Khóa luận Sự khúc xạ ánh sáng trong môi trường chiết suất biến đổi

phân loại một số dạng bài tập cơ bản của hiện tƣợng khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng chiết suất biến đổi. - Nêu cách giải và rút ra kết luận. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu:  Hiện tƣợng khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng có chiết suất biến đổi.  Một số dạng bài tập và cách giải. - Phạm vi nghiên cứu: Sự khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng có chiết suất biến đổi. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Hoàn thiện một cách có hệ thống và chi tiết hơn về hiện tƣợng khúc xạ ánh sáng. Do đó, có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Tra cứu tài liệu. - Tổng hơp, phân loại và giải các bài tập. 7. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm các nội dung sau: CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT. 3 CHƢƠNG 2: CÁC HIỆN TƢỢNG KHÚC XẠ ÁNH SÁNG TRONG TỰ NHIÊN. CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÚC XẠ ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƢỜNG CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI. 4 NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1. Chiết suất của môi trƣờng 1.1.1. Chiết suất tuyệt đối Chiết suất tuyệt đối (hay chiết suất) của một môi trƣờng là đại lƣợng vật lí đƣợc xác định bằng biểu thức: c n v  (1.1) Trong đó: n: chiết suất của môi trƣờng c = 3.10 8 (m/s): tốc độ ánh sáng trong chân không v: tốc độ truyền ánh sáng trong môi trƣờng đang xét Chiết suất tuyệt đối cho biết vận tốc truyền ánh sáng trong môi trƣờng đó nhỏ hơn vận tốc truyền ánh sáng trong chân không bao nhiêu lần. Vì vận tốc truyền ánh sáng trong các môi trƣờng đều nhỏ hơn vận tốc truyền ánh sáng trong chân không nên chiết suất tuyệt đối của các môi trƣờng luôn lớn hơn 1. Bảng 1.1 dƣới đây cho biết chiết suất của một số môi trƣờng xác định đối với ánh sáng vàng do natri phát ra. Bảng 1.1 Chiết suất của một số môi trường xác định đối với ánh sáng vàng do natri phát ra Chất rắn (20 0 C) Chiết suất Chất lỏng (20 0 C) Chiết suất Kim cƣơng 2,419 Nƣớc 1,333 Thủy tinh crao 1,464 1,532 Benzen 1,501 Nƣớc đá 1,309 Glixerol 1,473 Muối ăn 1,544 Chất khí (0 0 C, 1atm) Chiết suất Hổ phách 1,546 Polistiren 1.590 Không khí 1,000293 Xaphia 1,768 Khí cacbonic 1,00045 5 1.1.2. Chiết suất tỉ đối Chiết suất tỉ đối giữa hai môi trƣờng bất kì là tỉ số chiết suất tuyệt đối của hai môi trƣờng đó và đƣợc xác định bằng biểu thức: 2 21 1 n n n  (1.2) Trong đó: n21: chiết suất tỉ đối của môi trƣờng 2 đối với môi trƣờng 1. n1: chiết suất tuyệt đối của môi trƣờng 1. n2: chiết suất tuyệt đối của môi trƣờng 2. Mặt khác ta có c n v  nên 2 1 21 1 2 n v n n v   (1.3) Từ (1.3) ta có cách phát biểu khác về chiết suất tỉ đối: chiết suất tỉ đối của môi trường 2 đối với môi trường một chính là tỉ số giữa vận tốc truyền ánh sáng trong môi trường 1 và vận tốc truyền ánh sáng trong môi trường 2. 