giải ra ta có: 2 3 1 2 3 4 5 60 ; ; ; 0 ; 0 ;4 6 2 4 PL PLQ Q Q Q Q Q EJ EJ EJ = = − = − = = = PL ⇒ Để tính phản lực gối tựa (R1=R5), ta dùng phương trình thứ nhất của hệ [K]{Q}={F}: 6 1 1 1 1i i 12 2 13 3 16 6 12 2 13 3 6 i 1 PR K Q K Q K Q K Q k Q k Q 0.Q 2= = = + + = + +∑ = 0 L 2L Mz x 2 PL 0 Qy x L 2L P -P a) b) Hình 4.7 Mô men uốn a) và lực cắt b) tính theo phương pháp PTHH ⇒ Nội lực trong phần tử 1: ( )1 ; ;4 2z y PL PM Qξ= + = − ⇒ Nội lực trong phần tử 2: ( )1 ;4 2z y ; PL PM Qξ= − = Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.10- 4.5.2 Ví dụ 2 a) b) f L L A B C 1 2 1 2 3Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 EJ Hình 4.8 Dầm chịu lực phân bố: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH f L fL/2 fL/2 2 12fL 2 12fL fL/2 fL 2 12fL fL/2 1 2 3 21 f L fL/2 fL/2 2 12fL 21 2 12fL 2 12fL 21 Hình 4.9 Quy đổi lực nút do lực phân bố gây ra trên toàn kết cấu Cho dầm có kết cấu & chịu lực như hình 4.8. Tính độ võng tại giữa dầm và góc xoay của mặt cắt ngang tại vị trí gối tựa. Lời giải: Chia dầm thành 2 phần tử như hình 4.8. Bài toán này chỉ khác ví dụ 4.1 về điều kiện đặt lực. Ta tính véc tơ lực nút của cả hệ, các phần khác hoàn toàn giống ví dụ 4.1. ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 1 & 2 do lực phân bố gây ra là: { } { } 2 2*1 *2 2 12 2 12 T fL fL fL fLf f ⎡ ⎤= = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ Gọi R1 & R5 thứ tự là phản lực gối tựa tại nút 1 & nút 3. ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 1 là: { } 2 21 1 2 12 2 12 T fL fL fL fLf R ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 2 là: { } 2 22 52 12 2 12 T fL fL fL fLf R ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.11- ⇒ Véc tơ lực nút { }F của kết cấu được tính dựa vào bảng ghép nối các phần tử: 1 2 3 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1 2 2 2 4 4 2 5 3 5 6 4 ; ; 2 12 0; ; ; 2 12 fL fLF f R F f F f f fL fL fLF f f F f R F f = = − = = − = + = − = + = = = − = = 2 ; Bảng ghép nối các phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 ⇒ Véc tơ lực nút của kết cấu là: { } T2 2 1 5 fL fL fL fLF R fL 0 R 2 12 2 1 ⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦2 ⇒ Hệ phương trình của cả kết cấu: 11 12 13 14 15 16 1 1 2 22 23 24 25 26 2 33 34 35 36 3 44 45 46 4 55 56 5 5 2 66 6 2 12 0 2 12 K K K K K K Q R fL K K K K K Q fL K K K K Q fL K K K Q K K Q R fL Sym K Q fL −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⇒ Hệ phương trình PTHH sau khi đã tính đến điều kiện biên Q1=Q5=0. 22 23 24 26 2 2 33 34 36 3 3 3 44 46 4 4 66 6 6 K K K K Q F K K K Q FEJ K K Q FL Sym K Q F ⎡ ⎤ ⎧⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⇒ 2 2 2 2 3 3 2 2 4 2 2 6 4 6 2 0 1 24 0 6 8 2 0 4 1 QL L L fL QL fEJ QL L L QSym L fL ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− −⎢ ⎥ ⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ 2 2 L ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.12- ⇒ Chú ý do kết cấu có tính đối xứng nên Q2=-Q6. Giải ra ta có: 3 4 1 2 3 4 5 6 50 ; ; ; 0 ; 0 ; 3 24 3 3 fL fLQ Q Q Q Q Q EJ EJ EJ = = − = − = = = fL ⇒ Để tính phản lực gối tựa (R1=R5), ta dùng phương trình thứ nhất của hệ [K]{Q}={F}: 6 1 1 1 1i i 12 2 13 3 16 6 12 2 13 3 i 1 fLR K Q K Q K Q K Q k Q k 2 = − = = + + = +∑ Q L ⇒ 1R f= ⇒ Phần tử 1: ( )4 3 22 11 