Khóa luận Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý

        2 1 1 os 2 dx c d c     . (5) Lấy tích phân hai vế của (5) ta được:   2 1 1 os 2 c d dx c       2 1 1 os 2 c x c c      (6) 10 đường cong đi qua A(0,0). Khi x=0, y cũng phải bằng 0. Nhưng   2 1 1 os 2 y c c   vì thế khi y = 0 thì  cũng phải bằng 0. Do đó, 0x   phải thỏa mãn phương trình trên và 0c  . Kết quả là, đường cong mà ta cần tìm dược xác định bởi phương trình tham số:   2 1 sin 2 x c      2 1 1 os 2 y c c   Đây chính là phương trình một đường Cycloid. Vậy đường đoản thời là đường Cycloid. [6] 1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu Ta xét một số ứng dụng các kết quả đã nghiên cứu được của phép tính biến phân vào các bài toán cơ học của vật lý. Giả sử cho hệ n chất điểm với các khối lượng lần lượt , , , và có tọa độ tương ứng , , ( i = 1, 2, ,n). Giả thiết rằng không có ràng buộc nào đặt lên hệ. Động năng của hệ bằng:   22 2 1 2 n i i ii i T m yx z     (1.1) Giả thiết hệ có thế, nghĩa là tồn tại hàm lực  , , ,i i iU t x y z , sao cho các thành phần lực tác dụng lên chất điểm thứ i bằng: Hình 3: Đường Cycloid đi từ (0,0). (1.2) 11 i i U X x     , i i U Y y     , i i U Z z     . Gọi V = -U là thế năng của hệ, đại lượng L = T + U = T – V (1.3) gọi là hàm Lagrange của hệ cơ học đang xét. Rõ ràng L là hàm của tọa độ và vận tốc của chất điểm lập nên hệ và thời gian. Giả sử tại thời điểm t0 hệ ở vị trí xác định nào đấy. Sự tiến hóa của hệ đang xét theo thời gian mô tả bằng một đường cong nào đấy trong không gian 3n chiều được xác định bằng các phương trình:  ,i ix x t  ,i iy y t  ,i iz z t ( i = 1,2,.,n). Trong số tất cả các đường đi qua điểm ban đầu, thì đường mô tả chuyển động thực của hệ đang xét dưới tác dụng của lực phải thỏa mãn điều kiện sau đây, được gọi là nguyên lý tác dụng tối thiểu. Chuyển động của hệ trong khoảng thời gian (t0, t1) được mô tả bằng các hàm xi(t), yi(t), zi(t), (i = 1, 2, , n), các hàm này làm cực tiểu phiếm hàm 1 0 t t L dt   1 0 t t T V . (1.4) Biểu thức (1.4) được gọi là tác dụng theo Hamilton. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra, nguyên lý này tương đương với các phương trình chuyển động thông thường của hệ n điểm. Nếu phiếm hàm (1.4) đạt cực tiểu thì các phương trình Euler phải được thỏa mãn: 0, i i L d L x dt x       0, i i L d L y dt y       ( i =1,2,,n). (1.5) 0, i i L d L z dt z       Hàm lực U chỉ phụ thuộc vào xi, yi, zi (và không phụ thuộc vào ̇ , ̇ , ̇ ), còn T là tổng của bình phương vận tốc với hệ số , ta có thể viết hệ phương trình (1.5) dưới dạng: 12 0, 0, 0. i i i i i i i i i U d m x x dt U d m y y dt U d m z z dt             Vì , , i i i U U U x y z       là các thành phần của lực tác dụng lên chất điểm thứ i, cuối cùng ta được: , i i i m x X , i i i m y Y , i i i m z Z đây là các phương trình chuyển động thông thường của hệ n chất điểm. Nguyên lý tác dụng tối thiểu cũng vẫn đúng trong trường hợp khi đặt lên một hệ một vài ràng buộc (liên kết). Trong trường hợp này các đường khả dĩ trên đó xác định phiếm hàm (1.4) phải thỏa mãn thêm các ràng buộc, tức là sử dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu vào hệ có liên kết dẫn đến bài toán biến phân cực trị