Luận án Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm đáp ứng tần số

                      1-j 1-j 1-j 1-j 44434241 34333231 24232221 14131211 j j j j D C B A D C B A jjjj jjjj jjjj jjjj HHHH HHHH HHHH HHHH (2.48) Cho chỉ số j trong (2.38) chạy từ 1 đến m ta được:                                         0 0 0 0 44434241 34333231 24232221 14131211 D C B A D C B A mmmm mmmm mmmm mmmm m m m m TTTT TTTT TTTT TTTT , (2.49) Trong đó nmqpT mpqmmm ,...,1];4,...,1,;[11   HHHT với IHT  00 . Điều kiện biên có thể biểu diễn tổng quát như sau:     0D,C,B,A][;0D,C,B,A][ 100000  TnnnnT EE ; (2.50)              1 24 1 23 1 22 1 21 1 14 1 13 1 12 1 11 10 24 0 23 0 22 0 21 0 14 0 13 0 12 0 11 0 ][;][ EEEE EEEE EEEE EEEE EE . Sử dụng phương trình (2.49) phương trình thứ hai trong (2.50) có thể viết thành:   0D,C,B,A][ 00001  TnTE . Cùng với phương trình đầu trong (2.50) ta nhận được: 0 D C B A 0 0 0 0 4 1 4 1 2 4 1 3 1 2 4 1 2 1 2 4 1 1 1 2 4 1 4 1 1 4 1 3 1 1 4 1 2 1 1 4 1 1 1 1 0 24 0 23 0 22 0 21 0 14 0 13 0 12 0 11                                     j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj TETETETE TETETETE EEEE EEEE . (2.51) 35 Để tồn tại các hằng số  T0000 DCBA không đồng thời bằng 0, cần thỏa mãn phương trình: 0det),,( 4 1 4 1 2 4 1 3 1 2 4 1 2 1 2 4 1 1 1 2 4 1 4 1 1 4 1 3 1 1 4 1 2 1 1 4 1 1 1 1 0 24 0 23 0 22 0 21 0 14 0 13 0 12 0 11                         j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj j n jj TETETETE TETETETE EEEE EEEE f γe ; (2.52) TnTnee ),...,(;),...,( 11  γe . Đây chính là phương trình tần số nhận được bằng phương pháp ma trận truyền. Các nghiệm dương của phương trình (2.52) cho ta các trị riêng ,...3,2,1, kk của dầm có nhiều vết nứt. Với mỗi trị riêng tìm được ta sẽ có một nghiệm của phương trình (2.51) chứa một hằng số tùy ý và do đó theo công thức (2.49) ta có thể tính được các hằng số Am, Bm, Cm, Dm để biểu diễn dạng dao động riêng trong đoạn bất kỳ ),( 1jj ee theo công thức (2.46). 2.3.2. Nghiệm tổng quát tường minh Để giải bài toán này ta chia dầm thành 1n đoạn 1,0,1,...,1),,( 101   njj eenjee và xét phương trình (2.38) trong từng đoạn ).,(,0)()( 14)( jjjIVj eexxx   (2.53) Đối với dạng riêng trên đoạn này được ký hiệu là )(xj . Dễ dàng nhận thấy nghiệm tổng quát của phương trình (2.53) có dạng: ).()()()()( 44332211 xLCxLCxLCxLCx jjjjj  (2.54) với các hằng số tích phân C1, C2, C3, C4 được xác định từ các điều kiện biên ở hai đầu dầm và các hàm )(),(),(),( 4321 xLxLxLxL jjjj được gọi là các hàm dạng và là tổ hợp tuyến tính của các hàm xxxx  cosh,sinh,cos,sin thỏa mãn phương trình (2.38) và (2.53). Để thỏa mãn điều kiện tại các vị trí vết nứt, các hàm 1,...,1),(  njxj có mối liên hệ: 36 .),()()()( 11    jjjjjjjj exeexSexx  (2.55) trong đó:  2/)sin(sinh)( xxxS  . (2.56) Thay (2.54) vào (2.55) ta được: )].