Khóa luận Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý

j r              ij ij 1 1 1 N N N jj i j j r              10 Kết quả này có thể mở rộng cho các kết quả của nhiều ma trận  Các định thức của một ma trận. Một số tính chất của định thức đƣợc xác định đơn giản từ việc xác định detA. Việc sử dụng chúng thƣờng quy về việc đánh giá định thức. - Tính chất của các định thức của ma trận (i) Đinh thức của một ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị AT ( thu đƣợc qua việc chuyển đổi hàng và cột của A) có đề cập đến định thức nhƣ A chính nó, tức là:    (ii) Định thức phức tạp và liên hợp Hermite Rõ ràng là các ma trận A* thu đƣợc bằng cách lấy liên hợp phức tạp của mỗi phần tử A có định thức    . Ta thấy rằng:             (iii) Thay thế hai hàng hoặc cột Nếu hai hàng ( hoặc cột ) của A đổi chỗ lẫn nhau thì yếu tố quyết định không thay đổi gì (iv) Thay thế thừa số Nếu tất cả các phần tử của một hàng (hoặc cột) của A có một thừa số chung, λ, thì thừa số đó có thể đƣợc loại bỏ, giá trị của các thừa số đƣợc đƣa ra bởi tích số của các định thức còn lại và λ. Điều này cho thấy, nếu tất cả các phần tử bất kì của hàng (cột) là không thì |A| = 0. Nếu mọi phần tử của N×N ma trận A nhân với hằng số bội λ thì: N    (v) Đồng nhất hàng hoặc cột Nếu hai hàng ( cột ) bất kì của A trùng nhau hoặc là bội số của nhau thì nó có thể biểu thị: |A| = 0 (vi) Thêm hằng số bội vào một hàng ( cột) khác 11 Các định thức của ma trận là không thay đổi về giá trị bằng cách thêm vào các phần tử của một hàng ( cột) nào đó. (vii) Định thức của một tích số Nếu A×B là một ma trận vuông thì:       Mở rộng hơn ta có: ... ... ... ...G G G G          Thấy rằng định thức là bất biến theo hoán vị của các ma trận.  Nghịch đảo của một ma trận - Chúng ta xét mối tƣơng quan P = AB nhƣ tƣơng đƣơng với B = P/A, với điều kiện A#0. Tuy nhiên, nếu A, B và P là ma trận thì kí hiệu này không có ý nghĩa rõ ràng. Một ma trận vuông có định thức bằng 0 gọi là ma trận kì dị ; nếu khác nhau nó là không kì dị. Chứng minh rằng: nếu A là kì dị thì chúng ta có thể xác định ma trận, biểu thức A-1 đƣợc gọi là nghịch đảo của A, trong đó nếu AB = P thì B = A -1 P . Nói cách khác, B có thể thu đƣợc bằng cách nhân P với A -1 . Tƣơng tự, nếu B là kì dị thì A = PB-1. Ta có: AI = A -> I = A -1 A Trong đó: I là ma trận đơn vị và do đó: A -1 A = I = AA -1 Trên thực tế, tìm nghịch đảo của ma trận A có thể thực hiện bằng một số cách khác nhau. Phƣơng pháp đầu tiên là xây dựng ma trận C có chứa các phần phụ đại số của các phần tử của A, sau đó chỉ cần nghịch đảo A-1 có thể tìm đƣợc bằng cách chuyển đổi C và chia các định thức của A. Do đó, các phần tử của nghịch đảo A-1 đƣợc đƣa ra bởi:    1 ik ik ik C C       12 Xét các thành phần A-1A ta có:      1 1 ij kjik k       ij ki kj k C         Từ đó, suy ra: ijki kj k C    - Một số tính chất hay sử dụng có liên quan đến ma trận