Luận án Dạy học xác suất – thống kê ở trường Trung học nước CHDCND Lào theo hướng kết nối với thực tiễn

y ngửa (tail - đuôi). Để có thể gieo một cách tự động nhiều lần, ta kich vào “Auto Flip” và số lần ở bên cạnh, chẳng hạn 500 lần, như trên hình 2.2. Kết quả là 255/500 ≈ 51% số lần xuất hiện mặt sấp và 245/500 ≈ 49% số lần xuất hiện ngửa. Tương tự nếu chọn số lần gieo tự động 10 000 thì số lần xuất hiện mặt sấp là 5049 lần (tần suất là 50,49%), mặt ngửa (tail – đuôi) là 4951 lần (tần suất là 49,51%). (Hình 2.3) Hình 2.3. Kết quả gieo đồng xu 10000 lần Khi số lần gieo đồng xu càng tăng thì tần suất xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa tiến gần một giá trị bằng 50%. Như vậy khả năng xuất hiện từng mặt của đồng xu là 1/2. Ta cũng có thể sử dụng phần mềm này để gieo con súc sắc. Hình 2.4. Gieo con súc sắc bằng phần mềm Yenka Để gieo con súc sắc ta kích chuột trái vào nút “Roll”. Kích nhiều lần ta được nhiều lần gieo con súc sắc. Trên màn hình hiện một bảng kết quả như hình 2.4. gồm các cột: Xuất hiện mặt (Outcome), xác suất (Probability), số lần (Frequency), tỉ số (Relative). Hoặc vào trang web: để thực hiện gieo con súc sắc như hình 2.5: Hình 2.5. Kết quả gieo con súc sắc 1000 lần Từ những thí nghiệm trên ta đi đến một kết luận: “Khi số lần thí nghiệm càng tăng thì tần suất xuất hiện một hiện tượng ngẫu nhiên sẽ dao động một cách ổn định gần một giá trị p nào đó, được gọi là xác suất xuất hiện của hiện tượng ngẫu nhiên này.” [108] Ví dụ 2.4. Hoạt động trải nghiệm theo nhóm trong dạy học nội dung “XS có điều kiện, XS toàn phần - Công thức Bayes” (Toán lớp 11 – 6 grade Lào) nhằm giúp học sinh tự tìm tòi, khám phá ra công thức tính XS. Các hoạt động được thiết kế như sau: Hoạt động 1. Mỗi nhóm học sinh giải một bài toán và điền kết quả vào bảng tương ứng. Nhóm 1: Một hộp kín có 5 bóng điện trông như nhau, trong đó có 3 bóng điện khi sáng lên có màu vàng. Bạn được lấy lần lượt hai bóng điện, tính XS của các biến cố sau: a) Biến cố A: Lần 1 lấy được bóng điện có màu vàng. b) Biến cố B/A: Lần 2 lấy được bóng điện có màu vàng khi lần 1 đã lấy được bóng điện có màu vàng. c) Biến cố AB: Cả hai lần đều lấy được bóng điện có màu vàng. Nhóm 2: Một túi có 6 thẻ ATM của Ngân hàng Phát triển Lào (Lao Development bank – LDB) và 4 thẻ ATM của Ngân hàng Xúc tiến Nông nghiệp Lào (APB). Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tính XS của các biến cố sau: a) Biến cố A: Lần 1 lấy được thẻ ATM của LDB. b) Biến cố B/A: Lần 2 lấy được thẻ ATM của LDB khi lần 1 đã lấy được thẻ ATM của LDB. c) Biến cố AB: Cả 2 lần lấy được thẻ ATM của LDB. Nhóm 3. Gia đình bà Phonxay có 2 người con. Tính các XS của các biến cố sau: a) Biến cố A: Người con thứ nhất là con gái. b) Biến cố B/A: Người con thứ hai là con gái, biết rằng người con thứ nhất là con gái. c) Biến cố AB: Cả hai người con đều là con gái. Nhóm 4: Mặt hàng áo của nhà máy may mặc Trio ở bản Sikeud, quận Naxaithong, thủ đô Vientiane phải qua hai lần kiểm tra trước khi xuất khẩu sang thị trường châu Âu. Một chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu cả hai lần kiểm tra đều đạt. Bình quân 