Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học Toán (Phần 2)

ủa phép quay quanh trục. Hình 3.14 4. Phép vị tự trong không gian - Mở trang mới. - Tạo thanh trượt tỉ số vị tự k: * Dựng đường thẳng Ox là đường thẳng có giá trùng với giá của vector 1e uur , * Lấy điểm K thuộc đường thẳng Ox, đo toạ độ điểm K bằng công cụ tọa độ và phương trình. * Dùng máy tính lấy hoành độ của điểm k và nhấn phím chèn. Sửa kết quả mới lấy được là k. Kéo điểm K để thấy giá trị k thay đổi. Hình 3.15 * Dựng đoạn thẳng OK; giấu đường thẳng Ox, các vector đơn vị và tọa độ điểm K, ta có thanh trượt tham số k; - Dựng điểm I trong không gian và một đa giác trên mặt phẳng cơ sở, chọn công cụ hình chóp kích vào điểm I và đa giác. Dùng công cụ phép vị tự dựng ảnh của hình chóp qua phép vị tự tâm O tỉ số k. - Thay đổi tỉ số k, quan sát mô hình, sử dụng công cụ khoảng cách, công cụ máy tính để so sánh các tính chất của phép vị tự trong không gian và phép vị tự trong phẳng. 63 - Gọi V là thể tích của hình chóp ban đầu và V’ là thể tích hình chóp ảnh, sử dụng công cụ thể tích đo V, V’, dùng máy tính tính giá trị V’/V, tìm mối liên hệ giữa giá trị này với tỉ số vị tự k. Hình 3.16 Khám phá xa hơn - Mở trang mới; - Dựng đường thẳng d có giá trùng với giá của 1e uur , lấy điểm A trên d; - Sử dụng công cụ số đo góc, đo góc tạo bởi ( 1e uur , 2e uur ); - Chọn công cụ phép quay, kích vào điểm A, giá trị 90o và vector 2e uur ta được điểm A’; - Dùng máy tính tính giá trị 90o/2 và tiếp tục quay điểm A quanh đường thẳng chứa 2e uur một góc 90o/2 để được điểm B; - Áp dụng công cụ cung đối với ba điểm A, B, A’; Hình 3.17 - Lấy điểm M di động trên cung ABA’, dựng đường thẳng OM, chọn công cụ mặt phẳng kích vào đường thẳng OM, 2e uur dựng mặt phẳng (P); 64 - Lúc này ta có một mặt phẳng (P) luôn cắt mặt phẳng cơ sở một góc bằng a (0o ≤ a ≤ 90o); - Dựng hình chóp tứ giác ABCD có đáy ABC nằm trên mặt phẳng cơ sở. Hình 3.18 - Dùng công cụ phép đối xứng mặt phẳng dựng ảnh A’B’C’D’ của ABCD qua mặt phẳng (P); tiếp tục dựng ảnh của A’B’C’D’ qua phép đối xứng mặt phẳng cơ sở (hình 3.19). Hình 3.19 Dựa vào mô hình tìm mối liên hệ giữa hai hình chóp ABCD và A”B”C”D”, sử dụng các công cụ phép biến hình để kiểm tra. Quan sát trong trường hợp đặc biệt khi góc giữa hai mặt phẳng là 0o và 90o. BÀI TẬP Bài 1. Thiết kế mô hình phân chia và lắp ghép một khối hộp thành năm khối tứ diện. Bài 2. Gọi Đ là phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và a là một đường thẳng nào đó. Giả sử Đ biến đường thẳng a thành đường thẳng a’. Thiết kế mô hình để thấy được trong những trường hợp nào thì a cắt a’, a song song với a’, a trùng a’, a và a’ chéo nhau. Bài 3. Thiết kế mô hình minh họa tính chất: a) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song là một phép tịnh tiến; b) Hợp thành của ba phép đối xứng qua ba mặt phẳng song song là một phép đối xứng qua mặt phẳng; c) Hợp thành của ba phép đối xứng qua ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau là một phép đối xứng tâm. Bài 4. Dựng hình đa diện sau bằng phần mềm Cabri 3D 65 Bài 5. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Thiết kế mô hình hỗ trợ việc kiểm tra tỉ số thể tích của hai phần trên. III. Thiết kế một số mô hình mặt tròn xoay 1. Mặt tròn xoay Mô hình 1. Nếu hình (H) là đường tròn có đường kính AB nằm trên đường thẳng d thì mặt tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh d là mặt cầu đường kính AB. - Mở trang mới; - Dựng điểm O trên mặt phẳng cơ sở với công cụ điểm; - Sử dụng công cụ vuông góc dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng cơ sở và qua điểm O; - Lấy điểm A trên đường thẳng d, dùng công cụ phép đối xứng mặt phẳng dựng điểm B đối xứng của điểm A qua mặt phẳng cơ sở; dựng đoạn thẳng OA; - Dựng đường tròn (C1) trong mặt phẳng cơ sở nhận O làm tâm và có bán kính là độ dài đoạn thẳng OA; - Lấy điểm C trên đường tròn (C1), dựng đường tròn (C2) qua ba điểm A, C và B bằng cách dùng công cụ đường tròn, kích lần lượt vào các điểm A, C, B; Hình 3.20 Hình 3.21 - Giấu mặt phẳng cơ sở; - Dùng công cụ quỹ đạo kích vào đường tròn (C2); - Chọn điểm C, Cửa sổ | Hoạt náo, thay đổi vận tốc hoạt náo khác 0 và kích vào ô Khởi động hoạt náo, quan sát vết của các đường tròn (C2). Mô hình 2. Nếu hình (H) là đường tròn nằm trong cùng một mặt phẳng với đường thẳng d nhưng không cắt d thì mặt tròn xoay sinh bởi đường tròn đó khi quay quanh d là mặt xuyến. 66 - Mở trang mới; - Dựng điểm P, điểm A trên mặt phẳng cơ sở bằng công cụ điểm; - Dùng công cụ vuông góc, dựng đường thẳng D1 vuông góc với mặt phẳng cơ sở và qua điểm P; - Dựng đường tròn (C1) nhận đường thẳng D1 làm trục và đi qua điểm A bằng công cụ đường tròn; Hình 3.22 - Lấy điểm O di động trên đường tròn (C1); - Chọn công cụ mặt phẳng, dựng mặt phẳng (P2) qua đường thẳng D1 và điểm O; - Sử dụng công cụ đoạn thẳng dựng đoạn thẳng R trên mặt phẳng cơ sở. - Dựng đường tròn (C2) trong mặt phẳng (P2), có tâm điểm là điểm O và có bán kính bằng độ dài của đoạn thẳng R; Thay đổi đoạn R để (C2) không cắt D1; - Giấu mặt phẳng cơ sở và mặt phẳng P2 bằng cách sử dụng chức năng Soạn thảo | Che/Hiện; - Dùng công cụ quỹ đạo kích vào đường tròn (C2); Hình 3.23 - Chọn điểm O, Cửa sổ | Hoạt náo, thay đổi vận tốc hoạt náo và kích vào ô Khởi động hoạt náo, quan sát vết của các đường tròn (C2). Mô hình 3. Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường cong (C). Khi quay mặt phẳng (P) quanh d một góc 360o thì mỗi điểm M trên đường (C) vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc d và nằm trên mặt phẳng vuông góc với d. Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng d thì đường cong (C) sẽ tạo nên một mặt tròn xoay. - Mở trang mới - Với công cụ đường thẳng, dựng trục Ox, Oy là các đường thẳng có giá trùng với giá các vector đơn vị 1e uur , 2e uur . - Dựng đoạn AB trên trục Ox bằng công cụ đoạn thẳng, lấy điểm I di động trên đoạn ab. Đo tọa độ điểm I bằng công cụ tọa độ và phương trình. - Dùng máy tính, tính giá trị của hàm số y = 2 + sin (x) tại x = xI; 67 - Dùng công cụ chuyển số đo, kích vào y(xI), đường thẳng