nghịch đảo: (i)   1 1     (ii)     1 1       (iii)     1 1       (iv)   1 1 1     (v)   1 1 1 1... ...G G        Chứng minh các tính chất từ (i)->(iv) Nghịch đảo của một ma trận vuông : AA-1 = I = A-1A (i) Từ biểu thức trên (ii) Lấy chuyển vị của mỗi biểu thức    1 1             (iii) Chứng minh tƣơng tự nhƣ (ii) bằng cách biến đổi (ii) liên hợp Hermite và sử dụng kết quả cho liên hợp Hermite của một ma trận (iv) Chúng ta có thể viết :        1 1         Lấy vế trái nhân với A-1 ta đƣợc:   11 1       và do đó:   1 1     Lấy tiếp về trái nhân với B-1:   11 1 1        13 (v) Sử dụng hai lần kết quả (iv) ta đƣợc:     1 1 1 1 1 1C C C             Từ đó, chúng ta tìm đƣợc: 1 1       1 1     Thứ hạng của ma trận - Thứ hạng của một ma trận M×N là một khái niệm quan trọng, đặc biệt là trong các phép tính của phƣơng trình tuyến tính đồng thời. Cũng giống nhƣ các vết và định thức, thứ hạng của ma trận A là một số duy nhất mà thuộc các phần tử của A; thứ hạng của ma trận có thể có đƣợc định nghĩa ngay cả khi A không phải là ma trận vuông. Có hai định nghĩa tƣơng đƣơng với thứ hạng của một ma trận chung. +) Thứ nhất, thứ hạng của một ma trận có thể đƣợc định nghĩa về sự độc lập tuyến tính của các vectơ. Giả sử các cột của ma trận M×N đƣợc hiểu là các thành phần trong một cơ sở N vectơ v1, v2, vN nhƣ sau: ... 1 2 Nvv v                Thì thứ hạng của A , kí hiệu : rankA hoặc R(A) ; đƣợc định nghĩa là số vectơ độc lập tuyến tính trong tập v1, v2, vN và tƣơng đƣơng với kích thƣớc của không gian kéo dài bởi những vectơ. +) Thứ hai (tƣơng đƣơng ) định nghĩa về thứ hạng của một ma trận có thể đƣợc đƣa ra và sử dụng các khái niệm về ma trận phụ. Một ma trận phụ của một A là một ma trận bất kì có thể đƣợc hình thành từ các phần tử của A bằng cách bỏ qua hoặc thêm nhiều hơn vào hàng hoặc cột của nó. Nó chƣa chỉ ra rằng thứ hạng của M×N ma trận nói chung là tƣơng đƣơng với kích thƣớc của ma trận phụ vuông lớn nhất của A có định thức khác không. Do đó, nếu ma trận A có r×r ma trận phụ S với S#0 , nhƣng không có (r-1)×(r+1) ma trận phụ khác không thì bậc của ma trận là r. Từ một trong hai định nghĩa, rõ ràng là bậc của A là nhỏ hơn hoặc bằng với M và N. - Ma trận vuông, tức là N×N , rất phổ biến trong các ứng dụng vật lý. 14 1.2.3. Các dạng ma trận  Ma trận đơn vị Là ma trận chéo có các phần tử trên đƣờng chéo bằng 1. i,j , 0, 1,i j i j i j          Ma trận đơn vị đƣợc kí hiệu là In với n là cấp của ma trận. Ví dụ ma trận đơn vị có cấp 3 đƣợc biểu diễn nhƣ sau: 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1            Ma trận không Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0: Ai,j = 0 Ví dụ: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0               Ma trận đƣờng chéo - Ma trận đơn vị mà chúng ta đã gặp là một ví dụ về một ma trận đƣờng chéo, ma trận nhƣ vậy đƣợc đặc trƣng bởi các phần tử khác không trên đƣờng chéo chính, tức là chỉ yếu tố Aij với i=j có thể khác không. 