Khóa luận Phân loại và phương pháp giải bài tập điện động lực vĩ mô

ờng hợp riêng: M nằm tại trung điểm của d, M nằm trên đường trung trực của d,… Bài toán 2: Một dây dẫn mảnh thẳng dài vô hạn, tích điện đều với mật độ dài λ. Tính điện trường và điện thế tại điểm cách dây dẫn một đoạn h. ¾ Mục tiêu: o Hiểu công thức xác định cường độ điện trường của điện tích điểm. o Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục. o Sử dụng được mối liên hệ giữa E và ϕ. ¾ Lời giải: o Theo giả thiết phân bố điện tích là một phân bố liên tục, vì vậy không thể áp dụng trực tiếp công thức xác định E của điện tích điểm. Để áp dụng nó cần chia phân bố thành những điện tích điểm. o Áp dụng nguyên lý chồng chất cho phân bố, vì phân bố là liên tục nên áp dụng nguyên lý dạng: ∫= L EdE o Sau khi tìm E , áp dụng ϕgradE −= để tìm ϕ. Chia dây dẫn thành những phần tử nhỏ dl, điện trường do phần tử dl gây ra ở M là: irr dEd 2 04πεε λ l= Do tính chất đối xứng, nên chỉ tồn tại thành phần điện trường theo Ox: dEx= dE.cosα Điện trường do cả dây dẫn gây ra: ∫ ∫+∞ ∞− == 2 0 cos 4 cos. r ddEE lαπεε λα Thay: αα 2 2 2 cos cos hr r h =⇒= ααα d hd h tg 2cos =⇒= ll Ta được: Ed α Mh O r Idl λ x 28 ∫ + − == 2 2 00 2 .cos 4 π π πεε λααπεε λ h d h E Điện thế ϕ: Ta có: dh h dhEd dh dEgradE 02 . πεε λϕϕϕ −=−=⇒−=⇒= Suy ra: )ln(ln 22 000 0 hh h dhh h −−=−= ∫ πεελπεελϕ Chọn điện thế tại h0 = 0 Vậy: hln 2 0πεε λϕ −= ¾ Nhận xét: o Có thể tìm E bằng định lí O-G. Tuy nhiên việc áp dụng định lí O-G phải có điều kiện đối xứng xác định, nếu không thì kết quả sẽ chuyển thành việc áp dụng nguyên lý chồng chất. Hơn nữa nguyên lý chồng chất còn áp dụng được cho các phân bố hữu hạn. o Có thể áp dụng phương trình Poisson để ϕ tìm sau đó tìm E . o Khi giải các phương trình vectơ, cần phải chuyển chúng thành các phương trình đại số. o Sự cảm ứng giữa phân bố và điện tích được thay thế bằng hằng số điện môi tỉ đối ε . Tuy nhiên, điều đó chỉ đúng đối với một điện môi đồng tính và đẳng hướng. Bài toán 3: Tính cường độ điện trường tại M, trên trục của một đĩa tròn bán kính a, tích điện đều với điện tích q. M cách tâm một khoảng h, hệ đặt trong chân không. ¾ Mục tiêu: Trong bài toán này, chúng ta tiếp tục thực hiện mục tiêu được đặt ra ở bài toán 2. Chúng ta tìm hiểu thêm một dạng khác của phân bố liên tục, và thấy rõ hơn mối quan hệ giữa E và ϕ. ¾ Lời giải: o Theo giả thiết nguồn là một đĩa có bán kính a, chiều dày không được quan tâm đến, nghĩa là phân bố điện tích trên vật đã được thay thế bằng một phân bố mặt với mật độ const=σ . o Áp dụng phép cộng thế của các điện tích điểm dSdq σ= . Thế dϕ do dq gây ra tại M: R dqkd =ϕ Thế ϕ tại điểm M cách tâm O của đĩa tròn một đoạn h là: z x M h a rα R 29 ∫ ++= So hyx dxdy 2224 1 σ πεϕ Với: 2a q πσ = αrdrddSdxdy ryx == =+ 222 Suy ra: ( )hha a q hr rdrd a q o a o −+= + = ∫∫ 222 0 22 2 0 22 44 πεαεπϕ π Do tính chất đối xứng trục của đĩa, nên vectơ cường độ điện trường hướng dọc theo trục của đĩa và bằng: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−=∂ ∂−= 222 1 4 ha h a q h E o h πε ϕ ¾ Nhận xét: Khi 0→h (M rất gần mặt đĩa) thì: oo o a qE a q ε σ πε επϕ 24 4 2 == = Là điện thế, điện trường của một mặt phẳng vô hạn tích điện đều. Bài toán 4: Một quả cầu điện môi đồng chất bán kính a, tích điện đều mật độ ρ, hằng số điện môi ε. Môi trường chung quanh có hằng số điện môi ε. Xác định cường độ điện trường tại các điểm trong, trên mặt, ngoài quả cầu. ¾ Mục tiêu: o Áp dụng định lí O-G để xác định trường của các phân bố đối xứng. o Để áp dụng định lí O-G cần chọn các mặt Gauss thể hiện được tính chất đối xứng của trường. o Phân bố đối xứng của nguồn có ba dạng: đối xứng phẳng, đối xứng cầu và đối xứng trụ, do đó trường của các phân bố cũng có tính chất đối xứng tương ứng. ¾ Lời giải: Ở bài toán này, phân bố của quả cầu có tính chất đối xứng cầu, nên trường cũng có tính chất đối xứng cầu. Chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu điện môi, bán kính r. Theo định lí O-G: 30 qSdE S =∫ε Tại mọi điểm trên mặt cầu, E đều vuông góc với mặt cầu và có cùng giá trị. * Khi r<a, ta được điện trường bên trong quả cầu: ρππε 32 3 44 rrE = rEhayrE ε ρ ε ρ 33 ==⇒ * Khi r>a, ta được điện trường bên ngoài quả cầu: ρππε 32 3 44 arE = r r aEhay r aE 3 3 2 3 33 ε ρ ε ρ ==⇒ * Khi r = a, điện trường trên bề mặt quả cầu: aE ε ρ 3 = ¾ Nhận xét: o Các bài toán trên, chúng ta sử dụng phương tiện là công thức tính E và ϕ của điện tích điểm và nguyên lý chồng chất. Còn ở bài này chúng ta sử dụng định lí O-G. Chúng ta nhận thấy, đối với các phân bố đối xứng, nếu hiểu và biết chọn mặt Gauss thích hợp thì việc giải sẽ trở nên dễ dàng hơn khi sử dụng các phương tiện khác. Tuy nhiên, các phương tiện là tương đương về mặt vật lý chỉ khác nhau về hình thức toán học. o Với các điểm ngoài quả cầu thì công thức xác định E tương tự như của điện tích điểm do đó nếu điện môi ngoài quả cầu là εε ≠1 thì cường độ điện trường ở ngoài là: r r aE 3 1 3 3ε ρ= o Tuy nhiên, tại r = a đường dòng không còn liên tục, nó được giải thích bởi sự xuất hiện các điện tích liên kết trên mặt cầu 1ε . Bài toán 5: Một hình trụ bán kính R, dài vô hạn tích điện đều với mật độ ρ. Hằng số điện môi trong và ngoài hình trụ đều bằng ε. Tính điện trường và điện thế ở trong và ngoài hình trụ. Giải bài toán bằng cách sử dụng phương trình Poisson. ¾ Mục tiêu: Áp dụng phương trình Poisson để xác định trường của phân bố đối xứng trụ. ¾ Lời giải: r Ed a dS O r Ed a dS O 31 o Phương trình Poisson là phương trình tổng quát của trường tĩnh điện, và được áp dụng cho từng điểm của không gian có trường. o Trường do phân bố trụ tạo ra cũng có tính chất đối xứng trụ nên chọn hệ tọa độ thể hiện tính chất đối xứng đó. Chọn hệ trục tọa độ trụ, có Oz trùng với trục của hình trụ. Mặt phẳng (xOy) chứa điểm cần khảo sát. Ta có: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = = zz ry rx ϕ ϕ sin cos Vì tính chất đối xứng trụ, nên: ϕ(r, ϕ, z) = ϕ(r) * :0 Rr ≤≤ Phương trình Poisson: ε ρϕ −=∆ t rdr dr drd dr dr dr d r t t ε ρϕ ε