Giáo trình Toán cao cấp A3

rx xx y J r y y rr ϕ ϕ ′ ′ ϕ − ϕ∂ = = = = ′ ′ ϕ ϕ∂ ϕ . Vậy: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ). . xy r D r f x y dxdy d f r r rdr ϕβ α ϕ = ϕ ϕ ϕ∫∫ ∫ ∫
Chương 2. Tích phân bội Chú ý 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D là đường tròn hoặc elip. 2) Để tìm 1 2 ( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos , sinx r y r= ϕ = ϕ vào phương trình của biên D . 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên D tại 1 điểm thì: ( )2 0 0 ( cos , sin ) r I d f r r rdr ϕπ = ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
Chương 2. Tích phân bội 4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì: ( ) 0 ( cos , sin ) r I d f r r rdr ϕβ α = ϕ ϕ ϕ∫ ∫ . 5) Nếu biên của D là elip 2 2 2 2 1 x y a b + = thì ta đặt: cos , sinx ra y rb= ϕ = ϕ . Khi đó, D trở thành hình tròn: {( , ) : 0 2 , 0 1} r D r rϕ = ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ ≤ . Ta có Jacobien J abr= và: 2 1 0 0 ( cos , sin )I ab d f ra rb rdr π = ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
Chương 2. Tích phân bội VD 11. Hãy biểu diễn tích phân ( , ) D I f x y dxdy= ∫∫ trong tọa độ cực. Biết miền D nằm ngoài đường tròn 2 2 1 ( ) : 2C x y x+ = và nằm trong 2 2 2 ( ) : 4C x y x+ = . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 13
Chương 2. Tích phân bội VD 12. Tính tích phân 2 2( )x y D I e dxdy− += ∫∫ , trong đó D là hình tròn 2 2 2x y R+ ≤ . VD 13. Tính tích phân 2 2 4 D x y I dxdy a b      = − −        ∫∫ , D giới hạn bởi 2 elip nằm trong góc phần tư thứ nhất: 2 2 2 2 1 2 ( ) : 1, ( ) : 1 2 2 x y x y E E a b a b              + = + =                       .
Chương 2. Tích phân bội VD 14. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy ) giới hạn bởi: y x=− , 0y = và 2 2 2 23 3x y x y x+ = + − .
Chương 2. Tích phân bội  Công thức Walliss 1) 2 2 0 0 ( 1)!! , !! sin cos ( 1)!! . , 2 !! n n n n n xdx xdx n n n π π  −= =  −π ∫ ∫ leû chaün. Trong đó, !!n đọc là n Walliss, định nghĩa như sau: 0!! 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4;= = = = = 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8;...= = = =
Chương 2. Tích phân bội 2) 0 ( 1)!! 2. , !! sin ( 1)!! . , !! n n n n xdx n n n π  −=  −π ∫ leû chaün. 0 0, ( 1)!!cos . , !! n n nxdx n n π  −= π ∫ leû chaün. 3) 2 2 0 0 0, ( 1)!!sin cos 2 . , !! n n n nxdx xdx n n π π  −= =  π ∫ ∫ leû chaün.
Chương 2. Tích phân bội VD. 2 2 0 1!! sin . 2 2!! 4 xdx π π π = =∫ , 2 5 0 4 !! 8 cos 5!! 15 xdx π = =∫ , 5 0 cos 0xdx π =∫ , 6 0 5!! 15 sin . 6!! 48 xdx π π = π =∫ , 2 7 0 sin 0xdx π =∫ , 2 6 0 5!! 15 cos 2 . 6!! 24 xdx π π = π =∫ .
