Luận án Động lực học vi cảm biến vận tốc góc kiểu âm thoa

C v t t t K C v V K C v t t t                                           (2.29) 51 Một bộ khuếch đại vi sai sẽ tạo ra sự sai khác giữa hai tín hiệu điện áp này. Khi các điện dung danh nghĩa tương thích với nhau, các thành phần cosc sn c cK C v t  trong công thức (2.29) được loại bỏ. Sau khi lọc bỏ tín hiệu, sự sai khác điện áp giữa các bản tụ là:   ( )sin( ) ( )sin( ) s s s s c c d c d c d c d V V V K C v t t                    (2.30) Tín hiệu này được giải điều chế tại tần số mang ωc bằng cách nhân nó với một tín hiệu mang tham chiếu có dạng: cos( )cr cr cV v t   (2.31) Sau khi nhân, tín hiệu giải điều chế trở thành:     1 ( ) cos( ) cos((2 ) ) 2 1 ( ) cos( ) cos((2 ) ) 2 sd s c cr c d d c d s c cr c d d c d V K C v v t t K C v v t t                             (2.32) Biên độ của tín hiệu sau giải điều chế đạt lớn nhất khi θ = 900 với ωc≫ωd. Khi tín hiệu sau giải điều chế được lọc ở tần số dẫn ωd, các tín hiệu cao tần là 2ωc, (2ωc - ωd) và (2ωc + ωd) suy biến và ta nhận được tín hiệu: 0 sinsd c s c cr dV K C v v t   (2.33) Tín hiệu Vsd là biên độ sau giải điều chế thu được khi sử dụng tín hiệu chuẩn từ dao động của mạch dẫn động. 2.5. Cơ sở cơ học của vi cảm biến vận tốc góc Hệ dao động cơ học gồm ba thành phần cơ bản là phần tử quán tính, phần tử cản và phần tử đàn hồi. Giá trị của phần tử quán tính trong các hệ MVG được xác định thông qua kích thước và đặc trưng vật liệu của nó. Trong phần này, luận án chỉ tập trung vào hai phần tử còn lại của hệ. 2.5.1. Hệ số độ cứng tương đương của các dầm đàn hồi Phần tử đàn hồi trong các MVG có dạng các dầm đàn hồi liên kết các phần tử với nhau và với nền. Các dầm đàn hồi này được thiết kế sao cho các phần tử 52 khối lượng dễ dàng thực hiện dao động tịnh tiến trên các phương mong muốn (phương dẫn và phương cảm). Độ dày của các dầm đàn hồi này được xác định theo độ dày chung của toàn bộ cấu trúc. Độ cứng của dầm được thiết kế sao cho hệ đạt trạng thái cộng hưởng hoặc gần cộng hưởng trên cả phương cảm và phương dẫn, đồng thời hạn chế dao động trên các phương khác bằng cách thiết kế sao cho độ cứng trên các phương này khác xa so với độ cứng trên hai phương chính. Một số dạng dầm đàn hồi sử dụng trong các cấu trúc vi cơ điện tử như sau: a) Dầm đơn thẳng (Single beam) Cấu trúc dầm đơn này có thiết kế đơn giản, mặt cắt ngang có thể là hình chữ nhật hoặc hình thang với thiết diện không đổi theo chiều dài dầm. Hình 2.19 giới thiệu một cấu trúc dầm đơn chiều dài L với hai dạng mặt cắt ngang cơ bản là hình chữ nhật (b×h) và hình thang (đáy h và h'). Dầm có thể có cấu trúc ở dạng một đầu ngàm (Fixed) - hay còn được gọi là điểm neo (Anchor), trong khi đầu còn lại có thể ở dạng tự do (Free), hoặc được dẫn hướng (Guided) theo một phương hoặc cũng được ngàm. Khi ứng xử đàn hồi của dầm được xem là tuyến tính, độ cứng tương đương của chúng được xác định theo công thức: P k   (2.34) trong đó, k là hệ số độ cứng tương đương theo phương của chuyển vị, δ là chuyển vị của dầm tại vị trí đặt lực tác dụng, P là lực tác dụng đặt lên dầm. Cố định L y zO y xO b h A B b h h' Mặt cắt ngang Hình 2.19. Cấu trúc dầm đơn và các dạng mặt cắt ngang 53 Áp dụng các công thức tính trong các tài liệu [7], [20] và [37], ta có công thức xác định độ cứng tương đương của cấu trúc dầm đơn trong từng trường