Khóa luận Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10

định D; ( )f x được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D ta có –x cũng thuộc D và ( ) ( )f x f x   . Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 37 Phân tích sư phạm Xây dựng mô hình để giúp học sinh khảo sát các tính chất của hàm số lẻ là thực sự cần thiết với học sinh lớp 10. Hàm số lẻ dạng y = ax là hàm số duy nhất mà học sinh lớp 10 có thể vẽ được đồ thị và khẳng định tích chất hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Tuy nhiên những hàm số lẻ có bậc ba trở lên, học sinh chưa thể vẽ được đồ thị nên còn mơ hồ về tính chất này.  Năng lực tư duy và suy luận: Nhiều học sinh sẽ đặt ra câu hỏi: liệu mọi hàm số bậc lẻ có tính chất đó hay không? Làm thế nào ta biết được điều đó là đúng khi ta không vẽ được đồ thị? Mô hình này sẽ giải quyết thắc mắc trên của học sinh.  Năng lực giao tiếp: Học sinh hiểu được tính chất này khi học sinh thu nhận từ giáo viên. 2.2. Phương trình và hệ phương trình 2.2.1. Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (*)  Mở file kl | 8. gsp Hình 9. Phương trình ax2 + bx + c = 0 Trên trang hình là đồ thị của hàm số ( )f x = ax2 + bx + c trong hệ trục tọa độ, các tham số a, b, c có thể thay đổi giá trị khi kéo rê các đầu mút thanh trượt, nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = ( )f x = ax2 + bx+ c với trục hoành. 38 Hãy kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c quan sát hình dạng của đồ thị, sự tương giao của đồ thị với trục hoành khi a, b, c thay đổi, mối liên hệ giữa biệt thức 2 4b ac   của phương trình (*) và sự tương giao của đồ thị với trục hoành, sau đó trả lời câu hỏi sau đây: H? Với các giá trị nào của a, b, c thì: 1. Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành? 2. Đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành? 3. Đồ thị hàm số có hai điểm chung với trục hoành? 4. Đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên? 5. Đồ thị hàm số quay bề lõm xuống dưới? 6. Đồ thị hàm số trở thành đường thẳng ? Nhấn các nút Delta > 0, Delta = 0, Delta < 0, a = 0 để dễ nhận xét trong các trường hợp 7. Ghi kết quả quan sát vào bảng sau ở những chỗ trống. Phương trình ax2 + bx + c = 0 (*), 2 4b ac   1. a = 0: phương trình (*) trở thành phương trình:…………………….. 2. 0a  : Khi 0  : (*)………………………………………………………….. Khi 0  : (*)………………………………………………………….. Khi 0  : (*)………………………………………………………….. Trả lời của học sinh 1. Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn 2 4b ac   < 0 thì đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành. 2. Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn 2 4b ac   = 0 thì đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành. 3. Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn 2 4b ac   > 0 thì đồ thị hàm số có hai điểm chung với trục hoành. 4. Khi a > 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên. 5. Khi a < 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm xuống dưới. 6. Khi a = 0 thì đồ thị hàm số trở thành đường thẳng. 39 7. Phân tích sư phạm  Từ câu hỏi 1 đến câu hỏi 6 giúp học sinh tái tạo lại các tính chất quen thuộc của hàm số bậc hai.  Câu hỏi 7 đòi hỏi sự suy luận, liên kết các kiến thức học sinh thu nhận được từ câu hỏi 1 đến câu hỏi 6. H? Dùng đồ thị để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2x2 – 4x + 3 = m (1)  Mở file kl | 9. gsp, quan sát mô hình Trên trang hình có hai đồ thị của hai hàm số y = ( )f x = 2x2 – 4x + 3 và ( )y g x m  , số nghiệm của phương trình 2x2 – 4x + 3 = m là số giao điểm của hai đồ thị hàm số ( )y f x và y = g(x) Nhấn chuột vào giao điểm của đường thẳng y = m và trục tung, rê điểm này lên trên hoặc xuống dưới, quan sát sự tương giao của đồ thị ( )y f x và y = g(x). Hình 10. Biện luận H? Với giá trị nào của m thì phương trình (1) vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm? (nhấn nút nghiemkep để dễ quan sát). Phương trình ax2 + bx + c = 0 (*), 2 4b ac   1. a = 0: phương trình (*) trở thành phương trình: bx + c = 0 2. 