Giáo trình Toán Lớp 12 - Các phương pháp tìm nguyên hàm

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM I. Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên: - Lập các phiếu học tập, bảng phụ. 2. Học sinh: Các kiến thức về : - Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân. III. Phương pháp: Gợi mở vấn đáp IV. Tiến trình bài học TIẾT 1 Kiểm tra bài cũ: (5 phút) Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm . b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) = 5 )12( 52 x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(2x2 +1)4. - Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn. - Nhận xét, kết luận và cho điểm. Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 5’ - Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì   dxxx 42 )12(4 =   dxxx )'12()12( 242 =  duu 4 = 5 5u + C = 5 )12( 52 x + C - Thông qua câu hỏi b/ , hướng dẫn hsinh đi đến phương pháp đổi biến số.   dxxx 42 )12(4 = =   dxxx )'12()12( 242 -Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức ở trên trở thành như thế nào, kết quả ra sao? - Phát biểu định lí 1. -Định lí 1 : (sgk) Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 7’ 7’ 6’ - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  dxxuxuf )(')]([ - Đ1:   dx x x 3 2 1 2 =    dxxx )'1()1( 23 1 2 Đặt u = x2+1 , khi đó :    dxxx )'1()1( 23 1 2 =   duu 3 1 = 2 3 u 3 2 + C = 2 3 (x2+1) 3 2 + C - HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  dxxuxuf )(')]([ Đ2:   dxxx )1sin(2 2 =   dxxx )'1)(1sin( 22 Đặt u = (x2+1) , khi đó :   dxxx )'1)(1sin( 22 =  udusin = -cos u + C = - cos(x2+1) +C -HS suy nghĩ cách biến đổi về dạng  dxxuxuf )(')]([ Đ3:  xdxe x sincos = = -  dxxe x )'(coscos Đặt u = cos x , khi đó :  xdxe x sincos = -  dxxe x )'(coscos = -  dueu = -eu +C = - ecosx +C H1:Có thể biến đổi   dx x x 3 2 1 2 về dạng  dxxuxuf )(')]([ được không? Từ đó suy ra kquả? - Nhận xét và kết luận. H2:Hãy biến đổi   dxxx )1sin(2 2 về dạng  dxxuxuf )(')]([ ? Từ đó suy ra kquả? - Nhận xét và kết luận. H3:Hãy biến đổi  xdxe x sincos về dạng  dxxuxuf )(')]([ ? Từ đó suy ra kquả? - Nhận xét và kết luận. Vd1: Tìm   dx x x 3 2 1 2 Bg:   dx x x 3 2 1 2 =    dxxx )'1()1( 23 1 2 Đặt u = x2+1 , khi đó :    dxxx )'1()1( 23 1 2 =   duu 3 1 = 2 3 u 3 2 + C = 2 3 (x2+1) 3 2 + C Vd2:Tìm   dxxx )1sin(2 2 Bg:   dxxx )1sin(2 2 =   xx )(1sin( 22 Đặt u = (x2+1) , khi đó :   dxxx )'1)(1sin( 22 =  udusin = -cos u + C = - cos(x2+1) +C Vd3:Tìm  xdxe x sincos Bg:  xdxe x sincos = -  dxxe x )'(coscos Đặt u = cos x , khi đó :  xdxe x sincos = -  dxxe x )'(coscos = -  dueu = -eu + c = - ecosx + c * chú ý: có thể trình bày cách khác  xdxe x sincos = - )(cos osxcde x = - ecosx + C Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) . Hoạt động nhóm. V. Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145 VI. Phụ lục: + Phiếu học tập1: Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: a/  xdxe x 2 = 2 1  )( 2 2 xde x = 2 1 e 2x + C ; b/  dxx xln =  )(lnln xxd = 2 1 ln 2 x + C c /   dx xx )1( 1 = 2    dx x xd 1 )1( = 2 ln(1+ x ) + C ; d/ inxdxxs = -xcosx + C Câu 2. Tìm kết quả sai trong các kết quả sau: a/  dxxe x 2 3 = 3 1  )( 3 3 xde x = 3 1 e 3x + C ; b/  xdxx cos.sin 2 =  )(sin.sin 2 xdx = 3 1 sin 3 x + C c /   dx xx )1(2 1 =    x xd 1 )1( = ln(1+ x ) + C ; d/ xdxx cos = x.sinx + C Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 10’ - Các nhóm tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của nhóm bạn và rút ra nhận xét và bổ sung. - Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu HT1 . - Gọi đại diện một nhóm trình bày. - Đại diện nhóm khác cho nhận xét. - GV nhận xét và kết luận. * Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán có dạng ở bảng nguyên hàm. TIẾT 2 Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần . Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 8’ Đ: (u.v)’= u’.v + u.v’  dxvu )'( = vdxu ' + dxvu '  dvu = dxuv )'( + duv  dvu = uv - duv Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx Ta có : xdxx sin =- x.cosx + xdx cos = - xcosx + sinx + C H: Hãy nhắc lại công thức đạo hàm một tích ? Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy ra dvu = ? - GV phát biểu định lí 3 - Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho duv tính dễ hơn dvu . - H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và dv như thế nào? Từ đó dẫn đến kq? - yêu cầu một HS khác giải bằng cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq như thế nào -Định lí 3: (sgk) dvu = uv - duv -Vd1: Tìm xdxx sin Bg: Đặt u = x,dv = sinxdx Khi đó du =dx,v =-cosx Ta có : xdxx sin =- x.cosx + xdx cos = - xcosx + sinx + C Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần. Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ 5’ - Học sinh suy nghĩ và tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Đ :Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex Suy ra : dxxe x  = x. ex - dxe x  = x.ex – ex + C Đ: Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: dxex x 2 =x2.ex- dxex x H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kết quả ? H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kquả ? - Lưu ý :Có thể dùng từng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm. - Vd2 :Tìm dxxe x  Bg : Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex Suy ra : dxxe x  = x. e x - dxe x  = x.ex – ex + C Vd3 : Tìm I= dxex x 2 Bg :Đặt u = x2, dv = exdx du = 2xdx, v = ex Khi đó: dxex x 2 =x 2.ex- dxex x 5’ 2’ 7’ = x2.ex-x.ex- ex+C - Đ: Đặt u = lnx, dv= dx du = x 1 dx, v = x Khi đó : dxx ln = xlnx - dx = xlnx – x + C - Đăt u = lnx, dv = x2dx du = x 1 dx , v = 3 3x Đ :Không được. Trước hết : Đặt t = x dt = x2 1 dx Suy ra dxx sin =2 dttt sin Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost  dttt sin =-t.cost+ dtt cos = -t.cost + sint + C Suy ra: dxx sin = = -2 x .cos x +2sin x +C - H : Cho biết đặt u và dv như thế nào ? - Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho biết đối với dxxx ln2 thì ta đặt u, dv như thế nào. H : Có thể sử dụng ngay pp từng phần được không ? ta phải làm như thế nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt t = x . * Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp từng phần. dxxxf sin)( , dxxxf cos)( dxexf x )( đặt u = f(x), dv cònlại. dxxxf ln)( , đặt u = lnx,dv =f(x) dx = x2.ex-x.ex- ex+C Vd4 :Tìm dxx ln Bg : Đặt u = lnx, dv= dx du = x 1 dx, v = x Khi đó : dxx ln = xlnx - dx = xlnx – x + C Vd5: Tìm dxx sin Đặt t = x dt = x2 1 dx Suy ra dxx sin =2 dttt sin Đặt u = t, dv = sint dt du = dt, v = - cost  dttt sin =-t.cost+ dtt cos = -t.cost + sint + C Suy ra: dxx sin = = -2 x .cos x +2sin x +C * Hoạt động 6 : Củng cố (Giáo viên dùng bảng phụ, cả lớp cùng chú ý phát hiện) V. Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146 VI. Phụ lục : Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý. ( Đối với dxxf )( ) Hàm số Gợi ý phương pháp giải f(x) = (2x+1)cosx Đặt u = 2x+1 , dv =cosx f(x) = xe-x Đặt u = e-x , dv = xdx f(x) = x lnx Đặt u = lnx, dv = x f(x) = ex sinx Đặt u = ex ,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = exdx Tg Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 8’ - Cả lớp tập trung giải quyết . - Theo dõi phần trình bày của bạn và rút ra nhận xét và bổ sung. - Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp chú ý giải quyết . - Gọi 2 HS trình bày ý kiến của mình. - GV nhận xét và kết luận. Tiết :3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Ngày soạn: ( Luyện tập) III. Mục tiêu 1.Về kiến thức: - Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm . 2. Về kĩ năng: - Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số. 3. Về tư duy thái độ: - Phát triển tư duy linh hoạt. -Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác. IV. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Giáo viên : - Bài tập sgk - Lập các phiếu học tập. 2. Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần III. Phương pháp: IV.Tiến trình bài học Kiểm tra bài cũ: (10 phút) Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? Áp dụng: Tìm  2 1 x cos x 1 dx Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm. Áp dụng: Tìm  (x+1)e x dx - Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung. - Gv kết luận và cho điểm. Thời gian Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng 5’ - Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = sin2x - Hs2: Đặt u = sin2x du = 2cos2xdx Khi đó:  sin 5 2x cos2xdx = 2 1  u 5 du = 12 1 u6 + C = 12 1 sin62x + C Thông qua nội dung kiểm tra bài cũ Giáo viên nhấn mạnh thêm sự khác nhau trong việc vận dụng hai phương pháp. - Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải. Bài 1.Tìm  sin 5 3 x cos 3 x dx Bg: Đặtu=sin 3 x  du= 3 1 cos 3 x dx Khi đó:  sin 5 3 x cos 3 x dx 5’ 6’ -Hs1: Dùng pp đổi biến số Đặt u = 7-3x2 - Hs2:đặt u=7+3x2du=6xdx Khi đó :   2373 xx dx = = 2 1  u 2 1 du = 2 1 3 2 u 2 3 +C = 3 1 (7+3x2) 237 x +C Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm từng phần. Đặt u = lnx, dv = x dx du = x 1 dx , v = 3 2 x 2 3 Khi đó:  x lnxdx = = 3 2 x 2 3 - 3 2  x 2 3 x 1 dx = 3 2 x 2 3 - 3 2 3 2 x 2 3 + C= = - 3 2 x 2 3 +C -Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải. H:Có thể dùng pp đổi biến số được không? Hãy đề xuất cách giải? H:Hãy cho biết dùng pp nào = 3 1  u 5 du = 18 1 u6 + C= 18 1 sin6 3 x + C Hoặc  sin 5 3 x cos 3 x dx = 3 1  sin 5 3 x d(sin 3 x ) = 18 1 sin 6 3 x + C Bài 2.Tìm   2373 xx dx Bg: Đặt u=7+3x2du=6xdx Khi đó :   2373 xx dx = = 2 1  u 2 1 du = 2 1 3 2 u 2 3 +C = 3 1 (7+3x2) 237 x +C Bài 3. Tìm  x lnxdx Bg: Đặt u = lnx, dv = x dx du = x 1 dx , v = 3 2 x 2 3 Khi đó:  x lnxdx = = 3 2 x 2 3 - 3 2  x 2 3 x 1 dx = 3 2 x 2 3 - 3 2 3 2 x 2 3 + C= = - 3 2 x 2 3 +C Bài 4. Tìm  e 93 x dx 9’ Đ:Dùng pp đổi biến số, sau đó dùng pp từng phần. Đặt t = 93 x  t 2 =3x-9 2tdt=3dx Khi đó:  e 93 x dx = 3 2  te t dt Đặt u = t, dv = etdt du = dt, v = et Khi đó:  te t dt=tet - dtet = t et- et + c Suy ra:  e 93 x dx= 3 2 tet - 3 2 et + c để tìm nguyên hàm? - Nếu HS không trả lời được thì GV gợi ý. Đổi biến số trước, sau đó từng phần. Bg:Đặt t = 93 x  t 2 =3x-9 2tdt=3dx Khi đó:  e 93 x dx = 3 2  te t dt Đặt u = t, dv = etdt du = dt, v = et Khi đó:  te t dt=te t - dtet = t et- et + c Suy ra:  e 93 x dx= 3 2 tet - 3 2 et + c Hoạt động 7: Củng cố.(10’) Với bài toán  dxxf )( , hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một mệnh đề đúng. Hàm số Phương pháp 1/ f(x) = cos(3x+4) 2/ f(x) = )23(cos 1 2 x 3/ f(x) = xcos(x2) 4/ f(x) = x3ex 5/ f(x)= 2 1 x sin x 1 cos x 1 a/ Đổi biến số b/ Từng phần c/ Đổi biến số d/ Đổi biến số e/ Từng phần. V. Bài tập về nhà: Tìm  dxxf )( trong các trường hợp trên.