1.2. Các định luật cơ bản của quang hình học 1.2.1. Định luật truyền thẳng của ánh sáng Trong một môi trƣờng trong suốt, đồng tính và đẳng hƣớng các tia sáng truyền theo đƣờng thẳng. + Đẳng hƣớng: tính chất vật lí theo các phƣơng khác nhau là nhƣ nhau. + Đồng tính (đồng nhất): mọi điểm trong không gian không phân biệt nhau, tƣơng đƣơng với nhau về mặt vật lí. 1.2.2. Định luật phản xạ và khúc xạ ánh sáng Xét một tia sáng SI đi từ môi trƣờng có chiết suất n1 đến mặt phân cách giữa hai môi trƣờng trong suốt có chiết suất n1 và n2 , khi đó một phần ánh sáng bị phản xạ trở lại môi trƣờng cũ (chiết suất n1) và phần còn lại thì bị khúc xạ khi đi vào môi trƣờng thứ hai (chiết suất n2), hiện tƣợng đƣợc biểu thị trên hình 1.1 6 Tia phản xạ và khúc xạ sẽ tuân theo các định luật phản xạ và khúc xạ tƣơng ứng dƣới đây. * Định luật phản xạ ánh sáng  Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới (mặt phẳng chứa chia tới và pháp tuyến vẽ tại điểm tới) và ở phía bên kia pháp tuyến so với tia tới  Góc phản xạ bằng góc tới i=i’. * Định luật khúc xạ ánh sáng  Tia khúc xạ nằm trong mặt phẳng tới và ở phía bên kia pháp tuyến so với tia tới.  Với hai môi trƣờng trong suốt nhất định, tỉ số giữa sin góc tới i và sin góc khúc xạ r là một đại lƣợng không đổi: sin sin i const r  (1.4) Giá trị của hằng số trong công thức (1.4) chính là chiết suất tỉ đối của môi trƣờng chứa tia khúc xạ (n2) và môi trƣờng chứa tia tới (n1). 2 21 1 sin sinr i n n n   (1.5) Pháp tuyến Môi trƣờng 1 Môi trƣờng 2 n1 n2 Tia tới Tia khúc xạ i r i’ Tia phản xạ Hình 1.1 S I n1 < n2 7 1.2.3. Hiện tượng phản xạ toàn phần * Hiện tƣợng phản xạ toàn phần là hiện tƣợng phản xạ lại toàn bộ tia sáng tới mặt phân cách giữa hai môi trƣờng trong suốt khi ánh sáng truyền từ môi trƣờng chiết quang hơn sang môi trƣờng kém chiết quang hơn. * Cơ chế: Khi ánh sáng đi từ môi trƣờng chiết quang hơn sang môi trƣờng chiết quang kém n1 > n2, theo định luật khúc xạ thì góc khúc xạ r lớn hơn góc tới i, tia khúc xạ lệch xa pháp tuyến hơn (Hình 1.2) Khi tăng i thì r tăng, i tăng đến giá trị igh nào đó thì r = 90 0 , lúc này tia khúc xạ đi là là mặt phân cách. Tiếp tục tăng i (i>igh) thì khi đó không có tia khúc xạ mà toàn bộ tia sáng bị phản xạ trở lại môi trƣờng cũ, hiện tƣợng nhƣ vậy đƣợc gọi là hiện tƣợng phản xạ toàn phần. Góc igh đƣợc gọi là góc giới hạn phản xạ toàn phần. Giá trị của igh có thể xác định từ định luật khúc xạ khi cho r = 90 0 2 2 0 1 1 sin sin sin90    gh gh i n n i n n (1.6) * Điều kiện xảy ra hiện tƣợng phản xạ toàn phần n1 n2 Tia tới Tia khúc xạ i r i’ Hình 1.2 S I n 1 > n 2 Tia phản xạ 8  Ánh sáng truyền từ môi trƣờng chiết quang hơn sang môi trƣờng chiết quang kém hơn.  