Luận án Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số bài toán biên phi tuyến

sz-Fischer, từ (1.37) ta có thể lấy ra một dãy con, vẫn ký hiệu là {um}, sao cho rong đó Vì B liên tục, ta có Kết hợp (1.33) và (1.40) với bổ đề 1.3 trong [27] (trang 12 ), ta có Qua giới hạn trong (1.10) nhờ vào (1.34)- (1.36) và (1.41) ta có 21 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Vậy u(0) = uo u’(0) = u1 Khi đó, để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) – (1.4), ta chỉ cần chứng minh χ = f(u,u’) Bâ y g iờ t a xé t bổ đề s au đâ y Bổ đề 1.2. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau: Hơn nữa, nếu u0 =u1 = 0 thì (1.46) xảy ra đằng thức. Chứng minh của bổ đề 1.2 có thể tìm trong [26]. Bây giờ ta trở lại việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán ( 1 . 1 ) -(1.4). Khỉ đó ta có Ta suy từ (1.10), (1.11) rằng 22 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ giả thiết (H4,(i)), ta suy ra từ (1.37) rằng f(um,v) → f(u,v) a.e. trong QT, L 2 (QT). (1.49) Sử dụng giả thiết (H4,(4i)) và định lý hội tụ bị chận Lebesgue, ta thu đƣợc từ (1.49) rằng Qua giới hạn khi m →∞ , bằng cách sử dụng (1.12), (L13), (1.35) -(1.36), (1.38) và bổ đề 1.2 với | | 2 ) ta thu đƣợc Từ (1.35) và (1.50), ta suy ra Tiếp theo, ta xét 23 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ (1.36), (1.48), (1.51) và (1.52), ta suy ra rằng Trong (1.53) ta lấy v = u ' - ε w , ε > 0 , w L2(QT), khi đó ta thu đƣợc Vậy do (1.55) ta có: χ = f(u,u') a.e.trong QT. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) - (1.4) đã đƣợc chứng minh. Bước 4. Tính duy nhất nghiệm. Giả sử u và v là hai nghiệm yếu của bài toán (1.1) - (1.4). Khi đó w = u - v thỏa mãn bài toán sau: Cho ε → 0+, ta suy ra từ (1 .54) rằng Sử dụng bổ đề 1.2 với u0 = u1 = 0 ta có đẳng thức 24 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó C0 là một hằng số nhƣ ở (1.31). Chú ý rằng hàm số f không giảm đối với biến thứ hai, ta có từ (1.57) rằng Sử dụng giả thiết (H5) và (H6) ta suy ra từ (1.58) rằng từ đây ta suy ra X(t) = 0 nhờ bổ đề Gronwall. Định lý 1.1 đƣợc chứng minh đầy đủ. Chúng ta xét một số dạng cụ thể của hàm f (u , u t ) . 25 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Giả sử ( H 1 ) - ( H 3 ) là đúng, khi đó bài toán (1.1)—(1.4) có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn (1.8). Hơn nữa, nếu a ≥ 1 và B thỏa (H6 ), thì nghiệm duy nhất. Chú thích 1.3. Chú ý rằng f(u,u t) thỏa các giả thiết của định lý 1.1 . Sau đây ta xét số hạng phi tuyến f(u,u t) có dạng f (u, u t)=g(u) + | | u t, trong đó β là hằng số dƣơng. Ta thiết lập các giả thiết về hàm số g nhƣ sau: (H4) Hàm số g:R→R thỏa mãn (i) g liên tục (ii) Tồn tại các hằng số D2 > 0, λ2> 0 sao cho trong đó a , β, λ , θ là các hằng số cho trƣớc thỏa điều kiện sau: Định lý 1.2. 26 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính ( )Với mỗi tập con bị chận M của , tồn tại một hằng số kM > 0 sao cho Khi đó ta có: Định lý 1.3 Giả sử (H1) – (H3), (H’4) đúng, khi đó bài toán (1.1) – (1-4) với | | có ít nhất một nghiệm u thỏa mãn. ( ) và (1.60) Hơn nữa, nếu g, B thỏa (H’5), (H6), lần lƣợt, thì nghiệm u duy nhất. Chú thích 1.4. Định lý 1.3 áp dụng cho trƣờng hợp Cho kết quả mở rộng hơn so với kết quả trong bài báo [26] ứng với 0 < < 1. 