Chương 2. Tích phân bội §2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V không đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại điểm ( , , )P x y z là ( ) ( , , )P x y zρ ρ ρ= = . • Ta chia V thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau, thể tích mỗi phần là i V∆ , 1,i n= . Trong mỗi i V∆ ta lấy điểm ( , , ) i i i i P x y z và ký hiệu đường kính của i V∆ là i d . Khi đó, khối lượng của V xấp xỉ: 1 ( ). n i i i m P Vρ = ≈ ∆∑ . • Vậy max 0 1 lim ( ). i n i id i m P Vρ → = = ∆∑ (nếu giới hạn hữu hạn). ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 14
Chương 2. Tích phân bội 2.2. Định nghĩa tích phân bội ba • Cho hàm số ( , , )f x y z xác định trong miền đo được V trong không gian Oxyz . Chia miền V như bài toán mở đầu và lập tổng tích phân 1 : ( , , ) n n i i i i i I f x y z V = = ∆∑ . • Nếu max 0 1 lim ( , , ) i n i i i i d i I f x y z V → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm i P thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của hàm số ( , , )f x y z trên V . Ký hiệu: ( , , ) . V I f x y z dxdydz= ∫∫∫
Chương 2. Tích phân bội • Nếu tồn tại tích phân, ta nói ( , , )f x y z khả tích; ( , , )f x y z là hàm dưới dấu tích phân; , ,x y z là các biến tích phân. • Hàm số ( , , )f x y z liên tục trong miền V bị chặn và đóng thì khả tích trong V . Nhận xét  Nếu 0f ≥ trên V thì ( , , ) V I f x y z dxdydz= ∫∫∫ là khối lượng vật thể V , với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là ( , , )f x y z . Đặc biệt, nếu ( , , ) 1f x y z ≡ thì I là thể tích của V .  Tích phân bội ba có các tính chất như tích phân kép.
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT CẦU 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT TRỤ TRÒN 2 2 2( ) ( )x a y b R− + − =
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT TRỤ ELIP 2 2 2 2 1 x y a b + =
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT TRỤ PARABOL 2y ax= ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 15
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT NÓN 2 2z x y= +
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT PARABOLIC 2 2z x y= +
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT PARABOLIC 2 2z a x y= − −
Chương 2. Một số mặt bậc hai MẶT ELIPSOID 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + =
Chương 2. Tích phân bội 2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2.3.1. Đưa về tích phân lặp a) Chiếu miền V lên mpOxy Giả sử miền V có giới hạn trên bởi mặt 2 ( , )z z x y= , giới hạn dưới bởi 1 ( , )z z x y= , giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz . Gọi xy D là hình chiếu của V trên mpOxy . Khi đó: 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) . xy z x y V D z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz=∫∫∫ ∫∫ ∫
Chương 2. Tích phân bội Đặc biệt • Nếu 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} xy D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) . y x z x yb V a y x z x y f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ • Nếu 1 2 {( , ) : ( ) ( ), } xy D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , , ) . x y z x yd V c x y z x y f x y z dxdydz dy dx f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 16
Chương 2. Tích phân bội b) Chiếu miền V lên mpOxz Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy ) bởi hai mặt 2 ( , )y y x z= và 1 ( , )y y x z= , giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy . Gọi xz D là hình chiếu của V trên mpOxz . Khi đó: 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) . xz y x z V D y x z f x y z dxdydz dxdz f x y z dy=∫∫∫ ∫∫ ∫
Chương 2. Tích phân bội c) Chiếu miền V lên mpOyz Giả sử miền V có giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox ) bởi hai mặt 2 ( , )x x y z= và 1 ( , )x x y z= , giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh song song với trục Ox . Gọi yz D là hình chiếu của V trên mpOyz . Khi đó: 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) . yz x y z V D x y z f x y z dxdydz dydz f x y z dx=∫∫∫ ∫∫ ∫ Đặc biệt. Nếu miền [ ; ] [ ; ] [ ; ]V a b c d e f= × × thì ( , , ) ( , , ) . fb d V a c e f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫
Chương 2. Tích phân bội VD 1. Tính tích phân 8 V I xyzdxdydz= ∫∫∫ với miền V là hình hộp chữ nhật [1; 2] [ 1; 3] [0; 2]V = × − × . A. 12I = ; B. 24I = ; C. 48I = ; D. 96I = . VD 2. Tính tích phân lặp 2 1 1 2 1 0 (1 2 ) x I dx dy z dz − = +∫ ∫ ∫ và dựng miền lấy tích phân V .