()()([)]()()([ )]()()([)]()()([)( 444333 2221111 jjjjjjjjjj jjjjjjjjjjj exSeLxLCexSeLxLC exSeLxLCexSeLxLCx      và do đó: 4,3,2,1),()()()(1,  kexSxLxLxL jjkjjkjjk  . (2.57) Dễ dàng nhận được: .4,3,2,1),()()()( , 1 1,,    kexSxLxLxL iiik j i ikjk  (2.58) Đặt: .1...1;4,3,2,1);(,  jikxL iikiki  (2.59) Ta được: .1,...,1;4,3,2,1),()()( 1 1 1     njkexSxLxL i j i kikkj  (2.60) Từ phương trình (2.59) và (2.60) ta nhận được: .4,3,2,1,)()( 1 1 ,1,,         keeSeL ij j i ikjkjjk  (2.61) và 2/)sin(sinh)( xxxS   . Với j=1 ta có:   .4,3,2,1,)( 11,11,  keLkk  Với j=2 ta có:   ;4,3,2,1,)()( 121,21,22,  keeSeL kkk  37   .4,3,2,1,)()( 21,22,1221,  keLeeS kkk  Với j=3 ta có:   ;4,3,2,1,)()()( 232,131,31,33,  keeSeeSeL kkkk    .4,3,2,1,)()()( 31,33,2332,1331,  keLeeSeeS kkkk  Như vậy (2.61) có thể viết ở dạng ma trận: }.{ )( . . )( )( )( . . 1 . . ... . . . . . . . . 0...1 0...01 0...001 }]{A[ 1 313 212 111 3 2 1 321 3231 21 k nkn k k k kn k k k nnn k b eL eL eL eL aaa aa a                                                                       (2.62) trong đó: ],...,1,,0,),(,1:[]A[ njjiajieeSaaa jiijjjijjji   , T nknkk eLeLb )}(),..,({}{ 1111  là véctơ vế phải và véctơ ẩn là T knkk },...,{}{ 1   . Do định thức 1]det[ A nghiệm của phương trình (2.62) có thể viết ở dạng: 4,3,2,1},{]A[}{ 1   kbkk . (2.63) Ba thành phần đầu tiên của véctơ nghiệm }{ k có thể viết ra là: )}.()()( )()()()()({ )];()()([ );( 122311123 1311132321233133 1211212122 1111 eeSeeSeL eeSeLeeSeLeL eeSeLeL eL k kkkk kkk kk         (2.64) Thông thường sau khi áp các điều kiện biên cổ điển tại x = 0 ta có thể nhận dạng riêng trên đoạn đầu tiên ),0( 1e ở dạng )()()( 211 xDLxCLx  với hai hàm đã biêt )(),( 21 xLxL (sẽ được xác định sau) cùng thỏa mãn điều kiện biên tại x = 0. Do đó: .1,...,1),()()( 21  njxDLxCLx jjj (2.65) 38 với: ).()()( ),()()( 1 1 222 1 1 111 i j i ij i j i ij exSxLxL exSxLxL           (2.66) và các tham số njjj ,...,1,, 21  , được biểu diễn ở dạng: njeeSeL eeSeL ij j i ijjj ij j i ijjj ,...,1)],()([ )],()([ 1 1 222 1 1 111           (2.67) Tnn eLeLb )}(),..,({}{ 11111   , Tnn eLeLb )}(),..,({}{ 21212   . Đưa vào hàm số: .2/)sin(sinh)(; 0khi,0 0khi),( )(  xxxS x xxS xK        (2.68) ta có thể viết dạng dao động riêng một cách tổng quát như sau: )}.1,0[)],()({[)( 21  xxDxCx (2.69) trong đó: ).()()( );()()( 1 222 1 111 j n i j j n j i exKxLx exKxLx         . (2.70) Các hằng số tích phân C, D sẽ được xác định từ điều kiện biên tại đầu phải của dầm tại x=1. .0)1()1( ;0)1()1( )( 2 )( 1 )( 2 )( 1   qq pp DC DC (2.71) trong đó )(),( )(2)(1 xx pp  , )(),( )(2)(1 xx qq  là các đạo hàm cấp p và q của các hàm )(),( 21 xx  với p và q có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 phụ thuộc vào điều kiện biên thực tế ở đầu phải. 39 Từ phương trình (2.71), để tồn tại các hằng số C, D không đồng thời bằng 0, ta có phương trình : 0)1()1()1()1( )(2)(1)(2)(1  pqqp . (2.72) Hay .0)(),(),()( 1, 1221 1 12 1 210    n kj kj n j jj n j jj DeDeDD  (2.73) trong đó: ).,1(),1(),1(),1(),,( );,1(),1(),1(),1(),( );,1(),1(),1(),1(),( );,1(),1(),1(),1()( )()()()( 12 )()( 2 )()( 22 )()( 1 )()( 11 )( 2 )( 1 )( 2 )( 10     k p j q k q j p kj j qp j pq j j qq j qp j pqqp eSeSeSeSeeD eSLeSLeD eSLeSLeD LLLLD     (2.74) Đây là dạng hiển của phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình tần số) tổng