Góc tới lớn hơn góc giới hạn phản xạ toàn phần ghi i với 2 1 sin gh n i n  1.2.4. Nguyên lý Fermat Nội dung: Ánh sáng truyền từ điểm A tới điểm B theo con đƣờng đòi hỏi thời gian ngắn nhất. Về mặt toán học, ta có thể biểu diễn nguyên lý Fermat dƣới dạng: Ta có:    B B A A ds nds t v c (1.7) Do đó: 0 0 B A dL t c     (1.8) với L = ns là quang trình của tia sáng AB trong môi trƣờng chiết suất n Xét về phƣơng diện toán học, khi đạo hàm bậc nhất của hàm số triệt tiêu thì hàm số có thể qua một cực đại, cực tiểu hoặc không đổi. Do đó nguyên lý Fermat còn đƣợc phát biểu cách khác: “Giữa hai điểm A và B ánh sáng sẽ truyền theo con đường nào mà quang trình là cực trị”. 1.3. Sự áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng chiết suất biến đổi Trên thực tế rất khó có một môi trƣờng trong suốt đồng nhất và có chiết suất không thay đổi mà chiết suất của môi trƣờng có thể thay đổi theo những điều kiện khác nhau. Chẳng hạn, chiết suất của môi trƣờng có thể bị biến đổi theo nhiệt độ, mật độ môi trƣờng, độ cao của khối khí,... Giả sử có một tia sáng đơn sắc truyền trong một môi trƣờng chiết suất biến đổi liên tục dọc theo trục Oy. Ta tƣởng tƣợng chia môi trƣờng thành các lớp rất mỏng bằng các mặt phẳng vuông góc với Oy sao cho có thể coi nhƣ 9 trong các lớp mỏng đó chiết suất nk là không thay đổi. Gọi ik là góc tới của tia sáng tại mặt phân cách giữa hai lớp môi trƣờng có chiết suất nk và nk+1. Áp dụng định luật khúc xạ cho hai lớp môi trƣờng liền kề ta có: 1 1 2 2 k kn sin i n sin i ... n sin i const    (1.9) Qua đây chúng ta thấy, khi ánh sáng truyền trong một môi trƣờng trong suốt có chiết suất thay đổi liên tục thì tia khúc xạ bị lệch dần so với tia tới. Kết quả là đƣờng truyền của ánh sáng sẽ có dạng một đƣờng cong. * Hệ số góc tiếp tuyến của đường cong tia sáng Nhƣ đã phân tích ở trên, khi chiết suất của môi trƣờng biến đổi thì đƣờng truyền của tia sáng có dạng một đƣờng cong, ta sẽ tìm hệ số góc tiếp tuyến của đƣờng cong đó. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) của đồ thị hàm số y = f(x) đƣợc xác định bằng biểu thức: 0 0 x x dy tan f '(x ) dx     (1.10) Trong đó α là góc giữa tiếp tuyến tại M và trục hoành Ox (hình 1.4). Hình 1.3 i1 i 2 i 3 n3 n 2 n 1 y O y x M(x0, y0) O α Hình 1.4 10 CHƢƠNG 2 CÁC HIỆN TƢỢNG KHÚC XẠ TRONG TỰ NHIÊN 2.1. Một số hiện tƣợng khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng chiết suất không đổi 2.1.1.Các vật bị gãy khúc tại mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt Trong cuộc sống, chúng ta thƣờng bắt gặp hình ảnh chiếc đũa hay chiếc bút chì nhƣ bị gãy khúc khi đặt nó vào trong cốc nƣớc hay hình ảnh của một con cá trong bể đƣợc nhân lên thành nhiều con cá tƣơng tự, , hình ảnh cụ thể đƣợc miêu tả trong hình bên dƣới: Các hiện tƣợng này đều có thể giải thích bằng sự khúc xạ ánh sáng. * Giải thích hình ảnh chúng ta quan sát được trong hình 2.1 Xét vật AB đặt trong hai môi trƣờng có chiết suất n1, n2 (n1<n2) nhƣ hình vẽ (hình 2.3). Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3 11 Để mắt ngƣời có thể quan sát đƣợc vật thì tia sáng phải truyền từ vật tới mắt. Mắt và phần OA của vật ở trong cùng môi trƣờng nên ánh sáng từ vật truyền thẳng đến mắt ta mà không bị khúc xạ. Ánh sáng từ phần OB của vật tới mặt phân cách giữa hai môi trƣờng và bị khúc xạ theo hƣớng OI. Khi đó mắt đặt theo hƣớng OI sẽ thấy ảnh OC (là đƣờng kéo dài của tia OI) của OB trong môi trƣờng chiết suất n2. Kết quả: phần ta thấy vật là AOC và vì vậy ta có cảm giác vật bị gãy khúc. * Giải thích hình ảnh chúng ta quan sát được trong hình 2.2 Con cá trong bể nƣớc thực chất đang ở vị trí A. Ánh sáng từ con cá đi đến thành bể bằng thủy tinh (hoặc nhựa trong suốt), bị khúc xạ tại mặt phân cách giữa nƣớc và thành bể, sau đó bị khúc xạ một lần nữa tại mặt phân cách giữa thành bể và không khí và đi đến mắt ta. Sơ đồ đƣờng đi của các tia sáng đƣợc biểu diễn nhƣ hình vẽ 2.4. Vì vậy khi nhìn từ ngoài không khí ta sẽ nhìn thấy ảnh của con cá ở hai vị trí B và C. A B C O Hình 2.4 Mắt O A B C n1 n2 I Hình 2.3 12 2.1.2.Cầu vồng Cầu vồng là hiện tƣợng tự nhiên lí thú mà hầu nhƣ ai trong chúng ta cũng đều từng đƣợc chiêm ngƣỡng. Cầu vồng có bản chất là sự tán sắc ánh sáng Mặt trời do ánh sáng bị khúc xạ và phản xạ qua các giọt nƣớc mƣa. Cầu vồng thực chất là tổng hợp của rất nhiều màu sắc, tuy nhiên chúng ta chỉ có thể quan sát đƣợc 7 màu chính là đỏ, cam, vàng, lục, lam, chàm, tím. * Cơ chế: Ánh sáng Mặt Trời là một sự tổng hợp các ánh sáng đơn sắc hòa trộn vào nhau. Khi ánh sáng Mặt Trời đi vào các giọt nƣớc, các tia sáng bị khúc xạ, bị phản xạ lại và đi ra ngoài. Chiết suất của nƣớc đối với các ánh sáng đơn sắc khác nhau là khác nhau vì vậy các tia ánh sáng với màu sắc khác nhau sẽ bị Hình 2.5 Hình 2.6 13 khúc xạ với các góc khác nhau. Các tia màu đỏ bị lệch ít nhất so với tia tới, sau đó đến các tia màu cam, vàng, xanh lá cây, xanh lam và cuối cùng là tia màu tím bị lệch nhiều nhất. Kết quả tạo thành một dải màu sắc liên tục mà ta quan sát đƣợc gọi là cầu vồng. * Điều kiện để quan sát được cầu vồng Giả sử có một chùm tia sáng xuất phát từ A tới giọt nƣớc có dạng hình tròn tại điểm I, sau các quá trình khúc xạ và phản xạ ở trong giọt nƣớc thì ló ra ngoài theo phƣơng BI’ nhƣ hình 2.7. Góc lệch giữa tia tới và tia ló là: D = 180 0 - 2 Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng tại I ta có:      0 sin 2 sin 2 arcsin sin 180 4 2arcsin sin n n D n                  2 2 2 2 2 cos 4 2 1 sin cos 4 0 4 2 0 sin 31 sin dD n d n dD n n d nn                     Hình 2.7 D 14   2 2 32 2 2 2 sin ( 1) 0 1 sin d D n n d n        Khi 24 sin 3 n n    thì Dmin 2 2 0 0 min 4 4 180 4arcsin 2arcsin 138 3 3 n n D n       Với n = 1,33 là chiết suất của nƣớc thay vào công thức trên ta có   0 max 2 42  Vậy khi quan sát cầu vồng, chúng ta phải đứng quay lƣng với mặt trời và góc lệch lớn nhất giữa hƣớng nhìn của chúng ta với hƣớng ánh sáng Mặt Trời là 420. Khi mặt trời cách đƣờng chân trời trên 420 thì ta sẽ không còn quan sát thấy cầu vồng nữa. Chính vì thế, thời điểm quan sát đƣợc cầu vồng là từ 6 giờ đến khoảng 9 giờ và từ khoảng 15 giờ đến 18 giờ. * Đôi khi quan sát cầu vồng, chúng ta thấy bên ngoài cầu vồng có một dải màu khác mờ hơn cầu vồng nhiều, dải màu