Khóa luận Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán

không âm nhỏ hơn 2n. Như vậy, mỗi số nguyên không âm nhỏ hơn 2n tương ứng đúng với một tập con của S và do đó S có 2n tập con. Thông thường chúng ta chỉ tìm một lời giải cho một bài toán sau khi đã cân nhắc. Tuy nhiên, trong ví dụ vừa rồi khẳng định cho chúng ta thấy rằng, với một bài toán ta có thể linh hoạt sử dụng nhiều cách để làm. Chúng ta cần linh hoạt trong giai đoạn đầu khám phá bài toán. Nếu một cách tiếp cận mà không dẫn đến đâu, đừng thất vọng, hãy tìm một ý tưởng mới. Hãy nhìn lại bài toán theo nhiều khía cạnh sẽ có phong phú ý tưởng thay thế. Mỗi cách tiếp cận là một ý tưởng để khám phá bài toán. Tư duy sáng tạo được đánh dấu bởi những tiếp cận để giải quyết bài toán mang tính tưởng tượng và phân kỳ. Ở thời điểm đầu thì số lượng, sự phong phú của tư duy là quan trọng và tri giác khởi đầu cũng là một nguồn kiến thức hữu ích. 3.4. Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật Trước hết chúng ta hãy làm quen với các dãy số tạm đặt tên là “dãy số đa giác” thông qua các hình vẽ được sắp xếp theo mô hình được cho trong bảng dưới đây. Số hạng thứ r của mỗi dãy số đa giác chính là số các điểm nằm trên đa giác thứ r tương ứng của dãy. Sau khi cho học sinh quan sát mô hình về các “dãy số đa giác”. Giáo viên đặt ra một số câu hỏi như sau: Tìm quy luật cho số hạng thứ n của các dãy số đa giác (tính số hạng tổng quát của các dãy số đa giác); Tính tổng n số hạng đầu tiên của các dãy số đa giác. Học sinh sẽ sử dụng nhiều phương án khác nhau để giải quyết các câu hỏi này và phương án tìm kiếm một quy luật được sử dụng ra sao, chúng ta sẽ bắt đầu với dãy số tam giác. Số hạng thứ r 1 2 3 4 5 Tam giác Tứ giác Ngũ giác Lục giác Thất giác Dãy số tam giác Thông thường học sinh sẽ đếm số các điểm nằm trên các tam giác thứ nhất, thứ 2, thứ 3, thứ 4, thứ 5, … và sẽ tìm một quy luật trong các số liệu này. Gọi là số các điểm nằm trên tam giác thứ n. Ta có: = 1, = 3, = 6, = 10, = 15, … Một số học sinh sẽ phát hiện ra quy luật như sau: = 1 = + 2 = 1 + 2; = + 3 = 1 + 2 + 3; (Thay bởi 1 + 2) = + 4 = 1 + 2 + 3 + 4; = + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5; … Từ đó học sinh sẽ dự đoán số hạng thứ n của dãy được biễu diễn như sau: = 1 + 2 + … + n. Một số học sinh quan sát mô hình của dãy số này cũng có thể dễ dàng nhận ra quy luật như sau: tam giác thứ nhất được tạo ra bởi một điểm nằm trên một hàng. Tam giác thứ hai được tạo ra bởi 3 điểm nằm trên 2 hàng, hàng thứ nhất có một điểm, hàng thứ hai có 2 điểm … Tương tự, tam giác thứ năm được tạo ra bằng cách ghép 5 hàng điểm, theo thứ tự trên xuống có 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm, 4 điểm, 5 điểm (hình bên). Với quy luật đó, tam giác thứ n được tạo ra bởi n hàng điểm theo thứ tự trên xuống hàng thứ n có n điểm. Như vậy, tổng số điểm trong tam giác thứ n là: 1 + 2 + … + n điểm, tức số hạng thứ n trong dãy số tam giác là: = 1 + 2 + … + n. Để tìm quy luật và tính số hạng tổng quát của dãy số tam giác ta sẽ biểu diễn dãy số này theo một cách khác bằng mô hình sau: Từ những tam giác trên, nếu hoán đổi các dòng thành cột, ta được một mảng mới mà khi ghép với mảng tam giác ban đầu ta được một mảng hình chữ nhật. Trong trường hợp tổng quát, dễ thấy mảng chữ nhật tạo thành có các cạnh lần lượt chứa n và n + 1 điểm, nên số các điểm có trong mảng này là n(n + 1) điểm. Suy ra: 2 = n(n + 1) = Vậy ta có công thức sau: 1 + 2 + … + n = . Tính tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số tam giác: = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + … + (1 + 2 + … + n). được biểu diễn là tổng của tất cả các số có trong mảng trên. Do tổng các số có trên cột thứ i (i = 1; 2; … ; n) là . Áp dụng công thức ở trên ta có: = . Suy ra: 2 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + n (n + 1). Biểu diễn đẳng thức trên bằng mô hình sau: Kết hợp 2 mảng và 2 để trở thành mảng 3 như sau: Sử dụng công thức của dãy số tam giác, ta có kết quả: Suy ra: = . Chú ý: Sau đây là một cách khác để tiếp cận bài toán trên. Ta sẽ tiến hành ghép mảng điểm và , và , và như sau: + + + Từ đây chúng ta sẽ phát hiện ra quy luật: nếu ghép 2 mảng điểm và ta được mảng điểm hình vuông mà số các điểm trong mảng này là n2 điểm. Vậy: + = n2. Viết lại: = + + … + + + = 22 + = 32 … + = (n – 1)2 + = n2. Cộng những đẳng thức này với nhau theo từng vế, ta có: + 2(+ … + ) + = 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2 2 ( + + … + + ) = 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2 + + 2 = 12 + 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2 + = + (*) (với = 12 + 22 + 32 + … + (n – 1)2 + n2). có thể biểu diễn thành tổng các số có trong mảng như sau: Từ đây, ta có thể nghĩ đến việc kết hợp với mảng để được mảng + như hình bên. Từ cách sắp xếp này, ta nhận thấy tổng các số hạng trên mỗi hàng của mảng + chính là tổng của n số tự nhiên đầu tiên. Mảng có n + 1 hàng nên: + = (n + 1) Từ (*) ta có: 3 = + + = (n + 2) . Áp dụng công thức tính ta có: = . Tương tự như đối với dãy số tam giác, ta có thể phát hiện ra quy luật và giải quyết các câu hỏi được đặt ra ở trên đối với các dãy số đa giác khác và nhiều dãy số khác. Phần này được trình bày trong tài liệu “Khám phá đại số và giải tích 11” của tác giả Trần Vui (chủ biên). Từ ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rằng việc thiết kế và sử dụng các mô hình hình học là một phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc tiến hành giải quyết vấn đề bằng phương án tìm kiếm một quy luật. Chúng ta cũng lưu ý rằng, đối với mỗi bài toán có thể sử dụng nhiều mô hình tương ứng với nhiều cách giải khác nhau. Do đó, chúng ta cần tìm kiếm những mô hình mới, không nên gò bó theo một khuôn mẫu đã định sẵn. CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày Để nhớ các con số như số xêri, mã khoá, số điện thoại, vv… chúng ta thường tìm kiếm một quy luật có trong các tập số này. Khi phát hiện ra các quy luật nằm trong các tập số này thì chúng ta có thể nhớ chúng dễ dàng hơn và nhớ lâu hơn. Ví dụ, nhiều số điện thoại có quy luật rất đặc biệt mà người ta thường gọi bằng các cái tên như: “số tiến”, “số lùi”, “số soi gương”… Các số này rất dễ nhớ. Khám phá ra các quy luật khác nhau của các tập số như thế, đó sẽ là công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc nhớ các con số của chúng ta. Khám phá các quy luật cũng được dùng trong vấn đề thực tiễn “đi tới một địa điểm bằng xe hơi”. Giả sử khi lái xe qua một thành phố, ở đây hầu hết các con đường nằm trong một mạng lưới hình chữ nhật, một người lái xe giỏi sẽ xem xét các vấn đề như đèn đỏ trong bao nhiêu giây, đèn xanh trong bao nhiêu giây, đèn vàng trong bao nhiêu giây, khoảng cách từ các địa điểm có đèn giao thông là bao nhiêu, … để tìm kiếm một quy luật. Dựa vào quy luật này người lái xe sẽ điều chỉnh tốc độ, chọn đường đi thích hợp để tránh các đèn đỏ nhiều nhất có thể và để giảm tối thiểu thời gian chờ đợi. Một vấn đề thực tiễn khác là “tìm đến một số nhà nằm trên một con đường trong một thành phố”. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta phải chú ý tới một quy luật: các số nhà lẻ thường được đánh ở một phía của con đường, các số nhà chẵn ở phía còn lại của con đường hoặc cũng có thể các ngôi nhà được đánh theo thứ tự từ đầu đường cho đến cuối đường. Kết hợp với nhiều yếu tố khác, chúng ta có thể xác định được hướng đi để tới địa chỉ mình cần tìm một cách nhanh nhất. Có nhiều con đường để tới địa chỉ đó nhưng chúng ta sẽ thiết lập một quy luật để tìm ra con đường ngắn nhất và thuận tiện nhất để tới đó. Trong thực tế hằng ngày, khi đối mặt với các vấn đề của cuộc sống đặt ra, con người luôn sử dụng tư duy và kinh nghiệm vốn có của mình để giải quyết các vấn đề đó một cách nhanh nhất, đem lại hiệu quả nhiều nhất. Trong nhiều vấn đề, phương án tìm kiếm một quy luật là một phương án rất hữu ích. Con người cũng thường nghĩ tới phương án này khi đứng trước các vấn đề. Sau đây là một bài toán thực tế được giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật: Bài toán 1: Bản đồ của một khu vực thành phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1. Để tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn Thị Điểm là đường số 1, đường Đinh Tiên Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn là đường thứ 3, đường Ngô Đức Kế là đường thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5. Trang sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và đường Mai Thúc Loan. Nhi sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh Công Tráng. Nhi quyết định một lần tới thăm Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến đường khi cô ấy đã tìm ra được mọi tuyến đường khác nhau để tới nhà Trang. Cô ấy chỉ được đi về phía hướng Đông và hướng Bắc. Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi tới nhà Trang? Hình vẽ 1.1 Lời giải: Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem có bao nhiêu tuyến đường như thế. Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót. Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con đường phía Bắc là đi được. Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con đường B và 4 con đường Đ. Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; … Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp. Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp. Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một quy luật. Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải bài toán đơn giản hơn. Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây. Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường. Bây giờ chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà của Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai con đường. “Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng giống như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí giao nhau giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí Diễu). Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường mà Nhi có thể đi nếu nhà của Trang được “chuyển” lần lượt tới mỗi điểm trên lưới ô vuông (xem hình vẽ). Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác Pascal (Hình vẽ 1.2). Khi chúng ta nhận ra quy luật này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có 126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới nhà Trang. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Hình vẽ 1.2 2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán 2.1. Tìm quy luật của một dãy số Tìm kiếm quy luật của một dãy số là một vấn đề đòi hỏi năng lực tư duy của chúng ta, bởi không có một quy luật duy nhất nào có thể áp dụng cho mọi trường hợp. Mỗi dãy số có một quy luật nhất định. Hơn nữa, quy luật của một dãy số thường không duy nhất. Ngoài các bài toán tìm quy luật của “dãy số đa giác” chúng ta còn tìm kiếm quy luật cho nhiều dãy số khác. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài toán rất đơn giản và sẽ “tăng tốc” với các bài toán khó hơn một chút. Bài toán 2.1.1: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 15; 30; 60; 120; … Lời giải: Rất đơn giản, chúng ta nhận thấy dãy số này tạo thành cấp số nhân với công bội 2. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy phải là . Chúng ta xét một vài dãy số có mặt 6 số hạng và với mỗi trường hợp, hãy “khám phá” một quy luật giữa các số hạng đã cho để tìm 3 số hạng tiếp theo của dãy đó. Bài toán 2.1.2: Tìm 3 số hạng tiếp theo của dãy số: 3; 7; 15; 31; 63; 127; … Lời giải: Quy luật là 2 × 3 + 1 = 7 2 × 7 + 1 = 15 2 × 15 + 1 = 31 ………………… Với quy luật đó, ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 2 127 + 1 = 255 2 255 + 1 = 511 2 511 + 1 = 1023. Bài toán 2.1.3: Tìm 3 số hạng tiếp theo của dãy số: 2; 4; 8; 24; 72; 144; … Lời giải: Quy luật là 2 2 = 4 2 4 = 8 3 8 = 24 3 24 = 72 2 72 = 144 Theo quy luật trên, ta có 3 số hạng tiếp theo là: 2 144 = 288 3 288 = 864 3 864 = 2592 Đối với nhiều dãy số, chúng ta có thể tìm quy luật của nó bằng cách tìm các sai khác giữa các số hạng liên tiếp. Cách tiếp cận này được gọi là phương pháp “sai phân hữu hạn”. Đây là cách làm rất hiệu quả để tìm quy luật của một dãy số. Bài toán 2.1.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 1; 5; 14; 30; 55; 91; … Lời giải: Quá trình tìm các sai khác giữa các dãy số như sau: Sai khác 1 Sai khác 2 Sai khác 3 Thực ra, chúng ta đã tìm ra được quy luật cho dãy số tạo ra ở sai khác thứ nhất là số hạng thứ n có dạng và ta tìm được số hạng thứ sáu là = 49. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy đã cho là 49 + 91 = 140. Tuy nhiên, chúng ta đã tìm các sai khác tiếp theo của các dãy số mới tạo ra và đến sai khác thứ ba thì chúng ta đã tìm ra được cái bất biến tiềm ẩn của bài toán là dãy hằng: 2; 2; 2; … Từ sai khác thứ 3, ta tìm được số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác này là 2. Suy ra, số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ 2 là 2 + 11 = 13 và do đó, số hạng tiếp theo của dãy số ở sai khác thứ nhất là 13 + 36 = 49. Vậy số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là 49 + 91 = 140. Chúng ta có thể biểu diễn dãy số đã cho bởi mô hình sau, số hạng thứ n của dãy chính bằng số quả cầu nằm trên hình thứ n. Quan sát mô hình chúng ta thấy các hình được sắp xếp theo quy luật: hình thứ n có được bằng cách ghép vào hình thứ n – 1 một mảng hình chữ nhật bao gồm quả cầu. Như vậy số quả cầu trong hình thứ 7 sẽ bằng: 91 + = 140. Chúng ta xét một bài toán khác: Bài toán 2.1.5: Tìm hai số hạng tiếp theo của dãy số sau: 1; 0; 2; 3; 3; 8; 4; 15; 5; … Lời giải: Dãy số này được trộn lẫn bởi hai dãy số tách rời nhau: một dãy bao gồm các số ở vị trí lẽ của dãy số đã cho: 1; 2; 3; 4; 5; … (sai khác + 1), dễ dàng thấy ngay số hạng tiếp theo của dãy này là 6; một dãy bao gồm các số ở vị trí chẵn của dãy số đã cho: 0; 3; 8; 15; … Các sai khác giữa các số hạng liên tiếp của dãy số này là: 3; 5; 7; … Từ đây, sai khác tiếp theo ở đây phải là 9. Do đó, số hạng tiếp theo của dãy này là 9 + 15 = 24. Vậy hai số hạng tiếp theo của dãy đã cho là: 24; 6. Chúng ta phải lưu ý với học sinh rằng, sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để tìm số hạng tiếp theo của một dãy số cho trước không phải luôn luôn dẫn tới một “số hạng” duy nhất. Thường thì quy luật của một dãy số là không duy nhất. Với một bài toán chúng ta có thể khám phá ra nhiều quy luật khác nhau, với các quy luật tìm được có thể cho các kết quả khác nhau nhưng cũng có thể chúng đều đưa đến cùng một kết quả. Chúng ta xét bài toán sau: Bài toán 2.1.2.