- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn tương đương.
- Nếu k 6= 0 và hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn cùng bậc.
- Nếu k = 0, ta nói g là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn f.
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói f là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn g.
Cho f là vô cùng lớn khi x → x0. Bậc của vô cùng lớn f là số k > 0 (nếu có sẽ duy nhất) sao
cho lim
x→x0
(x − x0)kf(x) tồn tại hữu hạn và khác không.
9 trang |
Chia sẻ: trungkhoi17 | Lượt xem: 441 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hàm số thực theo một biến số thực, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005
Môn: Giải tích cơ bản
GV: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa
Đánh máy: NTV
Phiên bản: 2.0 đã chỉnh sửa ngày 19 tháng 10 năm 2004
HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC
1 Giới hạn liên tục
Định nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, điểm x0 ∈ R được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của I nếu
với mọi δ > 0, I ∩ (x0 − δ, x0 + δ)\{x0} 6= 0. Cho f : I → R và x0 là điểm giới hạn của I. Ta
nói:
lim
x→x0
f(x) = a ∈ R⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− a| < ε
lim
x→x0
f(x) = +∞ (−∞)⇐⇒ ∀A ∈ R,∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 A (f(x) < A)
Định nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói:
f liên tục tại x0 ⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε
Nếu x0 là điểm giới hạn của I thì:
f liên tục tại x0 ⇐⇒ lim
x→x0
f(x) = f(x0)
Nếu f liên tục tại mọi x ∈ I, ta nói f liên tục trên I.
f liên tục trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x′ ∈ I, |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| <
Ta nói:
f liên tục đều trên I ⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x, x′ ∈ I, |x− x′| < δ =⇒ |f(x)− f(x′)| <
Hàm số liên tục trên một đoạn:
Cho f : [a, b]→ R liên tục. Khi đó:
i) f liên tục đều trên [a, b].
ii) f đạt cực đại, cực tiểu trên [a, b].
Đặt m = min{f(x), x ∈ [a, b]}, M = max{f(x), x ∈ [a, b]}. Khi đó f ([a, b]) = [m,M ] (nghĩa là
f đạt mọi giá trị trung gian giữa m, M).
1
2 Sự khả vi
Định nghĩa 2.1 Cho f : I → R và x0 ∈ I. Ta nói f khả vi tại x0 nếu lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
tồn tại hữu hạn. Khi đó đặt
f ′(x0) = lim
t→0
f(x0 + t)− f(x0)
t
gọi là đạo hàm của f tại x0
Nếu f khả vi tại mọi x ∈ I, ta nói f khả vi trên I.
Định lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b). Giả sử
f ′(x) 6= 0 trên (a, b). Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f ′(c)[g(b)− g(a)] = g′(c)[f(b)− f(a)]
Trường hợp g(x) = x, ta có công thức Lagrange
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)
Quy tắc Lôpitan: Cho x0 ∈ R hoặc x0 = ±∞, f, g khả vi trong lân cận của x0. Giả sử g và
g′ khác không và lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = 0 hoặc lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = +∞ hoặc −∞.
Khi đó: Nếu lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)
= A thì lim
x→x0
f(x)
g(x)
= A (A có thể là hữu hạn hoặc vô hạn).
Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân:
Cho f liên tục, u, v khả vi. Đặt
F (x) =
v(x)∫
u(x)
f(t) dt
Khi đó: F khả vi và F ′(x) = v′(x)f(v(x))− u′(x)f(u(x)).
3 Vô cùng bé - Vô cùng lớn
Hàm f được gọi là lượng vô cùng bé khi x→ x0 nếu lim
x→x0
f(x) = 0.
Cho f, g là hai lượng vô cùng bé khi x→ x0. Giả sử lim
x→x0
f(x)
g(x)
= k
- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé tương đương.
- Nếu k 6= 0, k hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng bé cùng bậc.
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói g là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn f .
- Nếu k = 0, ta nói f là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn g.
2
Bậc của vô cùng bé: Cho f là lượng vô cùng bé khi x → x0. Giả sử tồn tại k > 0 sao cho
lim
x→x0
f(x)
(x−x0)k tồn tại hữu hạn và khác 0, số k > 0, nếu có sẽ duy nhất, được gọi là bậc của vô
cùng bé f khi x→ x0.
Hàm f được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếu lim
x→x0
f(x) = +∞ hoặc −∞. Nếu f là vô
cùng lớn khi x→ x0 thì 1
f
là vô cùng bé khi x→ x0.
Cho f, g là vô cùng lớn khi x→ x0. Giả sử lim
x→x0
f(x)
g(x)
= k.
