Giáo trình Xử lý số tín hiệu

eeneneX −− ∞ −∞= − ∞ −∞= − +=−+−= ∑∑ ωω ωω ω ω 22 ).cos(. )( )( 2 jj jj j ee ee eX −− − = + = . Các ví dụ 3 và 4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là ñồng nhất. 84 3.1.3b. Tính chất trễ Khi dịch trễ dãy x(n) ñi k mẫu thì hàm biên ñộ tần sốX(ejω) không thay ñổi, chỉ có hàm pha tần số ϕ(ω) bị dịch ñi lượng kω. Nếu )(.)()()]([ ωϕωω jjj eeenxFT XX == thì [ ] ])([.)()()( ωωϕωωω kjjjjk eeeenxFT XXk −− ==− (3.28) Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) ñược ñẩy sớm k mẫu. Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có [ ] )().().()( .).(.. ωωωωω jkj n knjkj n nj eeeknxeeknxknxFT X− ∞ −∞= −−− ∞ −∞= − =−=−=− ∑∑ . Ví dụ 3.5. Hãy tìm )]([)( 2 nrectFTe N njX −=ω . Giải: Có )()()( 222 Nnununrect nnn N −−= −−− , nên )](.[)]([)( )(222 NX nuFTnuFTe NN nnj −−= −−−−ω . Theo biểu thức (3.6) và tính chất dịch của biến ñổi Fourier nhận ñược NN j jj j e ee eX .2 5,01 1 5,01 1 .)( ωωω ω −− −− − − − = . Vậy: ω ω ω j j nj e e nrectFTe N NX − − − − − == 5,01 .5,01 2 )( )]([)( . (3.29) 3.1.3c. Tính chất trễ của hàm tần số Khi nhân dãy x(n) với nje 0ω , trong ñó ω0 là hằng số, thì hàm tần số X(ejω) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng ω0 , theo chiều ngược với dấu của ω0. Nếu )()]([ ωjenxFT X= thì [ ] )( )( 00 )( ωωω −= jnj enxeFT X . (3.30) Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có: [ ] )( )().(. 0000 ).(.).()( ωωωωωωω −∞ −∞= −− ∞ −∞= − ∑∑ === j n nj n njnjnj eenxeenxnxeFT X . Ví dụ 3.6. Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là )]([)( nxFTe jX =ω , hãy tìm phổ tần số của tín hiệu ñiều biên )cos().()( 0nnxny ω= . Giải: Có 2 00 )cos( 0 njnj ee n ωω ω −+ = . Do ñó    +   = − njnj enxFTenxFTnnxFT 00 ).().()]cos().([ 2 1 2 1 0 ωωω . Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận ñược: )()( )()(0 00 2 1 2 1 )]cos().([ ωωωωω +− += jj eennxFT XX . (3.31) Biểu thức (3.31) chính là nội dung của ñịnh lý ñiều biên. 3.1.3d. Tính chất biến ñảo 85 Biến ñổi Fourier của các dãy thực có biến ñảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp phức. Nếu )(.)()()]([ ωϕωω jjj eeenxFT XX == thì [ ] )(* .)()()()( ωϕωωω jjjj eeeenxFT XXX −− ===− . (3.32) Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có: [ ] )()).((. ).().()( ωωω j n nj n nj eenxenxnxFT X − ∞ −∞= −−− ∞ −∞= − ∑∑ =−=−=− . Vì x(-n) là dãy thực nên )()( * ωω jj ee XX =− , do ñó nhận ñược (3.32). Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên ñộ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu. Ví dụ 3.7. Hãy tìm )]()( 2[ nue nj FTX −=ω . Giải: Theo biểu thức (3.6)và tính chất biến ñảo có ωj n e nuFT . )]( 5,01 1 2[ − =− . 3.1.3e. Hàm tần số của tích chập hai dãy Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành phần. Nếu )()]([ 11 ωjenxFT X= và )()]([ 22 ωjenxFT X= thì [ ] )().()(*)()( 2121 ωωω jjj eenxnxFTe XXY == (3.33) Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có: [ ] nj n k j eknxkxnxnxFTeY .2121 .)().