Oy, điểm O ta được điểm J. - Dựng trung điểm N của hai điểm I, J bằng công cụ trung điểm; - Dựng điểm M có toạ độ (xI, y(xI), 0) bằng cách dùng công cụ đối xứng tâm, kích vào điểm N, điểm O; - Sử dụng công cụ quỹ tích để tạo vết cho điểm M , cho điểm I dịch chuyển với chức năng hoạt náo ta có đồ thị hàm số y = 2 + sin (x) trong đoạn [a; b] (hình 3.24) Hình 3.24 - Giấu các đối tượng không cần thiết; - Dựng đường tròn đi qua điểm M và nhận Ox làm trục, tạo vết cho đường tròn (I), quan sát vết của đường tròn khi điểm I di động trong đoạn [a; b] (hình 3.25) Hình 3.25 Mô hình 4. - Mở trang mới; - Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng cơ sở và đi qua một điểm thuộc mặt phẳng đó với công cụ vuông góc; - Dựng góc quay động α (0 ≤ α ≤ 360o) - Sử dụng công cụ đường tròn dựng đường tròn (C1) nhận đường thẳng d làm trục và đi qua một điểm trong không gian - Chọn công cụ phép đối xứng mặt phẳng dựng đường tròn (C2) đối Hình 3.26 y = 2 + sin(x) 68 xứng với đường tròn (C1) qua mặt phẳng cơ sở; - Lấy điểm A trên đường tròn (C1) và điểm B trên đường tròn (C2) sao cho đường thẳng AB không song song với d hay điểm B không nằm trên mặt phẳng qua A và đường thẳng d, dựng đoạn AB; Hình 3.27 - Dùng công cụ phép quay, quay đoạn AB xung quanh đường thẳng d với góc quay α ta được đoạn A’B’; - Tạo vết cho đoạn A’B’ bằng cách sử dụng công cụ quỹ đạo và chọn đoạn A’B’, cho giá trị góc α thay đổi, quan sát quỹ tích của những đoạn thẳng A’B’. 2. Tiếp tuyến với mặt cầu - Mở trang mới; - Sử dụng công cụ hình cầu dựng hình cầu (S) có tâm O và đi qua điểm thứ hai khác O; Thay đổi kiểu bề mặt của hình cầu để dễ quan sát; - Lấy điểm A nằm ngoài hình cầu, dựng đoạn thẳng OA; - Dựng điểm M trên hình cầu (S), dùng công cụ mặt phẳng dựng mặt phẳng (P) chứa điểm M và đoạn OA; - Chọn công cụ đường giao tuyến dựng đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S); Đặt tên đường tròn vừa dựng là (C); - Dựng tiếp tuyến AT của đường tròn (C) bằng cách dùng công cụ đường tròn dựng đuờng tròn nằm trong mặt phẳng (P) có tâm là trung điểm của đoạn OA và đi qua điểm A, sau đó lấy giao điểm T của đường tròn vừa dựng với (C) và áp dụng công cụ tia dựng tia AT; chứng minh AT cũng là tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại T; Hình 3.28 - Thay đổi vị trí của mặt phẳng (P) bằng cách kéo điểm M trên hình cầu (S) quan sát các tiếp tuyến AT và các khoảng cách AT; 69 - Sử dụng chức năng Soạn thảo | Che/ Hiện giấu mặt phẳng (P) và đường tròn đường kính OA; - Chọn công cụ quỹ đạo kích vào tia AT, tiếp điểm T; Cho điểm M di chuyển trên hình cầu (S) và quan sát quỹ tích của các đối tượng này; Hình 3.29 - Quan sát các tiếp tuyến trong trường hợp A nằm trên mặt cầu (S) và A nằm trong mặt cầu (S). 3. Mặt cầu luôn đi qua một đường tròn cố định Bài toán. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 nhận IJ là đường vuông góc chung ( 1 2,I d J d∈ ∈ ). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và vuông góc với d2, (Q) là mặt phẳng song song với (P) cắt d1, d2 lần lượt tại A1, A2. Gọi H1 là hình chiếu của A1 trên (P). Thiết kế mô hình để minh họa rằng khi mặt phẳng (Q) thay đổi thì tâm mặt cầu qua các điểm I, J, A1, A2, H1 luôn thuộc một đường thẳng cố định và mặt cầu ấy luôn đi qua một đường tròn cố định. - Mở trang mới; - Với công cụ đoạn thẳng dựng đoạn IJ trên mặt phẳng cơ sở (P); - Sử dụng công cụ vuông góc dựng đường thẳng d2 qua J vuông góc với mặt phẳng (P); - Dựng đường thẳng qua I vuông góc với IJ trong mặt phẳng (P) bằng công cụ vuông góc; lấy điểm K trên đường thẳng vừa dựng, qua K dựng 1d ′ vuông góc với (P) tại K, lấy điểm H thuộc 1d ′ và dựng đường thẳng d1 qua I, H; Hình 3.30 - Chọn đường thẳng 1d ′ , IK áp dụng Soạn thảo | Che/Hiện; 70 - Lấy điểm A2 trên đường thẳng d2, dùng công cụ song song dựng mặt phẳng (Q) qua A2 và song song với (P), dựng giao điểm A1 của d1 với (Q) bằng công cụ điểm hoặc điểm giao; sử dụng công cụ vuông góc dựng đường thẳng qua A1 vuông góc với (P) cắt mặt phẳng đó tại H1; - Chọn công cụ trung điểm lần lượt kích vào điểm A1, J và đặt tên là O; sau đó dựng hình cầu tâm O đi qua điểm I với công cụ hình cầu; kiểm tra các điểm J, A1, A2, H1 cũng thuộc hình cầu này; Hình 3.31 - Sử dụng công cụ quỹ đạo kích vào tâm O của hình cầu, thay đổi mặt phẳng (Q) bằng cách kéo điểm A2, quan sát vết các tâm O; để ý hình cầu luôn đi qua những điểm cố định nào, dự đoán đường tròn cố định mà hình cầu luôn đi qua, kiểm tra dự đoán bằng công cụ mặt phẳng và đường giao tuyến, quan sát khi (Q) thay đổi. Hình 3.32 BÀI TẬP Bài 1. Thiết kế mô hình hình tròn xoay sinh bởi đoạn thẳng AB khi quay quanh một đường thẳng d cho trước. (Lưu ý có các trường hợp sau: AB cắt d, AB song song với d, AB và d đồng phẳng nhưng AB không cắt d, AB chéo d). Bài 2. Cho tam giác đều ABC, đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), S là điểm bất kỳ trên d và S khác A. Gọi A’ là điểm đối xứng của điểm A qua tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Thiết kế mô hình để minh họa rằng khi S thay đổi trên d thì A’ thuộc một đường thẳng cố định. Bài 3. Thiết kế mô hình để hỗ trợ học sinh tìm lời giải cho bài toán sau: Cho hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm C trong không gian sao cho ABC là tam giác đều, kí hiệu AA1 là đường cao và d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng chứa d và AA1, xét đường tròn đường kính AA1, gọi S là một giao điểm 71 của đường tròn này và đường thẳng d. Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì điểm S thuộc một đường tròn cố định và mỗi đường thẳng SA, SB thuộc một mặt nón cố định. Bài 4. Thiết kế mô hình như hình vẽ sau sao cho tính chất nội - ngoại tiếp của các hình vẫn đảm bảo khi thay đổi kích thước hình trụ ngoài cùng IV. Tọa độ trong không gian 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Mở trang mới; - Dựng đường thẳng d1 nằm trong mặt phẳng cơ sở; - Dựng điểm A trong mặt phẳng cơ sở không nằm trên đường thẳng d1, lấy điểm B trong không gian (sử dụng công cụ điểm, nhấn phím Shift và kéo lên hoặc xuống), dựng đường thẳng d2 qua hai điểm