Khóa luận Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

ương trình chuyển động là: ( ) ( )11 −+ −−−−= mmmmm rrrrrM αα&& (1.2.11) Hay: ( )112 −+ −−−= mmmm rrrrM α&& (1.2.12) Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng: ( )tqRi m mAer ω−= (1.2.13) Ta chọn gốc O sao cho Rm = a.m thì: ( )tqmaim Aer ω−= Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của rm ta được: ( ) ( ) mtiiqmam tiiqma m reiAer eiAer 22 ωω ω ω ω −=−= −= − − && & Sau đó ta thay vào phương trình (1.2.12) và giản ước hai vế ta có: ( )iqaiqa eeM −−−−=− 22 αω (1.2.14) Sử dụng công thức Ơle qaiqaeiqa sin.cos += ta thu được: ( )qaM cos122 −= αω (1.1.15) Từ đó, ta tìm được biểu thức cho tần số góc của dao động: ( ) 2 sin4cos12 22 qa M qa M ααω =−= 2 sin 2 sin.2 max qaqa M hay ωαω == (1.2.16) Trong đó: M αω 2max = Biểu thức (1.2.16) cho ta sự phụ thuộc của tần số góc ω vào q ))(( qωω = và được gọi là hệ thức tán sắc của dao động, với q là độ lớn của a π ω M α2 a π− q O Hình 1.16 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 16 vectơ sóng q . Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng. Hình 1.16 biểu diễn sự phụ thuộc của ω theo q. Sau đây, ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của )(qωω = ; ω là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ a π2 . Thật vậy, nếu có : q’= q + a π2 thì: ( ) ( ) mmmitqamimitamqim rreeAeAer ==== −− πωπω 22' ' vì ei2πm = 1. Như vậy, vectơ sóng q và ' q mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá trị ω của tần số dao động; nghĩa là q và q’ tương đương nhau về tính chất vật lí. Do tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng a π2 trên trục q. Người ta thường chọn khoảng a π2 đối xứng quanh gốc O, tức là a q a ππ ≤≤− , khoảng này chứa mọi giá trị khả dĩ của ω. q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, nên đó chính là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét mạng thuận có chu kì a, thì mạng đảo có chu kì a π2 . Mạng đảo của mạng một chiều là mạng một chiều. Khoảng giá trị a q a ππ ≤≤− trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất. Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kì là bước sóng λ. Dựa vào biểu thức của hàm sóng ( )tqRi m mAer ω−= , ta có: ( ) ( )[ ]tRqitqRi mm AeAe ωλω −+− = hay eiqλ = 1. Điều này chỉ xảy ra khi: q = λ π2 . 2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1) Ở gần tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1, thì sin 22 qaqa ≈ . Do đó: qa M qa M ααω == 2 2 (1.2.17) Ta đi tính vận tốc nhóm của sóng, tức là vận tốc truyền năng lượng dao động trong môi trường: consta Mdq dvg === .αω (1.2.18) Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là dao động với bước sóng λ lớn, vận tốc truyền năng lượng dao động là một hằng số. Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn hồi truyền trong môi trường liên tục. 2.1.2. Trường hợp a q π±= Với những giá trị q lớn, vận tốc truyền sóng không còn là hằng số. Khi đó: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 17 2 cos. qa M a dq dvg αω == (1.2.19) Ở giá trị q = qmax = a π± , vận tốc truyền sóng vg = 0. Như vậy, ở biên vùng Brillouin vận tốc truyền sóng bằng 0, ứng với sự tạo thành sóng đứng. Với qmax = a π± , ta có λmin = 2a. Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược pha nhau nhưng với biên độ bằng nhau. 2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử Ta xét trường hợp phức tạp hơn, là trường hợp mạng một chiều có chứa hai loại nguyên tử khác nhau. Để cho xác định ta giả thiết, hai loại nguyên tử có khối lượng khác nhau. Giả sử các nguyên tử có khối lượng M1 và M2 đặt xen kẽ nhau, cách đều nhau một khoảng a. Ta giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang. Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a và mỗi ô chứa hai nguyên tử. Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r1,m và r2,m, ta có thể viết hệ phương trình như sau: ( ) ( )( ) ( )⎩⎨ ⎧ −−−−= −−−−= +− − 1,1,21,1,2,22 ,2,11,2,1,11 mmmmm mmmmm rrrrrM rrrrrM αα αα && && (1.2.20) Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng sóng chạy, mà biên độ sóng cho hai loại nguyên tử A1 và A2: ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = = − − tamqi m tamqi m eAr eAr ω ω 2 1,1 2 1,1 (1.2.21) Thay (1.2.21)vào (1.2.20), sau khi giản ước ta có hệ phương trình : ( )( )⎩⎨ ⎧ ++−=− ++−=− − qai qai eAAAM eAAAM 2 1222 2 2 2111 2 12 12 ααω ααω (1.2.22) Biến đổi hệ phương trình trên ta được: ο ο ο ο a a M1 M2 M2 M1 M2 M1 M2 m - 1 m + 1 m r1m Hình 1.17 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 18 ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ =++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 021 012 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 A M Ae M Ae M A M qai qai αωα ααω (1.2.23) Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A1, A2 và ω(q). Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A1, A2 phải bằng o. Tức là: ( ) ( ) 021 12 2 22 2 2 11 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − M e M e MM qai qai αωα ααω (1.2.24) Đây là phương trình trùng phương đối với ω: ( ) 02cos1 . 2 . 2 21 2 2 21 214 =−++− qa MMMM MM αωαω giải phương trình này ta có hai nghiệm: qa MMMMMM 2 21 2 2121 2 sin. . 41111 −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=± ααω (1.2.25) * Ta xét nghiệm ω-: + Khi q = 0, ω- = 0 + Khi q nhỏ, sin2qa ≈ q2a2. Do đó: qa MM . 21 + =− αω (1.2.26) Như vậy, ở gần tâm vùng Brillouin ω tỉ lệ với q (ω∼q). + Khi a q 2 π±= , thì sin2qa = 1 và khi đó: 2 2 M αω =− (1.2.27) * Ta xét nghiệm ω+: + Khi q = 0, 21 21 . 2 MM MM +=+ αω (1.2.28) + Khi a q 2 π±= , 2 2 M αω =+ (1.2.29) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 19 Giả thiết M1 > M2, thì sự phụ thuộc của ω theo q trong trường hợp mạng có hai nguyên tử được biểu diễn như trên hình 1.18. Ta nhận thấy rằng ω phụ thuộc vào q một cách tuần hoàn với chu kì a π . Vì vậy, ta cũng chỉ xét với các giá trị của q nằm trong vùng Brillouin thứ nhất a q a 22 ππ ≤≤− (vì hằng số mạng là 2a). Đồ thị ω(q) gồm hai nhánh. Nhánh dưới ứng với ω- có dạng giống như trường hợp mạng tinh thể có chứa một loại nguyên tử. Ở q = 0, ω = 0. Với các giá trị q bé, ω∼q. Ở các giá trị a q 2 π±= , ω = ωmax. Như vậy, ở vùng gần tâm vùng Brillouin, vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số, và chính là bằng vận tốc truyền âm. Vì vậy, nhánh ứng với ω- còn được gọi là nhánh âm học. Dựa vào hình vẽ ở trên, ta có thể rút ra một nhận xét quan trọng. Trên phổ ω(q) có một khoảng giá trị từ 21 22 MM αωαω =÷= +− không ứng với nghiệm nào của phương trình truyền sóng trong mạng tinh thể. Hay là, trong mạng tinh thể không có dao động ứng với tần số trong khoảng đó. Đó là đặc điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô sơ cấp. Trong trường hợp này, ở biên vùng Brillouin thứ nhất có một khu vực cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không lan truyền trong tinh thể được, mà bị hấp thụ mạnh. Nhánh trên biểu diễn ω+. Ở nhánh này, ω ít thay đổi theo q. Ở q = 0, ta có 21 21 max 2 MM MM +=+ αω . Còn ở a q 2 π±= , ta có 2 min 2 M αω =+ , nhánh này gọi là nhánh quang học. Ta trở lại xét các nghiệm r1,m và r2,m ở (1.2.21) xét khi q = 0, thay giá trị ω+ ở (1.2.28) vào (1.2.23), ta thu được: 1 2 2 1 M M A A −= . Mà m m r r A A ,2 ,1 2 1 = nên hai loại nguyên tử q O a2 π− ω 1 2 M α 2 2 M α 21 21 . 