Luận án Các hiệu ứng âm - Điện - từ trong các hệ thấp chiều

ạp. Sóng âm ngoài đƣợc giả thiết là truyền vuông góc với trục Oz của siêu mạng. Sau khi cân bằng mới đƣợc thiết lập thì hàm phân bố của điện tử tuân theo điều kiện , , , ( ) ( ) 0, n p n p n p ac th f f f t t t             r r r (3.10) ở đây , ( ) n p ac f t    r là tốc độ thay đổi gây ra bởi sự tƣơng tác điện tử-sóng âm ngoài và tán xạ điện tử-phonon âm, , ( ) n p th f t    r là tốc độ thay đổi do tƣơng tác điện tử với phonon nhiệt, tạp chấtThay phƣơng trình (3.9) vào phƣơng trình (3.10) thu đƣợc phƣơng trình cơ sở của bài toán               ' ' ' , 2 2 , ' ', , ', , , ',, , , ', ,, , , ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n p th q n n n q n p n p q n p q n p n p qn p q n p q n p n p q n p qn p q n p q n p f C U q N q t f f f f f f f                                                                r r r r r r r r r r rr r r r r r r r rr r r r r r r               ' ' ' ', ,, 2 2 , ' ', , ,', , , ,', , ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) n p q n p qn p q n n zk n k n p n p qn p k kn p k n p n p qn p k kn p k f D I k N k f f f f                                                                             r r r rr r r r r rrr r rr r r rrr r rr r r (3.11) Tuyến tính hóa phƣơng trình (3.11) bằng cách thay hàm ,( )n pf  r bằng , 1( )F n pf f  r ở đây ,( )F n pf  r là hàm phân bố Fermi ở trạng thái cân bằng, và , 1( ) / n p th f f t      r ; với  là thời gian phục hồi xung lƣợng. Do đó, chúng ta đạt đƣợc 43               ' ' ' 2 2 1 , ' ', , ', , , ',, , , ', ,, , , ', | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( q n n n q n p n p q n p q n p n p qn p q n p q n p n p q n p qn p q n p q n p n p f C U q N q f f f f f f f f                                                                r r r r r r r r r rr r r r r r r r rr r r r r r r r               ' ' ' ,, 2 2 , ' ', , ,', , , ,', , ) | | | | ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) q n p qn p q n n zk n k n p n p qn p k kn p k n p n p qn p k kn p k D I k N k f f f f                                                                           r r rr r r r r rrr r rr r r rrr r rr r r (3.12) Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau 12 2 (2 ) AE p n e j f dp     r r (3.13) ở đây p  r là vận tốc của điện tử cho bởi công thức , . n p p p         r r r Thay phƣơng trình (3.12) vào phƣơng trình (3.13) và thực hiện biến đổi tích phân, ở đây bài toán xem xét thời gian phục hồi xung lƣợng xấp xỉ là hằng số. Chúng ta thu đƣợc dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp. 2 2 1/2 1 , ' , ' 0 2 2 1/2 2 , ' , ' 0 4( 1/ 2) exp[ ( ) ]( ) 4( 1/ 2) exp[ ( ) ]( ), AE D n n n n B D n n n n B e nn j A U B B k T m e nn A I C C k T m                    (3.14) ở đây 2 2 4 2 2 1/2 1 2 3 0 0 (2 ) (2 ) exp( ); exp( ), (2 ) l q B s B s q B e c e mk T A A c k T c m k T               r r 2 2 , ' ( ) (1 )exp( ); / 2 , 2 qn n k B B mmD D B D q mk T mk T q q              r 2 1/2 1/2 1/2 , ' 1/2 5/2 3/2 ( ) exp[ 2( ) ] [2( ) ] [2 2 ( ) ] , 4 4 n n k m b c b K b c C c a b c a c c                  r 44 2 , ' , ' , ' , ' 2 2 21/2 , ' , ' , ' 0 ( ) exp( ); , 2 2 41 ; ( ) ( '); ( ) . 8 B n n n n n nk k k n n B Bk D n n n n n n z B mk T m m a b m m k T mK T e n c n n I I k dz mk T m                             r r r r Nhƣ vậy bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử dòng âm điện lƣợng tử phi tuyến trong siêu mạng pha tạp đã thu đƣợc. Từ biểu thức giải tích dòng âm điện lƣợng tử thấy rằng dòng âm điện phụ thuộc không tuyến tính vào nhiệt độ của hệ, tần số sóng âm và các tham số đặc trƣng cho siêu mạng mạng pha tạp nhƣ nồng độ pha tạp. Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào các tham số của của siêu mạng pha tạp, nhiệt độ của hệ, tần số sóng âm cũng nhƣ ảnh hƣởng của thế giam giữ trong siêu mạng, biểu thức dòng âm điện đƣợc vẽ đồ thị và thảo luận. 3.4 Kết quả tính số và thảo luận Để thấy đƣợc sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến lên nhiệt độ và các tham số của siêu mạng, trong phần này các tính toán số đƣợc thực hiện cho siêu mạng pha tạp GaAs:Si/GaAs:Be. Hình 3.1 mô tả sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của nhiệt độ. Từ hình vẽ thấy rằng dòng âm điện phụ thuộc vào nhiệt độ không tuyến tính. Giống nhƣ trong trƣờng hợp hố lƣợng tử xuất hiện các đỉnh tại một số tần số nhất định khi điều kiện , '( ')q n nk n n   rr thỏa mãn, và khi thay đổi nhiệt độ chỉ có độ cao của đỉnh thay đổi, còn vị trí của các đỉnh không thay đổi, bởi vì điều kiện xác định vị trí xuất hiện của đỉnh không phụ thuộc vào nhiệt độ. 45 Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào tần số của sóng âm tại những giá trị khác nhau của nhiệt độ, với T = 45 K (đường liền nét), T = 50 K (đường chấm), T = 55 K (đường nét đứt). Ở đây nD = 1×10 23 m -3 Hình 3.2:Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào tần số của sóng âm tại những giá trị khác nhau của nồng độ pha tạp, với nD=1×10 23 m -3(đường liền nét), nD=1.2×10 23 m -3(đường chấm), nD=1.4×10 23 m -3 (đường nét đứt). Ở đây T = 50K 46 Hình 3.2 mô tả sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của nồng độ pha tạp. Từ hình vẽ ta thấy khi thay đổi nồng độ pha tạp thì dòng âm điện thay đổi khá mạnh, dòng âm điện không chỉ thay đổi về độ lớn của các đỉnh mà vị trí của các đỉnh cũng thay đổi. Khi nồng độ pha tạp tăng lên thì vị trí đỉnh dịch chuyển về phía có tần số lớn là do điều kiện c quyết định. Tuy nhiên dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp có sự khác biệt so với trong hố lƣợng tử đó là các đỉnh xuất hiện đối xứng qua đỉnh thấp hơn. Cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp hố lƣợng tử nguyên nhân xuất hiện các đỉnh này là do sự dịch chuyển giữa các mini vùng năng lƣợng (dịch chuyển ngoại vùng). Nếu xem xét trƣờng hợp dịch chuyển nội vùng (n = n’) thì dòng âm điện trong siêu mạng cũng bằng không. Hình 3.3 mô tả sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nhiệt độ và năng lƣợng Fermi trong siêu mạng pha tạp, cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp hố lƣợng tử với thế cao vô hạn, sự phụ thuộc này cũng không tuyến tính, khi nhiệt độ tăng lên thì dòng âm điện lƣợng tử tăng dần lên và đạt giá trị cực đại tại T = 48 K, 0.038F  eV với q = 3×10 11 s -1 , nD = 10 23 m -3. Tuy nhiên, có một sự Hình 3.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào nhiệt độ và năng lượng Fermi với q=3×10 11 s -1 , nD=10 23 (m -3 ). 