quát của dầm có nhiều vết nứt khá đơn giản và thuận tiện so với các phương trình đã nhận được trong Caddemi [71] (2009). Phương trình này bao hàm tất cả các phương trình đã nhận được từ trước đến nay cho các dầm côngxôn, gối tựa đơn, ngàm hai đầu hay tự do hai đầu. Nghiệm của phương trình (2.73) sẽ cho ta các trị riêng ,...)3,2,1,( kk phụ thuộc vào các tham số vết nứt ),,...,,( 11 nn aeae và do đó cho phép ta nghiên cứu tần số riêng của dầm có nhiều vết nứt. Bảng 2. 1: Các hàm biên và các chỉ số đạo hàm trong điều kiện biên Điều kiện biên của dầm ),(1 xL ),(2 xL p q Ngàm cứng hai đầu )sin()sinh( xx   )cos()cosh( xx   0 1 Tự do hai đầu )sin()sinh( xx   )cos()cosh( xx   2 3 Gối tựa đơn hai đầu )sin( x )sinh( x 0 2 Công xôn )sin()sinh( xx   )cos()cosh( xx   2 3 40 Sau khi giải phương trình tần số (2.73), ta có thể khử một trong hai hằng số tích phân C, D bằng một trong hai phương trình (2.71), ví dụ 0)1()1( )(2 )( 1  pp DC , khi đó ta được: ).1(/)1(/ )(2)(1 ppCD  (2.75) và dạng riêng )]()([)( 21 xxCx   với một hằng số tích phân C, có thể xác định bằng một điều kiện chuẩn hóa do ta tự đặt ra, ví dụ 1)(max  x x , tức là:   1210 )]()([max  xxC x  . (2.76) Cuối cùng ta được nghiệm chính xác của dạng riêng là : )].(ˆ)(ˆ[)(ˆ 21 xxx   (2.77) với )()(ˆ),()(ˆ 202101 xCxxCx  , có thể sử dụng để phân tích ảnh hưởng của vết nứt đến dạng riêng và chẩn đoán vết nứt bằng dạng riêng. 2.3.3. Công thức Rayleigh tính tần số dao động riêng đối với dầm đàn hồi có nhiều nhiều vết nứt Xét một dầm Euler-Bernoulli tiết diện đều, ngàm chặt hai đầu với điều kiện biên: 0)1()1()0()0(  kkkk . (2.78) Và các điều kiện tương thích tại các vị trí vết nứt (2.40) (2.43): Nhân hai vế phương trình (2.38) với )(xk , lấy tích phân trong đoạn 1( , )j je e rồi tính tổng theo j ta được: .)()()( 1 1 24 1 1 4 4 11                           n j e e kk n j e e k k j j j j dxxdxx dx xd  (2.79) Chú ý rằng, nếu các hàm )(),(),(),( xxxx    đều liên tục trong đoạn ),( ba thì:  .)()()()()(4 4   b a k b a k k aBbBdxxdxx dx xd (2.80) 41 trong đó: ).()()()()( xxxxxB    Áp dụng (2.80) vào (2.79) lưu ý rằng 1,0 10  nee ta có thể tính được:          n j jkjkkkk n j e e k eBeBBBdxxdxxdx xdj j 1 1 0 2 1 1 4 4 )]()([)]0()1([)()()( 1 . Tích phân từng phần các tích phân bên trái của phương trình trên ta được: .)()()()( 1 2 1 0 2 1 1 4 4 1          n j jkjk n j e e k edxxdxxdx xdj j  (2.81) do đó, cuối cùng, công thức (2.79) có thể viết lại thành: .)(/)()( 1 0 2 1 2 1 0 24            dxxedxx k n j jkjkk  (2.82) Đây chính là công thức Rayleigh cho dầm Euler-Bernoulli có nhiều vết nứt đã nhận được trong [42]. Công thức Rayleigh chỉ ra rằng nếu biết dạng riêng của dầm thì tần số riêng có thể tính được dễ dàng. Tuy nhiên, dạng riêng của một dầm thường tìm được cùng với tần số riêng. Vì vậy, công thứ Rayleigh thực sự có ý nghĩa để tính tần số riêng một cách gần đúng nếu cho trước hàm dạng xấp xỉ của dạng riêng. Đây chính là một lối thoát để tính tần số riêng của một dầm bị nứt bằng cách chọn hàm dạng gần đúng của dầm bị nứt. Fernandez-Saez và cộng sự đã đề xuất phương pháp tính tần số riêng của dầm có một vết nứt ở dạng đa thứ bậc ba. Trong luận án này đề nghị dạng riêng của dầm có nhiều vết nứt được chọn ở dạng: .1,.......,1),,(,)()( 1230   njeexDxCxBxAxx jjkjkjkjkjkk (2.83) Trong đó )(0 xk là dạng riêng của dầm không nứt và các hằng số A, B, C, D tính từ các điều kiện tương thích. Kết quả cho ta: .)