hợp cụ thể như sau: - Dầm đơn có liên kết kiểu Fixed-Free: Độ cứng tương đương của dầm trên phương x: x EF k L  (2.35) Độ cứng tương đương của dầm trên phương y: 3 3 y y EJ k L  (2.36) Độ cứng tương đương trên phương z: 3 3 z z EJ k L  (2.37) - Dầm đơn có liên kết kiểu Fixed-Guided: Độ cứng tương đương trên phương x vẫn được tính theo công thức (2.35). Độ cứng tương đương trên phương y: 3 12 y y EJ k L  (2.38) Độ cứng tương đương trên phương z: 3 12 z z EJ k L  (2.39) - Dầm đơn có liên kết kiểu Fixed-Fixed: Độ cứng tương đương của dầm trên phương x theo công thức (2.35). Độ cứng tương đương của dầm trên phương y khi điểm đặt lực ở giữa dầm: 3 192 y y EJ k L  (2.40) Độ cứng tương đương trên phương z: 3 192 z z EJ k L  (2.41) Trong các công thức trên, E là mô đun đàn hồi của vật liệu; F là diện tích mặt cắt ngang; Jy và Jz là mô men quán tính của mặt cắt ngang với các trục 54 tương ứng đi qua trọng tâm mặt cắt. Với các dạng mặt cắt khác nhau, các thành phần Jy và Jz được xác định như sau: + Với mặt cắt ngang là hình chữ nhật 3 3 12 12 y z hb J bh J   (2.42) + Với mặt cắt ngang là hình thang 3 2 2 3 4 4 3 3 2 2 2 ( 4 ) 36( ) ( )(33 3 48 12 8 ) 12 144( ) y z b h hh h J h h bh b h h h h h h h h h h J h h                  (2.43) b) Dầm đơn vuông góc Trong mô hình của các thiết bị vi cơ điện tử còn xuất hiện một số cấu trúc với dầm kiểu vuông góc (Crab leg) hoặc kiểu chữ H (H-type beam) [20]. Ưu điểm của cấu trúc dầm kiểu này là có thể tạo ra hai dao động trên hai phương (Ox và Oy) vuông góc nhau cho cùng một phần tử khối lượng ở đầu dầm. Đặc điểm này cho phép sử dụng dầm trên trong thiết kế các MVG dạng một phần tử khối lượng tham gia hai bậc tự do trên hai phương vuông góc nhau. L1, h1 L2, h2 F y x O Hình 2.20. Cấu trúc dầm đơn vuông góc Cấu tạo của kiểu dầm này (Hình 2.20) gồm hai đoạn dầm vuông góc nhau. Các đoạn dầm có chiều dài là L1, L2; chiều rộng là h1, h2 và độ dày cấu trúc là b. 55 Độ cứng tương đương của dầm kiểu này được xác định như sau [37]: 3 2 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 2 4 4 4 4 h x h h y h Eb h L r L k L L r L Eb h L r L k L L r L                             (2.44) với   3 1 2hr h h c) Dầm gập (Folded beam) Cấu trúc dầm gập được chỉ ra trên Hình 2.21a với hai đoạn dầm giống hệt nhau (L1, h1) được liên kết bởi đoạn dầm có kích thước khác (L2, h2). Một đầu dầm được ngàm cố định, trong khi đầu còn lại có thể ở dạng tự do hoặc có dẫn hướng. Một hình ảnh chế tạo cho cấu trúc này được thể hiện trên Hình 2.21b. a) L1, h1 L 2 , h 2 F L1, h1 y x O b) Hình 2.21. Cấu trúc dầm gập Trong trường hợp đầu còn lại là tự do, hệ dầm treo được đưa về hệ hai dầm đơn cùng kiểu mắc nối tiếp nhau và do đó, các hệ số độ cứng tương đương trên các phương y và z được xác định theo các công thức sau [20]: 56 1 1 1 folded single singlek k k   Theo đó, ta có được công thức xác định hệ số độ cứng tương đương: 2 single folded k k  (2.45) trong đó ksingle được xác định theo các công thức (2.36) và (2.37). Trong trường hợp đầu còn lại của dầm gập được dẫn động theo một phương thì độ cứng tương đương của dầm gập được xác định gần đúng theo công thức (2.45) nhưng các giá trị của ksingle được xác định theo các công thức (2.38) và (2.39) tương ứng. Ngoài ra theo [37], các hệ số độ cứng tương đương cũng có thể được xác định theo công thức chính xác hơn:   3 