0a  : Khi 0  : (*) có hai nghiệm (phân biệt) 1 2,2 2 b bx x a a        Khi 0  : (*) có một nghiệm kép 2 bx a   Khi 0  : (*) vô nghiệm 40 Trả lời của học sinh Khi m < 1: phương trình (1) vô nghiệm Khi m = 1: phương trình (1) có một nghiệm Khi m > 1: phương trình (1) có hai nghiệm. Phân tích sư phạm Bài toán này đưa ra với mục đích giúp học sinh vận dụng kết quả về giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0. Học sinh thể hiện các năng lực toán:  Mô hình hóa: Chuyển thể bài toán biện luận phương trình về bài toán tìm số giao điểm của hai đường bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động, giao tiếp với các kết quả có được từ các thao tác trên mô hình.  Giao tiếp: Trình các kết quả có được dưới dạng ngôn ngữ nói hay viết.  Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Học sinh làm quen với các thao tác trên máy tính và thu nhận các kết quả một các nhanh chóng. 2.2.2. Định lý Viet và ứng dụng  Mở file kl | 10. gsp Cho hàm số y = x2 – Sx + P, nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 – Sx + P với trục hoành. * Thay đổi các số S, P sao cho: 0, 0P S  và 0  * Thay đổi các số S, P sao cho: 0, 0P S  và 0  * Thay đổi các số S, P sao cho: 0P  và S tùy ý. Hình 11. Định lý Viet Quan sát và trả lời các câu hỏi sau: + Nhận xét về số nghiệm của phương trình (*) và dấu của các nghiệm trong 3 trường hợp trên (chú ý đến vị trí của gốc tọa độ O với 2 nghiệm x1, x2). + Với điều kiện nào của P thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu? 41 + Với P > 0 và S > 0 ta có thể kết luận phương trình (*) luôn có hai nghiệm dương hay không? + Với P > 0 và S < 0 ta có thể kết luận phương trình (*) luôn có hai nghiệm âm hay không? Kết luận Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (1) có hai nghiệm x1, x2 với giả thiết rằng x1 < x2. Ký hiệu bS a   và cP a  Khi đó: + Nếu P < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu + Nếu P > 0 và S > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương + Nếu P > 0 và S < 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm âm. Phân tích sư phạm Đây là mô hình được thiết kế và cho học sinh khá nhiều thuận lợi trong việc đưa ra các kết luận với ba trường hợp chỉ với một mô hình; học sinh có thể rút ra các kết luận một cách nhanh chóng. Khi làm việc với mô hình này, học sinh thể hiện các năng lực toán sau đây:  Giao tiếp: Từ kết quả thu được sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình, học sinh trình bày cách hiểu của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả của nó.  Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Khả năng sử dụng phần mềm GSP, thực hiện một số thao tác đơn giản và tự rút ra các kết luận cho mình. 2.2.3. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ' ' ' ax by c a x b c        (I) ( 2 2 '2 '20, 0b a ba     ) 42  Mở file kl | 11. gsp Giả sử (d) là đường thẳng ax by c  (nét đậm) và (d’) là đường thẳng ' ' 'a x b y c  (nét nhạt) Các tham số a, b, c, a’, b’, c’ có thể thay đổi giá trị. H? 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp: Hình 12. Hệ phương trình bậc nhất một ẩn + Hệ (I) có nghiệm duy nhất? + Hệ (I) vô nghiệm? + Hệ (I) có vô số nghiệm? 2. Kéo rê các thanh trượt tham số sao cho các đường thẳng có các vị trí tương đối khác nhau, quan sát sự thay đổi các giá trị D, Dx, Dy và trả lời câu hỏi sau: + Với các giá trị nào của D, Dx, Dy thì hệ (I) có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, có vô số nghiệm? (Có thể kích các nút cat, ssong, trung để dễ nhận xét). + Hoàn thành bảng sau bằng cách điền vào chỗ trống Cho hệ phương trình ' ' ' ax by c a x b c        (I) ( 2 2 '2 '20, 0b a ba     ) 1. 