Khóa luận Phép biến đổi Laplace

ới một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức. Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa độ, ví dụ đối với trường mặt mức u = 4 là hình cầu hay. Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng (H.1.1). M1 M L H.1.1 Giả sử M và là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu là độ dài cung , lấy dấu + nếu điểm đứng sau điểm M và lấy dấu - nếu điểm đứng trước điểm M. Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo cung M là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến) và độ dài cung, tức bằng: Đạo hàm theo đường cong L tại điểm là giới hạn của tỷ số: khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm. Kí hiệu đạo hàm qua, ta có: = (1.1) Ta có thể dễ dàng chứng minh: = (1.2) trong đó là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến H. 1.2 với L tại điểm nói cách khác, nếu các đường cong và đi qua có tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong bằng đạo hàm theo đường cong (H. 1.2). 1.2 Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơ, trong đ ó =++. Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với. Đạo hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ, đạo hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ, đạo hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ. Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ . ; ; Do đó (1.3) Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ và vectơ có toạ độ là (,,). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: Gradu =++ (1.4) Do đó: Hay là: Vậy: (1.5) Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng. Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. Ví dụ 1: Cho trường vô hướng xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. Giải: gradu tại M Đạo hàm theo hướng gradien, tức Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm theo hướng vectơ trong đó. Giải: Ta thấy ; ; Do đó: và gradu l M H.1.3 Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi nó chuyển động theo đường cong l, nên. Nhưng đạo hàm theo cung l bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế. Theo công thức:, do và gradu ≠ 0 nên . Tức là góc giữa và bằng . Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm. Nếu có các toạ độ thì: Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là: (1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic tại điểm M (2, 1, 5). Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm . Bởi vì: , cho nên . Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng: hay 1.3 Các tính chất của Gradien Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7) b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8) c/ grad (v≠0) (1.9) 1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien H.1.4 Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ 2.1 Trường vectơ-đường vectơ 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như được nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà tại mỗi điểm của nó vectơ nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Để tìm đường vectơ của trường Ta tiến hành như sau: Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau. (2.1) Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là F(x, y, z) ta có: ; ; (2,2) . Chú ý: vì hàm F(x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. O z x y H.2.1 Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1). 2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt 2.1.2.1 Thông lượng Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ nào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơ. Vị trí của vectơ phụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt. Xét hàm f (M) = (,) được xác định tại mọi điểm của mặt S. Nếu và các góc chỉ phương của vectơ tương ứng bằng a, b, g tức là: thì hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu bằng chữ F: (2.2) Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng. Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm. 2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian. Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S. Ví dụ: Cho trường vectơ Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với tâm tại gốc toạ độ. Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị do đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy: Vì thế thông lượng bằng . 2.2 Dive của trường vectơ 2.2.1 Dive của trường vectơ Dive (divergen) của trường vectơ tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này (2.3) Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút. Giả sử trường vectơ trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì (2.4) trong đó a, b, g là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp: (2.5) Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm sao cho: vì thế Khi V→ M thì →M, vì thế (2.6) Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có: (2.7) Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích phân 3 lớp của trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi liên tục trong miền V. Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ. Giải: Vậy thông lượng 2.2.2 Trường hình ống Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường bằng không, thì ta nói rằng là trường hình ống của miền này. Ví dụ: Cho trường hấp dẫn trong miền G nào đó không chứa gốc tọa độ. Hãy tính. Giải: Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng: tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậylà trường hình ống trong miền G. Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ. Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π, tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng Theo định nghĩa: . 2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học trong đó là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do. 3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ 3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến Ta xét trường vectơ: và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường (3.1) là lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến. Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu. Ví dụ 1: Nếu là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l. Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số: x = j(t), y = y(t) , z = c(t) với ta có: Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức stockes Trong trường hợp đặc biệt (3.4) 3.2 Rota của trường Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ z O x y n S Mo σ l Mo H.3.1 trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao quanh điểm rồi chọn hướng xác định trên chu tuyến này và tính . Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện tích s của bề mặt S được giới hạn bởi chu tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình (3.5) ta gọi giới hạn : là mật độ lưu thông tại điểm trên bề mặt S. Ta có: (3.6) Vậy nếu thì mật độ lưu thông tại điểm theo hướng bằng: Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ và vectơ Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho. Ta kí hiệu là rot Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ theo hướng bằng rot. Rota của trường vectơ (3.7) có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới. Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau: (3.8) Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ cho bởi công thức: Giải: Theo công thức (3.8) ta nhận được nói riêng, tại điểm (0, 0, 1) Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi quanh trục Oz. Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức: Do đó 3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ (3.9) trong đó là hình chiếu của vectơ rotlên pháp tuyến của mặt S. Như vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của rot của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l. 3.4 Ý nghĩa vật lý của rota Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan trọng như rota của thông lượng của trường từ thì sinh ra dòng điện với mật độ (3.10) còn rota của thông lượng trường điện thì sinh ra sự biến thiên của vectơ cảm ứng từ theo thời gian (3.11) Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell 4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA 4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không Thật vậy, nếu trong đó a, b, c là hằng số thì (4.1) Tương tự (4.2) 4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu trong đó, là các trường vectơ; , là các hằng số thì Chứng minh: Giả sử Khi đó: và 4.3 Các phép tính đối với tích a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta có: graduv = ugradv+vgradu b/ Giả sử u là trường vô hướng, là trường vectơ. Khi đó u là trường vectơ và Để chứng minh ta viết vectơ dưới dạng c/ Giả sử , là các trường vectơ. Khi đó (,) là trường vô hướng, còn () là trường vectơ và Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của trường vectơ. Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc. CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG 1. HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1 Định nghĩa Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính vectơ. Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz:. Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của điểm M thay cho bộ ba số x, y, z người ta dùng bộ ba số khác,,phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét. Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba số,,ứng với một bán kính vectơ , do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian. Các đại lượng,,được gọi là toạ độ cong của điểm M. Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độ,,do đó mỗi một toạ độ này là một hàm của bán kính vectơ (1.1) Mặt q2 Mặt q1 Đường q2 Mặt q3 Đường q1 Đường q3 H.1.1 Ngược lại vì bán kính vectơ của mỗi điểm trong không gian được xác định hoàn toàn khi cho ba số,,. Nghĩa là 3 thành phần x, y, z của là hàm số của,,. (1.2) Tập hợp tất cả các điểm trong không gian sao cho trên tập nàykhông đổi gọi là mặt tọa độ. Tương tự ta có mặt tọa độ, . Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ thay đổi (còn tọa độ , không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ. Hiển nhiên giao tuyến của hai mặtvàcho ta đường tọa độ. 1.2 Các ví dụ Hai hệ tọa độ cong hay dùng nhất là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. a/ Hệ tọa độ trụ Vị trí của 1 điểm được xác định bởi , , (H.1.2) Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc: z O x y M z ρ φ H.1.2 Khoảng biến thiên Các mặt tọa độ: là mặt trụ có trục tọa độ Oz. là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz. là mặt phẳng song song với mặt Oxy. Các đường tọa độ: Đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường là đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường là nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt phẳng Oxy. b/ Hệ tọa độ cầu Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba số, , . Hệ thức liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ đề các vuông góc: Khoảng biến thiên: Các mặt tọa độ: x z O y φ z M θ r H.1.3 là mặt cầu tâm O. là nửa mặt nón có đỉnh là O, trục là Oz. là nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz. Các đường tọa độ: Đường là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O. Đường là kinh tuyến trên mặt cầu. Đường là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu. 1.3 Hệ tọa độ cong trực giao H.1.4 Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau theo từng đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao. Trong các ví dụ trên, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao. Trong không gian cho điểm M nào đó, gọi(i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường tọa độ và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ . Ta nhận thấy rằng trong hệ tọa độ Descartes hướng của các véc tơkhông phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn vị trực giao phụ thuộc vào các vị trí của M. Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ và hướng theo chiều tăng của là. Trong hệ tọa độ cong trực giao thì (H.1.4) 1.4 Hệ số Lame Xét các đường tọa độ, trên các đường này ta đưa vào các vectơ đơn vị (i=1, 2, 3) có phương tiếp tuyến với các đường tọa độ và có chiều theo chiều tăng của các tọa độlấy số gia của bán kính vectơcó đầu mút ở điểm, có tọa độ . Lập tỉ số M M1 H.1.5 Lấy giới hạn của tỉ số trên khi tiến đến M, ta có vectơtiến đến vectơ cùng phương, cùng chiều với vectơ đơn vị tại M. Đó là vectơ đạo hàm , do đó . Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo đường tọa độ. Hệ số chỉ độ lớn của vectơ Ta có: do đó Tương tự, ta có: trong đó: (1.3) được gọi là hệ số lame của hệ tọa độ cong đang xét. Hệ số lame trong hệ tọa độ đề các . Tương tự Hệ số lame trong hệ tọa độ cầu Hệ số lame trong hệ tọa độ trụ 1.5 Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao Từ định nghĩa hệ tọa độ cong trực giao, ta có: Hơn nữa ta có: từ đó suy ra: với (1.4) hay: với (1.5) Bây giờ ta xét các vectơ grad qi Ta thấy gradqi có phương vuông góc với mặt tọa độ qi = Ci và theo chiều tăng của qi, nên gradqi cùng phương và cùng chiều với vectơ đơn vị pháp tuyến, ta có thể viết Bây giờ ta xét mối quan hệ giữa hệ số Lame hi và grad qi. Từ công thức vi phân toàn phần của bán kính vectơ Nhân vô hướng hai vế với, ta có: Mặt khác ta lại có: So sánh hai đẳng thức (a) và (b) ta có: Xét tích vô hướng Trong một hệ tọa độ cong trực giao nên ta có mối quan hệ sau: (1.5) Hơn nữa trong hệ tọa độ cong trực giao = 0 với. Suy ra với (1.6) hay với (1.7 Công thức (1.4) và (1.7) là điều kiện cần và đủ để một hệ tọa độ cong trực giao Ví dụ: Hãy kiểm tra xem hệ tọa độ cong sau có trực giao hay không Giải: Ta sử dụng công thức (1.7) dễ thấy do đó cặp q1 và q3 trực giao với nhau. Xét cặp tọa độ q1, q2 do đó cặp tọa độ q1, q2 trực giao với nhau. Tương tự, ta xét cặp tọa độ q1, q3 ta thấy Vậy hệ tọa độ cong xét trên là trực giao. 2. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG Trong không gian cho hệ tọa độ q1, q2, q3 và trường vô hướng u = f (q1, q2, q3) (2.1) Hãy tính gradien của trường này tại điểm bất kỳ M (q1, q2, q3). Trước hết, xét hình chiếu gradien của hàm f lên hướng nào đó bằng đạo hàm của hàm f theo hướng này (2.2) Đường q1 H.2.1 Mặt khác đạo hàm theo hướng bằng đạo hàm theo cung l của đường tọa độ q1 (H.2.1). Nhưng đạo hàm theo cung theo định nghĩa bằng: Từ đây: (2.3) Tương tự: (2.4) (2.5) Nếu trường hợp cho trong hệ tọa độ Descartes u = f(x, y, z) thì (2,6) Nếu cho trong hệ tọa độ trụ thì (2.7) Nếu được cho trong hệ tọa độ cầu thì (2.8) Cuối cùng muốn tính đạo hàm của trường vô hướng u = (q1, q2, q3) tại điểm M theo hướng véctơ nào đó ta chỉ cần lấy hình chiếu của gradien lên véctơ (2.9) 3. DIVE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG Xét trường véctơ theo định nghĩa dive của trường tại điểm M bằng (3.1) trong đó M V và X là miền được giới hạn bởi bề mặt S. Xét một hình hộp chữ nhật cong có