- Nếu k = 1, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn tương đương.
- Nếu k 6= 0 và hữu hạn, ta nói f, g là hai lượng vô cùng lớn cùng bậc.
- Nếu k = 0, ta nói g là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn f .
- Nếu k = +∞ hoặc −∞, ta nói f là lượng vô cùng lớn bậc lớn hơn g.
Cho f là vô cùng lớn khi x→ x0. Bậc của vô cùng lớn f là số k > 0 (nếu có sẽ duy nhất) sao
cho lim
x→x0
(x− x0)kf(x) tồn tại hữu hạn và khác không.
4 Công thức Taylor
Cho f : (a, b)→ R có đạo hàm bậc (n+ 1). Với x0, x ∈ (a, b), tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho:
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k + 1
(n+ 1)!
f (n+1) (x0 + θ(x− x0))
Rn(x) =
1
(n+1)!
f (n+1) (x0 + θ(x− x0)) là dư số Lagrange.
Hoặc:
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k + o (|x− x0|n)
Rn(x) = o (|x− x0|n) là lượng vô cùng bé bậc lớn hơn n, được gọi là dư số Peano. Nếu x0 = 0
ta được công thức Maclaurin:
f(x) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk +Rn(x)
. Công thức Maclaurin của hàm sơ cấp
a) ex = 1 + x+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+Rn(x), Rn(x) =
eθx
(n+ 1)!
xn+1 hoặc Rn(x) = o(x
n).
b) sin x = x − x
3
3!
+
x5
5!
+ · · · + (−1)n x
2n−1
(2n− 1)! + R2n, R2n = (−1)
n cos θx.
x2n+1
(2n+ 1)!
hoặc
R2n = o(x
2n).
c) cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
+R2n+1, R2n+1 = (−1)n+1 cos θx. x
2n+2
(2n+ 2)!
hoặc
R2n+1 = o(x
2n+1).
3
d) (1 + x)α = 1 +
αx
1!
+
α(α− 1)
2!
x2 + · · ·+ α(α− 1) . . . (α− n+ 1)
n!
xn +Rn, (x > −1).
Rn =
α(α− 1) . . . (α− n+ 1)
n!
(1 + θx)α−n+1.xn+1 hoặc Rn = o(xn).
e) ln(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
+ · · ·+ (−1)n+1x
n
n
+ o(xn), x > −1
f) arctgx = x− x
3
3
+
x5
5
+ · · ·+ (−1)n+1 x
2n−1
2n− 1 + o(x
2n)
5 Các giới hạn cơ bản
1. lim
t→0
sin t
t
= lim
t→0
tgt
t
= lim
t→0
arctgt
t
= lim
t→0
arcsint
t
= lim
t→0
ln (1 + t)
t
= lim
t→0
et − 1
t
2. lim
t→0
(1 + t)a − 1
t
= a.
3. lim
t→0
1− cos t
t2
=
1
2
.
4. lim
t→∞
tp
et
= 0 ∀p.
5. lim
t→∞
lnp t
tα
= 0, α > 0,∀p.
Thí dụ:
Tính các giới hạn sau:
1. lim
x→1
m
√
x− 1
n
√
x− 1 = limt→0
(1 + t)1/m − 1
(1 + t)1/n − 1 =
n
m
.
2.
lim
x→1
(1−√x)(1− 3√x) . . . (1− n√x)
(1− x)n−1 = limt→0
[
1− (1 + t)1/2] . [1− (1 + t)1/3] . . . [1− (1 + t)1/n]
(−t)n−1
=
1
2
.
1
3
. . .
1
n
=
1
n!
3. I = lim
x→0
x2
n
√
1 + 5x − (1 + x)
Đặt t5 = 1 + 5x hay x = t
5−1
5
Suy ra :
x2
5
√
1 + 5x− (1 + x) = −
(t5 − 1)2
5(t5 − t+ 4) = −
(t5 − 1)2
5(t− 1)2(t3 + 2t2 + 3t− 4)
Vậy I = −5
2
4. lim
x→+∞
1
x
ln
(
ex − 1
x
)
= lim
x→+∞
1
x
[
ln(ex − 1)− lnx] = 1
5. lim
x→0
ln(cosx)
x2
= lim
x→0
ln[1 + (cos x− 1)]
x2
= lim
x→0
cosx− 1
x2
= −1
2
6. lim
x→0
(
1
sin x
− cotg x
)
= lim
x→0
1− cosx
sin x
= lim
x→0
x2
2x
= 0
4
7. lim
x→0
3
√
cosx−√cosx
x2
= lim
x→0
(
1− x
2
2
) 1
3
−
(
1− x
2
2
) 1
2
x2
= lim
x→0
−x
2
6
+
x2
4
x2
=
1
12
(dùng 1− cosx ∼ x
2
2
, lim
t→0
(1 + t)α − 1
t
= α )
8. lim
x→∞
(
sin
√
x+ 1− sin√x
)
= lim
x→∞
2 sin
(√
x+ 1−√x
2
)
. cos
(√
x+ 1 +
√
x
2
)
= 0
Tính lim
x→x0
u(x)v(x)
Đặt y = uv ⇒ ln y = v lnu.
