Khóa luận Phép biến đổi Mellin của một số hàm đặc biệt và mối liên hệ với phép biến đổi Fourier

ết, thông qua đó, chúng ta sẽ có một cái nhìn tổng quan, sâu sắc hơn về phép biến đổi Mellin, làm cơ sở cho những nghiên cứu thực tiễn và sâu sắc hơn sau này. Từ đó, tôi quyết định chọn đề tài khóa 3 luận: “ Phép biến đổi Mellin của một số hàm đặc biệt và mối liên hệ với phép biến đổi Fourier”. Trong khóa luận, tôi chú trọng tập trung vào việc phân tích kĩ dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin thông qua các ví dụ là những hàm số quen thuộc, từ đó xem xét dải chỉnh hình dưới góc độ trực quan. Sau đó, tôi tập trung nghiên cứu về mối quan hệ giữa phép biến đổi Mellin và Fourier, biến đổi Mellin của dãy hàm xn e−x2/2 (n ∈ N) cũng như phân tích kĩ dải chỉnh hình của hàm ảnh, đây thực sự là những minh họa có ý nghĩa về phép biến đổi này. Nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Giới thiệu về phép biến đổi Mellin, bao gồm: định nghĩa, tính chất, công thức ngược Mellin, mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace, một số hàm đặc biệt thường xuất hiện trong phép biến đổi Mellin. Đặc biệt, chương này gồm những ví dụ minh họa rất cụ thể về cách tính toán dải chỉnh hình của hàm ảnh và dải chỉnh hình của tích phân Mellin của một số hàm thông thường. Chương 2: Phần đầu chương, tôi tập trung tính toán biến đổi Mellin của một số hàm số thông thường và giới thiệu bảng biến đổi Mellin của một số hàm số thường gặp. Tiếp đó là phần nhắc lại về phép biến đổi Fourier, từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa phép biến đổi Fourier và Mellin. Ở cuối chương, tôi kết thúc bằng việc tính toán biến đổi Mellin và dải chỉnh hình của hàm ảnh của dãy hàm xn e−x2/2 (n ∈ N). Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do lượng kiến thức chưa nhiều và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn bè để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2009 Trần Thị Minh Nguyệt 4 Chương 1 Phép biến đổi Mellin 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho f(t) là một hàm số xác định với t ∈ (0; +∞). Một phép biến đổi Mellin M là một ánh xạ đi từ hàm số f vào hàm số F xác định trên mặt phẳng phức bởi mối liên hệ sau M[f, s] ≡ F (s) = ∫ +∞ 0 f(t)ts−1dt. Hàm số F (s) được gọi là biến đổi Mellin của f . Nhìn chung, tích phân này chỉ tồn tại với các giá trị phức của s = a + jb sao cho a1 < a < a2, với a1 và a2 phụ thuộc vào hàm số f(t). Ta gọi đó là dải cơ bản của phép biến đổi Mellin và kí hiệu là S(a1; a2). Trong một số trường hợp, dải này có thể mở rộng ra nửa mặt phẳng (khi a1 = −∞ hoặc a2 = +∞) hoặc mở rộng ra toàn mặt phẳng phức (khi a1 = −∞ và a2 = +∞). Ví dụ 1.1.1. Biến đổi Mellin của hàm số f(t) = e−pt, p > 0 là Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−1e−ptdt. Theo định nghĩa hàm Gamma, ta thấy ngay rằng M [ f ; s ] = p−sΓ(s). Cần nhớ rằng, hàm Gamma khả tích trong miền Re(s) > 0, từ đó có thể kết luận rằng dải chỉnh hình trong trường hợp này là trong miền Re(s) > 0. 