Khóa luận Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán Vật Lý

y p x y q x         (1.14) 10 Khi đó, ta đặt: 1z y  . Ta có ' '(1 ) .z y y    . Thế vào phƣơng trình (1.14) ta đƣợc: ' (1 ) ( ). (1 ). ( )z p x z q x     Phƣơng trình này chính là phƣơng trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Ví dụ: Giải phƣơng trình: 2 ' 2 2 y x y x y   (1.15) Giải: Ta viết lại phƣơng trình: 2 ' 11 2 2 x y y y x   Đây là phƣơng trình Bernoulli với 1   Do đó, ta nhân hai vế của phƣơng trình với 1(1 ( 1)). 2y y   . Ta có: ' 2 2 1 2 .yy y x x   (*) Đặt 2z y ' '2z yy . Thế vào (*) ta có: ' 2 1 .z z x x   (**) (phƣơng trình tuyến tính với z là hàm theo biến x). - Giải phƣơng trình thuần nhất liên kết với (**) ta đƣợc: .z C x - Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) có dạng: ( ).z v x x Thế vào (**) ta tìm đƣợc: 2 ( ) 2 x v x C  Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) là: 3 . 2 x z C x  Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là: 3 2 . 2 x y C x  1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. Phƣơng trình vi phân cấp 2 là phƣơng trình có dạng: ' ''( , , , ) 0F x y y y  hay '' '( , , )y f x y y (1.16) Ví dụ: 3 '' 2 3 0xx y xy e y x    ; '' 2 2 cos y y x x x   là những phƣơng trình vi phân cấp 2 Xét phƣơng trình '' '( , , )y f x y y 11 Nếu '( , , )f x y y là một hàm liên tục trong một miền nào đó có chứa điểm ' 0 0( , , )x y y thì phƣơng trình vi phân cấp 2 đã cho tồn tại một nghiệm 0( )y y x thỏa mãn điều kiện ' '0 0 0 0( ) y ; ( )y x y x y  . Ngoài ra, nếu f y   và ' f y   cũng liên tục trong miền nói trên thì nghiệm ( )y y x là nghiệm duy nhất. Điều kiện để ' '0 0 0 0( ) ; ( )y x y y x y  đƣợc gọi là các điều kiện ban đầu của một phƣơng trình vi phân cấp 2: 0 0 ' ' 0 0;x x x xy y y y   Gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là hàm số 1 2( ,C ,C )y x , trong đó , là những hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau: - Nó thỏa mãn phƣơng trình (1.16) với mọi giá trị của , - Với mọi '0 0 0( , , )x y y ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất nghiệm đƣợc thỏa mãn, có thể tìm đƣợc các giá trị xác định 0 0 1 1 2 2,C C C C  sao cho hàm số 0 0 1 2( , , )y x C C thỏa mãn: 0 0 ' ' 0 0,x x x xy y y y   Hệ thức 1 2( , , , ) 0x y C C  xác định nghiệm tổng quát của phƣơng trình (3.1) dƣới dạng ẩn đƣợc gọi là tích phân tổng quát của nó.Nó biểu diễn một họ đƣờng tích phân phụ thuộc hai tham số. Ngƣời ta gọi nghiệm riêng của phƣơng trình (1.16) là một hàm số 0 0 1 2( , , )y x C C mà ta đƣợc bằng cách cho , trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định 0 01 2,C C . Hệ thức 0 0 1 2( , , , ) 0x y C C  đƣợc gọi là tích phân riêng. Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình: '' sinxy  . Tìm một nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu '0 00; 1x xy y   Giải: Phƣơng trình trên là phƣơng trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và Từ phƣơng trình '' sinxy  (1.17) Ta có: ' 1 1 1 2 1 2 sin x cos cos sinx y dx C x C y xdx C x C C x C                Suy ra, nghiệm tổng quát của (1.17) là: 1 2sinxy C x C    12 Tìm nghiệm riêng: Vì 0 1 2 20 sin 0 0 0 0xy C C C        Vì ' 0 1 11 cos0 1 2xy C C       Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: sinx 2y x   13 CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. 