7 ; 4 3 ; 24 4 4 2 12z y fL fLv M EJ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞= − − − + + = + = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ;Q fL ⇒ Phần tử 2: ( )4 3 22 11 7 ; 4 3 24 4 4 2 12z y fL fLv M EJ ξ ξ ξ ξ⎛ ⎞= − − − + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠ Q fL ⇒ Kết quả chính xác: ( ) (4 31 ; 2 ; 3 8 2 z y f Lv x x Lx M fx L x Q f x EJ ⎛ ⎞= − + − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ );L 0 1 2 x/L Q y Exact FEM 0 1 2 x/L M z Exact FEM fL -fL 27 12 fL 2 2 fL 2 12 fL a) b) Q y M z Hình 4.10 Mô men uốn a) và lực cắt b) tính theo phương pháp PTHH và Sức bền Vật Liệu 0 1 2 x/L v( x) Exact FEM 0 1 2 x/L ϕ(x ) Exact FEM 0 45 24 fL EJ − 3 3 fL EJ 3 3 fL EJ − a) b) v( x)ϕ(x ) Hình 4.11 Góc xoay a) và chuyển vị b) tính theo phương pháp PTHH và Sức bền Vật Liệu Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.13- 4.5.3 Ví dụ 4.3 a) b) f L L A B C 1 2 1 2 3Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 EJ Hình 4.12 Dầm chịu lực phân bố: a) Kết cấu thực & b) mô hình PTHH Cho dầm có kết cấu chịu lực như hình 4.12. Tính độ võng tại giữa đoạn BC và góc xoay của mặt cắt ngang tại vị trí gối tựa. Lời giải: Chia dầm thành 2 phần tử như hình 4.12. ⇒ Ma trận độ cứng của phần tử 1 & 2 là: 2 2 1 2 3 2 2 12 6 12 6 6 4 6 2 12 6 12 6 6 2 6 4 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦ L L L L L LEJk k L LL L L L L ⇒ Gọi R1 & R2 thứ tự là phản lực & mô men liên kết tại ngàm (nút 1). R3 & R5 thứ tự là phản lực liên kết tại nút 2 & 3. Véc tơ lực nút do các phản lực liên kết tác dụng lên kết cấu là: [ ]1 2 3 5{P}= R 0 0 TR R R ⇒ Véc tơ lực nút của phần tử 2 do lực phân bố gây ra là: { } 2 22 2 12 2 12 T fL fL fL fLf ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ Véc tơ lực nút do lực phân bố gây ra trên toàn kết cấu là: 2 2 *{F }= 0 0 2 12 2 12 T fL fL fL fL⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ Véc tơ lực nút của kết cấu là: { } { } 2 2* 1 2 3 5F = P +{F }= R 2 12 2 12 T fL fL fL fLR R R ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇒ Véc tơ chuyển vị nút của kết cấu là: { } [ ]T1 2 3 4 5 6Q Q Q Q Q Q Q= ⇒ Hệ phương trình của cả kết cấu: Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 4 -4.14- 11 12 13 14 15 16 1 1 22 23 24 25 26 2 2 33 34 35 36 3 3 2 44 45 46 4 55 56 5 5 2 66 6 2 12 2 12 K K K K K K Q R K K K K K Q R K K K K Q R fL K K K Q fL K K Q R fL Sym K Q fL ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⇒ Viết hệ phương trình PTHH sau khi đã tính đến điều kiện biên Q1=Q2=Q3=Q5=0. 44 46 4 4 3 46 66 6 6 ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ K K Q FEJ K K Q FL ⎫⎬⎭ Bảng ghép nối các phần tử Chỉ số chuyển vị nút địa phương Phần tử 1 2 3 4 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 ⇒ 1 2 244 44 22 46 24 66 44; ;= + = = 2K k k K k K k ⇒ 2 2 2 4 3 2 2 2 6 8 2 12 2 4 12 QL L fLEJ QL L L fL ⎡ ⎤ ⎧⎧ ⎫ −=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎫ ⎭ ⇒ Giải ra ta có: 3 34 6fL 5fLQ ; Q56EJ 168EJ= − = ⇒ Để tính chuyển vị tại điểm giữa đoạn BC, ta quay về phần tử 2: 2 2 2 2 1 2 4 3 4 6q 0; q Q ; q 0; q Q ;= = = = ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 4 4 6ξ ξ ξ ξ = = = +∑ i iv N q N Q N Q 1i Điểm giữa đoạn BC tương ứng với ξ=0, do đó: ( ) ( ) ( ) 3 32 4 4 6 50 0 0 8 56EJ 8 168EJ 