2 MM MM +α a2 π Vùng Briloanh thứ nhất Nhánh quang ω+ Nhánh âm ω- Hình 1.18 + + + - - - - + + q Nhánh dao động quang + + + - - -- + + Nhánh dao động âm q Hình 1.19 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 20 M1 và M2 dao động ngược pha nhau (vì r1,m và r2,m trái dấu nhau). Trong tinh thể ion, các nguyên tử M1 và M2 mang điện tích trái dấu nhau. Khi chúng dao động, mômen lưỡng cực điện do chúng tạo nên cũng biến đổi tuần hoàn. Ánh sáng (sóng điện từ) tương tác mạnh với dao động mạng thuộc loại này. Nói cụ thể hơn, vectơ điện trường E của ánh sáng tương tác mạnh nới mômen lưỡng cực của tinh thể, nếu ánh sáng có tần số bằng ω+. Chính vì lí do đó, mà nhánh này được gọi là nhánh quang học. Khi q ≈ 0, thì với nhánh âm học (ω-), các nguyên tử dao động gần như cùng pha với nhau giống như các dao động âm học có bước sóng lớn. Sự xuất hiện hai nhánh: âm học và quang học trong phổ dao động của mạng tinh thể là kết quả của việc mạng tinh thể có gốc, tức là trong ô sơ cấp có hai nguyên tử hoặc nhiều hơn. 3. Dao động mạng ba chiều Đối với bài toán dao động của mạng ba chiều chứa một loại nguyên tử ta cần tìm nghiệm cho hệ phương trình có dạng như sau: ( )3 1 1 . N m m n m n n Mr F U R R rβ β αβ α α= = = = − −∑∑ uur uur&& (1.2.30) Xét mạng không gian có N nguyên tử thể tích V, mỗi ô cơ sở có một nguyên tử (tất cả các nguyên tử giống nhau). Phương trình định luật II Newton: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 3 1 3 1 3 2 1 3 1 2 1 1 3 1 1 =−+ =−+ =−+ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = β β αβα β β αβα β β αβα mm N m mm N m mm N m rRRUrM rRRUrM rRRUrM && && && (1.2.31) Như vậy, ta sẽ có 3N phương trình, giải hệ phương trình có 3N phương trình đó ta thu được nghiệm tổng quát của độ lệch so với vị trí cân bằng của nguyên tử thứ N theo phương α (chuyển từ tọa độ không gian sang số vectơ sóng). Như đã thấy, nói chung tần số ω và biên độ A của dao động đều là hàm của vectơ sóng q . Trong trường hợp ba chiều, mr là vectơ có hình chiếu lên ba phương của không gian là rmβ (β = 1,2,3 ứng với x, y, z). Nghiệm của hệ phương trình trên được tìm dưới dạng sóng, là tổng hợp các sóng có ω khác nhau và A khác nhau: ( ) ( ) ( )[ ]tqRqi q m meqAqe NM r ωββ −∑= 1 (1.2.32) Với ( )qeβ là các hệ số thực và ( )qA là biên độ dao động. Tổng lấy theo các giá trị của q trong vùng Brillouin thứ nhất. ta giả thiết mạng tinh thể đơn giản, trong mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử. Tinh thể có N1, N2, N3 nguyên tử lần lượt theo các phương x, y, z. Ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho cả ba phương, thì các giá trị hình chiếu của q lên các phương cũng trở nên gián đoạn. Tinh thể chứa N = N1.N2.N3 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 21 nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ sóng q . Mặt khác, thể tích của vùng Brillouin thứ nhất (cũng là thể tích của ô sơ cấp mạng đảo) là v 38π với v là thể tích ô sơ cấp của mạng thuận. Nếu tinh thể có thể tích V, và chứa N ô sơ cấp thì thể tích của ô sơ cấp là N Vv = . Do đó, thể tích của vùng Brillouin là N V .8 3π và ứng với mỗi vectơ sóng là một ô nhỏ có thể tích V 38π của vùng Brillouin. Các vectơ q có gốc ở tâm vùng Brillouin và có ngọn ở một trong các ô này. Như vậy, trong một đơn vị thể tích không gian đảo, có 38π V giá trị của vectơ q ở phương trình (1.2.32) NM 1 được gọi là hệ số chuẩn hóa, với M là khối lượng nguyên tử. Ta thay rmβ ở (1.2.32) vào phương trình (1.2.30), ta có: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tqRqi q N n mn tqRqi q nm eqAqeRRUeqAqeqM ωα α αβ ω βω − = = − ∑∑∑∑ −= . 1 3 1 2 Sau khi rút gọn ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. 1 3 1 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − = = −∑ ∑∑ tqi q N n RRqi mn eqAeqeRRUqeqM mn ω α ααββω (1.2.33) Đây là phương trình để tìm ( )qA vì ( ) ( )tqieqA ω−. khác không, nên hệ phương trình được thỏa mãn nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ = = −−= N n RRqi mn mneqeRRUqeqM 1 3 1 2 . α ααββω (1.2.34) Phương trình này liên hệ với nút mạng thứ m đang xét với tất cả các nút mạng khác thông qua khoảng cách mn RR − . Nên ta đặt: mn RRh −= (1.2.35) Và: ( ) ( ) hiq h ehU M qG ∑= αβαβ 1 (1.2.36) Thì ta sẽ có được: ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. 3 1 2 =+− ∑ = qeqGqeq α α αββω (1.2.37) đây là hệ phương trình tìm ( )qeβ với β = 1, 2, 3. Muốn có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng 0: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 22 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 02 2 2 = +− +− +− qGqqGqG qGqGqqG qGqGqGq zzyzxz zyyyxy zxyxxx ω ω ω (1.2.38) Định thức này là phương trình bậc 3 đối với ( )q2ω nên nói chung có ba nghiệm: ( )q21ω ; ( )q22ω ; ( )q23ω , ứng với các tần số ω = ( )qsω , s = 1, 2, 3 ( chỉ lấy nghiệm ω > 0). Vậy có 3 nghiệm ( )qω , chúng ứng với ba nhánh trong phổ của ( )qω . Muốn xác định được các ( )qω , ta phải biết các ma trận ( )qGαβ , rức là biết ( )hUαβ . Khi biết được các ( )qsω , thay giá trị của nó vào (1.2.37) ta tìm được các hình chiếu ( ) ( )qe sβ của vectơ ( ) ( )qe s . Vì có ba nghiệm ( )qsω (s =1, 2, 3), nên cũng có ba vectơ ( ) ( )qe s . Ta sẽ xét đến một số tính chất của ( ) ( )qe s . Các hình chiếu của chúng là nghiệm của phương trình (1.2.37) nên cũng là hàm riêng của ma trận ( )qGαβ . Ma trận ( )qGαβ là ma trận tự liên hợp. Bởi vì: ( ) ( )nmmn RRURRU −=− βααβ (1.2.39) Nên: ( ) ( )hUhU −= βααβ (1.2.40) Từ (1.2.36) và (1.2.40) ta suy ra ( )qGαβ là tự liên hợp. Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( )qGehU M qG hiq h αβαββα =−= −∗ ∑ .1 (1.2.41) Ta đã biết hàm riêng của các ma trận tự liên hợp ứng với các trị riêng khác nhau. Ở đây ( )qsω chính là các trị riêng. Do đó các nghiệm ( ) ( )qe 1 , ( ) ( )qe 2 , ( ) ( )qe 3 của hệ phương trình (1.2.37) trực giao nhau. Ta có thể chuẩn hóa các vectơ ( ) ( )qe s sao cho bình phương của vectơ bằng đơn vị. Điều kiện trực giao là: ( ) ( ) ( ) ( ) 11. ssss qeqe δα α α =∑ (1.2.42) Các vectơ ( ) ( )qe s xác định sự phân cực của sóng. Mỗi vectơ đó cho biết ứng với giá trị vectơ sóng q và ứng với tần số ( )qsω thì nguyên tử dao động theo phương nào. Với các phương q tùy ý, nói chung sự phân cực là phức tạp. Tuy nhiên, trong một số trường hợp có thể phân biệt được trong dao động của tinh thể một vectơ phân cực (chẳng hạn ( ) ( )qe 1 ) dọc theo vectơ sóng q và hai vectơ còn lại ( ( ) ( )qe 2 và ( ) ( )qe 3 ) vuông góc với nhau và vuông góc với phương vectơ q . Điều này