98% số áo qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% số áo sau khi đã đạt qua lần đầu tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Hỏi XS của mỗi biến cố sau là bao nhiêu? a) Biến cố A: Sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất. b) Biến cố B/A: Sản phẩm qua được lần đầu kiểm tra, tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. c) Biến cố AB: Sản phẩm làm ra qua được hai lần kiểm tra. Nhóm 5: Tổ 1 lớp 12/1 có 9 học sinh, trong đó có 4 nam và 5 nữ. Trong tổ có 2 học sinh được xếp loại giỏi (trong đó có 2 nam và 1 nữ). Thầy giáo gọi tên ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Tính xác suất của các biến cố sau: a) Biến cố A: Gọi được học sinh nữ. b) Biến cố B/A: Gọi được học sinh giỏi, trong số học sinh nữ. c) Biến cố A.B: Gọi được học sinh giỏi là nữ. Lời giải nhóm 1. a) Lần 1 có 3 bóng điện có màu vàng trong tổng số 5 bóng điện nên XS lấy được bóng điện có màu vàng là P(A) = 3/5. b) Khi A đã xảy ra, tức là một bóng điện có màu vàng đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 4 bóng điện, trong đó số bóng điện có màu vàng là 2, nên XS lấy được bóng điện có màu vàng khi lần 1 đã lấy được bóng điện có màu vàng là P(B|A) = 2/4. c) Lần 1 có 5 cách lấy, lần 2 chỉ có 4 cách lấy, nên số cách lấy 2 lần liên tiếp là 5.4 = 20. Trong đó số cách lấy được bóng điện có màu vàng cả 2 lần là , nên P(AB) = 6/20. Bảng kết quả: P(A) P(B/A) P(AB) Lời giải nhóm 2. Lập luận tương tự như nhóm 1. Kết quả là: P(A) P(B/A) P(AB) Lời giải nhóm 3. a) XS người con thứ nhất là con gái là P(A) = 1/2. b) Biến cố người con thứ hai là con gái khi người con thứ nhất là con gái có XS là P(B/A) = ½, vì giới tính của người con ở mỗi lần sinh là độc lập. c) Giới tính hai người con của bà Phonxay có thể xảy ra 4 khả năng: (trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái), nên biến cố “Cả hai người con đều là con gái” có XS là P(AB) = 1/4. Kết quả: P(A) P(B/A) P(AB) Lời giải nhóm 4. a) Vì 98% sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất nên XS số sản phầm qua được lần thứ nhất là P(A) = 98%. b) Vì sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất, tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai đạt tỷ lệ 95% nên P(B/A) = 95%. c) Biến cố AB: Sản phẩm qua được hai lần kiểm tra, theo quy tắc nhân, có XS là P(AB) = 98%.95%. Bảng kết quả: P(A) P(B/A) P(AB) Lời giải nhóm 5. a) Vì tổ có 9 học sinh trong đó có 5 nữ, nên XS gọi được học sinh nữ là P(A) = 5/9. b) Biến cố B/A “Gọi được học sinh giỏi, trong số học sinh nữ” có XS là P(B/A) = 1/5. c) Biến cố AB “Gọi được học sinh giỏi là nữ” có XS là Kết quả là: P(A) P(B/A) P(AB) Hoạt động 2. Tổng hợp kết quả để khám phá ra công thức tính XS có điều kiện. Bảng 2.1. Tổng hợp kết quả từ 3 bài toán trên. Nhóm P(A) P(B/A) P(AB) Khám phá công thức 1 P(A). P(B/A) = P(AB) 2 3 4 5 Hoạt động 3. Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh công thức tổng quát: P(A.B) = P(A). P(B/A) (*) Chứng minh: Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng có thể xảy ra, mA kết quả thuận lợi cho A, mB kết quả thuận lợi cho B, có k kết quả thuận lợi cho cả AB. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có: và . Vì có k kết quả thuận lợi cho A.B, số kết quả thuận lợi cho B là k, nên . Từ đó suy ra: P(AB) = P(A). P(B/A) Tương tự ta được: P(AB) = P(B).P(A/B). Hoạt động 4. Phát biểu bằng lời công thức (*): Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại: P(AB) = P(A).P(B/A)= P(B).P(A/B) Hoạt động 5. Phát biểu công thức tổng quát của (*) cho n biến cố. Xác suất của tích n biến cố bằng tích xác suất của các biến cố trong đó mỗi biến cố tiếp sau được xảy ra với điều kiện tất cả các biến cố trước đó đã xảy ra. Hoạt động 6. Kết quả đặc biệt hóa khi các biến cố độc lập toàn phần (mỗi biến cố độc lập với mọi tích của các biến cố còn lại). Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích xác suất của các biến cố đó: P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2) P(An) Hoạt động 7. Mở rộng kết quả + Giả sử A là biến cố bất kỳ và B1, B2, Bn lập thành hệ đầy đủ các biến cố và P(Bi ) > 0. Khi đó P(A) = (Công thức xác suất toàn phần) và nếu P(A) > 0 thì (Công thức Bayes) Một số bài toán tham khảo: Bài 1. Một hộp kín có 20 nắp chai Bia Lào (BeerLao - Lao Brewery Co, Ltd), trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng một con voi”. Tính xác suất để cả hai lần rút thăm lần lượt đều trúng thưởng. Bài 2. Một gia đình có 2 người con. Biết rằng có ít nhất một người con là con gái. Hỏi xác suất cả hai người con đều là con gái bằng bao nhiêu? Bài 3. Mặt hàng áo của nhà máy may mặc Venture ở bản Sainamnguen, quận Xaythany thủ đô Vientiena nếu qua được cả hai lần kiểm tra thì mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu sang thị trường Mỹ. Tìm xác suất để một chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu, biết rằng 97% số áo qua được lần kiểm tra thứ nhất và 94% số áo qua được lần hai. Hướng dẫn Bài 1. Một hộp kín có 20 nắp chai Bia Lào (BeerLao - Lao Brewery Co, Ltd), trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng một con voi”. Tính xác suất để cả hai lần bốc nắp bia lần lượt mỗi lần một nắp đều trúng thưởng. Gọi A là biến cố “nắp chai bia thứ nhất trúng thưởng”, B là biến cố “nắp chai bia thứ hai trúng thưởng”, C là biến cố “cả 2 nắp đều trúng thưởng”. Khi rút thăm lần đầu hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng nên P(A)=2/ 20. Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng nên P(B/A)=1/19. Suy ra, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là P(C) = P(A).P(B/A) = 2/20.1/19 = 1/190 ≈ 0,0053. Bài 2. Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Hỏi xác suất 2 đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu? Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng: (trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái). Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái” và B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái” thì P(A) = 1/4 và P(B) = 3/4. Nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có P(AB) = P(A) = 1/4. suy ra xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là P(A|B) = P(AB) : P(B) =1/4 : 3/4 = 1/3. Bằng trực quan ta cũng có thể nhìn ra xác suất này. Khi biết một đứa trẻ là gái, giới tính của 2 đứa trẻ sẽ có 3 khả năng: (trai, gái), (gái, trai), (gái, gái) nên xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái là 1/3. Bài 3. Mặt hàng áo của nhà máy may mặc Venture ở bản Sainamnguen, quận Xaythany thủ đô Vientiena nếu qua được cả hai lần kiểm tra thì mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu sang thị trường Mỹ. Tìm xác suất để một chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu, biết rằng 97% số áo qua được lần kiểm tra thứ nhất và 94% số áo qua được lần hai. Gọi B là biến cố sản phẩm qua được lần kiểm tra thứ nhất thì P(B) = 97%; gọi A là biến cố sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ hai thì P(A) = P(AB) = 94%. Xác suất cần tìm là P(A|B) = P(AB): P(B) = 94% : 97% = 94/97. Biện pháp 3. Làm rõ ý nghĩa, vai trò của các khái niệm, quy tắc, định lý trong các bài học Xác suất – Thống kê thông qua kết nối với thực tiễn Mục đích sử dụng của biện pháp Biện pháp này làm cho học sinh hiểu biết ý nghĩa thực tiễn của những dấu hiệu đặc trưng trong bảng số liệu Thống kê và ý nghĩa của Xác suất; đồng thời giúp cho học sinh bước đầu thấy được giá trị thực tiễn của quá trình nghiên cứu định lượng, vai trò của XS trong chọn mẫu. Cơ sở khoa học của biện pháp + Theo Richard Kirkham (1984): “Kiến thức (knowledge) đến với chúng ta phải bằng niềm tin; kiến thức cần phải đáp ứng ba tiêu chí: nó phải được chứng minh, đúng dắn và tin cậy (three definitions of knowledge: knowledge as nothing but perception, knowledge as true judgment).” [77] Bởi vậy giáo viên cần phải làm cho học sinh thấy được, tin được ý nghĩa, giá trị thực tiễn của kiến thức. + Theo Trần Thị Kim Thu (2012): “Số trung bình (hay số bình quân) trong thống kê là mức độ đại biểu theo một tiêu thức nào đó của một tổng thể gồm nhiều đơn vị cùng loại; số trung bình san bằng mọi sự chênh lệch về lượng biến của tiêu thức để có một con số duy nhất đại diện cho tất cả lượng biến của tiêu thức nghiên cứu. Chính vì vậy, số trung bình chịu ảnh hưởng của lượng biến đột xuất trong dãy số. Đây cũng là một nhược điểm của số trung bình. Trong các nghiên cứu thống kê, số trung bình được sử dụng rất phổ biến vì nó nêu lên đặc điểm chung của hiện tượng kinh tế - xã hội số lớn trong điều kiện thời gian và địa điểm cụ thể. Với những hiện tượng không có cùng qui mô, số trung bình tạo điều kiện để có thể so sánh chúng với nhau. Số trung vị biểu hiện mức độ phổ biến của hiện tượng nhưng bản thân nó không san bằng hay bù trừ chênh lệch giữa các lượng biến. Do đó, nó có thể bổ sung hay thay thế cho số trung bình cộng khi việc tính số trung bình gặp khó khăn. Mặt khác, số trung vị không chịu ảnh hưởng của lượng biến đột xuất. Vì vậy, có thể dùng số trung vị khi tiêu thức nghiên cứu phân phối quá lệch, hoặc đối với một dãy số có quá ít đơn vị. Số trung vị cũng là một trong những tham số nêu lên đặc trưng phân phối của dãy số. Ngoài ra, dựa vào tính chất toán học đáng chú ý của số trung vị là tổng các chênh lệch tuyệt đối giữa các lượng biến với số trung vị là trị số nhỏ nhất so với mốt và số trung bình để ứng dụng trong công tác kỹ thuật và phục vụ công cộng ở nơi thuận