2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. 2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. Bài toán: Chúng ta xét đến mạch RL hoặc RC đƣợc kích thích bởi một nguồn DC từ bên ngoài. Xét mạch (nhƣ hình). Khóa K đóng tại thời điểm t = 0 và tụ đa tích điện ban đầu với giá trị 0V . Xác định các giá trị , cv i và Ri sau khi đóng khóa K, tức t > 0? Giải: Khi t > 0, viết định luật 1 Kirchhoff (định luật Kirchhoff về dòng điện – KCL) cho mạch: 0 dv v C I dt R   Hay: 01 Idv v dt RC C   Phƣơng trình này chính là phƣơng trình Bernoulli với 0  Giải phƣơng trình trên ta đƣợc: 0( ) . t RCv t Ae RI    Xác định A nhờ điều kiện đầu. 14 Ở t = 0+: 0 0 0(0 ) (0 )v v V V A RI       Hay: 0 0A V RI  0 0 0 0 0( ) ( ). . (1 ) t t t RC RC RCv t V RI e RI V e RI e           Hằng số A bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu ( 0V ) và cả nguồn kích thích ( 0I ). Đáp ứng gồm 2 phần:  Phần chứa hàm mũ có dạng giống nhƣ đáp ứng của mạch RC không chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn đƣợc xác định nhờ thời hằng của mạch và đƣợc gọi là đáp ứng tự nhiên: 0 0( ). t RC nv V RI e    Để ý là 0nv  khi t   Phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, đƣợc gọi là đáp ứng ép: 0fv RI Trong trƣờng hợp nguồn kích thích DC, nv và fv Dòng Ci và Ri xác định bởi: 0 0 0 0 0 0 ( ) . ( ) . t RC C t RC R C V RIdv i t C e dt R V RI V i t I i I e R R             2.1.2. Sự phân rã phóng xạ. Gọi y(t) là số lƣợng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật liệu cho trƣớc. Với k là một hằng số phƣơng trình: ( ) . ( ) dy t k y t dt  Là phƣơng trình vi phân mô tả lƣợng nguyên tử phóng xạ. 15 Bài toán: Chu kì bán rã của Radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa là cứ khoảng 1600 năm khối lƣợng của Radium giảm đi một nửa. Nếu ban đầu một mẫu Radium có khối lƣợng là 50 gram thì sau bao lâu khối lƣợng của nó là 45 gram? Giải: Gọi y(t) là khối lƣợng của Radium sau khoảng thời gian là t (năm) Ta biết rằng '( ) . ( )y t k y t (k là một hằng số) Giải phƣơng trình vi phân trên ta đƣợc: ( ) . kty t C e Ta có: (0) 50y  và (1600) 25y  ta tìm đƣợc ln 2 50, 1600 C k   Vậy sau thời gian 45 ln( ) ln( ) 50 50 243,2 x t k k    (năm) 2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng. Đây là mô hình toán học diễn tả sự thay đổi của đối tƣợng đƣợc khảo sát trong một môi trƣờng nhất định. Định luật phát biểu rằng tốc độ thay đổi (theo thời gian) của nhiệt độ tỷ lệ thuận với sai biệt giữa nhiệt độ T của đối tƣợng và nhiệt độ eT của môi trƣờng xung quanh đối tƣợng ( ) 0; (0) e e dT k T T dt t T T      Ví dụ: Một bình nƣớc đang sôi ở nhiệt độ ban đầu là 100 C , ngƣời ta muốn giảm xuống 70 C biết nhiệt độ môi trƣờng là 26 C , nhiệt độ sẽ giảm xuống 96 C sau 1 phút. - Viết phƣơng trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm của phƣơng trình này. - Tính thời gian để bình nƣớc ở 63 C Lời giải: ( ) 0; (0) 100; 26 1; (1) 96 e e dT k T T dt t T T t T         16 Phƣơng trình vi phân: ( 26) dT k T dt    1 1 1 .1 ln 26 26 26 26 0; (0) 100 100 26 74 74 1; (1) 96 96 74. 26 ln 70 0,06 kt C kt k dT kdt T kt C T T e C e t T C C t T e k k                                       Vậy nghiệm tổng quát: 0,06.74. 26tT e  Xét phƣơng trình: 0,06.74. 