5 1.2 Mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace Bằng phép đổi biến, đặt t = e−x, dt = −e−xdx, ta thu được F (s) = ∫ +∞ −∞ f(e−x)e−sxdx. Khi đó, đặt g(x) ≡ f(e−x), ta thu được biểu thức của biến đổi Laplace hai chiều của hàm g như sau L [ g; s ] = ∫ +∞ −∞ g(x)e−sxdx. Nói cách khác, ta có thể viết lại thành M [ f(t); s ] = L [ f(e−x); s ] . Như vậy, ta thấy rằng sự xuất hiện của dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin có thể được suy ra một cách trực tiếp từ công thức liên hệ trên. Biến đổi Laplace thông thường theo chiều bên phải thì khả tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > σ1. Tương tự như vậy, thấy rằng biến đổi Laplace chiều bên trái khả tích trên nửa mặt phẳng Re(s) < σ2. Nếu ta phủ hai nửa mặt phẳng này lên nhau thì miền chỉnh hình của phép biến đổi Laplace hai chiều là dải σ1 < Re(s) < σ2, là phần giao của hai nửa mặt phẳng trên. 1.3 Công thức ngược Mellin Công thức ngược Mellin được biểu diễn dưới dạng sau f(t) = 1 2pii ∫ a+i∞ a−i∞ F (s)t−sds (1.3.1) với tích phân lấy trên đường thẳng đứng đi qua điểm Re(s) = a. Đến đây nhiều câu hỏi được đặt ra. Những giá trị như thế nào của a có thể thay vào công thức? Điều gì sẽ xảy ra nếu giá trị của a bị thay đổi? Và trong trường hợp nào thì hàm f xác định với mọi giá trị của t? Định lý 1.3.1. Nếu F (x) chỉnh hình trong dải S(a1; a2) và thỏa mãn bất đẳng thức |F (s)| 6 K |s|−2 (1.3.2) với các giá trị K nhất định, thì khi đó hàm số f(t) đạt được theo công thức (1.3.2) là hàm số liên tục với mọi giá trị t ∈ (0; +∞) và biến đổi Mellin của nó là F (s). 6 Lưu ý rằng kết quả trên chỉ đưa ra một điều kiện đủ cho công thức ngược Mellin để nó là hàm số liên tục. Hơn nữa, một điểm quan trọng chúng ta cũng cần lưu ý là, công thức ngược áp dụng cho hàm F , chỉnh hình trong một dải cho trước, thì kết quả duy nhất thu được chỉ đúng đối với dải đó. Thật vậy, một phép biến đổi Mellin luôn bao gồm hai yếu tố: một hàm số F (s) và một dải chỉnh hình S(a1; a2). Nhìn chung một hàm số F (s) nhất định với một vài dải chỉnh hình dời nhau của nó sẽ có các hàm ngược khác nhau, ứng với từng dải chỉnh hình khác nhau. Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ minh họa cho điểm này. Ví dụ 1.3.1. Tính liên tục của hàm Gamma Theo kết quả ở Ví dụ 1.1.1, khi thay p = 1, ta được f(t) = e−t, t > 0, như chúng ta đã biết, chính là biến đổi Mellin ngược của Γ(s),Re(s) > 0. Hơn nữa, ta cũng có thể kiểm tra được rằng, Γ(s) thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.3.1 bằng cách sử dụng công thức Stirling sao cho xuất hiện điều sau∣∣∣Γ(a + ib)∣∣∣ ∼ √2pi∣∣∣b∣∣∣a−1/2e−|b|pi/2, b → +∞. Từ đó, áp dụng công thức ngược Mellin, ta thu được một biểu diễn tích phân của e−t như sau e−t = 1 2pii ∫ a+i∞ a−i∞ Γ(s)t−sds, a > 0. Từ đó cho thấy, hàm Γ có thể liên tục theo nghĩa giải tích trong nửa mặt phẳng trái ngoại trừ vô số cực điểm tại các số nguyên âm và tại 0. Biến đổi Mellin ngược của hàm Gamma trên các dải chỉnh hình khác nhau sẽ được tính bằng việc biến đổi đồng nhất thức (1.3.3). Chu tuyến của phép lấy tích phân sẽ được chuyển sang bên