đỉnh tại M đang xét, các mặt bên trùng với các mặt tọa độ, các mặt đối diện với các mặt tọa độ đi qua điểm N. M3 N1 N3 N2 M2 M1 M q1 q2 q3 N H.3.1 Trong hệ tọa độ cong trực giao V= h1h2h3dq1dq2dq3 mặt MM2N1M3 có diện tích h2 h3dq2 dq3. Thành phần của véctơ trên pháp tuyến của mặt này là -A1, do đó thông lượng tương ứng của đi qua mặt này là -A1h2h3dq2dq3. Xét mặt M1N3NN2 trên mặt này q1 có giá trị q1+dq1do đó thông lượng qua mặt này là: [A1h2h3+] dq2dq3 Do đó thông lượng qua hai mặt MM2N1N3 và M1N3NN2 bằng: Tương tự thông lượng qua hai mặt MM1N2M3 và M2N3NN1bằng: Tương tự thông lượng qua hai mặt NN1M3N2 và MM1N3 M2 bằng: Cộng cả 3 biểu thức trên ta được thông lượng toàn phần qua mặt S: Chia cho thể tích hình hộp và qua giới hạn ta được: (3.2) Nói riêng, nếu trường được cho trong hệ tọa độ Descartes: thì: (3.3) Nếu trường được cho trong hệ tọa độ trụ ta nhận được: (3.4) (vì =1; ;=1) Nếu trường được cho trong hệ tọa độ cầu (vì=1; ;= rsin) (3.5) Ví dụ 1: Tính của một trường lực hấp dẫn khối lượng m đặt tại gốc tọa độ. Trong hệ tọa độ Descartes trường này có dạng: hay ta có thể tính của trường này nhờ công thức (3.3) nhưng quá trình tính toán rất phức tạp. Bây giờ ta biểu diễn trường vectơ này trong hệ tọa độ cầu. Để ý rằng hướng dọc theo hướng bán kính r, vì thế Theo công thức (3.5) ta nhận được (3.5’) Ví dụ 2: Tính của trường vận tốc A của vật thể rắn quay với vận tốc không đổiquanh một trục cố định. Ta xét trường véctơ trong hệ tọa độ trụ và nhận trục Oz làm trục quay. Ta thấy rằng vận tốc quay của một vật thể tại điểm bất kỳ hướng theo véctơ và độ lớn bằng r, do đó: Sử dụng công thức (3.5’) ta được: 4. ROTA TRONG TỌA ĐỘ CONG Xét trường véctơ Để tìm Rota của trường này ta tính hình chiếu của rota theo một hướng nào đó bằng mật độ lưu thông trung bình của trường theo hướng này. Mật độ lưu thông trung bình theo hướng e1 bằng tỷ số lưu thông theo một chu tuyến bất kỳ bao quanh M và diện tích S được giới hạn bởi chu tuyến này, đồng thời miền S phải được phân bố trên bề mặt mà pháp tuyến của nó tại điểm này hướng dọc theo véctơ . Ta định nghĩa: (4.1) Để thuận tiện ta chọn một tọa độ q1= const đi qua M và miền S là miền MM2N1M được giới hạn bởi các đường tọa độ (H.3.1). Diện tích của yếu tố vi phân mặt được giới hạn bởi chu tuyến đó là: dS = h2h3dq2dq3. Trên cung MM2 ta có: Trên cung M3N1 giá trị của tọa độ thứ ba là q3+dq3. Do đó: Tương tự ta có: Vậy: Chia biểu thức này cho dS và qua giới hạn ta được: (4.2) Bằng cách tương tự ta nhận được: (4.3) và (4.4) Nói riêng trong hệ tọa độ Descartes (4.5) Trong hệ tọa độ trụ, đối với trường rota được tính theo công thức: (4.6) Trong hệ tọa độ cầu: (4.7) Ví dụ 1: Tính rota của trường lực hấp dẫn Các thành phần của véctơ là: ; Sử dụng công thức (4.7) ta thấy. Ví dụ 2: Tính rota của trường vận tốc của trường vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi quanh một trục cố định. . Các thành phần của véctơ là: . Sử dụng công thức (4.6) ta được: . Từ đây ta nhận thấy rằng và là bất biến đối với cách chọn hệ trục tọa độ. 5. TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI 5.1 Toán tử “Nabla” Ký hiệu là toán tử “Nabla” hay toán tử Hamilton trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, nó có dạng: Dùng ký hiệu toán tử “Nabla” ta có: Nếu tác dụng toán tử lên chúng một lần nữa ta được toán tử vi phân cấp hai ta có lược đồ sau: Ta dễ dàng suy ra các hệ thức sau: a (5.1) Thật vậy, vì tích hữu hướng của hai véctơ cộng tuyến bằng không. b/ =0 (5.2) Vì véc tơ vuông góc với, và tích vô hướng của hai véctơ vuông góc với nhau bằng không. Đặt , ta có nghĩa là là trường hình ống. c/ (5.3) d/ (5.4) 5.2 Toán tử “Laplace” Trong vật lý toán người ta gọi toán tử cấp hai là toán tử “Laplace” ký hiệu bởi toán tử Δ. Từ hệ thức (5.4) ta có: a/ Trong hệ tọa độ Descartes, xét hàm ta có: Tức là: (5.5) b/ Trong hệ tọa độ trụ, xét hàm trong hệ tọa độ này: Tính của trường này ta nhận được toán tử Laplace (5.6) c/ Trong hệ tọa độ cầu d/ Cuối cùng trong hệ trực giao tùy ý, đối với hàm Ví dụ: Cho . Tính Để đơn giản việc tính toán ta sử dụng tọa độ cầu. khi đó nên Kết luận: Chúng ta cũng đi nghiên cứu về các phép tính gradien, dive, rota nhưng xét trong hệ tọa độ cong, và đặc biệt là hai hệ tọa độ cong thường gặp: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. Ngoài ra chúng ta còn đi nghiên cứu về các toán tử vi phân cấp 2: Toán tử Nabla, toán tử Laplace. Mỗi phép tính trên đều có ứng dụng quan trọng trong vật lý. Chương 3 BÀI TẬP Bài1: Tínhtrong đó Giải Vậy Bài 2: Tính trong đó, Giải Ta có: Bài 3: a/ Tính b/ Tính Giải a/ Tính Tương tự ta có: Suy ra: Vậy b/ Tính rot Bài 4: Tính với Giải là các hằng số Vì nên Bài 5: Tính trong đó là véctơ không đổi, là bán kính véctơ Ta có: Tương tự ta có: Vậy Bài 6: Dùng tọa độ Đề các. Tính Giải a/ b/ c/ Bài 7: Chứng minh rằng a/ b/ c/ Giải a/ Ta có: b/ Mà: c/ Ta có: Mà: Bài 8: Cho trường vô hướng u=ax2 + by2 –dxy trong đó a>0, b>0, d>0 1/ Tìm độ lớn của gradien