Luận án Các đặc trưng plasmon và tính chất động lực học của hệ điện tử trong graphene

urier     i, , eV t V t    q rqr q , và dùng tới phương trình (1.197) chúng ta viết được:      i* ,1, , , e dl ll V t l V t u u        q q rk q kqk q r k q r . (1.202) Chú ý rằng số hạng tích phân trong phương trình trên được lấy trong toàn bộ không gian. Từ tính tuần hoàn của các hàm luk chúng ta có thể biến đổi tích phân trên về dạng tổng các tích phân tính trong từng ô đơn vị. Thật vậy, dùng phép đổi biến số n  r R r , với nR là vị trí của ô đơn vị thứ n và r là vectơ vị trí bên trong một ô đơn vị, ta có        i i* ,1, , e , e dn l l n l V t l V t u u           q q R q q rk q kqk q r k q r . (1.203) Bây giờ tích phân trong (1.203) được tính trên toàn bộ miền không gian của một ô đơn vị. Sử dụng tích chất của mạng tinh thể tuần hoàn [113]:    ie n m n m      q q R q q G . (1.204) 49 Trong đó 1 1 2 2 3 3n n n n  R a a a là vectơ mạng thực, ia là các vectơ đơn vị trong mạng thực,  1 1 2 2 3 32m m m m  G b b b là các vectơ mạng đảo, ib là các vectơ đơn vị trong mạng đảo, với i j ij a b . Các vectơ sóng q thuộc vùng BZ. Gọi cN là tổng số ô đơn vị trong hệ ta xét, /cN    , và xét trong sơ đồ vùng năng lượng rút gọn, ta cho 0m G , do đó  i c , ,e n n N        q q R q q q q . (1.205) Thay (1.205) vào (1.203) ta có        * ,1, , , dl ll V t l V t u u    k q kk q r k q r r r . (1.206) Ta định nghĩa i * *, ,1 1, e d d , |l l l ll l u u u u l l           q r k q k k q kk q k r r k q k , dấu ngoặc tròn để nhắc rằng tích phân lấy trong vùng BZ, ta có     , , , , |l V t l V t l l   k q r k q k q k . (1.207) Thay (1.207), (1.200), (1.201) vào (1.199) ta có          1 , 1 0 0 , i , , , , | . l l l l l N l E E l N l t f E f E V t l l                k q k k k q k q k k q k q k q k (1.208) Phương trình này sẽ được thu gọn nếu chúng ta sử dụng tớiphép gần đúng “đoạn nhiệt”, nghĩa là giả sử nhiễu loạn được bật lên và tăng dần từ t   với dạng phụ thuộc thời gian e t .     i +ext ext0, lim ,0 e t tt     r r . (1.209) Vì các thành phần Fourier là độc lập với nhau, ta chỉ cần quan tâm đến một thành phần. Ta cũng giả thiết rằng thế năng sinh ra, thế năng tổng cộng, và mật độ sinh ra đều có cùng dạng phụ thuộc vào thời gian qua thừa số i +e t t  . Ta có thể viết lại (1.208) như sau            1 , 10 0 0 , lim i , , , , | . l l l l l N l E E l N l f E f E V t l l                    k q k k k q k q k k q k q k q k (1.210) Từ đây suy ra biểu thức 50       0 , 01 0 , , lim , , | i l l l l f E f E l N l V t l l E E             k q k k q k k q k q k q k , (1.211) Diễn tả mối liên hệ giữa mật độ sinh ra và thế năng nhiễu loạn tự hợp tổng cộng. Đến đây để xác định biểu thức của  ,V tq chúng ta cần quay trở lại phương trình (1.193) và viết lại như sau     s , , 1 , t t      q q q . (1.212) Thế năng ứng với thế sinh ra    s s, ,V t e t  q q thỏa mãn phương trình Poisson    22 s 1 0 , ,eV t N t  r r . (1.213) Mật độ điện tích liên hệ với mật độ số hạt theo hệ thức   0Tre N e N     r