trái và tích phân sẽ chỉ nhận các giá trị của các thặng dư tại mỗi cực (Hình 1.1). Rõ ràng, nếu a > 0 và −N < a′ < −N , N nguyên thì ta có ( 1/2pii )∫ a+i∞ a−i∞ Γ(s)t−sds = N−1∑ n=0 (−1)n n! tn + ( 1/2pii )∫ a′+i∞ a′−i∞ Γ(s)t−sds. Suy ra, công thức ngược của hàm Γ trên dải S(−N ;−N + 1) là ( 1/2pii )∫ a′+i∞ a′−i∞ Γ(s)t−sds = e−t − N−1∑ n=0 (−1)n n! tn, −N < a′ < −N + 1. Tích phân này biểu diễn phần dư trong khai triển Taylor của e−t và ta dễ dàng chỉ ra rằng, phần dư này sẽ triệt tiêu khi N →∞ bằng cách áp dụng công thức Stirling. 7 Hình 1.1: Các chu tuyến khác nhau của phép lấy tích phân trong biến đổi Mellin ngược của hàm Gamma. Tích lũy trên các phần nằm ngang sẽ dần về 0 khi Im(s) dần ra vô cùng. Hệ quả 1.3.1. Cho M[f ; s] và M[g; s] lần lượt là các biểu diễn Mellin của hàm f và g với các dải chỉnh hình theo thứ tự là Sf và Sg;giả sử rằng tồn tại các số thực c sao cho c ∈ Sf và 1− c ∈ Sg. Khi đó công thức Parsevals có thể viết thành∫ +∞ 0 f(t)g(t)dt = 1 2pii ∫ c+i∞ c−i∞ M [ f ; s ] M [ g; 1− s ] ds 1.4 Tầm quan trọng của dải chỉnh hình Ta không thể tính toán được một ph ép biến đổi Mellin nếu không biết được dải chỉnh hình của nó, vì khi tính toán được dải chỉnh hình, chúng ta mới có thể biết được hàm ảnh hội tụ tại đâu. Đặc biệt trong công thức ngược Mellin, dải này có ý nghĩa hết sức quan trọng, nó thường được áp dụng trong các ứng dụng lý thuyết số của phép biến đổi Mellin và trong các công trình nghiên cứu về tổng điều hòa hay trong ngành khoa học máy tính. Tích phân ngược Mellin được tính toán thông qua một đường thẳng song song với trục ảnh và nằm trên dải chỉnh hình. Quá trình tính toán dải chỉnh hình được nảy sinh từ việc xem xét tính hội tụ của tích phân Mellin, cụ thể là khi xét tích phân 8 M [ f ; s ] = ∫ +∞ 0 xsf(x) dx x , ta chia tích phân này làm hai phần như sau M [ f ; s ] = ∫ +∞ 0 xsf(x) dx x = ∫ 1 0 xsf(x) dx x + ∫ +∞ 1 xsf(x) dx x . Giả sử f(x) khả tích địa phương trên phần dương trục thực, khi đó tích phân đầu tiên sẽ bị chặn tại 0, và tích phân thứ hai bị chặn tại +∞. Đặt s = σ + it, ta thu được∣∣∣∣∣ ∫ 1 0 xsf(x) dx x ∣∣∣∣∣ ≤ ∫ 1 0 xσ |f(x)| dx x , và ∣∣∣∣∣ ∫ +∞ 1 xsf(x) dx x ∣∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞ 1 xσ |f(x)| dx x . Giả sử f(x) = O(xu) tại x = 0. Khi đó tích phân bị chặn thứ nhất sẽ hội tụ nếu σ + u− 1 > −1 hoặc σ > −u. Hơn nữa, giả sử rằng f(x) = O(xv) tại +∞ thì tích phân bị chặn thứ hai sẽ hội tụ nếu σ + v − 1 > −1 hoặcσ > −v. Hai điều kiện hạn chế này sẽ xác định cho ta hai nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng trái và nửa mặt phẳng bên phải. Khi đó, giao của hai nửa mặt phẳng này chính là dải chỉnh hình, kí hiệu là [−u;−v]. Tóm lại Nếu f(x) khả tích địa phương trên phần dương trục thực, f(x)x→0+ = O(xu), f(x)x→+∞ = O(xv), thì biến đổi Mellin của nó sẽ hội tụ trên dải chỉnh hình [−u;−v] và tích phân ngược Mellin tương ứng của nó được lấy trên đường thẳng song song với trục ảnh trên dải đó. Cách tính toán dải chỉnh hình Ví dụ 1.4.1. Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó f(x) = 1 1 + x và M [ f ; s ] = pi sinpis . 