1.4. Nới rộng bài toán Trong phần nầy, chúng tôi tổng quát hóa bài toán (1.1) – (1.4) bằng cách khảo sát bài toán giá trị biện và điều kiện đầu sau: n,p như sau: 27 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Ta chú ý rằng bài toán (1.1) - (1.4) là trƣờng hợp riêng của bài toán trong (1.61)- (1.66) ứng với p = 2 . Vẫn với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự cùng với sự điều chỉnh trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi thu đƣợc kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.61) - (1.66) đối với các điều kiện (1.6), (1.7). Kết quả nay tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả tƣơng ứng trong {1}, [14], [26], [36]. Ngoài các không gian hàm đã sử dụng, chúng ta xét thêm các không gian hàm sau đây và ký hiệu gọn lại nhƣ sau: Ta thành lập thêm giả thiết về p nhƣ sau (H’1) p > 1 nếu n = 1,2; 1< p< Khi đó ta có định lý trong đó 28 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Định lý 1.4. Hơn nữa, nếu f,B thỏa (H5 ),(H6 ), lần lượt, thì nghiệm duy nhất. Chứng minh định lý 1.4. Tƣơng tự với chứng minh của định lý 1.1, ta điều chỉnh trong bƣớc đánh giá tiên nghiệm nhƣ sau. Trƣớc hết, giả sử { } là một cơ sở đếm đƣợc của . Đặt trong đó cmj(t) thỏa hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến Giả sử (H'1) , ( H 1 ) - ( H 4 ) là đúng. Khi đó bài toán (1.61) - (1.66) có ít nhất một nghiệm u sao cho trong đó 29 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ giả thiết của định lý, hệ (1.69),(1.70) có nghiệm u m ( t ) trên khoảng (0, T). Nhân mỗi phƣơng trình trong (1.69) với 2c'mj(t), sau đó lấy tổng theo j, ta đƣợc trong đó Sử dụng giả thiết (H4 ,(ii)) về tính đơn điệu của f đối với biến thứ hai, ta có Chú ý rằng từ (H4,(iii)) và (H3,(ii)) ta thu đƣợc các bất đẳng thức sau. Lấy tích phân (1.73) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có 30 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Ta suy ra từ (1.74) – (1.78) rằng Mặt khác, từ (1.71), (1.72), sử dụng các giả thiết (H3, (i)), (H4,(4i)), và bổ đề (1.1) ta thu đƣợc Do đó, từ (1.79), (1.80) ta thu đƣợc trong đó MT là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Từ đánh giá (1.81), ta suy ra tồn tại một dãy con của {um},vẫn ký hiệu là {um}, sao cho 31 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Lặp lại các bƣớc lý luận 3 và 4 nhƣ trong chứng minh định lý 1.1, ta thu đƣợc chứng minh định lý 1 .4. Điều nay cho phép chúng ta qua giới hạn cho số hạng phi tuyến 32 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính CHƯƠNG 2: KHẢO SÁT MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG Á TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI MỘT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN CHỨA GIÁ TRỊ BIÊN 2.1. Giới thiệu Chúng tôi xét trong chƣơng nay, bài toán sau đây: Tìm một cặp hàm (u,P) thỏa mãn: trong đó u0,u1,f là các hàm cho trƣớc thỏa mãn một số điều kiện nào đó; ẩn hàm