Giáo trình Phương trình vi phân - Nguyễn Thị Phương Lan

a tìm nghiệm tổng quat của phương trình 2' 1y y  là arctan y x C  . Với điều kiện đầu đã cho thì 0C  và tany x là nghiệm của bài toán đầu đã xét. Khai triển Maclaurin của tan x ở lân cận 0x  có dạng 3 5 72 17tan ...3 15 315 x x xx x     §4 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ Phương pháp số để giải bài toán đầu là một cách xác định nghiệm gần đúng tại các điểm riêng biệt nào đấy mà chỉ cần dùng đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và tính giá trị hàm. Mọi phương pháp số đều dẫn đến tìm nghiệm gần đúng tại 0 1, ,...x x , trong đó hiệu giữa hai giá trị x bằng hằng số, tức là 1n nx x h   . Ta mô tả ba phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu   0 0' , ,y f x y y x y  . 3.1 Phương pháp Euler. Giả sử h nhỏ, ta dùng gần đúng         ' ,y x h y x hy x y x h f x y     . Đặt 0ix x ih  và tính 0 0y y x ,      1 0 0 0 2 1 1 1 1, , , ,..., ,n n n ny y h f x y y y h f x y y y h f x y      . - 10 - Vậy bước thứ n của phương pháp Euler có dạng 1 ,n n n ny y h f x y   . Về mặt hình học nghiệm gần đúng nhận được như một đường gấp khúc mà đoạn đầu tiên là tiếp tuyến với đường cong nghiệm tại 0x . Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler giải bài toán đầu sau đây với 0,2h   ' ; 0 0y x y y   . Nghiệm gần đúng  1 0,2n n n ny y x y    . Nghiệm chính xác 1xy e x   . n nx ny Giá trị y đúng 0 0,0 0,0 0,0 1 0,2 0,0 0,021 2 0,4 0,04 0,091 3 0,6 0,128 0,222 4 0,8 0,274 0,425 5 1,0 0,489 0,718 3.2 Phương pháp Euler cải tiến. Đây là phương pháp biến thể của phương pháp Euler. Tại mỗi bước tính giá trị phụ  * 1 ,n n n ny y h f x y   rồi tính giá trị mới    *1 1 1, ,2n n n n n nhy y f x y f x y       . Kết hợp hai biểu thức ta viết bước thứ n của phương pháp Euler cải tiến     1 , , ,2n n n n n n n nhy y f x y f x h y hf x y        . Về mặt hình học, trong khoảng , 2n n hx x    ta gần đúng y theo đường thẳng qua  ,n nx y với hệ số góc  ,n nf x y rồi tiếp tục dọc theo đường thẳng với hệ số góc *1 1,n nf x y  . Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiến của bài toán đầu nêu trên. Nghiệm gần đúng  * 1 0,2n n n ny y x y    .   1 0,1 0,2 0,2n n n n n n n ny y x y x y x y           - 11 - Do vậy  1 0,22 0,02n n n ny y x y     n nx ny Giá trị y đúng 0 0,0 0,0 0,0 1 0,2 0,0200 0,0214 2 0,4 0,0884 0,0918 3 0,6 0,2158 0,2221 4 0,8 0,4153 0,4255 5 1,0 0,7027 0,7183 3.3 Phương pháp Runge-Kutta. Phương pháp được thiết lập bằng cách lấy trung bình có trọng số của  ,f x y tại các điểm xác định trong khoảng  1,n nx x  .  1 2 26n n n n n n hy y A B C D      trong đó  , , , ,2 2n n n n n n n h hA f x y B f x y A        , , ,2 2n n n n n n n n h hC f x y B D f x h y hC         Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Runge-Kutta của bài toán đầu nêu trên.  , 1,1 0,1n n n n n nA x y B x y       1,11 0,11 ; 1,222 0,222n n n n n nC x y D x y      1 0,2214 0,0214n n n ny y x y     n nx ny Giá trị y đúng 0 0,0 0,0 0,0 1 0,2 0,02140 0,02140 2 0,4 0,09181 0,09182 3 0,6 0,22210 0,22211 4 0,8 0,42552 0,42557 5 1,0 0,71825 0,71828 Cấp của phương pháp số. Phương pháp số có cấp n với n nguyên dương, nếu phương pháp chính xác đến đa thức cấp n của h. Phương pháp Euler là cấp một, phương pháp Euler cải tiến là cấp hai, phương pháp Runge-Kutta là cấp bốn. - 12 - Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 1.1 Định nghĩa: PTVP cấp n là phương trình có dạng:   , , ',..., 0nF x y y y  Nếu giải được đối với đạo hàm cấp n thì PTVP cấp n có dạng:     1, , ',...,n ny f x y y y  (1) 1.2 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): Bài toán Cauchy đối với phương trình (1) là bài toán tìm nghiệm  y y x của phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện đầu      0 0 , 0, 1k ky x y k n   , trong đó  1' 0 0 0 0, , ,..., nx y y y  là các hằng số cho trước và được gọi là các giá trị đầu. Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy): Xét phương trình     1, , ',...,n ny f x y y y  Nếu các hàm   1, , ',..., nf x y y y  và  kfy , 0, 1k n  liên tục trong miền 1nD  R có chứa điểm   1'0 0 0 0, , ,..., nx y y y  thì tồn tại duy nhất một nghiệm  y y x của bài toán Cauchy của phương trình (1) trong một lân cận nào đó của điểm 0x . 1.3 Nghiệm tổng quát: Định nghĩa: Hàm số  1, ,..., , , 1,n iy y x C C C const i n   phụ thuộc vào n hằng số tùy ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1) nếu thỏa mãn - Hàm  1, ,..., ny x C C thỏa mãn (1) với mọi giá trị 1,..., nC C . - Với mọi giá trị   1'0 0 0 0, , ,..., nx y y y  cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải được. Các khái niệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát, tích phân riêng được định nghĩa tương tự như đối với PTVP cấp một. - 13 - §2 HẠ THẤP CẤP PTVP CẤP CAO 2.1 Phương trình dạng:   , 0nF x y  . Nếu giải được đối với  ny thì ta có phương trình    ny f x (1) Đặt            1 1, 2 ' ànz y z z x z f x v z x f x dx C      . phương trình (2) có dạng như phương trình (1) nhưng cấp thấp hơn một đơn vị. Tích phân n lần ta được kết quả. Ví dụ: Giải phương trình: 2'''y x . 2.2 Phương trình dạng:     1 , 0n nF y y  (3) Đặt    1 ,nz y z z x  ta có    3 , ' 0F z z  là PTVP cấp một. Giả sử phương trình này có nghiệm      11 1, ,nz f x C y f x C   là phương trình có dạng (1) nhưng cấp thấp hơn một đơn vị. Ví dụ: Giải phương trình: ''' '' 1y y  . 2.3 Phương trình dạng:     1, , 0n nF x y y  (4) Đặt    1 ,nz y z z x  ta có    4 , , ' 0F x z z  là PTVP cấp một. Ví dụ: Giải phương trình: ''''' yy xx  . Đặt        1 , 4 , , ' 0nz y z z x F x z z    là PTVP cấp một. 2.4 Phương trình dạng:  , ', '' 0F y y y  hoặc  '' , 'y f y y (5) Đặt  ' ,dyz y z z xdx   , xem z là hàm của y . Ta có '' . dz dz dy dzy zdx dy dx dy   . Thay vào (5) ta được , , 0dzF y z z dy      là PTVP cấp một, trong đó y được xem là biến độc lập, z là hàm của y. Ví dụ: Giải phương trình: 22 '' ' 0yy y  . - 14 - §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI 3.1 Định nghĩa: Phương trình dạng:        '' ' 1y p x y q x y f x   trong đó      , àp x q x v f x là các hàm số liên tục. - Nếu   0f x  thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất. - Nếu   0f x  thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất. - Nếu    ,p x q x là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. Ví dụ: 2'' ' 0xy x y e y    PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất. 1'' 2 ' sinxy xy y e xx    PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất. 2'' 2 'y y y x    PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng. 3.2 PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất: Phương trình dạng:      '' ' 0 2y p x y q x y   trong đó    ,p x q x là các hàm số liên tục. 3.2.1 Định nghĩa: Hai hàm    1 2,y x y x được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số 1 2,C C không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 0C y C y  . Trường hợp ngược lại thì chúng được gọi là độc lập tuyến tính. Nhận xét: Hai hàm    1 2,y x y x là độc lập tuyến tính nếu   12 y x C consty x   . 3.2.2 Định lý: Nếu các hàm    1 1 2 2,y y x y y x  là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2) thì hàm 1 1 2 2y C y C y  , trong đó 1 2,C C là các hằng số tùy ý là nghiệm tổng quát của (2). Chú ý: Nếu các hàm    1 1 2 2,y y x y y x  là hai nghiệm riêng phụ thuộc tuyến tính của phương trình (2) thì  1 2 1 1 2 2 1 2 2,y k y k const y C y C y kC C y       thực chất chỉ phụ thuộc vào một hằng số nên y không phải là nghiệm tổng quát của (2). Nhận xét: - Từ định lý muốn tìm nghiệm tổng quát của (2) chỉ cần tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến của nó (các nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản). 