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 6 2 4 2 x h h y h Ebh k r L L L Eb h L r L k L L r L                 với 3 1 2 h h r h        (2.46) Các dầm gập kiểu này cho phép tạo ra các cấu trúc có độ cứng thấp hơn, dễ tạo các dao động theo phương mong muốn mà vẫn đảm bảo được độ cứng vững cho kết cấu. Hình 2.21b giới thiệu một hình ảnh thực tế sau chế tạo của mô hình dầm gập kép [20]. Trong cấu trúc này, các dầm gập kép được sử dụng để liên kết động các phần tử khối lượng m1, m2 với khung liên kết ở giữa. d) Dầm gập kép (Douple folded beam) Cấu trúc dầm gập kép gồm hai hay nhiều dầm gập liên kết với nhau theo kiểu song song. Theo đó, độ cứng tương đương của hệ tăng lên. Cấu trúc dầm gập kép như trên Hình 2.22, gồm hai hoặc nhiều dầm gập liên kết song song nhau với nhau. Trong trường hợp không kể đến chiều dài của phần dầm liên kết (L2) và độ rộng của dầm liên kết lớn hơn nhiều so với 57 dầm chính, độ cứng tương đương của dầm gập kép có thể được xác định gần đúng theo công thức: 2double folded folded singlek k k   (2.47) trong đó ksingle được xác định theo các công thức (2.36) và (2.37). L 1 , J 1 L2, J2 y x O Hình 2.22. Cấu trúc dầm gập kép Nếu kể đến chiều dài dầm liên kết và tính tương đồng giữa độ rộng của các đoạn dầm, công thức xác định độ cứng tương đương của hệ như sau [37]: 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 12 14 36 4 41 36 12 8 8 4 10 5 L L J J x L L J J L L J J y L L J J EJ r r r r k L r r r r EJ r r r r k L r r r r           với 2 2 1 1 ; L J L J r r L J   (2.48) trong đó J1 và J2 là các mô men quán tính của mặt cắt ngang các đoạn dầm chiều dài L1 và L2. Theo công thức (2.48), khi J2 >> J1, các công thức xác định độ cứng tương đương của dầm gập theo phương x và y lần lượt là: 1 2 2 2 1 2 12 2,4 ; x y EJ EJ k k L L   (2.49) Tùy vào yêu cầu thiết kế của từng thiết bị, các cấu trúc dầm đàn hồi được sử dụng để có được độ cứng mong muốn. 58 2.5.2. Thành phần cản trong mô hình dao động của hệ vi cơ điện tử Các thiết bị MEMS hoạt động như một hệ dao động cơ học, do đó yếu tố cản luôn được quan tâm nghiên cứu nhằm tạo cho thiết bị hoạt động trong điều kiện tốt nhất có thể. Nhiều cảm biến, trong quá trình đóng gói thường được hút chân không, tức là môi trường làm việc của chúng là chân không, khi đó yếu tố cản do ma sát của lớp không khí gây ra với các thành phần chuyển động được hạn chế đến mức tối đa. Tuy nhiên, trong thực tế, vẫn có những thiết bị hoạt động trong môi trường không khí hoặc chất lỏng, khi đó tính chất cản nhớt của môi trường có ảnh hưởng đáng kể tới chất lượng hoạt động của thiết bị. Trong phạm vi nghiên cứu của luận án, tác giả chỉ quan tâm tới môi trường hoạt động là chân không hoặc không khí. Vì vậy, nghiên cứu về cản nhớt của không khí sẽ được đề cập trong mục này. Có 2 loại lực cản của không khí lên các thành phần chuyển động: - Lực cản do ma sát trượt hình thành khi các lớp không khí nằm giữa các khe hẹp có chuyển động tương đối (Slide damping), - Lực cản ma sát hình thành do sự nén của các lớp không khí nằm giữa các khe hẹp (Squeeze damping). a) Cản do ma sát trượt của lớp không khí trong khe hẹp Khi hai tấm phẳng có diện tích A đặt cách nhau khoảng d0 và chuyển động tương đối với nhau theo phương song song với mặt phẳng của tấm (Hình 2.4b), do tồn tại lớp không khí giữa hai tấm phẳng nên xuất hiện lực