Khóa luận Lí thuyết tương đối trong một số bài tập vật lí đại cương

nói cách khác dây treo lệch góc so với phương thẳng đứng. Bài tập 1.2.2 Cơ chế máy Atút treo trong thang máy, đầu dây vắt qua ròng rọc là 2 vật khối lượng lần lượt là m1, m2 (hình vẽ). Coi sợi dây không co giãn, khối lượng ròng rọc và dây treo không đáng kể. Thang máy chuyển động đi lên nhanh dần đều với gia tốc . Xác định gia tốc của các vật đối với mặt đất và độ lớn lực căng dây treo T Giải: Xét trong hệ quy chiếu gắn với thang máy, trục toạ độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên, giả sử vật m1 đi lên. Các lực tcạc dụng vào vật m1, m2 là: m1: +Trọng lực + Lực quán tính: +Lực căng dây treo: m2: +Trọng lực +Lực quán tính: +Lực căng dây treo: Phương trình chuyển động của chất điểm m1, m2 lần lượt là: m1: (1.2.3) m2: (1.2.4) Do và nên chiếu (1.2.3) và (1.2.4) lên trục toạ độ ta có: T – m1.g – m1.A = m1.a T – m2.g – m2.A = m2.a =>(m2 – m1).(g + A) = (m1 + m2).a Vì: nên: Nếu m1 > m2 thì: Nếu m1 > m2 thì: Bài tập 1.2.3 Cho cơ hệ như hình vẽ, khối lượng của các vật lần lượt là M, m1,m2. Ban đầu giữ cho hệ thống đứng yên. Thả cho cơ hệ chuyển động thì nêm chuyển động với gia tốc A bằng bao nhiêu? Tính gia tốc của vật đối với nêm theo gia tốc A của nêm. Với tỉ số nào của m1, m2 thì nêm đứng yên và các vật trượt trên 2 mặt nêm. Bỏ qua ma sát khối lượng ròng rọc và dây nối. Giải: Giả sử m1.sin > m2.sin tức vật m1 đi xuống, m2 đi lên. Khi đó tổng hình chiếu của các lực lên phương ngang bằng 0 nên khối tâm của hệkhông thay đổi. Do đó nêm đi sang phải. Vật m1 và m2 chịu tác dụng của các lực: Trọng lực, lực căng dây treo, phản lực của mặt nêm, lực quán tính. Phương trình chuyển động của các vật lần lượt là: m1 : (1.2.5) m2: (1.2.6) + Chiếu (1.2.5) và (1.2.6) lên các mặt nêm ta có: m1.g.sin + m1.Acos – T1 = m1.a1 (1.2.7) m2.g.sin +m2.A.cos – T2 = m2.a2 (1.2.8) Do dây không giãn nên T1 = T2 = T và a1 = a2 = a, thay vào (1.2.7) và (1.2.8) ta được: (1.2.9) Chiếu (1.2.7) và (1.2.8) lên phương vuông góc với mặt nêm: Q1 = m1.(g.cos – A.sin) Q2 = m2.(g.cos – A.sin) + Phương trình chuyển động của nêm: Chiếu xuống phương ngang với Q1 = Q1’ và Q2 = Q2’ Q1.sin – Q2.sin + T(cos – cos) = M.A (1.2.10) Thay giá trị của Q1, Q2, T vào (1.2.10) ta được: Điều kiện để nêm đứng yên là: A = 0 m1sin – m2sin = 0. Khi đó thay vào biểu thức (1.2.8) ta được: a = 0 nêm đứng yên thì các vật cũng không chuyển động, hay nói cách khác không xảy ra trường hợp nêm đứng yên các vật chuyển động vì: khối tâm của hệ không di chuyển theo phương ngang. Bởi vậy, nếu khối tâm của 2 vật dịch chuyển thì khối tâm của nêm dịch chuyển theo chiều ngược lại. Bài tập 1.2.4 Một tấm ván khối lượng M có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Trên mép tám ván đặt vật khối lượng m (hình vẽ). Hệ số ma sát giữa vật và ván là k. Hỏi giá trị nhỏ nhất Fmin của lực F theo phương ngang cần đặt vào vật m để nó bắt đầu trượt trên tấm ván là bao nhiêu? Vật sẽ có vận tốc là bao nhiêu khi nó bắt đầu trượt trên tấm ván trong trường hợp lực F = 2.Fmin tác dụng lên nó. Biết chiều dài tấm ván là l Giải: Chọn hệ quy chiếu gắn với tấm ván, chiều dương là chiều chuyển động của vật. Khi tác dụng vào vật m lực làm vật chuyển động thì giữa vật và ván xuất hiện lực ma sát . Lực ma sát tác dụng vào ván gây gia tốc cho ván được xác định: Xét trong hệ quy chiếu gắn với tấm ván, vật chịu tác dụng của các lực: - Trọng lực - Phản lực - Lực ma sát - Lực Phương trình chuyển động của vật m: (1.2.11) Chiếu (1.2.11) lên phương ngang: F – Fms – Fqt = m.a Để vật trượt trên ván thì: a > 0 Hay F m.g.k + m.g.A (do N = m.g) Vậy F = m.(k + A) = m.g( k + m/M) Khi F = 2.Fmin = 2.m.k (1 + m/M) Gia tốc của vật đối với đất: a1 = a + A = g.k.(1 + m/M ) + g.k(.m/M) Vận tốc của vật đối với đất: v = a1.t Quãng đường vật đi được trong hệ quy chiếu gắn với ván: Khi vật rời ván thì s = l Khi vật rời ván thì vận tốc của vật là: 1.2.2 Hệ quy chiếu không quán tính quay Giả sử hệ K’ quay quanh hệ K với vận tốc góc . Công thức cộng vận tốc của Galilée (1.2.1) được viết lại: (1.2.12) Đạo hàm theo thời gian (1.2.12) được: (1.2.13) Để định luật Newton đúng trong trường hợp này thì trong tổng hợp lực tác dụng ngoài các lực thông thường ta cần phải cộng thêm lực quán tính: . Nhận thấy lực quán tínhgồm hai lực: (1.2.14) Số hạng thứ nhất của lực quán tính trong (1.2.14) có đặc điểm: + Phương trùng phương tiếp tuyến + Chiều ngược chiều hướng tâm + Độ lớn bằng m..r (khi chất điểm chuyển động trên mặt phẩng vuông góc với trục quay). Lực này gọi là lực quán tính li tâm. Số hạng thứ hai của lực quán tính (1.2.14) + Phương trùng phương tiếp tuyến quỹ đạo tại điểm đó + Chiều ngược chiều chuyển động. Ta gọi lực này là lực Coriolis Như vậy khi chọn hệ quy chiếu quay quanh hệ quy chiếu đứng yên (hệ quy chiếu quán tính), ta phải kể đến lực quán tính li tâm và lực Coriolis Lực Coriolis có đặc điểm sau: Lực do đó tác dụng lên vật không làm thay đổi độ lớn vận tốc mà chỉ tác dụng làm thay đổi hướng chuyển động không sinh công vì không có phản lực quán tính phụ thuộc vào vận tốc Khi vật đặt trong hệ quy chiếu không quán tính, phương trình chuyển động của vật trong hệ quy chiếu này là: , trong đó: : tổng hợp tất cả các lực thực tác dụng vào vật : lực quán tính tác dụng vào vật Bài tập về lực quán tính quay Bài toán 1.2.5 Một bàn quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc có giá treo hòn bi khối lượng m (hình vẽ). Khi đó hòn bi đứng yên so với bàn quay nhưng dây treo lệch góc so với phương thẳng đứng. Ta sẽ giải thích hiện tượng trên trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay và gắn với mặt đất. Giải: Xét trong hệ quy chiếu gắn với bàn quay, hòn bi chịu tác dụng các lực: + Trọng lực + Lực căng dây treo + Lực quán tính li tâm: Do hòn bi đứng yên so với bàn quay nên: Hợp lực của là có phương lệch so với phương thẳng đứng góc (do). Góc được xác định . Do đó khi hhòn bi đứng yên thì trực đối so với nên phải nghiêng góc so với phương thẳng đứng. Xét trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Khi đó hòn bi chuyển động cùng với bàn quay. Hòn bi chịu tác dụng của + Trọng lực , + Lực căng dây treo . Hợp lực của chúng là lực hướng tâm làm bi quay tròn với gia tốc Tacó: (1.2.15) Chiếu (1.2.15) xuống