A và B, lúc này ta có hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau - Để có được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể sử dụng các cách sau: * Cách 1: sử dụng công cụ khoảng cách, lần lượt kích vào hai đường thẳng. Hình 3.33 * Cách 2: Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 , . , u u M M h u u         = uur uur uuuuuuur uur uur Trong đó, M1, M2 lần lượt thuộc d1, d2 và 1u uur , 2u uur là các vector chỉ phương của d1, d2. Sử dụng công cụ vector dựng 1u uur nằm trên đường thẳng d1, 2u uur nằm trên đường thẳng d2, 1 2M M uuuuuuur với M1, M2 là hai điểm trên d1, d2; 72 Chọn công cụ tích vector kích vào 1u uur , 2u uur và một điểm trên mặt phẳng cơ sở ta được 3u uur ; Áp dụng công cụ tích vô hướng đối với vector 3u uur và 1 2M M uuuuuuur , sử dụng công cụ độ dài đo độ dài vector 3u uur ; Dùng máy tính tính giá trị khoảng cách h. Hình 3.34 * Cách 3. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và đo độ dài đoạn vuông góc chung đó. Dựng đường thẳng d qua A, song song với d1; Sử dụng công cụ mặt phẳng, dựng mặt phẳng (d, d2); Lấy điểm C trên đường thẳng d1, dựng đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (d, d2) bằng công cụ vuông góc cắt mặt phẳng này tại điểm C’ (lúc này ta có thể có giá trị khoảng cách giữa d1 và d2 bằng cách sử dụng công cụ khoảng cách đối với hai điểm C, C’ hoặc đối với C và mặt phẳng (d, d2)); Với công cụ song song, dựng đường thẳng qua C’ song song với d1 cắt d2 tại J và đường thẳng qua J song song với CC’ cắt d1 tại I; Hình 3.35 Đo độ dài đoạn IJ với công cụ khoảng cách hoặc độ dài; Thay đổi vị trí của hai đường thẳng d1, d2, quan sát các giá trị khoảng cách có được trong ba cách trên. 2. Phương trình đường thẳng Bài toán. Cho đường thẳng : 8 4 3 2 x t d y t z t      = = + = + và mặt phẳng (P): 7 0x y z+ + − = . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). 73 - Mở trang mới; - Dựng đường thẳng d đi qua hai điểm A(0,8,3) và B(-2,0,-1) bằng cách lấy một điểm trong không gian với công cụ điểm, kích đúp vào điểm vừa dựng, trên màn hình sẽ xuất hiện ô tọa độ, sửa các giá trị và chọn thay đổi tọa độ ta thấy điểm sẽ di chuyển đến vị trí có tọa độ vừa được nhập vào; sử dụng công cụ đường thẳng dựng đường thẳng d qua hai điểm A, B; (khi dựng điểm thứ hai có tọa độ cho trước, ta chỉ cần đưa con trỏ ra ngoài và kích chuột, lúc đó giá trị trong các ô tọa độ trở về 0, nhập các giá trị để dựng điểm mới, lưu ý không dịch chuyển các điểm nếu không tọa độ của chúng sẽ thay đổi) - Tương tự như trên, dựng mặt phẳng (P) qua ba điểm M(0,0,7), N(0,7,0), Q(7,0,0); - Dựng giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P) với công cụ điểm, sử dụng công cụ vuông góc dựng đường thẳng qua B vuông góc với mặt phẳng (P) tại H; - Chọn công cụ đường thẳng dựng đường thẳng qua hai điểm H, I; áp dụng công cụ toạ độ & phương trình đối với đường thẳng vừa dựng ta có phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Hình 3.36 3. Phương trình mặt phẳng Bài toán. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: (P): 2x – y + z + 2 = 0 và (Q): x + y + 2z – 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm B(-1,3,4), vuông góc với cả (P) và (Q). - Mở trang mới; - Dựng ba điểm có tọa độ lần lượt là (-1,0,0), (0,2,0), (0,0,-2), sử dụng công cụ mặt phẳng dựng mặt phẳng (P) qua ba điểm trên, dùng công cụ tọa độ & phương trình để có phương trình của mặt phẳng vừa dựng; - Tương tự dựng mặt phẳng (Q) qua ba điểm (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1/2); - Giấu mặt phẳng cơ sở và các vector đơn vị; dựng điểm B(−1,3,4); - Chọn công cụ vuông góc dựng các đường thẳng qua B lần lượt vuông góc với mặt phẳng (P), (Q); 74 - Dựng mặt phẳng qua hai đường thẳng trên bằng công cụ mặt phẳng, đó chính là mặt phẳng (R) vuông góc với cả (P) và (Q), phương trình của mặt phẳng (R) có được bằng cách áp dụng công cụ tọa độ và phương trình đối với (R). Hình 3.37 BÀI TẬP Thiết kế mô hình để minh họa và hỗ trợ kiểm tra kết quả những bài toán sau: Bài 1. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;6;2), B(4;0;6), C(5;0;4), D(5;1;3). Cho biết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) và tọa độ tiếp điểm. Bài 2. Cho đường thẳng d: 3 2 3 3 11 3 x t y t z t = +  = − +  = và mặt phẳng (P): 3 1 0x y z− + − = . Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mp(P) và phương trình đường thẳng d1 đi qua gốc tọa độ O cắt d và song song với mp(P). Bài 3. Cho điểm A(2;3;1) và hai đường thẳng d1: 2 2 2 x t y t z t = − −  = +  = , d2: 5 2 3 1 1 x y z+ − = = − Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả d1 và d2. Tính khoảng cách từ A đến d2. Bài 4. Cho hai đường thẳng d1: 1 2 3 x t y t z t = +  = − +  = − và d2: 1 6 1 2 3 x y z− − = = . Tính góc giữa 2 đường thẳng và khoảng cách giữa chúng. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. 75 Bài 5. Cho hai đường thẳng d1: 7 3 2 2 1 2 x t y t z t = +  = +  = − và d2: 1 2 5 2 3 4 x y z− + − = = − . Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp chứa d1, d2 và ba mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trên. V. Một số dạng toán khác 1. Thiết diện Bài toán: “Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = a. M thuộc cạnh AC, đặt AM = x. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với SA, BD. Tìm giá trị của x để diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp có giá trị lớn nhất.” - Dựng hình vuông ABCD trên mặt phẳng cơ sở bằng cách dùng công cụ hình vuông kích vào một điểm tâm và một đỉnh; - Sử dụng công cụ hình cầu dựng hình cầu tâm A đi qua điểm B, lấy điểm S trên mặt cầu, che hình cầu với chức năng Soạn thảo | Che/Hiện; - Dùng công cụ hình chóp kích vào điểm S và hình vuông ABCD ta được hình chóp S.ABCD, chọn kiểu của bề mặt cho hình chóp và hình vuông là rỗng; - Dựng đoạn AC và lấy điểm M di động trên AC, dựng đoạn BD; - Dùng công cụ song song kích vào điểm A, đoạn BD ta được đường thẳng d qua A, song song với BD; - Dựng mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau SA và d bằng cách sử dụng công cụ mặt phẳng lần lượt kích vào hai