Chương 2. Tích phân bội VD 3. Tính tích phân V I ydxdydz= ∫∫∫ với miền V giới hạn bởi 1x y z+ + = và 3 mặt phẳng tọa độ.
Chương 2. Tích phân bội 2.3.2. CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT Giả sử ( , , )x x u v w= , ( , , )y y u v w= , ( , , )z z u v w= có đạo hàm riêng liên tục trong miền uvw V đóng bị chặn trong không gian Ouvw . Nếu Jacobien ( , , ) 0 ( , , ) u v w u v w u v w x x x x y z J y y y u v w z z z ′ ′ ′ ∂ ′ ′ ′= = ≠ ∂ ′ ′ ′ thì ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . . uvw V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw= ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. Tích phân bội VD 5. Tính thể tích của khối elipsoid 2 2 2 2 2 2 2 : x y z V R a b c + + ≤ ( , , , 0)a b c R > . VD 4. Tính thể tích vật thể V xác định bởi: 2x y z x y z x y z− + + + − + + + − ≤ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 17
Chương 2. Tích phân bội 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ Đặt cos sin x r y r z z  = ϕ = ϕ = , 0r ≥ , [0; 2 ]ϕ ∈ π hoặc [ ; ]ϕ ∈ −π π . ϕ Jacobien r z r z r z x x x J y y y r z z z ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = ′ ′ ′ .
Chương 2. Tích phân bội Khi đó ta có: ( , , ) ( cos , sin , ). . . r z V V f x y z dxdydz f r r z r drd dz ϕ = ϕ ϕ ϕ ∫∫∫ ∫∫∫ VD 6. Tính tích phân: 2 2 V I z x y dxdydz= +∫∫∫ , với V là khối hình trụ giới hạn bởi: 2 2 2x y y+ = , 0z = và 1z = .
Chương 2. Tích phân bội VD 7. Tính 2 2 2( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là khối hình nón giới hạn bởi 2 2 2x y z+ = và 1z = .
Chương 2. Tích phân bội 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu Đặt sin cos , sin sin , cos , x r y r z r  = θ ϕ = θ ϕ = θ 0, [0; 2 ], [0; ]r ≥ ϕ ∈ π θ ∈ π ϕ θ Jacobien ( , , ) ( , , ) x y z J r ∂ = ∂ ϕ θ 2 sin . r r r x x x y y y r z z z ϕ θ ϕ θ ϕ θ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = θ ′ ′ ′
Chương 2. Tích phân bội Khi đó ta có: 2( , , ) . sin . . r V V f x y z dxdydz f r drd d ϕθ = θ ϕ θ∫∫∫ ∫∫∫ Với ( , , ) ( sin cos , sin sin , cos )f f x y z f r r r≡ = θ ϕ θ ϕ θ . VD 8. Tính tích phân: 2 2 2 V dxdydz I x y z = + + ∫∫∫ . Trong đó V : 2 2 21 4x y z≤ + + ≤ .
Chương 2. Tích phân bội VD 9. Tính tích phân 2 2( ) V I x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4, 0x y z y+ + ≤ ≥ và 0z ≥ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 18
Chương 2. Tích phân bội VD 10. Tính tích phân 2 2 2 V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ , trong đó V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 0x y z z+ + − ≤ .