r , (1.214) trong đó Tr là ký hiệu phép toán lấy vết. Sử dụng đồng nhất thức 1 l l l k k k ta thu được     1 1 0 1 0 , , Tr , , l l N N l N l l l          k q r r k q k k r r k q , (1.215) với 0r là vị trí của electron, thay dạng hàm Bloch vào yếu tố ma trận thứ hai và dùng tính chất của hàm delta-Dirac trong tích phân toàn miền, thay ký hiệu r cho 0r ta có    * i1 , 1 , , 1 e ,l l l l N u u l N l    q rk k qk q r r k q k . (1.216) Thay phương trình này vào (1.213) ta có      22 * is , 1 , ,0 , e ,l l l l eV t u u l N l        q rk k qk qr r r k q k . (1.217) Dưới dạng khai triển Fourier ta có      2 i2 *s 1 , , ,0 , , el l l l eq V t l N l u u d            q q rk k qk qq k q k r . (1.218) Tích phân trong biểu thức trên có dạng  i* , el lu u d  q q rk k q r được tính giống như tích phân trong (1.202), ta có 51   2s 12 ,0 , , | , l l eV t l N l l l      kq k q k k k qq , (1.219) với  i| , e ,l l l l    q rk k q k k q . Thay (1.211) vào (1.219), ta có         2 20 , 0s 20 ,0 ,, lim , , |i l l l l l l f E f EeV t V t l l E E               k q kk k q kq q k q kq , (1.220) sau đó dùng (1.212), thu được       2 20 , 020 ,0 ,, 1 lim , |i l l l l l l f E f Ee l l E E                  k q kk k q kq k q kq . (1.221) Kết quả này đã thu được trong các bài báo [4, 40], hay được trình bày lại trong các sách [36, 62, 96, 113]. Phương trình (1.242) được gọi là công thức Lindhard cho hàm điện môi trong đó hàm Lindhard được định nghĩa là:        20 , 00 0 , ,, lim , |i l l l l l l f E f E l l E E               k q kk k q kq k q k , (1.222) Đây chính là hàm số mô tả sự thay đổi mật độ số hạt tương ứng với năng lượng thế vô hướng V . Để phân tách phần thực và phần ảo của hàm điện môi chúng ta sử dụng công thức:   0 1 1lim i i x x x       P . (1.223) Với P là ký hiệu giá trị chính Cauchy. Ta viết được như sau:               0 , 0 0 , 0 0 , , 0 , 0 , lim i i . l l l l l l l l l l l l f E f E f E f E E E E E f E f E E E                                      k q k k q k k q k k q k k q k k q k P (1.224) Chú ý rằng:        0 , 0 0 , 0 , , , l l l l l l l l l l f E f E f E f E E E E E E E                      k q k k q kk k kk q k k q k k q k , (1.225) thì bằng cách thay thế  k q k trong số hạng đầu thì: 52        0 , 0 0 0 , , , l l l l l l l l l l f E f E f E f E E E E E E E                    k q k k kk k kk q k k k q k q k . (1.226) Từ đó ta viết được phần thực của hàm điện môi dưới dạng sau:                 2 1 02 ,0 , , 2 2 , , 0 2 22 2 2 ,0 , , 2 1 1, 1 , | 1 , | . l l l l l l l l l l l l l l l l l l e f E E E E E l l E E E Ee f E E E E E l l                                                           k k k k q k q k k k q k q k k k k k q k q k q q k q k q k q k (1.227) Tương tự, công thức cho phần ảo của hàm điện môi là:          2 2 0 ,2 ,0 2 , , , | . l l l l l l l e f E E E E E l l                     k k q k k k k q q q k q k (1.228) Từ các kết quả trên ta có thể nói, hàm điện môi Lindhard là kết quả của phép gần đúng RPA. Nói cách khác, bằng phương