lợi, phục vụ được nhiều người nhất mà lại tiết kiệm nhất.” [48] Cách thực hiện biện pháp Cách 3.1. Làm rõ ý nghĩa và vai trò của các số đặc trưng của mẫu số liệu trong thực thông qua những ví dụ thực tiễn gần gũi với học sinh Ví dụ 2.5. Làm rõ nhu cầu, ý nghĩa và cách sử dụng số trung bình và số trung vị (chương 7 “Xác suất – Thống kê” trong SGK Toán 9 Lào). Trong chương trình môn Toán ở Lào, chương này gồm 12 tiết, với những nội dung sau: § 40. Dữ liệu (3 tiết) § 41. Số trung bình, (2 tiết) § 42. Mốt, (2 tiết) § 43. Số trung vị , (2 tiết) § 44. Độ phân tán của số liệu (3 tiết) Để kết nối nội dung chương này với thực tiễn giáo viên cần đưa ra những ví dụ gần gũi với học sinh, qua đó học sinh hiểu rõ hơn và phân biệt được những khái niệm cơ bản. Từ những ví dụ thực tế các em thấy được vì sao cần phải học những nội dung này, học chúng để làm gì. Trong SGK Lào, những nội dung chương này được trình bày theo cấu trúc sau: Định nghĩa khái niệm → Ví dụ → thực hành. (hình 2.1). Theo cách này học sinh hoàn toàn bị động và không hiểu những khái niệm đó có ý nghĩa và có giá trị thực tiễn gì, dẫn đến các em sẽ không hứng thú vì không biết mục tiêu học tập. Hơn nữa trong chương này có 5 khái niệm, mỗi khái niệm được học một cách trình tự, không có sự so sánh, không có mối liên hệ, nên học sinh được học đến đâu biết đến đó. Hình 2.6. Trang 10 SGK Toán 9 Lào (tiếng Lào và dịch sang tiếng Việt) [101] * Vì sao cần sử dụng số trung bình? Xét bảng số liệu về độ cao của 15 học sinh nam các khối học sinh lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9 của trường THCS Hữu nghị Lào – Việt sau đây: Lớp Chiều cao của 15 nam học sinh (đơn vị tính: cm) 6 155, 140, 157, 160, 153, 170, 168, 151, 146, 148, 168, 158, 167, 142, 155 7 146, 152, 160, 167, 156, 149, 164, 158, 172, 167, 157, 153, 165, 166, 171 8 150, 156, 168, 162, 155, 158, 169, 170, 155, 164, 149, 157, 174, 174, 157 9 153, 157, 158, 168, 159, 169, 164, 155, 166, 169, 159, 169, 171, 166, 156 Mỗi khối lớp đều có một số em thấp, một số em cao, nhiều em cao vừa. Vậy có cách nào đánh giá một các khái quát để so sánh chiều cao của các nhóm học sinh theo từng khối lớp hay không? Phương án đưa ra trong trường hợp này là lấy số trung bình để so sánh: Số trung bình của từng khối lớp 6, 7, 8, 9 lần lượt là: 159, 160, 161, 162. Điều đó cho thấy chiều cao trung bình của các nam học sinh khối lớp sau thường cao hơn nam học sinh khối lớp trước khoảng 1 cm. * Khi nào sử dụng (không sử dụng) số trung bình, số trung vị? Xét 2 bảng số liệu sau: Bảng 2.2. Bảng điểm bài kiểm tra môn Toán tháng thứ nhất Học sinh Alex Bouavanh Chanhtha Vanhkham Anousone Số trung bình Điểm 6 6 7 7 8 6,8 Bảng 2.3. Bảng điểm bài kiểm tra môn Toán tháng thứ hai Học sinh Alex Bouavanh Chanhtha Vanhkham Anousone Số trung bình Điểm 0 9 9 9 10 7,4 a) Số trung bình có đại diện cho mọi thành viên hay không, vì sao? b) Số đứng giữa bảng (trung vị) có đại diện cho mọi thành viên hay không, vì sao? c) Một cách khái quát, khi nào ta nên lấy số trung bình có đại diện cho mọi thành viên trong bảng? Khi nào ta nên lấy số trung vị có đại diện cho mọi thành viên trong