Sau đó tính lim
x→x0
v lnu
Nếu lim
x→x0
v lnu = a thì lim
x→x0
uv = ea
9. lim
x→+∞
(
x+ 2
x− 3
)3x+4
Đặt y = lim
x→+∞
(
x+ 2
x− 3
)3x+4
⇒ ln y = (3x+ 4) ln
(
x+ 2
x− 3
)
⇒ ln y = (3x+ 4) ln
(
1 +
5
x− 3
)
Vậy lim
x→∞
ln y = lim
x→∞
(3x+ 4).
5
x− 3 = 15
Suy ra lim
x→∞
y = e15
10. lim
x→0
(
1 + tg x
1 + sinx
) 1
sin x
Đặt y =
(
1 + tg x
1 + sinx
) 1
sin x
⇒ ln y = 1
sin x
ln
(
1 + tg x
1 + sinx
)
=
1
sin x
ln
(
1 +
tg x− sin x
1 + sinx
)
(dùng ln(1 + t) ∼ t)
⇒ lim
x→0
ln y = lim
x→0
tg x− sin x
sin x(1 + sinx)
= lim
x→0
1
cosx
− 1
1 + sinx
= 0
Vậy lim
x→0
y = 1
Chứng minh các lượng vô cùng bé sau tương đương khi x→ 0:
1. f(x) = x sin2 x, g(x) = x2 sin x
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
x sin2 x
x2 sin x
= 1
5
2. f(x) = e2x − ex, g(x) = sin 2x− x
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
e2x − ex
sin 2x− x = limx→0
2e2x − ex
2 cos 2x− 1 = 1
So sánh các vô cùng bé khi x→ 0
1. f(x) = 1− cos3 x, g(x) = x sin x
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
1− cos3 x
x sin x
= lim
x→0
(1− cosx)(1 + cos x+ cos2 x)
x2
=
3
2
(thay sin t ∼ t)
Vậy f , g là vô cùng bé cùng bậc.
2. f(x) = cosx− cos 2x, g(x) = x 32
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
cosx− cos 2x
x
3
2
= lim
x→0
(cosx− 1) + (1− cos 2x)
x
3
2
= 0
Vậy f là vô cùng bé bậc lớn hơn g.
Tìm bậc của các vô cùng bé sau khi x→ 0
1. f(x) =
√
cosx− 3√cosx
lim
x→0
f(x)
xk
= lim
x→0
√
cosx− 3√cosx
xk
= lim
x→0
(
1− x
2
2
) 1
2
−
(
1− x
2
2
) 1
3
xk
= − 1
12
nếu k = 2
Vậy f là vô cùng bé bậc 2.
2. f(x) = x sin x− sin2 x
Ta có: f(x) = sinx(x− sin x) ∼ x
(
x3
3!
)
=
x4
3!
(dùng khai triển Taylor)
Vậy f là vô cùng bé bậc 4.
3. Tìm bậc của vô cùng lớn f(x) =
√
1 +
√
x khi x→ +∞
f(x) =
√
1 +
√
x =
√
x
1
2 (1 + x
−1
2 ) = x
1
4
√
1 + x
−1
2
Vậy f là vô cùng lớn bậc
1
4
Lưu ý. Để tìm bậc của vô cùng lớn khi x→ +∞, ta tìm số k > 0 sao cho lim
x→∞
f(x)
xk
tồn
tại hữu hạn và khác không.
4. Tìm lượng tương đương của f(x) = x[
√
x2 +
√
x4 + 1− x√2]
khi x→ +∞
Dùng (1 + t)α)− 1 ∼ αt khi t→ 0, ta có
f(x) = x2
(1 + (1 + 1
x4
) 1
2
) 1
2
−
√
2
∼ x2 [(2 + 1
2x4
) 1
2
−
√
2
]
6
∼ x2
√
2
[(
1 +
1
4x4
) 1
2
− 1
]
∼ x
2
√
2
8x4
Vậy f là vô cùng bé tương đương với g(x) =
√
2
8x2
khi x→ +∞
5. Cho n là số tự nhiên, f0, f1, . . . , fn là các đa thức sao cho
fn(x)e
nx + fn−1(x)e(n−1)x + · · ·+ f0(x) = 0
với mọi x lớn bất kỳ.