u(x,t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa mãn phƣơng trình tích phân phi tuyến sau đây: trong đó g,H,k là các hàm cho trƣớc. Bằng cách khử bớt một ẩn hàm P(t) trong bài toán (2.1) - (2.5) ta thu đƣợc bài toán biên (2.1),(2.3),(2.4) và với điều kiện biên tại x = 0 nhƣ sau: Bài toán nêu trên có nhiều ý nghĩa về mặt cơ học nhƣ đã đƣợc đề cập đến trong chƣơng mở đầu. Chƣơng nay đƣợc chia thành hai phần. Trong phần 1, chúng tôi chứng minh định lý tồn tại duy nhất nghiệm yếu cho bài toán (2.1) - (2.5). Việc chứng minh dựa vào phƣơng pháp Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên 33 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính nghiệm, các kỹ thuật về tính compact và sự hội tụ yếu. Khó khăn chính gặp phải trong bài nay là điều kiện biên tại x = 0. Chúng ta chú ý rằng phƣơng pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong các bài báo [ 11] , [20], [35] không dùng đƣợc trong [3], [8], [10], [12], [13], [18], [19]. Trong phần 2 chúng tôi chứng minh tính ổn định của (u,P) đối với các hàm g, H và k. Các kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [1], [3], [8], [12], [13], [18], [19], [27] và đƣợc công bố trong {4}. 2.2.Định lý tồn tại và duy nhất Đặt V là không gian con đóng của H1 và trên V, ‖ ‖ ||v||v = √ là hai chuẩn tƣơng đƣơng Bổ đề 2.1 Chứng minh bổ đề 2.1 không phức tạp và ta bỏ qua. Ta thành lập các giả thiết sau: Khi đó ta có bổ đề sau. 34 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính (A4) Hàm số H C 1 ® và tồn tại một hằng số h0 > 0 Hàm số f : R2 liên tục, f(0,0) = 0 và có các điều kiện sau: Tồn tại hai hằng số α,β (0,1] và hai hàm số B1, B2 : R+ R+ liên tục sao cho: Ta cũng dung các ký hiệu u(t), ut(t) = u’(t), utt(t) = u’’(t) Khi đó ta có định lý sau Định lý 2.1. Giả sử (A1) - (A4 ) và (F1 ) - (F3 ) đúng. Khi đó, với mỗi T > 0, bài toán tồn tại nghiệm (u,P)sao cho Khi đó, bài toán (2.1) – (2.5) có nghiệm (u, P) duy nhất Hơn nữa, nếu β = 1 và các hàm H, B2 thỏa mãn thêm điều kiện, 35 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Chú thích 2.1. Kết quả này mạnh hơn kết qua thu đƣợc trong [18]. Thật vậy, tƣơng ứng với cùng bài toán (2.1) – (2.5) với k(t) ≡ 0 và H(s) = hs, h > 0, trong [18]ƣ còn giả thiết thêm: B1, B2 là các hàm không giảm (2.13) Chứng minh của định lý 2.1. Chứng minh bao gồm nhiều bƣớc. Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Xét cơ sở trực chuẩn đặc biệt trên V Đƣợc thành lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace –( ⁄ ) Đặt Trong đó cmj(t) thỏa mãn hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến sau đây 36 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Cố định T > 0, từ các giả thiết của định lý 2.1, hệ (2.15) - (2.17) có nghiệm (u m (t), Pm (t)) trên một khoảng [0, Tm ], với 0 < Tm < T nào đó. Nhờ vào các đánh giá sau đây ta có thể lấy Tm = T với mọi m. Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm. Thay (2.16) vào (2.15), và nhân phƣơng trình thứ j của hệ (2.15) với 2c'mj(t) và lấy tổng theo j, ta có: Trong đó Tích phân từng phần (2.18) theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có Sử dụng bổ đề 2.1, (2.17), (2.19), ta có 37 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó C 1 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào u0,u1, H , h 0 và g . Sử dụng một lần nữa bổ đề 2. 