47 khác biệt so với hố lƣợng tử khi nhiệt độ tăng lên, trong khi ở hố lƣợng tử khi nhiệt độ tăng lên thì dòng âm điện tăng rất nhanh và đạt đến giá trị cực đại, rồi sau đó giảm dần xuống, còn trong siêu mạng pha tạp thì ngƣợc lại, dòng âm điện tăng đến giá trị cực đại rồi sau đó giảm rất nhanh, và một điều đặc biệt trong cả hố lƣợng tử và siêu mạng pha tạp là các đỉnh cực đại đều nằm ở vị trí nhiệt độ xấp xỉ nhau (ở hố lƣợng tử 50 K còn siêu mạng pha tạp 48 K). Điều này cũng hợp lý vì nguyên nhân xuất hiện các đỉnh là do sự dịch chuyển các mini vùng năng lƣợng, điện tử trong siêu mạng và hố lƣợng tử đƣợc xem là khí điện tử hai chiều. Hình 3.4 mô tả sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng độ pha tạp tại những giá trị khác nhau của tần số sóng âm. Từ hình vẽ ta thấy sự phụ thuộc của dòng âm điện lên nồng độ pha tạp không tuyến tính và xuất hiện đỉnh cực đại tại vị trí có nồng độ pha tạp thỏa mãn điều kiện , '( ')q n nk n n   rr . Khi thay đổi tần số thì dòng âm điện không những thay đổi về giá trị của dòng âm điện mà còn thay đổi cả về vị trí của đỉnh cực đại. 0 2 4 6 x 10 23 0 2 4 6 8 10 12 C u rr e n t D e n s it y [ a rb . u n it s ] n D [m -3 ] Hình 3.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào nồng độ pha tạp tại những giá trị khác nhau của tần số sóng âm, với 11 11 10 ( )q s   (đường liền nét), 11 11.2 10 ( )q s   (đường chấm), 11 11.4 10 ( )q s   (đường nét đứt). Ở đây T=50K. 48 3.5 Kết luận của chƣơng 3 Trong chƣơng 3, bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử, luận án đã nghiên cứu dòng âm điện sinh ra do sự tƣơng tác của điện tử với sóng âm ngoài và tán xạ điện tử-phonon âm. Biểu thức giải tích dòng âm điện thu đƣợc, bên cạnh việc nghiên cứu sự phụ thuộc của dòng âm điện lên tần số sóng âm, nhiệt độ của hệ, chúng tôi đã khảo sát ảnh hƣởng của các tham số trong siêu mạng pha tạp lên dòng âm điện, nhƣ nồng độ pha tạp, chỉ số mini vùng năng lƣợng đặc trƣng cho siêu mạng. Cũng giống nhƣ trong chƣơng 2 một kết quả quan trọng của chƣơng này là chỉ ra đƣợc điều kiện xuất hiện của các đỉnh khi điều kiện , '( ')q n nk n n   rr đƣợc thỏa mãn. Kết quả tính toán số dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp cho thấy rằng trong siêu mạng cũng nhƣ trong hố lƣợng tử đều có xuất hiện các đỉnh. Tuy nhiên, vị trí các đỉnh cũng nhƣ hình dạng đồ thị có sự khác nhau rõ rệt. Qua kết quả khảo sát trong siêu mạng pha tạp ta thấy nồng độ pha tạp ảnh hƣởng rất mạnh đến dòng âm điện lƣợng tử. Kết quả tính toán số cho siêu mạng pha tạp GaAs:Si/GaAs:Be chỉ ra rằng có sự xuất hiện đỉnh tại T = 48 K với tần số sóng âm q = 310 11 s -1 , kết quả tƣơng tự giống nhƣ kết quả thu đƣợc trong hố lƣợng tử với thế cao vô hạn ở chƣơng 2. Kết quả tính toán chỉ ra rằng cơ chế cho những tính chất nhƣ vậy là do điện tử bị giam cầm trong thế của siêu mạng và sự dịch chuyển năng lƣợng giữa các mini vùng. Một kết quả quan trọng và khác biệt giữa bài toán trong hệ thấp chiều so với bán dẫn khối là hiệu ứng âm điện xuất hiện ngay cả khi thời gian phục hồi xung lƣợng xấp xỉ là hằng số, còn đối với bán dẫn khối thì hiệu ứng sẽ không xuất hiện trong trƣờng hợp này. Khi xem xét trong miền nhiệt độ cao, trong trƣờng hợp giới hạn cổ điển thì kết quả thu đƣợc giống kết quả trong siêu mạng pha tạp thu đƣợc bằng phƣơng trình động Boltzmann [25]. 49 Chƣơng 4 HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ LƢỢNG TỬ TRONG HỐ LƢỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ PARABOL Trong chƣơng này chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng âm điện từ lƣợng tử trong hố lƣợng tử bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử. Chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc trƣờng âm điện từ vào nhiệt độ, tần số sóng âm, từ trƣờng ngoài B, và các tham số của hố lƣợng tử. Chúng tôi xem xét hai trƣờng hợp giới hạn. Trƣờng hợp từ trƣờng yếu, ở nhiệt độ cao và trƣờng hợp từ trƣờng mạnh, ở nhiệt độ thấp. Ngoài ra, chúng tôi còn thực hiện giới hạn tần số 0 đặc trƣng cho hố thế parabol tiến tới không để trở về kết quả của bài toán tƣơng tự nghiên cứu trong bán dẫn khối, cũng nhƣ xem xét giới hạn cổ điển trong hệ hai chiều đƣợc nghiên cứu bằng phƣơng trình động Boltzmann. 