này đƣợc gọi là cầu vồng tay vịn. Cầu vồng tay vịn đƣợc tạo thành khi các tia sáng lọt vào bên trong các hạt nƣớc sẽ phản xạ hai lần trƣớc khi khúc xạ ra bên ngoài. Đƣờng truyền của tia sáng đƣợc biểu diễn nhƣ hình sau: 15 Từ sơ đồ trên ta thấy góc lệch giữa tia ló và tia tới là: D = 2 Với:    0 0sin 3 90 sin 90 3 arcsin sinn n            Nên:  02 90 3 arcsin sinD n       0 2 2 180 6 2arcsin sin 2 cos 6 1 sin D n dD n d n               29 0 sin 2 2 dD n d n           22 32 2 2 2 sin 1 0 1 sin n nd D d n        Vậy D đạt giá trị cực tiểu khi 29 sin 2 2 n n    Và 2 2 0 0 min 9 9 180 6arcsin 2arcsin 51 2 2 2 2 n n D n n       Vậy có một cầu vồng bậc hai xuất hiện bên ngoài cầu vồng bậc một, đó là cầu vồng tay vịn. 3𝛽 − 90 𝛽 𝛽 𝛽 90 − 𝛽 180 − 2𝛽 3𝛽 − 90 D Hình 2.8 16 2.2. Một số hiện tƣợng khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng chiết suất biến đổi Vào những ngày trời nắng nóng, đi trên đƣờng chúng ta thấy mặt đƣờng nhựa phía xa bị ƣớt nhƣng khi đến gần thì mặt đƣờng hoàn toàn khô ráo hoặc khi đi trên xa mạc, ngƣời ta cũng thƣờng thấy có hồ nƣớc phía xa nhƣng khi đi tới gần thì lại không thấy có bất kì hồ nƣớc nào. Các hiện tƣợng đó đều là ảo ảnh và là hệ quả của sự khúc xạ ánh sáng trong môi trƣờng chiết suất biến đổi. Cát trên sa mạc hoặc mặt đƣờng nhựa hấp thụ mạnh ánh sáng mặt trời nên lớp không khí càng gần mặt đƣờng càng nóng. Chiết suất của không khí thay đổi theo nhiệt độ, độ cao và mật độ không khí, ... Nhiệt độ càng cao thì chiết suất không khí càng giảm. Vì vậy chiết suất của lớp không khí sát mặt đƣờng nhỏ hơn chiết suất của các lớp không khí phía trên. Ánh sáng từ mặt trời qua các đám mây mang hơi nƣớc và đi qua các lớp không khí sẽ bị bẻ cong do khúc xạ và phản xạ, cuối cùng đi tới mắt ta nên ta nhìn thấy có hồ nƣớc trên mặt cát (hoặc mặt đƣờng nhựa bị ƣớt) nhƣng thực ra đó chỉ là ảnh của các đám mây mang hơi nƣớc mà thôi. Hình 2.9 Mắt 17 Cũng tƣơng tự đối với việc nhìn thấy nhà cửa, làng mạc, tàu thuyền... lơ lửng trên mây, thực ra các hình ảnh này là ảnh của một nơi khác, do ánh sáng từ vật đến mắt ta bị bẻ cong mà tạo thành. Điểm khác biệt đó là sự khúc xạ ánh sáng lúc này xảy ra trên tầng khí quyển chứ không phải dƣới mặt đất. Các lớp không khí trên tầng khí quyển do sự chênh lệch về nhiệt độ, sự phân bố mật độ không khí khác nhau,... mà chiết suất bị biến đổi. Lúc này, chiết suất của các lớp không khí thay đổi liên tục. Chiết suất của lớp không khí phía trên nhỏ hơn chiết suất của lớp không khí phía dƣới. Ánh sáng từ vật khi đến mặt phân cách giữa các lớp không khí sẽ bị khúc xạ rồi bị phản xạ ở một lớp không khí nào đó trên tầng khí quyển và đi đến mắt ta. * Sự sai lệch khi định vị góc nhìn một ngôi sao từ mặt đất Ánh sáng đi từ thiên thể S đến mắt ngƣời quan sát tại O. Do sự khúc xạ ánh sáng qua tầng khí quyển mà ngƣời quan sát thấy ảnh của thiên thể ở vị trí S’ chứ không phải ở vị trí S. Nhƣ vậy hiện tƣợng này đã làm cho khoảng cách thiên đỉnh nhìn thấy 'IS