()(*)()( ωω − ∞ −∞= ∞ −∞= ∑ ∑       −== ∑ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= −−= n kjkj k njj eeeknxkxeY ...21 ..)().()( ωωωω . Hay )().()().()( 21 ).( 2 . 1 ωωωωω jj k n knjkjj eeeknxekxe XXY =−= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −−− . Ví dụ 3.8. Hãy tìm )](*)()( 12[ −−= nnue nj FTX δω . Giải: Sử dụng các biểu thức (3.6), (3.8)với k = 1, và (3.33), tìm ñược ωj n e nuFT − − − = 5,01 1 2[ )]( và ωδ jenFT −=− )]( 1[ . Vậy: ω ω ω ω ω j j j j j e e e e eX − − − − − = − = 5,015,01 1 .)( . 3.1.3f. Hàm tần số của tích hai dãy Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành phần chia cho 2π. Nếu )()]([ 11 ωjenxFT X= và )()]([ 22 ωjenxFT X= thì [ ] ∫ − ′−′ ′= π π ωωωω π deenxnxFT jj XX )().()().( )(2121 2 1 . (3.34) 86 Hay [ ] )(*)()().( 2121 2 1 ωω π jj eenxnxFT XX= . (3.35) Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có: [ ] [ ]∑ ∞ −∞= −= n njenxnxnxnxFT .2121 .)().()().( ω . Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến ñổi Fourier ngược của nó ∫ − ′′ ′= π π ωω ω π deenx njjX .11 ).()( 2 1 . thì [ ] ∑ ∫ ∞ −∞= − −         = n njnjj enxdeenxnxFT X .2 '.' 121 ).(.').()().( 2 1 ω π π ωω ω π (3.36) [ ] [ ]∫ ∑ − ∞ −∞= −−= π π ωωω ω π '.).().()().( ).'(2 ' 121 2 1 denxenxnxFT n njjX . [ ] )(*)().().()().( 21)(2121 2 1 2 1 ωωωωω ππ π π ω jjjj eedeenxnxFT XXXX ==′= ∫ − ′−′ . 3.1.3g. Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ. ∫∑ − ∞ −∞= == π π ω ω π denxE j n x X 22 )()( 2 1 . (3.37) Chứng minh: Viết lại biểu thức (3.1-36) dưới dạng: ∑ ∫∑ ∞ −∞= − − ∞ −∞= −         = n njnjj n nj edeenxenxnx X .'.'21 . 21 .').().().().( 2 1 ω π π ωωω ω π Chia cả hai vế của biểu thức trên cho nje .ω− , nhận ñược: [ ]∫ ∑∑ − ∞ −∞= ∞ −∞= = π π ωω ω π ').(.).()().( '2 '. 121 2 1 deenxnxnx j n nj n X , hay ∫∑ − − ∞ −∞= = π π ωω ω π ').().()().( '2 ' 121 2 1 deenxnx jj n XX . Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo (1.5), vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng xE của tín hiệu số x(n): ∫∫∑ −− − ∞ −∞= === π π ω π π ωω ωω ππ dedeenxE jjj n x XXX 22 )().().()( 2 1 2 1 , hay ∫∑ − ∞ −∞= == π π ωω π dnxE x n x S ).()( 2 12 , (3.38) trong ñó 2 )()( ωω jx eXS = . (3.39) 87 )(ωxS ñược gọi là hàm mật ñộ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là hàm chẵn và ñối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật ñộ phổ năng lượng )(ωxS chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số. Ví dụ 3.9. Hãy xác ñịnh năng lượng của tín hiệu số )()( 2 nunx n−= theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận ñược. Giải: Theo hàm thời gian có: ∑∑∑ ∞ = − − ∞ = − ∞ −∞= − = − ==== 0 1 2 0 2 3 4 41 1 42(2 )( ))( n n n n n n x nuE . ðể xác ñịnh năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm ωωω ωω sin.cos ).()( 5,05,01 1 5,01 1 2 je enue j n njnjX +− = − == − ∞ −∞= −−∑ . Vậy: ωωω ω cos)sin()cos( )( 25,1 1 5,05,01 1 22 −− = + =jeX . Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval (3.38) π πππ ωπ π ω ω −           + = − = −− ∫ − | 125,1 125,1 125,1 2 2 1 25,1 1 2 1 2 2 2 )().