4.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong hố lƣợng tử với hố thế parabol Sử dụng công thức phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử trong chƣơng 1 khi có từ trƣờng, toán tử Hamiltonian của hệ điện tử- phonon âm trong hố lƣợng tử với thế parabol 0 e phH H H   , (4.1) trong đó 0H là năng lƣợng của các điện tử và phonon không tƣơng tác 0 , , , ( )N N p N p N p H p a a       r r r r , (4.2) và e phH  là Hamiltonian tƣơng tác điện tử dòng phonon  ' ' , ',, , , , ( ) expe ph q N p q N p q qN N N N p q H C U q a a b i t         r r r r r r r r r , (4.3) với 3 2 1/2 0 ( ) 2 q q lC i c S      r r ; 2 21 1 ( 2) , 2 2 l l t l t t q                 (4.4) 2 2 1/2(1 / )l s lc c   ; 2 2 1/2(1 / ) ,t s tc c   (4.5) 50 22 21( ) ( ) , 2 2 2 yx N pp p N m m              r h (4.6) 1/2 0 , 2 ( )exp( )exp( ).N p N x y x y H z z ip x ip y L L a            r (4.7) Ở đây 2 2 1/2 0( )c    , 0,c  lần lƣợt là tần số cyclotron và tần số đặc trƣng cho hố thế, N = 0, 1, 2,  ',N NU q là yếu tố ma trận của toán tử  exp lU iqy z  .  ' '* ,, ,N pN N N pU q U dV   r r =  * 0 '' 0 2 exp exp exp exp exp yx N l x y H yx H ip yz z ip x iqy z L L a ip yip x z z dV a                                          h h h h 1 2 2 20 02 1 exp 2 ! NN x y H H z z z zm m m H L L N a a                          h h h     '' exp exp exp exp y yx x l p pp p i x i iqy z dV             h h 2 2 1 2 202 0 2 1 2exp exp 2 ! 4 H l H l lN x y H a z z am m m z mL L N a                                           h h h h 2 0 N H z z m H a         h '' exp exp y yx x p p qp p i x i y dxdydz              h h h   ' ' 1 2 2 2 2 0, , 2 2 0 2 0 2 1 2 exp 2 ! 4 2exp y y x x H l lN p p q p p x y H l N H H am z mL L N a z z z z m m mH dz a a                                                      h h h h h h h 51   ' ' 2 2 3 2 0 , 2 2 2 exp , 4 y y x x H l H l l p p q p p x y a a z L L m m                      h hh h (4.8) trong đó ( )NH x là đa thức Hermite, N =0, 1, 2 là chỉ số mức Landau từ. 4.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong hố lƣợng tử với hố thế parabol Để tính toán đƣợc trƣờng âm điện từ trong hố lƣợng tử với hố thế parabol, trƣớc hết thiết lập phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử với hố thế parabol, và chúng ta bắt đầu từ phƣơng trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lƣợng tử. , , ,N p N p N p t f a a    r r r , , , , , . N p N p t N p N p t a a i a a H t            r r r rh (4.9) Sử dụng Hamiltonian (4.1) và các phép biến đổi toán tử chúng ta thu đƣợc        ' ' ' , , , , ,, , , , , , exp( ), N p kk n N p p k kN N N p k N p k N k f t i C U k F t F t i t t                r r rrrr r rr r r r h (4.10) trong đó   1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , , ( ).N p N p q N p N p q t F t a a b F t r r r r r r Để tìm F(t) ta xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho F(t) nhƣ sau 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , , N p N p q t N p N p q t a a b i a a b H t      r r r r r rh (4.11) Sử dụng Hamiltonian và các phép biến đổi đại số toán tử ta thu đƣợc:  1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , , , N p N p q N p N p N p N p q F i F t