Luận án Hàm phân hình giá trị Fréchet với lý thuyết thế vị phức và các bất biến tôpô tuyến tính

một lân cận 0   () với mọi dãy mũ  = (n), ở đây Nói một cách khác, với các không gian lồi địa phƣơng E và F khi chúng ta ký hiệu (E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục, còn (E, F) ký hiệu tập hợp các ánh xạ A  (E,F) sao cho tồn tại một lân cận U của 0 trong E để A(U) bị chặn, ta có kết quả : Với F là không gian Fréchet, các điều sau tƣơng đƣơng i) ( ()F) = ( ()F) với mọi dãy mũ  ii) F có tính chất (LB) 26 Chúng ta lƣu ý rằng mọi không gian có (LB)-chuẩn đều có (DN)-chuẩn, điều ngƣợc lại nói chung không đúng. Kết quả chính của mục này là định lý sau Định lý 3. Cho F là một không gian Fréchet và F’bor là không gian F’ trang bị tôpô Mackey. Khi đó đẳng thức (X, [F’bor]’ = w(X, [F’bor]’ đúng với mọi tập compact kiểu duy nhất X của Cn nếu và chỉ nếu [[F’bor]’  (LB). Để chứng minh Định lý 3 ngoài việc á p dụng các Bổ đề 1.1, 1.2 chúng ta chứng minh kết quả sau 1.4.2.Bổ đề 1.6. Tồn tại một tập cực compact kiểu duy nhất trong Chứng minh. a) Trƣớc tiên chúng ta chứng minh rằng một tập compact X trong là kiểu duy nhất nếu và chỉ nếu X là tập hoàn toàn. Thật vậy, cho f  (U), F|X = 0 ở đây U là một lân cận của X trong . Khi đó F|X = 0 với mọi thành phần liên thông Z của U giao X và do đó f = 0 trên V {Z : Z là thành phần liên thông của U với Z X } Ngƣợc lại, nếu X không hoàn toàn thì X có một điểm cô lập và do đó X không là kiểu duy nhất. b) Cho một dãy 1 = (1n) 0, 1n < 2 -n . Định nghĩa một họ các khoảng đóng (Jnj)n0, 1 j 2 n với 27 Jo,s = [o, 1] với s  1 và c) Với mỗi n ≥ 0 xác định μn, độ đo đều trên ⋃ cho trọng lƣợng 2 -n đối với mỗi Jnj nghĩa là Định nghĩa độ đo xác suất trên C(l) bởi Chú ý rằng giới hạn này tồn tại. Đặt d) Chúng ta sẽ chứng minh rằng, với và μ đƣợc xác định nhƣ trên, C (=C(1)) là tập cực compact kiểu duy nhất. Rõ ràng rằng C là tập hoàn toàn, vì C là tập dạng Cantor. Ta chứng minh C = -1 (-). Hiển nhiên (z) > - với z C. Bây giờ giả sử rằng xo C và xo Jnjn, n  0. Từ Jn,jn+1 Jn,jn chúng ta có 28 Cuối cùng ta còn phải kiểm tra rằng  là điều hòa dƣới trên . Cho zo . Khi đó dist (C,zo) > 0 và do đó log|z-zo| bị chặn trên một lân cận của z0. Cho nên từ định lý hội tụ chặn Lebesgue ta có  liên tục tại z0. Giả sử zo  C. Cho A > 0. Chọn  > 0 sao cho với Vì Khi z →Zo đều trên chúng ta có ở đây với đủ bé. Do vậy  là ánh xạ nửa liên tục trên. Khi đó bất đẳng thức 29 dẫn đến rằng  điều hòa dƣới. Lưu ý : Chúng tôi cám ơn giáo sƣ Thomas đã chỉ ra cho chúng tôi cấu trúc của tập C trong Bổ đề 3.3 khi ông ở Hà Nội. 1.4.3. Chứng minh của Định lý 3. Cho F là không gian Fréchet với [F’bor]’  (LB) và f  w (X,[F’bor]’) ở đây X là tập compact kiểu duy nhất trong n. Trƣớc tiên ta thấy rằng ở đây {|| . ||p} là một hệ cơ bản các nửa chuẩn liên tục của F và với mỗi p ≥ 1 ta ký hiệu Fp à không gian Banach tƣơng ứng với || . ||p. Suy ra . Vì [F’bor]’  (LB) không mất tính tổng quát ta có thể giả sử ||. là một chuẩn trên [F’bor]’. Theo [22] với mỗi p ≥ 1 tồn tại một lân cận Up của X trong n và một hàm phân hình fp : Up → F”p sao cho , ở đây là ánh xạ chính tắc . Hàm phân hình ̂ là mở rộng duy nhất của hàm phân hình fp trên ̂ bao chỉnh hình của Up. Theo bổ đề 1.1, ̂ và do đó fp có thể đƣợc viết dƣới dạng fp = hp/p, ở đây hp : Up →F”p, p: Up →  là các hàm chỉnh hình và p  0 sao cho codim Z (hp, p)  2 30 Vì ||. là một chuẩn trên [F’bor]’ chúng ta có  là đơn ánh, ở đây  : F”p → F”1 là các ánh xạ chính tắc. Vì 1 =  . p và do X là kiểu duy nhất, chọn thích hợp Up ta nhận đƣợc Từ tính đơn ánh của chúng ta có và do vậy Thật vậy, chúng ta có hoặc VìX\P(fp) trù mật trong X Từ Bổ đề 1.2, suy ra rằng 31 là hàm chỉnh hình với p ≥ 1. Một lần nữa do X là kiểu duy nhất chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ tuyến tính ̃ : F’bor → (X) bởi ở đây Rõ ràng ̃ có đồ thị đóng. Do định lý ánh xạ mở của Grothendieck [39] ta có tính liên tục của ̃. Theo [33], [ (X)]’ đẳng cấu với không gian thƣơng của (n)  ( ) và do vậy L (F’bor, (X)) = L(F’bor, (X)) (48) Điều đó giúp ta có thể tìm đƣợc một lân cận W của 0  F’bor sao cho ̃ (W) bị chặn trong (X)). Suy ra có một p để ̃(W) đƣợc chứa và bị chặn trong  (Up) , không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên Up. Do đó dạng 32 xác định một hàm chỉnh hình ̃ từ Up vào [F’bor]’ sao cho ̃  Suy ra f  (X, [F’bor]’). Ngƣợc lại, theo Bổ đề 1.6 chúng ta có thể chọn một tập cực compact kiểu duy nhất X trong . Ta biết rằng [ (X)]’ ( \ X) () Đẳng cấu thứ nhất suy ra từ định lý đối ngẫu Grothendieck và đẳng cấu thứ hai từ kết quả của Zaharjuta [52]. Theo Vogt [48] chỉ cần chứng minh rằng L ([ (X)], [F’bor,]) = L([ (X)], [F’bor,]) Cho T  L([ (X], [F’bor,]) Xét ánh xạ T*: [F’bor]” →([ (X)]”. Vì ([ (X)] = (X) và do vậy chúng ta có thể xác định ánh xạ f: X →[F’bor]’cho bởi f(x)(x)* = (T*x*) (z) với x*  [F’bor]”, z  X Do tính ([F’bor]”, [F’bor]’- liên tục của f(z) dẫn đến rằng f(z)  [F’bor]’.Hơn nữa f  W(X, [F’bor]’). Theo giả thiết chúng ta có thể tìm đƣợc một lân cận U của X trong n và một hàm phân hình [F’bor]’- giá trị trên U sao cho ̂ ̂ = ̂ Do đó chúng ta có 33 ở đây ̂ : U →[F’bor]’và ̂ : U → là các hàm chỉnh hình bị chặn và ̂0 sao cho và Z ( ̂ ̂) =  Chúng ta có ̂ T*(Bo) đƣợc chứa và bị chặn trong  (U) ở đây B = ̂(U) Điều này dẫn đến rằng T*(B°) đƣợc chứa và bị chặn trong (U\Z (̂)). Chọn U thích hợp ta giả sử rằng P( ̂ ̂ X và có hữu hạn điểm. Vì X là kiểu duy nhất, X không chứa điểm cô lập. Mặt khác, do tính liên tục của f trên X dẫn đến Z ̂ =  và do đó ̂ chỉnh hình trên U. Chọn một lân cận V compact tƣơng đối của X trong U. Chúng ta có Do vậy T* bị chặn trên B°. Đặt w = T*(B°). Do đó V = W° là một lân cận của 0  ([ (X)] và T(V) B bị chặn trong [F’bor]’. Suy ra [F’bor]’ (LB). Định lý đƣợc chứng minh. 34 §1.5 Hàm phân hình xác định trên tập compact không đa cực với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn. 1.5.1 Với U là tập mở trong n, chúng ta ký hiệu SH(U) là lớp các hàm đđiều hòa dƣới trên U. Xét lớp L = { u  SH(U) (n) : u(z)  log (1 + |z|) + O (1)} Tập E đƣợc gọi là đa cực nếu với mọi a  E tồn tại một lân cận U của a và một hàm   SH(U) sao cho  = -  trên E U và  -  . [40] Từ kết quả Siciak [41], Josefson [25] ta có E là đa cực nếu và chỉ nếu tồn tại   L sao cho  = -  trên E và -  Ngoài ra ta lƣu ý rằng nếu E là một tập L-chính qui thì E là tập không đa cực. 1.5.2 Với những ký hiệu nhƣ trong 1.3.1- chúng ta nói rằng E có tính chất (LB) nếu và chỉ nếu Với E là không gian Fréchet, các điều sau tƣơng đƣơng i) L (E  ()) = L (E  ()) với mọi dãy mũ  ii) F có tính chất (LB). [48] 35 Chúng ta lƣu ý rằng mọi không gian có tính chất ̃ đều có tính chất (LB), điều ngƣợc lại nói chung không đúng. Kết quả chính trong mục này là định lý Định lý 4. Cho X là tập compact của n Các điều sau tƣơng đƣơng : i ) X là tập không đa cực. ii ) ( X ) ] ’ (LB). iii) X là tập kiểu duy nhất và đẳng thức (X,F) = W (X,F) đúng với mọi không gian Fréchét F có (DN)-chuẩn. Để chứng minh Định lý 4 ngoài việc áp dụng Bổ đề 1.4 chúng ta chứng minh kết quả sau. 1.5.2. Bổ đề 1.7. Cho K là tập compact trong n sao cho[ ( K ) ] ’ (LB). Khi đó K là tập kiểu duy nhất. Chứng minh. Cho f  ( K ) với f|K = 0 Giả sử (Uk) là một cơ sở lân cận của K trong n. Với mỗik ≥ 1, đặt 36 Khi đó k 0. Bằng cách áp dụng tính chất cho chúng ta có Với p 1, f   (Up) Điều này dẫn đến Chọn sao cho ở đây A = {n : kn = k} Khi đó khi k → vì 37 Khi k → và Do vậy f = 0 trên Vq. Điều này có nghĩa K là tập kiểu duy nhất. 1.5.3. Chứng minh của Định lý 4. i →ii Để chứng minh (X)]’ (LB  ), theo Vogt [48], ta chỉ cần chỉ ra rằng mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : (X)]→ ( ) là ánh xạ bị chặn trên một lân cận nào đó của 0  (X)]’ Ta định nghĩa hàm số fT (x, ) = T ( x)( ) với x  X,    ở đây x là phiếm hàm Dirac xác định bởi x, x () = (x) với   (X) Cho {Vp} là một cơ sở lân cận của X trong n. Với mỗi p ≥ 1 , đặt ở đây 38 Điều này dẫn đến rằng Ap là tập đóng trong  với p ≥ 1 , vì (Vp) là không gian Montel. Hơn thế nữa  = ⋃ Theo định lý Baire ta có P0 sao IntApo  . Xét các hàm chỉnh hình phân biệt cho bởi khi khi ở đây V = Vpo. Theo Nguyen T. Van và Zeriahi [45], tồn tại một mở rộng chỉnh hình của đến một lân cận V x của X x . Do (V, ()) (V) ̂ () (V) () dạng xác định một ánh xạ tuyến tính liên tục từ (V)]’ vào (). Do X là tập kiểu duy nhất, từ các mối liên hệ 39 ta có T = S. Do vậy T là ánh xạ compact. ii → iii Cho F  (DN) và f  W(X,F) ở đây X là tập compact trong n với (X)]’  (LB) Theo Bổ đề 1.7 ta có X là tập kiểu duy nhất. Nhƣ trong chứng minh của Định lý 3, chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ tuyến tính liên tục ̂ : F’bor → (X) Vì (X)]’  (LB) và [F’bor ]’ (DN) (Bổ đề 1.4), theo Vogt [48] chúng ta có (F’bor) (X) = (F’bor) (X)) Với lý luận tƣơng tự nhƣ lý luận đã dùng trong chứng minh Định lý 3, chúng ta có thể tìm lân cận W của 0  F’bor của một lân cận Up của W sao cho ̂ (W) đƣợc chứa và bị chặn trong (Up) không gian Banach của các hàm chỉnh hình bị chặn trên Up. Do đó dạng 40 xác định một hàm chỉnh hình ̂ từ Up vào F và điều này dẫn đến rằng f  (X,F) iii→i Giả sử rằng X là tập đa cực. Xét một hàm đa điều hòa dƣới  trên n mà  |X = -,  và miền Hartogs Cho f là hàm chỉnh hình với  là miền tồn tại của f [23]. Vì X    ta có f cảm