1 0 0 0 2 0 0 0 3            là một 3×3 ma trận đƣờng chéo, một ma trận nhƣ vậy đƣợc kí hiệu: A=diag(1,2,-3) Nếu ma trận có dạng : A=diag(A11, A22, ANN) thì: |A|=A11A22ANN → Lƣu ý: Nếu A và B là hai ma trận chéo thì tích của chúng sẽ là giao hoán : AB = BA Điều này không đúng đối với ma trận nói chung.  Ma trận tam giác phía dƣới và phía trên Một ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận tam giác phía dƣới nếu tất cả các số hạng trên đƣờng chéo chính bằng không. 15 Ví dụ: ma trận 3×3 thấp hơn ma trận tam giác là: 11 21 22 31 32 33 0 0 0               các số hạng Aij=0 hoặc khác không. Tƣơng tự, ma trận vuông đƣợc gọi là ma trận tam giác phía trên nếu các số hạng dƣới đƣờng chéo chính bằng 0. Ví dụ: 11 12 13 22 23 33 0 0 0                Ma trận đối xứng và ma trận không đối xứng Một ma trận vuông A bậc N với A = AT đƣợc gọi là đối xứng. Tƣơng tự nhƣ vậy, một ma trận A = -AT đƣợc cho là không hoặc nghiêng đối xứng và các số hạng trên đƣờng chéo của nó là a11, a22,aNN tất yếu bằng không. Hơn nữa, nếu A không đối xứng thì ma trận nghịch đảo của nó là A-1. Dễ dàng chứng minh nếu: A = ±AT thì:     1 1 1          Bất kì N×N ma trận A có thể đƣợc viết nhƣ tổng của một đối xứng và một ma trận không đối xứng, nhƣ sau:     1 1 2 2 C         Rõ ràng: B = B T và C = C T. Do đó, ma trận B đƣợc gọi là phần đối xứng của A và C là phần không đối xứng. Nếu A là không đối xứng thì AT = -A. Ta có:  1         → Nhƣ vậy, nếu N là số lẻ thì : |A| = - |A| và |A| = 0  Ma trận trực giao Khá nhiều ma trận với đặc tính chuyển vị của nó cũng là nghịch đảo của nó. 16 A T = A -1 đƣợc gọi là ma trận trực giao. Nghịch đảo của một ma trận trực giao cũng là trực giao.       1 1 1 1           Đối với một ma trận trực giao : ATA = I , ta có: 2 1           Yếu tố quyết định của một ma trận trực giao là: |A| = ±1 Giả sử rằng y = 𝒜x đƣợc biểu diễn trong một hệ tọa độ bằng phƣơng trình ma trận: y = Ax .Sau đó, đƣợc đƣa vào trong hệ tọa độ bằng cách: y y x x x x        Ma trận Unita Một maa trận Unita A đƣợc định nghĩa là một ma trận mà: A + = A -1 Rõ ràng, nếu A là thực thì A+ = AT, cho thấy rằng một ma trận trực giao là một trƣờng hợp đặc biệt của một ma trận Unita, trong đó tất cả các số hạng là thực. Lƣu ý, nghịch đảo A-1 của một Unita cũng là Unita, vì:       1 1 1 1           Ta có: A + A=I nên 1             Yếu tố quyết định của ma trận Unitacó đơn vị môđun Nếu y = 𝒜x đƣợc biểu diễn trong một số hệ tọa độ bằng phƣơng trình ma trận : y = Ax, sau đó đƣợc đƣa vào hệ tọa độ bằng cách: y y x x x x        Ma trận có liên hợp Hermite Một tập hợp cuối cùng của ma trận đặc biệt bao gồm các ma trận có liên hợp Hermite, mà: AA + = A + A 17 Tức là một ma trận có liên hợp Hermite là một giao hoán với liên hợp Hermite. Chúng ta dễ dàng chứng minh ma trận Hermite và ma trận Unita về ma trận có liên hợp