( .. cos tg arctgdEx . 3 4 75,0 0 75,0 1 22 .3 75,0 1 )( ===            −−= π π π ππ π arctgtgtgarctgEx . Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. [Ở ñây, nếu lấy 00)( =artg thì 0=xE , nên phải lấy π=)(0artg ]. 3.1.3h. ðạo hàm của hàm tần số Nếu )()]([ ωjenxFT X= thì [ ] ω ω d ed jnxnFT jX )( )(. = (3.40) Chứng minh: Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có: [ ] ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= − −=⇒== n nj j n njj enxnj d ed enxnxFTe X X .. ).(.. )( ).()()( ω ω ωω ω . Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j, nhận ñược biểu thức (3.40). Ví dụ 3.10. Hãy tìm biến ñổi Fourier của dãy )(.)( 2 nunnx n−= . Giải: a. Có ωj n e nuFT − − − = 5,01 1 2[ )]( . Theo (3.40) có: 25,01 5,0 5,01 1 2 . )](.[      − = − = − − − −         ω ω ω ω ω j j j n e e ed d jnunFT . 3.1.3i. Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m) Nếu )()]([ ωjenxFT X= và )()]([ ωjenyFT Y= 88 thì [ ] )().()()( ωωω jjxyjxy eemrFTe YXR −== . (3.41) Chứng minh: Hàm tương quan )(mrxy ñược xác ñịnh ở chương một: ∑ ∞ −∞= −= n xy mnynxmr )().()( . Theo biểu thức biến ñổi Fourier thuận (3.2) có [ ] ∑ ∑∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= ∞ −∞= −       −== m mj nm mj xyxy emnynxemrmrFT .. .)().().()( ωω [ ] ∑ ∑ ∞ −∞= −− ∞ −∞=       −= m njnjmj n xy eeemnynxmrFT ... ...)().()( ωωω [ ] )().().().()( )).((. ωωωω jj m mnj n nj xy eeemnyenxmrFT YX − ∞ −∞= −−− ∞ −∞= − =−= ∑∑ . Ví dụ 3.11. Cho các tín hiệu số )()( 2 nunx n−= và )()( 1−= nny δ , hãy tìm hàm phổ [ ])()( mrFTe xyjxyR =ω . Giải: Sử dụng (3.6), (3.8) với k = 1, và (3.41), tìm ñược ω ω ω ω ωωω j j j j jjj xy e e e e eee YXR −− − − = − == 5,015,01 1 .)().()( . 3.1.3k. Phổ tần số của hàm tự tương quan rx(m) Phổ tần số )( ωjx eR của hàm tự tương quan )(mrx chính là hàm mật ñộ phổ năng lượng )(ωxS của tín hiệu số )(nx . Nếu )()]([ ωjenxFT X= thì [ ] )().()()( ωωω jjxjx eemrFTe XXR −== . (3.42) Hay [ ] )()()()( 2 ωωω xjxjx SXR emrFTe === . (3.43) ðó chính là nội dung của ñịnh lý Wiener - Khintchine. Chứng minh: Trong biểu thức của hàm tương quan, khi thay )()( nxny = nhận ñược hàm tự tương quan )(mrx , vì thế theo (3.41) có: [ ] )()()().()()( 2 ωωωωω xjjjxjx SXXXR eeemrFTe ==== − . Ví dụ 3.12. Hãy tìm hàm phổ )( ωjx eR của tín hiệu số )()( 2 nunx n−= . Giải: Sử dụng (3.6) và (3.42) tìm ñược: ωωω ω cos)( . )( )( 25,1 1 5,01 1 5,01 1 − = −− = − jj j x ee eR . 3.2. Phổ của tín hiệu số 3.2.1. Các ñặc trưng phổ của tín hiệu số Biến ñổi Fourier của tín hiệu số x(n) là hàm phổ X(ejω) của nó: 89 )()(.)(.)()( )(. ωωωϕωωω IR jjnj n j XXXX jeeenxe +=== − ∞ −∞= ∑ . Từ ñó xác ñịnh ñược: - Phổ biên ñộ X(ejω)ñược tính theo (3.15) )()()( 22 ωωω IR j XXX e += . - Phổ pha ϕ(ω) = Arg[ X(ejω)] ñược tính theo (3.16) [ ]       == )( )( )()( ω ω ωϕ ω R Ij X X X arctgeArg . - Năng lượng xE ñược tính theo công thức Parseval (3.37) ∫∫ −− == π π π π ω ωωω ππ ddeE x j x SX )()( 2 1 2 1 2 . - Mật ñộ phổ năng lượng )(ωxS ñược tính theo (3.39) 2 )()( ωω jx eXS = . Hàm phổ X(ejω), phổ biên ñộ X(ejω), phổ pha ϕ(ω), và hàm mật ñộ phổ năng lượng )(ωxS là các ñặc trưng phổ của tín hiệu số x(n). Ví dụ 3.13. Cho tín hiệu số )()( 22 −−= nunx n , hãy xác ñịnh các ñặc trưng phổ của tín hiệu. Giải: )](.)]