Chương 2. Tích phân bội §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 3.1. Tính thể tích V của vật thể  Thể tích V của vật thể có đường sinh song song với Oz và hình chiếu trên Oxy là D , hai đáy giới hạn bởi các mặt 1 2 ( , ) ( , )z f x y z f x y= ≤ = là: 2 1 ( , ) ( , ) . D V f x y f x y dxdy = −  ∫∫  Thể tích của vật thể Ω là: ( ) .V dxdydz Ω Ω = ∫∫∫
Chương 2. Tích phân bội VD 1. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi phần hình trụ 2 2 1x y+ = và hai mặt phẳng 5 0x y z+ + − = , 2z = .
Chương 2. Tích phân bội VD 2. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi phần hình trụ 2 2 2 0x y y+ − = nằm trong hình cầu 2 2 2 4x y z+ + = ứng với 0z ≥ . V
Chương 2. Tích phân bội VD 3. Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi các mặt: 2 2 4x y z+ = − , 2 2 2x y+ ≥ và 0z = .
Chương 2. Tích phân bội 3.2. Giá trị trung bình của hàm trên miền đóng  Giá trị trung bình của hàm ( , )f x y trên miền 2D ⊂ ℝ đóng và bị chặn là: 1 ( , ) . ( ) D f f x y dxdy S D = ∫∫  Giá trị trung bình của hàm ( , , )f x y z trên miền 3Ω ⊂ ℝ đóng và bị chặn là: 1 ( , , ) . ( ) f f x y z dxdydz V Ω = Ω ∫∫∫ VD 4. Tính giá trị trung bình của ( , ) cosf x y x xy= trong hình chữ nhật :D 0 x≤ ≤ π, 0 1y≤ ≤ . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 19
Chương 2. Tích phân bội VD 5. Tính giá trị trung bình của ( , , )f x y z xyz= trong hình lập phương Ω = [0; 2]×[0; 2]×[0; 2]. 3.3. Khối lượng m của vật thể  Xét bản phẳng chiếm miền 2D ⊂ ℝ (đóng và bị chặn) có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) tại điểm ( , )M x y D∈ là hàm ( , )x yρ liên tục trên D . Khi đó, khối lượng của bản phẳng là: ( , ) . D m x y dxdyρ= ∫∫ VD 6. Tính khối lượng của bản phẳng chiếm miền D giới hạn bởi 2 2 4x y+ ≤ , 0x ≥ và 0y ≥ . Biết tỉ khối phẳng là hàm ( , )x y xyρ = .
Chương 2. Tích phân bội  Xét vật thể chiếm miền 3V ⊂ ℝ (đóng và bị chặn) có khối lượng riêng là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V . Khi đó, khối lượng của vật thể là: ( , , ) . V m x y z dxdydzρ= ∫∫∫ VD 7. Tính khối lượng của vật thể chiếm miền V giới hạn bởi các mặt: z x y= + , 1x y+ = và 3 mặt phẳng tọa độ. Biết khối lượng riêng là hàm ( , , )x y z xρ = .
Chương 2. Tích phân bội 3.4. Trọng tâm của vật thể  Tọa độ trọng tâm G của bản phẳng D có khối lượng riêng ( , )x yρ liên tục trên D là: 1 1 ( , ) , ( , ) . G G D D x x x y dxdy y y x y dxdy m m ρ ρ= =∫∫ ∫∫  Tương tự, tọa độ trọng tâm G của vật thể V là: 1 ( , , ) , 1 ( , , ) , 1 ( , , ) . G V G V G V x x x y z dxdyz m y y x y z dxdyz m z z x y z dxdyz m ρ ρ ρ = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. Tích phân bội VD 8. Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn bởi 0, 0, 1x y x y≥ ≥ + ≤ . Biết ( , ) 2x y x yρ = + . VD 9. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V giới hạn bởi 0z = , 2 22z x y= − − và 2 2 1x y+ = . Giải. Vật thể đồng chất nên ( , , )x y z kρ = ∈ ℝ . • Ta có: V m k dxdydz m kV= ⇒ =∫∫∫ 1 G V V k x xdxdyz xdxdyz m V ⇒ = =∫∫∫ ∫∫∫ . ..