sinh ̂  W (X, (), ở đây W (X, () là không gian các hàm chỉnh hình yếu trên X với giá trị trong W (X, (), Thật vậy, cho  [ ()]. Chọn r > 0 sao cho μ có thể đƣợc xem nhƣ là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên (r). Cho V là một lân cận của X sao cho với nó V  r là một tập con compact của . Khi đó ̂→ (r) là một hàm chỉnh hình và do đó  ̂ là hàm chỉnh hình trên V. Theo giả thiết tồn tại một lân cận W của X trong n và một hàm phân hình ̂ trên W với giá trị trong () sao cho 41 Ghi ̂ = ̂/ ̂ , ở đây ̂  (W, (),̂  (W), ̂  0 sao cho codimZ ̂ ̂)  2 Điều này dẫn đến rằng là hàm phân hình và P( ̃ = P( ̂)  , ở đây ̃ đƣợc cảm sinh bởi ̂ Hơn thế nữa Viết khai triển Hartogs của f trên ở đây ở đây Vì dãy bị chặn trên địa phƣơng, với mỗi m ≥ 1, chúng ta có thể định nghĩa Theo Bedford - Taylor [1] là hàm đa điều hòa dƣới và tập hợp { m < } là tập đa cực. Cho 42 Vì  là miền tồn tại của f, dễ dàng thấy rằng ̂ không bằng -  trên mọi tập con mở khác rỗng trong n.Thật vậy, nếu ngƣợc lại giả sử ̂  trên một tập con mở khác rỗng U của n. Khi đó từ Bổ đề Hartogs ta có dãy ∑ hội tụ về một hàm chỉnh hình trên U  . Điều này dẫn đến U    và do đó  |U = -  Suy ra ̂ là đa điều hòa dƣới và { < ̂ }là tập đa cực, ở đây Chọn lân cận V của X \ P ( ̃ trong W sao cho Xét khai triển Hartogs của trên Khi đó với n > 0 . và do đó với n > 0 . Điều này dẫn đến 43 với z  V \ ( < ̂ ) mà điều này không thể đƣợc. Định lý đƣợc chứng minh. 44 CHƢƠNG 2 THÁC TRIỂN HÀM GIẢI TÍCH THỰC GIÁ TRỊ FRÉSCHET TỪ CÁC TẬP MỞ §2.1 Mở đầu. Cho K là trƣờng số phức hoặc là trƣờng số thực IR. Giả sử E và F là các không gian vectơ tôpô Hausdorff trên K với F là không gian lồi địa phƣơng đủ dãy. Cho  là một tập con mở liên thông của E và D là tập con mở khác rỗng của . Một hàm f : D→F đƣợc gọi là có thác triển giải tích yếu đến  nếu với mỗi u  F’, đối ngẫu của F, tồn tại một hàm giải tích fu:  → K sao cho fu|D = uof. Trong [31] Ligocka và Siciak chứng minh đƣợc rằng khi K = IR, E là không gian khả mêtric và Baire, F' là không gian Baire, thì f có thác triển giải tích đến  nếu nó có thác triển giải tích yếu đến . Cũng trong [31], các tác giả cũng đã chỉ ra ví dụ chứng tỏ giả thiết F' là Baire không thể bỏ đi đƣợc. Trong chƣơng này chúng tôi xem xét kết quả của Ligocka và Siciak đối với các hàm giải tích thực có giá trị trong không gian F với F' không là không gian Baire, đặc biệt trong không gian Fréchet F. Mục 2.2 dành trình bày sự thác triển các hàm giải tích thực có thác triển giải tích yếu từ một tập mở trong IRn với giá trị trong không gian 45 Fréchet có (DN)-chuẩn. Cũng trong 2.2 chúng tôi trình bày một điều kiện cần của một không gian liên thông phức X để mọi hàm giải tích yếu trên một tập mở trong IRn với giá trị trong không gian (X) là hàm giải tích (X) là có (DN)-chuẩn. Trong mục 2.3 trƣớc tiên chúng tôi trình bày khái niệm không gian Fréchet có (DN)-chuẩn. Vấn đề thác triển các hàm giải tích thực có thác triển giải tích yếu từ một tập mở trong không gian Fréchet với giá trị thuộc không gian Fréchet có ( ̅̅ ̅̅ chuẩn là nội dung chính của mục này. Trƣờng hợp không gian giá trị của hàm f là (F’) với F là không gian Fréchet Montel phức có ( ̅̅ ̅̅ -chuẩn chúng tôi chứng minh rằng hàm f có thác triển giải tích nếu uf có thác triển giải tích. Mục 2.4 dành trình bày một số ví dụ về các không gian Fréchet có (DN) ( ̅̅ ̅̅ , (LB) § 2.2 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có (DN)-chuẩn. 