()( 222[22[ )2(2 −− −−−− == nunue nnj FTFTX ω Theo (3.6) và tính chất trễ của biến ñổi Fourier có: )( )]()( 5,01 1 222[ 22 ω ωω j jnj e enue FTX − −−− − =−= . Hàm phổ: )sincos()( )( 5,05,01 .25,0 5,014 22 ωω ω ω ω ω j e e e e j j j jX +− = − = − − − . Hàm phổ biên ñộ: ωωω ω cos)sin()cos( )( 25,1 25,0 5,05,01 25,0 22 −− = + =jeX . Hàm phổ pha:       − −−= )cos( sin )( 5,01 5,0 2 ω ωωωϕ arctg . Hàm mật ñộ phổ năng lượng: )cos( )()( 25,1 0625,02 ω ω ω − == jx eXS . Về ý nghĩa vật lý, ñồ thị của hàm phổ biên ñộ X(ejω) và hàm mật phổ năng lượng )(ωxS chính là bức tranh cho biết sự phân bố năng lượng của tín hiệu số x(n) trên trục tần số. ðồ thị phổ pha ϕ(ω) cho biết quan hệ về pha giữa các thành phần tần số của phổ tín hiệu. Phương pháp phân tích tín hiệu số x(n) dựa trên các ñặc trưng phổ của nó ñược gọi là phương pháp tần số, hay phương pháp phân tích phổ, nó thường ñược sử dụng ñể xử lý số tín hiệu âm thanh. 90 3.2.2. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu lấy mẫu x(n.T) 3.2.2a. ðịnh lý lấy mẫu ðịnh lý lấy mẫu là cơ sở ñể rời rạc hóa tín hiệu liên tục mà không làm mất thông tin của nó, và vì thế có thể khôi phục tín hiệu liên tục từ tín hiệu lấy mẫu. Giáo trình lý thuyết mạch ñã trình bầy và chứng minh ñịnh lý lẫy mẫu, do ñó ở ñây chỉ nhắc lại nội dung của ñịnh lý. ðịnh lý lấy mẫu: Mọi tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f ≤ fc ñều hoàn toàn ñược xác ñịnh bởi các giá trị tức thời rời rạc của nó tại các thời ñiểm cách ñều nhau một khoảng thời gian c fT 21≤ (tương ứng cT ωπ≤ ). ðịnh lý lấy mẫu nêu lên hai ñiều kiện bắt buộc phải ñược ñảm bảo ñể việc lấy mẫu không làm mất thông tin của tín hiệu liên tục: 1. Tín hiệu liên tục x(t) phải có phổ hữu hạn f ≤ fc 2. Chu kỳ lấy mẫu T phải thỏa mãn ñiều kiện .21 c fT ≤ 3.2.2b. Phổ của tín hiệu liên tục x(t) và phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) ðể thấy ñược bản chất vật lý của ñịnh lý lấy mẫu, chúng ta sẽ xác ñịnh quan hệ giữa hàm phổ )(ω • X của tín hiệu liên tục x(t) và hàm phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) tương ứng. Xét tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn f < fc (hay ω < ωc ), quan hệ giữa x(t) và phổ của nó là cặp tích phân Fourier: Biến ñổi Fourier thuận: ∫ ∞ ∞− − • = dtetx tjX .).()( ωω . (3.44) Biến ñổi Fourier ngược: ∫ − • = c c detx tjX ω ω ω ωω π .).()( 2 1 . (3.45) Khi rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) với chu kỳ lấy mẫu T, nhận ñược tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Quan hệ giữa x(n.T) và hàm phổ X(ejω) của nó là cặp biến ñổi Fourier của tín hiệu số (3.23) và (3.24), khi thay biến n bằng biến n.T: Biến ñổi Fourier thuận: Tnj n j enxe TX .)