ρϕ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ 1 BrAr dr r Ardrd Ar dr dr t t t ++−=⇔ +−=⇔ +−=⇔ ln 4 2 2 2 2 ε ρϕ ε ρϕ ε ρϕ * :Rr ≥ Phương trình Laplace: 0=∆ nϕ DrCd C dr dr dr drd dr dr dr d r n n n n +=⇔ =⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ ln 0 01 ϕ ϕ ϕ ϕ * Điều kiện liên tục: ϕ x y z r O 32 ™ 00 0 =→==−= Ardr dE tt ϕ ™ Chọn thế ở tâm bằng 0: 00 0 =→== Brtϕ ™ Điện trường tại mặt hình trụ: ε ρ ε ρ ϕϕ 22 2RC R CR Rrdr d Rrdr d nt −=→=−⇔ === ™ Thế tại mặt hình trụ: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=→ +−=−⇔ === 2 1ln 2 ln 24 2 22 RRD DRRR RrRr nt ε ρ ε ρ ε ρ ϕϕ Thay các giá trị của A, B, C, D vào các biểu thức của thế ϕ ta được: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−= −= 2 1ln 2 ln 2 4 22 2 RRrR r n t ε ρ ε ρϕ ε ρϕ * Điện trường: 2 2 2 R rdr dE r dr dE n n t t ε ρϕ ε ρϕ =−= =−= ¾ Nhận xét: o Ngoài áp dụng phương trình Poisson, chúng ta có thể dùng hai phương tiện khác là: định lí O-G và nguyên lý chồng chất, sẽ đơn giản hơn. Ở đây chúng tôi giải theo cách này là để cho các bạn tham khảo thêm và biết cách vận dụng phương trình Poisson vào việc giải bài tập. o Từ bài giải chung này, chúng ta có thể áp dụng cho các bài tương tự như: hình trụ hữu hạn, một mặt trụ,... o Khó khăn của cách giải này là chúng ta phải biết phương trình Poisson trong tọa độ trụ. 33 ˆ Kết luận: Trong mục này, chúng ta đã giải các bài tập biểu diễn hệ giữa nguồn và trường do nguồn gây ra. Do đó: Về mặt nội dung, mỗi bài tập chỉ biểu diễn một hệ, các quan hệ đó được xác định trực tiếp từ các công thức, các định luật được học. Về phương pháp, chúng ta đã sử dụng phương pháp phân tích để chỉ rõ ý nghĩa vật lý của các phép toán, để từ đó lập ra lược đồ giải bài toán. Về công cụ toán học, chúng ta đã sử dụng phép tính tích phân, giải phương trình vi phân đơn giản phù hợp với mức độ nhận thức đã lựa chọn. Ở bài tập hiểu thì mức độ nhận thức tương đối thấp, yêu cầu cũng đơn giản đối với người giải. Các phương pháp và các bước giải cũng ngắn gọn, chỉ sử dụng những công thức quen thuộc mà các bạn đã được biết. Quan trọng là chúng ta phải hiểu rõ để áp dụng đúng vào những bài tập cụ thể. Và qua phần này, chúng ta đã tiến hành giải các bài tập cơ bản của dạng bài tập thứ nhất là tìm trường của các phân bố. b) Bài tập vận dụng Bài toán 1: Một điện tích điểm q nằm cách tâm một mặt cầu một đoạn l. Mặt cầu có bán kính a và điện tích Q (a < l). Tìm lực tương tác giữa điện tích và quả cầu. ¾ Mục tiêu: o Khảo sát trường theo quan điểm tương tác. o Vận dụng định luật Coulomb, định lí O-G, định luật III Newton cho sự tương tác giữa vật tích điện và điện tích điểm. o Phân tích lựa chọn phương pháp đơn giản nhất. ¾ Lời giải: o Định luật Coulomb cho phép xác định lực tương tác giữa hai điện tích điểm. Do đó, để áp dụng cho bài toán cần chia quả cầu thành các điện tích điểm. Sau đó, áp dụng nguyên lý chồng chất lực để xác định lực tác dụng lên điện tích điểm q. Phương pháp này dẫn đến việc tính tích phân theo thể tích khá là phức tạp. o