pháp SCF, xuất phát từ phương trình chuyển động, ta thu được kết quả hàm điện môi ở gần đúng bậc đầu tiên của bài toán nhiễu loạn. Kết quả chỉ mới tính đến các hiệu ứng không định xứ, và ở mức độ phản ứng tuyến tính được đáp ứng. 1.5 Kết luận Trong chương này chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết cho việc khảo sát các trạng thái kích thích tập thể của hệ electron nói chung. Khái niệm dao động plasma của hệ điện tích, khái niệm plasmon được minh hoạ thông qua một số mô hình vật lý kinh điển. Đặc biệt chúng tôi trình bày chi tiết cách tính toán xác định cấu trúc điện tử của vật liệu graphene là đối tượng hệ vật lý mà chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu trong luận án này. Các phương pháp tính toán dựa trên mô hình liên kết chặt ở các cấp độ liên kết lân cận gần nhất và liên kết tới các lân cận kế tiếp đã được trình bày. Chúng tôi cũng đã trình bày các tính toán cho các đại lượng quan sát được như độ dẫn quang của graphene và hệ graphene siêu mạng để thấy mối liên hệ giữa các tính chất điện tử cơ bản của vật liệu các tính chất vật lý quan sát được của vật liệu. Quan trọng hơn, đó là những tính toán làm tiền đề phục vụ cho các nghiên cứu chuyên sâu của chúng tôi về các trạng thái kích thích tập thể của hệ electron trong các chương sau. Với mục đích hệ thống hoá kiến thức một cách đầy đủ và hữu hiệu nhất (ít nhất cho mục đích của luận án) chúng tôi đã trình bày lại cách tính toán cơ bản của lý thuyết trường tự hợp, chỉ rõ ý nghĩa của gần đúng pha ngẫu nhiên, và rút ra lại công thức Linhard cho hàm điện môi mà chúng tôi sẽ áp dụng để giải quyết các bài toán được trình bày trong các chương sau. 53 Chương 2 Tính toán hàm điện môi trong gần đúng RPA và khảo sát các đặc trưng plasmon của graphene trong mô hình điện tử liên kết chặt với lân cận gần nhất 2.1 Phương pháp giải tích tính hàm phân cực trong giới hạn pha tạp yếu và nhiệt độ tuyệt đối Các nghiên cứu của nhiều tác giả khác đã chỉ ra rằng phương pháp giải tích có thể áp dụng một cách triệt để để tính toán hàm điện môi, cũng như dẫn ra được biểu thức tán sắc plasmon của graphene trong khuôn khổ mô hình Dirac và gần đúng nhiệt độ 0 K [65, 160]. Vì sự quan trọng của các kết quả giải tích, chúng tôi thực hiện lại các tính toán trên cơ sở áp dụng quy trình tính toán áp dụng trong tài liệu [160]. Mặc dù vậy, công việc tính toán giải tích nói chung luôn đòi hỏi những kỹ thuật biến đổi phức tạp, trong khi chúng lại không được trình bày chi tiết trong các bài báo khoa học, nên chúng tôi sẽ trình bày chi tiết toàn bộ tính toán trong các mục từ 2.1.1 cho đến 2.1.6. Các kết quả thu nhận được hoàn toàn trùng lặp với các kết quả khác đã được nhiều tác giả công bố. 2.1.1 Hàm điện môi RPA áp dụng cho graphene Trong mục này chúng tôi trình bày các tính toán cho hàm điện môi áp dụng công thức Linhard (1.221) (rút ra từ lý thuyết trường tự hợp trong gần đúng pha ngẫu nhiên):       RPA i i2 0 , 0 2 , ,0 , , e , , e 1 . i l l l l l l f E f E l l l le q E E                          