();(;; 1,1,1,1, jjkjkjjkjkjkjjkjkkjjkkj eeDDeCCBBAA      (2.84) hay: 42 1,...,1,)(,)(;; 1 1 1 1 1 111       njeeDDeCCBBAA j i ikiikkj j i ikikkjkkjkkj  . (2.85) Bốn hằng số 1111 ,,, kkkk DCBA được tính từ điều kiện biên (2.78) bằng: 011  kk DC ; .0)(23;0)()1( 1 11 1 11      n j jkjkk n j jkjjkk eBAeeBA  (2.86) hay: .)()23(;)()21( 1 1 1 1      n j jkjjk n j jkjjk eeBeeA  (2.87) Sử dụng hàm (2.83) cùng các hằng số (2.86) ta tính được: ;1212)(]3[4 ]3)[(4)(]26)([)( 2 111 2 1 1 0 2 0 1 0 2 11 1 0 110 1 0 2 0 1 0 2 110 1 0 2 kkkkkkk kkkkkkkk BBAAdxxdxBxA dxBxAxdxxdxBxAxdxx          ]3[)(4)()( 11 1 0 1 2 0 1 2 kk n j jkj n j jkj n j jkj BAeee        . Như vậy, tử số và mẫu số trong vế phải (2.82) sẽ tính được bằng: 21 1 2 0 1 0 2 0 )()(      n j jkjk edxxNum  ; nijeeeeee jijiji n ji jkikijji ,...,1,;415)(6;)()( 1, 0021       ; (2.88) ,2)()( ))((2)()()( 221 1 0 2 0 1 1 22 1 3 1 1 1 2 1 3 10 2 0 1 1 2 1 0 2 1 111                                           dxxdxDxCxBxA dxDxCxBxAxdxxdxxdxx k n j e e kjkjkk n j e e kjkjkkk e e k n j e e kk j j j j j j j j (2.89) trong đó:       1 1 0 1 0 2 1 3 101 1 ))(())(( n j e e kjkjkkkk j j dxDxCxdxxBxAx      n j jkjk e 1 2 0 4 0 )( ; (2.90) 43        1 1 2 1 3 1 2 1 0 22 1 3 122 )])((2)[()( 1 n j kjkjkk e e kjkjkk dxDxCxBxAdxDxCdxxBxA j j                   n j jkjj kj j k j k jkjnk kk n j jjkjnk kk nknknk nkkkkk eDe C eBeAeDBA eeC BA DDC CBBAA 1 234151 01, 11 1 32 0 2 1, 112 1,1,1, 2 1, 2 111 2 1 3610 )( 6 )43( )( 3 1 10 )54( 3537   .)()( 1 00     n j ikjkijji eeq  (2.91) 2 3 4 5 3 3 4 4 5 5 17 / 21 717 /140 153 / 35 / 3 / 6 /10, ; 2 /15 43( ) / 40 (2 ) / 2 (1 2 )(1 2 ) / 7 (3 2)(3 2) / 5 (3 2)( ) /12 ( / 5 1/ 3)( ) / 2 ( ) / 5, ; j j j j j j i j i i j j i ij j i j i j i j i j i j i e e e e e j i e e e e e e e e q e e e e e e e e e e e e i j                                  Cuối cùng ta được: .)(2)(/)()( 22 1 2 0 4 0 1 0 2 021 1 2 0 1 0 2 0 4                      n j jkjkk n j jkjkk edxxedxx  (2.92) Chú ý đến công thức Rayleigh trong trường hợp dầm không nứt, ta có: 4 0 1 0 2 0 )( kk dxx   với 1)( 1 0 2 0  dxxk . Do đó: ])(21/[])(1[)/( 22 1 2 0 4 021 4 0 1 2 0 4 0 4 0       n j jkjkk n j jkjkkk ee  . (2.93) Vế phải công thức (2.93) có thể viết gọn thành: . )()(21 )()(1 )( 1,1 1,1        n ji jiijj n j j n ji jiijj n j j da ba f   ee ee γ . Sau đó, khai triển vế phải theo chuỗi Taylor ta được:      n ji n j jiij n j jj n ji ji n j ijj n j j ffofff 1, 11 3 1, 11 )()(1)()()2/1()(1)(  eeγ00γ trong đó )]()([)();()( eeeee ijijijjj dbfaf  a và  thừa số ngắt đuôi. Như vậy, ta 44 nhận được công thức gần đúng tính tần số của dầm có nhiều vết nứt là biểu thức hiển của các tham số vết nứt: ).