Vật tích điện có tính chất đối xứng cầu, nên có thể vận dụng định lí O-G để xác định trường của vật, rồi áp dụng định nghĩa của trường để xác định lực tương tác thì bài toán đơn giản hơn. * Điện trường do quả cầu gây ra tại q: Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, có bán kính l. Theo định lí O-G: eQE QE QSdE l o o S o 2 2 4 4 l l πε πε ε =→ =⇔ =∫ Ed a dS O Q q le l 34 Suy ra, lực mà Q tác dụng lên q: l o eQqEqF 24 lπε== * Lực tương tác giữa điện tích và quả cầu: Theo định luật III Newton: FF −=' l o eQqFF 2 ' 4 lπε=−= ¾ Nhận xét: o Hệ thức thu được có dạng giống như công thức của định luật Coulomb đối với hai điện tích điểm Q đặt tại tâm cầu và q. Nghĩa là có thể coi mặt cầu Q là ảnh điện của điện tích điểm Q đặt tại tâm và ngược lại, khi đó lời giải bài toán trở nên rất đơn giản. o Để có được kết quả trên, chúng ta đã bỏ qua hiện tượng cảm ứng điện giữa vật và điện tích điểm. o Qua bài giải, chúng ta thấy rõ tính chất của trường là tác dụng lực lên điện tích đặt trong nó. Chúng ta có thể áp dụng cách giải tương tự để tính lực do nhiều phân bố gây ra, bằng cách áp dụng nguyên lí chống chất điện trường. Bài toán 2: Tính năng lượng của một quả cầu điện môi bán kính a, tích điện đều theo thể tích. Hằng số điện môi của quả cầu là ε, của môi trường xung quanh là ε0, điện tích của quả cầu là q. ¾ Mục tiêu: Khảo sát trường theo quan điểm năng lượng. Ngoài ra, qua bài toán chúng ta còn thấy mối quan hệ của trường và điện môi, quy luật phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. ¾ Lời giải: Sử dụng định lí O-G để tính trường, sau đó dùng công thức tính năng lượng để tìm năng lượng. Chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu điện môi, bán kính r. Theo định lí O-G: QSdD S =∫ * r <a: Điện trường bên trong quả cầu: 3 32 43 3 44 a qrrD rrD qSdD t t r S t π ρ ρππ ==→ =⇔ =∫ * r >a: Điện trường bên ngoài quả cầu: Đối với điện môi đồng chất tại mặt ngăn cách giữa hai điện môi xuất hiện điện tích liên kết. Khi bỏ qua r Ed a dS O r Ed a dS O 35 điện tích liên kết thì: 2 2 4 4 r qD qrD qSdD n n S n π π =→ =⇔ =∫ * Năng lượng của quả cầu: dVDdVDdVDEW V n oV t V ∫∫∫ +== 22 212121 εε ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+= ∞⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= += += ∫∫ ∫∫ ∞ ∞ oo o ao a a n o a t a q a qa a q ar qar a q r drqdrr a q drrDdrrD εεππεπε πεπε πεπε ε π ε π 1 5 1 8 1 858 1 8058 88 22 225 6 2 25 6 2 2 2 0 4 6 2 222 0 2 Vậy: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += oa qW εεπ 1 5 1 8 2 Năng lượng của trường không bao hàm năng lượng làm phân cực điện môi vì chúng ta đã bỏ qua hiệu ứng cảm ứng. ¾ Nhận xét: Ở bài toán này, chúng ta đã làm được hai công việc đó là khảo sát đặc quan điểm trường mang năng lượng và mối quan hệ của trường và điện môi. Như chúng ta đã biết theo lý thuyết, quy luật phân bố của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác thì thành phần tiếp tuyến của điện trường không đổi, nhưng thành phần pháp tuyến của vectơ cảm ứng điện