1 và bất đẳng thức Ta thu đƣợc Chú ý rằng từ giả thiết (F1), (F3) và vẫn sử dụng bổ đề 2.1, ta có Chú ý rằng tích phân cuối cùng trong (2.20) viết lại sau khi tích phân từng phần nhƣ sau: 38 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Do đó Số hạng đầu tiên trong vế phải của (2.26) đƣợc đánh giá nhờ vào bất đẳng thức (2.22). Tƣơng tự, số hạng thứ hai trong vế phải của (2.26) đƣợc đánh giá nhờ vào (2.22) và bất đẳng thức Cauchy-Schwartz trong đó Từ (2.26) - (2.28) ta thu đƣợc Ta suy ra từ (2.20), (2.21), (2.23) - (2.25) và (2.29) rằng 39 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó ỜJ là hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Trong đó là hằng số chỉ phụ thuộc vào T Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (2.30), (2.33) rằng Bây giờ chúng ta cần một đánh giá của số hạng ∫ | | 2 ds. Đặt Khi đó um(0,t) đƣợc viết lại là 40 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Bổ đề 2.2. Tồn tại một hằng số C2 > 0 và một hàm liên tục, D( t ) > 0 sao cho: Chứng minh bổ đề 2.2 có thể đƣợc tìm thấy trong [3]. Bổ đề 2.3. Tồn tại hai hằng số dƣơng và chỉ phụ thuộc vào T sao cho Chứng minh của bổ đề 2.3. Áp dụng công thức tích phân từng phần , ta có Khi đó Chú ý rằng từ (2.16) ta có 41 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Sử dụng bất đẳng thức (a + b + c)2 ≤3( a 2 + b 2 + c2), Va, b,c e R, ta suy ra từ (2.34), (2.42) và ( A4 ) rằng Chú ý rằng với mọi T > 0, Km → K mạnh trong L 2(0,T) khi m → +∞, ta thu đƣợc (2.39). Bổ đề 2.3 đƣợc chứng minh đầy đủ Bổ đề 2.4 Ta suy từ (2.41) - (2.43) rằng Tồn tại hai hằng số dương và chỉ phụ thuộc vào T sao cho 42 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Chứng minh của bổ đề 2.4. Vì (2.46) là hệ quả của (2.34), (2.43), và (2.45), nên chúng ta chỉ cần chứng minh (2.45). Từ (2.37), sử dụng bổ đề 2.2 và bổ đề 2.3, ta thu đƣợc Mặt khác, từ (2.34) và các giả thiết (F2),(F3) với chú ý 0 < α ≤ 1 ta thu đƣợc Do đó, sử dụng (2.34) và (2.48) ta có Sau cùng, từ (2.47) và (2.49) ta thu đƣợc bất đẳng thức do bổ đề Gronwall suy ra (2.45). Bổ đề 2.4 đƣợc chứng minh đầy đủ. Bước 3. Qua giới hạn. Từ (2.16), (2.19), (2.34), (2.45),(2.46), và (2.49) , ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của dãy {um, Pm }, vẫn ký hiệu là {um, Pm}, sao cho 43 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Áp dụng bổ đề về tính compact của Lions (xem [27], định lý 5.1, trang 58), ta suy ra từ (2.53), (2.54), (2.51) và (2.52) tồn tại một dãy con vẫn ký hiệu là {um} , sao cho Từ (2.56) và (2.59) ta có P ≡ ̂ a.e. trong [0,T] (2.60) Qua giới hạn trong (2.15) nhờ vào (2.51), (2.52), (2.55), (2.59) và (2.60) ta có Ta có thể chứng minh theo một cách tƣơng tự nhƣ trong [18] rằng u(0) = u0, u'(0) = u1. (2.62) Để chứng minh sự tồn tại nghiệm u, ta chỉ cần chứng tỏ rằng χ = f(u,u'). Khi đó ta cần dùng bổ đề sau đây. Do H liên tục, từ (2.16), (2.57) ta có 44 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Bổ đề 2.5. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán sau đây Hơn nữa, nếu u0 =u1 = 0 thì trong (2.67) xảy ra đẳng thức. Chứng minh của bổ đề 2.5 có thể tìm thấy trong [3]. Bây giờ, từ (2.15)-(2.17) ta có Sử dụng bổ đề 2.5, ta suy ra từ (2.17), (2.51), (2.52), (2.54), (2.59), (2.67) và (2.68), rằng Khi đó ta có Từ giả thiết liên tục của hàm f ta suy ra từ (2.58) rằng 45 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Theo định lý hội tụ bị chận Lebesgue và các giả thiết (F2) - (F3), ta thu đƣợc Trong (2.74) ta lấy ϕ = u ' - λ w , λ>0 , w e L2(QT), khi đó ta thu đƣợc Mặt khác ta suy từ giả thiết (F2) rằng f(u,u'- λw) → f(u,u') trong L2(QT) mạnh, khi λ → 0+. (2.76) Do đó, từ (2.75) và (2.76) ta suy ra Từ (2.52) và (2.71), ta suy ra Tiếp đến, ta xét 46 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Suy ra χ= f (u,u') a.e. trong QT. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) - (2.5) đã đƣợc chứng minh. Bước 4. Tính duy nhất nghiệm . Bây giờ giả sử rằng β= l trong (F3) và H thỏa(A5). Giả sử (u1,P1),(u2,P2) là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.5). Khi đó u = u1 - u2, P = P1 - P2 thỏa mãn bài toán sau đây : Sử dụng bổ đề 2.5 với u0 = u1 = 0, ta thu đƣợc 47 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Thay P(t),x vào (2.78) và chú ý rằng hàm f là không giảm đối với biến thứ hai, ta có Dùng tích phân từng phần cho tích phân cuối cùng trong vế phải của (2.80), ta đƣợc Đặt Từ giả thiết (A5) ta có m1 > -1. Mặt khác, bằng cách dùng tích phân từng phần, ta suy ra từ (2.84) rằng Sử dụng giả thiết (F3), ta có Ta suy ra từ (2.79) và (2.82) rằng 48 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Từ (2.80) - (2.82) và (2.85), ta thu đƣợc Chú ý rằng từ (2.84) ta có Ta suy từ (2.83), (2.86) và (2.87) rằng 49 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Chương 2 : Khảo sát phương trình sóng á tuyến tính Chọn β1 > 0, β2 > 0 sao cho m1 + β2(1 + m1) ≥ , (1 + β2) β1 ≤ và ta đặt Định lý 2.1 đƣợc chứng minh hoàn tất. ■ Chú thích 2.2. Điều kiện k(0) = 0 trong giả thiết (A3) chỉ là kỹ thuật, có thể bỏ qua. Trong trƣờng hợp riêng của hàm H với H(s) = hs, h > 0, chúng ta có định lý sau đây: Định lý 2.2. Giả sử (A1) - (A3) và ( F 1 ) - ( F 3 ) là đúng. Khi đó, với mọi T > 0 , bài toán (2.1) - (2.5) có ít nhất một nghiệm ( u , P ) thỏa (2.10),(2.11). Hơn nữa, nếu β= 1 trong ( F 3 ) và hàm B2 thỏa (F4 ), khỉ đó nghiệm ( u , P ) duy nhất. Chú thích 2.3. Định lý 2.2 cho cùng kết quả nhƣ trong [19] nhƣng không sử dụng giả thiết : "B1 không giảm" . Trong trƣờng hợp riêng với k(t) = 0, chúng ta có định lý sau đây. Khi đó từ (2.88) và (2.89) ta thu đƣợc 50 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Định lý 2.3. Giả sử (A1) , ( A2),(A4) và ( F 1 ) - ( F 3 ) là đúng. Khi đó, với mọi T > 0 , bài toán (2.1) - (2.5) có ít nhất một nghiệm u thỏa (2.10). Hơn nữa, nếu β = 1 trong ( F 3 ) và nếu các hàm H và B2 thỏa các giả thiết ( A 5 ) v à ( F 4 ) , lần lƣợt, khi đó nghiệm u duy nhất. Chú thích 2.4. Định lý 2.3 cho cùng kết quả nhƣ trong [13] nhƣng không sử dụng giả thiết: "B1 không giảm", sH(s) > 0 s ≠ 0. 