()( ωω − ∞ −∞= ∑= . (3.46) Biến ñổi Fourier ngược: ∫ − = T T deenx TnjjX T T π π ωωω π .).()( 2 . (3.47) Khi thực hiện rời rạc hóa tín kiệu liên tục x(t) theo ñịnh lý lấy mẫu thì TT nttxnx == )().( , nên có thể viết lại (3.45) dưới dạng: ∫ − • = c c denx TnjXT ω ω ω ωω π .).().( 2 1 . (3.48) 91 Khi ñó, giá trị của x(n.T) tại thời ñiểm n = k ñược xác ñịnh là: ∫∫ − • + − • +=== T T T T dedenx TT nj k k nj k k T XXnT π π π π ωωωω ωω π ππ . )12( )12( . ).().().( 2 2 1 2 1 Biểu thức trên nhận ñược do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ejωnT. Khi cho k biến thiên từ -∞ ñến +∞ nhận ñược: ∑ ∞ −∞= = k kTT xnx )().( . Hay .).().( . 2 2 1∑ ∫ ∞ −∞= − • += k nj T T denx Tk T XT π π ωπω π ω (3.49) Nhân và chia (3.49) cho chu kỳ lấy mẫu T, ñồng thời ñổi thứ tự của dấu tổng và dấu tích phân, nhận ñược biểu thức : ∫ ∑ − ∞ −∞= • += t T deTnx Tnj k k T X T T π π ωω ωπ π .)().( 21 2 . (3.50) So sánh biểu thức dưới dấu tích phân của (3.50) và (3.47) nhận ñược: ∑ ∞ −∞= • += k j k T X T X e )()( 21 πωω . (3.51) Biểu thức (3.51) cho thấy, hàm phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) là hàm tuần hoàn của biến tần số góc ω với chu kỳ ωT = 2π/T , và là tổng vô số các hàm phổ )(ω • X của tín hiệu liên tục x(t). Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn và chu kỳ lấy mẫu T thỏa mãn ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu: T ≤ π/ωc , thì phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có chu kỳ ωT ≥ 2ωc . Khi ñó, phổ X(ejω) là tổng của các phổ )(ω • X hữu hạn tách biệt nhau như trên các ñồ thị Hình 3.4 và Hình 3.5, nên ứng với mỗi giá trị của k , phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có dạng ñúng với phổ của tín hiệu liên tục x(t) nhưng biên ñộ bị giảm T lần: )()( 1 ωω • = X T X je . Vì thế, khi cho tín hiệu lấy mẫu x(n.T) ñi qua bộ lọc thông thấp ñể lấy thành phần phổ của X(ejω) ứng với k = 0, sẽ nhận ñược ñúng phổ )(ω • X , do ñó khôi phục ñược tín hiệu liên tục x(t). Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ hữu hạn, nhưng chu kỳ lấy mẫu không thoả mãn ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu: T > π/ωc , thì phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ có chu kỳ ωT < 2ωc . Khi ñó phổ X(ejω) là tổng của các phổ )(ω • X hữu hạn có các biên tần trùm lên nhau như trên Hình 3.5. Sự trùm phổ làm cho X(ejω) bị méo dạng so với phổ )(ω • X của tín hiệu liên tục x(t), vì thế không thể khôi phục ñược tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T). 