Hermite. Đối với ma trận Hermite, A = A+ và do đó: AA + = AA = A + A Tƣơng tự nhƣ vậy, đối với ma trận Unita: A-1 = A+ và do đó: 1 1        Lƣu ý, nếu A là liên hợp Hermite thì nghịch đảo của nó là A-1           1 1 1 1 1 1 1 1 1                            1.2.4. Trị riêng và vectơ riêng của ma trận Giả sử rằng một toán tử tuyến tính 𝒜 biến đổi vectơ x trong một không gian vectơ N chiều thành vectơ khác 𝒜x trong cùng một không gian. Khả năng đặt ra rằng là có thể tồn vectơ x trong số đó đƣợc chuyển hóa bởi 𝒜 vào một bội số của chính nó. Vectơ nhƣ vậy sẽ phải đáp ứng: 𝒜x = λx Vectơ x#0 bất kì nào thỏa mãn đối với một số giá trị của λ đƣợc gọi là vectơ riêng của toán tử tuyến tính; 𝒜 và λ đƣợc gọi là giá trị riêng tƣơng ứng.  Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận có liên hợp Hermite Trong các phần trƣớc, chúng ta đã định nghĩa một ma trận có liên hợp Hermite A là một ma trận có thể liên hợp với liên hợp Hermite của nó, do đó: A + A = AA + Bây giờ chúng ta thảo luận về tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận có liên hợp Hermite. Nếu x là một vectơ riêng của một ma trận có liên hợp Hermite A tƣơng ứng với giá trị riêng λ thì sau đó: Ax = λx hoặc tƣơng đƣơng : (A – λx)x = 0 Biểu thức: B = A – λI thì Bx = 0 , lấy liên hợp Hermite ta có: (Bx) + = x + B + = 0 → (Bx)+ = x+B+Bx Tuy nhiên, B +B đƣợc cho bởi: 18                                     A là liên hợp Hermite , thì ta có: AA+ = A+A và do đó:                            Và do đó B là liên hợp Hermite. Từ đó ta thấy:   0x x x x x x               Từ đó ta thu đƣợc:   0x x        Vì vậy, đối với một ma trận A có liên hợp Hermite, giá trị riêng của A+ là liên hợp phức tạp của các giá trị riêng của A. Bây giờ chúng ta xét hai vectơ riêng xi và xj của ma trận có liên hợp Hermite A tƣơng ứng với hai giá trị riêng khác nhau xi và xj. Chúng ta có: i i ix x  j j jx x  Nhân vế trái với  ix  ta có đƣợc:    i j i jjx x x x     Tuy nhiên, trên LHS chúng ta có:        j i i iix x x x            Ta viết:    0i i i ji i jx x x x          Nhƣ vậy, nếu i j  thì vectơ riêng của x i và x j phải trực giao, tức là:   0i jx x   Nếu tất cả N giá trị riêng của một ma trận A có liên hợp Hermite là khác nhau thì tất cả N vectơ riêng của A là trực giao lẫn nhau. Tuy nhiên, nếu hai hay nhiều giá trị riêng đều giống nhau thì đƣợc cho là cần thiết. Giả sử, λ1 thoái hóa k lần; tức là: 1 i ix x  với i=1,2,k 19 Nhƣng nó khác với bất kì λk+1, λk+2, sau đó, sự tổ hợp tuyến tính của các x i cũng là một vectơ riêng và giá trị riêng của λ1 nên : 1 k i ii z C x   1 1 1 1 1 k k k i i i i i i i i i z C x C x C x z              Nếu xi đƣợc định nghĩa là chƣa trực giao lẫn nhau thì chúng ta có thể xây dựng vectơ riêng zi mới chƣa trực giao, nhƣ sau: 1 1z x ^ ^ 2 2 2 1 2 1z x x z x z             . ^ ^ ^ ^ 1 1 1 1...k k k k k kz x z x z z x z                                Cách xây