2.3.Tính ổn định nghiệm Trong phần nay, chúng ta giả sử rằng β = l trong (F3) và các hàm H,B2 thỏa (A5),(F4), lần lƣợt. Do định lý 2.1 bài toán (2.1) - (2.5) có nghiệm (u, P) duy nhất phụ thuộc vào g, k, H. u = u(g,k,H) , P = P(g,k,H). (2.91) trong đó g, k, H thỏa mãn các giả thiết (A2)-(A5) và u0,u1,f là các hàm cố định cho trƣớc thỏa mãn (A1) , ( F1)-(F4). Ta đặt trong đó h0 > 0 là một hằng số cho trƣớc và H0 :R+ → R+ là hàm cũng cho trƣớc. 51 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Khi đó ta có định lý sau. Định lý 2.4. Giả sử β = 1, khi đó, với mọi T > 0 , nghiệm của bài toán (2.1) - (2.5) ổn định đối với các dữ kiện g, k, H. Chính xác hơn ta có : Khi đó (uj, u’j. uj (0, t) Pj  (u, u’, u (0,t)P) trong Chứng minh của định lý 2.4 Trƣớc tiên, chúng ta chú ý rằng, nếu các dữ kiện (g,k,H) thỏa khi đó, các đánh giá tiên nghiệm của các dãy xấp xỉ {um} và {Pm} trong chứng minh của định lý 2.1 thỏa k ( 0 ) = k j ( 0 ) = O , s a o cho 52 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính trong đó CT là một hằng số độc lập với g, k, H. Do đó, giới hạn (u,P) trong các không gian hàm thích hợp của dãy (um,pm) đƣợc xác định bởi (2.15) - (2.17) là nghiệm của bài toán (2.1) -(2.5) thỏa mãn các đánh giá tiên nghiệm (2.95) - (2.97). Bây giờ, do (2.92) ta có thể giả sử rằng, tồn tại các hằng số G0 > 0,K0 > 0 sao cho các dữ kiện (gj,kj,Hj) thỏa Khi đó, do chú ý ở trên, ta có các nghiệm (uj,Pj) của bài toán (2.1) -(2.5) tƣơng ứng với (gj,kj,Hj) thỏa mãn các đánh giá Đặt Khi đó, vj = uj - u và Qj = Pj - P thỏa mãn bài toán sau : 53 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Đặt Sj(t) = ‖ ‖ ‖ ‖ (2.107) m1 = | | | | | | (2.108) Khi đó, ta có thể chứng minh theo một cách tƣơng tự nhƣ ở phần trên bất đẳng thức sau đây: 54 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Nhân hai vế của (2.110) bởi một số δ > 0 và sau đó cộng với (2.109), ta có trong đó là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T. Do bổ đề Gronwall, ta thu đƣợc từ (2.113) rằng Mặt khác, từ (2.100),(2.104) và (2.112) lần lƣợt suy ra 55 Chương 2: Khảo sát phương trình song á tuyến tính Thật vậy, từ (2.105) và kết hợp với (2.100), ta suy ra bất đẳng thức sau đây Định lý 2.4 đƣợc chứng minh đầy đủ. ■ Chú thích 2.5. Kết quả về tính ổn định trong [19] là một trƣờng hợp riêng của tính ổn định trong định lý 2.4. Cuối cùng, ta chỉ cần chứng minh rằng 56 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LƯỢNG 3.1. Giới thiệu Trong chƣơng này, chúng tôi xét bài toán biên phi tuyến sau : trong đó γ > 0, p ≥ 2 là các hằng số cho trƣớc; f, F, h là các hàm số cho trƣớc thỏa mãn một số điều kiện nào đó mà chúng ta sẽ chỉ ra sau; M : (0,1] x R → R là hàm thỏa mãn điều kiện Caratheodory và đơn điệu tăng theo biến thứ hai. Trong chƣơng này, trƣớc tiên chúng tôi thiết lập một số không gian Sobolev có trọng cụ thể cùng với các tính chất của chúng để sử dụng trong chƣơng III và chƣơng IV. Ở mục 3.3 chúng tôi dùng phƣơng pháp Galerkin và toán tử compact trên các không gián hàm Sobolev có trọng nói đến ở mục 3.2 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán. Kết quả thu đƣợc ở đây đã tổng quát hóa tƣơng đối các kết quả trong [22], [23], [24], [29], [37] và đƣợc công bố trong {2}, {5}, {6}. 