t         r r r r r r r r h 1 3 2 2 2 3 1 11 3 1 1 1 3 2 1 1 1 3 , ,, , , .N N N p q N N N p qk N p k k N p k k t t k N i C U a a b b U a a b b          r r r r rr r r rr r rh (4.12) Giải phƣơng trình (4.12) theo phƣơng pháp biến thiên hằng số rồi thế vào (4.10) ta đƣợc       ' ' ' , 2 2 ' ' ' ,2 , , 1 | | | | 1 t N p q N p q qNN N p q N q f t C U dt f t N f t N t               r r r r rr r rh        ' '' ' ', ,, ,exp 1N p q q N p qN p q N p qi i t t f t N f t N                   r r r r rr r r rh 52    ' ', ,exp .N p qN p qi i t t          r rr r h (4.13) Thực hiện thêm một số phép biến đổi và chú ý tới hàm phân bố dòng phonon 3(2 ) ( ) ( ) c N k k q sq      r r r rh , (4.14) kết quả thu đƣợc phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử tƣơng tác với phonon âm             ' ' ' ' ' ' 3 , 2 2 ,2 , , , ,, , , , 21 | | | | . N p q N pN p q N q s N p q N p N p qN p q N p q n N p q f C U q f f t c f f                                    r r rr r r r r r r rr r r r r r r h h h h (4.15) Vậy chúng ta có phƣơng trình hàm phân bố của điện tử tƣơng tác dòng phonon ngoài khi có mặt từ trƣờng             ' ' ' ' ' ' 30 , , , 2 2 2 , , ,, , , ,, 21 eE+ , , | C | | | . N p N p N p c q NN N q s N p N p q N pN p q N p q N p q N p qN p q f f f p h U p p c f f f f                                                   r r r r r r r r rr r r r r r r rr r rr r r r h h h h (4.16) Phƣơng trình (4.16) là phƣơng trình cơ sở để tính toán trƣờng âm điện từ trong hố lƣợng tử với hố thế parabol. 4.3. Biểu thức trƣờng âm điện từ lƣợng tử trong hố lƣợng tử với hố thế parabol Từ phƣơng trình (4.16) bằng cách nhân hai vế với ,( )N p e p m      r r và lấy tổng theo N và p r ta thu đƣợc phƣơng trình mật độ dòng riêng R r ,c R h R Q S       r r ur urr , (4.17) với:     ' ' ' ' ' ' ,2 , , , , , ; , N p N p N p N p N p N p fp p R f Q e E m m p                        r r r r r r r rurr r r , (4.18) 53             ' ' ' ' ' ' ' 3 2 2 ,2 , , , , , ,, , , 21 | | | | . q N pNN N p N p q N pq s N p q N p N p qN p q N p q N p q p S C U f f c m f f                                      r rr r r rr r r r r rr r r r r r rur h h h h (4.19) Giải phƣơng trình (4.17) ta thu đƣợc biểu thức của R r nhƣ sau:       2 22 2 , , , .1 c cc R Q S h Q h S Q S h h                   ur ur r ur r ur ur ur r rr (4.20) Mật độ dòng toàn phần đƣợc cho bởi biểu thức sau:           0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 , , , , . 1 c c c c c j Rd L Q L S Q h Q Q h h S h S S h h d                             r ur ur ur ur r ur ur ur r ur urr r r r Tính biểu thức  Q  r và  S  ur   ' ' ' ,2 , , ( ) , . N p N p N p fp Q e E m p                 r r r rur r Trong trƣờng hợp xấp xỉ tuyến tính theo E và  ta có thể thay thế hàm ',N pf r bằng hàm  0 pf  r . Thực hiên phép chuyển tổng thành tích phân     ' ' ' 2 ,2 2 , 0 0 1 ( ) , . 2 N p N p N fp Q e p dp d E m p                          r r ur r Xét yp p  ta có ' ' ' 2 ', ', , ', , , , y N p N p N p N p y N p N p f f f p p p m                           r r r r uuur và 2 y y p d dp m          . Do đó:   ' 2 ' 12 . 