dựng đó đƣợc gọi là sự trực giao Gram-Schmidt. - Vì vậy, ngay cả khi A có một số giá trị riêng thoái hóa thì chúng ta có thể xây dựng bằng cách xây dựng đƣợc một tập hợp các N vectơ riêng trực giao lẫn nhau. - Nhƣ một kết quả tùy ý, vectơ y đƣợc biểu diễn nhƣ một sự tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng xi : 1 N i i i y a x   với  iia x y   Nhƣ vậy,vectơ riêng tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian vectơ bằng cách xác định bình thƣờng hóa các vectơ riêng để   1i ix x   để cơ sở là trực giao.  Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Unita Một ma trận Unita thỏa mãn : A* = A-1 và là cũng là một ma trận có liên hợp Hermite, với vectơ riêng trực giao lẫn nhau. Để làm rõ các giá trị riêng của ma trận Unita, chúng ta lƣu ý rằng : Ax = λx , sau đó: x x x x x x         20 Và chúng ta suy ra : 2 1    . Nhƣ vậy, giá trị riêng của ma trận Unita có đơn vị môđun.  Vectơ riêng và giá trị riêng của một ma trận vuông Khi một ma trận N×N là không có liên hợp Hermite, không có đặc tính chung của vectơ riêng của nó thì không thể tìm thấy tập hợp trực giao của N vectơ riêng hoặc thậm chí để tìm cặp vectơ riêng trực giao (trừ một số trƣờng hợp đặc biệt). Trong khi N vectơ riêng không trực giao thƣờng độc lập tuyến tính và do đó tạo thành cơ sở cho không gian vectơ N chiều. Nó có thể đƣợc hiển thị (mặc dù chúng ta không chứng minh điều đó) mà bất kì ma trận N×N với giá trị riêng khác biệt có N vectơ riêng độc lập tuyến tính , do đó tạo thành một cơ sở cho không gian N chiều. Nếu một ma trận vuông chung có giá trị riêng thoái hóa, sau đó nó có thể hoặc có thể không có N vectơ riêng độc lập tuyến tính. Một ma trận mà vectơ riêng không phải là độc lập tuyến tính đƣợc gọi là khiếm khuyết.  Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Hermite và không Hermite Đối với một ma trận có liên hợp Hermite thì nếu : Ax = λx thì A+x = λ*x . Tuy nhiên, nếu A là Hermite thì A = A+ thì λ = λ* . Nhƣ vậy, giá trị riêng của Hermite là thực và có thể chứng minh trực tiếp. Đối với vectơ riêng bất kì xi , chúng ta hãy liên hợp Hermite của i iix x  để:    i iix x      Sử dụng A+ = A , vì A là Hermite và nhân vế phải với xi , ta đƣợc:    i i i iix x x x     Nhƣng nhân i iix x  ở bên trái với (x i ) + ta đƣợc:    i i i iix x x x     Trừ hai vế ta đƣợc:   0 i ii i x x     Kết quả này có ý nghĩa đối với sinh viên học môn Cơ học lƣợng tử. Trong Cơ học lƣợng tử, các giá trị riêng tƣơng ứng với giá trị đo đƣợc của các đại lƣợng quan sát 21 đƣợc. Ví dụ nhƣ năng lƣợng, mômen động lƣợng, chẵn lẻ đều phải là thực. Ma trận Hermite là một ma trận có liên hợp Hermite nhƣng vectơ riêng của nó là trực giao. Trong trƣờng hợp một số các giá trị riêng bằng nhau thì việc chứng minh sự trực giao của các vectơ riêng là cần thiết. Sự trực giao Gram-Schamidt đã nói ở trên cung cấp cho chúng ta cách tính trực giao giữa chúng. Xét các tính chất của vectơ riêng của một ma trận không Hermite với A+ = - A và do đó:            Do đó, ma trận không Hermite là không có liên hợp Hermite và các vectơ riêng trực giao lẫn nhau. Các tính chất của giá trị riêng cũng đơn giản là suy luận, vì nếu Ax = λx thì: x x x x        Do    và λ là thuần túy .  