Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học Toán (Phần 1)

bằng cách dùng các kiến thức sau: góc, phân giác, đối xứng trục, đối xứng qua điểm. Hai lời giải được cho như sau: d P'' P' P A d P'' A' P' P A Kết hợp đối xứng trục và đối xứng tâm Dùng đường vuông góc chung Cái mới ở đây là việc dùng một dãy các phép biến đổi để thu được một tính chất một cách trực quan. Mặc dù, có thể phép đối xứng trục là một cách để thu được đường thẳng vuông góc với một phương đã cho, nhưng thường học sinh không biết đến bởi vì nó không được dùng trong môi trường giấy bút. Khi học sinh làm việc trong môi trường phần mềm cơ hoạt các em sẽ ngạc nhiên khi phát hiện ra rằng, đường thẳng nối một điểm với ảnh của nó qua phép đối xứng trục là vuông góc với trục đối xứng. Các em sẽ tự hỏi: “Có phải là do may mắn nên ta có được đường thẳng vuông góc?”. Việc sử dụng kết hợp các phép đối xứng tâm thường là kết quả của một định lý, nó có thể được dùng trong một chứng minh nhưng nó không phải là một công cụ để tạo nên hình vẽ của một hình. Việc sử dụng kết hợp các phép biến đổi trong một chứng minh là ở mức độ cao của tư duy, trong trường hợp này có thể là quá trình phức tạp đối với học sinh ở đầu cấp THPT khi so sánh với định lý về đường trung bình của một tam giác. Trong trường hợp này, ta thấy máy tính đã cho học sinh cơ hội: 11 - Không chỉ làm việc trên lĩnh vực các đối tượng lý thuyết như là một hoạt động chứng minh mà còn liên hệ những khái niệm lý thuyết với những ảnh hưởng trực quan. - Liên kết các khía cạnh trực quan và lý thuyết với nhau về khái niệm hợp các phép biến đổi, không phải bằng một con đường thụ động (như phim ảnh) mà theo con đường vận hành (những đối tượng lý thuyết được dùng như những công cụ tìm lời giải của bài toán đã cho). Bởi vì hình vẽ được vẽ trong phần mềm có tính chất cơ hoạt nên việc thoả mãn một số điều kiện về sự thay đổi của nó được đòi hỏi theo nhiệm vụ bài toán. Ví dụ, vẽ một tam giác đều bằng cách quay quanh tâm của nó. Để đáp ứng loại điều kiện này đòi hỏi sự phân tích các hình vẽ động theo các mức tự do khác với nhiệm vụ dựng hình truyền thống. Những điều kiện về các điểm cố định và chuyển động cũng có thể đòi hỏi một phép dựng với một thứ tự khác và do đó đưa ra việc sử dụng các tính chất hình học khác. Đó là một trường hợp trong khi dựng một tam giác đều thì người ta ít khi bắt đầu từ tâm của tam giác. Các nhiệm vụ (ii) Những hình vẽ cơ hoạt cung cấp một hình ảnh trực quan mạnh hơn một hình vẽ tĩnh duy nhất. Một tính chất hình học có thể hiện ra như là một bất biến trong khi chuyển động mà điều đó khó có thể thấy được trong hình vẽ tĩnh. Trong trường hợp sau, nó có thể không được quan sát, ví dụ, một đường thẳng luôn đi qua một điểm đã cho. Chúng ta giả sử rằng trong các nhiệm vụ (ii) môi trường phần mềm nhấn mạnh tầm quan trọng đến quan sát trực quan và do đó có thể thúc ép học sinh giải thích tại sao các em lại thu được những hiện tượng đáng chú ý và trực quan như vậy. Môi trường phần mềm có thể thúc đẩy tính phù hợp của sự giải thích hay chứng minh bài toán bởi học sinh. Theo thuật ngữ của Brousseau (1986) thì nó thúc đẩy quá trình chuyển giao của bài toán; người học sinh thu được “quyền sở hữu” bài toán theo cách của mình trong khi ở môi trường truyền thống một nhiệm vụ chứng minh có thể được xem như là việc học tập ở nhà trường mà không có mối liên hệ nào với các hiện tượng trực quan. Những nhiệm vụ như vậy được sử dụng trong môi trường phần mềm