26 63 ln 2 11,55 út 0,06 te t ph       2.1.4. Một số bài toán về cơ học.  Vận tốc thoát khỏi trái đất. Xét bài toán xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm đi ra trái đất và bị tác động bởi lực hấp dẫn của trái đất. Giả sử vận tốc ban đầu theo hƣớng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đƣờng đi qua tâm trái đất. Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc tỷ lệ nghịch với bình phƣơng khoảng cách từ hạt đến tâm trái đất. Giả sử rlà biến khoảng cách và Rlà bán kính trái đất. Nếu tbiểu diễn thời gian, vlà vận tốc của hạt, alà gia tốc và k là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có: 2 dv k a dt r    Gia tốc là âm vì vận tốc giảm. Vì thế hằng số klà dƣơng. Khi r R thì a g  , gia tốc của trọng lực ở bề ngoài trái đất. Nhƣ vậy: 2 k g R    Từ đó: 2 2 gR a r  (2.1) 17 Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách. Ta có dv a dt  và dr v dt  , do đó: dv dr dv dv a v dt dt dr dr    (2.2) Từ (2.1) và (2.2) ta có: 2 2 dv gR v dr r   (2.3) Nghiệm tổng quát của (2.3) có dạng: 2 2 2gRv C r   Giả sử hạt rời bề mặt trái đất với vận tốc 0v . Khi đó 0v v khi r R , do đó ta có: 2 0 2C v gR  Nhƣ vậy, một hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm đi ra xa trái đất với vận tốc ban đầu 0v sẽ chuyển động với vận tốc v đƣợc xác định bởi phƣơng trình: 2 2 0 2 2 gR v v gR r    (2.4) Phƣơng trình (2.4) cho phép ta xác định một hạt sẽ thoát khỏi trái đất. Ở bề mặt trái đất, r R , với vận tốc là dƣơng, 0v v . Từ (2.4) ta thấy vận tốc của hạt sẽ dƣơng nếu và chỉ nếu 2 0 2 0v gR  Mặt khác, nếu 20 2 0v gR  thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế phải của (2.4) bằng 0. Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dƣơng sang âm và hạt sẽ trở lại trái đất. Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu 0v mà 2 0 2v gR sẽ thoát khỏi trái đất. Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là 2ev gR Đƣợc gọi là vận tốc thoát. Nhƣ vậy, bằng việc tìm tập hợp nghiệm của phƣơng trình vi phân (2.3) ta xác định đƣợc phƣơng trình vận tốc thoát của hạt. 18  Vật thể rơi. Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểm 0t  . Nếu h(t) là độ cao của vật ở thời điểm t, gia tốc a(t)và vận tốc v(t)thì ta có mối liên hệ giữa a,v,h ( ) dv a t dt  và ( ) dh v t dt  Đối với một vật thể rơi thì a(t)là hằng số và bằng với g = - 9,8(m/s). Kết hợp các phƣơng trình vi phân trên ta đƣợc: 2 2 d h g dt  Từ đó ta có: 0 dh gt v dt   Do đó: 2 0 0 1 ( ) 2 h t gt v t h   Phƣơng trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu với vận tốc ban đầu . 2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, dƣới tác dụng của các lực 1, 2 ,..., .nF F F Đối với chất điểm tự do các lực này là lực đặt lên chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả ngoại lực và phản lực liên kết. Căn cứ vào phƣơng trình cơ bản của động lực học ta có thể thành lập phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. Gọi véc-tơ định vị của chất điểm là r ta có: 2 2 w d r r dr   Khi đó phƣơng trình cơ bản viết cho chất điểm nhƣ sau: 2 2 1 n i i d r m F dt   (2.5) Phƣơng trình vi phân (2.5) đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm dƣới dạng vec-tơ. Từ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ta thấy trong động lực học