thì thay đổi. Chỉ khi bỏ qua hiệu ứng cảm ứng thì tại r = a, Dn=Dt. Bài toán 3: Điện tích q phân bố đều theo thể tích (ρ = const) giữa hai quả cầu lệch tâm sao cho quả cầu nhỏ, bán kính r2, nằm hoàn toàn trong quả cầu lớn, bán kính r1. Cho rằng hằng số điện môi ở trong hốc cũng bằng ở phần giữa hai quả cầu. Xác định điện trường trong hốc. ¾ Mục tiêu: Ở bài tập hiểu, chúng ta đã sử dụng nguyên lí chồng chất điện trường để tính điện trường của hai điện tích điểm. Trong bài tập này, chúng ta sẽ vận dụng nguyên lí chồng chất theo hình thức mới để xác định trường của phân bố khối. ¾ Lời giải: Theo định luật bảo toàn điện tích một vật trung hòa về điện có thể đuợc xem là chồng chất của hai phân bố điện tích có cùng quy luật và trái dấu, nên tại hốc chúng ta có thể xem nó là tổ hợp của hai phân bố khối đều mật độ ρ và – ρ. Khi đó hệ gồm: quả cầu đặc bán kính r1, có mật độ ρ và quả cầu nhỏ bán kính r2, có mật độ - ρ. 36 * Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm quả cầu lớn, có bán kính bằng r1. Theo định lí O-G: 11 1 qSdE S o =∫ε 11 1 1 3 1 2 11 33 3 44 rEhayrE rrE oo o ε ρ ε ρ ρππε ==⇒ = * Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu nhỏ, có bán kính bằng r2. Theo định lí O-G: 22 2 qSdE S o =∫ε 22 2 2 3 2 2 22 33 3 44 rEhayrE rrE oo o ε ρ ε ρ ρππε −=−=⇒ −= * Điện trường trong hốc: Theo nguyên lý chồng chất điện trường: ( ) 212121 33 OOrrEEE oo ερερ =−=+= ¾ Nhận xét: Để giải bài tập này, chúng ta đã tìm cách thay thế phân bố đã cho bằng một phân bố tương đương, phương pháp thay thế đó gọi là phương pháp ánh xạ bảo giác. Chúng ta có thể vận dụng cách tính tương tự cho sự chồng chất của các phân bố khác, như phân bố đối xứng trụ,… ˆ Kết luận: Qua phần bài tập vận dụng này chúng ta thấy mức độ nhận thức đã cao hơn mức bài tập hiểu. Nếu như ở bài tập hiểu người giải chỉ tìm trường của các phân bố nguồn đơn giản, còn ở bài tập vận dụng này, chúng ta phải đem những kiến thức, thông tin của các bài tập này sang các bài tập mới, cao hơn. Chúng ta đã biết trường, thì chúng ta phải tìm lực tương tác, tìm năng lượng của trường; chúng ta đã tìm trường của một quả cầu thì vận dụng để tìm trường của sự chồng chất hai quả cầu,… Để qua đây, mức độ nhận thức của chúng ta được nâng lên một bậc. c) Bài tập phân tích tổng hợp Ở phần bài tập này, yêu cầu đặt ra cao hơn hai dạng bài tập trước. Chúng ta không những phải hiểu, phải vận dụng các kiến thức vào tình huống mới, mà còn phải nhận biết, phát hiện, phân biệt từng chi tiết, dữ kiện của bái toán, sau đó hợp nhất, khái quát nhiều thành phần, chi tiết đó để xây dựng một bài toán hoàn chỉnh. ▪ ▪ O1 O2 2r 1r 37 Bài toán 1: Một mặt phẳng vô hạn chia không gian thành hai nửa. Hằng số điện môi ở hai nửa là ε1 và ε2. Một quả cầu dẫn bán kính a có tâm nằm trên mặt phân cách của hai môi trường. Tính điện dung của quả cầu. ¾ Mục tiêu: Ở các bài tập trước, chúng ta đã tìm hiểu mối quan hệ giữa trường và điện môi, quy luật biến đổi của trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Ở