cản do ma sát trượt giữa các lớp không khí với nhau và với tấm phẳng chuyển động. Hệ số cản do ma sát trượt của hệ được xác định từ phương trình Navier- Stokes cho chất khí lý tưởng, và có thể viết theo công thức sau [33], [61]: 0 sl SL A c d  (2.50) trong đó, SL là độ nhớt hiệu dụng của môi trường khí giữa hai tấm phẳng khi 59 trượt và được xác định gần đúng theo công thức: 100,7881 2 0,2 n SL K n nK K e       (2.51) với μ là độ nhớt động học của không khí (μ = 1,86×10-5 N.s/m); Kn là hệ số Knudsen, được xác định theo tỷ số giữa mức di chuyển của phân tử khí giữa hai tấm phẳng λ (mean-free-path) với khoảng cách giữa hai tấm đó: 0nK d  (2.52) Mức di chuyển của phân tử khí λ được xác định theo công thức: 22 BK T D p    (2.53) trong đó KB là hằng số Boltzmann KB = 1,38×10-23 J/K; T là nhiệt độ môi trường (Kenvil); D là đường kính phân tử khí; p là áp suất môi trường. Trong các tính toán gần đúng, người ta thường xác định mức di chuyển của phân tử khí dựa vào hệ thức sau [20]: pλ = 6,777×10-3 Trong các thiết kế về MVG, các phần tử khối lượng có chuyển động phẳng và song song với lớp nền sẽ xuất hiện yếu tố cản do ma sát trượt được xem như cản nhớt. Ngoài ra, các cấu trúc dẫn động răng lược kiểu tụ cũng có dạng chuyển động song song giữa hai bề mặt của bản tụ (khoảng cách giữa các bề mặt thường từ 2 μm) nên yếu tố cản do ma sát trượt cũng xuất hiện ở cấu trúc này. Theo đó, đây sẽ là yếu tố chính gây ra lực cản trong các cấu trúc MVG. b) Cản ma sát do sự nén lớp không khí trong khe hẹp Lực cản do sự nén lớp không khí trong khe hẹp xuất hiện khi hai tấm phẳng song song có dịch chuyển tương đối theo phương pháp tuyến làm thay đổi khoảng cách giữa chúng (Hình 2.4a). Lực cản này xuất hiện phổ biến trong các thiết bị MEMS và được xác định dựa trên phương trình viết cho lớp chất khí Reynolds [42], với giả thiết rằng khoảng cách y giữa bề mặt hai tấm phẳng lớn hơn nhiều so với mức dịch chuyển λ của phân tử khí trong lớp chất giữa hai tấm phẳng. 60 Theo [42], hệ số cản của không khí cho hai tấm phẳng song song có dịch chuyển theo phương pháp tuyến được xác định bởi:      22 6 2 22 2 2 4,0 64 ( ) sq m n m npA c y mn m n              (2.54) trong đó, m và n là các số lẻ; A là diện tích trùng nhau của hai tấm (A = L.b, với L và b là độ dài khoảng xếp chồng và chiều rộng của hai tấm phẳng); p là áp suất môi trường làm việc; β là tỷ số hình dạng β = b/L (β = 1 khi tấm có dạng hình vuông, β = 0 khi tấm có chiều dài lớn hơn nhiều so với chiều rộng); σ là hệ số nén khí (squeeze number) được xác định theo công thức: 2 2 0 12 SQL pd     (2.55) Trong công thức (2.55), ω là tần số vòng kích thích; μSQ là hệ số độ nhớt hiệu dụng khi kể đến sự nén của lớp không khí được xác định theo công thức: 1,1591 9,638 SQ nK     (2.56) Do m và n là các số lẻ nên nếu chỉ chọn giá trị m = n = 1, công thức (2.54) có thể viết lại như sau [37]:     22 26 22 2 4 0 1 164 1 1 sq pA c y             (2.57) Trong nhiều trường hợp các tấm phẳng dịch chuyển với tần số hoặc tốc độ thấp, lớp không khí gần như không bị nén, hệ số cản của không khí lên tấm phẳng hình chữ nhật chuyển động được xác định theo công thức: 3 3 ( ) SQ sq rec Lb c y     (2.58) với η(β) là hệ số phụ thuộc hình dạng của tấm phẳng, với tấm phẳng dài η(0) = 1, với tấm hình vuông η(1) = 0,42. Hình 2.23 là đường cong biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc của η vào tỷ số hình dạng β theo công thức sau [42]: 61 5 5 1,3,5 192 1 ( ) 1 tanh 2n n n                  (2.59) Hình 2.23. Sự phụ thuộc của hệ số η vào tỷ số hình dạng β Trong cấu trúc MVG, lực cản ma sát do sự nén lớp không khí giữa hai bản tụ xuất hiện trên phương cảm, khi các răng lược của cấu trúc có sự dịch chuyển trên phương pháp tuyến của các bản tụ. Trong quá trình tính toán và xác định các giá trị động lực học đặc trưng của một cấu trúc MVG bất kỳ với kích thước thiết kế đã có, các hệ số cản của cả hệ được xác định trên từng phương dựa vào cấu trúc thực, trong đó các thành phần cản cần được xác định dưới dạng hệ giảm chấn mắc song song hoặc nối tiếp. Khi đó, hệ số cản tương đương của toàn hệ được xác định theo các công thức sau [2]: ; (1,2,3,...)ic c i  (2.60) 1 1 ; (1,2,3,...) i i c c   (2.61) Công thức (2.60) được sử dụng cho trường hợp các thành phần cản được bố trí song song nhau, trong khi công thức (2.61) được sử dụng cho trường hợp các thành phần cản được bố trí nối tiếp. Các công thức xác định hệ số cản và hệ số độ cứng tương đương cũng có thể được sử dụng trong quá trình thiết kế và tối ưu hóa các thông số kích thước của các MVG. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 η (β ) β 62 Kết luận Chương 2 Trong chương này, luận án đã trình bày khái quát cơ sở vật lý của lực tĩnh điện và cơ sở cơ học của các vi cảm biến vận tốc góc kiểu dao động với phần kích thích và phần cảm ứng đều được thực hiện theo hiệu ứng tĩnh điện (dẫn động tĩnh điện, cảm ứng điện dung). Phần cơ sở cơ học cho phép xác định hệ số độ cứng của các thanh đàn hồi và hệ số cản nhớt của môi trường trong hệ dao động cơ học MEMS, phục vụ cho việc tính toán các giá trị động lực học đặc trưng cho một hệ vi cảm biến đã có hoặc có thể tính toán lựa chọn kích thước hợp lý cho hệ cơ học theo định hướng thiết kế nhất định. 63 Chương 3 ĐỘNG LỰC HỌC VI CẢM BIẾN VẬN TỐC GÓC HAI BẬC TỰ DO Chương 3 tiến hành thiết lập và giải hệ phương trình vi phân chuyển động bằng phương pháp số, phân tích đáp ứng động lực học của hệ MVG cơ bản, lý tưởng một phần tử khối lượng hai bậc tự do để giải thích rõ nguyên lý hoạt động của các MVG theo hiệu ứng Coriolis, thông qua đó luận án cũng chỉ ra những nhược điểm của mô hình MVG kiểu này. Cấu trúc MVG được phát triển tiếp với mô hình gồm 2 phần tử khối lượng liên kết với nhau để khắc phục những nhược điểm của mô hình trước đó. Các đáp ứng động lực học của mô hình MVG kiểu này sẽ chứng minh cho ưu điểm mà nó mang lại. 3.1. Động lực học vi cảm biến vận tốc góc một phần tử hai bậc tự do Trên cơ sở phân tích cấu trúc cơ học của hệ MVG, trong mục này, luận án tiến hành phân tích cấu tạo của một hệ MVG cơ bản nhất gồm một phần tử khối lượng, đồng thời thiết lập hệ phương trình vi phân dao động cho hệ này làm cơ sở cho những phân tích dao động của hệ trong các mục tiếp theo. 3.1.1. Cấu tạo và nguyên lý làm việc của MVG cơ bản Một MVG cơ bản có cấu trúc gồm một phần tử quán tính m được treo trên nền (substrate) nhờ các thanh đàn hồi có khối lượng không đáng kể so với m. Các thanh này có một đầu được cố định trên nền, đầu còn lại liên kết với khối lượng m, đảm bảo cho phần tử quán tính có thể dao động tự do theo hai phương vuông góc nhau, trong khi các chuyển động khác của nó sẽ được hạn chế tối đa. Cấu tạo và nguyên lý hoạt