0D  : Hệ có một nghiệm duy nhất (x; y), với ; yx DD y D D x  2. D = 0 * 0xD  hoặc 0yD  : Hệ………………………………………………. * 0x yD D  : Hệ……………………………………………………….. 43 Trả lời của học sinh 1. + Hệ (I) có nghiệm duy nhất (d) và (d’) cắt nhau + Hệ (I) vô nghiệm  (d) và (d’) song song + Hệ (I) có vô số nghiệm  (d) và (d’) trùng nhau 2. Cho hệ phương trình ' ' ' ax by c a x b c        (I) ( 2 2 '2 '20, 0b a ba     ) 1. 0D  : Hệ có một nghiệm duy nhất (x; y), với ; yx DD y D D x  2. D = 0 * 0xD  hoặc 0yD  : Hệ vô nghiệm. * 0x yD D  : Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm hệ là tập nghiệm của phương trình ax + by = c. Phân tích sư phạm Từ các thao tác trên mô hình, học sinh biện luận nghiệm của hệ phương trình đã cho. Để rút ra các kết luận trong bảng, học sinh phải liên kết câu trả lời của câu hỏi 1 và những gì rút ra được từ các thao tác trên mô hình.  Giao tiếp: Từ kết quả thu được sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình, học sinh trình bày cách hiểu của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả.  Biểu diễn: Giải thích và phân biệt khác nhau của các biểu diễn của hai đường thẳng trong các trường hợp song song, cắt nhau và trùng nhau.  Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Khả năng sử dụng phần mềm GSP, thực hiện một số thao tác đơn giản và tự rút ra các kết luận cho mình. 44 2.3. Bất đẳng thức và bất phương trình 2.3.1. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Hệ quả: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau  Mở file kl | 12. gsp Hình 13. Hệ quả BĐT Côsi Cho đoạn thẳng AB, điểm C di động trên AB, AC = a, CB = b. Vẽ hình chữ nhật có hai cạnh có độ dài là a, b. + Chọn A, C. Áp dụng Measure| Distance để có độ dài đoạn AC = a. + Chọn B, C. Áp dụng Measure| Distance để có độ dài đoạn BC = b. + Chọn a,b. Áp dụng Measure| Calculate để tính diện tích hình chữ nhật S ab . Kéo rê điểm C, quan sát diện tích của hình chữ nhật và trả lời các câu hỏi sau: 1. Diện tích của hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi C tiến đến A? 2. Diện tích của hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi C tiến đến B? 3. Diện tích của hình chữ nhật sẽ đạt cực đại khi nào? Nhấn nút lệnh cucdai để dễ quan sát. 4. Từ đó rút ra kết luận, nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi nào? Trả lời của học sinh 1. Diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm dần khi C tiến đến A. 2. Diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm dần khi C tiến đến B. 45 3. Diện tích của hình chữ nhật sẽ đạt cực đại a = b. 4. Kết luận: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Phân tích sư phạm Với phương diện sử dụng mô hình động giúp học hệ quả Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau sẽ giúp học sinh thể hiện các năng lực toán sau đây:  Suy luận: Để rút ra được kết luận, học sinh phải liên kết các câu trả lời của câu hỏi 1, 2, 3. Bằng những suy luận toán đơn giản học sinh biết được rằng diện tích của hình chữ nhật sẽ lớn nhất khi nào và tại sao?  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Thực hiện các tính toán trên GSP, các thao tác trên mô hình. Bài tập ứng dụng Có 16 mét lưới, cần khoanh một cái chuồng nuôi gà hình chữ nhật mà một cạnh là tận dụng tường nhà. Hỏi kích thước của chuồng là bao nhiêu để được diện tích khoanh là lớn nhất?  Mở file kl | 13. gsp Kéo rê điểm C, quan sát diện tích, chu vi của chuồng thay đổi và trả lời các câu hỏi sau: 1. Chu vi chuồng có thay đổi không? 