động. Những nhiệm vụ (iii) Những nhiệm vụ (iii) trong môi trường phần mềm động liên quan đến cả hai khía cạnh, việc giải thích các hình vẽ động theo thuật ngữ hình học và việc dựng hình lại bằng phương tiện các đối tượng hình học cơ bản của phần mềm. Chúng ta gọi đó là những nhiệm vụ “hộp đen”. Một hình vẽ động được tạo nên bởi phần mềm động, khi đưa cho học sinh, các em sẽ không biết là nó được dựng như thế nào và những chỉ dẫn dựng hình được loại bỏ. Nhiệm vụ của học sinh là dựng lại các hình đó, tức là một hình vẽ động mà khi ta kéo rê nó có những thay đổi như là hình vẽ đã cho. Những tình huống hộp đen này không thể cho trong môi trường giấy bút, bởi vì chỉ một hình vẽ thì không thể chuyển đạt thông tin về mối quan hệ của các bộ phận của nó một cách tương ứng. Một mô tả không cần phải hoàn chỉnh về hình hình học nên được cho kèm theo hình vẽ. 12 Tóm lại, các nhiệm vụ (i) và (ii) nên đòi hỏi việc sử dụng bước đầu kiến thức hình học và các nhiệm vụ (iii) là để kích thích nhu cầu cần chứng minh. Kết luận Phần mềm động cung cấp những môi trường phong phú cho việc tạo mô hình và thể hiện các đối tượng toán học. Việc nghiên cứu các phần mềm động trong hình học và đại số đã nhấn mạnh sự cần thiết của việc phân tích mối liên hệ mới với kiến thức được kiến tạo nên bởi học sinh thông qua phần mềm. Sự phân tích này phải gắn liền với các bài toán được sử dụng bởi giáo viên để thúc đẩy việc học. Những bài toán mới là có thể dùng được, nhưng ý nghĩa của chúng là gì đối với học sinh? Có vẻ như là một môi trường phần mềm đưa ra thông tin phản hồi có thể thúc đẩy các thử nghiệm có tính kinh nghiệm nhằm thu được những lời giải được dự kiến trước do may mắn. Những nhiệm vụ được thiết kế phải tránh được những khả năng thử nghiệm để thu được lời giải như vậy. Sự phản ánh trực quan dựa trên hình học đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của học sinh, trên cả hai phương diện, chỉ ra phương pháp của học sinh là không thoả đáng và những minh chứng về một số hiện tượng trực quan. Hơn nữa cũng có thể xuất hiện hiện tượng học sinh sử dụng rộng rãi sự liên kết giữa trạng thái kéo rê và những tính chất cơ bản của hình học để nhận được những thông tin phản hồi phức tạp hơn. Điều đó chỉ đường cho chúng ta nhấn mạnh vào mối quan hệ giữa các hiện tượng hình học và trực quan với sự tồn tại của những khả năng giao diện mới. 13 Chương II SỬ DỤNG PHẦN MỀM GSP TRONG DẠY HỌC TOÁN I. Giới thiệu sơ lược phần mềm The GEOMETER’S SKETCHPAD 5.00 1. Một số đặc điểm của phần mềm GSP Phần mềm The Geometer’s Sketchpad (GSP) được viết bởi Nicholas Jackiw là một phần mềm hỗ trợ việc dạy và học trên máy tính. Phiên bản đầu tiên ra đời vào năm 1991. So với các phiên bản đầu tiên, phiên bản 5.00 đã có nhiều cải tiến quan trọng giúp chương trình dễ sử dụng và linh hoạt hơn. GSP là một phần mềm hỗ trợ sáng tạo, khám phá và phân tích một lớp rộng các kiến thức toán. Sử dụng phần mềm hình học động GSP, ta có thể xây dựng những mô hình toán tương tác từ những khảo sát đơn giản về hình dạng đến những minh họa động phức tạp. Đối với học sinh, phần mềm GSP với tính năng hoạt hình, nhanh chóng tạo ra vô số hình vẽ mới từ hình vẽ ban đầu, chỉ bằng cách kéo rê chuột, mà những tính chất hình học vẫn được giữ nguyên, cho phép các em khám phá các quan hệ toán học thông qua xây dựng và khảo sát các mô hình. Phần mềm cũng tạo điều kiện thuận lợi cho các em đặt và kiểm chứng các giả thuyết toán, trợ giúp tìm đường lối chứng minh nhờ tính năng trực quan và cơ hoạt của mình. Đối với giáo viên, Sketchpad cung cấp một môi trường hấp dẫn để trình bày các khái niệm toán, mô hình hóa các câu hỏi, tạo ra các hình vẽ mà với sự quan sát bằng mắt rất dễ dàng nhận ra các tính chất, những liên hệ của các yếu tố của hình khuyến khích các dự đoán của học sinh. Đối với các nhà nghiên cứu giáo dục, những người yêu thích toán, họ có thể sử dụng GSP để thăm dò các tính chất của phép dựng, khám phá ra các kết quả mới cũng như tạo ra các minh họa toán học để sử dụng trong các hoạt động, nhiệm vụ nghiên cứu, các báo cáo hoặc ấn bản 2. Hệ thống lệnh và các công cụ làm việc chính của phần mềm GSP Màn hình làm việc của phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP) 5.00: Thanh văn bản Hộp công cụ Thanh menu 14 2.1. Hộp công cụ - Toolbox - Công cụ mũi tên chọn (Selection Arrow Tool) dùng để chọn các lệnh, các đối tượng; dùng để di chuyển tịnh tiến một đối tượng. - Công cụ mũi tên quay (Rotation Arrow Tool) dùng để quay một đối tượng quanh tâm được chọn trước - Công cụ mũi tên vị tự (Dilation Arrow Tool) - Công cụ điểm (Point Tool) dùng để dựng điểm tùy ý hoặc giao điểm của các đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, cung tròn - Công cụ đường tròn (Compass Tool) dùng để dựng đường tròn khi biết tâm và một điểm thuộc đường tròn. - Công cụ thước thẳng (Segment Straightedge Tool) dùng để dựng đoạn thẳng. - Công cụ tia (Ray Straightedge Tool) dùng để dựng tia. - Công cụ đường thẳng (Line Straightedge Tool) để dựng đường thẳng qua hai điểm. - Công cụ đa giác (Polygon Tool) dùng để dựng miền trong của đa giác. - Công cụ đa giác và biên (Polygon and Edges Tool) dùng để dựng biên và miền trong của đa giác. - Công cụ biên đa giác (Polygon Edges Tool) dùng để dựng biên của đa giác - Công cụ văn bản (Text Tool) dùng để đặt tên, đổi tên cho một đối tượng; tạo ra các khung chú thích, các văn bản, các công thức toán - Công cụ đánh dấu (Marker Tool) dùng để đánh dấu góc, đánh dấu đoạn thẳng hoặc phác thảo những nét vẽ tay. - Công cụ thông tin (Information Tool) dùng để khảo sát cách dựng của một hình vẽ cũng như mối liên hệ giữa các đối tượng trong hình vẽ đó. 15 - Công cụ thường dùng (Custom Tool) cho phép người sử dụng tự tạo các công cụ hỗ trợ cho việc dựng hình, các công cụ này chỉ cần thiết kế một lần và sau đó được sử dụng khi cần thiết. 2.2. Các lệnh cơ bản trên thanh menu 2.2.1. Menu File New Sketch Tạo một File GSP mới. Open Mở các File GSP đã lưu. Save Lưu File. Document Options Các lựa chọn trên tài liệu: tạo thêm trang mới, xóa trang, copy một trang, thay đổi thứ tự các trang. Print In. Quit Thoát khỏi chương trình GSP. 2.2.2. Menu Edit Paste Dán các hình ảnh có định dạng tùy ý vào một, hai hoặc ba điểm trong GSP để có thể thay đổi kích thước hoặc vị trí của hình. 16 Action Button Tạo các nút kích hoạt sau đây: Hide/Show Tạo nút lệnh ẩn/hiện các đối tượng được chọn; Animation Tạo nút lệnh điều khiển một hoặc nhiều đối tượng chuyển động trên đường dẫn của nó; Movement Tạo nút lệnh cho phép di chuyển vị trí một điểm tới một vị trí khác; Presentation Tạo nút lệnh trình diễn cho phép kết hợp nhiều nút lệnh theo một thứ tự định trước; Link Tạo nút lệnh liên kết. Select Parents Chọn các đối tượng cơ bản trên màn hình. Select Children Chọn các đối tượng phụ thuộc trên màn hình. Crop Picture to Polygon Tạo ra một hình mới là phần giao của một hình ảnh với một đa giác đã được chọn. Split/Merge Tách/nhập các đối tượng (điểm, văn bản). Edit Definition (Calculation, Function, Parameter, Plotted Point) Thay đổi định nghĩa của các phép toán, hàm số, tham số, điểm đã dựng. Properties Xem thuộc tính của đối tượng được chọn. Preferences Đặt các kiểu hiển thị (đơn vị, màu sắc). 