có điều kiện. 13 Kết luận chương 1 Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu về cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu với các nội dung cơ bản gồm: Khái niệm chung về phiếm hàm là cơ sở giúp chúng ta hiểu rõ hơn về phép tính biến phân, phương trình Euler, một số bài toán vật lý và cuối cùng là vận dụng phép tính biến phân để tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu. 14 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN 2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển Trong thực tế một vật có thể di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác theo hàng triệu con đường khác nhau. Tuy nhiên, hình như chúng ta chỉ thấy vật lựa chọn cho mình một con đường duy nhất giữa điểm khởi đầu và điểm kết thúc. Theo Feynman, con đường đó chính là con đường quan trọng đối với sự chuyển động của các vật vĩ mô trong vô số con đường. Và đây cũng chính là quỹ đạo chuyển động xuất hiện từ các định luật cổ điển của Newton. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về mối quan hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton. Xét đại lượng:   2 1 , , t t S L x x t dt  , (2.1) S được gọi là hàm tác dụng. Đó là một đại lượng có đơn vị là (Năng lượng)(Thời gian). S phụ thuộc vào L, L lại phụ thuộc vào  x t thông qua phương trình L T V  . Cho trước hàm bất kỳ  x t , chúng ta có thể tính trước đại lượng S. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ xét trường hợp chỉ có một tọa độ, x. Các tích phân giống như trong phương trình (2.1) được gọi là các phiếm hàm, và S đôi khi được kí hiệu bởi  S x t   . Nó phụ thuộc vào toàn bộ hàm  x t , và không chỉ phụ thuộc vào một số đầu vào như là một hàm  f x thông thường. S có thể xem như là một hàm của một số vô hạn các biến, gọi là các giá trị của  x t đối với t biến thiên từ t1 đến t2. Bây giờ đặt câu hỏi như sau: Xét một hàm  x t , với 1 2 ,t t t  có điểm đầu và điểm cuối là cố định (nghĩa là  1 1x t x và  2 2x t x trong đó 1x và 2x được cho 15 trước), và có giá trị bất kì tại các điểm khác. Hỏi với giá trị nào của hàm  x t thì S sẽ có một điểm dừng? [4] Ví dụ như ta xét một quả bóng rơi từ trạng thái nằm yên và xét hàm y(t) với 0  t  1. Giả sử rằng bằng cách nào đó chúng ta biết rằng  0 0y  và  1 2 g y   . Có một số khả năng đối với y(t) được chỉ ra trong Hình 4 và trong mỗi khả năng đối với y(t) này có thể được thay vào trong phương trình (2.1) và phương trình L T V  để tính toán ra S. Với khả năng nào chúng ta có thể nhận được điểm dừng của S? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời. Hình 4 Nội dung định lý: Nếu hàm  0x t làm cho biến phân S đạt giá trị dừng, thì 0 0 d L L dt x x         . (2.2) Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng thực tế là nếu một hàm  0x t nào đó làm cho phiếm hàm S đạt giá trị dừng, thì bất kì hàm nào rất gần với  0x t (với cùng các điểm đầu và điểm cuối) về cơ bản sẽ cho giá trị của phiếm hàm S là giống nhau, với sai khác tới bậc nhất của bất cứ độ lệch nào của  0x t . Sự tương đối đối với các điểm thông thường nếu là f(b) là một giá trị dừng của f, thì  f b  có giá trị sai khác đối với f(b) chỉ là một đại lượng vô cùng bé bậc hai của . Điều này là đúng