đường thẳng đó; - Sử dụng công cụ song song kích vào điểm M, mặt phẳng (SA,d) để dựng mặt phẳng (P) qua M và song song với SA, BD; - Che đường thẳng d, mặt phẳng (SA,d); - Dùng công cụ đường cắt đa diện kích vào mặt phẳng (P), hình chóp S.ABCD ta được một hình đa diện mới, dùng công cụ đa giác kích vào mặt của đa diện mới nằm trên (P) để có thiết diện; - Giấu hình đa diện mới, dựng lại hình chóp S.ABCD; Hình 3.38 76 - Sử dụng công cụ diện tích, đo diện tích của thiết diện, kéo điểm M di chuyển trên đoạn AC, quan sát giá trị diện tích và dự đoán vị trí điểm M để diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp có giá trị lớn nhất. Thay đổi các vị trí của điểm S, kiểm tra kết quả dự đoán. Hình 3.39 2. Quỹ tích Bài toán: “Trong mp (P) cho 2 điểm A và B phân biệt, SA vuông góc với (P), d là đường thẳng nằm trong (P) và đi qua điểm B. H là chân đường vuông góc kẻ từ S tới d, AK là đường cao của tam giác SAH. Dự đoán quỹ tích của điểm K.” - Dựng hai điểm A, B trên mặt phẳng cơ sở (P); - Dùng công cụ vuông góc, kích vào điểm A, mặt phẳng (P) để dựng đường thẳng k qua A vuông góc với (P), lấy điểm S trên k, che đường thẳng k; - Dựng đường tròn trong mặt phẳng cơ sở, tâm B, bán kính tùy ý; - Lấy điểm quay thuộc đường tròn (B), dựng đường thẳng d qua hai điểm B và quay; Hình 3.40a Hình 3.40b - Sử dụng công cụ vuông góc + Ctrl kích vào điểm S, đường thẳng d ta được đường thẳng qua S vuông góc với d, đặt tên giao điểm là H, che đường thẳng vuông góc, dựng đoạn SH; - Tương tự dựng đoạn AK vuông góc với SH tại K; - Tạo vết cho điểm K bằng công cụ quỹ đạo, chọn Cửa sổ | Hoạt náo, kích vào điểm quay, Khởi động hoạt náo để quay đường thẳng d quanh B; - Quan sát và dự đoán quỹ tích của điểm K; Dùng công cụ vuông góc và đường tròn để kiểm tra kết quả dự đoán. 3. Điểm cố định 77 Bài toán. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi D là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc d, khác A, gọi K là trực tâm của tam giác MBC và d1 là đường thẳng đi qua K và vuông góc với mặt phẳng (MBC). Tìm điểm cố định mà đường thẳng d1 luôn đi qua khi M thay đổi trên d. - Mở trang mới; - Dùng công cụ tam giác đều dựng tam giác ABC đều có tâm I và đỉnh A trên mặt phẳng cơ sở; - Dựng đường thẳng d qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) bằng công cụ vuông góc; Lấy điểm M di động trên d; - Sử dụng công cụ đa giác dựng tam giác MBC, sau đó dựng đường cao kẻ từ đỉnh M với công cụ vuông góc, nhấn Ctrl, kích vào điểm M và BC, dùng công cụ số đo góc để đánh dấu góc vuông; tương tự dựng đường cao kẻ từ đỉnh C; - Dùng công cụ điểm dựng giao điểm hai đường cao ở trên để được trực tâm K của tam giác MBC; - Dựng đường thẳng d1 qua K vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác MBC; - Chọn công cụ quỹ đạo kích vào đường thẳng d1, kéo điểm M dọc đường thẳng d, quan sát vết của các đường thẳng d1 và dự đoán điểm cố định mà d1 luôn đi qua khi M di chuyển trên d. Hình 3.41 4. Đường thẳng cố định Bài toán. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A’B’, BC, DD’ sao cho 'A M BN DP= = . Chứng tỏ rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định khi M, N, P thay đổi. - Mở trang mới; - Dựng hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng cách dùng công cụ hình lập phương kích vào tâm và đỉnh A’ của mặt A’B’C’D’ trong mặt phẳng cơ sở; - Lấy điểm M di động trên cạnh A’B’, dùng công cụ khoảng cách đo độ dài đoạn A’M; - Sử dụng công cụ tia dựng các tia BC, DD’; 78 - Chọn công cụ chuyển số đo kích vào số đo đoạn A’M, tia BC để dựng điểm N trên cạnh BC với BN = A’M, tương tự dựng điểm P trên cạnh DD’ để DP = A’M; - Dùng công cụ tam giác dựng tam giác MNP, dựng hai đường trung tuyến trong tam giác này bằng công cụ trung điểm và công cụ đoạn thẳng, tiếp theo dựng giao điểm G của chúng; - Áp dụng công cụ quỹ đạo cho điểm G, để thay đổi M, N, P ta chỉ cần dịch chuyển điểm M trên cạnh A’B’ bằng cách kéo với chuột hoặc sử dụng chức năng Hoạt náo, quan sát vết của các điểm G và dự đoán đường thẳng cố định mà điểm G luôn thuộc. Hình 3.42 5. Mặt phẳng cố định Bài toán. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong một mặt phẳng. M là một điểm của cạnh AD, N là một điểm chuyển động trên cạnh BE sao cho AM:AD = BN:BE. Chứng tỏ rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định - Mở trang mới; - Dựng hình bình hành ABEF trong mặt phẳng cơ sở bằng cách: * Dùng công cụ tam giác dựng tam giác ABE; * Dựng trung điểm I của đoạn AE với công cụ trung điểm; * Sử dụng công cụ phép đối xứng tâm dựng điểm F đối xứng với B qua I; * Giấu tam giác ABE nhờ chức năng Che | Hiện, dùng công cụ đa giác dựng hình bình hành qua bốn điểm A, B, E, F; - Lấy một điểm N trong không gian không thuộc mặt phẳng (ABEF), dựng mặt phẳng qua AB và M bằng công cụ mặt phẳng; tiếp theo dựng hình bình hành ABCD trong mặt phẳng này; - Chọn công cụ điểm để dựng điểm M trên cạnh AD; - Trong mặt phẳng (ABCD) dựng đường thẳng qua M song song với AB, bằng công cụ song song, cắt cạnh BC tại M’; tiếp tục dựng đường thẳng qua M’ song song với đoạn CE cắt cạnh BE tại N; - Dựng đoạn thẳng MN, dựng tứ giác MM’NN’ với N’ là điểm có được bằng cách dựng giao điểm của cạnh AF với đường thẳng qua M song song CE; 79 - Áp dụng chức năng hoạt náo đối với điểm M, quan sát và dự đoán mặt phẳng cố định song song với MN. Hình 3.43 6. Đường tròn cố định Bài toán. Cho hai đường thẳng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d’ và vuông góc với d, gọi I là giao điểm của (P) và d. Lấy điểm A cố định thuộc d, khác I. hai điểm B, C thay đổi trên d’ sao cho mặt phẳng (B,d) vuông góc với mặt phẳng (C,d). BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng các điểm B’, C’ thuộc một đường tròn cố định. - Mở trang mới; - Dựng đường thẳng d’ trong mặt phẳng cơ sở và lấy điểm I cũng thuộc mặt phẳng này; - Dùng công cụ vuông góc dựng đường thẳng d qua I vuông góc với mặt phẳng cơ sở; dựng điểm A trên đường thẳng d; - Lấy điểm B di động trên d’ bằng công cụ điểm; - Sử dụng công cụ mặt phẳng dựng mặt phẳng (B,d) đi qua B và đường thẳng d; - Đường giao tuy