Khóa luận Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lượng tử

..............................29 PHẦN 3: KẾT LUẬN .......................................................................................32 TÀI LIỆU THAM KHẢO: .................................................................................33 1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Cơ ọ ƣợng tử đƣợc hình thành vào nử đầu thế kỷ 20 do Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và m t số ƣời khác tạo nên. Cơ ọ ƣợng tử là m t nhánh c a vật lý nghiên cứu về chuyể đ ng c a các vật thể á đạ ƣợng vậ q ƣ ă ƣợ e Cơ ọ ƣợng tử đƣợc coi là nâng cao ơ ơ ọc Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đú đắn rất nhiều các hiệ ƣợng vậ ơ ọc Newton không thể giải thích đƣợc. Các hiệ ƣợng này bao g m các hiệ ƣợng ở quy mô nguyên tử hay nhỏ ơ Cơ ọc Newton không thể lý giải tại sao các nguyên tử lại có thể bền vững đến thế, hoặc không thể giả đƣợc m t số hiệ ƣợ ĩ ƣ s ẫn, siêu chả T o á ƣờng hợp nhấ đị á định luật c ơ ọ ƣợng tử á định luật c ơ ọc cổ đ ển ở mứ đ á o ơ T o đ các thế tán xạ ơ ản là phần quan trọ o ơ ọ ƣợng tử, giúp nghiên cứu về hệ th c và các hệ ƣởng. Chính vì vậy tôi đã chọ đề tài “ Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lƣợng tử ” đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu: Gi i thiệu m t số thế tán xạ ơ ả o ơ ọ ƣợng tử. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tán xạ, m t số khái niệ ƣơ á q 4. Nhiệm vụ của đề tài: Tìm hiểu m t số thế tán xạ ơ ản. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu: P ƣơ á Vật lý lý thuyết, Vật lý toán. 2 6. Cấu trúc của đề tài: Phần 1: Mở đầu Phần 2: N i dung C ƣơ I: Cơ sở lý thuyết C ƣơ II: M t số bài toán về tán xạ ơ ả o Cơ ọ ƣợng tử Phần 3: Kết luận chung 3 PHẦN 2: NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1: Lý thuyết cơ bản tán xạ: Lý thuyết tán xạ nghiên cứu và tìm hiểu về s tán xạ c a sóng và hạt. Sóng tán xạ ƣơ ứng v i s va chạm và tán xạ c a sóng v i vật chất. I.1.1: Định nghĩa tiết diện hiệu dụng: ( )T d    ƣợc gọi là tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần [2]. Trong vật lí hạt nhân, các tâm tán xạ ƣ c dài cỡ 12 1310 10  cm, các tiết diện tán xạ hiệu dụng ƣờ đƣợ đo ằ đơ ị barn hay milibarn: 24 21 10barn cm , 27 21 10mbarn cm . V i bài toán tán xạ chúng ta chỉ xét các quá trình xảy ra do va chạ đ h i, tức là các va chạm không dẫ đến s chuyển hoá các hạt hay là không làm cho các trạng thái n i tại c a các hạ đổi, mà q â đến các tâm tán xạ ƣ ấu trúc c a hạt. Tác dụng c a các tâm tán xạ có thể o ƣ á ụng c a m t tâm l c mà o ƣờng c a nó các hạt tán xạ chuyể đ ng. Kí hiệu ( )V r là thế ă a hạt bị tán xạ o ƣờng c a tâm tán xạ đ é r là bán kính vector c a hạt bị tán xạ. I.1.2: Biên độ tán xạ: Xét bài toán về s tán xạ c a các hạt khố ƣợng m trên thế ( )V r c a các