168EJ L fL L fL fLv N Q N Q= + = − − = − 4 ⇒ Áp dụng số: E=200GPa=2.105 N/mm2; J=4.106 mm4; L=1000 mm f=12 N/mm; Q4=-2,679.10-4 rad; Q6=4,464.10-4 rad; v(0)=-0.0893 mm Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 -5.1- ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Ch−¬ng 5 PTHH Trong KÕt CÊu Khung Ph¼ng KÕt cÊu khung ph¼ng: • Gåm c¸c thanh liªn kÕt cøng víi nhau trong mét mÆt ph¼ng; • C¸c thanh cã thÓ cã ph−¬ng kh¸c nhau; • Mçi mét thanh cã thÓ chÞu kÐo (hoÆc nÐn) vµ uèn ®ång thêi. 1 2 4 3 1 2 3 1 2 * 2q * 5q * 4q * 1q* 3q * 6q x* e ξ ξ1= -1 ξ2=1 21 a) b) c) x y z y* z* Hình 5.1 Kết cấu khung phẳng a), b) phần tử thực trong hệ O*x*y*z* và c) phần tử quy chiếu. 5.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu kéo nén và uốn 1 2 * 2f * 5f * 4f * 1f* 3f * 6f 1 2 * 4f * 1f 1 2 * 2f * 5f * 3f * 6f = + x* y* z* Hình 5.2 Thanh chịu kéo (hoặc nén) và uốn đồng thời Dùng phần tử thực và phần tử quy chiếu 1 chiều 2 nút. XÐt kÕt cÊu gåm 1 phÇn tö thanh chÞu kÐo nÐn vµ uèn ®ång thêi. V× kÕt cÊu lµm viÖc trong miÒn ®µn håi vµ biÕn d¹ng bÐ, nªn ¸p dông nguyªn lý ®éc lËp t¸c dông cña lùc, lêi gi¶i bµi to¸n sÏ lµ tæ hîp cña lêi gi¶i bµi to¸n thanh chÞu kÐo nÐn & thanh chÞu uèn. VÐc t¬ chuyÓn vÞ nót cña phÇn tö lµ: { } [ ]Tqqqqqqq *6*5*4*3*2*1* = VÐc t¬ lùc nót cña phÇn tö lµ: { } [ ]Tfffffff *6*5*4*3*2*1* = Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 -5.2- ⇒ Quan hệ giữa chuyển vị nút và lực nút trong bài toán kéo nén: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − * 4 * 1 * 4 * 1 f f q q L AE L AE L AE L AE • thứ tự là lực nút theo phương O*x* của nút 1 & nút 2. *1f & f *4 * 4• thứ tự là chuyển vị theo phương O*x* của nút 1 & nút 2. *1q & q ⇒ Viết lại hệ phương trình của bài toán kéo nén dưới dạng sau: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 0 0 0 0 0 0 000000 000000 0000 000000 000000 0000 * 4 * 1 * 4 * 1 f f q q L AE L AE L AE L AE ⇒ Quan hệ giữa chuyển vị nút và lực nút trong bài toán uốn: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − * 6 * 5 * 3 * 2 * 6 * 5 * 3 * 2 22 2323 22 2323 4626 612612 2646 612612 f f f f q q q q L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ • thứ tự là lực theo phương O*y* của nút 1 & nút 2. *2f & f *5 * 5 * 6 * 6 • thứ tự là chuyển vị theo phương O*y* của nút 1 & nút 2. * 2q & q • thứ tự là mô men đối với trục O*z* của nút 1 & nút 2. *3f & f • thứ tự là góc xoay của mặt cắt ngang của thanh của tại nút 1 & nút 2 xung quanh trục O*z*. * 3q & q Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 5 -5.3- ⇒ Viết lại hệ phương trình của bài toán uốn dưới dạng sau: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − * 6 * 5 * 3 * 2 * 6 * 5 * 3 * 2 22 2323 22 2323 0 0 0 0 460260 61206120 000000 260460 61206120 000000 f f f f q q q q L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ ⇒ Tổ hợp các hệ phương trình của bài toán kéo nén và bài toán uốn, và viết lại quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút dưới dạng ma trận ta có: [ ]{ } { }*** fqk = ⇒ [k*] là ma trận độ cứng của phần tử khung trong hệ O*x*y*z*: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − − − = L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L AE L AE L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L AE L AE k 460260 61206120 0000 260460 61