bé hơn khoảng cách thiên đỉnh thực IS , nghĩa là thiên thể đƣợc nâng lên cao hơn so với đƣờng chân trời (hình 2.11). Hình 2.10 Mắt 18 Giải thích: Trái Đất có khí quyển bao quanh, càng lên cao không khí càng loãng, nhiệt độ càng giảm do đó chiết suất của khí cũng giảm. Sự thay đổi của chiết suất làm cho tia sáng từ ngôi sao phát ra khi tới mặt đất không đi theo đƣờng thẳng mà bị bẻ cong. Vị trí của câc ngôi sao khi nhìn từ Trái Đất bị sai lệch ít nhiều vì sự khúc xạ tia sáng trong khí quyển. I S S ’ C O Hình 2.11 ih i 1 ih rn in i1 r1 i2 r2 S S’ O n1 n2 nh nn Hình 2.12 19 Ta đi tính góc lệch  giữa khoảng cách thiên đỉnh thực và khoảng cách thiên đỉnh biểu kiến. Gọi IS là khoảng cách thiên đỉnh thực, góc tƣơng ứng với nó là ih 'IS là khoảng cách thiên đỉnh biểu kiến, góc tƣơng ứng với nó là i1 Ta có: 1hi i   Lớp hn là lớp trên cùng của khí quyển nên ta có thể coi chiết suất bằng 1. Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có: 1 1 2 2sin sin ... sinh hn i n i n i   Mà 1hn   1 1 1 1 1sin sin sin sinhn i i n i i      1 1 1 1sin sin cos cos sinn i i i    (2.1) Thực tế quan trắc chứng tỏ rằng khi khoảng cách thiên đỉnh bé hơn 700 thì sự khúc xạ rất bé và ta có thể lấy sin ,cos 1    Thay vào (2.1) ta có: 1 1 1 1sin cos . sini i n i   1 11 tann i   (rad) Công thức trên áp dụng cho các thiên thể có góc đỉnh bé hơn 700. Nếu các thiên thể ở gần đƣờng chân trời thì công thức trên không còn đúng nữa, góc khúc xạ ở đây biến thiên rất nhanh. Điều này thể hiện rõ khi chúng ta quan sát Mặt Trời hoặc Mặt Trăng lúc mọc và lúc lặn. Lúc ấy mép dƣới của đĩa Mặt Trời hoặc Mặt Trăng đƣợc nâng cao hơn mép trên khoảng 6’ và ta thấy chúng không hoàn toàn tròn. 20 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÚC XẠ ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƢỜNG CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI Dạng 1: Chiết suất thay đổi theo các lớp phẳng Bài 1: Một thùng đựng nƣớc muối có đáy hình vuông cạnh dài 3m. Thành bên của thùng hấp thụ hoàn toàn ánh sáng, đáy thùng bằng thủy tinh có độ dày không đáng kể có thể bỏ qua. Độ sâu của nƣớc trong thùng là 1m. Thùng đƣợc đặt nằm yên trong thời gian dài. Khi đó nồng độ muối trong thùng không đồng đều mà tăng theo chiều sâu nên chiết suất của nƣớc muối trong thùng cũng tăng theo chiều sâu. Giả thiết rằng chiết suất của nƣớc trong thùng ở bề mặt là n0=1,3 và tăng theo chiều sâu với tốc độ tăng α=0,05m -1 . Không khí bao quanh thùng có chiết suất na=1.Một nguồn sáng nhỏ đặt ở tâm của đáy thùng, phát ánh sáng ra mọi hƣớng. a. Xác định điều kiện đối với góc phát ra của tia sáng ở đáy thùng để tia sáng có thể ló ra khỏi mặt nƣớc. b. Phác họa đƣờng đi của tia sáng không thỏa mãn điều kiện đó. 3m h=1m na=1 n 0 =1,3 S Hình 3.1 21 Lời giải: a, Chiết suất của nƣớc muối tăng theo chiều sâu. Nếu chọn trục Oy hƣớng thẳng đứng xuống dƣới, gốc O tại mặt nƣớc thì chiết suất của nƣớc muối tại một vị trí cách O một khoảng y là: 0yn n y  (với n0=1,3 và 0,05  m -1 ) Chiết suất ở đáy thùng là: n1=1,3+0,05.1=1,35 Xét ánh sáng đi từ đáy thùng có chiết suất n1=1,35, phát ra dƣới góc i1 so với phƣơng thẳng đứng. Chia chất lỏng trong thùng ra thành các lớp có độ dày rất nhỏ sao cho có thể coi trong mỗi lớp chiết suất của chất là không đổi. Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có: 1 1 2 2 0 0sin sin ... sinn i n i n i   Với i0 là góc tới tại mặt phân cách giữa nƣớc muối và không khí. Để có tia ló ra ngoài thì i0 < igh với 0 1 sin 1,3 a gh n i n   Do đó ta có: 1 1 0 0 0sin sin sin ghn i n i n i  Hay: 0 1 1 sin sin ghn i i n  → i1 < 47,8 o . n 1 n 2 n 3 i 0 i 1 n 0 i 2 Hình 3.2 22 b, Phác họa đƣờng đi của tia sáng không thỏa mãn điều kiện trên: Nếu i1>47,8 o thì tia sáng từ đáy sẽ bắt đầu xảy ra phản xạ toàn phần ở lớp nào đó cách bề mặt một khoảng y<h, khi đó: 1 1 0sin ( )sin90n i n y  Nghĩa là tia sáng bị phản xạ trở về đáy thùng và không ló ra khỏi mặt nƣớc. Ta có thể phác họa đƣờng đi của tia sáng nhƣ hình 3.3. Bài 2: Xét không khí ở phía trên mặt đƣờng cao tốc dƣới nắng mùa hè. Trên mặt đƣờng nhiệt độ không khí là Th=60 o . Lên cao, nhiệt độ giảm dần, từ độ cao 1m trở lên không khí mát hơn và có nhiệt độ Tc=30oC. Chiết suất n(T) của không khí là một hàm của nhiệt độ và liên quan đến mật độ không khí ρ(T) theo hệ thức: n(T)-1~ ρ(T). Ở đây T là nhiệt độ tuyệt đối của không khí. Giả thiết rằng mật độ không khí tỉ lệ nghịch với nhiệt độ, áp suất không khí nhƣ nhau tại mọi điểm và bằng 1atm. Chiết suất của không khí ở nhiệt độ 15oC và áp suất 1atm là 1,000276. Nếu mắt ngƣời lái xe ô tô cách mặt đƣờng 1,5m thì mặt đƣờng trở nên mờ ảo cách mắt bao xa. Lời giải: Chiết suất không khí là một hàm của nhiệt độ và thay đổi theo độ cao. n(T) - 1~ ρ(T) Theo giả thiết mật độ không khí tỉ lệ nghịch với nhiệt độ ρ(T) ~ 1/T Do đó n(T) – 1 ~ 1/T Hình 3.3 23 Theo đề bài, chiết suất của không khí ở 150C (T15=288K) và p=1atm là 1,000276. Ta có thể tìm đƣợc chiết suất của không khí ở 300C (T30=303K) theo công thức: (30)15 (30) 30 (15) 1 (1,000276 1).288 1 1 303 nT n T n        →n(30)=nc=1,000262 Tƣơng tự ta tính đƣợc chiết suất của không khí ở 600C: n(60)=nh =1,000239 * Ngƣời lái xe ô tô cách mặt đƣờng 1,5m thì mặt đƣờng trở nên mờ ảo cách mắt bao xa: Do chiết suất của khí thay đổi, ánh sáng truyền trong không khí sẽ đi theo đƣờng cong và đi đến mắt ngƣời nhƣ hình vẽ. Hình 3.5 1m Tc, nc Th,n h 0,5m x i N M Mắt Th=60 o T c =30 o Hình 3.4 h=1m nc n h 24 Mắt ngƣời nhìn thấy ảo ảnh ở vị trí cách ngƣời một khoảng x, tia sáng dƣờng nhƣ xuất phát từ bề mặt mặt đƣờng đến mắt. Thực tế tia sáng này đi từ bầu trời nên mặt đƣờng dƣờng nhƣ có màu xanh và trở nên mờ ảo. Áp dụng định luật khúc xạ cho vị trí M và N ta có: nc sin i=nh sin 90 sin90 1,000239 sin 1.000262 h c n i n    → i=89,61o Ta tính đƣợc x=1,5tan i ≈ 220m Bài 3: Xác định sự sai lệch khi định vị góc nhìn một ngôi sao từ mặt đất dƣới góc 45 0 . Biết chiết suất của không khí thay đổi theo độ cao, càng lên