tâm tán xạ. C ú i hạn rằng, các thế này tiến t i 0 đ nhanh khi r  [2]. Giả sử E ă ƣợng c a hạt, còn ap k ƣợ đầu c a các hạt t ( ƣ ậy vận tố đầu c a các hạt là a k v m  ). P ƣơ S o e a hạt: 4 22 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 m r r V r rk    T o đ : 22 2 2 m Ek ka  P ƣơ o ệm dừ ƣ i dạng ch ng chất các sóng tán xạ và sóng phẳng t i: ( ) aik rr e tx   Ở những khoảng cách r l n tính từ tâm tán xạ, hàm tx phải có dạng cầu và phân kì: ( ) ( ) ikre r Atx tc r      N ƣ ậy, ở những khoả á đ xa tâm tán xạ có dạng tiệm cận: ( ) ( )a ikreik rr Ae r     Thành phần thứ nhất trong vế phải là sóng phẳ đơ sắc có mậ đ 2 1aik re  Ta có mậ đ dòng bằng vận tố đầu c a hạt: * *( ) 2 a T T T T T k J v mi m          Thành phần này mô tả chùm hạt chuyể đ ng t do v i vận tốc v t i tâm tán xạ (chùm t i). 5 Thành phần thứ hai, ( ) ikre Atc r    là sóng cầu phân kì, có mậ đ 1 2 ( ) 2 A r  và mậ đ dòng (tán xạ) eo ƣ ng Ω eo ƣơ ă a r bằng 2 ( ) 2 k AJ tx mr   (tính theo tọ đ cầu). Thành phần này mô tả các hạt tán xạ theo ƣơ e o r, đ ỏi tâm eo ƣ ng c a góc khối Ω (chùm tán xạ). Vì vậy số hạt bị tán xạ bởi tâm tán xạ đ q đ i cầu có bán kính rất l â ƣ i góc khối (Ω, Ω + dΩ) phải là:   22 ( ) k N dS d A dJ J rtx tx m        Từ đ ú ối liên hệ giữa tiết diện tán xạ hiệu dụng    và hàm ( )A  2 ( ) ( )A    Hàm ( )A  đƣợc gọ đ tán xạ. I.1.3: Phép gần đúng của Born: ể tìm tiết diện tán xạ hiệu dụng cần phả đ tán xạ. Trong phép gầ đú Bo đ đƣợc tính nhờ lý thuyết nhiễu loạ T o đ ễu loạ đƣợc lấy là thế ă a hạt tán xạ o ƣờng c a tâm tán xạ [2]. Ta coi  V r tx là m đạ ƣợng nhỏ. T ƣơ o tx   22 2 2 a m ik rV rk etx tx   Nghiệm c ƣơ ạ s â đ ỏi tâm:     22 aik r ik r rm e r V r dVtx r r           6 T o đ dV  là yếu tố thể tích lấ â o q đ ểm có bán kính vector r . Tại khoảng cách l n r r đặt:   2 ' 'k r k rr r   1 2 2 1 1 2 2 rr rr kr kr r r                 'rkr k r r   Hình 1.1: Mô tả mối liên hệ giữa hai vector sóng và góc tán xạ [2]. K đặt b r k k r  , bk k . T o đ bk là vector sóng tán xạ. ak là vector sóng t i. Góc  là góc tán xạ (góc giữa vector ak và vector bk ). Do đ á ị tiệm cận c a tx có dạng:    1 ' ''22 a b m ik r ikr ik rr V de Vrtx tc r                7 ( )( ) 22 a b ikrm ei k k rV r dVe r         So sánh v i dạng tiệm cận:       22 a b m i k k rA V r dVe       Tiết diện hiệu dụng:     22 ( ) 2 44 a b m i k k rV r dVe      Chú ý: Phép gầ đú a Born luôn thích hợ ă ƣợng c a các hạt tán xạ đ l n. I.1.4: Phân biệt hệ tọa độ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm: Trong hệ tọ đ khối tâm, xung lƣợng c a hai hạ ƣợc chiề đâ o nhau: 1 2p p p   và ' 3 4p p p   [3]. Tiết diện tán xạ vi phân có dạng: 2 ' 264 pM fid S d pscm         T o đ :   2 1 2s p p  , cosd d d  ,  là góc giữa 1p và 1k . Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p [1]. Trong hệ phòng thí nghiệm: xét hạt thứ đứng yên  ,0,022p m Ta có: 8   2 1 2 '64 2 cos1 32 M fid S d mlab ppmE E lab                 T o đ : 2 21 1 p mE   , '2 2 3 3 p mE   Chú ý: Hệ phòng thí nghiệ ƣờ đƣợc dùng cho tán xạ c a m t hạt có khố ƣợng và m t hạt không khố ƣợng. Góc tán xạ lab là góc giữ e o ƣợng c e e o đ o ở p và e e o đ ở p . I.1.5: Mối liên hệ giữa số hiện tƣợng và tiết diện tán xạ: LTN fi fi T o đ N fi là số hiệ ƣợng mà i f [3]. L đ đặc ƣ ụ thu c vào các máy (L đặ ƣ 31 2 110 cm s  ). T là thời gian chạy máy (m ă 710 s ). I.2: Hệ hạt chuyển động một chiều: P ƣơ s o e o t hạt [2]. Phƣơ o e c chấ ă ƣợng, là m ƣơ ơ ản c a vậ ƣợng tử mô tả s biế đổi trạ á ƣợng tử c a m t hệ vật lý theo thời gian, thay thế o á định luật Newton và biế đổ G eo o ơ học cổ đ ển. I.2.1: Thiết lập phƣơng trình Schrodinger tổng quát: Giả xử Hamilton c a m t hạ đƣợ o ƣ i dạng [2]: T o đ W là m t hàm l o đ ụ thu c vào ⃗ ̇⃗ ời gian t. 9 S đ ển ̂ = iħ = ̂ + ̂ cho hai vế á đ ng vào hàm ψ( ⃗ . T đƣợ ƣơ ổng quát: ( ⃗ = [ ̂ ̂ ⃗ ]ψ( ⃗ â ƣơ s o e ổng quát, mô tả chuyể đ ng c a hạt o ƣờng l c tổ q á ă ƣợ á định do hàm H biế đổi theo thời gian t. I.2.2: Phƣơng trình schrodinger cho một hạt chuyển động trong trƣờng thế (W = U( ⃗⃗)): K đ W = U( ⃗) o ƣơ s o e ổ q á đƣợc [2]: ⃗ = [ ̂ ̂ ⃗ ]ψ( ⃗ ) ặt ψ( ⃗ ) = ψ( ⃗)exp{ } v i E là hằng số bất kì. ( Do ta thấy vế á đạo hàm riêng theo thời gian t, vế phả đạo hàm riêng theo tọ đ ). K đ ψ( ⃗) thảo mãn: [ ̂ ⃗ ] ⃗ = ̂ ⃗ = E ⃗ Toán tử ̂ = [ ̂ ⃗ ] Trong đ đ ă ̂ ⃗ là thế ă Vậy suy ra E ă ƣợng trong trạng thái chuyể đ ng ⃗ c a hạt. T o ƣờng hợp hạt chuyể đ ng m t chiều U( ⃗) = U(x) ƣơ trên trở thành: ψ”(x) + [E - U(x)]ψ(x) = 0 10 ối v i hệ n hạt chuyể đ o ƣờng thế U(q) = U( ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ƣơ S o e ừng có dạng:   22 ( ) ( ) 0 2 1 k n m E U q q k k           v i E ă ƣợng c a hệ hạt. Hàm sóng Hamilton có dạng: ̂ M t số định luật bảo toàn: Từ ƣơ S o e có thể suy ra m t số định luật bảo toàn đƣợc biểu diễ q ƣơ ục: ⃗ (2.1) ể đƣ đế ƣơ ƣ c hế é ƣờng hợ đơ ản, hạt chuyể đ o ƣờng l c U = U( ⃗, t). Cá ƣờng hợp phức tạp khác sẽ xét trong những bài toán cụ thể T o ƣờng hợp trên toán tử ̂ có dạng: ̂ ̂ P ƣơ s o e : ħ (2.2) Cò ƣơ ợp phức v i nó là: - ħ (2.3) Nhân hai vế ƣơ (2.2) v i , nhân hai vế ƣơ (2.3) v i . S đ ế trái trừ vế trái, vế phải trừ vế phải c ƣơ Rú ọn đ đƣợc: { } = 0 11 Từ đ s đƣợ ƣơ (2.1). V i | | là mậ đ xác suất. V i ⃗ là mậ đ dòng xác suất.  