phương thẳng đứng, do đó phải nghiêng góc so với phương thẳng đứng. Góc được xác định: Bài tập 1.2.6 Một đĩa tròn phẳng bán kính R, nằm ngang quay đều với vận tốc góc quanh trục thẳng đứng đi qua tâm đĩa. Trên mặt đĩa đặt một hòn bi có khối lượng m. Hệ số ma sát giữa hòn bi và mặt đĩa là. Với những giá trị nào của để sao cho hòn bi đặt ở vị trí nào trên đĩa thì nó cũng không bị văng ra? Giải: Chọn hệ quy chiếu Oxy gắn với đĩa (hình vẽ). Vì đĩa quay nên Oxy là hệ quy chiếu không quán tính. Hòn bi không văng ra ngoài nghĩa là nó đứng yên đối với đĩa. Lúc này tác dụng vào hòn bi gồm các lực: + Trọng lực + Phản lực + Lực ma sát + Lực quán tính li tâm Trong quá trình chuyển động của hòn bi thì trọng lực và phản lực không nằm cân bằng với nhau nên để hòn bi không bị văng ra khỏi đĩa thì: (1.2.16) Lực quán tính li tâm đạt cực đại khi hòn bi nằm ở mép đĩa, giá trị của nó là: = m..R (1.2.17) Lại có: (1.2.18) Thay (1.2.18) và (1.2.19) vào (1.2.16) ta được: Vậy để hòn bi không bị văng ra khỏi đĩa thì vận tốc góc phải thoả mãn: chương II thuyết tương đối hẹp của eistein 2.1 Sự ra đời của thuyết tương đối hẹp Eistein Vật lí học vào thời kỳ trước khi thuyết tương đối ra đời đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Đặc biệt là cơ học Newton và thuyết điện từ Maxwell. Cùng với những thành tựu đã đạt được thì vật lí cũng gặp phải những mâu thuân trong các lí thuyết khi tiến hành giải thích hiện tượng tinh sai, thí nghiệm Fizeau, thí nghiệm Michelson-Moriley. Để giải quyết mâu thuẫn trên phải cần tới sự ra đời một thuyết vật lí mới Cơ học Newton khẳng định rằng, khi nói tới đứng yên hay chuyển động bao giờ cũng phải gắn với một vật nào đó, gọi là vật quy chiếu hay là hệ quy chiếu. Chẳng hạn nếu lấy ôtô chuyển động làm hệ quy chiếu thì hành khách trong xe ở trạng thái đứng yên, nhưng nếu lấy bến xe làm hệ quy chiếu thì người hành khách đó lại đang trong trạng thái chuyển động. Từ kết quả này suy ra chuyển động của vật bao giờ cũng được mô tả trong hệ quy chiếu xác định. Đối với cá hệ quy chiếu khác nhau thì chuyển đọng sẽ diễn ra khác nhau. Ví dụ một hành khách ngồi yên trên một xe đang chuyển động đều trên một đường thẳng thì đối với một người đứng yên trên quỹ đạo chuyển động của hành khách đó là một đường thẳng, trên đó hành khách chuyển động không có gia tốc. Nhưng cũng chiếc xe đó đối với một người đang đi trên một đoạn đường vòng thì quỹ đạo của khách lúc này là một đường cong, và chuyển động của hành khách lúc này có gia tốc. Bây giờ nếu xét chuyển động của hành khách đối với người thứ ba đang đi xe đạp, xe đạp chuyển động thẳng đều so với người đang đứng yên trên đường, khi đó chuyển động của hành khách trên ôtô là chuyển động theo quỹ đạo thẳng và không có gia tốc Theo ngôn ngữ của cơ học thì ở đây ta đã xét chuyển động của một vật đối với ba hệ quy chiếu khác nhau. Đối với hệ quy chiếu thứ nhất và thứ ba thì chuyển động của vật vẫn là chuyển động thẳng đều, nghĩa là quy luật chuyển động của vật trong hai hệ quy chiếu đó là như nhau. Hai hệ quy chiếu này được gọi là hệ quy chiếu quán tính. Các hệ quy chiếu quán tính chuyển động thẳng đều với