9 Ta chia tích phân làm hai phần như sau M [ f ; s ] = ∫ +∞ 0 xs−1 1 + x dx = ∫ 1 0 xs−1 1 + x dx + ∫ +∞ 1 xs−1 1 + x dx = I1 + I2. Xét I1, khi x → 0 thì x s−1 1 + x dx ∼ xs−1. Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là 1− s < 1, hay Re(s) > 0. Xét I2, ta có f(x)x→+∞ = xs−1 1 + x dx ∼ x s−1 x = xs−2. Khi đó, điều kiện để I2 hội tụ là 2− s > 0, hay Re(s) < 1. Vậy điều kiện để tích phân Mellin của f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < 1, tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < 1. Nó được biểu diễn trong đồ thị sau Hình 1.2: Dải chỉnh hình của hàm ảnh M [ 1 1 + x ; s ] Ví dụ 1.4.2. Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó f(x) = e−px, p > 0 và M [ f ; s ] = p−sΓ(s). Ta chia tích phân làm hai phần như sau M [ f ; s ] = ∫ +∞ 0 e−pxxs−1dx = ∫ 1 0 e−pxxs−1dx + ∫ +∞ 1 e−pxxs−1dx = I1 + I2. 10 Xét I1, khi x → 0 thì e−pxxs−1 ∼ xs−1. Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là 1− s < 1, hay Re(s) > 0. Xét I2, khi x → +∞ thì e−pxxs−1 = e−px e(s−1)lnx = e(s−1)lnx−px → e−∞ ∼ 0 (do p > 0). Suy ra, I2 luôn hội tụ. Vậy điều kiện để tích phân Mellin của hàm f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < +∞, tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < +∞. Nó được biểu diễn trong đồ thị sau: Hình 1.3: Dải chỉnh hình của hàm ảnh M [ e−px; s ] Nhận xét: Trong trường hợp p = 1, ta có f(x) = e−x và M [ f ; s ] = Γ(s), như vậy dải chỉnh hình của hàm Γ(s) là 0 < Re(s) < +∞. Ví dụ 1.4.3. Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó f(x) = (1 + x)−a và M [ f ; s ] = Γ(s) Γ(a− s) Γ(a) . Ta chia tích phân làm hai phần như sau M [ f ; s ] = ∫ +∞ 0 (1 + x)−axs−1dx = ∫ 1 0 (1 + x)−axs−1dx + ∫ +∞ 1 (1 + x)−axs−1dx = I1 + I2. 11 Xét I1, khi x → 0 thì (1 + x)−axs−1 ∼ xs−1. Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là 1− s 0. Xét I2, ta có f(x)x→+∞ = xs−1 (1 + x)a ∼ x s−1 xa = xs−a−1. Khi đó, điều kiện để I2 hội tụ là 1 + a− s > 0, hay Re(s) < Re(a). Vậy điều kiện để tích phân Mellin của f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < Re(a), tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < Re(a). Nó được biểu diễn trong đồ thị sau: Hình 1.4: Dải chỉnh hình của hàm ảnh M [ (1 + x)−a; s ] Ví dụ 1.4.4. Xét hàm số sau và biến đổi Mellin của nó f(x) = 1 1− x và M [ f ; s ] = pi cos(pis). Ta chia tích phân làm hai phần như sau M [ f ; s ] = ∫ +∞ 0 xs−1 1− xdx = ∫ 1 0 xs−1 1− xdx + ∫ +∞ 1 xs−1 1− xdx = I1 + I2. 12 Xét I1, khi x → 0 thì x s−1 1− xdx ∼ x s−1. Khi đó, điều kiện để I1 hội tụ là 1− s < 1, hay Re(s) > 0. Xét I2, ta có f(x)x→+∞ = xs−1 1− xdx ∼ − xs−1 x = −xs−2. Khi đó, điều kiện để I2 hội tụ là 2− s > 0, hay Re(s) < 1. Vậy điều kiện để tích phân Mellin của f(x) hội tụ là 0 < Re(s) < 1, tức là dải chỉnh hình trong trường hợp này là 0 < Re(s) < 1. Nó được biểu diễn trong đồ thị sau Hình 1.5: Dải chỉnh hình của hàm ảnh M [ 1 1− x ; s ] 1.5 Tính chất Cho F (s) = M[f ; s] là biến đổi Mellin của một hàm số,ta giả sử rằng hàm số này thuộc vào T (σ1, σ2) và kí hiệu Sf = {s : σ1 < Re(s) < σ2} là dải chỉnh hình của nó (σ1 có thể nhận giá trị hữa hạn hoặc −∞, σ2 có thể nhận giá trị hữa hạn hoặc +∞). Khi đó các công thức sau đây được chỉ ra cùng với miền chỉnh hình đã xác định. 1.5.1. Tính co giãn M [ f(rt); s ] = r−sF (s), s ∈ Sf , r > 0. 