bởi vì   0f b  ,vì vậy không có số hạng bậc nhất trong khai triển của chuỗi Taylor trong lân cận xung quanh b. 16 Giả sử hàm  0x t làm cho phiếm hàm S đạt giá trị dừng, và xét hàm      0ax t x t a t  , (2.3) trong đó a là một số,  t thỏa mãn    1 2 0t t   , và có giá trị tùy ý tại các điểm khác. Khi tính toán hàm tác dụng  aS x t   trong (2.1), biến t sẽ được lấy tích phân lên, vì vậy S chỉ là một số. Nó phụ thuộc vào a cùng với t1 và t2. Yêu cầu của chúng ta là đạo hàm bậc nhất của S theo biến a bằng 0 khi đó S sẽ phụ thuộc vào a như thế nào? Sử dụng quy tắc đạo hàm hợp, ta có:   2 2 1 1 t t a t t L S x t Ldt dt a a a           2 1 t a a t a a x xL L dt x a x a              . (2.4) Nói cách khác a ảnh hưởng đến S thông qua ảnh hưởng của nó đến x và cũng thông qua ảnh hưởng của nó vào x . Từ phương trình (2.3), ta có : a x a     và a x a     , thay vào (2.4) ta được:   2 1 t a t a a L L S x t dt a x x                 . (2.5) Sử dụng a a a L L d L dt dt x x dt x                  , Phương trình (2.5) trở thành:   2 1 2 1 t a t a a a tL d L L S x t dt ta x dt x x                    . (2.6) 17 Nhưng    1 2 0t t   , do đó số hạng cuối cùng sẽ bị triệt tiêu. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng thực tế là  aS x t a     phải bằng 0 đối với bất cứ  t nào, bởi vì chúng ta đang giả thiết rằng  0x t là điểm dừng. Để thỏa mãn   0aS x t a     thì: 0 0 d L L dt x x         . (2.7) Ta đặt 0 0 L mx x    và 0 0 L kx x     , khi đó phương trình (2.7) trở thành: 0 0 mx kx  hay F ma . Đây chính là biểu thứ của định luật II Newton. 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích 2.2.1 Nội dung nguyên lý Ta khảo sát một cơ hệ hôlônôm có N chất điểm với s bậc tự do. Vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó được xác định bởi s tọa độ suy rộng  ,kq t  ,  1,2,...,k s trong đó t là biến số và  là thông số thực. Khi thay  bằng   thì hàm  ,kq t  sẽ thay đổi và chuyển từ hàm  ,kq t  thành hàm  ,kq t   . Đại lượng:    , , kk k k q q q t q t            gọi là biến phân của hàm qk. Giả sử ứng với giá trị = 0 các hàm  ,0kq t =  kq t  1, 2, ...,k s diễn tả chuyển động thực của cơ hệ trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Khi đó chuyển động khả dĩ phù hợp với liên kết đặt lên cơ hệ rất gần với chuyển động thực của nó trong khoảng thời gian từ 1 t đến 2 t diễn tả bằng các hàm  ,kq t   1,2,...,k s với  là số thực có trị khá nhỏ. Tại thời điểm t1 và t2 các hàm qk trùng nhau cho nên ta có: 18  1 0,kq t   2 0kq t  (2.8) Bây giờ ta trình bày nguyên lý tác dụng tối thiểu mô tả chuyển động của cơ hệ hôlônôm trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Trong mỗi cơ hệ hôlônôm được đặc trưng bởi một hàm L nào đó có dạng:    1 2 1 2, ,..., , , ,..., , , ,s s k kL L q q q q q q t L q q t  gọi là hàm Lagrange. Hàm này xác định mọi đặc tính vật lý của cơ hệ hôlônôm. Lượng vô hướng Ldt gọi là tác dụng nguyên tố theo Hamiltơn . Tích phân:   2 1 , , t k k t S L q q t  (2.9) gọi là tác dụng theo Hamiltơn trong khoảng thời gian từ t1 đến t2. Đặt  ,k kq q t  và  ,k kq q t  vào (2.9) ta có, tác dụng S là hàm của biến duy nhất là :       2 1 , , , , t k t S L q t q t t dt      . (2.10) Biến phân của tác dụng