Vectơ riêng đồng thời Với điều kiện nào mà hai ma trận có liên hợp Hermite khác nhau có thể có một tổ hợp chung của vectơ riêng. Kết quả là nếu và chỉ nếu- chúng giao hoán và nó có ý nghĩa sâu sắc đối với nền tảng của cơ học lƣợng tử. Để chứng minh kết quả này, cho A và B là hai N×N ma trận có liên hợp Hermite và x i là vectơ riêng thứ i của A tƣơng ứng với giá trị riêng λi , tức là: i i ix x  với i = 1, 2,N Chúng ta giả sử rằng các giá trị riêng đều khác nhau: (i) Đầu tiên , giả sử rằng A và B giao hoán. Ta xét: i i i i i ix x x x        Chúng ta đã sử dụng tính giao hoán đầu tiên và vectơ riêng cho phần thứ hai. Sau đó :    i iix x    và do đó mà Bx i là một vectơ riêng của A tƣơng ứng với giá trị riêng λi. Tuy nhiên, vectơ riêng của   0ii x   là duy nhất , do đó chúng ta kết luận rằng: i i ix x  22 Đối với một số nhiều thừa số μi . Tuy nhiên, đây chỉ là một phƣơng trình vectơ riêng cho B và cho thấy xi là một vectơ riêng của B, ngoài việc có một vectơ riêng của A. Bằng cách đảo ngƣợc vai trò của A và B , sau mỗi vectơ riêng của B là một vectơ riêng của A. Do đó, hai tổ hợp vectơ riêng giống hệt nhau. (ii) Bây giờ giả sử rằng A và B có tất cả các bội số chung vectơ riêng, xi thỏa mãn: i i ix x  và i i ix x  Khi các vectơ riêng của không gian vectơ N - chiều, vectơ x bất kì trong không gian có thể đƣợc viết nhƣ một sự tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng: 1 N i i i x c x   Xét: 1 1 1 N N N i i i i i i i i i i i i x c x c x c x              Và: 1 1 1 N N N i i i i i i i i i i i i x c x c x c x              Sau đó ABx và BAx là nhƣ nhau cho bất kì x tùy ý và vì thế mà: (AB – BA)x = 0 với mọi x. Điều này hoàn toàn chứng tỏ cho thấy một điều kiện cần và đủ để hai ma trận có liên hợp Hermite có một tổ hợp các vectơ riêng có bội số chung là chúng giao hoán lẫn nhau. Lƣu ý, nếu một giá trị riêng của A, chẳng hạn, là thoái hóa thì không phải tất cả các vectơ riêng cũng sẽ đƣợc coi là một tập hợp các vectơ riêng của B. 23 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ TRONG VẬT LÝ 2.1 Mô phỏng bài toán vật lý bằng vectơ 2.1.1. Vectơ biểu diễn đại lƣợng vật lý có hƣớng Các đại lƣợng vật lý có hƣớng sử dụng toán vectơ để biểu diễn nhƣ: vận tốc, gia tốc, độ dời, các loại lực, động lƣợng, cảm ứng từ,  Biểu diễn một đại lƣợng vật lý có hƣớng bằng cách xác định độ lớn: - Để biểu diễn một đại lƣợng vật lý có hƣớng trong vật lý cần xác định đƣợc phƣơng, chiều và điểm đặt ( thƣờng đặt vào vật hoặc chất điểm mà ta xét ) Phƣơng : có hai phƣơng chính là phƣơng thẳng đứng và phƣơng nằm ngang , các phƣơng khác