2.2.3. Menu Display 17 Line Style Thay đổi nét vẽ cho đối tượng (đứt khúc, liền mảnh, liền đậm). Color Thay đổi màu sắc cho đối tượng. Text Thay đổi kiểu chữ và kích cỡ cho văn bản. Hide Objects Giấu các đối tượng được chọn. Show All Hidden Hiện tất cả các đối tượng đã được ẩn trước đó. Show Label Hiện nhãn (tên) của một đối tượng. Label Đặt tên cho một đối tượng. Trace Tạo vết cho đối tượng. Erase Traces Xóa hết vết trên trang hình. Animate Kích hoạt chuyển động một đối tượng. Increase/Decrease Speed Tăng/giảm tốc độ chuyển động. Stop Animation Dừng chuyển động. Hide/Show Text Palette Ẩn/Hiện thanh văn bản. Hide/Show Motion Controller Ẩn/Hiện hộp điều khiển chuyển động. Hide/Show Toolbox Ẩn/Hiện hộp công cụ. 2.2.4. Menu Construct Point On Object Dựng điểm trên đối tượng. Midpoint Dựng trung điểm của đoạn thẳng. Intersection Dựng giao điểm của hai đối tượng. Segment Dựng đoạn thẳng qua hai điểm. Ray Dựng tia có điểm đầu làm gốc và điểm thứ hai thuộc tia. 18 Line Dựng đường thẳng qua hai điểm. Perpendicular Line Dựng đường thẳng qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng được chọn. Parallel Line Dựng đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng được chọn. Angle Bisector Dựng tia phân giác trong của một góc khi biết đỉnh của góc và hai điểm thuộc hai cạnh của góc (khác đỉnh). Circle By Center And Point Dựng đường tròn có tâm là điểm đầu và đi qua điểm chọn thứ hai. Circle By Center & Radius Dựng đường tròn có tâm và độ dài bán kính xác định bởi đoạn thẳng hoặc số đo khoảng cách đã được chọn. Arc On Circle Dựng cung tròn qua hai điểm trên một đường tròn (chọn tâm đường tròn chứa cung tròn, xác định điểm đầu và điểm cuối của cung tròn theo chiều dương lượng giác). Arc Through Three Points Dựng cung tròn qua ba điểm bất kỳ. Interior Dựng miền trong của một đa giác, của một đường tròn, của một hình quạt tròn (chọn lần lượt các đỉnh của đa giác hoặc đường tròn, cung tròn). Locus Dựng quỹ tích của một đối tượng (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng) khi đối tượng đó di chuyển theo một điểm di động cho trước. 2.2.5. Menu Transform Mark Center Đánh dấu điểm làm tâm quay hay tâm vị tự. Mark Mirror Đánh dấu đường thẳng làm trục đối xứng. Mark Angle Đánh dấu góc quay. Mark Ratio Đánh dấu tỉ số của hai đoạn thẳng, của ba điểm thẳng hàng hoặc một giá trị không có đơn vị. Mark Vector Đánh dấu vector để tịnh tiến. 19 Mark Distance Đánh dấu giá trị đại diện cho khoảng cách để sử dụng trong phép tịnh tiến (Polar / Rectangular). Translate Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép tịnh tiến theo một vector đã xác định trước đó hoặc theo một khoảng và một hướng xác định, hoặc theo tọa độ chữ nhật. Rotate Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép quay có tâm quay và góc quay đã được xác định trước đó. Dilate Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép vị tự có tâm và tỉ vị tự đã được xác định trước đó. Reflect Cho phép tạo ảnh của đối tượng được chọn qua phép đối xứng trục có trục đối xứng đã được xác định trước. Iterate Phép lặp. Define Custom Transform Tạo ra một phép biến hình thường dùng (khác với các phép biến hình đã có). Edit Custom Transform Thay đổi tên, thứ tự