S sẽ là: 2 2 1 1 t t t t S L S dt Ldt                  . (2.11) Trên cơ sở khảo sát biến phân này, ta có nội dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu có nội dung như sau: Chuyển động thực của cơ hệ từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 chỉ xảy ra sao cho tác dụng S có giá trị cực trị (chính xác hơn là có giá trị dừng), tức là khi 0 0 S         . [3] Điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu:   0 0S     . Ta có: 2 2 1 1 t t t t S Ldt Ldt     , (2.12) mà 1 s k k k k k q qL L L d d q q                   19 1 s k k k k k L L L q q q q                . (2.13) Thay (2.12) vào (2.13) có: 2 1 1 0 t s k k kt k k L L q q dt q q              . (2.14) 2.2.2 Chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát của cơ học Trong vật lý, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề tổng quát, từ nguyên lý này ta có thể rút ra các phương trình Lagrange loại 2 và hệ phương trình Haminton. 2.2.2.1 Từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm lại phương trình Lagrange loại 2. Từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu:   0 0 S      2 1 1 0 t s k k kt k k L L q q dt q q              2 2 1 1 1 1 0 t ts s k k k kt tk k L L dt q q dt q q                          . (2.15) Ta có: ,k k k dq d q q dt dt      1 0,kq t   2 0kq t  . Xét: 2 2 2 1 1 1 t t t k k k k t t tk k k k L L d d L d L q dt q dt q q dt q q dt dt q dt q                                     2 1 t k t k d L q dt dt q           . (2.16) Thay (2.16) vào (2.15) ta có: 2 2 1 1 1 1 0 t ts s k k k kt tk k L d L dt q dt q q dt q                             2 1 1 0 t s k kt k k L d L q dt q dt q              . (2.17) 20 Để (2.17) luôn thỏa mãn thì: 1 0 s k k k k L d L q q dt q             . (2.18) Vì các biến phân k q là độc lập và tùy ý cho nên ta rút ra hệ s phương trình Lagrange:   1,2,...0, , k k L d L q dt k s q        . (2.19) Do  , ,k k k L q q t q   là hàm của k q , k q và t thì từ (2.19) suy ra rằng các phương trình Lagrange là phương trình vi phân hạng hai và (2.19) được gọi là phương trình Lagrange loại 2. 2.2.2.2 Từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm lại hệ phương trình Hamiltơn . Ta có:     1 , , , , k s k k k k k k H H q p t p q L q q t     , là hàm của k q , k p , t và gọi là hàm Hamiltơn. Dễ thấy: , ( 1,2,..., ) k k H q k s p     . (2.20) Từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu:     2 1 0 , , 0 t k k t S L q q t dt         2 1 , , 0 t k k t L q q t dt  . (2.21) Ta có:     1 , , , , s k k k k k k k L q q t p q H q p t      1 1 s s k k k k k k k k k k H H L q p p q q p q p                      (2.22) 21 Thay (2.20) vào (2.22) được:   1 1 s s k k k k k k k k k k H L q p p q q q p q                   (với k k H q p    ) 1 1 s s k k k k k k H L p q q q             . (2.23) Thay (2.23) vào (2.21) ta có: 2 2 1 1 1 1 0 t ts s k k k k kt t k H p q dt q dt q            . (2.24) Xét:   2 2 2 1 1 1 1 t t ts s s k k k k k k k k kt t t p q dt p q dt p d q            (vì  k k d q q dt   ) 1 ( s k k k p q    2 1 t t 2 1 ) t k k t q dp mà  1 0,kq t   2 0kq t  2 2 1 1 1 1 t ts s k k k k k kt t dp dt q p dt q dt          2 2 1 1 1 1 t ts s k k k k k kt t p q dt p q dt         . Vậy (2.24) có dạng: 2 2 1 1 1 1 0 t ts s k k k k kt t k H p q dt q dt q             2 1 1 ( ) 0 t s k k kt k H p q dt q          . (2.25) Để (2.25) luôn thỏa mãn thì: 1 0 s k k k k H p q q           . (2.26) Vì các biến phân k q là độc lập và tùy ý cho nên (2.26) thỏa mãn mọi điều kiện thì 0 ( 1,2,..., ) k k k k H H p p k s q q           . (2.27) Hệ phương trình (2.20) và (2.27) là hệ phương trình Hamiltơn. 22 Vậy từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu ta có thể tìm lại được phương trình Lagranger và hệ phương trình Hamiltơn, điều này chứng tỏ rằng nguyên lý tác dụng tối thiểu là một nguyên lý tổng quát của cơ học. 23 Kết luận chương 2 Nội dung chính của chương 2 là trình bày về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển trong đó làm rõ mối quan hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton và nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích. Đồng thời chỉ ra được nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát trong cơ học cổ điển. 24 CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI Nguyên lý tác dụng tối thiểu có một ý nghĩa rất to lớn trong vật lý hiện đại. Trong nguyên lý này ta có thể kết hợp nghiên cứu toán học trừu tượng với nội dung vật lý cụ thể và nó đã trở thành một công cụ đắc lực để nghiên cứu những vấn đề đa dạng, rất phức tạp của thiên nhiên và kỹ thuật. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu sự vận dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu vào trong vật lý hiện đại. 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và sự khôn ngoan của ánh sáng. Vào khoảng năm 1660, nhà toán học người Pháp P.Fermat đã đưa ra một nguyên lý cơ bản của quang hình học mà hiện nay gọi là Nguyên lý Fermat. Theo nguyên lý này thì trong tất cả các đường nối hai điểm với nhau, ánh sáng sẽ đi theo đường mất ít thời gian nhất. Một cách phát biểu chặt chẽ hơn, nguyên lý Fermat thực tế là một trường hợp riêng của một nguyên lý tổng quát hơn được sử dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết hiện đại, có tên là Nguyên lý tác dụng tối thiểu. Theo nguyên lý này, ánh sáng truyền từ một điểm này đến một điểm khác sao cho quang lộ của nó đạt cực trị. Trong đó, quang lộ của một đường truyền thực chất chính là chiều dài nếu ánh sáng đi trong chân không mất cùng khoảng thời gian với đường truyền ấy. 3.1.1 Giải thích ba định luật cơ bản của quang học và đường truyền của tia sáng trong môi trường chiết suất thay đổi. 3.1.1.1. Định luật truyền thẳng. Trong môi trường trong suốt đồng tính là đẳng hướng , chiết suất của môi trường không đổi. Do đó quang lộ chính là chiều dài hình học của đường truyền ánh sáng. Trong không gian, giữa hai điểm thì đường có chiều dài nhỏ nhất nối hai điểm đó chính là đường thẳng. Vậy theo nguyên lý Fermat, ánh sáng ưu tiên đi theo đường thẳng 25 3.1.1.2. Định luật phản xạ Giữa hai điểm S và S’, trong các đường truyền từ S tới M rồi tới S’ thì đường truyền SIS’ như trên hình vẽ là nhỏ nhất. Trong đó S’’ là “ảnh” của S’ qua mặt phân cách. Dễ dàng chứng minh rằng đường SIS’ có góc tới bằng góc phản xạ, đó chính là đường đi của ánh sáng khi bị phản xạ qua mặt phân cách. Như vậy định luật phản xạ đã được chứng minh. 3.1.1.3. Định luật khúc xạ ánh sáng Quang lộ từ S tới R là: 1 2 1 2 cosi cosr n a n b n SI n IR     , với a + b = d. Đạo hàm hai biểu thức trên theo góc i ta có: ' 1 2 2 2 sin sin . cos cos n a n b i r r i r    và 2 2 0 cos cos a b r i r   . Từ nguyên lý Fermat đường truyền tia sáng thỏa mãn: S ’’ S ’ S I M d R S a b I i r Hình 6 Hình 5 26 ' 1 2 2 2 0 sin sin . 