3.2.3 Công thức Liouville: Nếu đã biết một nghiệm riêng  1 1y y x của (2) thì có thể tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính  2 2y y x của nó theo công thức Liouville: 2 1.y y u , trong đó       2 1 1 p x dxu u x e dxy x      . - 15 - Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 2 2 2 2'' ' 01 1 xy y yx x    biết một nghiệm riêng  1y x x . 3.3 PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất: Phương trình dạng:        '' ' 3y p x y q x y f x   trong đó      , àp x q x v f x là các hàm liên tục,   0f x  . Phương trình      '' ' 0 2y p x y q x y   được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng của (3). 3.3.1 Công thức nghiệm: Nếu gọi y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2), Y là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (3) thì y y Y  là nghiệm tổng quát của (3). 3.3.2 Nguyên lý cộng nghiệm ( chồng chất nghiệm ): Xét phương trình không thuần nhất          1 2'' ' 4y p x y q x y f x f x    Nếu 1Y là nghiệm riêng của phương trình      1'' 'y p x y q x y f x   , 2Y là nghiệm riêng của phương trình      2'' 'y p x y q x y f x   thì 1 2Y Y Y  là nghiệm riêng của (4). Kết quả này còn được mở rộng đối với vế phải của (4) là tổng của hữu hạn hàm. 3.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số: Giả sử 1 1 2 2y C y C y  , trong đó 1 2,C C là các hằng số là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2). Khi đó nếu    1 1 2 2,C C x C C x  là những hàm số thỏa mãn hệ phương trình:   ' ' 1 1 2 2 ' ' ' ' 1 1 2 2 0C y C y C y C y f x      thì hàm    1 1 2 2y C x y C x y  là nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3). §4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ HẰNG 4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất: Phương trình dạng:  '' ' 0 1y py qy   , trong đó p,q là các hằng số. - 16 - Cách giải: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng kxy e , trong đó k là hằng số. Thay , ', ''y y y vào (1) ta được phương trình đại số bậc hai  2 0 2k pk q   và gọi là phương trình đặc trưng, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức £ . Ta có các khả năng xảy ra như sau: - Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm thực 1 2k k thì 1 21 2,k x k xy e y e  là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1) là 1 21 2k x k xy C e C e  , trong đó 1 2,C C là các hằng số. - Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm thực kép 1 2k k k  thì 1 kxy e là một nghiệm riêng của (1). Nghiệm riêng 2 kxy xe tìm được theo công thức Liouville. Do đó nghiệm tổng quát của (1) là  1 2 kxy C xC e  , trong đó 1 2,C C là các hằng số. - Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm phức liên hợp 1 ,k i   2k i   thì        1 2cos sin , cos sini x i xx i x x x i x xy e e e e x i x y e e e e x i x                     là hai nghiệm riêng phức của (1). Ta có 1 2 1 2 1 2cos , sin2 2 x xy y y yy e x y e xi        là hai nghiệm riêng thực độc lập tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1) là  1 2cos sinxy e C x C x    , trong đó 1 2,C C là các hằng số. Ví dụ : 1) Giải các phương trình: a) '' 3 ' 2 0y y y   , b) '' 4 ' 4 0y y y   . 2) Giải bài toán Cauchy:    '' 2 ' 4 0; 0 1, ' 0 1y y y y y     . 4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất: 4.2.1 Phương trình dạng:    '' ' 3y py qy f x   trong đó p,q là các hằng số,  f x là hàm số liên tục. Có thể tìm nghiệm của (3) bằng phương pháp biến thiên hằng số. Ví dụ : Giải phương trình: 1'' siny y x  . 4.2.2 Phương pháp hệ số bất định (Phương pháp Lagrange): Nếu vế phải  f x của (3) có dạng đặc biệt thì có thể tìm nghiệm riêng của (3) theo phương pháp hệ số bất định. - 17 - a) Trường hợp: Vế phải    x nf x e P x , trong đó  R ,  nP x là đa thức bậc n. - Nếu  không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng  x nY e Q x . - Nếu  trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng  x nY xe Q x . - Nếu  trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng  2 x nY x e Q x . trong đó  nQ x là đa thức bậc n mà hệ số của nó được xác định theo phương pháp hệ số bất định. b) Trường hợp: Vế