Luận án Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère Elliptic không đối xứng - Thái Thị Kim Chung

Abstract ii

Lời cam đoan iii

Lời cảm ơn iv

Mục lục V

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Một số kiến thức trong lý thuyết ma trận 8

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 8

1.1.2 Chéo hóa ma trận 10

1.1.3 Ma trận compound bậc 2 11

1.2 Một số không gian hàm 12

1.2.1 Không gian Holder 12

1.2.2 Không gian Sobolev 13

1.3 Phương trình dạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai 14

1.3.1 Nguyên lý cực dại và nguyên lý so sánh 14

1.3.2 Bài toán Dirichlet. Tính khả nghịch của phương trình toán tử . 16

1.3.3 Các dinh lý Harnack. Krylov và đánh giá trong Lp 16

1.4 Phương trình dạo hàm riêng elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 17

1.4.1 Khái niệm phương trình elliptic cấp hai phi tuyến hoàn toàn 17

1.4.2 Khái niệm dạo hàm Frechet. Định lý hàm ấn trong không gian Banach 19

1.4.3 Giói thiệu phương pháp liên tục giải phương trình toán tứ phi tuyến 20

Chương 2 Tính (/-lõm của hàm số kiều Monge-Ampère không đối xứng 21

2.1 Tính lỏm cùa hàm số kiêu Monge-Ampère (tói xứng 21

2.2 Tính (/-lỏm của hàm số kiêu Monge-Ampère không đối xứng 23

2.2.1 Một vài tính chất của lớp ma trận Dó.n 23

2.2.2 Vi phản cấp hai của hàm số kiều Monge-Ampère không đói xứng . . 27

2.2.3 Tính (/-lỏm của hàm số kiêu Monge-Ampère không đối xứng 36

Chương 3 Các đánh giá tiên nghiêm trong C'2-aỢ.ì) đối với nghiệm ổ-elliptic của bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ainpère không đối xứng 38

3.1 Nguyên lý so sánh cho phương trình kieu Monge-Ampère không đối xứng . 39

3.2 Đánh giá trẽn toàn miền các đạo hàm cấp hai cùa nghiệm (^-elliptic của

phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng qua độ lổn của chúng ờ trên biên 43

3.2.1 Phát biểu định lý chính 43

3.2.2 Bổ đề bổ trợ về vét của tích hai ma trặn 44

3.2.3 Chứng minh của DỊnh lý 3.2.1 45

3.3 Đánh giá trẽn biên cốc đạo hàm cắp hai cùa nghiệm Ẩ-elliptic cùa bài toán

Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère khòng đối xứng 50

3.3.1 Phát biểu định lý chính 50

3.3.2 Làm phảng biên 51

3.3.3 Chứng minh của DỊnh lý 3.3.1 56

3.4 Đánh giá Holder toàn cục đối với các dạo hàm cấp hai của nghiệm ^-elliptic

của l>ài toán Dirichlet cho phương trình kiến Monge-Ampère không dối xứng 64

3.4.1 Đánh giá Holder bên trong miền dối vói các dạo hàm cốp hai cứa

nghiệm Ẩ-elliptic cùa phương trình kiểu Monge-Ampère không dối xứng 64

3.4.2 Đánh giá Holder lại điểm tùy ý trẽn biên dối với các dạo hàm cấp

hai của nghiệm ổ-elliptic cùa bài toán Dirichlet cho phương trình kiêu Monge-Ampère không dối xúng 75

3.4.3 Đánh giá Holder toàn cục dối với các dạo hàm cấp hai cùa nghiệm

(^-elliptic của l>ài toán Dirichlet 84

3.5 Đánh giá chuẩn C2-<*(Ỉ2) dối với nghiệm (^-elliptic cùa bài toán Dirichlet . 85

Chương 4 Tính giải được cùa bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng 91

4.1 Một diều kiện cần cho sự tồn lại nghiệm (^-elliptic cùa phương trình kiều

Monge-Ampẻre không dối xứng 91

4.2 Các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm d-elliptic cùa bài toán Dirichlet cho

phương trình kiểu Monge-Ampère không đối xứng 92

4.3 Một số ví dụ 99

4.3.1 Phương trình kieu Monge-Ampère không đối xứng trong Hình học

bảo giác 99

4.3.2 Phương trình kieu Monge-Ampère không đối xứng phụ thuộc tham số 101

Kết luận và kiến nghị

103

Danh mục các công trình liên quan đến luận án

104

Tài liệu tham khảo

105