2 2 c N e f Q m N E                  ur ur h (4.21) Bằng các phép biến đổi toán học tƣơng tự nhƣ  Q  ur ta cũng có biểu thức  S  ur 54                 ' ' ' ' ' ' 3 2 42 4 6 22 2 2 2 2 22 , , , , ,, , 21 4 ( ) | | 2 2 1 exp 2 4 2 l Hq Nq s x y H y yc H l l y x N p N p N p N p q N p qN p q N p q S C a c mL L a p q pa K dp dp m m f f q q p p                                                           r r ur r r r r r rr r r r ur h h h h h h h r r h hr r       ' 3 2 42 4 6 22 21 4 | | 2 2q l H Nq s x y C a c mL L                 r r h h h h             ' ' ' , 22 2 2 ',2 2 , ' ' , 1 exp exp 2 4 2 N p H yH l c l y y N p N p q q N p a p qa p dp d m m f f q N N N N                                                  r r r r r r hh h h h h h                  ' 3 2 42 4 6 22 2 2 ' ' 2 2 2 2 0 21 4 | | 2 2 1 exp 4 2 2 exp q l H Nq s x y H l q q l H c y y y C a c mL L a f q N N N N m m a p p q dp                                                 r r h h h h h h h h h h h                ' 3 2 42 4 6 2 22 2 2 2 2 ' ' 2 2 4 2 4 4 21 4 1 | | 2 2 2 2 exp 4 . 4 q l H Nq s x y H l l H c qq l H c q C a c m mL L a a q N N N N m f f A a                                                r r r r h h h h h h h h h h (4.22) 55 Với               ' 3 2 42 4 6 2 22 2 2 2 2 2 4 ' ' 2 2 4 4 21 4 1 | | 2 2 2 2 exp . 4 4 q l H Nsq x y H l l H c q q l H c q A C a c m mL L a K a q N N N N m a                                     r r r h h h h h h h h h h Vậy ta có   2 20 2 2 0 2 0 2 2 0 ( ) , , 1 1 1 2 c c c c c L Q Q h Q h h Q d fe m N E                                       ur ur ur urr r r ur h 2 2 2 20 0 22 2 0 ij2 2 2 2 0 0 0 ij 1 1 , , 2 2 1 1 2 1 1 2 c c j c c k k f fe m e m h N E h h N E d fe m e m N E d f N h                                                                                               r ur r urr h h h h 2 3 2 0 2 2 0 1 . 1 2 c j i j j c fe m E d N h h E d                        h (4.23) Đặt 0 2 2 0 1 1 2 l l c f a N d                     h     2 2 0 1 ij 2 ij 3 E .c k k c i j j e m L Q a a h a h h      ur (4.24) Thực hiện tính toán tƣơng tự cho 0 ( )L S r ta có:   2 20 2 2 0 ( ) , , 1 c c c L S S h S h h S d            ur r ur r r urr     2 2 ij ij2 2 0 2 1 ij 2 ij 3 1 . j c k k j c i j j c c k k c i j j A A h Ah h b b h b h h                      (4.25) với  2 20 1 l l c f b Ad           Cuối cùng ta có dòng toàn phần ij iji j jj E    , trong đó: 56   2 2 ij 1 ij ij 3c k k c i j e m a h a h h       là ten-xơ độ dẫn điện  2ij 1 ij 2 ij 3c k k c i jb b h b h h     là ten-xơ độ dẫn âm Khi mẫu cách điện hoàn toàn 0j  => 0zj  và 0yj  yj yj yx yx 0y j j x yy y yz z x yy y yz zj E E E E                    , do đó 0yy y yz zE    , (4.26) và zj zj zx zx 0z j j x zy y zz z x zy y zz zj E E E E                    , 0zy y zz zE    . (4.27) Nhân hai vế của (4.26) với yy và hai vế của (4.27) với zy ta có: 2 0yy y yz yy zE     và 2 0zy y zz zy zE     , Cuối cùng đạt đƣợc:    2 2 . zy yy yz zz z AME y yy zy E E            (4.28) Phƣơng trình (4.28) là biểu thức trƣờng âm điện từ trong hố lƣợng tử với thế parabol khi có mặt từ trƣờng ngoài. Bây giờ ta xem xét thời gian phục hồi của hạt tải phụ thuộc vào năng lƣợng của hạt tải theo công thức sau:   0 v Bk T            ta có: 2 2yz c e m a     ; 2 1yy e m a   ; yxxy   ; yz zy   ; 0xz  ; 1zz b  ; 2zy cb  . Thế vào phƣơng trình (4.28) ta thu đƣợc 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 , c c c AME c c e m e m b a b a a b b a E e m a ae m e m a a                               (4.29) Ta có 0 1 2 2 0 1 1 2c f a N d                     h và thay 0 v Bk T           ta đƣợc: 57 0 0 0 0 1 2 2 0 0 2 22 2 00 1 . 2 11 v v B B v v cc BB k T k Tf f a d N d k Tk T                                               h Đặt B x k T   ; F B z k T   => B d dx k T   ; 1 1 x z f e     0 0 0 01 2 2 2 2 2 2 0 00 0 1 1 2 1 v v B cv v c c x f x f a k T x dx N dx x