nhau. Quy luật chuyển động của vật như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính . Từ sự nghiên cứu, khảo sát chuyển động chuyển động của vật trong các hệ quy chiếu quán tính, Gallilê đã đưa ra giả thuyết gọi là nguyên lí Galilê mà ta đã xét ở chương I. Đến giữa thế kỷ XIX thuyết trường điện từ của Maxwell ra đời đã tiên đoán rằng trường điện từ cũng lan truyền trong không gian duới dạng sóng, gọi là sóng điện từ. Tiên đoán này được Hetz chứng minh bằng thực nghiệm dẫn đến sự thắng lợi hoàn toàn của lý thuyết sóng điện từ. Dựa vào lý thuyết của mình Maxwell đã tính ra vận tốc truyền sóng điện từ, nó có giá trị bằng giá trị của vận tốc ánh sáng thu được bằng thực nghiệm. Từ đó Maxwell đưa ra giả thuyết rằng ánh sáng cũng là sóng điện từ. Lý thuyết điện từ không phải là lý thuyết cơ học, nó vượt ngoài phạm vi cơ học. Nhưng vào thời kì bấy giờ những quan điểm cơ học Newton còn đang giữ địa vị độc tôn. Vì vậy người ta đã cố giải thích lý thuyết Maxwell và những lý thuyết khác theo quan điểm cơ học. Điều đó đã dẫn đến sự xuất hiện môi trường mới (thuật ngữ mới) đó là ête ánh sáng (môi trường đàn hồi để truyền ánh sáng) và ête từ (môi trường đàn hồi để truyền sóng điện từ). Và khi coi ánh sáng là sóng điện từ thì ête ánh sáng và ête từ được coi là đồng nhất và gọi là ête vũ trụ. Theo tính toán thì ête vũ trụ có những tính chất khó hiểu ví dụ như môi trường đó phải là môi trường trong suốt, thấm vào mọi vật nhưng lại có khối lượng rất lớn. Sau đây ta đi tìm hiểu các tính chất của ête vũ trụ để xem môi trường đó có thật sự tồn tại hay không? Ta tiến hành nghiên cứu các thí nghiệm sau:2.1.1 Thí nghiệm Fizeau Đây là thí nghiệm đo vận tốc của ánh sáng trong dòng nứơc. Sơ đồ thí nghiệm như (hình 2.1) Tia sáng SA xuất phát từ nguồn S tới gặp một mặt gương phản xạ bán phần tại A. Tại đó SA tách thành hai tia kết hợp truyền theo hai đường khác nhau đó là: ABCDAG và ÂDCBAG (tại B, C, D có các gương phản xạ) rồi cùng đi tới giao thoa kế taị G. Trên đường đi mỗi tia sáng phải truyền hai lần qua nước đang chuyển động với vận tốc V trong một ống uốn gấp khúc, một tia truyền theo chiều v (v là vận tốc của dòng nước), một tia truyền theo chiều ngược lại. Do đó thời gian truyền của hai tia lệch nhau và tại G có hiện tượng giao thoa ánh sáng. Biết hình ảnh giao thoa tại G có thể tính được hiệu thời gian của hai tia. Xác định được có thể tính được vận tốc truyền ánh sáng theo chiều xuôi và ngược so với chuyển động của dòng nước. Nếu gọi vận tốc của ánh sáng trong chân không là c, chiết suất của nước là n thì vận tốc của ánh sáng trong nước đứng yên là c/n. Theo công thức cộng vận tốc cổ điển thì vận tốc ánh sáng trong nước là: tuỳ ánh sáng đi theo ngược chiều hay cùng chiều chuyển động của dòng nước. Nhưng kết quả thí nghiệm Fizeau lại đưa ra rằng, vận tốc của ánh sáng trong nước là: Kết quả này đựơc giải thích rằng ête đã bị nứơc kéo theo một phần cùng với nó: khi vật chuyển động trong ête vũ trụ sẽ bị ête vũ trụ kéo theo một phần. 2.1.2 Hiện tượng tinh sai Giả sử có một ngôi sao ở đỉnh đầu, khi muốn quan sát ngôi sao đó người ta không cần hướng ống