13 1.5.2. Biến đổi Mellin của f(tr) M [ f(tr), s ] = ∣∣∣r∣∣∣−1F (r−1s), r−1s ∈ Sf , r ∈ R, r 6= 0. 1.5.3. Nhân với (lnt)k M [ (lnt)kf(t); s ] = dk dsk F (s), s ∈ Sf , k nguyên dương. 1.5.4. Nhân với tz M [ (t)zf(t); s ] = F (s + z), s + z ∈ Sf , z là số phức. 1.5.5. Lấy đạo hàm M [ dk dsk f(t); s ] = (−1)k(s− k)kF (s− k), s− k ∈ Sf , k nguyên dương. Với (s− k)k ≡ (s− k)(s− k + 1) · · · (s− 1) = (s− 1)! (s− k − 1)! = Γ(s) Γ(s− k) . 1.5.6. Đạo hàm nhiều lần theo biến độc lập M [ tk dk dsk f(t); s ] = (−1)k(s)kF (s) = −1)kΓ(s + k) Γ(s) F (s). Với (s)k ≡ (s + 1) · · · (s + k − 1). Ví dụ M [ t2 d2f(t) ds2 + t df(t) dt ; s ] = s2F (s). 1.5.7. Tích chập M{f(t)g(t); s} = 1 2pii ∫ c+i∞ c−i∞ F (z)G(s− z)dz. 14 1.5.8. Tích chập nhân tính M{f ∨ g} = M [∫ +∞ 0 f ( t u ) g(u) du u ; s ] = F (s)G(s). (1.5.1) M−1{F (s)G(s)} = ∫ +∞ 0 f ( t u ) g(u) du u . Các tính chất của tích chập nhân tính ∫ +∞ 0 f ( t u ) g(u) du u . 1. f ∨ g = g ∨ f (tính giao hoán). 2. (f ∨ g) ∨ h) = f ∨ (g ∨ h) (tính kết hợp). 3. f ∨ δ(t− 1) = f (phần tử đơn vị). 4. ( t d dt )k (f ∨ g) = [( t d dt )k f ] ∨ g = f ∨ [( t d dt )k g ] . 5. ln t(f ∨ g) = [(ln t)f ] ∨ g + f ∨ [(ln t)g]. 6. δ(t− a) ∨ f = a−1f(a−1t). 7. δ(t− p) ∨ δ(t− p′) = δ(t− pp′), p, p′ > 0. 8. dkδ(s− 1) dtk ∨ f = ( d ds )k (tkf). 1.5.9. Công thức Parsevals∫ +∞ 0 f(t)g(t)dt = 1 2pii ∫ c+i∞ c−i∞ M{f ; s}M{g; 1− s}ds. 15 1.6 Một số hàm số đặc biệt thường xuất hiện trong các biến đổi Mellin 1.6.1 Hàm Gamma Định nghĩa 1.6.1. Hàm Gamma Γ(s) xác định trên nửa mặt phẳng phức Re(s) > 0 bởi tích phân Γ(s) = ∫ +∞ 0 e−tts−1dt. Hình 1.6: Hàm Γ(s) Sự liên tục: Hàm Gamma liên tục theo nghĩa giải tích là chỉnh hình trên toàn mặt phẳng ngoại trừ tại các điểm s = −n, với n = 0, 1, 2, · · · là những cực điểm đơn. Thặng dư tại các cực: Ress=−n ( Γ(s) ) = (−1)n n! . Một số công thức quan trọng 1. Γ(n + 1) = n! 2. Γ(s + 1) = sΓ(s) 3. Γ (1 2 ) = √ pi 4. Γ(s)Γ(1− s) = pi sin(pis) 5. Γ(2s) = pi−1/222s−1Γ(s)Γ(s + 1/2) (Công thức nhân đôi Legendre) 16 6. Γ(ms) = mms−1/22pi(1−m)/2 ∏m−1 k=0 Γ ( s + k/m ) , m = 2, 3, · · · (Công thức nhân bội Gauss - Legendre) 7. Γ(s) ∼ √2piss−1/2exp [ − s ( 1 + 1 12s + o ( s−2 ))] , s → +∞, ∣∣∣arg(s)∣∣∣ < pi (Công thức xấp xỉ Stirling) Chứng minh 1. Ta có Γ(n + 1) = ∫ +∞ 0 e−x xndx = (−1) ∫ +∞ 0 xn d(e−x) = (−1) [ xn e−x ∣∣∣∣∣ +∞ 0 − n ∫ +∞ 0 e−x xn−1dx ] = n ∫ +∞ 0 e−x xn−1dx = . . . . . . . . . . . . . . . = n (n− 1) (n− 2) . . . 2. 1. ∫ +∞ 0 e−xdx = n!. 2. Ta có Γ(s + 1) = ∫ +∞ 0 e−xxsdx = − ∫ +∞ 0 xsd ( e−x ) = − [ e−xxs ∣∣∣+∞ 0 − ∫ +∞ 0 e−xxs−1dx ] = ∫ +∞ 0 e−xxs−1dx = sΓ(s). 