2. Viết biểu thức tính chu vi của chuồng theo a, b? 3. Viết biểu thức tính diện tích của chuồng? Hình 14. Ứng dụng hệ quả BĐT Côsi Diện tích của chuồng đạt cực đại khi nào? 46 Trả lời của học sinh Ta có chu vi của chuồng không thay đổi Trong trường hợp này ta có 2a + b = 16 Do đó, diện tích của chuồng S = ab đạt cực đại khi 2a = b Khi đó: 2a + 2a = 16 4, 8a b   Diện tích của chuồng đạt cực đại là S = ab = 32 m2 Phân tích sư phạm Đây là bài toán thực tế giúp học sinh vận dụng hệ quả ở trên. Nhiều học sinh nghĩ rằng, hình có tổng hai cạnh không đổi nên diện tích của chuồng sẽ lớn nhất khi hai cạnh đó bằng nhau, thực tế với bài toán này suy luận đó không đúng. Để giải quyết câu hỏi 3, học sinh phải liên kết các câu trả lời câu hỏi 1, 2, kết luận của hệ quả và bằng những suy luận toán. Rào chuồng nuôi gà có tận dụng một cạnh của tường nhà nên có 2 16a b  chứ không phải 2( ) 16a b  , học sinh suy luận được điều này thì sẽ giải quyết tốt câu hỏi này. 2.3.2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai  Mở file kl | 14. gsp, quan sát mô hình Hình 15. Tam thức bậc hai H? 1. Nhận xét mối quan hệ về dấu của f(x) và hệ số a trong các trường hợp và hoàn thành bảng sau: 47  x 2( )f x ax bx c   0  Với mọi x 0  Với mọi 2 bx a  ( )f x có hai nghiệm 1 2x x Với mọi x ngoài đoạn 1 2;x x   0  Với mọi x trong khoảng  1 2;x x 2. Khảo sát mối quan hệ của các đồ thị khi: hệ số a thay đổi; hệ số b thay đổi; hệ số c thay đổi? 3. Nêu điều kiện cần và đủ để tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c   luôn dương? 4. Nêu điều kiện cần và đủ để tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c   luôn âm? Kết quả thực nghiệm 1. 2. Sự thay đổi của đồ thị 48 3. 4. Phân tích sư phạm Học sinh thực hiện các thao tác kéo rê các thanh trượt a, b, c và tìm được mối quan hệ về dấu của ( )f x và hệ số a trong các trường hợp khá dễ dàng. Một điều khá thuận lợi ở đây là chỉ với 1 mô hình có thể giúp học sinh khảo sát được mối quan hệ về dấu của ( )f x và hệ số a trong tất cả trường hợp. Câu hỏi này giúp học sinh khám phá những điều mới, nếu không có mô hình động thì học sinh không nhận xét được sự thay đổi của đồ thị khi các hệ số a, b, c thay đổi. Qua các thao tác học sinh thể hiện các năng lực toán sau:  Suy luận: Để rút ra được kết luận, học sinh phải liên kết những gì quan sát được từ các thao tác trên mô hình. Bằng những suy luận toán đơn giản học sinh rút ra định lý về dấu tam thức bậc hai  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay viết.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác kéo rê các thanh trượt a, b, c, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức. Bài tập ứng dụng Cho đa thức 2( ) (2 ) 2 1f x m x x    . 1. Với giá trị nào của m thì đa thức 2( ) (2 ) 2 1f x m x x    luôn dương? 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị giao với trục hoành tại một điểm? 49 3. Khi nào thì parabol đã cho biến thành đường thẳng? 4. Kéo rê thanh trượt hệ số m như thế nào thì đồ thị của hàm số f(x) luôn nằm phía trên trục hoành?  Mở file kl | 15. gsp, thực hiện các thao tác trên mô hình và trả lời các câu hỏi đưa ra ở trên Hình 16. Áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai Trả lời của học sinh 1. Khi m < 1 2. Khi m = 1 3. Khi m = 2 4. Kéo rê m sao cho m < 1 thì đồ thị hàm số ( )f x luôn nằm phía trên trục hoành. Phân tích sư phạm Đây là ví dụ giúp học sinh áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai. Giải quyết bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động giúp học sinh tìm ra kết quả một cách nhanh chóng. 2.3.3. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Định lý Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình 0ax by c   , nửa mặt 50 phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình 0ax by c   .  