ịnh luật bảo toàn số hạt: V i n là số hạ đƣợc: ⃗  ịnh luật bảo toàn khố ƣợng: Nhân và ⃗ v i khố ƣợng m c a hạ đƣợc và ⃗ . Suy ra ƣơ ục: ⃗  ịnh luật bảo o đ ện tích: Tƣơ ƣ â đ ện tích e. Suy ra ƣơ ục: ⃗ C ú : định luật bảo toàn khố ƣợ định luật bảo o đ ện tích không nghiệ đú ố ƣợng phụ thu c vào vận tốc và s sinh hay h y c đ ện tích. I.3: Định lý quang học: ịnh lý quang họ đầ đƣợc đề xuất bởi Wolfgang von Sellmeier và Lord Rayleigh m á đ c lậ ă 1871 Lo R e ậ đ tán xạ về ƣ ƣ i dạng chỉ số khúc xạ [5] ƣợc biểu diễn bởi công thức:  0 1 2 2 Nf n k   ( o đ N là số mậ đ c a chất tán xạ) đã sử dụng trong m t nghiên cứu về màu sắc và phân c c c a bầu trời. 12 P ƣơ s đ đƣợc mở r ng cho lý thuyết tán xạ ƣợng tử bởi m t số á â đƣợc biế đế ƣ ối liên hệ Bohr-Peierls-Placzek sau m t áo ƣ đƣợc công bố ă 1939 ịnh lý này đƣợc gọ "định lý quang họ " o ă 1955 ởi Hans Bethe và Frederic de Hoffmann, sau m t thời gian đã đƣợc biế đế ƣ "định lý nổi tiếng về quang học". Trong vật lý định lý quang học là tổng quát chung c a lý thuyết sóng tán xạ, mà liên quan t đ tán xạ c a tổng tiết diện tán xạ ƣợ á định bởi biểu thức: = Imf(0) T o đ f(0) đ tán xạ, im là phần ảo c a f(0). V i góc bằng 0 đ c a sóng tán xạ là trung tâm c a m t màn hình, và k là vector chỉ ƣơ V á định lý quang họ đƣợc tạo ra từ sử dụng bảo o ă ƣợng, hay o ơ ọ ƣợng tử từ bảo toàn c a xác suấ ịnh lý quang họ đƣợc áp dụng r ã o ơ ọ ƣợng tử, bao g m cả s tán xạ đ i và không đ i. We e e se e đã á đề tổ q á ơ q đến việc đƣ đƣợc tham số chỉ ƣơ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆImf ( ', ) ( ', '') ( ", ) " 4 k k k f k k f k k dk    I.4: Thế Yukawa: Hideki Yukawa (1907-1981) sinh ra tại Tokyo, Nhật Bản Ô đã ừng học tạ ƣờ ại họ Os đạ đƣợc nhiều giả ƣở á ƣ ải Nobel Vậ ă 1949 ƣơ Lo o oso ă 1964 Hideki Yukawa cho thấy rằng m t hạt phát sinh từ s o đổi c a m t hạt l ƣ ƣ ạt c a m t boson l n. Từ đ ạt trung gian là l đ ng vị l n có m t miền biến thiên nhấ đị đ ỉ lệ nghịch v i khố ƣợng trung gian m. Vì miền biến thiên xấp xỉ c a hạ â đã ế T o ƣờng l c c a l c hạt nhân, khố ƣợ đã đƣợc d đoá ơ o oảng 200 lần khố ƣợng electron, và nhỏ ơ é o đoá a s t n tại c o đƣợc phát hiện ă 1947 [5]. 13 Trong hạt nhân và vật lý nguyên tử, thế Y w đƣợ á định bởi công thức: 2( ) kmre r gVYukawa r    Khi g là hằng số ở thang từ ƣờng, m là khố ƣợng c a hạt, r là khoảng cách từ â đến hạt, và k là hằng số ở á o đ 1/km là phạm vi. Thế ă đơ đ ệu trong r và âm bao g m cả l c hấp dẫn. Trong hệ SI, đơ ị thế Yukawa là 1/m. Thế Coulomb là thế đơ ản nhất c a thế Yukawa v i 1kmre  . Thế Co o đƣợ á định bởi công thức: 2 ( ) g rV Coulomb r   T o ƣơng tác giữa m t hạt meson và hạt fermion, hằng số g bằng hằng số ƣơ á ữa các hạ T o ƣờng hợp l c nguyên tử, fermion sẽ g m m t proton và m t proton khác hoặc m t neutron. 14 Hình 1.3: So sánh thế Yukawa khi g=1 v i các giá trị m khác nhau. I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend: Hiệu ứng Ramsauer-Tow se đ ò đƣợc gọi là hiệu ứng Ramsauer hay hiệu ứng Townsend, là m t hiệ ƣợng vậ q đến s tán xạ các đ ện tử ă ƣợng thấp bởi các nguyên tử c a m t khí quyển. Kể từ khi giải thích c a hiệu ứ đò ỏi lý thuyết sóng c ơ ọ ƣợng tử, từ đ ứng tỏ s cần thiết cho lý thuyết vậ ơ so i các vật lý Newton [5]. Hiệu ứ đƣợ đặt tên theo Carl Ramsauer (1879-1955) và John Sealy Townsend (1868-1957), nhữ ƣời từng nghiên cứ đ c lập s va chạm giữa các nguyên tử á đ ện tử ă ƣợng thấ o đầu thập niên 1920. Nế ƣời ta cố gắ để d đoá á s ất va chạm v i m t mô hình cổ đ ển ƣ i dạng coi electron và nguyên tử ƣ quả cầu cứng, ƣời ta thấy rằng xác suất va chạm phả đ c lập v ă ƣợng electron t i. Tuy nhiên, Ramsauer và Townsend quan sát thấy rằ đối v i electron chuyể đ ng chậm trong argon, krypton, hoặc xenon, xác suất va chạm giữa các electron và các nguyên tử khí có giá trị nhỏ nhấ o á đ ện tử v i m ƣợ đ ă ấ định (khoảng 1 e e o o o e o ) â ệu ứng Ramsauer-Townsend. Không có giải thích nào tốt cho hiệ ƣợ o đến khi ơ ọ ƣợng tử xuất hiệ đ ều này giải thích rằng hiệu ứng này xuất phát từ các tính chất giố ƣ s a electron. M đơ ản về va chạm làm cho việc sử dụng lý thuyết sóng có thể d đoá s t n tại c a hiệu ứng Ramsauer-Townsend là tối thiểu. 15 Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend. I.7: Thế đối xứng cầu: I.7.1: Các tính chất tổng quát của chuyển động trong trƣờng thế đối xƣng cầu: I.7.1.1: Hàm đối xứng cầu: Trong m ƣờng, xét thế ă ỉ phụ thu c vào khoảng cách 22 2r yx z   đến m đ ểm cố đị T ƣờ đ ọ ƣờng thế đối xứng cầu [2]. T o đ đ ểm cố định là tâm c ƣờng. Xét trong hệ tọ đ cầu  , ,r   . Toán tử Hamilton có dạng:   22 ˆ2ˆ ˆ 2 22 2 LH U rr mr mrr r            T o đ : , 21 12 2 2ˆ sin 2 2sin sin L                             Là toán tử ƣơ o e ƣợng. 16 Xét toán tử hình chiế o e ƣợng lên m ƣơ ất kì. Ta thấy các toán tử Hˆ , 2Lˆ , Lˆ z giao hoán v i nhau từ đ t. Ví dụ: chiếu trên ƣơ Oz đƣợc: ˆ iLz      T o đ Hˆ là toán tử Hamilton. 2L ƣơ o e ƣợng. Lz là hình chiế o e ƣợng lên trục Oz. Ta có 2 2( 1)l lL   ( 1,2,3,...)l  , mLz  ( 0, 1, 2,...,m l    ) là hàm đ ều hòa c a hai toán tử Lˆ z và 2 Lˆ . T đƣợ đ ều hòa cầu:        2 !2 1 , ( 1) cos 4 ! m m l m ml imeY Plm ll m           ặt nghiệm c ƣơ s o e ạng:    , , ( ) ,r rf Y lmElm El     T o đ  rf El là hàm bán kính phục thu c vào E và 2L . T đƣợc:    ˆ , , , ,H r E r      Biế đổi vi phân cho hàm  f r : 2 22 ( 1)2 ( ) ( ) 0 2 22 d df mr l l E U r f rr dr dr mr               ặt ( )R r f r  và  f x á định khi 0r  , vì vậy mà ( ) 0R r  . Thu đƣợc: 17 2 22 ( 1) ( ) 0 2 2 22 R m l ld E U r R dr mr                R(r) đƣợc gọ đối xứng cầu [2]. I.7.2.2: Thế năng hiệu dụng: Về mặt hình thức, hàm xuyên tâm có thể coi giố ƣ ƣơ schodinger cho chuyể đ ng m t chiề o ƣờng thế: 2( 1) ( ) ( ) 22 l l r U rU l mr    ƣợc gọi là thế ă ệu dụng [2]. Thế ă ệu dụng là tổng c a thế ă U(r) ( ă ƣợ ƣơ á a hạt v i ngoạ ƣờng và số hạng): 2 2( 1) 2 22 2 l l L mr mr   Bài toán về chuyể đ o ƣờng thế đối xứng cầ đƣợ đƣ ề bài toán chuyển đ ng m t chiều trong miền bị gi i hạn m t phía. N ƣ ậ á đạ ƣợng E, 2L và Lz tạo nên m t tập hợ đ á đạ ƣợng vật lý đ để mô tả chuyể đ o ƣờng