3. Để tính Γ (1 2 ) , ta đặt x = u2 Γ (1 2 ) = ∫ +∞ 0 x−1/2e−xdx = ∫ +∞ 0 2e−u 2 du. Khi đó, bình phương của nó là Γ2 (1 2 ) = [∫ +∞ 0 2e−x 2 dx ] [∫ +∞ 0 2e−y 2 dy ] = 4 ∫ +∞ 0 [∫ +∞ 0 2e−y 2 dy ] e−x 2 dx = 4 ∫ pi 2 0 [ e−r 2 rdr ] dθ = 4 pi 2 1 2 = pi, và do đó Γ (1 2 ) = √ pi. 17 1.6.2 Hàm Beta Định nghĩa 1.6.2. Hàm Beta dược định nghĩa bởi tích phân B(x, y) ≡ ∫ 1 0 tx−1 ( 1− t )y−1 dt. Mối liên hệ với hàm Gamma: B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) 1.6.3 Hàm Psi (Đạo hàm logarit của hàm Gamma) Định nghĩa 1.6.3. Hàm Psi là hàm số được xác định bởi Ψ ( s ) ≡ d ds lnΓ(s) = −γ + +∞∑ n=0 ( 1 n + 1 − 1 s + n ) . Với hằng số Euler γ, hay còn gọi là C, được xác định bởi γ ≡ −Γ ′(1) Γ(1) và có giá trị γ ∼= 0.577 · · · . Hình 1.7: Đồ thị của hàm Ψ(s) 1.6.4 Hàm Riemann’s Zeta Định nghĩa 1.6.4. Hàm Riemann’s Zeta là hàm số được xác định bởi ζ ( z ) ≡ ∞∑ n=1 1 nz , Re ( z ) > 1. Ví dụ 1.6.1. 18 Hình 1.8: Đồ thị của hàm ζ(1/2 + it) Phương trình cơ bản pi−z/2Γ ( z/2 ) ζ ( z ) = pi1/2(z−1)Γ ( 1− z 2 ) ζ ( 1− z ) Ước lượng gần đúng ∣∣∣ζ(z)∣∣∣ 0 với C() là hằng số và µ(σ) là một hàm số được định nghĩa như sau µ(σ) = 0 σ > 1, µ(σ) ≤ 1− σ 2 0 < σ < 1, µ(σ) = 1 2 − σ σ < 0. Với σ = 1/2 , ta đánh giá được ζ ( 1/2 + it ) = O (∣∣∣t∣∣∣9/56+),  > 0. 19 Chương 2 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường 2.1 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường Trong phần này, tôi sẽ trình bày chi tiết các tính toán về biến đổi Mellin của một số hàm quen thuộc sau. 2.1.1. Hàm số f(t) = e−pt , p > 0 Ta có Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−1e−ptdt. Đặt x = pt, do p > 0 nên khi t : 0 7→ +∞ thì x : 0 7→ +∞. Do đó Mf [s] = ∫ +∞ 0 (xp−1)s−1e−xp−1dx = ∫ +∞ 0 xs−1p1−se−xp−1dx = ∫ +∞ 0 xs−1p−se−xdx = p−sΓ(s). Dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin của hàm số này là Re(s) > 0. 2.1.2. Hàm số f(t) = (t + 1)−1 Ta có B(a, b) = ∫ +∞ 0 ta−1(1 + t)−a+bdt = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) . (2.1.1) 20 Thay a = s; b = 1− s ta được B(s, 1− s) = ∫ +∞ 0 ts−1(1 + t)−s+1−sdt = ∫ +∞ 0 ts−1(1 + t)−1dt = Mf [s]. (2.1.2) Và Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) = Γ(s)Γ(1− s) Γ(s + 1− s) = Γ(s)Γ(1− s) Γ(1) = Γ(s)Γ(1− s) = pi sin(pis) . (2.1.3) Từ (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) suy ra M [ 1 t + 1 , s ] = pi sin(pis) . Dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin của hàm số này là 0 < Re(s) < 1. 2.1.3. Hàm số f(t) = (1 + t)−m Ta có B(a, b) = ∫ +∞ 0 ta−1(1 + t)−a+bdt = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) . (2.1.4) Thay a = s; b = m− s ta được B(s,m− s) = ∫ +∞ 0 ts−1(1 + t)−s+m−sdt = ∫ +∞ 0 ts−1(1 + t)−mdt = Mf [s]. (2.1.5) Và Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) = Γ(s)Γ(m− s) Γ(s + m− s) = Γ(s)Γ(m− s) Γ(m) . (2.1.6) Từ (2.1.5), (2.1.6), (2.1.7) suy ra M [ (1 + t)−m, s ] = Γ(s)Γ(m− s) Γ(m) . Dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin của hàm số này là 0 < Re(s) < Re(m). 