3.2. Các không gian hàm Sobolev có trọng Đặt Ω = (0,1), chúng ta bỏ qua các định nghĩa về các không gian hàm thông dụng nhƣ : ̅ 57 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Ta ký hiệu bởi là tập hợp tất cả các hàm u xác định và đo đƣợc trên Ta đồng nhất trên các hàm bằng nhau hầu hết trên Ω . Các phần tử của là các lớp tƣơng đƣơng các hàm đo đƣợc thỏa mãn (3.4), hai hàm là tƣơng đƣơng nếu chúng bằng nhau hầu hết trên Ω. Khi đó là không gian Banach đối với chuẩn ‖ ‖ Trong trƣờng hợp riêng , là không gian Hilbert đối với tích vô hƣớng và chuẩn tƣơng ứng nhƣ sau Ta có với đạo hàm đƣợc hiểu theo nghĩa phân bố. Chúng ta có thể định nghĩa nhƣ là sự đầy đủ hóa của khổng gian hàm S1 sau đây trong đó Ta ký hiệu bởi 58 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Đối với chuẩn ‖ ‖ Các bất đẳng thức về phép nhúng sau đây sẽ đƣợc sử dụng trong các phần sau. Bổ đề 3.1. Chứng minh của bổ đề 3.1. (i) Ta có trong đó Sử dụng tích phân từng phần cho tích phân trên đây, ta đƣợc 59 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Trong đó Do đó, (i) đƣợc suy ra từ (3.13), (3.14). ii) Một cách tƣơng tự, ta suy ra từ (3.9), (3.10) và (3.12) với ε= i, rằng Do đó, (ii) đƣợc suy ra từ (3.15). (iii) Ta có , với mọi x G [0,1], Do bất đẳng thức Holder ta có Ta suy ra từ (3.9),(3.10) rằng Dùng bất đẳng thức Holder sau đây Ta suy ra từ (3.11),(3.12) rằng 60 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến (3.16) Sử dụng bất đẳng thức Holder, tích phân cuối cùng trong vế phải của (3.16) đƣợc đánh giá Ta sử dụng một lần nữa bất đẳng thức (3.12) với ε = 1. Khi đó ta suy ra từ (3.15), (3.18) rằng Do đó (iii) đƣợc chứng minh. (4i) Giả sử p ≥ 2 - và p > 1 là đúng. Ta có từ (iii) rằng Mặt khác, dùng bất đẳng thức Holder ta thu đƣợc các bất đẳng thức sau Ta suy ra từ (3.16), (3.17) rằng 61 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Đổi thứ tự biến lấy tích phân x và y trong tích phân cuối cùng của (3.23), ta đánh giá tích phân đó nhƣ sau Ta chú ý rằng Khi đó, (iv) đƣợc suy từ (3.20), (3.23) - (3.25). Chú thích 3.1. Các bất đẳng thức (i), (ii) chứng tỏ rằng là hai chuẩn tƣơng đƣơng trên và Do đó, ta suy ra từ (3.21), (3.22) rằng 62 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Bổ đề 3.2 suy từ (iv) và từ chú thích 3.1. ii) p ≥ 2. Ta có Chú thích 3.2. Ta chú ý rằng () (xem [2] , Bổ đề 5.40 , p.128 ). (3.29) ta suy ra rằng Chứng minh của bổ đề 3.2. 63 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến (3.30) Từ (3.28), (3.30) ta suy ra Từ kết quả của bổ đề 3.2, với p ≥ 2 - ⁄ , V đƣợc nhúng liên tục trong H. Hơn nữa V trù mật trong H, vì C1 ( ̅) trù mật trong H; đồng nhất H với H’ ( đối ngẫu của H), ta có . Mặt khác, ks hiệu 〈 〉 đƣợc dùng để chỉ cặp đối ngẫu giữa V và V’. 