thế đối xứng cầu. Nếu U(r) > 0 ở khắ ơ à U(r) → 0 ở ∞ 0E  ở tất cả các trạng thái chuyể đ ng, vì 0U  còn giá trị trung bình c đ ă o ờ ƣơ Hạt có thể đ ỏi tâm t i ∞, ở đ ạt chuyể đ ng t do v i phổ ă ƣợng là liên tục. Nếu U(r) < 0 và U(∞) = 0 thì hạt có thể chuyể đ ng trong m t thể tích hữu hạn v i các giá trị ă ƣợ á đoạn E < 0. I.7.2: Nguyên tử Hidro: Nă ƣợng ở mức n c a electron trong nguyên tử Hydro [2]: 4 2 22 me En n   , (n = 1,2,3,) 18 Trong miền E < 0 ă ƣợng bị ƣợng tử hoá. Khi n ă á ức sát lại gần nhau, và khi n → ∞, 0E  . Trong miền E > 0 phổ ă ƣợng là liên tục. Nă ƣợ đƣ e e o ừ trạng thái 1E lên miền có phổ liên tục gọi là ă ƣợng ion hoá nguyên tử Nă ƣợng này ít nhất phải bằng thế ion hoá. 4 13,61 1 22 ion me U eVE E E      Theo thuyế ƣợng tử về ánh sáng, electron chuyển từ mứ ă ƣợng cao xuống mứ ă ƣợng thấp sẽ phát ra photon có tần số: 4 1 1 1 1 3 2 2 2 24 E E men mv R h m n m n                 ạ ƣợng: 4 15 13,27.10 34 me R s    gọi là hằng số R e ă 1913 ầ đầ đã đƣợc N. Bohr tính toán bằng lý thuyết. Kết quả tính toán phù hợp v i kết quả th c nghiệm. Tập hợp các tần số do nguyên tử phát ra gọi là quang phổ c a nó. Ta gọi dãy là tập hợp mọi tần số ν ứng v i s chuyển từ các mức n khác nhau về cùng m t mức m (n > m). Nă 1885 ơ sở phân tích các kết quả nghiên cứu quang phổ nguyên tử Hydro, Balmer tìm ra dãy Balmer ứng v i m = 2, nằm trong vùng ánh sáng khả kiến và vùng tử ngoại gầ Nă 1906 L á ệ ã ƣơ ứng v i m = 1 nằm trong vùng tử ngoại xa. Trong vùng h ng ngoạ ƣời ta phát hiện thêm ba dãy ứng v i m = 3, 4 và 5. Trạ á ơ ản (n = 1) c a electron trong nguyên tử o đƣợc diễn tả bởi hàm sóng: 19  100 1 , , 3 r ar e a       T o đ a là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất. Xác suất tìm thấy toạ đ c a hạt giữa hai l p cầu r và r + dr quanh gốc toạ đ :   2 10 2 4 1 42 2 330 r r a adP r e drd e drr r aa              Mậ đ xác suất tạ đ ểm cách tâm m t khoảng r: 2 10 10 ( ) 4 2( ) 3 r a dP r r e r dr a     Ta thấy, ( )10 r có c đại tại r = a, ( ) 010 r  tại r = 0 và giảm nhanh theo hàm số r ă Hình 1.5: Mậ đ xác suất ( )10 r có c đại tại r = a, ( ) 010 r  tại r = 0 và giảm nhanh theo hàm số r ă [2]. CHƢƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ: II.1: Bài toán về Thế Yukawa: Bài toán 1 [4]: 20 Xét s tán xạ c a m t hạt từ thế V(r). Giả sử rằng, v i m ƣơ moment o ƣ c, m t c c xảy ra tại k i ibkr   ( b>0, 22 /mk Err  ) a, Chứng minh rằng ma trận S đơ để chỉ ra rằng Sl có thể viết đƣợc là ( )( ) k ibkr i kkS el k ibkr     , *( ) ( )k k  Cho k kr , ( ) 1i ke   . b, Sử dụng biểu thức trên c a ma trận S ( v i ( ) 1i ke   ) để á định biên đ tán xạ ( , )kf l  , tiết diện tán xạ tổng c ng ( ) tot k l cho k kr và chứng minh bằng sóng l c ƣởng k kr . T đ trễ pha c a t c ƣờ đ c ƣởng. Cái gì là hình ảnh c a ( )kl ? Cụ thể, s khác nhau giữa ( )kl cho k kr và ( )kl cho k kr ? Giải: a, Ta có ( ) ( ) g k kSl k ibkr    , 1*( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k g k h k k ibS S kl rl       V i ( ) 1h k  T đƣợc ( )( ) i kh k e  . b, Ta có ( ) 1i ke   . T đƣợc: 4 (2 1) ( , ) ( ( ) 1) ( ),0 2 l k kf S Y lll ik       , 2 ( ) 1 ib kSl k ibkr      Do đ 4 (2 1) ( , ) ( ),0 l b kf Y ll k k ibkr         21   24 (2 1) ( ) 2 2 2 l btot k l k k bkr      . 