()(),()( 00 1 1, 2 0 4 0 4 jkik n j n ji jiijjikjkjkk eeeee          (2.94) với ijijkjiij qee   40),( . Từ (2.94) với 0k ta nhận được xấp xỉ tiệm cận bậc nhất: .)( 1 2 0 4 0 4     n j jkjkk e (2.95) Công thức (2.95) đã nhận được trong nhiều tài liệu bằng các phương pháp nhiễu và phương pháp năng lượng. Ở đây công thức (2.94) được sử dụng để xây dựng các phương trình chẩn đoán vết nứt bằng phương pháp đã được GS. Nguyễn Tiến Khiêm đề xuất gọi là phương pháp quét (Crack Scanning Method - CSM). Kết luận Chương 2 Trong Chương này, tác giả đã nhận được các kết quả sau đây:  Đã xây dựng được các công thức cơ bản trong dao động dọc trục của thanh đàn hồi có nhiều vết nứt, đặc biệt là biểu thức hiển của hàm đáp ứng tần số. Đã phân tích chi tiết hàm đáp ứng tần số xung quanh hai tần số riêng đầu tiên (FRF1 và FRF2) phụ thuộc vào vị trí, độ sâu và số lượng vết nứt. Kết quả phân tích số cho thấy: ảnh hưởng của vết nứt đến hàm đáp ứng tần số được biểu hiện rõ nét ở lân cận của tần số riêng và sự thay đổi về mặt định tính giống như sự thay đổi của tần số riêng do vết nứt. Tuy nhiên, các vết nứt có độ sâu lớn có thể làm xuất hiện các đỉnh cộng hưởng mới gần với đỉnh cộng hưởng ban đầu (của dầm không bị nứt) và khoảng cách giữa hai đỉnh cộng hưởng này phụ thuộc vào cả vị trí và độ sâu vết nứt;  Đã thiết lập các phương trình cơ bản để tính toán tần số và dạng dao động riêng của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt. Những phương trình này là công cụ chủ yếu để nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến các đặc trưng dao động của dầm. Đặc biệt, đã thiết lập được công thức Rayleigh, một biểu thức hiển của tần số riêng đối với các tham số vết nứt. Đây là công cụ chủ yếu để chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng sử dụng phương pháp quét do GS. Nguyễn Tiến Khiêm đề xuất. Điểm mới của công thức này so với các kết quả đã công bố là ở đây đã tính thêm được thành phần tiệm cận bậc hai của độ lớn vết nứt. Đây là yếu tố quan trọng để giải quyết một số khó khăn trong việc bài toán chẩn đoán vết nứt sử dụng xấp xỉ bậc nhất đã công bố trong các tài liệu. 45 CHƯƠNG 3. ĐIỂM NÚT DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH, DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM CÓ VẾT NỨT 3.1. Khái niệm về điểm nút dao động của kết cấu thanh - dầm đàn hồi Một trong các đặc trưng dao động rất giống với tần số cả về tính chất lẫn phương pháp đo đạc, đó là các điểm nút dao động. Theo định nghĩa, nút dao động là vị trí trong kết cấu tại đó dạng dao động nào đó bị triệt tiêu (bằng 0). Các điểm nút dao động cũng rất đặc trưng cho kết cấu lại độc lập với tần số riêng, nhưng sự thay đổi của các điểm nút do vết nứt được mô tả không chỉ bằng độ xê dịch về mặt định lượng mà nó còn bao hàm cả hướng xê dịch. Điều đó làm phong phú thêm các thông tin để chẩn đoán vết nứt cùng với sự thay đổi tần số. Gần đây, các tác giả Gladwell và Morassi [32] đã chỉ ra rằng điểm nút của dạng riêng cũng là một chỉ số có thể sử dụng để chẩn đoán vết nứt trong thanh. Các tác giả này đã công bố một công trình nghiên cứu khá bài bản, được kiểm chứng cả