2.1.4. Hàm số f(t) = ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ Ta có Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt = ∫ 1 0 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt + ∫ +∞ 1 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt. Xét ∫ 1 0 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt, với t ∈ (0; 1) thì 21 f(t) = ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ = ln ( 1 + t 1− t ) = ln(1 + t)− ln(1− t). Sử dụng khai triển Macloren cho f(t), ta có ln(1 + t) = t− t 2 2 + t3 3 − t 4 4 + · · ·+ (−1)n−1 t n n + o(tn) ln(1 + t) = −t− t 2 2 − t 3 3 − t 4 4 − · · · − (−1)n−1 t n n − o(tn) ⇒ f(t) = ln(1 + t)− ln(1− t) = 2 ( t + t3 3 + t5 5 + · · · ) . Suy ra ∫ 1 0 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt = 2 ∫ 1 0 ts−1 ( t + t3 3 + t5 5 + · · · ) dt = ∫ 1 0 ( ts + t2+s 3 + t4+s 5 + · · · ) dt = 2 ( t1+s 1 + s + t3+s 3(3 + s) + t5+s 5(5 + s) + · · · ) ∣∣∣∣∣ 1 0 = 2 ( 1 1 + s + 1 3(3 + s) + 1 5(5 + s) + · · · ) . Xét ∫ +∞ 1 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt. Đặt u = 1t . Suy ra du = − 1 t2 dt = −u2dt ⇒ du = −du u2 . Do t : 1 7→ +∞ nên x : 1 7→ 0. Khi đó f(t) = ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ = ln ( 1 + u−1 1− u−1 ) = ln ( 1 + t 1− t ) , (do u ∈ (0; 1)). Vậy ta có ∫ +∞ 1 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt = ∫ 0 1 u1−s ln ( 1 + u 1− u )( −du u2 ) = ∫ 1 0 u−1−s ln ( 1 + u 1− u ) du. Dùng khai triển Macloren tương tự như trên, thu được∫ 1 0 u−1−s ln ( 1 + u 1− u ) du = 2 ∫ 1 0 u−1−s ( u + u3 3 + u5 5 + · · · ) du = 2 ∫ 1 0 ( u−s + u2−s 3 + u4−s 5 + · · · ) du = 2 ( u1−s 1− s + u3−s 3(3− s) + u5−s 5(5− s) + · · · ) ∣∣∣∣∣ 1 0 = 2 ( 1 1− s + 1 3(3− s) + 1 5(5− s) + · · · ) . 22 Vậy Mf [s] = ∫ 1 0 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt + ∫ +∞ 1 ts−1 ln ∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣ dt = 2 ( 1 1 + s + 1 3(3 + s) + 1 5(5 + s) + · · · ) + 2 ( 1 1− s + 1 3(3− s) + 1 5(5− s) + · · · ) = 4 ( 1 12 − s2 + 1 32 − s2 + 1 52 − s2 · · · ) = pi s tan ( pis 2 ) . Dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin của hàm số này là −1 < Re(s) < 1. 2.1.5. Hàm số f(t) = t−1et−1 Ta có Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−1t−1e−t −1 dt = ∫ +∞ 0 ts−2e−t −1 dt. Đặt u = 1 t . Suy ra du = − 1 t2 dt = −u2dt ⇒ du = −du u2 . Do t : 1 7→ +∞ nên x : 1 7→ 0. Khi đó Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−2e−t −1 dt = ∫ 0 +∞ u2−se−u ( −du u2 ) = ∫ +∞ 0 u−se−udu = Γ(1− s). Dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin của hàm số này là −∞ < Re(s) < 1. 2.1.6. Biến đổi Mellin của hàm số f(t) = e−t2 Ta có Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−1e−t 2 dt. Đặt u = t2 ⇒ du = 2tdt ⇒ dt = du 2t = du 2 √ u . Khi đó, do t : 0 7→ +∞ nên u : 0 7→ +∞, suy ra Mf [s] = ∫ +∞ 0 ts−1e−t 2 dt = ∫ +∞ 0 u s−1 2 e−u du 2 √ u = 1 2 ∫ +∞ 0 u s 2 −1e−udu = 1 2 Γ( s 2 ). Dải chỉnh hình trong phép biến đổi Mellin của hàm số này là 0 < Re(s) < +∞. 