bài tập này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu sâu hơn vấn đề đó. Ngoài ra, chúng ta còn tìm hiểu mối quan hệ giữa trường và vật dẫn. ¾ Lời giải: Điện dung của quả cầu: ϕ qC = Trong đó: q là điện tích, ϕ là điện thế tương ứng. * Tìm ϕ: Ta có: ϕgradE −= Theo tính chất đối xứng cầu, E chỉ phụ thuộc r, ta được: ∫−= −=→−= Edrhay Edrd dr dE ϕ ϕϕ Chọn mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu, bán kính r. Theo định lí O-G: qSdE S =∫ε Khi đi qua mặt phân cách giữa hai môi trường, thành phần tiếp tuyến của điện trường không đổi, nên: qSdESdE SS =+ ∫∫ 2 2 2 1 εε constC ErErE t ==→ =→=+ 1 2 2 2 1 0022 ϕ πεπε * Khi r >a: ( ) ( ) ( ) ( ) 221221 21 221 2 1 22 2 2 C r q r drq r qEqEr n ++=+−=→ +=→=+ ∫ εεπεεπϕ εεπεεπ a 1ε 2ε 38 * Điều kiện liên tục: • Chọn thế ở vô cùng bằng 0, ta được: ( ) 00 22 =→==∞ CCϕ • Tại r =a: ( )a qCnt 21 1 2 εεπϕϕ +=⇔= * Điện thế tại mặt cầu: ( )a q 212 εεπϕ += Vậy: ( )aqC 212 εεπϕ +== ¾ Nhận xét: Dạng bài tập phân tích tổng hợp thì yêu cầu hơi cao, vì thế để làm được các bài tập dạng này, chúng ta phải đọc kĩ đề, phân tích từng chi tiết nhỏ cho trong bài. Sau đó, chúng ta mới tổng hợp, khát quát lên để hoàn thành bài toán. Trong bài toán chúng ta phải kết hợp nhiều kiến thức khác nhau, như: công thức tính điện dung, mối quan hệ giữa điện thế và điện trường, quy luật phân bố trường khi chuyển từ điện môi này sang điện môi khác, sử dụng các điều kiện liên tục,...Cái khó là chúng ta phải biết xâu các dữ kiện lại thành một chuỗi, để có bước đi đúng và ngắn gọn, rõ ràng. Bài toán 2: Khoảng cách giữa hai bản của một tụ điện phẳng là d, còn diện tích là S. Giữa hai bản là một lớp điện môi dày đặc. Tụ điện được mắc vào một nguồn để hiệu điện thế là ∆φ, sau đó ngắt đi. Hỏi công cần thiết để kéo lớp điện môi ra khỏi tụ điện. ¾ Mục tiêu: Khảo sát quan điểm của trường theo năng lượng. Sự tương tác từ bên ngoài đến trường. ¾ Lời giải: Năng lượng của tụ điện: C qW 2 2 = * Khi có điện môi, điện dung C1 là: d SC ε=1 Năng lượng của tụ: S dq C qW ε22 2 1 2 1 == * Khi tách điện môi ra, nhưng giữ cho tụ điện cô lập tức là điện tích của bản tụ không thay đổi, điện dung C2 là: d S C o ε=2 d S ∆ϕ 39 Năng lượng của tụ: 1 2 2 2 2 22 W S dq C qW oo ε ε ε === * Công cần thiết để kéo điện môi ra khỏi tụ là: 112 1 WWWA o ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=−= ε ε Trong đó: ( ) ( )221 1 2 1 2 1 2 1 2 ϕεϕ ∆=∆== d SC C qW Vậy: ( )21 2 1 ϕεε ε ∆⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= d SA o ¾ Nhận xét: Tương tự như bài toán trên, chúng ta phải sử dụng nhiều kiến thức liên quan để giải bài tập này. Cái khó của bài toán là chúng ta phải hiểu ra được ý đồ của nó, để có thể đi đúng hướng. Bài toán 3: Hai bản kim loại được đặt thẳng đứng và song song trong một bình chứa điện môi lỏng. Khoảng cách giữa các bản là d và hiệu điện thế giữa chúng là ∆ϕ. Hỏi điện môi lỏng giữa hai bản được nâng lên bao nhiêu? Cho biết trọng lượng riêng của điện môi lỏng là δ. ¾ Mục tiêu: Ở bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học để giải bài tập liên quan đến hiện tượng thực tế. ¾ Lời giải: * Khi chứa một phần điện môi, điện dung của tụ tăng lên một lượng bằng: ( ) ax d C o εε −=∆ * Khi đó năng lượng tăng lên một lượng: ( ) ( ) ( )22 22 1 ϕεεϕ ∆−=∆∆=∆ ax d CW o * Lực tác dụng lên điện môi: ( ) ( ) ( )2 2 ϕεεδ δ ∆−=∆= a dx WF o (1) * Lực này cân bằng với trọng lượng của phần điện môi đó: adhF δ= (2) Từ (1) và (2): ( ) ( )2 22 δ ϕεε ∆−= d h o 40 ¾ Nhận xét: Ở bài tập này, ngoài những kiến thức thuộc phần Điện động lực, chúng ta phải biết kết hợp với những kiến thức liên quan khác mới giải được bài toán. ˆ Kết luận: Sau khi đã làm một loạt các bài tập hiểu, bài tập vận dụng, chúng ta đã có một kiến thức nhất định. Và chúng ta lấy đó làm cơ sở để giải các bài tập ở mức độ cao hơn, bài tập phân tích tổng hợp. Ở mức độ này, bài tập khó hơn nhiều, chúng ta phải biết phân tích từng chi tiết nhỏ của bài toán, sau đó tổng hợp, khát quát toàn bài toán. Với mức độ bài tập này thì chúng ta ít gặp trong học phần của mình, vì thế chúng tôi trình bày các bài tập mẫu dạng này không nhiều. d) Một số bài tập đề nghị Bài 1: Một dây mảnh uốn thành vòng tròn bán kính a, mang điện tích q phân bố đều trên dây. Hãy xác định cường độ điện trường tại điểm M nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng chứa vòng tròn, đi qua tâm, cách tâm một đoạn h. Xét trường hợp h = 0. ĐS: ( ) 0 4 2 3 22 = + = E ah qhE oπε Bài 2: Hai dây mảnh, thẳng, dài, song song và cách nhau một khoảng d, tích điện trái dấu với mật độ điện tích dài không đổi λ± . Xác định cường độ điện trường tại điểm cách hai dây dẫn lần lượt r1 và r2. Xét trường hợp đặc biệt khi điểm khảo sát nằm cách đều hai dây, cách mặt phẳng chứa hai dây một khoảng h. ĐS: ( )22 21 4 2 2 dh dE rr dE o o += = πε λ πε λ Bài 3: Tìm thế tại một điểm M bên ngoài dây trụ tròn bán kính Ro, dài vô hạn, tích điện đều, mật độ mặt σ. Biết khoảng cách từ M đến trục hình trụ là R, và qui ước điện thế ở mặt trụ bằng 0. ĐS: R RR o o o M ln2ε σϕ = Bài 4: Xác định vectơ cường độ điện trường ở bên trong và bên ngoài của lớp phẳng vô hạn có bề dày d và tích điện đều với mật độ điện khối ρ. ĐS: idE ixE o n o t ε ρ ε ρ 2 = = Bài 5: Một sợi dây thẳng dài vô hạn tích điện đều với mật độ dài χ. Bao quanh sợi dây là một lớp điện môi hình trụ có bán kính R1, hằng số điện môi là ε1. Bên ngoài lớp đó là điện môi vô hạn đồng chất với hằng số điện môi ε2, bán kính R . Xác định cường độ điện trường tạo bởi sợi dây đó. 41 ĐS: ( ) ( )1 2 1 1 2 2 RR R E RR R E >= <= επ χ επ χ Bài 6: Một tụ điện trụ được đặt đứng trong một điện môi lỏng. Lớp điện môi giữa hai bản được nâng lên độ cao h. Biết bán kính của tụ điện là R1 và R2, hiệu điện thế giữa hai bản là φ. Tính hằng số điện môi của chất lỏng nếu trọng lượng riêng của nó làδ . ĐS: ( ) 1 2 2 2 1 2 2 ln R R h RR o δ ϕεε ∆ −+= 2.2. Trường tĩnh từ 2.2.1. Cơ sở lý thuyết Trạng thái riêng quan trọng thứ hai của trường điện từ là từ trường dừng. Từ trường dừng do các dòng