phải      cos sinx n mf x e P x x P x x      , trong đó ,  R ;   ,n mP x P x là các đa thức bậc n,m ;  max ,l m n - Nếu i  không trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng    cos sinx l lY e Q x x R x x      . - Nếu i  trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng    cos sinx l lY xe Q x x R x x      . trong đó    ,l lQ x R x là các đa thức bậc l mà hệ số của chúng được xác định theo phương pháp hệ số bất định. Đặc biệt nếu    cos sinf x A x B x   , trong đó A,B là các hằng số. - Nếu i không trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng:  cos sinY M x N x   . - Nếu i trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng của (3) có dạng:  cos sinY x M x N x   . trong đó M,N là các hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định. Ví dụ : Giải các phương trình: a)  '' 3 ' 2 3 4xy y y e x    b) '' 4 sin 2y y x x  c) '' ' 5 cosxy y e x   . §5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO 5.1 Định nghĩa: PTVP tuyến tính cấp n là phương trình có dạng:            11 1 0... 'n nny a x y a x y a x y f x     (1) trong đó        0 1 1, , ,..., nf x a x a x a x là các hàm số liên tục . - 18 - - Nếu   0f x  thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n thuần nhất. - Nếu   0f x  thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n không thuần nhất. - Nếu      0 1 1, ,..., na x a x a x là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng. 5.2 Biểu diễn dưới dạng toán tử: Nếu ký hiệu vế trái của (1) là  L y và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp n thì (1) có dạng    L y f x . Phương trình thuần nhất tương ứng là   0L y  (2). Toán tử  L y có các tính chất: -    ,L Cy CL y C const  . -      1 2 1 2L y y L y L y   . -   1 1 , m m k k k k k k k L C y C L y C const          . Từ các tính chất của toán tử  L y ta thấy nếu các hàm 1 2, ,..., ny y y là các nghiệm của phương trình thuần nhất (2) thì tổ hợp tuyến tính 1 1 2 2 ... n ny C y C y C y    , trong đó 1 2, ,..., nC C C là các hằng số cũng là nghiệm của (2). 5.3 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính - Định thức Wronski - Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 5.3.1 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính: Định nghĩa: Hệ n hàm        1 1 2 2, ,..., , ,n ny y x y y x y y x x a b    được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số 1 2, ,..., nC C C không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 ... 0n nC y C y C y    . - Các hàm trên được gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính. 5.3.2 Định thức Wronski: Giả sử các hàm        1 1 2 2, ,..., , ,n ny y x y y x y y x x a b    là các nghiệm của phương trình thuần nhất (2). Định thức Wronski của các nghiệm này được xác định bởi:       1 2 ' ' ' 1 2 1 1 1 1 2 ... ...W = ... ... ... ... ... n n n n n n y y y y y y y y y   - 19 - Định lý: Tập hợp n nghiệm        1 1 2 2, ,..., , ,n ny y x y y x y y x x a b    của phương trình thuần nhất (2) là độc lập tuyến tính trong khoảng  ,a b  0 , :W 0x a b   . 5.3.3 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Định nghĩa: Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình ấy. Định nghĩa: Nếu hệ n hàm      1 1 2 2, ,..., n ny y x y y x y y x   là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (2) thì hàm 1 1 2 2 ... n ny C y C y C y    , trong đó 1 2, ,..., nC C C là các hằng số là nghiệm tổng quát của (2). Công thức nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) là y y Y  , trong đó y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, Y là nghiệm riêng của (1). 