có hai bài toán cơ bản sau đây: 19 - Bài toán cơ bản thứ nhất: cho biết chuyển động của chất điểm xác định lực gây ra chuyển động đó. Bài toán này gọi là bài toán thuận. - Bài toán cơ bản thứ hai: cho biết lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm. Bài toán này gọi là bài toán nghịch. Cách giải 2 bài toán trên: Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phƣơng trình vi phân của chuyển động của chất điểm. Từ phƣơng trình vi phân ta xác định đƣợc lực tác dụng lên từng chất điểm. Điểm cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm, điều này đã đƣợc giải quyết trong động học. Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phƣơng trình vi phân sau đó tích phân phƣơng trình vi phân tìm đƣợc. Để tìm dạng chuyển động cụ thể ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động. Bài toán 1: Một chất điểm có khối lƣợng m chịu tác dụng của một lực F làm nó chuyển động theo đƣờng elip acosktx  và sinkty b , với a, b, k là các hằng số, t là thời gian chất điểm chuyển động đƣợc. Hãy tìm lực tác dụng lên chất điểm. Giải: Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ nhất. Căn cứ vào phƣơng trình chuyển động: cos y=bsinkt x a kt Xác định đƣợc: 2 2 2 2 cos ; y=bk sin ; x ak kt k x kt k y      Ta có phƣơng trình vi phân chuyển động nhƣ sau: 2 2 x y xm F mk x ym F mk y       Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với: 2 2 2 2 2 2 x yF F F mk x y mk r     Các góc chỉ phƣơng của F là: 20 os( , ) os( , ) x y F x c F x F r F y c F y F r       Mặt khác ta cũng có: os( , ) os( , ) x c r x r y c r y r   Dễ dàng nhận thấy F cùng phƣơng nhƣng ngƣợc chiều với vec-tơ định vị của chất điểm Ta có: F mkr  Bài toán 2: Một chất điểm có khối lƣợng m chuyển động trong mặt phẳng ngang dƣới tác dụng của lực hút về tâm O là 2F k mr  . Ở đây r là véc-tơ định vị, còn k là hệ số tỉ lệ.Hãy tìm phƣơng trình chuyển động và quỹ đạo của chất điểm. Cho biết tại thời điểm ban đầu 0 0 0 00, 1, 0, 0,t x x y y v     . Giải: Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ hai. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm (dạng vec-tơ): 2Wm k mr  Cho hệ tọa độ Oxy, ta có thể thiết lập phƣơng trình vi phân dƣới dạng tọa độ Đề-các nhƣ sau: 2 2 mx k mx my k my     Khử khối lƣợng m ở hai vế phƣơng trình trên ta đƣợc: 2 2 0 0 x k x y k y       Nghiệm tổng quát của hai phƣơng trình trên có dạng: 1 2 3 4 cos sin cos sin x C kt C kt y C kt C kt     Các hằng số tích phân 1 2 3 4, , ,C C C C đƣợc xác định từ các điều kiện đầu của chuyển động. Khi 0 0t t  ta có: 0 11x x C   ; 20x kC  21 0 30y y C   ; 0 4y v kC  Suy ra: 0 1 2 3 41; 0; 0; v C C C C k     Phƣơng trình chuyển động của chất điểm đƣợc viết: cos ;x l kt sinov kty k  Khử t trong phƣơng trình trên sẽ tìm đƣợc phƣơng trình quỹ đạo dạng: 2 2 22 0 2 1 x y vl k   2.3. Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt. 2.3.1. Phƣơng trình dao động của sợi dây. Xét sợi dây căng, có lực căng là T nghĩa là ở mỗi điểm của sợi dây có lực T tác dụng theo phƣơng tiếp tuyến với nó. Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do có sức căng T là nhƣ nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động. Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x, còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục x và nằm trong cùng một mặt phẳng chứa trục x. Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ Đề-các vuông góc x, u, trong đó u là kí hiệu độ lệch pha của dây khỏi vị trí cân bằng. Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t, u=u(x,t). Ta thiết lập phƣơng trình cho u(x,t). Xét đoạn dây từ điểm đến điểm . Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t và thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T. Ta hãy xác định hình chiếu trên trục u của các lực tác dụng lên phần đang xét của dây. Gọi là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm , là góc tƣơng ứng ở điểm . Tổng hình chiếu của lực căng sẽ là 2 1sin sinT T  Giả sử rằng lực ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngƣợc chiều với trục u (chẳng hạn trọng lƣợng của dây). Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi dây kí hiệu là ( , )g x t . 22 Thành thử hợp lực tác dụng lên phần sợi dây đang xét là: 2 1 ( , ) x x g x t dx  trong đó là mật độ khối tuyến tính của sợi dây nghĩa là khối lƣợng của một đơn vị dài của dây. Ta coi dây là đồng chất nên là hằng số. Mặt khác, gia tốc của các điểm của sợi dây là 2 '' 2tt u u t    nên hợp lực quán tính trên phần đang xét của sợi dây là: 2 1 '' ( , ) x tt x u x t dx  Do đó ở thời điểm t, ta có đẳng thức: 2 2 1 1 '' 2 1( , ) (sin sin ) ( , ) x x tt x x u x t dx T g x t dx       (2.6) Ta đã biết: Do đó: 2 2 1 1 2 2 1 2 (sin sin ) x x x x x x u u u T T T dx x x x                    Ở đây ta đã giả thiết là chiều dài của sợi dây không thay đổi trong suốt thời gian dao động nên vi phân cung: ' 21 ( , )xds u x t dx dx   Nghĩa là đại lƣợng ' 2 ( , )xu x t là đủ nhỏ để có thể thay thế ' 21 xu bằng 1, ta coi ' 2xu có thể bỏ qua so với 1.Ở đây trong quá trình dao động, độ lệch của sợi dây so với trục x luôn luôn rất nhỏ. Vậy đẳng thức (2.6) có dạng: 2 1 '' ''( , ) ( , ) ( , ) 0 x tt xx x u x t Tu x t g x t dx      Bởi vì đẳng thức này có thể xảy ra đối với một phần bất kì ( ) của dây, cho nên biểu thức dƣới dấu tích phân phải bằng không ở một điểm bất kì của dây và tại một thời điểm bất kì, nghĩa là có thể xảy ra đẳng thức: '' ''( , ) ( , ) ( , ) 0tt xxu x t Tu x t g x t    hay '' 2 ''( , ) ( , ) ( , )tt xxu x t a u x t g x t   (2.7) Trong đó 2 T a   là một hằng số dƣơng. 23 Phƣơng trình dao động của dây (2.7) là một phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số. Nó là một trong các phƣơng trình vi phân vật lý-toán đơn giản nhất. Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t) = 0 và phƣơng trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây. Còn phƣơng trình (2.7) với g(x,t) 0 là không thuần nhất và mô tả dao động cƣỡng bức của sợi dây. Bài toán:  Dạng dao động của dây vô hạn: Sợi dây vô hạn là sự trừu tƣợng hóa sợi dây có chiều dài lớn đến mức là các đầu mút không ảnh hƣởng gì đến dao động của phần lớn sợi dây đang xét. Lúc đó dao động của phần này chỉ chịu ảnh hƣởng của điều kiện ban đầu. Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung nhƣ sau: ở thời điểm ban đầu nào đó t = 0, sợi dây có một hình dạng nào đó: 0 ( , ) ( ,0) ( ) t u x t u x f x    Và mỗi thời điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu: ' ' 0 ( , ) ( ,0) ( )t tt u x t u x F x    Sau đó sợi dây tự nó chuyển động. Hàm f(x) và F(x) phải đƣợc xác định trên toàn bộ trục x. Thành thử ta có bài toán vật lý – toán sau đây: Tìm nghiệm u = u(x,t), , 0x t    của phƣơng trình: '' 2 '' 0tt xxu a u  (2.8) Thỏa mãn các điều kiện ban đầu: ' 0 0 ( ), ( );t tt t u f x u F x x         (2.9) Muốn tìm nghiệm của (2.8), ta đƣa nó về dạng đơn giản bằng cách đổi biến số. Đặt ;x at x at     ta có: 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( 2 ) 4 u u u x u u u a t u u u u x u u u u a t u u u a a t x                                                                Vậy phƣơng trình (2.8) có dạng: 2 0 u       Vì ( ) 0 u        nên 1( ) u       Trong đó 1 là một hàm tùy ý. Từ đó: 1( , ) ( ) ( )u d        Trong đó là một hàm tùy ý. Vì 1 là một hàm tùy ý nên tích phân của nó cũng là một hàm tùy ý. Vậy: ( ) ( )u      Trở về các biến số cũ x, t ta đƣợc: ( , ) ( ) ( )u x t x at x at     (2.10) Trong đó ,  là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép đổi biến số trên là đúng. Nghiệm (2.10) đƣợc gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.8). Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2.9) để xác định các hàm  và  . Trong (2.10) ta thay t = 0: ( ) ( ) ( )x x f x   (2.11) 0 ( ) ( ) ( ) t u x x a a F x t x x             (2.12) Lấy tích phân hai vế của (2.12) từ 0 đến x ta đƣợc:     0 ( ) (0) ( ) (0) ( ) x a x a x F d          25 Hay nếu đặt (0) (0)C    , ta đƣợc: 0 1 ( ) ( ) ( ) x x x F d C a       (2.13) Giải hệ phƣơng trình (2.11) và (2.13) ta đƣợc: 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x C x f x F d a C x f x F d a               Thay các biểu thức này vào (2.10) ta đƣợc:   1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x at x at u x t f x at f x at F d a           Ví dụ: Tìm quy luật dao động tự do của sợi dây dài vô hạn, biết vận tốc truyền sóng là a = 1 đơn vị và ở thời điểm ban đầu dây đứng yên có hình dạng cho bởi: 0, 0 ,0 1 ( ) 2 ,1 2 0, 2 x x x f x x x x            Giải: Gọi u(x,t) là độ lệch của điểm x tại thời điểm t. Ta có u là nghiệm của bài toán Cauchy: '' 2 '' 0tt xxu a u  , ( , 0)x R t  Theo đề bài: ' ( ,0) ( ), ( ,0) 0 u x f x x R u x    Áp dụng công thức D’Alamber, bài toán đã cho có nghiệm:   1 ( , ) ( ) ( ) 2 u x t f x t f x t    26  Dạng dao động cƣỡng bức của sợi dây hữu hạn: Ví dụ: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = l, nếu dạng của sợi dây ban đầu là cung parabol ( ) ( ) x l x f x M   , vận tốc ban đầu bằng 0: F(x) = 0 và giả sử rằng g(x,t) = g, trong đó g là hằng số dƣơng đủ nhỏ. Bài toán này là bài toán dao động cƣỡng bức của dây dài hữu hạn, với hằng số cƣỡng bức là g, các điều kiện ban đầu ' 0 0 ( ) ; 0tt t x l x u u M     , và các điều kiện biên 0 0; 0 x x l u u     . Ta phải tìm hàm u = u(x,t) thỏa mãn phƣơng trình: '' 2 '' tt xxu a u g   (*) Ta phân tích hằng số -g thành chuỗi theo sin trong khoảng (0,l). 