bảng? Sau đó giáo viên đưa ra khái niệm về hai loại số đặc trưng này và lấy một số ví dụ để củng cố khái niệm. Theo cách này học sinh sẽ hiểu ý nghĩa của mỗi loại số và khi nào ta dùng chúng đại diện cho bảng số liệu. Để luyện tập, giáo viên có thể sử dụng bài toán sau: Thu nhập của một khu vực dân cư 1 và khu dân cư 2 trong một tổ dân phố thuộc Bản Nongduang Neua, phố T2, huyện Sikhottabong, thủ đô Vientiane được thống kê trong bảng sau: Khu vực Thu nhập của 20 hộ dân (tính theo đơn vị nghìn kíp tiền Lào) 1 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 50, 90, 120 2 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Bạn Vanhkham ở khu vực 1 cho rằng nhìn chung thu nhập của người dân ở khu vực 1 cao hơn ở khu vực 2 vì thu nhập trung bình của người dân ở khu vực 1 cao hơn khu vực 2. Bạn Chanhtha ở khu vực 2 cho rằng ngược lại, thu nhập chung của người dân ở khu vực 2 cao hơn ở khu vực 1 vì số trung vị trong bảng thống kê của người dân ở khu vực 2 cao hơn khu vực 1. Ai đúng, ai sai? Vì sao? Ví dụ 2.6. Ý nghĩa của độ phân tán của số liệu (chương 7 “Thống kê – Xác suất” SGK toán 9 Lào) Cho 2 bảng số liệu sau: Bảng 2.4. Điểm bài kiểm tra môn Toán tháng 10 năm 2018 Học sinh Alex Bouavanh Số trung bình Điểm 5 7 6 Bảng 2.5. Điểm bài kiểm tra môn Toán tháng 11 năm 2018 Học sinh Alex Bouavanh Số trung bình Điểm 2 10 6 Hai bảng trên củng cố số trung bình là 6. a) Nên lấy số trung bình hay số trung vị làm số đặc trưng cho số liệu trong mỗi bảng trên. b) Tính và so sánh khoảng cách giữa hai điểm M(5; 7), X(6; 6) với khoảng cách giữa hai điểm N(2; 10) và X(6; 6). c) Tương tự, cho bảng số liệu sau: Bảng 2.6. Bảng điểm bài kiểm tra môn Toán tháng thứ nhất Học sinh Alex Bouavanh Chanhtha Điểm 5 7 6 Bảng 2.7. Bảng điểm bài kiểm tra môn Toán tháng thứ hai Học sinh Alex Bouavanh Chanhtha Điểm 2 6 10 Tính và so sánh khoảng cách giữa hai điểm M(5; 7; 6), X(6; 6; 6) với khoảng cách giữa hai điểm N(2; 6; 10) và X(6; 6; 6). d) Hãy phát hiện mối liên quan giữa khoảng cách của các số liệu trong mỗi bảng với số trung bình với độ tin cậy khi lấy số trung bình làm số đại diện cho bảng số liệu. Hướng dẫn a) Bảng 1 có thể lấy số trung bình hay số trung vị để dại diện cho bảng số liệu đều được; nhưng trong bảng 2 thì không số nào trong hai số trên có thể đại diện được. b) ; . MX < NX. Kết quả này chứng tỏ các số liệu trong bảng 1 cách xa số trung bình hơn các số liệu trong bảng 2. c) ; . Kết quả này chứng tỏ các số liệu trong bảng 3 cách xa số trung bình hơn các số liệu trong bảng 4. d) Một cách khái quát: Khi các số liệu trong bảng cách quá xa (độ lệch/ độ phân tán quá lớn) so với số trung bình thì số trung bình hay số trung vị đều không đáng tin cậy dùng để đại diện cho bảng số liệu. Sau đó GV đưa ra khái niệm về độ phân tán của số liệu: . Ví dụ 2.7. Làm rõ ý nghĩa của kỳ vọng E(X) Kỳ vọng (expectation) là điều mong mỏi, hy vọng vào một ai đó, một điều gì đó (theo nghĩa từ điển). Trong Lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng (kí hiệu là E(X) - giá trị mong đợi, hoặc kỳ vọng toán học, hoặc trung bình - mean) của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng số của tất cả các giá trị cụ thể của biến đó, được tính bằng tổng các tích giữa xác suất xảy ra của mỗi giá trị có thể của biến với giá trị đó. E(X) đặc trưng cho giá trị trung bình của đại lượng quan sát X (xét trong nhiều phép thử). E(X) là giá trị mong đợi hay giá trị hy vọng (xét trong một phép thử). Nếu X là một biến ngẫu nhiên rời rạc có các giá trị x1, x2,, xn với các XS tương ứng là p1, p2,, pn có tổng bằng 1, thì: E(X) = p1x1 + p2x2 + + pnxn. Hay E(X) = ∑xi pi (i = 1, ...n). Chẳng hạn, một trò chơi có 100 cửa, trong đó có 1 cửa thắng 1 kíp ăn 100 kíp (tiền Lào), 49 cửa thua 1 kíp, 50 cửa thua 5 kíp, thì xác suất người chơi thắng 100 đô la chỉ là 1%, còn 49% khả năng người chơi sẽ mất 1 đô la hoặc 50% khả năng người chơi sẽ mất 5 đô la. Ta có: 1 2 3 Vậy E(X) = 100.0,01 + (– 1). 0,49 + (–5). 0,5 = – 1,99 (kíp). Nghĩa là cứ mỗi kíp tham gia vào trò chơi, số tiền thắng dự kiến của người chơi sẽ là (– 1,99) kíp, tức người chơi sẽ thua 1,99 kíp. Không phải ngẫu nhiên mà giá trị kỳ vọng là số âm. Người tổ chức trò chơi cố tình thiết lập trò chơi của họ để có giá trị kỳ vọng âm, để họ kiếm được tiền. Một trò chơi hoặc một tình huống trong đó giá trị kỳ vọng bằng 0 được gọi là một "trò chơi công bằng" (fair game). “Trong lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên, theo trực giác, là giá trị trung bình dài hạn của các lần lặp lại của thí nghiệm mà nó đại diện. Định luật về số lượng lớn chỉ ra rằng giá trị trung bình số học của các giá trị, gần như chắc chắn hội tụ đến giá trị mong đợi khi số lần lặp lại tiến đến vô cùng. Giá trị mong đợi còn được gọi là kỳ vọng, kỳ vọng toán học. Từ kết quả này, để tính xem trong vòng một năm, trung bình có bao nhiêu ô tô đi qua điểm nút giao thông G trong một phút, thay vì phải quan sát liên tục trong một năm Trên lý thuyết, để tính số lượng trung bình các ô tô đi qua điểm nút giao thông G trong một phút (a), người ta cần phải quan sát liên tục từng phút của cả một năm (525.600 phút), sau đó cộng toàn bộ số ô tô đi qua nút giao thông G trong thời gian đó và chia cho 525.600 phút đã quan sát. (gặp nhiều khó khăn), người ta sử dụng kỳ vọng toán.” [48] Gọi X là số ô tô đi qua G trong một phút (được chọn ngẫu nhiên). Theo lý thuyết xác suất, ta có thể chọn ngẫu nhiên n phút để quan sát X. Gọi x1, x2, , xk lần lượt là các giá trị của X với tần số xuất hiện theo thứ tự là n1, n2, , nk. Khi đó trung bình các giá trị của X trong n lần quan sát là Trong xác suất, với n đủ lớn (n > 30) tổng (*) là số ô tô đi qua vị trí G trong một phút trong năm đó. Cách 3.2. Cho học sinh làm quen với ước lượng các tham số thống kê (Estimation statistical parameters) + Ước lượng khoảng là ước lượng tham số sẽ ở khoảng nào. Giá trị XS mà tham số sẽ ở trong khoảng nào đó gọi là độ sai lầm, kí hiệu là α và gọi giá trị (1 − α) 100 % là độ tin cậy. Khi tham số có phân phối chuẩn và biết phương sai của tham số là σ2 thì khoảng ước lượng trung bình µ của tham số với độ tin cậy (1 − α) 100 % được tính bảng công thức: Trong đó σ là độ lệch chuẩn, n là kích thước mẫu, là giá trị thống kê. Ví dụ 2.8. Trọng lượng chiếc hộp từ một nhà máy