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt §1. Tích phân đường loại 1 §2. Tích phân đường loại 2 §3. Tích phân mặt loại 1 §4. Tích phân mặt loại 2 §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 1.1. Định nghĩa • Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương trình tham số ( ),x x t= ( )y y t= với [ ; ]t a b∈ và ( , )f x y là hàm số xác định trên L . Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các điểm chia ứng với 0 1 ... n a t t t b= < < < = .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt • • • • O x y 0t x 1it x − it x n t x L • Gọi độ dài cung thứ i là i s∆ . Trên cung thứ i lấy điểm ( ( ), ( )) i i i M x t y t tùy ý. i s∆ • i M Tổng 1 ( ) n n i i i I f M s = = ∆∑ được gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số ( , )f x y trên đường cong L . • Giới hạn 0 1 lim ( ) i n i i max s i f M s ∆ → = ∆∑ tồn tại hữu hạn được gọi là tích phân đường loại 1 của ( , )f x y trên L . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 20
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt được định nghĩa tương tự. Nhận xét  Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích phân xác định. Ký hiệu là ( , ) L f x y ds∫ hay ( , ) L f x y dl∫ . • Tích phân đường loại 1 của hàm số ( , , )f x y z trên đường cong L trong không gian, ký hiệu là ( , , ) L f x y z ds∫ ,  Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của cung AB , nghĩa là:   . AB BA fds fds=∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 1.2. Sự tồn tại tích phân đường loại 1 a) Khái niệm đường cong trơn Đường cong L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= được gọi là trơn nếu các đạo hàm ( )x t′ , ( )y t′ tồn tại và không đồng thời bằng 0. Nói cách khác, đường cong L được gọi là trơn nếu tại mọi điểm M L∈ đều vẽ được tiếp tuyến với L . b) Định lý Nếu đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) và hàm số f liên tục trên L thì tích phân L fds∫ tồn tại.
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số • Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( )2 2( , ) ( ( ), ( )) . b t t L a f x y ds f x t y t x y dt′ ′= +∫ ∫ • Nếu đường cong L trong không gian có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( )2 2 2( , , ) . . b t t t L a f x y z ds f x y z dt′ ′ ′= + +∫ ∫ Trong đó, ( ( ), ( ), ( ))f f x t y t z t≡ .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt VD 1. Tính tích phân L I xds= ∫ . Trong đó, L là cung tròn có phương trình tham số: cosx t= , siny t= , 6 3 t π π ≤ ≤ . VD 2. Tính tích phân ( ) L I x y dl= −∫ . Trong đó, L là đoạn thẳng nối điểm (0; 2)A và điểm ( 2; 3)B − − . VD 3. Tính tích phân 2(1 2 )2 L I x ydl= −∫ . Trong đó, L là đoạn thẳng nối điểm (1; 3)A − và điểm (1; 7)B − .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt VD 4. Tính tích phân (2 ) L I xy z ds= +∫ . Trong đó, L là đường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình tham số: cosx a t= , siny a t= , z bt= , 0 2t≤ ≤ π. VD 5*. Tính tích phân 2 41 4 4L yds I x x = + − ∫ . Trong đó, L là phần giao tuyến giữa 2 mặt: 2 22 2z x y= − − , 2z x= và nằm trong góc phần 8 thứ nhất nối từ điểm (0; 1; 0)A đến điểm (1; 0; 1)B .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt b) Đường cong L có phương trình tổng quát • Nếu L có phương trình ( )y y x= với a x b≤ ≤ thì: ( )2( , ) ( , ( )). 1 . b x L a f x y ds f x y x y dx′= +∫ ∫ • Nếu L có phương trình ( )x x y= với a y b≤ ≤ thì: ( )2( , ) ( ( ), ). 1 . b y L a f x y ds f x y y x dy′= +∫ ∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 21
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt Đặc biệt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a x b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) . b L a f x y ds f x dx= α∫ ∫ • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a y b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) . b L a f x y ds f y dy= α∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt VD 6. Tính tích phân ( ) L I x y ds= +∫ với L là OAB∆ có các đỉnh (0; 0), (1; 0), (1; 2)O A B . VD 7. Tính tích phân 2 2 81 9 2 81 8 C x I x ds x − = − ∫ . Trong đó, C là cung 2 2 1 9 x y+ = nằm trong góc phần tư thứ ba.