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau: 1; 2; 4; 8; 16; … Lời giải: Số tiếp theo, theo hầu hết mọi người đó là 32. Quy luật được nhận ra ở đây là số hạng đứng sau gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó. Ta cũng có thể nhận thấy số hạng tổng quát của số hạng thứ n trong dãy là . Sử dụng công thức tổng quát này chúng ta có thể viết các số hạng tiếp theo của dãy số đã cho. Tuy nhiên, chúng ta có thể lý luận theo toán học một cách hợp lý và chính xác rằng số hạng tiếp theo có thể là (hoặc phải là) 31 và tiếp đến là 57 và 99. Dãy số này được gắn vào tam giác Pascal như hình vẽ sau. 1 = 1 1 1 = 2 1 2 1 = 4 1 3 3 1 = 8 1 4 6 4 1 = 16 1 5 10 10 5 1 = 31 1 6 15 20 15 6 1 = 57 1 7 21 35 35 21 7 1 = 99 1 8 28 56 70 56 28 8 1 = 163 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 = 256 Chúng ta cũng có thể mô tả dãy số này tương ứng với số miền của một hình tròn được chia bởi số điểm liên kết trên đường tròn (hình vẽ). 2 điểm 3 điểm 4 điểm 5 điểm 6 điểm 2 miền 4 miền 8 miền 16 miền 31 miền Bài toán 2.1.2.5 Tổng các số trong dòng thứ 25 của mảng sau bằng bao nhiêu? 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 Lời giải: Học sinh có thể tiếp tục viết những số lẻ trong mảng cho đến khi đạt tới dòng 25 và sau đó tìm tổng của 25 số hạng. Tuy nhiên, cách này khá bất tiện và yêu cầu một sự kiên nhẫn lớn (chưa nói đến điều kiện giấy viết). Có thể dễ dàng hơn để kiểm tra mảng này bằng cách điều chỉnh những số liệu đã cho và sau đó tìm kiếm một quy luật. Tổng của các số trong mỗi dòng được tóm tắt trong bảng sau: Dòng 1 2 3 4 5 6 Tổng 1 8 27 64 125 216 Chúng ta sẽ cố gắng tìm một quy luật với bảng trên. Dòng thứ hai được viết lại như sau: 13; ; ; ; ; . Từ đây, ta đặt giả thuyết rằng tổng các số trong dòng thứ n là n3. Vậy, tổng của 25 số đưa vào trong dòng thứ 25 là 253 = 15625. Bài toán 2.1.2.6: Hãy dùng các ký hiệu: ; ; ; ; để sắp xếp thành các số theo thứ tự từ 1 đến 10. Lời giải: Để làm bài toán này chúng ta phải thử sắp xếp theo nhiều cách và chọn ra cách sắp xếp hợp lý theo một quy luật nhất định. Sau đây là một cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu của bài toán: Số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Quy luật của sự sắp xếp này như sau: các ký hiệu ở dòng thứ 2 ứng với các số từ 1 đến 10 ở dòng thứ nhất. Ở các ký hiệu có nhiều hơn một ký hiệu gốc thì số tương ứng với nó bằng tích các số mà ứng với các ký hiệu tạo nên nó. Chẳng hạn: = 2 2 = 4; = 2 3 = 6; = 2 2 2 = 8; = 3 3 = 9; = 2 5 = 10. Chúng ta còn nhiều cách sắp xếp thú vị khác, bạn đọc hãy thử xem. Điều thú vị ở đây là chúng ta có thể dựa vào mô hình này để phát hiện ra số nguyên tố: những số ứng với một ký hiệu là số nguyên tố và ngược lại những số ứng với nhiều ký hiệu thì không phải là số nguyên tố. Thật vậy: 1; 2; 3; 5; 7 là những số nguyên tố. Bài tập 2.1.2.7: Tìm chử số hàng đơn vị của 819. Lời giải: Nhiều HS giải bài toán này bằng cách nhập luỹ thừa của 8 vào máy tính, tuy nhiên hầu hết màn hình các máy tính không đủ chổ để hiển thị kết quả của bài toán. Vì vậy, chúng ta phải tìm cách tiếp cận khác. Hãy quan sát các luỹ thừa của 8 tăng dần sau đây và hãy cố gắng tìm một quy luật trong đó: Ở đây xuất hiện một quy luật: các chữ số hàng đơn vị lặp lại