92 Trường hợp tín hiệu liên tục x(t) có phổ không hữu hạn như trên Hình 3.6 , thì chắc chắn xẩy ra hiện tượng trùm phổ, nên phổ của tín hiệu lấy mẫu x(n.T) sẽ không thể có dạng giống với phổ của tín hiệu liên tục x(t), do ñó không thể khôi phục ñược tín hiệu liên tục x(t) từ tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Như vậy, bản chất vật lý của việc rời rạc hóa tín hiệu liên tục x(t) mà không làm mất thông tin trong nó là ở chỗ, khi ñảm bảo các ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu thì tín hiệu lấy mẫu x(n.T) có phổ X(ejω) tuần hoàn, và mỗi chu kỳ của phổ X(ejω) hoàn toàn giống với phổ )(ω • X của tín hiệu liên tục x(t), do ñó thông tin của tín hiệu liên tục x(t) ñược bảo toàn trong tín hiệu lấy mẫu x(n.T). Như vậy, khi ñược rời rạc hóa theo ñúng ñiều kiện của ñịnh lý lấy mẫu, thì ñộ rộng phổ của một chu kỳ phổ tín hiệu số ñúng bằng ñộ rộng phổ của tín hiệu liên tục. Do ñó, ñể không gây méo tín hiệu số thì dải thông của hệ xử lý số phải ≥ ñộ rộng phổ của tín hiệu liên tục tương ứng. Hình 3.2: Tín hiệu liên tục x(t), có phổ )(ω • X hữu hạn : |ω | < ωc. Hình 3.3: Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T = π/ωc thì ωT = 2ωc. Hình 3.4 : Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T 2ωc. Hình 3.5: Phổ X(ejω) của tín hiệu lấy mẫu, khi T > π/ωc thì ωT < 2ωc. )(ω • X ω -ω c ω c ω -ω c ω c X(ejω) ω X(ejω) -ω c ω c X(ejω) ω ω c -ω c X(ejω) 93 Hình 3.6: Tín hiệu liên tục x(t), có phổ )(ω • X vô hạn. 3.3. ðặc tính tần số và hàm truyền ñạt phức của hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả 3.3.1. ðặc tính tần số và hàm truyền ñạt phức H(ejω) 3.3.1.1. ðịnh nghĩa ðặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến ñổi Fourier của ñặc tính xung h(n) nj n j enhnhFTeH .).()]([)( ωω − ∞ −∞= ∑== . (3.52) ðặc tính tần số H(ejω) cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ. Xét hệ xử lý số có ñặc tính xung h(n), tác ñộng x(n), phản ứng y(n). ðặc tính tần số của hệ: )]([)( nhFTe jH =ω . Phổ của tác ñộng: )]([)( nxFTe jX =ω . Phổ của phản ứng: )](*)([)]([)( nhnxFTnyFTe jY ==ω . Theo tính chất tích chập của biến ñổi Fourier nhận ñược: )().()( ωωω jjj eee HXY = . (3.53) Suy ra )( )( )( ω ω ω j j j e e e X Y H = . (3.54) Như vậy, ñặc tính tần số H(ejω) của hệ xử lý số TTBBNQ bằng tỷ số giữa hàm phổ của phản ứng Y(ejω) và hàm phổ của tác ñộng X(ejω), vì thế H(ejω) cũng chính là hàm truyền ñạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ. Có thể tìm ñược ñặc tính xung h(n) của hệ xử lý số từ ñặc tính tần số H(ejω) bằng biến ñổi Fourier ngược: ∫ − == π π ωωω ω π deeeIFTnh njjj HH .).()]([)( 2 1 . (3.55) 3.3.1.2. ðặc tính biên ñộ tần số và ñặc tính pha tần số Từ (3.54) có )( )( )( ω ω ω j j j e e e X Y H = (3.56) và        =    − )()()( ωωω jjj eee XArgYArgHArg . (3.57) Vậy, mô ñun hàm truyền ñạt phức H(ejω) của hệ xử lý số bằng tỷ số giữa phổ biên ñộ của phản ứng và phổ biên ñộ của tác ñộng, còn argumen của hàm ω )(ω • X 94 truyền ñạt phức Arg[H(ejω)] bằng hiệu phổ pha của phản ứng và phổ pha của tác ñộng. Về ý nghĩa vật lý, mô ñun hàm truyền ñạt phức H(ejω) ñặc trưng cho tính chất chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế H(ejω) còn ñược gọi là ñặc tính biên ñộ tần số. Còn argumen của hàm truyền ñạt phức ϕ(ω) cho biết sự dịch pha của các thành phần tần số tín hiệu khác nhau khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế ϕ(ω) = Arg[H(ejω)] còn ñược gọi là ñặc tính pha tần số. ðể tín hiệu số không bị méo phổ khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ thì ñặc tính biên ñộ tần số của hệ xử lý số phải ñảm bảo cho qua tất cả các thành phần tần số của tín hiệu với hệ số truyền ñạt như nhau. Tức là, về lý tưởng hệ xử lý số phải có ñặc tính biên ñộ tần số dạng hình chữ nhật như ở Hình 3.7a. Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế có ñặc tính biên ñộ tần số với sự nhấp nhô và hai sườn dốc, ví dụ như ở Hình 3.7b. a. Hệ xử lý số lý tưởng. b. Hệ xử lý số thực tế. Hình 3.7: ðặc tính biên ñộ tần số H(ejω) của hệ xử lý số. Khái niệm về dải thông và dải chặn: Dải thông là dải tần số mà hệ xử lý số cho tín hiệu số ñi qua, dải chặn là dải tần số mà hệ xử lý số không cho tín hiệu số ñi qua. - ðối với hệ xử lý số lý tưởng: Do hai biên tần có dạng dốc ñứng nên dải thông 2∆ω là vùng tần số mà ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)= 1, còn dải chặn là vùng tần số mà ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω)= 0. Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chặn gọi là tần số cắt và thường ñược ký hiệu là ωc. (Hình 3.7a) - ðối với hệ xử lý số thực tế: Do hai biên tần có dạng sườn dốc, nên người ta quy ước tần số giới hạn của dải thông là ωc , tần số giới hạn của dải chặn là ωp, giữa dải thông và dải chặn tồn tại dải quá ñộ ∆ωp = |ωp - ωc| (Hình 3.7b). Nếu ñộ rộng dải quá ñộ ∆ωp càng nhỏ thì ñộ dốc hai biên tần của ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) càng lớn, làm cho khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số càng tốt. Các tín hiệu số có phổ nằm trọn trong dải thông của ñặc tính biên ñộ tần số sẽ ñi qua ñược hệ xử lý số và không bị méo dạng phổ. Các tín hiệu số có bề rộng phổ lớn hơn dải thông sẽ bị mất các thành phần phổ nằm ngoài dải thông. Các tín ω H(ejω) 2∆ω ωc -ωc 95 hiệu số có phổ nằm ngoài dải thông của hệ xử lý số sẽ hầu như bị suy giảm hoàn toàn khi ñi qua hệ xử lý số. Từ các hiệu ứng ñó, người ta xây dựng các hệ xử lý số có tính chất chọn lọc tín hiệu số theo tần số, ñó là các bộ lọc số. Ví dụ 3.14. Hệ xử lý số có phản ứng )()()( 1212.6 −−−= − nnuny n δ ứng với tác ñộng )()( 2 nunx n−= . Hãy xác ñịnh hàm truyền ñạt phức H(ejω), ñặc tính xung h(n), ñặc tính biên ñộ tần số H(ejω) và ñặc tính pha tần số ϕ(ω) của hệ. Giải: Có: )( )]()( 5,01 1 2[ ω ω j nj e nue FTX − − − == Vì )()()()()( 12122.61212.6 )1(1 −−−=−−−= −−−− nnunnuny nn δδ , nên ωω ω ω δ j j j nj e e e nnue FTY −− − −−− − − −−− == 2 5,01 .3 12122.6[ )( )]()()( )1(1 )()( )( 5,015,01 2.3 22 ω ωω ω ωωω ω j jj j jjj j e ee e eee eY − −− − −−− − + − +− == . Theo (3.54) có )( ))(( )( )( )( 5,01 5,012 ω ωωω ω ω ω j jjj j j j e eee e e e X Y H − −−− − −+ = = . Hàm truyền ñạt phức: ωωω 2)( jjj eeeH −− += . ðặc tính xung: .)