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt c) Đường cong L trong tọa độ cực • Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa độ cực ( )r r= ϕ với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số. Khi đó, phương trình của L là: ( )cos ,x r= ϕ ϕ ( )sin ,y r= ϕ ϕ .α ≤ ϕ ≤ β • Đặt ( ( )cos , ( )sin )f f r r≡ ϕ ϕ ϕ ϕ , ta có công thức: ( )22( , ) . . L f x y ds f r r d β ϕ α ′= + ϕ∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt VD 8. Tính tích phân 2 2 L I x y ds= +∫ . Trong đó, L là đường tròn có phương trình 2 2( ) : 4 0C x y y+ − = . cos sin x r y r ϕ ϕ  = =
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 1.4. Ứng dụng của tích phân đường loại 1 a) Tính độ dài của cung VD 9. Tính độ dài l của cung 2 2 1 : , 1; 3 ln 1 x t L t y t t  = +  ∈      = + +    . Độ dài l của cung L là . L l ds= ∫ VD 10. Tính độ dài l của cung : (1 cos ), [0; ]L r a= + ϕ ϕ ∈ π .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt b) Tính khối lượng m và trọng tâm G của cung  Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào điểm M L∈ thì khối lượng của cung là: . L m dsρ= ∫ VD 11. Tính độ dài cung tròn 2 2( ) : 2 0C x y x+ − = nối từ điểm 3 3; 2 2 A        đến 1 3 ; 2 2 B    −     và không đi qua O . ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 22
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt  Trọng tâm G của cung L ứng với ( , )x yρ ρ= là: 1 1 ( , ) , ( , ) . G G L L x x x y ds y y x y ds m m ρ ρ= =∫ ∫  Trọng tâm G của cung L ứng với ( , , )x y zρ ρ= là: 1 1 1 , , . G G G L L L x x ds y y ds z z ds m m m ρ ρ ρ= = =∫ ∫ ∫ VD 12. Cho một dây thép có dạng nửa đường tròn trong mpOyz với phương trình 2 2 1y z+ = , 0z ≥ . Biết hàm mật độ khối lượng ( , , ) 2x y z zρ = . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt §2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1. Bài toán mở đầu Tính công sinh ra do lực ( )F F M=   tác dụng lên chất điểm ( , )M x y di chuyển dọc theo đường cong L . • Nếu L là đoạn thẳng AB thì công sinh ra là: ( ). cos ,W F AB F AB F AB= =       . Chiếu ( ) i F M  , 1i i A A−  lần lượt lên trục ,Ox Oy ta được: • Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia 0 1 , , ..., n A A A A B= = . Trên mỗi cung  1i i A A− ta lấy điểm ( , )i i iM x y tùy ý.