xảy ra khi vectơ q hướng theo q ( ) qe 1 ( ) qe 2 ( ) qe 3 Hình 1.20 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 23 các phương đối xứng của tinh thể, hoặc ở giới hạn sóng dài (ứng với các giá trị q nhỏ), khi tinh thể có thể coi như môi trường đẳng hướng. Trong trường hợp này, có một sóng dọc và hai sóng ngang. Nói chung với phương q bất kì, không có sóng thuần túy dọc hoặc sóng thuần túy ngang. Các yếu tố ma trận ( )0αβG có eiqh = 1. Do đó: ( ) ( )hU M G h ∑= αβαβ 10 (1.2.43) Từ phương trình (1.2.7) và (1.2.8), nếu mọi nguyên tử dịch chuyển đi một khoảng b như nhau theo cùng một phương, chẳng hạn phương α thì mọi rnα = b và lực Fmβ sẽ là: ( )bRRUF N n mnm . 1 ∑ = −−= αββ (1.2.44) Như vậy, có nghĩa là toàn bộ tinh thể đều dịch đi một đoạn b theo phương α, và do đó không có lực tác dụng lên nguyên tử thứ m. Khi đó phương trình (1.2.44) sẽ là: ( ) ( ) ( ) 00. 11 ==−=− ∑∑∑ == hURRUhayRRUb h N n mn N n mn αβαβαβ Từ đó, suy ra: Gαβ(0) = 0 (1.2.45) Như vậy, theo (1.2.37) và (1.2.45) ( )qsω tiến đến không khi q→0. Đó là đặc trưng của sóng âm truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng. Vì vậy, ( )qsω ứng với ba nhánh âm học trong phổ ( )qω . Theo các phương đối xứng ta có một nhánh âm ứng với sóng dọc và hai nhánh âm ứng với sóng ngang. Trong trường hợp chung không phân được nhánh nào ứng với sóng dọc, nhánh nào ứng với sóng ngang, nhưng vẫn có ba nhánh âm học. Trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ q . Vì có ba phương phân cực ứng với ( ) ( )qe s (với q, s = 1, 2, 3) nên có tất cả 3N trạng thái. Số trạng thái trùng với số bậc tự do của các nguyên tử trong tinh thể (N nguyên tử có 3N bậc tự do). Vì có tất cả ba phương phân cực, nên nghiệm của phương trình (1.2.32) được viết dưới dạng có chứa chỉ số s: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tqRqis q s s m smeqAqe NM r . 3 1 1 ω ββ − = ∑∑= (1.2.46) Nếu ô sơ cấp chứa p nguyên tử thì dao động của nguyên tử thứ j ở ô thứ m, theo phương β được viết dưới dạng: o ω q a π a π− Hình 1.21 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 24 ( )( ) ( ) ( )[ ]tqRqijs q p s s j j jm smeqAqe NM r . 3 1 1 ω ββ − = ∑∑= (1.2.47) Trong đó: Mj là khối lượng của nguyên tử thứ j; N là ô sơ cấp trong tinh thể, còn s lấy giá trị từ 1 ÷ 3p. Lập luận tương tự như trên thay cho (1.2.38) ta có phương trình: ( ) ( ) 0''2 =− qGq jjjj αβαβδδω (1.2.48). Biểu thức trong dấu định thức là công thức tổng quát cho các số hạng của định thức. Định thức này có 3p hàng, 3p cột chính là phương trình bậc ba 3p đối với ω2. Nó có 3p nghiệm dương: ( ) psqs 3...,,2,1; ==ωω (1.2.49) Trong số các nghiệm này, có ba nghiệm ứng với ( ) 00 →→ qkhiqω . Chúng ứng với các dao động âm học. Còn 3(p-1) tần số còn lại ứng với các dao động quang học, có tần số ω không tiến tới không khi 0→q . Phổ dao động của tinh thể gồm ba nhánh âm học và 3. (p- 1) nhánh quang học. 4. Tọa độ chuẩn Nghiệm của phương trình dao động có thể biểu diễn dưới dạng khác, nếu ta đặt: ( ) ( ) ( ) tqisS seqAqB .