()()(][)( 121 2)( −=−+−= = nrectnnIFTnh jeH δδω ðể tìm ñặc tính biên ñộ tần số và pha tần số, biến ñổi H(ejω) như sau : )()( 5,.05,05,12 ωωωωωω jjjjjj eeeeeeH −−−− ++ == Vậy hàm truyền ñạt phức là: ωω ω 5,1)cos()( 5,0.2 jj eeH −= . ðặc tính biên ñộ tần số: )cos()( 5,0.2 ωω =jeH . ðặc tính pha tần số: ωωϕ 5,1)( −= . Ví dụ 3.15. Cho hệ xử lý số có ñặc tính xung )()( 12 −= nrectnh và tác ñộng )()( 2 nunx n−= , hãy tìm hàm phổ Y(ejω) và phản ứng y(n). Giải : Hàm truyền ñạt phức: ∑ ∞ −∞= −−== n njj enrectnhFTeH ωω )()]([)( 12 . Hay: ωωωω 2 2 1 )( jj n njj eeeeH −− = − +==∑ . Phổ của tác ñộng: )( )]([)( 5,01 1 2 ω ω j nj e nuFTeX − − − = = . Theo biểu thức (3-53) tìm ñược phổ của phản ứng: ).( )( )().()( 2 5,01 1 ωω ω ωωω jj j jjj ee e eee HXY −− − + − = = )()( )( 5,01 1 5,01 1 2 ω ω ω ωω j j j jj e e e eeY − − − − − + − = . 96 Phản ứng: )()()]([)( 25,015,0 )2()1( −+−= −−= nunueIFTny nnjY ω )]()([)()( 112212.2 2 −−−+−= −− nnununy nn δ )()()()( 12.412.412.2 −−−+−= −−− nnununy nnn δ )()()( 12.412.6 −−−= −− nnuny nn δ . Vì )( 1−nδ chỉ có 1 mẫu tại n = 1, nên )()( 1212.4 −=−− nnn δδ , do ñó kết quả là )()()( 1212.6 −−−= − nnuny n δ . Kết quả nhận ñược phù hợp với phản ứng y(n) cho ở ví dụ 1. 3.3.1.3. Tìm hàm truyền ñạt phức H(ejω) theo phương trình sai phân Có thể tìm ñược hàm truyền ñạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết phương trình sai phân của nó. Xét hệ xử lý số TTBBNQ ñược mô tả bằng phương trình sai phân bậc N: ∑∑ == −=− MN r r k k rnxbknya 00 )()( . Lấy biến ñổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận ñược: ∑∑ = − = − = MN r rj r j k kj k j ebeeae XY 00 )()( ωωωω . suy ra: ∑ ∑ = − = − == N k kj k M r rj r j j j ea eb e e e X Y H 0 0 )( )( )( ω ω ω ω ω (3.58) Ví dụ 3.16. Hãy xác ñịnh hàm truyền ñạt phức và các ñặc tính tần số của hệ xử lý số có phương trình sai phân )()()()( 21 −+−+= nynxnxny . Giải: Lấy biến ñổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận ñược )()()()( 2 ωωωωωω jjjjjj eeeeee YXXY −− ++= . hay: )).(()).(( 11 2 ωωωω jjjj eeee XY −− +− = )( 1 )( 1 )( )( )( )( )( 5,05,05,02 11 1 ωωωωω ω ω ω ω jjjjj j j j j eeeee e e e e X Y H −−−− − − = − = − + == . Vậy hàm truyền ñạt phức là: )sin( )( 5,02 5,0 ω ω ω j j eeH = . ðặc tính biên ñộ tần số: )sin( 1 )( 5,02 ω ω =jeH . ðặc tính pha tần số: [ ] .)( 5,0 ωω =jeArg H 3.3.2. Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền ñạt phức H(ejω) 3.3.2.1. Sơ ñồ khối, sơ ñồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số Theo quan hệ vào ra (3.53) )().()( ωωω jjj eee HXY = . 97 có thể mô tả hệ xử lý số TTBB bằng sơ ñồ khối theo hàm truyền ñạt phức như trên Hình 3.8. Hình 3.8: Sơ ñồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số. Các hệ xử lý số phức tạp có thể ñược mô tả bằng sơ ñồ khối gồm nhiều khối, mỗi khối có hàm truyền ñạt phức Hi(e jω). Khi ñó, hàm truyền ñạt phức H(ejω) của hệ xử lý số ñó cũng có thể ñược xác ñịnh theo các hàm truyền ñạt phức Hi(e jω) của các khối thành phần. Vì ωω jj ezze HH == )()( , nên từ các phần tử cấu trúc và sơ ñồ khối theo hàm hệ thống H(z), ... có thể nhận ñược các phần tử cấu trúc và sơ ñồ khối theo hàm truyền ñạt phức H(ejω) khi thay ωjez = . Do