theo vòng tròn 4 lần theo thứ tự: 8; 4; 2; 6, bắt đầu từ 81. Quy luật này sẽ đưa chúng ta đi tới kết quả của bài toán gốc. Số mũ của chúng ta là 19, khi chia cho 4, số dư sẽ là 3. Do đó, chữ số hàng đơn vị của 819 sẽ bằng chữ số hàng đơn vị của 815; 811; 87; 83 và chính bằng 2. Bài toán 2.1.2.8: Tìm chữ số hàng đơn vị của 1325 + 481 + 5411. Lời giải: Nếu HS giải bài toán này bằng máy tính thì tương tự như bài toán trên, sẽ không đưa đến kết quả. Cách làm bài toán này tương tự như bài toán trước. Hãy tìm quy luật trong các luỹ thừa của 3 số 13; 4; 5. Với luỹ thừa của 13, ta thu được: Các chữ số ở hàng đơn vị của các luỹ thừa của 13 lặp lại theo vòng tròn 4 lần theo thứ tự: 3; 9; 7; 1 bắt đầu từ 131. Vì 25 chia 4 dư 1 nên chữ số hàng đơn vị của 1325 bằng chữ số hàng đơn vị của 131, tức bằng 3. Với luỹ thừa của 4, ta có: Các chữ số hàng đơn vị của các luỹ thừa của 4 lặp lại theo vòng tròn 2 lần theo thứ tự: 4; 6 bắt đầu từ 41. Do đó, 481 có chữ số hàng đơn vị bằng chữ số hàng đơn vị của 41, tức bằng 4. Chữ số hàng đơn vị của các luỹ thừa của 5 phải là 5 (ví dụ: 5; 25; 125; 625; …). Vì 3 + 4 + 5 = 12 do đó, chữ số hàng đơn vị của 1325 + 481 + 5411 là 2. 2.2. Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học Có nhiều bài toán nếu chúng ta làm bằng phương pháp “thô” thì chúng ta sẽ mất rất nhiều thời gian, công sức và có thể không tiến tới kết quả đúng. Nhưng nếu giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật thì rất ngắn gọn và dễ hiểu. Chúng ta hãy xét các bài toán được giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật sau đây, chúng ta sẽ thấy được điều đó. Bài toán 2.2.1: Xác định tổng của số đo các góc trong của một đa giác 20 cạnh. Lời giải: Con đường hiệu quả để giải bài toán này là kiểm tra khi tăng số cạnh của đa giác và tính tổng các góc tương ứng. Chúng có tạo ra một quy luật nào không? Có dễ dàng nhận ra không? Chúng ta có thể tổng quát hoá nó không? Chúng ta có thể mở rộng nó không? Hãy bắt đầu với một tam giác (tổng các góc trong là 1800) và sau đó xét từng đa giác có các cạnh tăng liên tiếp là tứ giác, ngũ giác, lục giác và tiếp tục như vậy. Chúng ta có thể phân các đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường thẳng nối từ một đỉnh tới các đỉnh còn lại của đa giác (Hình vẽ 2.2.1). Khi làm điều này, chúng ta chú ý là mỗi đa giác tiếp sau chứa hơn một tam giác so với đa giác liền trước nó. Hình vẽ 2.2.1 Điều này cho ta một quy luật mà có thể giúp ta đưa ra lời giải của bài toán. Tổng các góc này được biểu thị trong bảng dưới đây: Số cạnh 3 4 5 6 7 8 9 … 20 Số tam giác 1 2 3 4 5 6 7 … 18 Tổng số đo các góc 180 360 540 720 900 1080 1260 … 3240 Kiểm tra với 7 đa giác đầu tiên (mặc dù thật sự chúng ta không cần kiểm tra nhiều như thế) cho chúng ta thấy một quy luật: khi số cạnh tăng lên 1 thì số tam giác tăng lên 1 và do đó tổng các góc trong của đa giác tăng lên 1800. Do đó, cho đa giác 9 cạnh, số tam giác được tạo thành có thể sẽ là 7 và tổng các góc sẽ là 7 1800 = 12600. Sử dụng quy luật này chúng ta có thể làm theo cách này cho tới đa giác 20 cạnh. Chúng ta tìm cách dùng quy luật số gia của 1800. Tổng số đo các góc trong của một đa giác bằng 180 nhân với một số mà nhỏ hơn số cạnh của đa giác là 2. Do đó, với đa giác 20 cạnh, tổng số đo các góc trong của đa giác 20 cạnh bằng 18 1800 = 32400. Kết quả này không hiển nhiên từ giai đoạn đầu mà tìm kiếm quy luật là cần thiết và hữu ích, chúng ta phải dùng phương pháp này để tìm ra kết quả của bài toán này. Với các bài toán đơn giản, chúng ta tìm một quy luật như thế