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt ( ) ( ). ( ). i i i F M P M i Q M j= +    và 1 . . i i i i A A x i y j− = ∆ +∆    . Khi đó, công W sinh ra là: 1 1 1 ( ) n n i i i i i i W W F M A A− = = ≈ =∑ ∑   1 = ( ) ( ) . n i i i i i P M x Q M y =  ∆ + ∆  ∑ Vậy 1 0 1 lim ( ) ( ) i i n i i i i max A A i W P M x Q M y − → =  = ∆ + ∆  ∑ .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 2.2. Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ) • Cho hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y xác định trên đường cong L . Chia L như bài toán mở đầu. Khi đó: 1 ( ) ( ) n n i i i i i I P M x Q M y =  = ∆ + ∆  ∑ được gọi là tổng tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y trên L . • Giới hạn 1 0 lim i i n max A A I − →  tồn tại hữu hạn được gọi là tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y trên L . Ký hiệu là: ( , ) ( , ) . L P x y dx Q x y dy+∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt • Định nghĩa tương tự trong không gian Oxyz : ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ +∫ . Nhận xét  Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như tích phân xác định.  Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết:    ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . AB AB AB P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ = +∫ ∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt • Định lý Nếu hai hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y liên tục trong miền mở chứa đường cong L trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của ( , ), ( , )P x y Q x y dọc theo L .  Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L . Do đó, khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:   ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . AB BA P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+ =− +∫ ∫ Chú ý Nếu L là đường cong phẳng và kín lấy theo chiều dương thì ta dùng ký hiệu: ( , ) ( , ) . L P x y dx Q x y dy+∫ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 23
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 2.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB . • Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= thì:  ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) . B A t t t tAB Pdx Qdy P x t y t x Q x t y t y dt ′ ′+ = +  ∫ ∫ • Nếu L có phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= thì:  ( ). . . . B A t t t t tAB Pdx Qdy Rdz P x Q y R z dt′ ′ ′+ + = + +∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt b) Đường cong L có phương trình tổng quát Xét đường cong L chứa cung AB . • Nếu L có phương trình ( )y y x= thì:  ( , ( )) ( , ( )). . B A x x xAB Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx ′+ = +  ∫ ∫ • Nếu L có phương trình ( )x x y= thì:  ( ( ), ). ( ( ), ) . B A y y yAB Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy ′+ = +  ∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt Đặc biệt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì:  ( , ) ( , ) ( , ) . B A x xAB P x y dx Q x y dy P x dx+ = α∫ ∫ • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì:  ( , ) ( , ) ( , ) . B A y yAB P x y dx Q x y dy Q y dy+ = α∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt VD 1. Tính tích phân  AB I dx xdy= +∫ . Trong đó AB có phương trình 22 , 2 3x t y t= = − với (0; 2)A và (2; 5)B . VD 2. Tính tích phân 2 L I xdx dy= −∫ . Trong đó, L là elip 2 2 2 2 1 x y a b + = lấy theo chiều dương. VD 3. Tính tích phân ( ) ( ) L I x y dx x y dy= − + +∫ , với L là đường nối điểm (0; 0)O với điểm (1; 1)A trong các trường hợp:
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 1) L là đường thẳng y x= ; 2) L là đường cong 2y x= . VD 4. Tính tích phân  4 BA I dx xydy= +∫ , với BA có phương trình y x= và điểm (1; 1)A , (4; 2)B . VD 5. Tính tích phân L I dx ydy dz= − +∫ . Trong đó, L là đường cong trong Oxyz có phương trình: cosx t= , siny t= , 2z t= nối từ điểm (0; 1; )A π đến (1; 0; 0)B .
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt 2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) a) Xác định chiều trên biên của miền đa liên  Đường cong L được gọi là Jordan nếu nó không tự cắt.  Cho miền D là miền đa liên, liên thông, bị chặn có biên D∂ Jordan kín trơn từng khúc. Chiều dương của D∂ là chiều mà khi di chuyển dọc theo biên ta thấy miền D nằm về phía bên tay trái. ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, January 26, 2011 Toán cao cấp A3 Đại học 24
Chương 3. Tích phân đường – Tích phân mặt b) Công thức Green Cho miền D (xác định như mục a). Nếu ( , )P x y , ( , )Q x y và các đạo hàm riêng liên tục trên miền mở chứa D thì: ( )( , ) ( , ) .x y D D P x y dx Q x y dy Q P dxdy ∂ ′ ′+ = −∫ ∫∫