hoặc xóa một phép biến hình thường dùng đã được tạo trước đó. 2.2.6. Menu Measure Length Đo độ dài của một đoạn thẳng. Distance Đo khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Perimeter Đo chu vi của một đa giác (bằng cách chọn miền trong của đa giác đó). Circumference Đo chu vi của đường tròn. Angle Đo độ lớn của một góc. Area Đo diện tích của một hình. Arc Angle Đo số đo của một cung. 20 Arc Length Đo độ dài của một cung. Radius Đo bán kính của một đường tròn hoặc một cung tròn Ratio Đo tỉ số của hai đoạn thẳng hoặc tỉ số đại số của ba điểm thẳng hàng. Value of Point Đo vị trí tương đối của điểm đã chọn trên đường (đoạn thẳng, đường thẳng, tia, cung tròn, đường tròn) mà nó được dựng. Coordinates Đo tọa độ của điểm. Abscissa (x) Đo hoành độ của điểm. Ordinate (y) Đo tung độ của điểm. Coordinate Distance Đo khoảng cách giữa hai điểm dựa trên hệ trục tọa độ đã được xác định. Slope Đo hệ số góc của mỗi đường thẳng được chọn đối với một hệ trục xác định. Equation Cho phương trình của đường thẳng, đường tròn trong một hệ trục xác định. 2.2.7. Menu Number New Parameter Tạo tham số mới. Để thay đổi giá trị của một tham số ta có thể chọn tham số và nhấn phím + hoặc -. Calculate Máy tính. Tabulate Tạo một bảng tính các giá trị tương ứng tại các giá trị khác nhau của biến. Add Table Data Thêm một hoặc nhiều hàng dữ liệu vào bảng giá trị. Remove Table Data Xóa một hoặc tất cả các hàng dữ liệu của bảng giá trị. New Function Tạo ra một hàm số mới bằng máy tính. Define Derivative Function Tạo ra một hàm số mới là đạo hàm của hàm số được chọn. Define Function from Drawing Tạo ra một hàm số mới từ hình vẽ bằng công cụ maker hoặc bức tranh trong một hệ trục xác định. 21 2.2.8. Menu Graph Define Coordinate System Tạo một hệ trục tọa độ và đánh dấu hệ trục. Mark Coordinate System Đánh dấu hệ trục tọa độ. Grid Form Chọn dạng lưới cho hệ trục tọa độ (lưới tọa độ cực, lưới vuông hoặc lưới chữ nhật). Show/Hide Grid Hiện/Ẩn lưới. Dotted Grid Chọn/Thôi chế độ lưới tọa độ điểm. Snap Points Chọn/Thôi chế độ điểm tự do có tọa độ nguyên khi dịch chuyển. Plot Value on Axis (Circle/Segment/Ray) Dựng điểm trên đường (đoạn thẳng, đường thẳng, tia, cung tròn, đường tròn) bằng cách nhập giá trị từ bàn phím hoặc có sẵn trên trang hình. Plot Points Dựng điểm bằng cách nhập tọa độ trực tiếp từ bàn phím. Plot Table Data Dựng các điểm từ bảng giá trị. Plot New Function Dựng đồ thị của hàm số được nhập từ máy tính hoặc có sẵn trên trang hình. II. Thiết kế một số mô hình hình học phẳng 1. Thiết kế mô hình hỗ trợ giải bài toán quỹ tích Bài toán. Cho đường tròn đường kính AB. Từ một điểm H thuộc đoạn AB kẻ đường vuông góc với AB cắt đường tròn tại các điểm C, D. M là một điểm trên cung nhỏ BC, CD cắt AM tại I và đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt MD tại điểm thứ hai C’. Tìm quỹ tích điểm C’ khi M di chuyển trên cung nhỏ BC. - Mở trang mới; - Sử dụng công cụ thước thẳng Segment Straightedge Tool dựng đoạn AB; 22 - Chọn đoạn AB vào Construct | Midpoint ta được trung điểm O của AB; - Dựng đường tròn đường kính AB bằng cách dùng công cụ đường tròn Compass Tool kích vào tâm O và điểm A; - Lấy điểm H thuộc đoạn AB bằng công cụ điểm Point Tool, chọn H và đoạn AB vào Construct | Perpendicular Line để dựng đường thẳng vuông góc với AB tại H; kích vào hai điểm giao của đường thẳng và đường tròn, đặt tên là C, D; - Chọn tâm O, điểm B, C theo thứ tự (cung nhỏ) và Construct | Arc on Circle ta được cung