q r q r k q k k k q k q k k q k q k (2.1) Chú ý rằng trong công thức này thừa số   2 2 0 ev q q có bản chất là thành phần Fourier của thế Coulomb trong không gian ba chiều. Với hệ điện tử hai chiều của graphene chúng ta cần phải thay thế thừa số này bằng biểu thức của biến đổi Fourier hai chiều của thế Coulomb:   2 02 ev q  q . (2.2) Việc rút ra kết quả này được trình bày chi tiết trong Phụ lục A, trong đó  là hằng số điện môi trung bình của môi trường nền. Nếu coi môi trường là chân không thì 1  , tuy nhiên với graphite ba chiều giá trị này là 2.4  [150]. Với graphene, nếu bỏ qua hiệu ứng do sự phân cực bên trong mẫu hai chiều này, và xét trường hợp vật liệu đế là 2SiO có hằng số điện môi s 3.9  thì hằng số điện môi của hệ được tính bằng  s 1 / 2 2.5    [7]. Diện tích của mẫu graphene là  , trong trường hợp tính cho mẫu vô hạn, ta tính cho một đơn vị diện tích 1 . 54 Hàm phân cực ở gần đúng bậc đầu tiên trong phép gần đúng RPA được định nghĩa như sau          0 , 01 , , , , , i l lll l l l l f E f E P F E E            k q kk k q kq k q , (2.3) trong đó   2i i i, e , , e , ellF l l l l l l          q r q r q rk q k k q k q k k q k , (2.4) là hàm chồng chập trạng thái. Trong giới hạn gần đúng sóng phẳng, các hàm riêng có thể viết dưới dạng iel C  k rkk , sử dụng các hàm riêng C k của graphene ở gần đúng lân cận điểm Dirac (1.85), ta thu được kết quả như sau    1 1 cos, 1 cos 1 2 2 ll k qF ll ll           k q k q , (2.5) với  là góc giữa k và k q ,  là góc giữa k và q . Kết quả này được trình bày trong Phụ lục B. Hàm điện môi (2.1) được viết lại như sau        1RPA , 1 ,v P   q q q . (2.6) Theo phương pháp SCF, ta phân tích theo chuỗi Taylor đại lượng nghịch đảo                                      21 12 RPA 1 21 1 RPA 1 1 1 , , ... , 1 , 1 , , ... 1 , v P v P v P v P v P v P                       q q q q q q q q q q q q q (2.7) So sánh (2.6) và (2.7) ta thu được liên hệ giữa hàm phân cực tái chuẩn hóa RPA và thành phần  1P [47] như sau            1 RPA 1 , , 1 , P P v P    q q q q . (2.8) Để tính giải tích hàm phân cực (2.3), tổng theo k có thể được chuyển thành phép tính tích phân trong không gian động lượng. Giá trị của k được chọn từ 0 cho đến một giá trị giới hạn trên, ký hiệu là D . Giá trị này tương ứng với năng lượng cao nhất là  [79, 80], năng lượng này phải thỏa mãn đủ nhỏ để gần đúng tuyến tính còn được thỏa mãn. Các công bố cho thấy giới hạn này phải nhỏ hơn năng lượng làm phá vỡ mối liên kết trong mạng graphene, cỡ 8eV [119]. Ngoài ra cần đưa vào hệ số suy biến do spin, s 2g  và do có hai loại điểm K không tương đương, v 2g  . Hàm phân cực có dạng 55          0 , 01 2s v2 , , , d , 4 i l lll l l l lk D f E f Eg gP k F E E             k q kk q kq k q . (2.9) Ở mức pha tạp thấp, các mức năng lượng riêng có dạng FlE l v k  k , trong đó  là thế hóa học. Ta đưa ra đại lượng vector sóng Fermi Fk được định nghĩa qua theo hệ thức F Fv k   . Các hàm phân bố Fermi có dạng   1 0 B exp 1Ef E k T         . Ở nhiệt độ 0 K, các