5.4 Phương pháp biến thiên hằng số: Giả sử 1 1 2 2 ... n ny C y C y C y    , trong đó 1 2, ,..., nC C C là các hằng số là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Nếu      1 1 2 2, ,..., n nC C x C C x C C x   là những hàm số thỏa mãn hệ phương trình:         ' ' ' 1 1 2 2 ' ' ' ' ' ' 1 1 2 2 1 1 1' ' ' 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ................................................. .... n n n n n n n n n C y C y C y C y C y C y C y C y C y f x                thì hàm      1 1 2 2 ... n ny C x y C x y C x y    là nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất. 5.5 PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng: PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng là phương trình dạng:      11 1 0... 'n nny a y a y a y f x     trong đó 0 1 1, ,..., na a a  là các hằng số,  f x là hàm số liên tục. 5.5.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n: Phương trình có dạng:    1 1 1 0... ' 0n nny a y a y a y     (3) trong đó 0 1 1, ,..., na a a  là các hằng số. - 20 - Phương trình đặc trưng của (3) là: 1 1 1 0... 0n nnk a k a k a     (4) (4) là phương trình đại số bậc n, nó có đúng n nghiệm trong trường số phức £ . Ta có: - Nếu (4) có n nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của (3) là: 1 21 2 ... nk xk x k x ny C e C e C e    ; 1 2, ,..., nC C C là các hằng số - Nghiệm thực k bội m  m n của (4) cho nghiệm của (3) là:  11 2 ...kx m me C xC x C   ; 1 2, ,..., mC C C là các hằng số. - Cặp nghiệm phức liên hợp i  của (4) cho nghiệm của (3) là:  1 2cos sinxe C x C x   ; 1 2,C C là các hằng số. - Cặp nghiệm phức liên hợp i  bội m  m n của (4) cho nghiệm của (3) là:  11 2cos ...x m me x C xC x C     ; 1 2, ,..., mC C C là các hằng số.  11 2sin ...x m me x D xD x D     ; 1 2, ,..., mD D D là các hằng số. Chú ý: Nghiệm tổng quát của (3) phải chứa đúng n hằng số. Ví dụ : Giải các phương trình: a)  4 3 ''' 3 '' ' 0y y y y    b)  4 0y y  . 5.5.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n: Giải tương tự như phương trình không thuần nhất cấp hai. Ví dụ : Giải phương trình:  4 2 '' cos2y y y x   . $6 PHƯƠNG TRÌNH EULER 6.1 Phương trình Euler cấp hai thuần nhất: Phương trình dạng:  2 '' ' 0 1x y Axy By   trong đó A, B là các hằng số. Cách giải: Cách 1: Đặt   1, , 0 lnz dzx e z z x x z x dx x       . Ta có: 1' .dy dy dz dyy dx dz dx x dz   .   2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1'' ' . .d d dy dy d dy dy d y dz dy d yy ydx dx x dz x dz x dx dz x dz x dz dx x dz x dz                     . - 21 - Thay vào (1) ta được  2 22 2 2 21 1 . 0 1 0d y dy dy d y dyx Ax By A Byx dz dz x dz dz dz                là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng, trong đó z được xem là biến độc lập, y y z là hàm cần tìm. Cách 2: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:  1 2, 0, ' , '' 1k k ky x x k const y kx y k k x        . Thay vào (1) ta được:    1 0 1 0kx k k Ak B k k Ak B            2 1 0k A k B     (2). và gọi là đặc trưng của (1). - Nếu (2) có hai nghiệm thực 1 2k k thì 1 21 2,k ky x y x  là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1) là 1 21 2k ky C x C x  , trong đó 1 2,C C là các hằng số. - Nếu (2) có nghiệm thực kép 1 2k k k  thì 1 ky x là một nghiệm riêng của (1). Nghiệm riêng 2 lnky x x tìm được theo công thức Liouville. Do đó nghiệm tổng quát của (1) là  1 2 ln ky C C x x  , trong đó 1 2,C C là các hằng số. - Nếu (2) có hai nghiệm phức liên hợp 1 2,k i k i       thì nghiệm tổng quát của (1) là    1 2cos ln sin lny x C x C x      , trong đó 1 2,C C là các hằng số. Ví dụ : Giải phương trình: 2 '' 4 ' 6 0x y xy y   . 6.2 Phương trình Euler cấp hai không thuần nhất: Phương trình dạng:  2 '' 'x y Ax y B y f x   trong đó A, B là các hằng số. Để giải phương trình Euler-Cauchy cấp hai không thuần nhất có thể dùng phương pháp biến thiên hằng số. Một số trường hợp đặc biệt có thể dùng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ : Giải phương trình: 2 '' 5 ' 12 lnx y xy y x x   . 6.3 Phương trình Euler cấp cao: Có thể giải tương tự như phương trình Euler-Cauchy cấp hai. Phương trình thuần nhất có dạng:    11 1 1 0... ' 0n nn nnx y A x y A xy A y     (3) trong đó 0 1 1, ,..., nA A A  là các hằng số. - 22 - Phương trình đặc trưng của (3) là một phương trình đại số bậc n, nó có đúng n nghiệm trong trường số phức £        1 1 01 ... 