3.3. Định lý tồn tại và duy nhất Ta giả sử rằng p ≥ 2. Ta thành lập các giả thiết sau (M1) M: (0,1] x R R thỏa mãn điều kiện Caratheodory, nghĩa là, M(.,y) đo đƣợc trên (0,1] với mọi y R, M(x,.) liên tục trên R với hầu hết x (0,1]. (M2) Tồn tại một hằng số dƣơng C1 và một hàm q1 L 1(Ω) sao cho (M3) Tồn tại một hằng số dƣơng C2 và một hàm q2, với 64 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến ( M 4 ) M là đơn điệu tăng đối với biến thứ hai, nghĩa là, (F1 ) f : Ω x R → R thỏa điều kiện Caratheodory. (F2) Tồn tại các hằng số dƣơng C3 , 1 < r < p và một hàm q3 ( Ω) sao cho (F3) Tồn tại một hằng số dƣơng C4 và một hàm q4 (Ω) sao cho (H1) h C 0 (R; R) thỏa điều kiện sau: tồn tại hai hằng số dƣơng C5, sao cho Giả sử rằng F V’. (3.32) Chú thích 3.3. Trong giả thiết (F2), r = p vẫn đúng nếu C3 > 0 đủ nhỏ. ( xem chú thích 3.6 ). Nghiệm của bài toán (3.1) - (3.3) đƣợc thành lập từ bài toán biến phân sau đây. Tìm u V sao cho 65 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Chú thích 3.4. Do (3.31), các số hạng u(1) và v(1) xuất hiện trong (3.33) đƣợc xác định với mọi u , v V . Ta nhận đƣợc (3.33) bằng cách nhân hình thức hai vế của (3.1) với xγ v và sau đó lấy tích phân từng phần, kết hợp với việc sử dụng các điều kiện (3.2),(3.28) và giả thiết (M3) . Khi đó ta có định lý sau. Định lý 3.1. Cho F V’ và giả sử (M1) – (M4), (F1) – (F3), (H1)là đúng. Khi đó bài toán biến phân (3.33) có nghiệm Hơn nữa, nếu M(x,y), f(x,y), h(y) là không giảm đối với biến y, nghĩa là Với mọi y, ỹ R, a.e., x Ω, trong đó, hai trong ba bất đẳng thức trên là nặt trong trường hợp y ≠ ỹ, khi đó nghiệm bài toán duy nhất. Mặt khác, tính duy nhất của nghiệm vẫn còn đúng nếu điều kiện (3.34) được tahy thế bởi giả thiết 66 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Chứng minh. a) Xấp xỉ Galerkin. Do V là không gian Banach khả ly nên tồn tại một cơ sở đếm đƣợc w1 , w 2 ..trong V . Ta tìm u m dƣới dạng và thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến sau đây: Nhƣ vậy các hệ số cmj của u m thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến : Trong đó Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ (3.36), chúng ta nhờ đến bổ đề sau đây Bổ đề 3.3. Cho p: R m → Rm là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại hằng số ρ > 0, sao cho 67 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Trong đó với Bổ đề này đƣợc chứng minh nhờ vào định lý điểm bất động Brouwer (xem [27] bổ đề 4.3, trang 53). Ta nghiệm lại ánh xạ P thỏa các giả thiết của bổ đề 3.3. j) Ta chứng minh dễ dàng rằng p : R m → R m là ánh xạ liên tục. jj) Ta nghiệm lại điều kiện (3.39) đúng với một số dƣơng ρ nào đó. Ta có Từ các giả thiết (M1 ) - (M3), (F1) - (F3), (H1) ta có các đánh giá sau 68 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến Từ (3.40) – (3.44) ta suy ra: { } (3.47) Dùng bất đẳng thức Holder sau : Kết hợp (3.45), (3.46),(3.49) và (3.51) ta suy ra trong đó C' là một hằng số dƣơng phụ thuộc vào p,r,γ,C0,C3,C'5,|| | | ‖ ‖ || || Mặt khác trong R m hai chuẩn | c m | và || || tƣơng đƣơng, do đó tồn tạiád hai hằng số ta thu đƣợc bất đẳng thức sau Ta cũng chú ý rằng Do đó ta có 69 Chương 3: Bài toán biên phi tuyến dƣơng Clm,C2m sao cho Áp dụng bổ đề 3.3 sự tồn tạ