xác định bằng góc α ( 0 α 1800 ) hợp với phƣơng thẳng đứng hoặc phƣơng nằm ngang. Độ lớn của vectơ là hình chiếu của vectơ đó lên phƣơng cho trƣớc. Ví dụ: chọn trục tọa độ là trục Oy có chiều dƣơng hƣớng lên trên, biểu diễn vectơ lực ⃗ có điểm đặt tại gốc O và tính độ lớn của lực ⃗ trong các trƣờng hợp sau: a) ⃗ có phƣơng thắng đứng chiều hƣớng xuống b) ⃗ có phƣơng thắng đứng chiều hƣớng lên c) ⃗ có phƣơng hợp với phƣơng thắng đứng một góc 300 d) ⃗ có phƣơng hợp với phƣơng thắng đứng một góc 1200 Hƣớng dẫn: 24 Độ lớn của lực ⃗ tổng quát là Fcosα  Vận dụng toán lƣợng giác tƣơng ứng với các cạnh của tam giác vuông rồi tính độ lớn vectơ theo góc α Lý thuyết toán học cần nhớ: Ví dụ:  Độ lớn của hai vecto bất kì đồng quy tại một điểm 25 Biểu diễn lực tổng hợp của hai lực thành phần tuân theo quy tắc hình bình hành Trƣờng hợp đặc biệt: 1 2F F F  2 2 1 2 1 22 cosF F F F F    0 1 2 1 2( 0 )F F F F F     0 1 2 1 2( 180 )F F F F F     0 2 2 1 2 1 2( 90 )F F F F F     Nếu :  1 2 1 22 cos / 2F F F F F    Tổng quát : 1 2 1 2F F F F F     Độ lớn của hệ các vectơ tạo thành một tam giác Vận dụng hệ thức trong tam giác để tính độ lớn của các lực: 2 2 2 3 1 2 1 2 32 cosF F F F F    2 2 2 1 3 2 3 2 12 cosF F F F F    2 2 2 2 1 3 1 3 22 cosF F F F F    Lƣu ý: các đại lƣợng vật lý có hƣớng ( đại lƣợng vectơ ) tùy thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn có thể âm, dƣơng hoặc bằng không, nếu giá trị của một đại lƣợng vectơ mang dấu „-„ phải đƣợc hiểu là nó có hƣớng ngƣợc chiều với hƣớng ta chọn. Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính hợp lực của ba lực đồng qui trong một mặt phẳng. Biết góc hợp giữa 1 lực với hai lực còn lại đều là các góc 600 và độ lớn của ba lực đều bằng 20N. 26 Phân tích bài toán: 0 12 1 60 2 .cos 20 33 2 F F   Ta có:   02 12; 30F F    012 3; 90F F  212 23 122 32 . 40F F F F F      Bài 2: Cho vật rắn khối lƣợng 8kg nằm cân bằng nhƣ hình vẽ. Lấy g=10m/s2, Tính lực căng dây của các dây. Lời giải: Biểu diễn các lực nhƣ sau: Từ hình vẽ ta có: P = TAC.cos 30 0 27 → 0 93, 4 cos30 C      Tƣơng tự: 0. os60 46,2C c      2.1.2. Vectơ chỉ hƣớng của ánh sáng truyền trong không gian - Ánh sáng Mặt Trời và hầu nhƣ mọi dạng nguồn chiếu sáng tự nhiên và nhân tạo khác đều tạo ra sóng ánh sáng có vectơ điện trƣờng dao động trong mọi mặt phẳng vuông góc với hƣớng truyền sóng. Nếu nhƣ vectơ điện trƣờng hạn chế dao động trong một mặt phẳng bởi sự lọc chùm tia với những chất liệu đặc biệt, thì ánh sáng đƣợc xem là phân cực phẳng, hay phân cực thẳng đối với hƣớng truyền, và tất cả sóng dao động trong một mặt phẳng đƣợc gọi là mặt phẳng song song, hay mặt phẳng phân cực. - Mắt ngƣời không có khả năng phân biệt giữa ánh sáng định hƣớng ngẫu nhiên và ánh sáng phân cực, và ánh sáng phân cực phẳng chỉ có thể phát hiện qua cƣờng độ hoặc hiệu ứng màu, ví dụ nhƣ sự giảm độ chói khi mang kính râm. Trong thực tế, con