trạng thái ở dưới mức Fermi bị chiếm hoàn toàn nên 0 1f  , trong khi đó các trạng thái ở trên mức Fermi thì không bị chiếm, nên 0 0f  . Để xẩy ra một khả năng chuyển thì ta phải có    0 , 0 1l lf E f E   k q k . Ta có thể tách hàm phân cực (2.6) thành hai phần đóng góp: do sự chuyển nội vùng, ll   , và do sự chuyển ngoại vùng, ll   , hay,        1 , , ,P        q q q . Trong đó     22 F F , , d 4 / ik D Fg k v v k                k q q k q , (2.10) với s v 4g g g  , và F/ v   cũng là một đại lượng rất nhỏ. Một cách tổng quát, để tính giải tích các hàm (2.9), ta sử dụng công thức  1 1i i X X X         P , (2.11) khi 0  . Trong đó  XP là ký hiệu của giá trị chính Cauchy, hàm  X là hàm delta- Dirac. Khi chuyển sang tọa độ cực và sử dụng công thức ta có thành phần ảo của (2.9) có dạng     F 0 Im , d , , 4 Dg k I k q v          q , (2.12) với    , và    2 F 0 , , d /I k q k F v k              k q . (2.13) Phần thực được tính theo phần ảo theo công thức mối liên hệ Kramers–Kronig [159]    Im ,1Re , d FF             q q P , (2.14) trong đó  ,F q là một hàm giải tích thực. 56 Trước tiên, ta xét trường hợp thế hóa học 0  , khi đó mức năng lượng Fermi bằng không và nằm tại vị trí các điểm Dirac, vùng dẫn không có electron nào. Phần đóng góp do sự chuyển nội vùng bằng 0, và chỉ có sự chuyển ngoại vùng do đó hàm phân cực khi đó có dạng      10 , ,P    q q . (2.15) Khi thế hóa học khác không, hàm phân cực có thể được xác định bằng cách cộng vào hàm phân cực khi thế hóa học bằng không (2.15) một số hạng bổ chính [160]            1 1 10, , ,P P P   q q q , (2.16) với        1 , , ,P         q q q . (2.17) Phần ảo của (2.17) được xác định như sau      1 ,F 0 Im , d , , 4 gP k I k q v          q . (2.18) Phần thực của (2.17) được tính theo công thức (2.14). 2.1.2 Tính phần ảo và phần thực của    10 ,P q Trước hết tích phân I trong (2.13) được phân tích thành hai số hạng I và I như sau  2 F 0 1 cosd 1 / 2 k qI k v k                    k qk q , (2.19) và  2 F 0 1 cosd 1 / 2 k qI k v k                    k qk q . (2.20) Phần tính các tích phân theo góc này được trình bày trong Phụ lục C. Kết quả thu được có dạng       1/22 2 F F F2 2 2 F 2 / // / 2 k v q q vI q v k q v                            , (2.21) và 57         1/22 2 F F2 2 2 F F F 2 / / / / / . 2 2 k v q I v q q v v q v qk k                                             (2.22) Phần ảo của hàm phân cực    10 ,P q được xác định theo (2.12) và (2.15):      10 F 0 Im , d , , 4 DgP k I k q v         q . (2.23) Để tính tích phân này, ta dùng kết quả (2.22), Tính toán chi tiết được trình bày trong Phụ lục D, kết quả thu được      210 F2 2 2 F Im , 16 g qP v q v q     q . (2.24) Từ đó ta thu được phần thực, có dạng      210 F2 2 2 F Re , 16 g qP v q v q     q . (2.25) Các công thức từ (2.19) và (2.20) trình bày lại quy trình tính toán áp dụng trong tài liệu [160] và chúng tôi cũng thu lại được các kết quả (2.22) đến (2.25). 