2( ) 4 (2 1) /tot lk kr rl    , ví dụ ƣ l là sóng c ƣở â ệ quả c a ( ) 1i k re   . c, Vì l là sóng c ƣởng. Lấy vi phân 2 ( )( ) k ibkri kSk lS el k ibkr       đối v i k S đ đặt k kr Ta có ' ( ) / 1 /d dk bkl l r   o đ ễ pha '2 ( ) /t m k kl r r  là ƣơ Pha ( )kl đ q / 2 từ ƣ i ( ' ( ) 0kl r  ). Trên th c tế, từ biểu thức trên c a ( )kSl õ đ ừ trái sang phải ( )kl trải qua s ă a  . Bài toán 2 [4]: Thế Y w đƣợc biểu diễ ƣ i dạng công thức: 0 0 0 ( ) r re Y r Y r r    V i 0 0Y  đƣợ đề xuất bở Y w đầu nhữ ă 30 a thế kỉ ƣ c về s ƣơ á ữa các hạt nhân. Trong phép gầ đú Bo đ tán xạ ă   2 sin 2q k  :     3 0 0 0 22 , sin( ) ( ) 2 2 2 1 Y mY rm f k qr Y r r dr q qr         Vì không thể á đƣợ đ tán xạ, nên chỉ có thể ƣ ƣợng thế Yukawa v i thế đối xứng cầu cho ( ) 0V r V  khi v a , ( ) 0V r  khi r a . 22 Xá đị đ tán xạ ( , )kf V  cho thế đối xứng cầu trong phép gần đú Bo b, V i 0r a á định 0V sao cho tích phân toàn phần c a thế Yukawa và thế đối xứng cầ ƣ ( Trong cả ƣờng hợp: thế Yukawa và thế đối xứng cầu, có thể tính đ tán xạ bằng cách lấy 2 sin( 2)x ka  là biến c a tích phân. Ở mứ ă ƣợng cao, tiết diện tán xạ tổng c ng c a thế đối xứng cầu là:   (0)9 ( ) 28 tot Vtot k V ka    , 1ka . c, T đ tán xạ tổng c ng cho thế Y w á định 0V và a v i tiết diện tán xạ tổng c ng ở cả mứ ă ƣợng bằng 0 và ở mứ ă ƣợng cao. Giải: a, Ta có: 0 0 2 2 sin cos ( , ) sin( ) 2 2 3 0 amV mV qa qa qa k qr r drf V q q       b, Tích phân toàn phần có nhân tử chung 22 / 4m  , v đ tán xạ khi truyề đ ƣợng k k f i  , k k i  : 1 2 ( , ) ( ) 24 f i m ik r ik rV r drf e ek          Và 2 sin 2 0k k q k f i     . Vì   sin cos 1 lim 3 30 qa qa qa q qa    và 0 r a , thì 0 03V Y . T â đƣợc tính v i  02 sin 2x kr  là: 23     0 0 0 2 1 1 4 4 2 2 22 1 42 0 (1 ) kr x d xdx kr krx     T đƣợc tiết diện tán xạ tổng c ng c a thế Yukawa là:       622 4 (0) (0)4 0 0( ) 4 2 2 2 1 4 1 4 4 0 0 0 tot totm Y r Y Ytot k Y kr kr kr         Tại mứ ă ƣợng cao và mứ ă ƣợng thấp: 30 0 0 1 3 3 Y r V a và 2 0 0 0 1 2 2 Y r V a . K đ đƣợc: 2 2 0 09 V Y , 3 2 02 a r . Bài toán 3 [4]: S tán xạ đ i c a hạt ra khỏi phân tử g m 2 nguyên tử giống nhau, khoảng cách xa nhau (bỏ qua s biến dạng c a hạ ) đƣợ o ƣ đ tán xạ c a thế ( ) ( ) ( )V r V r V r a mol at at    . Giả sử rằ đ tán xạ f at c a m t nguyên tử duy nhất trong phép gầ đú Bo : 24 1 2 ( ) ( ) 24 ik r ik rm f if q e V r e dr at at       , q k kf i   . a, Trong phép gầ đú Bo đ tán xạ ( )f q mol và tiết diện tán xạ ( )q mol  c a tán xạ phân tử. T đ tán xạ và tiết diện tán xạ nếu 2 / k a  . Giải: B đ tán xạ:  1 2( ) ( ) ( )24 ik r ik rm f if q e V r V r a e dr mol at at               . ( )(1 ) iq a f q e at    Tiết diện tán xạ: 2 . ( ) ( ) 1 2 ( )(1 cos( . )) iq a q q e q q a mol at at         T o đ cos( . )q a là s giao thoa giữa các sóng phân tán bởi hai nguyên tử. b, Ta có: . 