ngƣời không thể nào phân biệt giữa ánh sáng thực độ tƣơng phản cao nhìn thấy trong kính hiển vi ánh sáng phân cực và hình ảnh tƣơng tự của cùng mẫu vật ghi bằng kĩ thuật số (hoặc trên phim) và rồi chiếu lên màn hứng với ánh sáng không phân cực. Ý niệm cơ bản của sự phân cực ánh sáng đối với một chùm ánh sáng không phân cực đi tới hai bản phân cực thẳng. Vectơ điện trƣờng vẽ trong chùm ánh sáng tới dƣới dạng sóng sin dao động theo mọi hƣớng (360 độ, mặc dù chỉ có 6 sóng, cách nhau 60 độ đƣợc vẽ trong hình). Trong thực tế, vectơ điện trƣờng của ánh sáng tới dao động vuông góc với hƣớng truyền với sự phân bố đều trong mọi mặt phẳng trƣớc khi chạm phải bản phân cực thứ nhất. - Các bản phân cực thực ra là những bộ lọc gồm các phân tử polymer chuỗi dài định theo một hƣớng. Chỉ có ánh sáng tới dao động trong cùng mặt phẳng với các phân tử polymer định hƣớng bị hấp thụ, còn ánh sáng dao động vuông góc với mặt phẳng polymer thì truyền qua bộ lọc phân cực thứ nhất. Hƣớng phân cực của bản phân cực thứ nhất là thẳng đứng nên chùm tia tới sẽ chỉ truyền qua đƣợc những sóng có vectơ điện trƣờng thẳng đứng. Sóng truyền qua bản phân cực thứ nhất sau 28 đó bị chặn lại bởi bản phân cực thứ hai, do bản phân cực này định hƣớng ngang đối với vectơ điện trƣờng trong sóng ánh sáng. Ý tƣởng sử dụng hai bản phân cực định hƣớng vuông góc với nhau thƣờng đƣợc gọi là sự phân cực chéo và là cơ sở cho ý tƣởng về kính hiển vi ánh sáng phân cực. Bài tập vận dụng Bài 1: Giữa hai nicôn bắt chéo nhau của một đƣờng kế, ngƣời ta đặt ống thủy tinh dài 20cm chứa dung dịch đƣờng có nồng độ c = 67,8 độ.cm3/g.dm .Tính góc quang mặt phẳng phân cực do đƣờng gây ra? Lời giải: 20cm = 2dm Ta có công thức tính góc quang mặt phẳng phân cực là:  . .l c  Thay số vào ta có: 067,8.2.0,2 27,12   Bài 2: Giả sử ánh sáng phân cực thẳng đƣợc chiếu vào bản của một phần tử bƣớc sóng sao cho mặt phẳng dao động của vectơ sáng làm thành với bản một góc ∝ = 00 ; ∝ = 900 và 0<∝<900 Hãy mô tả đặc tính của ánh sáng qua bản? Lời giải: Ta đã biết hình chiếu của vectơ dao động sáng đi qua bản một phần tƣ bƣớc sóng lên các trục xx và yy đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình: x = a.cosωt (1) y = b.cos(ωt-δ) (2) Trong đó: 2    là độ dịch pha do ánh sáng truyền qua bản một phần tƣ bƣớc sóng. a = Acos∝ và b = Asin∝ là biên độ của vectơ dao động sáng  của ánh sáng phân cực thẳng tới bản một phần tƣ bƣớc sóng và ∝ là góc giữa phƣơng của các dao động này và trục quang học của bản. 29 Thay các giá trị đã cho vào (1) và (2) ta đƣợc: Với ∝ = 00 x = Acosωt ; y = 0 ∝ = 900 x = 0 ; y = Acos(ωt-δ) 0<∝<900 : x = Acos∝.cosωt y = Asin∝.cos(ωt-δ) Từ đó ta có thể kết luận: Nếu góc giữa vectơ  và quang trục của bản bằng 0 hay bằng 90 0 ( ∝ = 00 ; ∝ = 900 ) thì DĐ  vẫn còn là phân cực thẳng. Trong trƣờng hợp đầu không xảy ra sự dịch chuyển pha ; trong trƣờng hợp sau có sự dịch chuyển pha. Nếu