Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về căn bậc hai theo hướng phát hiện những sai lầm thường gặp và hướng khắc phục sai lầm đó

ng quan điểm dạy học cơ bản : DH giải thích minh hoạ, DH gắn với kinh nghiệm, DH kế thừa, DH định hướng HS, DH định hướng hành động, giao tiếp; DH nghiên cứu, DH khám phá, DH mở. 1.2. Phương pháp dạy học tích cực : Việc thực hiện đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới đồng bộ từ mục tiêu (theo chuẩn kiến thức kĩ năng), nội dung, phương pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH. Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tích cực(PPDHTC) nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi, khám phá, phát hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin HS tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất. Tổ chức hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra chân lý. Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác,) dạy phương pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tương lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển xã hội. PPDH tích cực được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động. PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS, nghĩa là hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động của người học chứ không chỉ hướng vào phát huy tính tích cực của người dạy. Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy. Mặt khác, cũng có trường hợp HS mong muốn được học theo PPDHTC nhưng GV chưa đáp ứng được. Do vậy, GV cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phương pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả. PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học. * Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực : a) dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh. b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của HS. c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác. d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá. e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV 2. Cơ sở thực tiễn 2.1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 9 ở trường THCS xã Yên Bình và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp có nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các hằng đẳng thức, các phép khai phương, quy tắc, các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, các công thức toán học... Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy, tìm tòi thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu. Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai” 2 . Chương “Căn bậc hai, căn bậc ba” có hai nội dung chủ yếu là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba. 3. Qua đợt khảo sát chất lượng học sinh lớp 9 của sở giáo dục và đào tạo lạng sơn năm học 2011 – 2012 tôi nhận thấy số học sinh đạt điểm từ 0,25 đến 0,75 ở các trường trong huyện hữu lũng nói chung và trường THCS Yên Bình nói riêng chiếm tỉ lệ khá cao, mà theo cấu chúc đề thi thì câu 1 là bài toán về căn bậc hai (chiếm 2 điểm) trong đó có 1 điểm là dành cho học sinh yếu mà tỉ lệ học sinh điểm dưới 1 chiếm tỉ lệ cao, tức là các em đã mắc sai lầm khi làm phần này, qua theo dõi tôi nhận thấy đa số học sinh nếu không làm được 1 điểm ở phần này thì sẽ khó lấy được điểm ở phần kiến thức khác. 3. Nội dung đề tài 3.1. Kiến thức Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. * Nội dung của phép khai phương gồm : - Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm) - Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a ≥ 0, có ; với a bất kỳ có ) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : ”) * Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau : = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức ) ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 ) ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ¹ 0 ) ( với A, B là biểu thức và B > 0) (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ¹ B2) ( với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ¹ B ) * Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức ( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính chất phép tính khai phương). 3.2. Kü n¨ng : Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức. * Có thể kể các kỹ năng về tính toán như : - Tìm khai phương của một số (số đó có thể là số chính phương trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số đó với số 100) - Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phương) * Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như : - Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn (thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức theo chiều từ phải qua trái. - Phối hợp các kỹ năng đó(và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu. Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng(để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.) Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và củng cố trong phần này như : - Giải toán so sánh số - Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Giải toán tìm x - Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho - Một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8) - Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phương trình tích) - Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay. Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này ( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng). 4. Các giải pháp thực hiện 4.1. Các bước tiến hành : 1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm. 2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp. 3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cương. 4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập. 5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai thành từng nhóm. 6. Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các ví dụ cụ thể. 7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm. 2.5. Giải pháp mới của sáng kiến Sáng kiến đưa ra một số giải pháp mới như sau: - Tổng hợp một số lỗi mà học sinh thường mắc phải khi giải bài toán về căn bậc hai. - Xây dựng các phương pháp giải bài toán về căn bậc hai. 2.5.1 Đối với học sinh yếu, kém - Chủ yếu đưa ra các phương pháp để học sinh“củng cố kiến thức cơ bản” đó là + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng hằng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử 2.5.2 Đối với học sinh đại trà - Thì các em cần phải có khả năng “Vận dụng và phát triển kỹ năng”bằng phương pháp - Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Ngoài ra giáo viên cần chữa các sai lầm thường gặp cho học sinh trong giải toán , củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành cho học sinh. - Hướng dẫn các em tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán. 2.5.3 Đối với học sinh khá, giỏi -Giới thiệu hai phương pháp nâng cao để học sinh “ Phát triển tư duy ” + Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác. + Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử. 4.2. Những điểm khó về kiến thức trong chương “căn bậc hai – căn bậc ba” so với khả năng tiếp thu của học sinh ở trường THCS Yên Bình : - Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn ) - Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức ở mẫu). 4.3. Các dạng toán về căn bậc hai mà học sinh thường mắc sai lầm khi giải “ hướng khắc phục sai lầm đó” Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản sau: 1. Hướng khắc phục sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học : a) Hướng khắc phục sai lầm về định nghĩa về căn bậc hai và định nghĩa căn bậc hai số học : - Tình huống: Giải bài tập 1 (sgk - 6). Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng. + HS giải: = 15 số 225 có 2 căn bậc hai được viết là = 15 và = -15 (!) + Cách giải đúng là: Căn bậc hai số học của 225 là: = 15, còn căn bậc hai của 225 là: = 15; - = - 15 . - Nguyên nhân: Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này. - Biện pháp khắc phục: + GV cần phải giảng thật kỹ cho HS nắm: Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a, số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là và số âm kí hiệu là -. + Khi nói đến ta phải có: a0 và 0, nghĩa là không thể âm. Vì vậy không được viết : Số 225 có hai căn bậc hai là = 15 và = - 15. Như vậy học sinh đã mắc sai lầm về thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”. Vì vậy khi dạy về các định nghĩa căn bậc hai và căn bậc hai số học giáo viên cần phải làm sáng tỏ các định nghĩa này thông qua các bài tập. b) Hướng khắc phục sai lầm trong thuật ngữ ở phần chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học: * Chú ý: với a ≥ 0, ta có : Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a; Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x =. Ví dụ 3 : Tìm số x, không âm biết : = 15 Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau : Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = và x =- học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau : Do x ≥ 0 nên = 152 hay x = 225 và x = - 225. Vậy tìm được hai nghiệm là x1 = 225 và x2 = - 225 Lời giải đúng: Cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152. Vậy x = 225. d) Hướng khắc phục sai lầm về so sánh các căn bậc hai số học : Định lí: Với hai số a và b không âm, ta có a < b Ví dụ 4 : so sánh 9 và Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số chính là căn bậc hai số học của 21 do đó nếu đem so sánh với số 9thì số 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 9 < (vì trong cả hai căn bậc hai của 9 đều nhỏ hơn ). Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. Lời giải đúng : Ta có 9 = , vì 81 > 21 nên . Vậy 9 > Thông qua bài toán trên giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học. Tức là giáo viên cần cho HS thấy được 9 là căn bậc hai số học của 81. Từ đó HS có thể vận dụng tốt định lí và mở rộng cho các bài tập: Ví dụ 5: Tìm số x không âm, biết: a) b) Bài giải: a) Ta có: nên . Vì x ³ 0 nên . Vậy x > 4 Giáo viên cần HS chỉ ra được x ³ 0 và 4 > 0 từ đó ta rễ ràng vận dụng định lí để tìm ra x. b) Ta có: nên . Vì x ³ 0 nên . Vậy 0 £ x < 9 e) Hướng khắc phục sai lầm trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức ∙ Căn thức bậc hai : Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm. ∙ Hằng đẳng thức : Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương. Ví dụ 6 : Hãy bình phương số - 7 rồi khai phương kết quả vừa tìm được. Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) : (- 7)2 = 49 , nên khai phương số 49 lại bằng - 7 Lời giải đúng : Ta có: (- 7)2 = 49 và . Mối liên hệ cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu” Ví dụ 7 : Với a2 = A thì chưa chắc đã bằng a Cụ thể ta có (-3)2 = 9 nhưng ; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định được kết quả như ở trên. 2. Hướng khắc phục sai lầm trong các kỹ năng tính toán: a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại căn thức bậc hai : Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa: ; * Lời giải sai: có nghĩa khi * Phân tích sai lầm: Học sinh đã quên mất điều kiện tồn tại phân thức là - 1 + x ¹ 0 dẫn đến kết quả bài toán sai. * Lời giải đúng: có nghĩa khi Thông qua bài toán trên giáo viên tạo mới một số bài toán sau; Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) ; b) ; c) ; d) . e) ; f) . Ví dụ 3: Tìm các giá trị của x sao cho *Sai lâm học sinh có thể mắc phải là . Vì với mọi x nên đúng với mọi x. Vậy giá trị cần tìm là x R. * Phân tích sai lầm: Học sinh đã không tìm điều kiện xác định của biểu thức * Lời giải đúng: Điều kiện xác định của là Ta có Vì với mọi x nên đúng với mọi . Vậy giá trị cần tìm là . Ví dụ 4: Giải phương trình: (1) Lời giải: Điều kiện xác định của phương trình là 2x – 3 ³ 0 (2) Ta có (1) (3) Điều kiện xác định của phương trình (3) là (4) Với điều kiện (4) thì: (3) Giá trị x1 = 2 không thoả mãn điều kiện (4), loại. x2 = 6 thoả mãn (2) và (6) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6. Trong bài toán trên học sinh có thể mắc sai lầm nếu không đặt diều kiện cho phương trình (3), khi đó học sinh sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của phương trình (1). Giáo viên chú ý cho học sinh từ phương trình (3) ta suy ra được phương trình (5) nhưng từ phương trình (5) chỉ suy ra được phương trình (3) với điều kiện x – 3 ³ 0 (vì x – 3 là căn bậc hai số học của 2x – 3). Từ bài toán trên giáo viên mở rộng cho học sinh bài tập sau Ví dụ 5: Giải các phương trình a) b) c) d) e) Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + * Lời giải sai : A= x + = (x++ ) - = (+)2 ³ Vậy min A = -. * Phân tích sai lầm : Sau khi chứng minh f(x) ≥ -, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -. Xảy ra khi và chỉ khi = -(vô lý). * Lời giải đúng : Để tồn tại thì x ≥ 0. Do đó A = x + ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x = 0 * Như vậy việc xác định điều kiện tồn tại căn thức bậc hai trong một số dạng bài tập trên đây đã chỉ ra một vài sai lầm mà học sinh mắc phải. Do đó khi dạy về phần này giáo viên cần khắc sâu kiến thức, rèn kĩ năng và tính chính xác cho học sinh, qua đó giáo viên làm mới hệ thống bài tập đòi hỏi tư duy của học sinh. b) Sai lầm trong việc sử dụng hằng đẳng thức căn bậc hai : Ví dụ 7: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: ; Lời giải sai: Biểu thức A có nghĩa . Vậy biểu thức A có nghĩa khi * Phân tích sai lầm : Học sinh đã mắc sai lầm khi sử dụng hằng đẳng thức dẫn đến kết quả Lời giải đúng: Biểu thức A có nghĩa hoặc hoặc Giáo viên làm mới hệ thống bài dạng bài tập trên như sau: Ví dụ 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: ; ; ; ; ; . Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức: a) ; b) ; c) ; d) e) . Để dạy loại bài tập này giáo viên yêu cầu HS nhớ lại kiến thức về khai phương một tích (), khai phương một thương (), hằng đẳng thức căn bậc hai (). Học sinh có thể chưa nắm vững được tính chất của hằng đẳng thức căn bậc hai: Với A là một biểu thức ta có: , có nghĩa là : = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); = - A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). Từ đó HS có thể mắc các sai lầm như trong câu a. a) = = = * Lời giải : a)== = = (vì 2 < ). Với loại bài tập này, giáo viên lưu ý cho học sinh nên tạo lập mới đề bài, xây dựng thành một hệ thống bài tập mới. Việc làm này tạo cho học sinh thói quen luôn nghiên cứu, mở rộng khả năng hiểu biết. Nhằm rèn luyện kĩ năng tư duy, phát triển trí tuệ cho học sinh. Ví dụ 10: Rút gọn biểu thức: a) ; b) ; c) (với ); d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; k) ; l) Ví dụ 11: So sánh hai số ; Ví dụ 12: Tìm x, biết : * Lời giải sai : * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được tính chất của hằng đẳng thức căn bậc hai: Với A là một biểu thức ta có: , có nghĩa là : = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); = - A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. * Lời giải đúng : . Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 2 - x = 4 x = - 2 2) 2- x = - 4 x = 6. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= - 2 và x2= 6. Ví dụ 13 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16. B = - + + với x ≥ -1 * Lời giải sai : B = 4-3+ 2+ B = 4 16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15 2) 16 = -(x+1) x = - 17. * Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! * Lời giải đúng : B = 4-3+ 2+ B = 4 16 = 4 4 = (do x ≥ -1 nên 4 chính là căn bậc hai số học của x + 1) 16 = x + 1. Suy ra x = 15. Ví dụ 14: Tìm x biết a) Sau khi học sinh đã khắc phục được các sai lầm thông qua ví dụ 14, giáo viên làm mới thêm một số bài tập qua ví dụ 15 Ví dụ 15: Giải các phương trình sau a) b) c) d) * Lời giải: a) điều kiện xác định x ≥ 3 Các giá trị x = 3 và x = 4 đều thoả mãn điều kiện x ≥ 3 b) Sau khi học sinh biến đổi phương trình về dạng (1) các em sẽ đưa ra điều kiện xác định x ≥ - 3 và sau đó tiếp tục giải phương trình (1) ta được (TMĐKXĐ). Và kết luận phương trình đã cho có nghiệm x = 1 Như vậy sau khi biến đổi các em đã để mất điều kiện xác định của phương trình. Do đó trong dạng bài tập này giáo viên nên hướng dẫn các em tìm ĐKXĐ trước khi rút gọn và tiến hành giải phương trình Lời giải đúng: b) ĐKXĐ: x ³ 2 Giá trị x = 1 không thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm c) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi : Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. Ví dụ 16 : Tìm x, biết : . * Lời giải sai : 2x < ( chia cả hai vế cho ) x < . * Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”. Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 5 và cho nên mới bỏ qua biểu thức là số âm, dẫn tới lời giải sai. * Lời giải đúng : Vì 5 = < nên < 0, do đó ta có 2x > x > . Ví dụ 17 : Rút gọn biểu thức : * Lời giải sai : = = . * Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu thì , khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được. * Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có hay . Khi đó ta có: = = . (với ). Ví dụ 18 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M. M = * Lời giải sai : M = = M = . M = Ta có M = = - = 1 - , khi đó ta nhận thấy M 0 Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1. * Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai. Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì = 1 do đó - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức. (Học sinh chưa chú trọng đến việc tìm điều kiện xác định của biểu thức hoặc tìm điều kiện xác định bị sai). * Lời giải đúng : M = Đkxđ của biểu thức M là: a > 0 và - 1 ¹ 0 hay a > 0 và a ¹ 1. Với điều kiện trên, ta có : M = . M = Khi đó ta nhận thấy M 0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện). Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0 < a < 1. Ví dụ 15 : Cho biểu thức : Q = với x ¹ 1, x > 0 a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > -1. Giải : a) Q = Q = - Q = Q = = Q = = Q = - b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có - > -1 3 > 1+ 2 > 4 > x hay x < 4. Vậy với x < 4 thì Q < -1. * Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai. * Lời giải đúng : Q > -1 nên ta có - > -1 3 > 2 x > 4. Vậy với x > 4 thì Q > - 1. Ví dụ 16 : Cho biểu thức : Q = (với x ¹ 1, x ³ 0) a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > -1. Giải: a) Q = Q = Q = b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có > 1 (đúng với mọi x ¹ 1, x ³ 0) * Lời giải đúng : Q > -1 nên ta có Học snh đã sai lầm khi thực hiện nhân hai vế của bất phương trình > 1 với mà quên mất việc xét xem biểu thức mang dấu gì V - NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI : Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục được nhược điểm này của học sinh. Xét biểu thức phụ có liên quan : Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh < Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và (+ )2 Ta có : (+ )2 = a+ b + 2 Suy ra a + b < (+ )2 do đó ta khai căn hai vế ta được : 0, b > 0 nên ta được : < * Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được với thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ. Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A : A = Giải : Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau : B = 2- Ta có : 0 ≤ ≤ => - ≤- ≤ 0 => 2- ≤ 2 - ≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2- = x = 0 Khi đó giá trị lớn nhất của A = = 2+ . Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi = 0 x = , khi đó giá trị nhỏ nhất của A = = . * Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ . 3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học : Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng cá