bằng thực nghiệm rằng sự thay đổi các điểm nút dạng riêng trong dao động dọc trục cho phép chẩn đoán chính xác vị trí một vết nứt đơn trong thanh. Vấn đề phát triển phương pháp sử dụng sự thay đổi các điểm nút trong dầm để chẩn đoán vết nứt đã được Morassi và Delina [35] bắt đầu nghiên cứu từ năm 2002. Trong công bố này các tác giả đã chỉ ra rằng, sự thay đổi các điểm nút do vết nứt trong dao động uốn của dầm phức tạp hơn nhiều so với dao động dọc trục. Cụ thể là sự xê dịch các điểm nút không đơn điệu như trong dao động dọc trục và việc tính toán sự thay đổi này cũng rất phức tạp ngay cả cho trường hợp có một vết nứt. Trong công trình này, các tác giả đã tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng các kết quả lý thuyết, nhưng cũng mới chỉ nghiên cứu một trường hợp dầm hai đầu tự do. Rất tiếc là sau công bố này, hơn 10 năm qua không thấy xuất hiện công bố mới nào theo hướng này. Vì vậy, một vấn đề được đặt ra trong luận án này là nghiên cứu lý thuyết về sự thay đổi các điểm nút dao động dọc trục của thanh và dao động uốn của dầm do các vết nứt. Ở đây đưa ra các công thức giải tích để tìm các điểm nút bất kỳ của thanh - dầm với số lượng vết nứt tùy ý dựa trên các mô hình lò xo dọc trục, và lò xo xoắn của vết nứt được đưa ra trong phần tổng quan. Các công thức giải tích nhận được cho phép ta tính chính xác các vị trí điểm nút và hướng di chuyển của nó. Kết quả phân tích này rất bổ ích cho việc chẩn đoán vị trí vết nứt từ các số liệu đo về vị trí điểm nút dao động. 46 3.2. Điểm nút dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt 3.2.1. Các công thức cơ bản Sử dụng phương trình (2.7) dạng riêng (2.5) trong đoạn ),( 1mm ee bằng: ].sincos[B]sincos[A)( 2212021110 xHxHxHxHx mmmmm   (3.1) ta có thể tìm điểm nút của một dạng riêng bất kỳ nằm trong khoảng ),( 1mm ee , (ký hiệu là mx , nếu tồn tại) từ phương trình: 0]sincos[B]sincos[A 2212021110  mmmmmmmm xHxHxHxH  . (3.2) Kết hợp với phương trình đầu trong hệ (2.11) ta sẽ được: 0sin][cos][ 022021012011  mpmpmmpmpm xCHSHxCHSH  . (3.3) hay )()( )()(tan 021022 012011   pmpm pmpm m SHCH CHSHx   . (3.4) Như vậy, các điểm nút của một dạng dao động cụ thể của một thanh có nhiều vết nứt hoàn toàn có thể tìm được nếu biết trị riêng hay tần số của dạng riêng đó k . Do đó so sánh với điểm nút gốc của dạng dao động đó ta có thể xác định được xu hướng thay đổi và độ xê dịch của nó do vết nứt. Kết quả lý thuyết này được minh họa bằng các tính toán số phần dưới. Đối với thanh có hai đầu tự do Ta có: 1 qp ,  cos;sin;;0 1100  qqpp SCSC , do đó trị riêng và điểm nút gốc (tức của thanh không nứt) tính được bằng: krkrxkk krk ,...,1,2/)12(,...;3,2,1, 00   . Phương trình đặc trưng (2.13) và phương trình xác định điểm nút (3.4) có dạng: 0cos),,...,,,(sin),,...,,,()( 11211111   nnnnn eeheehD ; (3.5) ),,...,,,(/),,...,,,(tan 11211111 mmmmm eeheehx   . (3.6) 47 Các điểm nút nằm trước vết nứt đầu tiên và sau vết nứt cuối cùng sẽ là nghiệm của các phương trình: 0cos 0 xk ; 0)1(cos  nx . (3.7) Đối với trường hợp thanh cố định hai đầu Ta có  sin;cos;0;1 1100  qqpp