động của MVG được chỉ ra trên Hình 3.1. Một trong hai dao động của khối lượng m được tạo bởi các lực tĩnh điện Fd nhờ cấu trúc kiểu răng lược, dao động này được gọi là dao động dẫn. Phương chứa dao động dẫn gọi là phương dẫn. Dao động còn lại trên phương vuông góc sẽ xuất hiện khi cho cả hệ một chuyển động quay với vận tốc góc Ω. Lúc 64 này, do hiệu ứng Coriolis, lực Coriolis Fc được tạo ra trên phương vuông góc với dao động dẫn, làm cho khối lượng m có thêm dao động thứ hai trên phương vuông góc với dao động dẫn. Dao động thứ cấp này được gọi là dao động cảm. Phương chứa dao động cảm gọi là phương cảm. MVG cơ bản này là một hệ dao động một phần tử khối lượng với hai bậc tự do. m C=O Ω Hệ quy chiếu quán tính A Hệ quy chiếu động B Fd Fc y x X Y a) b) Hình 3.1. Cấu tạo (a) và nguyên lý hoạt động (b) của một MVG cơ bản 3.1.2. Hệ phương trình vi phân dao động của MVG cơ bản Phương trình vi phân chuyển động của hệ có thể nhận được nhờ sử dụng phương trình Đa-lăm-be khi chọn hệ trục tọa độ như Hình 3.1b. Hệ quy chiếu quán tính A (OXY) gắn với trái đất và hệ quy chiếu động B (Oxy) gắn với cảm biến. Gốc tọa độ của cả hai hệ quy chiếu được chọn trùng nhau (O). Phần tử quán tính (m) trên Hình 3.1b, có tọa độ khối tâm C trùng với gốc tọa độ O, được xem như thực hiện một chuyển động phức hợp trong mặt phẳng chuyển động, trong đó: - Chuyển động theo là chuyển động quay quanh trục Oz cùng với cảm biến với vận tốc góc  . - Chuyển động tương đối là chuyển động tịnh tiến của phần tử quán tính theo các phương Ox, Oy trong hệ tọa độ Oxy. Điểm neo 65 Giả thiết rằng chuyển động tịnh tiến trên phương x và y không gây ra chuyển động quay cho phần tử quán tính so với nền; đồng thời bỏ qua khối lượng của các thanh đàn hồi. Vị trí của khối tâm C của phần tử quán tính trong hệ quy chiếu động Oxy được xác định là:  C T r x y (3.1) Vận tốc của khối tâm C trong hệ quy chiếu quán tính được xác định theo công thức sau: C C CV r r  hay   T CV x y y x     (3.2) Trong công thức (3.2), các đại lượng , x y do thành phần chuyển động tịnh tiến tương đối gây ra, còn các đại lượng x và y do thành phần chuyển động quay theo gây ra. Theo [1] và [3], vectơ gia tốc của khối tâm C trong hệ quy chiếu quán tính được xác định là: ( ) 2e r cC C C C C C C Ca a a a r r r r         (3.3) trong đó: eCa là thành phần gia tốc trong chuyển động quay theo của khối tâm C. 2 2( ) T e C C Ca r r y x x y           (3.4)   Tr Ca x y là thành phần gia tốc trong chuyển động tịnh tiến tương đối; và c Ca là thành phần gia tốc Coriolis của khối tâm C.  2 2 2 Tc C Ca r y x      (3.5) Thay các công thức xác định các thành phần gia tốc vào công thức (3.3), ta nhận được công thức xác định gia tốc của khối tâm C trong hệ quy chiếu quán tính là: 2 22 2 T Ca x y x y y x y x             (3.6) 66 Ngoại lực tác dụng là lực dẫn tĩnh điện trên phương x theo công thức.  0 T dF F (3.7) Theo nguyên lý Đa-lăm-be, khi phần tử quán tính chuyển động trong hệ tọa độ quán tính, ta có phương trình: 0 qt iF F  (3.8) Viết dưới dạng triển khai: 0 0 qt k c x x x x qt k c y y y y F F F F F F F F           (3.9) trong đó: qtF - thành phần lực quán tính tác dụng lên khối lượng m khi chuyển động với vectơ gia tốc Ca 2 2 ( 2 ) ( 2 ) qt x Cx qt y Cy F ma m x y x y F ma m y x y x                     (3.10) c xF , c yF - thành phần lực cản của các giảm chấn với