kính thiên văn vuông góc với mặt đất mà hướng kính lệch đi góc so với phương nằm ngang Góc được xác định bằng điều kiện tg= =c/v. Hiện tượng này được giải thích bằng thuyết ête đứng yên: trong ête đứng yên ánh sáng truyền từ S đến A với vận tốc bằng c và bắt đầu đi vào vật kính, sau đó truyền theo AB’ trong thời gian t: AB’ = c.t Trong khoảng thời gian đó thị kính đã di chuyển được một đọan bằng v.t (v là vận tốc dài của trái đất trong vũ trụ). Để ánh sáng từ A rơi đúng được vào thị kính B thì BB’ = v.t Từ đó ta suy ra: tg = = c/v Công thức thu được phù hợp với thực nghiệm và phù hợp với giả thtuyết coi ête là đứng yên khi trái đất chuyển động hay nói cách khác ête đứng yên hòn toàn không bị các chuyển động kéo theo. Qua hiện tượng tinh sai và thí nghiêm Fizeau ta nhận thấy xuất hiện một mâu thuẫn nội tại trong lí thuyết: khi thì coi ête đứng yên hoàn toàn cùng với chuyển động, khi thì coi ête bị kéo theo một phần. Còn có tính chất nào của ête nữa không? 2.1.3 Thí nghiệm Michelson- Moriley Mục đích cuả thí nghiệm Michelson-Moriley là nhằm phát hiện ra sự chuyển động của trái đất trong môi trường ête vũ trụ. Tư tưởng về thí nghiệm phát hiện chuyển động tuyệt đối của Trái đất đã được Maxwell đề xuất với nghuyên tắc như nguyên tắc của thí nghiệm Fizeau. Biết rằng trái đất chuyển động với vận tốc 30km/s. vì ête được coi là đứng yên tuyệt đối nên lấy Trái đất làm hệ quy chiếu thì có thể coi như có một luồng gió ête có vận tốc 30km/s thổi song song với mặt đất. Cho ánh sáng truyền cùng chiều và ngược chiều gió ête, sau đó so sánh vận tốc ánh sáng truyền theo hai chiều ngược đó ta có thể rút ra vận tốc của chuyển động của trái đất ở thời điểm thí nghiệm. Xuất phát từ tư tưởng của Maxwell, Michelson-Moriley đã thực hiện thí nghiệm năm 1881, tuy nhiên ông đã không tìm thấy sự khác nhau của vận tốc ánh sáng. Năm 1887 Michelson-Moriley đã thực hiện thí nghiệm bằng những dụng cụ và phương tiện chính xác. Sơ đồ thí nghiệm được mô tả ở hình vẽ (Hình 2.3). Tia sáng xuất phát từ nguồn S đến gương nửa phản xạ P. Tại P một phần xuyên qua P và một phần phản xạ từ P. Tia xuyên qua P đến gặp gương phản xạ A nên tia PA bị phản xạ tại A (bố trí thí nghiệm sao cho phương PA cùng phương với gió ête). Vì vậy trên phương PA tia sáng một lần đi cùng chiều và một lần đi ngược chiều với gió ête (v là vận tốc gió ête) tia phản xạ tại P gặp gương B và bị phản xạ tại B trên đoạn PB tia sáng luôn vuông góc với gió ête. Sau khi phản xạ tại A và B, một lần của tia AP phản xạ taị P’ một phần của tia BP xuyên qua P. Hai tia phản xạ và xuyên qua P lần này cũng rơi vào ống kính T. Người ta đánh dấu hệ vân giao thoa thu đươc. Sau đó quay bộ thí nghiệm đi đến 90˚ sao cho PB trở thành cùng phương còn PA thì vuông góc với gió ête. Người ta lại quan sát hệ vân giao thoa mới thu được. Nếu gió ête là có thực thì từ các phép tính người ta thấy rằng hai hệ vân giao thoa phải lệch nhau một khoảng cách nào đó. Nhưng kết quả thí nghiệm Michelson-Moriley lại cho thấy rằng hai hệ vân giao thoa hoàn toàn trùng nhau. Để giải thích thí nghiệm này người ta đã coi rằng khi Trái đất chuyển động lớp ête