0 cos cos n a n b i r r i r      . Đồng nhất hai biểu thức trên ta rút ra được: = . Đây chính là biểu thức chỉ mối quan hệ giữa góc khúc xạ và góc tới xác định bởi định luật khúc xạ. 3.1.1.4. Giải thích đường truyền của tia sáng trong môi trường chiết suất thay đổi. Trong môi trường chiết suất thay đổi một cách liên tục, quang lộ của đường truyền ánh sáng từ điểm A đến điểm B nào đó trong không gian có dạng:     B A n ds    với là một tham số nào đó. Ta xem trong lớp chất gần như đồng tính, mỏng chiết suất  n  dày d theo phương pháp tuyến. Gọi  i  là góc hợp bởi tia sáng và pháp tuyến. Khi đó quang lộ có thể được viết thành:    cos B A n d i       . Đây là một biểu thức phụ thuộc vào dạng hàm của  n  . Một cách định tính ta có thể thấy, khi truyền tia sáng từ môi trường chiết suất lớn sang môi trường chiết suất bé hơn, chiết suất n tăng. Để cho quang lộ đạt cực trị thì  cos i  tăng lên, tức là góc  i  giảm dần. Điều đó chứng tỏ khi tia sáng truyền từ môi trường chiết suất bé hơn sang môi trường chiết suất lớn hơn thì càng bị bẻ cong về phía pháp tuyến. 3.1.2 Ứng dụng phép tính biến phân tìm đường truyền của tia sáng. Để tìm đường truyền của một tia sáng nào đó ta dựa vào nguyên lý Fermat và phép tính biến phân. Cụ thể: Viết quang lộ  về dạng phiếm hàm    , , b a F y f x y y dx  , (3.1) từ đó suy ra phương trình Euler cho hàm lấy tích phân tương ứng và giải phương trình Euler đó. 27 Ta giả sử trong không gian Oxyz, chiết suất của môi trường phụ thuộc vào tọa độ (x, y) và ta chỉ xét tia sáng truyền trong mặt phẳng Oxy. Khi đó quang lộ của đường truyền tia sáng từ A đến B là:     2 2 , , B B A A dx dy n x y ds n x y d d d                     , (3.2)  là một tham số, giả sử x  . Đồng nhất hai biểu thức (3.1) và (3.2) ta được:  F y  và       2 , 1 , ,n x y y f x y y   . Phương trình Euler thứ nhất đối với hàm lấy tích phân f là:   f d f y dx y                 2 32 2 1 1 1 n dn y y y n y dx y y            21n ny n y y y x              . (3.3) Vậy đường truyền của tia sáng đi từ điểm A đến điểm B trên mặt phẳng Oxy là nghiệm của phương trình vi phân (3.3) với điều kiện biên  A Ay y x và  B By y x . Các điểm trong không gian có cùng chiết suất tạo với nhau một mặt, mà trong mặt phẳng Oxy nó là một đường có một phương trình  ,n n x y , có thể gọi tạm là mặt phân cách. Tại một điểm vectơ pháp tuyến của đường này là , n n v x y          Đường truyền tia sáng  y y x có vectơ tiếp tuyến tại một điểm  1,u y . Góc hợp bởi vectơ tiếp tuyến của đường truyền tia sáng và vectơ pháp tuyến của mặt phân cách là  ,i x y . Ta có: 28   22 2 sin 1 n n yv u y x i v u n n y x y                        . (3.4) Ngoài ra ta có, tại mỗi điểm trên đường truyền tia sáng có bán kính cong   21 y R y    . (3.5) Từ (3.4) và (3.5) thay vào (3.3) ta tìm ra mối quan hệ sau: 22 sin n R i n n x y               . 