2.1.3 Tính phần ảo và phần thực của    1 ,P q Phần ảo của    1 ,P  q được tính theo (2.18), tổng trong tích phân được phân tích như sau:         , , , , ,I k q I k q I I I I I I I I                      . (2.26) Từ kết quả (2.21) và (2.22) ta thấy 0I   , và 58                           1/22 2 F F F2 2 2 F 1/22 2 F F F2 2 2 F 1/22 2 F F2 2 2 F F 2 / /, , / / 2 2 / // / 2 2 / / / / 2 k v q q vI k q q v k q v k v q q vq v k q v k v q v q q v v q k                                                                                F/ . 2 v q k                (2.27) Để tính tích phân (2.18), ta chia vùng điều kiện của  và q một cách thích hợp như Hình 2.1. Các điều kiện cụ thể trong các vùng A là F F F F F F F F 2 21A : ;2A : ;3A : 2 2 2 2 v q v q v q q k v q v q v q q k                         , (2.28) và các vùng B là F F FF F F F F F 2 2 1B: ;2B : ;3B : 2 2 2 2 2 v q v q q kv q v q v q v q v q q k                             . (2.29) 59 Fv q  2Fv q   2Fv q   2 Fv q   / Fq k /  2 2 1A 1B 2B 2A 3A 3B Hình 2.1 Phân vùng điều kiện để tính tích phân theo phương pháp giải tích, trong hình vẽ ta đã chọn 1 , F 1v  So sánh giá trị Fk , là cận trên của các tích phân với các giá trị đặc biệt ở các điều kiện trên được thể hiện ở Hình 2.2. Việc tính tích phân chi tiết trên các vùng được trình bày trong Phụ lục F. Kết quả được biểu diễn qua các hàm số thực   2 2 2 2 F , 16 g qf q v q     , (2.30) và         2 1 2 1 1 cosh : 1 1 cos : 1. G x x x x x G x x x x x             (2.31) Các hàm này thỏa mãn các tính chất ở Phụ lục E. 60 Hình 2.2 So sánh giá trị Fk với các giá trị đặc biệt để tính tích phân Kết quả cho phần ảo của phần thêm vào hàm phân cực như sau:       F F 1 F F 2 2 1A 1B 2 2A Im , , 2 2B 0 3A 0 3B G G v q v q G P f q v q G v q                                                    q (2.32) Phần thực được xác định từ công thức (2.10) và (2.11):             1 2 2 F F F0 0 Re , , , d d . 4 / / P F Fg k k v v k v k                                 q k q k q k q k q P (2.33) Tính toán chi tiết tích phân này được trình bày trong Phụ lục G. Kết quả thu được ứng với các vùng như sau 61       F F F 1 F F F F F F 1A 2 2 1B 2 2A Re , , 2 2B2 2 2 3A 2 2 3B G G v q v q G v q gP f q Gv v q G G v q v q G G v q v q                                                                                                        q (2.34) Cách sử dụng các hàm số trong công thức (2.30), (2.31), và các kết quả thu được thể hiện trong các công thức (2.32) đến (2.34) là hoàn toàn lặp lại kết quả trong tài liệu [160]. 2.1.4 Tổng hợp kết quả tính hàm phân cực Hàm phân cực trong trường hợp graphene không pha tạp có dạng            1 1 10 0 0, Re , i Im ,P P P   q q q . (2.35) Từ các kết quả (2.24) và (2.25) ta có        2 210 F F2 2 2 2 2 2 F F , i 16 16 g q g qP v q v q v q v q            q . (2.36) Ta đưa ra một hàm phức   2 2F 2 2 2 F , 16 v qgF q v q      , (2.37) thì (2.36) có thể được viết dưới dạng      10 2 2 F , , i F q P v    q . (2.38) Để cho gọn hơn nữa ta đặt F F 2 2;X Y v q v q         , (2.39) và đưa vào hàm số    2 21 ln 1G x x x x x     có những tính