1 1 ... 2 ... 0nk k k n A k k k n Ak A           Ví dụ : Giải phương trình: 3 2''' 5 '' 18 ' 26 0x y x y xy y    . 6.4 Phương trình dạng:          1 11 1 0... ' 0n nn nnax b y A ax b y A ax b y A y         (4) trong đó 0 1 1, ,..., nA A A  là các hằng số. Có thể đưa (4) về (3) bằng cách đặt t ax b  hoặc giải (4) bằng cách đặt  ,zax b e z z x   . §7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 7.1 Hệ chuẩn tắc cấp một là hệ n PTVP cấp một dạng       1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 , , ,..., , , ,..., ..................................... , , ,..., n n n n n dy f x y y ydx dy f x y y ydx dy f x y y ydx     (1) trong đó 1 2, ,..., nf f f là các hàm số liên tục trong miền mở 1,nG x R là biến độc lập, 1 2, ,..., ny y y là các hàm cần tìm, 1 2, ,..., ndy dy dydx dx dx là các đạo hàm cấp một của chúng. Ví dụ: Hệ phương trình: cos 3 4 4cos sin dy z xdx dz y z x xdx         là hệ chuẩn tắc cấp một. 7.1.1 Định nghĩa: Tập hợp n hàm      1 2, ,..., ny x y x y x khả vi, liên tục trong khoảng  ,a b  R sao cho điểm        11 2, , ,..., nnx y x y x y x G   R và       1 2, , ,..., , 1,i i ndy f x y x y x y x i ndx   ,  ,x a b  là nghiệm của hệ chuẩn tắc (1). - 23 - 7.1.2 Bài toán Cauchy: là bài toán tìm nghiệm      1 2, ,..., ny x y x y x của hệ (1) thỏa mãn các điều kiện   00 , 1,i iy x y i n  trong đó 0 00 1, ,..., nx y y là những số cho trước. 7.1.3 Định lý: ( về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy) Giả sử các hàm số 1 2, ,..., nf f f ở vế phải của các phương trình của hệ (1) liên tục và có các đạo hàm riêng 1 2 , ,..., , 1,i i i n f f f i ny y y       liên tục trong miền D G . Khi đó tồn tại duy nhất n hàm      1 2, ,..., ny x y x y x là nghiệm của (1) trong một lân cận U nào đó của điểm 0x thỏa mãn các điều kiện   00 , 1,i iy x y i n  trong đó  0 00 1, ,..., nx y y D . 7.1.4 Nghiệm tổng quát: Giả sử D G là miền thỏa mãn các điều kiện của định lý. Tập hợp n hàm  1 2, , ,..., , 1,i i ny y x C C C i n  (2) phụ thuộc vào n tham số 1 2, ,..., nC C C được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1) nếu 1) Tập hợp các hàm (2) là nghiệm của hệ (1) với mọi hằng số 1 2, ,..., nC C C . 2) Với mọi giá trị  0 00 1, ,..., nx y y D cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải được. Các khái niệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát, tích phân riêng được định nghĩa tương tự như đối với PTVP cấp một. Ví dụ: 1) Chứng minh rằng hệ hàm:     3 1 1 2 3 2 1 23 cos x x x x y x C e C e y x C e C e x           là nghiệm tổng quát của hệ phương trình: ' 1 2 ' 2 1 2 cos 4cos sin 3 4 y x y y x x y y        (*) 2) Giải bài toán Cauchy đối với hệ (*) với điều kiện đầu   1 20 1, 0 2y y   . 7.2 Cách giải hệ chuẩn tắc cấp một: 7.2.1 Phương pháp đưa về phương trình vi phân cấp cao (phương pháp khử): Là phương pháp đưa về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số chưa biết bằng cách khử các hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ. - 24 - Ví dụ: Giải các hệ phương trình: a) '' y z z y x    b) ' ' y y z z y z x      c) 2 ' 1' 2 yy z z y    7.2.2 Phương pháp tổ hợp tích phân: là phương pháp tổ hợp một số phương trình vi phân của hệ, sau đó qua một số phép biến đổi và lấy tích phân ta được nghiệm của hệ. Ví dụ: a) Giải hệ phương trình: b) Tìm nghiệm của bài toán Cauchy    0 1, 0 2y z  . Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2 2 ' ' y y yz z z yz      . §8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT VỚI HỆ SỐ HẰNG 8.1 Định nghĩa: Hệ PTVP tuyến tính cấp một với hệ số hằng là hệ phương trình dạng:       1 11 1 12 2 1 1 2 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... .................................................... ... n n n n n n n nn n n dy a y a y a y f xdx dy a y a y a y f xdx dy a y a y a y f xdx                 (1) trong đó , 1, , 1,ija i n j n  là các hằng số, 