1 sink k k x g l       Từ đó:   00 2 2 2 sin os ( 1) 1 ll k k k g k g g d c l l k l k              Vì g(x,t) không phụ thuộc t nên ở đây k cũng không phụ thuộc t. Do đó, đối với các hàm chƣa biết ( )kT t , chúng ta có:   2 2 2 '' 2 2 ( 1) 1kk k k a g T T l k       Với các điều kiện ban đầu:   2 ' 3 3 4 (0) ( 1) 1 ; (0) 0kk k k l T a T k M      Ta tìm đƣợc:  3 3 2 2 ( ) os sin 1 ( 1)kk k k k at k at gl T t A c B l l k a         Trong đó:    3 3 2 3 3 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1)k kk gl l l g a k a k M a              27 Và 0kB  . Do đó nghiệm của bài toán trong trƣờng hợp đã cho là hàm:      2 33 2 2 0 2 1 2 14 1 2 os .sin 2 1n n at n xl l g g u c M a l a ln                    Biện luận: Khi g = 0, thay vào phƣơng trình (*) ta đƣợc: '' 2 '' 0tt xxu a u  Đây chính là phƣơng trình dao động tự do của dây hữu hạn Và khi đó nghiệm của bài toán trên có dạng:      3 33 0 2 1 2 18 1 os .sin 2 1n n at n xl u c M l ln           2.3.2. Phƣơng trình truyền nhiệt. Xét một môi trƣờng truyền nhiệt đẳng hƣớng, u(x,y,z,t) là nhiệt độ của nó tại điểm p(x,y,z) ở thời điểm t. Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Furie: Nhiệt lƣợng Q đi qua một mảnh mặt kín bất kì S theo phƣơng pháp tuyến n trong thời gian t tỉ lệ với S , t và đạo hàm pháp tuyến u n   : ( , , ) u Q k x y z t S n     (2.14) Trong đó k là hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hƣớng của pháp tuyến vì môi trƣờng là đẳng hƣớng và ta thƣờng coi là hằng số, n là véc- tơ pháp tuyến của S theo chiều giảm của nhiệt độ. Bây giờ ta xét một vật thể tùy ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn S và xét sự biến thiên nhiệt lƣợng trong thể tích đó từ thời gian đến . Từ (2.14) ta suy ra nhiệt lƣợng truyền vào trong mặt S từ thời điểm 1t đến 2t là: 2 1 1 ( , , ) t t S u Q dt k x y z dS n      Trong đó n là véc-tơ pháp tuyến hƣớng vào bên trong của mặt S. Áp dụng định lý Ôtxtrogratxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp và coi k là hằng số, ta có: 2 1 1 t t V Q k dt divgradudV   Vì ta có: 2 2 2 2 2 2 u u u divgradu u x y z           Nên 28 2 1 1 t t V Q k dt udV   Giả sử trong vùng V có nguồn nhiệt có mật độ là g(x,y,z,t) (nghĩa là nhiệt lƣợng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian), thì từ thời điểm 1t đến 2t , trong thể tích V xuất hiện một nhiệt lƣợng là: 2 1 2 t t V Q dt gdV   Mặt khác nhiệt lƣợng cần cho thể tích V thay đổi từ u(x,y,z, 1t ) đến u(x,y,z, 2t ) là:  3 2 1( , , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , , ) V Q u x y z t u x y z t c x y z x y z dV  Trong đó c là nhiệt dung,  là mật độ của môi trƣờng. Tính chính xác đến các đại lƣợng nhỏ so với V , ta có: 2 1 2 1( , , , ) ( , , , ) t t u u x y z t u x y z t dt t     Vậy: 2 3 t t V u Q dt c dV t      Nhiệt lƣợng này phải bằng 1 2Q Q vậy: 3 1 2 0Q Q Q   Hay 2 1 0 t t V u dt c k u g dxdydz t           Vì khoảng thời gian là bất kì nên: '( ) 0t V c u k u g dxdydz    Đồng thời vùng V cũng là tùy ý nên ở một điểm bất kì của môi trƣờng, ta phải có đẳng thức: ' 0tc u k u g    Hay ' 2 '' '' '' 1 ( ) ( , , , )t xx yy zzu a u u u g x y z t c     (2.15) 29 Trong đó 2 k a c  . Phƣơng trình (2.15) gọi là phƣơng trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) của phƣơng trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi trƣờng truyền nhiệt. Nếu g 0, ta có phƣơng trình truyền nhiệt thuần nhất. Ngƣợc lại, phƣơng trình là không thuần nhất. Bài toán: Tìm nhiệt độ u(x,t) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh đƣợc giữ ở 0u ; còn đầu kia đƣợc giữ ở 1u , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M(x) trên thanh là 2u Giải: Phƣơng trình truyền nhiệt: 2 2 2 u u a t x      với 0 1 0 x t     Điều kiện ban đầu: 20tu u  với mọi  0;1x