nhỏ BC; lấy điểm M trên cung nhỏ vừa dựng (kiểm tra điểm M chỉ chạy trên cung nhỏ BC); - Dựng các đoạn thẳng AM, DM và giao điểm I của AM với CD; dùng công cụ đa giác Polygon Tool lần lượt kích và 3 điểm A, I, D (kích 2 lần vào điểm D để kết thúc dựng tam giác) ta được tam giác AID; - Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác AID: Chọn 3 điểm A, I, D áp dụng Construct | Arc through 3 Points để dựng cung tròn qua ba điểm, tương tự đối với 3 điểm I, A, D; - Dựng giao điểm thứ hai C’ của MD và đường tròn ngoại tiếp tam giác AID; M chuyen dong C' I D C OA BH M Hình 2.1 - Tạo vết cho điểm C’ bằng cách chọn C’ vào Display | Trace Intersection; - Tạo nút lệnh hoạt hình cho điểm M: chọn M, Edit | Action Button | Animation; đổi tên nút lệnh bằng cách chọn nút lệnh, Edit | Properties | Label và đánh vào “M chuyen dong”; Hình 2.2 - Kích vào nút lệnh M chuyen dong để học sinh quan sát quỹ tích của điểm C’, kéo điểm M đến những vị trí đặc biệt giúp học sinh dự đoán quỹ tích. Bài toán 2. Cho đường tròn (O), đường thẳng d và tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm tuỳ ý, dựng điểm D sao cho MD MA MB MC= + +uuuur uuur uuur uuuur . Tìm quỹ tích của D khi điểm M di dộng trên đường thẳng d, trên đường tròn (O). - Mở trang mới; - Dựng đường tròn (O) bằng công cụ đường tròn Compass Tool; đường thẳng d bằng công cụ đường thẳng Line Straightedge Tool và tam giác ABC bằng công cụ đa giác Polygon Tool kích lần lượt vào 3 điểm trên đường tròn (O); dựng điểm M 23 tuỳ ý bằng công cụ điểm Point Tool; - Dựng điểm E sao cho ME MA MB= + uuur uuur uuur bằng cách dựng điểm E là ảnh của điểm M qua phép quay tâm I góc 180o, với I là trung điểm đoạn AB - chọn đoạn AB vào Construct | Midpoint, góc quay 1800 (phép đối xứng tâm I) bằng cách kích đúp điểm I để đánh dấu tâm quay, chọn M vào Transform | Rotate | 1800; E I O MA B C Hình 2.3 - Tương tự, dựng điểm D sao cho MD MA MB MC ME MC= + + = + uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur ; - Chọn các đối tượng điểm I, E, đoạn ME vào Display | Hide Objects để ẩn các đối tượng này; - Tạo nút lệnh chuyển động cho điểm M, tạo vết cho điểm D; - Chọn điểm M, đường tròn (O) áp dụng Edit | Merge Point to Circle; kích vào nút lệnh M chuyển động ta sẽ thấy điểm M di chuyển trên đường tròn (O); - Để giúp học sinh dự đoán được quỹ tích của điểm D ta tạo vết cho đoạn MD (chọn MD vào Display | Trace Segment), kéo điểm M đến một số vị trí trên đường tròn để học sinh quan sát vết của các đoạn MD luôn đi qua một điểm, dự đoán điểm cố định này bằng cách cho M trùng với các vị trí đặc biệt như các đỉnh A, B, C của tam giác; M chuyen dong D O A B C M Hình 2.4 - Để quan sát quỹ tích của điểm D khi M chuyển động trên đường thẳng d ta thực hiện như sau: Xóa các vết trên màn hình bằng cách vào Display | Eraser Trace, chọn điểm M và đường tròn áp dụng Edit | Split Point from Circle tách điểm M khỏi đường tròn, tiếp tục chọn M và đường thẳng vào Edit | Merge Point to Line, kích vào nút lệnh M chuyển động để quan sát vết của điểm D khi M di chuyển trên đường thẳng d. 24 M chuyen dong D O A B C M Hình 2.5 BÀI TẬP 1. Thiết kế mô hình bằng phần mềm GSP hỗ trợ học sinh giải các bài toán quỹ tích sau: Bài 1. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm S thuộc đường thẳng AB nhưng ở ngoài đường tròn và điểm A nằm giữa hai điểm S, B. Qua S, kẻ một cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm M và M’ (điểm M nằm giữa hai điểm S, M’) AM và BM’ cắt nhau tại điểm P. Tìm quỹ tích điểm P khi đường thẳng SMM’ quay xung quanh S. Bài 2. Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm. Bài 3. Cho một đường thẳng d và một điểm A không nằm trên d cùng cố định. Gọi (O) là đường tròn di động đi qua A và tiếp xúc với D tại B. Tìm tập hợp hình chiếu M của tâm O xuống AB. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC thuộc miền ngoài của tam giác. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa đường tròn trên lần lượt tại D và E. Tìm tập hợp trung điểm F của đoạn DE. Bài 5. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt (O) ở A và M, cắt (O’) tại A và M’. Gọi P, P’ lần lượt là trung điểm của AM và AM’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP’ và quỹ tích trung điểm J của đoạn thẳng MM’. Bài 6. Cho hai điểm A, B cố định, đường tròn (O) và đường thẳng d. C là một điểm tuỳ ý trên mặt phẳng, dựng điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm quỹ tích của điểm D khi C di động trên đường tròn (O), khi C di dộng trên đường thẳng d. 2. Thiết kế một số mô hình phép biến hình Ví dụ 1. Phép tịnh tiến động - Mở trang mới; - Dựng tam giác ABC bằng công cụ đa giác Polygon Tool và hai điểm M, N tùy ý bằng công cụ điểm Point Tool; - Dựng vector u qua M, N bằng cách chọn Custom Tool | vector, kích vào điểm M, N; Dùng công cụ Text Tool để ghi u , chọn đoạn MN, Construct | Midpoint để 25 có trung điểm I, sau đó chọn điểm I vào Transform | Translate chọn các ô như hình vẽ thì ta được điểm I’ là ảnh của điểm I qua phép tịnh tiến lên trên 0.5cm; Chọn điểm I’, chữ u , Shift (đè phím phím Shift) Edit | Merge Text to Point, giấu các điểm I, I’ và giấu tên M, N (Edit | Hide Labels), lúc này ta được u ; uI' I M N u Hình 2.6 - Tịnh tiến điểm A theo vector u để được điểm I bằng cách chọn điểm gốc, điểm ngọn của u vào Transform | Mark Vector đánh dấu vector tịnh tiến, chọn điểm A áp dụng Transform | Translate, đặt tên điểm mới dựng được là I; - Sử dụng công cụ thước thẳng Segment Straightedge Tool để dựng đoạn AI, lấy điểm A’ tùy ý trên AI; - Tịnh tiến tam giác ABC theo vector 'AA uuur ta được tam giác A’B’C’; - Tạo hình động bằng cách: * Chọn A’, I vào Edit | Action Buttons | Movement | Move | Speed | medium, đặt lại tên cho nút lệnh tinhtien; * Chọn A’, A vào Edit | Action Buttons | Movement | Move | Speed | Instant, đổi tên cho nút lệnh reset; Hình 2.7 - Chọn đoạn AI, điểm I, áp dụng Display | Hide Objects để giấu các đối tượng được chọn; - Dựng các đoạn AA’, BB’, CC’ và cho hiển thị các số đo của AA’, BB’, CC’, |u | bằng cách chọn điểm đầu, điểm cuối, Measure | Distance. - Nhấn lần lượt các nút lệnh reset, tinhtien để quan sát, có thể thay đổi vector u hoặc tam giác ABC. Hình 2.8 26 Ví dụ 2. Một ứng dụng của phép quay - Mở trang mới; - Dựng tam giác đều ABC bằng cách dựng đoạn AB và quay đoạn thẳng này quanh A một góc 60o; - Chọn cạnh AC áp dụng Construct | Midpoint để dựng trung điểm I của AC; - Dựng phân giác trong của góc BAC∠ bằng cách chọn ba điểm B, A, C và vào Construct | Angle Bisector; - Kích đúp vào điểm I, chọn đoạn AC, áp dụng Transform | Rotate | - 30o ta được ảnh của cạnh AC qua phép quay tâm I góc quay -30o cắt đường phân giác trên tại điểm M, tiếp tục quay điểm M quanh I một góc 180o ta được điểm M’; - Dựng đường gấp khúc AMM’C bằng công cụ Segment Straightedge Tool và lần lượt quay đường gấp khúc trên quanh A một góc 60o và quanh C một góc -60o; - Chọn các đỉnh của đa giác mới tạo thành bở