ω−= (1.2.49) Khi đó (1.2.46) trở thành: ( ) ( ) ( ) mRqis q s s m eqBqeNM r ∑∑ = = 3 1 1 ββ (1.2.50) Và: ( ) ( ) ( ) mRqis q s s m eqBqeNM r && ∑∑ = = 3 1 1 ββ (1.2.51) Sử dụng nghiệm dưới dạng này, ta hãy tính năng lượng dao động theo (1.2.1), (1.2.2) và (1.2.6). Trước tiên, ta sẽ tính động năng của các nguyên tử. Theo (1.2.2): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑∑ + = = == == n Rqqi ss s q q s s s n n neqBqBqeqe N rMK 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 23 1 2 1 2 1 && β β β β β (1.2.52) Tổng cuối cùng có dạng ∑ j Rqi ne , với nR là vectơ vị trí nút mạng thứ n. Nếu ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman cho cả ba chiều của tinh thể, thì trạng thái dao động của nguyên tử ở nút có vectơ vị trí nR cũng giống như trạng thái của nguyên tử ở nút 11aNRn + , ở nút 22 aNRn + và ở nút 33aNRn + . Thay các giá trị này của nR vào biểu thức của dao động, ta thấy điều kiện tuần hoàn dẫn đến: 1332211 === aNqiaNqiaNqi eee (1.2.53) Dựa vào tính chất của vectơ mạng đảo, ta thấy các đẳng thức này thỏa mãn nếu: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 222 b N kb N kb N kq πππ ++= (1.2.54) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 25 với k1, k2, k3 là các số nguyên. Thay (1.2.54) và 332211 anananR ++= , vào ta có: ∑∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= 321 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ,, 211 nnn n N kn N kn N ki n Rqi e N e N n π (1.2.55) Trong đó, ni = 0, 1, 2, …Ni-1 (i = 1, 2, 3). Nếu ki ≠ 0, sử dụng công thức cho cấp số nhân, ta có: 0 1 1 2 21 1 2 = − −=∑− = i i ii i i ii N k kiN n N nki e ee π ππ (1.2.56) Vì 12 =ikie π . Do đó, vế phải của (1.2.55) chỉ khác không khi Gqhayq == 0 và khi đó tổng của (1.2.55) bằng 1. Vậy: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠≠ ===∑ Gqqkhi GqqkhieN n Rqi n ,00 ,011 (1.2.57) Trong công thức (1.2.55) ở tổng theo n, 1qq + cũng là vectơ sóng. Do đó, theo (1.2.57) tổng này chỉ khác không khi qq −=1 , hay Gqq +−=1 các vectơ sóng khác nhau một vectơ mạng đảo là tương đương nhau. Do vậy, ta chỉ cần giới hạn ở trong trường hợp qq −=1 . Và khi đó, (1.2.52) sẽ trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ = = = −−= 3 1 3 1 3 11 1 12 1 β ββ q s s ss ss qeqeqBqBK & && (1.2.58) Vectơ mr biểu diễn độ lệch của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng, nên nó là thực và do đó: ββ mm rr =* ( *βmr là đại lượng liên hợp phức của βmr ). Áp dụng vào (1.2.50), ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mm Rqis q s sRqi s q s s eqBqeeqBqe ∑∑∑∑ = − = = 3 1 * 3 1 ββ (1.2.59) Chú ý rằng ( )qesβ là đại lượng thực, nên ( ) ( ) ( )qeqe ss ββ =* . q lấy các giá trị trong vùng Brillouin thứ nhất, tức là ứng với mỗi giá trị q thì có một giá trị - q trong tổng. Vì vậy, ở vế phải của (1.2.59), có thể thay tất cả các vectơ q bằng - q . Muốn cho đẳng thức (1.2.59) được thỏa mãn, thì: ( ) ( ) ( ) ( )qeqe ss ββ =− (1.2.60) ( ) ( )qBqB s=−*β (1.2.61) Do vậy, ta thu được biểu thức động năng như sau: ( ) ( )qBqBK s q s s * 3 12 1∑∑ = = & (1.2.62) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 26 Thế năng trong tinh thể là : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mn RqRqi n m mnss s q q s s s eRRUqBqBqeqe NM U 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 12 1 + = = = = ∑∑∑∑∑∑∑∑ −= αββ α β α (1.2.63) Đặt mn RRh −= tổng cuối cùng của biểu thức trên được viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ++ =− m qqRihqi h RqRqi n m mn mmn eehUeRRU 11 αβαβ (1.2.64) Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )qGqeqBqBqeU sss q s s s αβ α α β β ∑∑∑∑∑ == = = −−= 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1 (1.2.65) Theo (1.2.37) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )qeqqeqG ss βα α αβ ω .. 2 3 1 =∑ = . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )qeqeqqBqBU ss q s s sss β β βω ∑∑∑∑ == = −= 3 1 3 1 3 1 2 1 12 1 (1.2.66) Sử dụng điều kiện trực giao (1.2.42), ta thu được biểu thức cho thế năng có dạng như sau: ( ) ( ) ( )qBqBqU ss q s s * 3 1 2 2 1∑∑ = = ω (1.2.67) Vậy năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể sẽ là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑ = +=+= q s sssss qBqBqqBqBUKE 3 1 *2* 2 1 ω& (1.2.68) Hay: ( )∑∑ = = q s s qEE 3 1 (1.2.69) Với: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ += 22221 qBqqBqE ssss ω& (1.2.70) Với mạng lập phương đơn giản thì ( ) ( ) ( )qEqEqE 321 == là quy luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do. Năng lượng dao động của tinh thể không biểu thị qua độ lệch rmβ của từng nguyên tử mà qua các đại lượng ( )qBs là các tọa độ chuẩn. Ta có thể coi như (1.2.50) là biểu thức chuyển từ tọa độ thường rmβ sang tọa độ chuẩn ( )qBs . Mỗi tọa độ chuẩn ( )qBs là một nghiệm của phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa. Thật vậy, nếu lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian nghiệm của phương trình dao động (1.2.49), ta có: ( ) ( ) ( )qBqqB sss 2ω−=&& (1.2.71) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 27 đây là phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa ( )qBs mô tả dao động của một dao động tử có tần số ( )qsω và năng lượng ( )qEs . Như vậy, ta có thể quan niệm năng lượng dao động của tinh thể theo hai cách: như là tổng năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể, các nguyên tử này có tương tác với nhau, còn năng lượng thì phụ thuộc vào các tọa độ rmβ và đạo hàm của chúng, hoặc như là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa độc lập nhau, và năng lượng phụ thuộc vào các tọa độ chuẩn ( )qBs và đạo hàm của chúng ( )qBs& . III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 1. Lượng tử hóa dao động mạng Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa: kxxm −=&& (1.3.1) Và nếu ta đặt m k=2ω , thì phương trình sẽ trở thành: 02 =+ωx&& (1.3.2) Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng động năng và thế năng: 22 22 kxxmUKE +=+= & (1.3.3) Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn của dao động tử: 2 22 22 xm m pH ω+= (1.3.4) Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng xˆ và pˆ . Khi đó, toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa (lượng tử) là: 2 22 ˆ 22 ˆˆ xm m pH ω+= (1.3.5) Giải phương trình Srôđingơ ứng với toán tử Hamintơn này, ta tìm được biểu thức cho năng lượng của dao động tử: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 1nEn ωh (1.3.6) Trong đó, n = 0,1,2,3,…. Theo cơ học lượng tử thì giá trị nhỏ nhất của năng lượng dao động tử sẽ là 2 ωh , ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng bậc không. Ta thu được năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử là: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 28 ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ += 21sqss nqqE ωh (1.3.7) với ,...3,2,1,0=sqn Công thức trên cho ta thấy rằng năng lượng của một dao động tử điều hòa chỉ có thể thay đổi một cách gián đoạn theo một số nguyên lần ( )qsωh . Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa được xác định bởi: ( )qEE q s s∑∑= (1.3.8) 2. Phonon 2.1. Phương pháp chuẩn hạt Khi nghiên cứu các tính chất của tinh thể chúng ta gặp khó khăn là phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy, cần phải sử dụng phương pháp gần đúng và một trong các phương pháp đó là phương pháp chuẩn hạt. Theo phương pháp này,