và sau đó sử dụng nó để tìm ra câu trả lời cho bài toán, khi đó chứng minh kết quả tìm được rất đơn giản. Bài toán 2.2.2: Có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh được tạo ra bởi 10 đường thẳng phân biệt và đồng quy tại một điểm? Lời giải: Học sinh thường cố gắng vẽ một hình rộng, chính xác, chỉ ra 10 đường thẳng đồng quy. Sau đó, các em cố gắng đếm xem có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh. Cách này không khó hiểu, tuy nhiên, các em có thể dễ dàng làm mất nhiều cặp góc đối đỉnh khi kiểm tra. Thay vào đó, chúng ta có thể tìm cách sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để giải bài toán này. Hãy bắt đầu với một trường hợp đơn giản, từ từ mở rộng số các đường thẳng và xem xét nếu một quy luật xuất hiện. Nếu chúng ta bắt đầu với một đường thẳng, chúng ta có 0 cặp góc đối đỉnh. Với 2 đường thẳng tạo ra 2 cặp góc đối đỉnh: 1 – 3 và 2 – 4. Với 3 đường thẳng tạo ra 6 cặp góc đối đỉnh: 1 - 4; 2 – 5; 3 – 6; 1, 2 – 4, 5; 2, 3 – 5, 6; 1, 6 – 3, 4 . Với 4 đường thẳng tạo ra 12 cặp góc đối đỉnh: 1 – 5; 2 – 6; 3 – 7; 4 – 8; 1, 2 – 5, 6; 2, 3 – 6, 7; 3, 4 – 7, 8; 4, 5 – 8, 1; 1, 2, 3 – 5, 6, 7; 2, 3, 4 – 6, 7, 8; 3, 4, 5 – 7, 8, 1; 4, 5, 6 – 8, 1, 2. Có thể tóm tắt kết quả thu được trong bảng sau: Số các đường 1 2 3 4 5 Số cặp góc đối đỉnh 0 2 6 12 20 Chúng ta cố gắng để tìm quy luật với bảng trên, mỗi số tự nhiên ở hàng trên cho tương ứng với các số ở hàng dưới. Từ bảng trên ta nhận thấy một quy luật: tích của hai số liên tục ở hàng trên bằng số thứ hai tương ứng ở hàng dưới, thật vậy, ; ; ; ; … Mở rộng quy luật trên cho cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ. Ta đưa ra giả thuyết thích hợp với quy luật vừa tìm được là số góc đối đỉnh của n đường thẳng phân biệt và đồng quy tại một điểm là n(n – 1). Do đó, cho 10 đường thẳng cắt nhau, sẽ có 10 9 = 90 cặp góc đối đỉnh. Chú ý rằng chúng ta cũng có thể xét bài toán này theo một cách nhìn khác. Mỗi cặp đường thẳng tạo ra hai cặp góc đối đỉnh. Do đó, chúng ta trả lời xem có bao nhiêu cách chọn 2 đường thẳng từ 10 đường thẳng cho trước? Tất nhiên câu trả lời là = 45. Như vậy, chúng ta có 45 2 = 90 cặp góc đối đỉnh. Bài toán 2.2.3: Có bao nhiêu góc được tạo bởi 10 tia phân biệt với điểm gốc chung. Lời giải: Theo truyền thống, ban đầu học sinh vẽ một hình rộng bao gồm 10 tia phân biệt từ một điểm gốc duy nhất. Các em dùng cách này để đếm số góc. Tuy nhiên, việc làm này học sinh sẽ sớm gặp khó khăn vì có thể sẽ đếm sót, đếm hơn một lần một góc nào đó. Học sinh cũng có thể dùng toán học tổ hợp để giải, ta thấy cứ với mỗi cặp tia cho một góc mà có cách chọn 2 tia từ 10 tia, do đó có = 45 góc. Chúng ta cũng có thể lý luận rằng với mỗi tia khi cộng thêm vào sẽ tạo ra với mỗi tia đã có một góc và do đó ta thiết lập được một dãy số. Hãy bắt đầu với một tia và ta sẽ tìm quy luật bằng cách tăng dần số các tia. Các số liệu thu được được tóm tắt vào bảng sau: Số tia 1 2 3 4 5 6 7 Số góc 0 1 3 6 10 15 21 Hãy nhìn ra quy luật nằm trong dãy sau: 0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; … Đây là một dãy số mà các sai khác giữa hai số liên tiếp trong dãy theo thứ tự tạo ra một cấp số cộng đơn giản: 1; 2; 3; 4; 5; 6; …. Vậy một cách đơn giản ta tiếp tục dãy số này tới 10 số hạng: 0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45. Chúng ta cũng có thể nhận thấy công thức tính số hạng tổng quát của số hạng thứ n trong dãy số này là . Vậy số góc tạo bởi 10 tia phân biệt, xuất phát từ một điểm gốc là 45. Bài toán 2.2.4: Sáu “số hạng” đầu tiên của một dãy được chỉ ra