cao chiết suất càng giảm và chiết suất khí quyển tại sát mặt đất là n=1,0003. Lời giải: Ta chia khí quyển thành các lớp vô cùng mỏng và coi rằng trong các lớp ấy thì môi trƣờng là đồng nhất (chiết suất không đổi) và ánh sáng đi theo đƣờng thẳng. Gọi: nn là chiết suất của lớp thứ n. in là góc tới mặt phân cách của lớp thứ n và n-1. ih rn in i1 r1 i2 r2 S S’ O n1 n2 nh nn Hình 3.6 25 Gọi hi là khoảng cách thiên đỉnh thực của ngôi sao. 1i là khoảng cách thiên đỉnh biểu kiến của ngôi sao. Vì góc nhìn ngôi sao từ mặt đất là 450 nên i1= 90 0 – 450 = 450 Ta có góc lệch giữa khoảng cách thiên đỉnh thực và khoảng cách thiên đỉnh biểu kiến của ngôi sao là : 1hi i   Lớp hn là lớp trên cùng của khí quyển nên ta có thể coi chiết suất bằng 1. Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có: 1 1 2 2sin sin ... sinh hn i n i n i   Mà 1hn  0 1 1sin sin 1,0003sin45 sinh hn i i i    045,017hi  Vậy: 0 1 0,017hi i    Dạng 2: Chiết suất thay đổi theo các lớp hình cầu Bài 1: Chiết suất của không khí ở nhiệt độ 300K và độ cao ngang mực nƣớc biển với ánh sáng có bƣớc sóng λ nằm giữa vùng phổ nhìn thấy là 1,0003. Giả thiết rằng khí quyển có nhiệt độ đồng đều là 300K và đại lƣợng (n-1) tỉ lệ với mật độ không khí. Hỏi khí quyển của Quả đất phải đậm đặc hơn bao nhiêu lần để ánh sáng bƣớc sóng λ sẽ đi vòng quanh Quả đất ở độ cao ngang mực nƣớc biển. Biết mật độ phân tử khí phụ thuộc vào chiều cao r của khối khí theo công thức: ( ) r R hd r e   (với r là độ cao tính từ tâm Trái Đất và h=8700m). Bán kính Trái đât là R=6400km Lời giải: Theo đề bài, đại lƣợng n(r) – 1 tỉ lệ với mật độ không khí, ta có thể biểu diễn: 26 ( ) 1 r R hn r e     (1) Với ρ là hệ số tỉ lệ liên quan đến mật độ không khí. Nhƣ vậy chiết suất của không khí đƣợc xác định bởi: ( ) 1 r R hn r e     (2) Giả sử không khí có mật độ đủ lớn để ánh sáng đi vòng quanh Quả đất, nghĩa là ánh sáng truyền theo cung tròn tâm O bán kính r, từ điểm A đến điểm B (hình 3.7). Quang trình của tia sáng từ A đến B: L=[AB.n(r)]=n(r).r.θ (3) Theo nguyên lý Fermat, ánh sáng truyền theo con đƣờng mà quang trình là cực trị ( ) 0 ( ) 0 dL dn r r n r dr dr      Suy ra: ( ) ( )dn r n r dr r   (4) Lấy đạo hàm n(r) theo r từ (2) ta đƣợc: ( ) r R h dn r e dr h     (5) Thay (5) vào (4): ( ) r R h n r e r h    (6) Tại mực nƣớc biển: r=R, n(r)=n(R)=1,0003, R=6400.103 thay vào (6) ta đƣợc: 3 1,0003 0,00136 6400.10 8700     Theo đề bài, chiết suất ở độ cao ngang mực nƣớc biển là n0=1,0003=1+ρ0 → ρ0=0,0003 R r 𝜃 𝐴 𝐵 Hình 3.7 27 Xét tỉ số: 0 4,53    Nhƣ vậy, để ánh sáng truyền theo độ cong của bề mặt Trái đất ở độ cao ngang mực nƣớc biển thì mật độ khí quyển phải đậm đặc hơn khí thực 4,53 lần. Bài 2: Một tia laser đi vào môi trƣờng có đối xứng cầu (hình 3.8). Chiết suất của môi trƣờng thay đổi theo khoảng cách R tới tâm đối xứng O theo quy luật: 0 0 0 0 0 ,R (R) ,R R n R Rn n R       (1) Đƣờng đi của tia laser nằm trong mặt phẳng chứa tâm O. Ở khoảng cách R1>R0, tia laser lập góc φ1 vớ