SCSC , suy ra ,...;3,2,1,0  kkk  1,...,1,/0  krkrxkr và 0)sin),,...,,,(cos),,...,,,(()( 11221112   nnnnn eeheehD ; (3.8) ),,...,,,(/),,...,,,(tan 11221112 mmmmm eeheehx   ; (3.9) 0sin 0 x ; 0)1(sin  nx . (3.10) Đối với thanh có một đầu cố định một đầu tự do Ta có: 1;0  qp 0;1 00  pp SC , thì  cos;sin 11  qq SC ; ,...;3,2,1,2/)12(0  kkk  1,...,1),12/(20  krkrxkr và 0)sin),,...,,,(cos),,...,,,(()( 11221112   nnnnn eeheehD ; (3.11) ),,...,,,(/),,...,,,(tan 11221112 mmmmm eeheehx   ; (3.12) 0sin 0 x ; 0)1(cos  nx . (3.13) 3.2.2. Kết quả khảo sát số Các đồ thị cho trong các hình vẽ dưới đây là các đường mức ứng với các độ xê dịch khác nhau của điểm nút gốc do ảnh hưởng của vị trí và độ sâu các vết nứt đối với thanh có 2 đầu tự do. Nghiên cứu các Hình 3.1 – 3.3 ta thấy rằng điểm nút đơn sẽ di chuyển về phía vết nứt tồn tại gần điểm nút nhất hoặc có độ sâu lớn hơn. Điều đó chứng tỏ nếu hai vết nứt có cùng một độ sâu nằm đối xứng qua điểm nút không làm cho điểm nút đó dịch chuyển. Trong trường hợp có hai điểm nút: ảnh hưởng của vết nứt nằm giữa hai điểm nút đối xứng qua điểm giữa thanh (đồng thời là điểm bất biến của tần số thứ nhất) và tác dụng kéo vết nứt về phía mình của vết nứt này sẽ thêm vào cho vết 48 nứt nằm cùng phía đối với điểm nút đang xét; Tác dụng của một vết nứt đến các điểm nút nằm giữa hai vết nứt khác không làm thay đổi nhiều bức tranh di động của điểm nút đó gây nên do hai vết nứt nằm hai bên mà chỉ làm tăng ảnh hưởng của vết nứt nằm gần với nó hơn. 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0 e1 e2 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1,4 -1,6 Hình 3.1. Sự thay đổi điểm nút đơn (dạng dao động thứ nhất) phụ thuộc vào vị trí hai vết nứt cùng độ sâu 30% và nằm ở hai phía điểm nút gốc. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 + 20% 30% 30% 20% 10% 10% 5%5% 10% 40% 30% 20% a1/h e1 40% 40% 5% Hình 3.2. Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút đơn phụ thuộc vào vị trí và độ sâu của vết nứt bên trái với các số liệu khác nhau của vết nứt bên phải. e2=0.55,0.75,0.9 49 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0 0,05 0,1 0,15 0,2 e2 e1 e3=0.8,a=10% e3=0.85,a=25% e3=0.9025222 e3=0.84,a=20% e3=0.85,a=23,2905% e3=0.8,a=20% e3=0.8,a=25% e3=0.85,a=30% Hình 3.3. Ảnh hưởng của vết nứt thứ ba đến sự dịch chuyển của điểm nút thứ hai (dạng dao động thứ hai). Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút thứ hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt thứ nhất và thứ hai ứng với vị trí và độ sâu khác nhau của vết nứt thứ ba. Có thể rút ra một số kết luận sau đây:  Vết nứt luôn có xu hướng kéo điểm nút về phía mình và “sức kéo” này càng lớn khi điểm nút gần vết nứt;  Nếu không có vết nứt nào khác nữa thì sự co kéo của hai vết nứt nằm hai bên một điểm nút là đối xứng (cân bằng) nếu giữa hai vết nứt đó không có các điểm bất biến dao động dọc trục của thanh;  Ảnh hưởng của vết nứt thứ ba đến bức tranh di chuyển của một điểm nút nằm giữa hai vết nứt khác là đơn điệu không gây nên các đột biến nào khác. 3.3. Điểm nút dao động của