2 sin 2 2 1q a qa ka ka   Suy ra B đ tán xạ: ( ) 2 ( )f q f q mol at  Tiết diện tán xạ: ( ) 4 ( )q q mol at   25 Do đ a s giao thoa hoàn toàn mang tính xây d ng, hai nguyên tử “ ấ ” ƣ t nguyên tử duy nhất và thế là 2 ( )V r at . II.2: Bài toán về Hiệu ứng Ramsauer-Townsend: Bài toán 4 [4]: C o á ƣờng hợp ( ) 0V x V  cho r a , ( ) 0V r  cho r a . a, Ta có    tan ( ) / tan0 1 1ka k k ak k  ,  1 2 222 /0 0k m EV k k    . Chứng minh rằng, khi 0l thì   1 10 1 1 1 ( / ) tan2 1 ( / ) tan i k k k aikaS k e i k k k a   . C ú đến tích phân liên tục c a tan 1 k a trên trục ảo s đ ƣơ á định vị trí c a các c c c a  0S k trên trục ảo. c, D a vào các biểu thức trên c a ma trận tán xạ S, đƣ ểu thứ ă ƣợng thấp ( 1ka ) c a ma trận S o ƣờng hợp c a m đƣờng tiệm cận v i mứ ă ƣợng bằng 0. Giải: a, Ta có: 0 1 tan( ( ))1 ( / ) tan 01 1 2 ( ( )) 2 ( )0 1 ( / ) tan 1 tan( ( ))1 1 0 i ka ki k ak k i ka k ika ke e S i k a i ka kk k            . b, Nếu k i , 2 21 0k k   , 2 22 2tan tan tan1 0 0k k k k     . Vị trí các c c c a ( )0 kS trên trục ảo đƣợc cho bở ƣơ :  2 221 tan 02 2 0 i i k a k       26 V i  2 220k a   , a  ƣơ ƣơ ứng v i / tan    , 2 2 2 2 2 22 /00 mk a V a    c, Khi m t trong số các c c gần bằng 0, 0k Ta đƣợc 0 0tan /k a k   . T o ƣờng hợp này từ biểu thức ( )0 kS bỏ qua yếu tố 2 ( 1)ika kae , 0 0 0 0 1 ( / ) tan 1 / ( )0 1 ( / ) tan 1 / i k k k ik k i kS i k k k ik k i               0k 1ka phù hợp v i biểu hiện c đ tán xạ   ( ) 10 0 2 k iS kf ik k i     Từ đ biểu thứ ă ƣợng thấp c a ma trận tán xạ S o ƣờng hợp c a m đƣờng tiệm cận v i mứ ă ƣợng bằng 0: ( )0 k i kS k i       ( 0  ). II.3: Bài toán về Thế đối xứng cầu: Bài toán 5 [4]: ịnh lý quang họ q đến tiết diện tán xạ tổng c ng v i phần ảo c a đ tán xạ: 4 ( ) ( 0)tot k m f kk      (trục tọ đ song song v i k ). T o ƣờng thế đối xứng cầu, đ tán xạ có thể viết là: ,0 0 1 ( )( ) 4 (2 1) sin ( ) ( )l l l l i kl k Yf ek k         a, Sử dụng mối quan hệ (0) (2 1) / 4,0 lY l   và trạng thái trung bình tr c chuẩn * ( , ) ( , ) ' 'dY Yl m lm ll mm         chứ định lý quang học o ƣờng hợp thế đối xứng cầu. 27 b, ( )kl đƣợ á đị ƣ ế nào?  ( ) ( ) ?k kl l   Giải: a, Ta có 2 ( ) ( )tot k df k    và nhờ tính tr c giao c a sóng cầu 4 2( ) ( ) (2 1) ( )sin 2 0 0 tot k k l kl l kl l             ơ ế nữa: 1 ( )( 0) 4 (2 1) sin ( ) (0),0 i kl l kf e Y lllk k      1 ( )(2 1) sin ( )i kl l ke ll k    1 2( 0) (2 1) ( ) ( )sin 4 k totm l k kf llk k          b, T