chất như Phụ lục E. 62 Dạng tổng quát của hàm phân cực thu được như sau:                 1 2 2 2 2 F F , , + i 2 1 i 1 . F qgP G Y v v X G X X G X                 q (2.40) Hay                 1 2 2 F , , i 2 1 i 1 . F qgP G Y v X G X X G X                  q (2.41) Ta đưa vào hai biến số không thứ nguyên F ;qx y k     , (2.42) từ (2.39) ta có 2 2,y yX Y x x    , và   2 2 2 , 16 F q g x y x     . Tương tự, ta đặt các hàm trong ngoặc của phương trình (2.41) được biểu diễn qua hai ẩn ,x y như sau           2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 16 2 2 2 22 , 1 ln 1 2 2 2 22 , 1 ln 1 2 2 2 23 , 1 ln 1 0 2 2 , 1 2 g xf x y y x y y y yG Y x y x x x x y y y yG X x y x x x x y y y yG X x y x x x x x y x y x y                                                                              0 23 , 1 2 x y x y x y       (2.43) và ta đặt        1 12 2 F , ,P P v   q q . (2.44) 63 Thay các hàm này vào (2.41) ta có                 1 , , 2 , i 2 2 , 2 , i 3 , 3 , gP x y f x y G Y x y x y G X x y x y G X x y              (2.45) Từ kết quả tổng quát (2.40) biểu thức hàm phân cực cho hai trường hợp đặc biệt: trường hợp bước sóng dài, tức là 0q ; và trường hợp tĩnh, khi 0  thu được có dạng như sau:      21 2 1 20, ln i 2 8 2 2 2 gqP q                        , (2.46) và      1 F FF F F 2,0 2 2 8 gk kgqP q q k G v v q            . (2.47) Các kết quả từ (2.40) đến (2.47) là hoàn toàn thu lại các kết quả trong các tài liệu [65, 160]. 2.1.5 Đặc trưng tán sắc căn bậc hai của plasmon Phổ tán sắc plasmon thu được từ việc giải phương trình  p, i 0q    , (2.48) trong đó  là tốc độ phân rã của plasmon, p là tần số plasmon. Các đại lượng này được xác định từ các phương trình sau [45]    1 p1 Re ,qv P q  , (2.49) và           p 1 p 1 p Im , / Re , P q P q       . (2.50) Sử dụng biểu thức (2.2) và (2.49) ta có phương trình xác định tần số plasmon    2 1 0 Re , 0 2 e P q q    . (2.51) Tiếp tục sử dụng phương trình (2.44) ta có 64        12 2 p1 2 2 0 F 0 F Re , Re , 2 2 P qe eP q q v v x        . (2.52) Đến đây ta đặt hệ số 2 0 F 15.29 2 e v    , là hằng số tương tác tinh tế, phương trình (2.51) viết đơn giản lại là:    1 pRe , 0P x y x     , (2.53) trong đó kí hiệu p p /y    là nghiệm khả dĩ của phương trình. Từ phương trình (2.51), xét trong trường hợp đặc biệt bước sóng dài ta có thể thu được nghiệm của phương trình, chính là tần số plasmon trong giới hạn này. Từ (2.46), lấy phần thực và bỏ qua số hạng lôgarit ta có     21 2Re 0, 8 gqP q        . (2.54) Thay kết quả này vào phương trình (2.51) ta được:   2p 08 g eq q  . (2.55) Chia hai vế cho  ta viết được phương trình diễn tả luật tán sắc của plasmon  p 0 F F8 q g qe v k      , (2.56) dưới dạng hàm số sau: py x , (2.57) trong đó 0 F8 ge v    , với 2.4  thì 1.42  , còn với 1.0  thì 2.21  . Mối quan hệ căn bậc hai (2.55) đã thu được cho hệ khí electron hai chiều [6]. Tuy nhiên vì p Fk   nên tần số plasmon của graphene tỉ lệ với căn bậc bốn của mật độ số hạt, khác với hệ khí electron tự do hai chiều, tần