23 2.2 Bảng biến đổi Mellin của các hàm số quen thuộc Hàm gốc Biến đổi Mellin f(t), t > 0 M [ f ; s ] ≡ ∫∞ 0 f(t)ts−1dt Dải chỉnh hình e−pt, p > 0 p−sΓ(s) Re(s) > 0 H ( t− a ) tb, a > 0 − a b+s b + s Re(s) < −Re(b) ( H(t− a)−H(t) ) tb − a b+s b + s Re(s) > −Re(b) ( 1 + t )−1 pi sin(pis) 0 < Re(s) < 1 ( 1 + t )−a Γ(s)Γ(a− s) Γ(a) 0 < Re(s) < Re(a) ( 1− t )−1 pi cos(pis) 0 < Re(s) < 1 H ( t− 1 )( t− 1 )b Γ(b− s)Γ(1− b) Γ(1− s) Re(s) < Re(b) < 1 ln ( 1 + t ) pi s sin(pis) −1 < Re(s) < 0 t−1 ln ( 1 + t ) pi (1− s) sin(pis) 0 < Re(s) < 1 ln ∣∣∣∣∣1 + t1− t ∣∣∣∣∣ ( pi/s ) tan (pis 2 ) −1 < Re(s) < 1 ( et − 1 )−1 Γ(s)ζ(s) Re(s) > 1 t−1e−t −1 Γ(1− s) −∞ < Re(s) < 1 e−x 2 ( 1/2 ) Γ (s 2 ) 0 < Re(s) < +∞ 24 Hàm gốc Biến đổi Mellin f(t), t > 0 M [ f ; s ] ≡ ∫∞ 0 f(t)ts−1dt Dải chỉnh hình eiat a−sΓ(s)eipi(s/2) 0 < Re(s) < 1 tan−1 ( t ) −pi 2s cos ( pis/2 ) −1 < Re(s) < 0 cot−1 ( t ) pi 2s cos ( pis/2 ) 0 < Re(s) < 1 δ ( t− p ) , p > 0 ps−1 Toàn bộ mặt phẳng tb δ(b + s) 25 2.3 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier 2.3.1 Nhắc lại về phép biến đổi Fourier Định nghĩa 2.3.1. Nếu φ(s) là một hàm khả tích tuyệt đối trên (−∞,+∞), khi đó biến đổi Fourier của φ(s), F [φ], và biến đổi ngược Fourier của φ(s), F−1[φ] được cho bởi các công thức sau F [ φ ]∣∣∣ x = ∫ +∞ −∞ φ(s)e−ixsds, và F−1 [ φ ]∣∣∣ x = 1 2pi ∫ +∞ −∞ φ(s)eixsds. Ví dụ 2.3.1. Nếu φ(s) = e−su(s), thì F [ φ ]∣∣∣ x = ∫ +∞ −∞ e−su(s)e−ixsds = ∫ +∞ 0 e−(1+ix)sds = 1 1 + ix , và F−1 [ φ ]∣∣∣ x = 1 2pi ∫ +∞ −∞ e−su(s)eixsds = 1 2pi ∫ +∞ 0 e−(1−ix)sds = 1 2pi − i2pix. Ví dụ 2.3.2. Với α > 0, biến đổi Fourier của hàm số pα ( s ) = { 1 nếu |s| < α 0 nếu α < |s| là F [ pα ]∣∣∣ x = ∫ α −α e−ixsds = eiαx − eiαx ix = 2 x sin ( αx ) . 2.3.2 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier Trong phần này, tôi sẽ tập trung trình bày cụ thể mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và Fourier, từ đó, ta sẽ chỉ ra được mối quan hệ mật thiết giữa hai phép biến đổi này. Như chúng ta đã biết, hàm Hermite là một hàm riêng rất nổi tiếng của phép biến đổi Fourier, và một câu hỏi đặt ra là, vậy biến đổi Mellin của hàm Hermite có gì đặc biệt không, và liệu hàm Hermite có phải là một hàm riêng của phép biến đổi 26 Mellin hay không vì hai phép biến đổi này liên quan chặt chẽ với nhau. Phần trình bày dưới đây sẽ làm rõ các vấn đề thắc mắc đó. Từ định nghĩa phép biến đổi Mellin M[f, s] = ∫ +∞ 0 f(t)ts−1dt = ∫ +∞ 0 f(t)e(s−1) ln tdt. Bằng phép đổi biến, đặt t = e−x, dt = −e−xdx. Khi t : 0 7→ +∞ thì x : +∞ 7→ −∞, ta thu được M[f, s] = ∫ +∞ 0 f(t)e(s−1) ln tdt = ∫ −∞ +∞ f(e−x)e−(s−1)xe−xdx = ∫ +∞ −∞ f(e−x)e−sxdx. (2.3.1) Từ công thức (2.3.1), ta đặt s = a + 2piiβ, ta thu được M[f, s] = ∫ +∞ −∞ f(e−x)e−axe−i2piβxdx. Cuối cùng, ta được M [ f(t); a + i2piβ ] = F [ f(e−x)e−ax; β ] với F là kí hiệu biểu diễn phép biến đổi Fourier, mà thường được cho bởi công thức F [ f ; β ] = ∫ +∞ −∞ f(−x)e−i2piβxdx. Như vậy, có thể suy ra rằng, với mỗi giá trị Re(s) = a cho trước thuộc vào dải xác định, thì phép biến đổi Mellin của một hàm số có thể biểu diễn được như là một phép biến đổi Fourier. 2.3.3 Biến đổi Mellin của xne−x2/2, n ∈ N Với n = 0 : M [ e−x 2/2; s ] = ∫ +∞ 0 e−x 2/2xs−1dx. Đặt t = x2 2 ⇒ dt = xdx ⇒ dx = dt x = dt√ 2t = (2t)−1/2dt. 27 Khi x : 0 7→ +∞ thì t : 0 7→ +∞ Vậy ta có M [ e−x 2/2; s ] = ∫ +∞ 0 e−x 2/2 xs−1dx = ∫ +∞ 0 e−t (2t) s−1 2 (2t)− 1 2dt