Mở file kl | 16. gsp Trên trang hình là đường thẳng d: ax + by + c = 0 + Điểm M tùy ý có gán thêm tọa độ (x, y) thay đổi khi M di chuyển. + Các hệ số a, b, c có thể thay đổi giá trị bằng cách kích chuột vào hệ số muốn thay đổi rồi nhấn phím (+) để tăng và nhấn phím (–) để giảm hệ số đó. Hình 17. BPT bậc nhất hai ẩn Kéo rê điểm M về bên phải, bên trái và lên đường thẳng để quan sát giá trị ax + by + c dương, âm, bằng 0 trên những miền nào. Trả lời những câu hỏi sau: 1. Đường thẳng ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền. Trên mỗi miền dấu của giá trị ax + by + c thay đổi như thế nào? 2. Trên đường thẳng thì giá trị ax + by + c bằng bao nhiêu? 3. Thay đổi các giá trị a, b, c để kiểm tra các kết luận ở câu hỏi 1, 2 có còn đúng không? Từ đó đi đến kết quả Trả lời của học sinh 1. Đường thẳng ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền. Một miền giá trị ax + by + c dương và một miền giá trị của ax + by + c âm. 2. Trên đường thẳng thì giá trị của ax + by + c = 0. 3. Kết quả trên đúng với mọi a, b, c. 51 Phân tích sư phạm Học sinh thể hiện các năng lực toán sau  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết qủa sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình.  Tư duy và suy luận: Từ việc trả lời các câu hỏi 1 và 2 đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy và suy luận để rút ra kết luận: Nếu 0 0; )( yx là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (hay ax + by + c < 0) thì nữa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm 0 0; )( yM x chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức.  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết. Bài toán thực tế Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 90 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 70 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó. b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu thị T theo x và y. c) Ở câu a), ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại (x0; y0) với (x0; y0) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là nhỏ nhất? 52 Trả lời của học sinh Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn. Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn điều kiện: 0 1,6x  ; 0 1,1y  Khi đó, số đơn vị prôtêin có được là 800x + 600y và số đơn vị lipit có được là 200x + 400y. Vì gia đình cần có ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: 800 600 900x y  và 200 400 400x y  Hay gọn hơn: 4 3 4,5x y  và 2 2x y  Vậy các điều kiện mà x và y cần thỏa mãn là: 0 1,6 0 1,1 4 3 4,5 2 2 x y x y x y                (I) Học sinh xác định miền nghiệm của hệ phương trình (I)  Mở file kl | 17. gsp Hình 18. Bài toán dinh dưỡng Ta có miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên) Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T = 90x + 70y (nghìn đồng) Ta đã biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD 53 + Chọn các đỉnh A, B, C, D. Áp dụng Construct| Quadrilateral Interior để có miền trong của đa giác. + Chọn miền trong đa giác. Áp dụng Construct| Point on Quadrilateral để lấy một điểm di động trên biên của đa giác. + Nhấn các nút M A , M B , M C , M D để tìm (x; y) sao cho T nhỏ nhất. Phân tích sư phạm Đây là một bài toán thực tế áp dụng định lý trên. Giải quyết bài toán bằng cách sử dụng BDTQĐ sẽ giúp học sinh giảm các tính toán, làm quen với các thao tác đơn giản dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Qua bài toán này, học sinh thể hiện các năng lực toán sau:  Biểu diễn: Để làm được bài toán này, học sinh phải chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành biểu diễn toán học.  Mô hình hóa: Chuyển đổi ngôn ngữ ký hiệu về dạng biểu diễn trực quan đề xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.  Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu và các phép toán: Sử dụng các các biểu diễn ký hiệu để tìm nghiệm của BPT, thao tác với các bất phương trình đơn giản.  Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Biết sử dụng phương tiện hỗ trợ. 2.4. Góc lượng giác và công thức lượng giác 2.4.1. Tương ứng giữa một điểm trên đường thẳng với một điểm trên đường tròn  Mở file kl | 18. gsp Hình 19. Tương ứng điểm 54 Cho đường tròn lượng giác tâm O, điểm gốc A. Kích đúp chuột vào x để thay đổi các giá trị của x, kích nút lệnh cuonlai, quan sát và trả lời các câu hỏi sau: Với điểm x đã cho trên đường thẳng, cho tương ứng bao nhiêu điểm trên đường tròn? Thay đổi các giá trị của x và kiểm tra nhận xét trên có đúng không? Cho x các giá trị có dạng k2 và (2k + 1) , các điểm đó trùng với điểm nào trên đường tròn lượng giác? Lấy một điểm tùy ý trên khoảng (0; ) , x là số thực biểu thị điểm đó, khi cuốn lại sẽ đến trùng với điển M trên đường tròn lượng giác. Chọn A, M, đường tròn (C). Áp dụng Measure | Arc Angle để đo độ dài cung ¼AM . So sánh số đo đó với x? Trả lời của học sinh + Ứng với mỗi số thực có một điểm trên đường tròn lượng giác. + Các điểm trên trục số At có tọa độ k2 ( k Z ) đến trùng với điểm A khi quấn dây At quanh đường trong lượng giác. + Các điểm trên trục số At có tọa độ (k2 + 1) ( k Z ) đến trùng với điểm A’ khi quấn dây At quanh đường trong lượng giác. Phân tích sư phạm Qua các thao tác giúp học sinh thể hiện các năng năng lực sau:  Lập luận: Để rút ra được kết luận, học sinh phải liên kết những gì quan sát được từ các thao tác. Bằng những suy luận toán đơn giản học sinh rút ra: - Ứng với mỗi điểm trên đường thẳng cho tương ứng với một điểm duy nhất trên đường tròn - Ứng với mỗi điểm trên đường trong cho tương ứng vô số điểm trên đường thẳng  Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết.  Tư duy và suy luận: Học sinh đặt các câu hỏi ứng với mỗi điểm trên đường thẳng cho tương ứng duy nhất một điểm trên dường tròn, điều ngược 55 lại có đúng không? Thông qua các thao tác với mô hình, học sinh giải quyết được câu hỏi này.  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết quả của nó.  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức. 2.4.2. Giá trị lượng giác sin và cos  Mở file kl | 19. gsp Vẽ đường tròn lượng giác tâm O, điểm gốc A trùng với điểm đơn vị của hệ tọađộ Oxy. Góc lượng giác (Ox, Oy) là góc 2  , điểm M di động trên (O) có sđ ( , )OA OM  . Gọi tọa độ của M trong hệ tọa độ Oxy là (x; y). Kéo rê điểm M để thấy tọa độ của nó thay đổi theo  , quan sát và trả lời câu hỏi sau: Hình 20. Giá trị lượng giác 1. Khi M ở góc phần tư thứ nhất, trong tam giác vuông OHM hãy tính os , sinc   . So sánh chúng với hoành độ, tung độ của M? 2. Khi M ở góc phần tư thứ hai, nhận xét ở câu hỏi 1 còn đúng không? 3. Kéo rê M đến vị trí để sin = 0, khi đó osc  bằng bao nhiêu? 4. Kéo rê M đến vị trí để os 0c   , khi đó sin bằng bao nhiêu? Trả lời của học sinh + Hoành độ x của M bằng osc  , tung độ y của điểm M bằng sin + Khi sin 0  thì os 1, os 1cc     + Khi os 0c   thì sin 1, sin 1    56 Phân tích sư phạm Mô hình này giúp học sinh khám phá những kiến thức liên quan đến các giá trị lượng giác sin và cos. Giúp học sinh nâng cao các năng lực sau:  Giao tiếp: Giải thích các kết quả thu nhận được và trình bày kết luận theo ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết, sau chuyển đổi thành ngôn ngũ ký hiệu.  Tư duy và suy luận: Học sinh đặt các câu hỏi khi sin 0  thì os 1, os 1cc     và khi os 0c   thì sin 1, sin 1    , liệu có biểu thức liên hệ gì giữa sin và cos hay không? Bằng suy luận của mình học sinh có thể trả lời cho câu hỏi đó là 2 2sin cos 1   .  Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết qủa của nó.  Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức. 3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những mô hình động về đại số như thế nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt hiệu cao trong giảng dạy và học tập? Thông qua thực nghiệm cho thấy, chúng tôi đã đạt được hiệu quả trong giờ học. Chúng tôi đã xây dựng các biểu diễn động hướng tới các vấn đề cơ bản sa