hệ số cản cx và cy trên các phương tương ứng trong hệ tọa độ quán tính. ( ) ( ) c x x c y y F c x y F c y x           (3.11) k xF , k yF - thành phần lực đàn hồi của các dầm có hệ số độ cứng kx, ky trong hệ tọa độ quán tính. k x x k y y F k x F k y       (3.12) Thay (3.10), (3.11) và (3.12) vào (3.9), sau đó sắp xếp lại, ta nhận được hệ phương trình: 2 x x 2 y y ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 0 dmx c x y k m x m y y F my c y x k m y m x x                        (3.13) 67 Đối với phần tử quán tính trong hệ cảm biến con quay, tần số dao động riêng của hệ lớn hơn nhiều so với vận tốc quay Ω ( /k m  ) nên có thể coi 2k m  . Đồng thời, nếu giả thiết rằng biến thiên của vận tốc góc Ω là không đáng kể ( = 0) và thành phần vận tốc dài trong chuyển động tịnh tiến tương đối lớn hơn nhiều so với vận tốc dài do chuyển động quay gây ra cho khối tâm C ( x y và y x ), khi đó hệ phương trình (3.13) trở thành: x x y y 2 2 dmx c x k x F my my c y k y mx            (3.14) Hệ (3.14) là hệ phương trình vi phân chuyển động của phần tử quán tính trong hệ tọa độ Oxy gắn cứng với khung cảm biến. Các đại lượng 2mx và 2my lần lượt là thành phần lực Coriolis tác dụng lên phần tử quán tính trên hai phương tương ứng. Theo đó, lực Coriolis đóng vai trò là lực kích thích gây ra chuyển động cho phần tử quán tính trên phương cảm. 3.1.3. Dao động tự do của MVG cơ bản Trong các mục tiếp theo, luận án sẽ giới thiệu một số dạng dao động của phần tử quán tính trong mô hình MVG cơ bản với từng điều kiện đầu cụ thể. Hệ phương trình vi phân dao động trong trường hợp dao động tự do không cản, khi chưa đặt vận tốc góc Ω, có dạng: 0 0 x y x x y y        (3.15) với x xk m , y yk m . Nghiệm của (3.15) trường hợp tổng quát khi các thông số động lực học đặc trưng của hệ được thiết kế sao cho ωx ≈ ωy = ωn có dạng: 0 0 0 0 cos( )cos sin( )sin sin( )sin cos( )cos n n n n x A t B t y A t B t                      (3.16) Theo đó, quỹ đạo của phần tử quán tính là một Ellip. Các hằng số A, B, ϕ và θ0 được xác định từ các điều kiện đầu, trong đó A, B là các bán trục của Ellip, 68 θ0 là góc xác định vị trí ban đầu của phần tử quán tính trên quỹ đạo, trong khi ϕ là góc định hướng của Ellip theo công thức: 2 2 2 2 2 2 2( ) tan ( ) ( ) n n xy xy x y x y         (3.17) Khi đưa vào hệ một vận tốc góc Ω ≠ 0 (Ω2 << ωn), hệ phương trình vi phân dao động có dạng: x y 2 2 mx k x my my k y mx         (3.18) Các thành phần lực Coriolis ( 2 , 2my mx  ) đóng vai trò là nguồn kích thích cho phần tử quán tính trên cả hai phương. Trong trường hợp chọn điều kiện đầu cụ thể, các dao động thành phần và quỹ đạo của phần tử này được thể hiện trên Hình 3.2. Theo đó, mặc dù hệ dao động không cản nhưng thành phần lực Coriolis trong phương trình thứ nhất của hệ (3.18) đóng vai trò như thành phần lực cản chống lại chuyển vị của phần tử quán tính trên phương dẫn, trong khi đó thành phần lực Coriolis trong phương trình thứ hai giữ vai trò là lực gây dao động trên phương cảm cho phần tử quán tính, chính thành phần dao động này có biên độ tỷ lệ với vận tốc góc Ω đưa vào hệ. Biên độ dao động cảm này là cơ sở để xác định vận tốc góc Ω. Hình 3.2. Các dao động thành phần khi hệ tự do không cản Quỹ đạo của pt quán tính 69 Trong trường hợp này, chuyển động của phần tử quán tính có dạng "tuế sai" (như của con quay cơ cổ điển), quỹ