gần mặt đất bị kéo theo hoàn toàn với mặt đất. Nếu ête bị kéo theo hoàn toàn thí nghiệm được coi như tiến hành trong điều kiện không có gió ête. Vì vậy, ánh sáng truyền theo mọi hướng đều như nhau nên hệ vân gioa thoa không bị dịch chuyển. Như vậy nếu coi ête bị kéo theo hoàn toàn thì giải thích được kết quả thí nghiệm Michlson-Moriley nhưng nó lại là cho những mâu thuẫn nội tại của lí thuyết càng trở nên trầm trọng. Hiện tượng tinh sai càng chứng tỏ rằng ête không bị kéo theo. Thí nghiệm Fizeau lại chứng tỏ rằng ête bị kéo theo một phần, còn thí nghiệm Michelson-Moriley chứng tỏ rằng ête bị kéo theo hoàn toàn cùng với mặt đất. Thí nghiệm Michelson-Moriley đã được thực hiện nhiều lần với những dụng cụ có độ chính xác cao. Năm 1960 tại trường đại hoc Colômbia, Saclo Taunxơ đã dùng những thành tựu mới nhất của vật lí lúc ấy là Made, nhưng dụng cụ chính xác đó cũng không phát hiện ra gió ête, mặc dù nó có thể phát hiện ra gió ête dù yếu chỉ bằng 1/ 1000 giá trị giả thiết. Như vậy cuối thế kỉ XIX đầu thế kỉ XX Vật lí học đã gặp những khó khăn nghiêm trọng. Trong số ngững khó khăn đó nổi lên hàng đầu là giải thích kết quả thí nghiêm Michelson-Moriley. Điều đó cần đến sự ra đời của một thuyết mới để giải quyết các mâu thuẫn nói trên, và thuyết tương đối Einstein ra đời vào năm 1905. 2.2 Thuyết tương đối hẹp của Einstein Trước Einstein thì Phitgieren và Lorentz, cũng đã tìm cách giải thích kết quả của thí nghiệm Michelson-Moriley nhưng lúc bấy giờ lí thuyết của hai ông được coi là hết sức kì quặc. Vì vậy mà lí thuyết đó không được ai công nhận. Phitgieren cho rằng khoảng cách giữa hai điểm không phải là bất biến. Một vật đặt trong gió ête sẽ bị áp suất của ête tác dụng lên vật. Vì vậy vật bị co ngắn lại theo phương chuyển động (phương của gió ête). Còn các phương khác kích thước của vật không thay đổi. áp dụng quan sát điểm này vào sơ đồ thí nghiệm (hình 2.3) thì quãng đường truyền ánh sáng theo phương PA sẽ bị co ngắn lại so với khi không có gió ête với hệ số co ngắn chiều dài là:, trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không. Với quan điểm này Phigieren có thể giải thích được kết quả thí nghiệm Michelson-Moriley. Lorentz cũng đưa ra lí thuyết tương tự: giả thuyết co ngắn chiều dài. Lorentz còn đưa ra giả thuyết rằng, dưới tác dụng của gió ête các đồng hồ chuyển động theo phương thức của gió ête cũng chạy chậm lại. Năm 1905, Einstein công bố bài báo đầu tiên của mình và sau đó là một số ý kiến giải thích về nhiều vấn đề, từ đó những khó khăn trong ngành Vật lí học mới được giải quyết. Đối với vấn đề gió ête Einstein khẳng định là không có. Einstein cũng tán thành quan điểm của cơ học Newton rằng chuyển động là có tính tương đối. Những khó khăn mâu thuẫn trong lý thuyết được giải thích dựa vào hai tiên đề mà Einstein nêu ra trong thuyết tương đối hẹp. Tiên đề 1: Nguyên lí tương đối Einstein : Các quy luật của tự nhiên và các kết quả của tất cả các thí nghiệm tiến hành trong một hệ quy chiếu nào đó không phụ thuộc vào trạng thái chuyển động thẳng đều của hệ quy chiếu đó. Hay có thể hiểu một cách đơn giản rằng các hiện tượng Vật lí diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Tiên đề 2: Tiên đề về tính không đổi của vận tốc ánh sáng Vận tốc ánh sáng không phụ thuộc vào trạng thái chuyển động của nguồn ánh sáng hay vận tốc của ánh sáng có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Tiên đề Einstein đã làm loé lên một gây ra mâu thuẫn trong quan điểm về thời gian. Cơ học Newton cho rằng thời gian là tuyệt đối còn lí thuyết tương đối coi thời gian là đại lượng tương đối, thời gian phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Điều này được thể hiện rõ qua ví dụ sau: Giả sử tại thời điểm ban đầu thì t = t’ = 0, gốc hai hệ toạ độ O và O’ trùng nhau, vào lúc đtia sáng tại gốc chung của hai hệ toạ độ.Sau thời gian t =0 ánh sáng truyền đi theo mọi phương và mặt đầu ánh sáng là mặt cầu bán kính R = c.t Theo quan điểm của cơ học Newton thì tại thời điểm t người ta quan sát ở O và O’ đều thấy đầu sóng là mặt cầu tâm O (cả hai người quan sát ở O và O’ đều thấy mặy đầu sóng đồng thời truyền đến 2 điểm M, N). Theo lí thuyết tương đối thì người quan sát ở O và O’ đều thấy mặt đầu ánh sáng là các mặt cầu nhưng tâm của chúng không trùng nhau. Đối với người quan sát ở O mặt đầu ánh sáng là mặt cầu bán kính R = c.t tâm ở O. Đối với người quan sát ở O’ thì mặt đầu ánh sáng là mặt cầu có bán kính R’ = c.t’ và tâm ở O’. Đó chính là điều vô lí đối với cơ học Newton. Bởi vì với người quan sát ở O thì mặt đầu ánh áng đồng thời truyền đến 2 diểm M, N trong khi đó đối với người A sát ở O, thì mặt đầu ánh sáng lại đồng thời truyền đến 2 điểm N’ (hình 2.5) Như vậy đã đến hai sự kiện đồng thời trong hai hệ này lại không phải là hai sự kiện đồng thời trong hai hệ kia. Đó chính là điều vô lý theo quan diểm của cơ học Newton. Nó phải được hiểu theo quan điểm của lý thuyết tương đối. 2.3 các hệ quả của thuyết tương đối, 2.3.1 phép biến đổi lorentz. Từ hai tiên đề của Einstein người ta thu được các công thức biến đổi toạ độ không gian và thời gian, các công thức đó gọi là công thức biến đổi Lorentz x = (x’ + v.t’). y = y’ (2.3.1) z = z’ t = (t’ +x’) hay x’ = (x- v.t) y’ = y (2.3.2) z’ = z t’ = (t-x) Trong đó với x, y, z, t là toạ độ và thời gian trong hệ quy chiếu K x’ ,y’, z’, t’ là toạ độ và thời gian trong hệ quy chiếu K’, trong đó K’ là hệ chuyển động dọc theo trục x với vân tốc v so với K và lúc đầu t = t’ gốc toạ độ trong hai hệ K và K’ trùng nhau Các công thức (2.3.1) và (2.3.2) chỉ có ý nghĩa nếu v < c. Điều này chứng tỏ rằng không có một hệ vật chất chuyển động với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng hay nói cách khác, vận tốc ấnh sáng là vận tốc giới hạn của hệ vật chất. Đây là nội dung trong thuyết cơ học cổ điển không có. Nếu v rất nhỏ so với c tức v << c thì 1, do đó công thức (2.3.1) được viết lại: x = x’ + v.t t = y’ z = z’ (2.3.1)’ t = t’ (2.3.1)’ chính là công thức biến đổi Galilée. Như vậy phép biến đổi Galilée là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Lorentz, hay nói cách khác cơ học cổ điển chỉ là trường hợp riêng của thuyết tương đối Einstein. 