Chứng minh f0, f1, . . . , fn đồng nhất bằng 0.
Giả sử fn không đồng nhất triệt tiêu
fn(x) = akx
k + ak−1xk−1 + · · ·+ a0, ak 6= 0
Chia hai vế cho xkenx, cho x →∞, áp dụng lim
x→∞
xp
eax
= 0 với a > 0, ∀p, ta được ak = 0.
Mâu thuẫn.
Vậy fn ≡ 0. Tương tự cho fn−1, . . . , f1 đồng nhất triệt tiêu.
Khi đó, f0(x) = 0 với mọi x lớn bất kỳ. Vậy f0 ≡ 0.
6. Cho n là số tự nhiên, f0, f1, . . . , fn là các đa thức sao cho
fn(x)(lnx)
n + fn−1(x)(lnx)n−1 + · · ·+ f0(x) = 0
với mọi x > 0.
Chứng minh f0, f1, . . . , fn đồng nhất triệt tiêu.
Đặt x = ey và viết biểu thức vế trái dưới dạng
gk(y)e
ky + gn−1(y)e(k−1)y + · · ·+ g0(y) = 0
với mọi y, trong đó k là số tự nhiên.
Làm tương tự như bài (5), ta có gk, . . . , g0 đồng nhất triệt tiêu. Vậy f0, f1, . . . , fn đồng
nhất triệt tiêu.
6 Bài tập
1. Tính các giới hạn sau
(a) lim
x→pi
3
tg3 x− 3 tg x
cos
(
x+
pi
6
)
(b) lim
x→∞
x[ln(x+ a)− lnx]
(c) lim
x→1
x2 − 1
x lnx
(d) lim
x→+∞
3
√
x3 + 3x2 −
√
x2 − 2x
(e) lim
x→0
(cosx)
1
x2
(f) lim
x→0
(sinx+ cosx)
1
x
7
2. Tính các giới hạn sau bằng thay các vô cùng bé tương đương.
Các lượng vô cùng bé sau tương đương khi t→ 0:
t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et − 1)
(1− cos t) ∼ t
2
2
(1 + t)α ∼ 1 + αt
(a) lim
x→0
ln(1 + 2x sin x)
tg2 x
(b) lim
x→0
sin2 3x
ln2(1− 2x)
(c) lim
x→pi
2
±
√
1 + cos 2x√
pi −√2x
(d) lim
x→0
ln(cosx)
ln(1 + x2)
3. Dùng công thức Taylor tính các giới hạn sau:
(a) lim
x→∞
[
x− x2 ln
(
1 +
1
x
)]
(b) lim
x→0
1− (cosx)sinx
x3
Hướng dẫn:
sin x. ln(cosx) = sinx. ln[1 + (cos x− 1)] ∼ sin x.(cosx− 1)
∼
(
x− x
3
3!
+ . . .
)(
−x
2
2
− . . .
)
∼ −x
3
2
1− (cosx)sinx = 1− esin x. ln(cosx) ∼ 1− e−x
3
2 ∼ x
3
2
Vậy lim
x→0
1− (cosx)sinx
x3
=
1
2
(c) lim
x→0
(1 + x)x − 1
sin2 x
(d) lim
x→0
e− (1 + x) 12
x
4. Dùng quy tắc L’Hopital tính các giới hạn sau
(a) lim
x→0
ex − e−x − 2x
x− sin x
(b) lim
x→∞
xe
x
2
x+ ex
(c) lim
x→0+
lnx
1 + 2 ln(sinx)
(d) lim
x→∞
pi − 2 arctg x
ln
(
1 +
1
x
)
8
5. Dùng quy tắc L’Hopital khử các dạng vô định
(a) lim
x→1+
lnx. ln(x− 1)
(b) lim
x→0
(
1
x
− 1
ex − 1
)
(c) lim
x→0+
(1 + x)lnx
(d) lim
x→0
(
tg x
x
) 1
x2
(e) lim
x→0+
(x)sin x
(f) lim
x→pi
2
−
(pi − 2x)cosx
Hướng dẫn: Đặt x =
pi
2
+ t
9
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- ham_so_thuc_theo_mot_bien_so_thuc.pdf