3.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ. 3.2.1 Hàm tác dụng của trường điện từ Trong một hệ bao gồm cả trường điện từ và các hạt chuyển động, hàm tác dụng S của hệ là: 1 2 3 S S S S   , (3.6) trong đó: 1 S : Hàm tác dụng của hạt tự do. 2 S : Hàm tác dụng đặc trưng tương tác giữa trường và hạt. 2 S : Hàm tác dụng của trường tự do. Hàm tác dụng S nói chung và từng thành phần của nó 1 2 3 , ,S S S nói riêng phải là các đại lượng bất biến hơn nữa chúng phải thỏa mãn những tính chất đặc trưng cho từng phần. Ta xét các thành phần trong biểu thức của S:  Thành phần thứ nhất 1 S chỉ phụ thuộc vào khối lượng 0 m của hạt vì nó đặc trưng cho hạt tự do. Theo cơ học tương đối ta có: 2 1 0 S m c d  . (3.7) 29 - Trong trường hợp ta có một hệ các hạt sắp xếp liên tục trong không gian thì ta có thể đưa vào khái niệm mật độ khối lương riêng theo công thức: 0 0 0 dm dV   , (3.8) với 0 m và 0 V lần lượt là khối lượng và thể tích của hạt mà ta xét. - Trong trường hợp hệ hạt không liên tục, ta phải biểu diễn mật độ của hệ hạt qua hàm delta:  0 0i i i m r r   . (3.9) Thay (3.8) hoặc (3.9) vào (3.7), khi đó ta được: 2 4 1 0 0 0 S c dV d cd x       , (3.10) ở đây 4d x đóng vai trò là phần từ thể tích bốn chiều.  Thành phần thứ hai 2 S phụ thuộc vào điện tích e của hạt và vào trường vì nó đặc trưng cho sự tương tác giữa hạt và trường. Trên cơ sở đó ta đặt: 2 k k S eA dx  . (3.11) - Trong trường hợp ta có một hệ các hạt sắp xếp liên tục trong không gian thì ta có thể đưa vào khái niệm mật độ điện tích của hệ: de dV   . (3.12) - Trong trường hợp hệ hạt không liên tục, ta biểu diễn mật độ điện tích của hệ hạt qua hàm delta:  i i i e r r   . (3.13) Thay (3.12) hoặc (3.13) vào (3.11), ta được: 4 2 1 k k S j A d x c   , (3.14) trong đó: k k dxj dt  . 30  Thành phần thứ ba 3 S chỉ phụ thuộc vào trường vì nó đặc trưng cho trường tự do. Bởi vì hàm tác dụng được chọn sao cho phương trình trường là tuyến tính nên nó phải chứa các đại lượng bậc hai của trường. Do đó, ta đặt: 4 3 1 4 ik ik S D E d x c   . (3.15) 3.2.2 Phương trình chuyển động của một hạt Hàm tác dụng của một điện tích chuyển động trong trường điện từ:  21 2 0 b k k a S S S m c d eA dx     , (3.16) trong đó k A tính tại các điểm trên đường quỹ đạo của hạt. Tích phân trên cũng có thể biểu diễn dưới dạng:   2 1 2 2 0 1 t t S m c e eAv dt      , (3.17) trong đó dr v dt  là tốc độ của hạt. Hàm Lagrange của điện tích trong trường điện từ: 2 2 0 1L m c e eAv      . (3.18) Lấy đạo L hàm theo v ta được xung lượng tổng quát của hạt: P 0 21 m vL eA P eA v          , (3.19) trong đó P là xung lượng của hạt tự do. Từ hàm Lagrange ta có thể suy ra hàm Hamilton của hạt trong trường điện từ theo công thức: L H v L v     . (3.20) Thay (3.18) vào (3.20) ta nhận được: 2 0 21 m c H e     . (3.21) Thay (3.19) vào (3.21), suy ra: 31   22 4 2 0 H m c c P eA e    . (3.22) Ứng với cơ học kinh điển, đối với tốc độ nhỏ, (3.18),(3.19) và (3.21) có dạng: 2 0 2 m v L e eAv   , P 0 m v eA  , (3.23)   21 2 H P eA e m    . Từ phương trình Lagrange ta thu được phương trình chuyển động ba chiều của điện tích trong trường điện từ có dạng: 0 d L L dt v      . (3.24) Thay (3.18) vào (3.24)