dừng và các nam châm vĩnh cửu gây ra. Nhưng xét về mặt ứng dụng trong khoa học kỹ thuật, từ trường dừng do các dòng dừng gây ra có tầm quan trọng hơn. Tương tự như trường tĩnh điện, quy luật phân bố của trường, không gian tồn tại của trường cũng phụ thuộc vào quy luật phân bố của nguồn. Do đó, trong chương này chúng ta cũng cần xác định: quy luật phân bố của nguồn, ảnh hưởng của phân bố đến không gian; quy luật phân bố của trường trong chân không, trong từ môi và khi chuyển từ từ môi này sang từ môi khác; xét trường trên cả hai quan điểm: năng lượng và tương tác; sự chồng chất của nguồn của trường và trường. Theo tư tưởng đó, có thể phân các bài tập thành các loại: ™ Tìm trường của dòng điện không đổi với các phân bố khác nhau. ™ Tìm các lực tác dụng trong trường và tìm năng lượng của trường. ™ Trường của nam châm vĩnh cửu. 2.2.2. Phân loại và giải bài tập a) Bài tập hiểu Ở mức bài tập hiểu này, chúng ta sẽ giải các bài tập tìm trường, tìm lực tác dụng, tìm năng lượng của một số phân bố đơn giản. Bài toán 1: Một cung tròn bán kính r, gốc ở tâm là α, mang dòng điện I không đổi trong chân không. Xác định vectơ cảm ứng từ tại tâm của cung tròn. ¾ Mục tiêu: Hiểu công thức xác định cảm ứng từ cho một phần tử dòng điện. Áp dụng nguyên lý chồng chất cho một phân bố liên tục. ¾ Lời giải: Để sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace, chúng ta phải chia phân bố thành những phần tử dòng điện. Sau đó, dùng nguyên lý chồng chất để xác định trường do cả phân bố gây ra. 42 → Bd M r L → j Chia cung tròn thành những vi phân dl. Phần tử lId gây ra ở O một vectơ cảm ứng từ: 34 r rlIdBd o ∧= π µ Với mọi lId đều gây ra tại O các vectơ Bd cùng phương, cùng chiều, nên: L r Idl r IdBB o L o L 22 44 π µ π µ === ∫∫ R IR R IB oo απ µαπ µ 44 2 == ¾ Nhận xét: Qua bài toán, chúng ta sử dụng định luật Biôt- Savar- Laplace và nguyên lí chồng chất để tìm trường do một phân bố dòng gây ra. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm trường tại tâm cung tròn, vận dụng tương tự chúng ta có thể tìm trường ở những điểm khác theo yêu cầu của đề bài. Ngoài ra, chúng ta cũng sử dụng cách giải tương tự để tìm trường của một phân bố dòng điện thẳng dài hữu hạn hay vô hạn. Bài toán 2: Một dòng điện mật độ j chạy dọc theo một vật dẫn hình trụ tròn đặc. Xác định cảm ứng từ B tại điểm M trong vật dẫn cách trục hình trụ một khoảng r. ¾ Mục tiêu: Áp dụng định lí dòng toàn phần xác định trường của một phân bố có dạng đối xứng trụ. ¾ Lời giải: Sự phân bố dòng điện có dạng đối xứng trụ, do đó cảm ứng từ tại mọi điểm trên mặt trụ đồng trục với trục dây dẫn sẽ có độ lớn bằng nhau. Ta chọn đường lấy lưu thông là đường tròn bán kính r, đi qua M, tâm nằm trên trục hình trụ, áp dụng định lí dòng toàn phần, ta có: 2rjIldH L π==∫ Vì H và ld cùng phương chiều và trên đường lấy lưu thông H có độ lớn không đổi, nên: rHdlHldH LL π2== ∫∫ Suy ra: 2 jrH = α r → Bd lId O ⊕ 43 Áp dụng công thức BH oµ 1= và chú ý đến phương chiều của H và B , ta có: [ ] 2 , rjHB oo µµ =