2.3.2 Công thức cộng vận tốc. Lấy vi phân các biểu thức của (2.3.1) ta được dx = (dx’ + v.dt’) dy = dy’ (2.3.3) dz = dz’ dt = (dt’ +dx’) Chia các biểu thức trên cho dt ta được: (2.3.4) Gọi và lần lượt là vận tốc của vật trong hệ K và K’. Ta có: và Từ các công đạo hàm ta thu được các công thức cộng vận tốc: (2.3.5) (2.3.5) chính là công thức cộng vận tốc Einstein. Trường hợp v << c thì , công thức cộng vận Einstein trở thành công thức cộng vận tốc cổ điển: (2.3.6) Trong công thức (2.3.5) ta tìm sự biến đổi của vận tốc ánh sáng khi chuyển hệ quy chiếu. Giả sử ánh sáng truyền theo trục x thì: ux’ = c và u’z= u’y= 0 Từ (2.3.5) suy ra: ux = uz= 0 và (2.3.7) Ta có thể biểu diễn thành phần vận tốc trong hệ K’ qua thành phần vận tốc trong hệ K như sau: (2.3.8) 2.3.3 Sự co ngắn của chiều dài một vật theo phương chuyển động. Một vật đứng yên trong hệ quy chiếu nào đó, độ dài của vật được xác định bằng cách đo hiệu các toạ độ không gian của các đầu mút của nó. Do vật đang xét không chuyển động nên việc đo đạc có thể tiến hành vào bất kì thời điểm nào. Độ dài được xác định như vậy được gọi là chiều dài riêng của vật. Để giải thích cho kết quả của thí nghiệm Michelson-Moirley, Phitegieren và Lorentz đã nêu lên giả thiết: kích thước của một vật theo phương chuyển động sẽ bị co ngắn lại. Bây giờ ta sẽ chứng tỏ sự co ngắn đó là một quy luật tổng quát, nó là một hệ quả của thuyết tương đối. Xét một chiếc thước đặt dọc theo trục x và chuyển động đều với vận tốc v, cũng dọc theo trục x. Gắn hệ K’ với chiếc thứơc. Gọi x’1 và x’2 là hai đầu mút của thước trong hệ K’. Hiệu l0 = x’2 – x’1 là chiều dài của thước trong hệ K’ (hệ mà thứơc đứng yên). Xét chiều dài của thước trong hệ K. Để đo chiều dài của chiếc thước trong hệ K thì người quan sát đứng trên trục x, khi chiếc thước chuyển động ngang qua trước mặt thì người quan sát đồng thời đánh dấu hai đầu mút của thước trong hệ quy chiếu của mình. Gọi toạ độ hai vết đó là x1, x2 tương ứng với x’1, x’2. Hiệu l = x2 - x1 là chiều dài của thước trong hệ chuyển động K. Từ công thức biến đổi Lorentz ta có: x’1 = (x1 - v.t1) x’2 = (x2 – v.t2) Do x1, x2 được đánh dấu đồng thời nên t1 = t2, từ đó ta có: x’2 – x’1 = (x2 – x1) hay l0 = l. (2.3.9) Từ công thức (2.3.9) ta thấy rằng khi v 1 nên l < l0, lúc này sự co lại của chiều dài là đáng kể. Công thức (2.3.9) được gọi là công thức mô tả sự co lại Lorentz. Công thức (2.3.9) có biểu thức giống công thức mà Phitgieren và Lorentz đã đưa ra trước đó. Nhưng cách đoán nhận ra nó thì lí thuyết Phitgieren-Lorentz hoàn toàn khác lí thuyết tương đối. Phitgieren và Lorentz thì cho rằng sự co ngắn chiều dài là sự biến đổi về mặt Vật lí do áp suất của gió ête gây ra, còn Einstein cho rằng sự co chiều dài chỉ liên quan đến kết quả của các phép đo. Phitgieren và Lorentz coi rằng các vật chuyển động có “chiều dài tĩnh” tuyệt đối nghĩa là chiều dài thực, khi bị co lại tức là chúng không giữ chiều dài thực của chúng nữa. Còn Einstein thì coi rằng không cần đến sự có mặt của ête nên nói đến chiều dài tuyệt đối, chiều dài thực là không có nghĩa. Sự co Lorentz chỉ là một hiệu ứng động học thuần tuý chứ không liên quan đến các nguyên nhân vật lí. Bây giờ ta đặt hai chiếc thước có chiều