có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = 2,51. Lấy ngẫu nhiên 10 hộp, trọng lượng của chúng là dãy số sau: 10,2 9,7 10,1 10,3 10,1 9,8 9,9 10,4 10,3 9,8 Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các chiếc hộp của nhà máy với độ tin cậy 95%. Giải: Trọng lượng trung bình của 10 chiếc hộp đã chọn là: . α = 1 – 95 % = 0,05. Theo công thức (*) ta được 8,50 < µ < 11,62. Vậy sản phẩm của nhà máy trong khoảng (8,50; 11,62) với độ tin cậy 95%. Cách 3.3. Làm rõ ý nghĩa của việc kiểm định giả thuyết. Ví dụ 2.9. Kiểm tra 5 sản phầm của một loại đồ điện, người sản xuất thấy tuổi thọ của chúng lần lượt là: 32, 41, 42, 49, 53 (tháng). Người sản xuất phán doán rằng loại đồ điện này có tuổi thọ là 50 tháng, với độ tin cậy 95%. Hãy kiểm định phán đoán này của người sản xuất. Giải: Giả thuyết H0: µ = 50 Đối thuyết H1: µ ≠ 50 α = 1 – 95 % = 0,05 n = 5 < 30, áp dụng công thức với , ta được . Tra bảng T0,025(4) = 2,776, ta có – 2,776 < T < 2,776 nên chấp nhận H0, tức là phán đoán của người sản xuất chấp nhận được với mức ý nghĩa α = 0,05. Biện pháp 4. Tổ chức các trò chơi học tập, đồng thời nâng cao hiểu biết của học sinh về các trò chơi trên truyền hình, các trò chơi may rủi. Mục đích của biện pháp Biện pháp này nhằm tạo ra một môi trường học tập cởi mở, vui vẻ trong lớp học; nâng cao hiểu biết của học sinh về các trò chơi may rủi để các em có chính kiến trước những cám dỗ của các giải thưởng trong những trò chơi. Cơ sở khoa học của biện pháp “Trò chơi học tập là trò chơi mà luật của nó bao gồm các quy tắc gắn với kiến thức kỹ năng có được trong hoạt động học tập, gần với nội dung bài học, giúp học sinh khai thác vốn kinh nghiệm của bản thân để chơi, thông qua chơi học sinh được vận dụng các kiến thức kỹ năng đã học vào các tình huống của trò chơi.” [44] “Trò chơi học tập làm thay đổi hình thức hoạt động của học sinh, giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách tự giác tích cực; giúp học sinh rèn luyện củng cố kiến thức đồng thời phát triển vốn kinh nghiệm được tích luỹ qua hoạt động chơi. Trò chơi học tập rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, thúc đẩy hoạt động trí tuệ, nhờ sử dụng trò chơi học tập mà quá trình dạy học trở thành một hoạt động vui và hấp dẫn hơn, cơ hội học tập đa dạng hơn.” [23] Vai trò của trò chơi trong dạy học Toán: “Trò chơi học tập là một phương tiện giáo dục rất hiệu quả trong dạy học môn Toán, giúp cho giờ học Toán trở nên vui vẻ, sôi động, hiệu quả. Trò chơi dạy học giúp xua đi nỗi lo âu nặng nề của việc học cho học sinh, giúp gắn kết tình cảm giữa giáo viên và học sinh trong lúc chơi, đặc biệt lại rất cần thiết đối với những môn khô khan như Toán học. Trò chơi dạy học còn giúp cho học sinh có khả năng tư duy, tạo cho học sinh tự tìm tòi, tính sáng tạo, rèn luyện cho học sinh có cơ hội để hoàn thiện bản thân, rèn luyện cho học sinh cách giải quyết vấn đề nhanh không chỉ trong lĩnh vực Toán học mà cả các lĩnh vực trong đời sống.” [33] Cách thực hiện biện pháp Cách 4.1. Tổ chức trò chơi dẫn dắt đến khái niệm Ví dụ 2.10. Trò chơi trong bài XS thực nghiệm Trước giờ học giáo viên yêu cầu mỗi nhóm học sin