2.2.1. Kết quả chính của mục này là định lý sau Định lý 5. Cho X là một tập con mở của một tập mở liên thông D trong IRn và F là một không gian Fréchet có tính chất (DN). Giả sử rằng f: X → F là hàm giải tích sao cho uof có thể được thác triển giải tích thành một hàm giải tích ̂ trên D với mọi uF’. Khi đó f có thác triển giải tích đến D. 46 Chứng minh. Chỉ cần chứng minh rằng f có thác triển giải tích tại mỗi xo  X Lấy một lân cận G = I1  ... In của x° trong D, ở đây Ii = [ai, bi], ai, < bi, i = 1,..., n. Với mỗi 0 < ε < 1, xét ánh xạ tuyến tính cho bởi ở đây A(εG) là không gian các hàm giải tích trên εG. Do εG là tập kiểu duy nhất, Sε có đồ thị đóng. Mặt khác, vì  ( ̃ ( suy ra là ánh xạ liên tục, ở đây với mỗi lân cận ̃ của εG trong n, chúng ta ký hiệu  ( ̃ là không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên W. Từ các mối liên hệ [ ]’ = (I1) ̂ (I1) ̂ ( \I1) ̂ ̂ ( \ I1) () ̂ ̂    (̃ và [F’bor]’ (DN) theo Vogt [48] chúng ta có thể tìm một lân cận W của G trong n sao cho S: F’bor →  (W) là hàm số liên tục. Xác định thác triển chỉnh hình ̂: W → [F’bor]’ bởi 47 Do tính duy nhất, họ { ̂ xác định một thác triển chỉnh hình ̂ của f đến một lân cận W của G trong n. Vì ̂ (G) X) F và là không gian con đóng của [F’bor] nên ̂ (W) F. Điều này có nghĩa là hàm f có thác triển giải tích tại x0. Định lý đƣợc chứng minh. Lưu ý. Xét hàm số f : IR → IRN , với IRN là tích đếm đƣợc các đƣờng thẳng thực, đƣợc cho bởi Ligocka và Siciak [31] Hàm này giải tích trên IR \ 0 và uof giải tích trên IR với mọi u  [IR N]’. Tuy nhiên, f không giải tích tại 0  IR. 2.2.2. Bây giờ ta xét X là một đa tạp Stein tùy ý. Trong [21] L.M. Hải chứng minh đƣợc rằng (X)  (DN) nếu mọi hàm chỉnh hình yếu xác định trên một tập con K compact, L-chính qui của n với giá trị trong (X) đều chỉnh hình trên K. Đối với các hàm đa điều hòa dƣới, trong [21] L.M. Hải chứng minh đƣợc rằng (X) có tính chất (DN) nếu và chỉ nếu mọi hàm đa điều hòa dƣới trên X mà bị chặn trên là hàm hằng. Tuy nhiên, đối với các hàm giải tích chúng tôi chỉ chứng minh đƣợc kết quả sau. 48 Mệnh đề 2.1. Cho X là một không gian phức liên thống sao cho mọi hàm giải tích yếu trên một tập mở trong IRn với giá trị trong (X) là hàm giải tích. Khi đó mọi hàm chỉnh hình bị chặn trên X đều là hàm hằng. Chứng minh. Ta chứng minh phản chứng, Giả sử   (X) sao cho  const và Xét hàm f : ( - 1 , 1 ) x X → C cho bởi Khi đó f là hàm giải tích. Ta kiểm tra rằng hàm ̂ : (-1, 1) → (X) tƣơng ứng với f, là hàm giải tích yếu. Thật vậy, cho trƣớc   (X) và t0  (-1, 1). Chọn một tập compact K trong X sao cho supp K. Do tính compact của K ta có thể tìm đƣợc một lân cận U  V của {t0} x K trong   X và một hàm chỉnh hìnhg : U x V → C sao cho g|(U  V) (-1, 1)  X) = f | |(U  V) (-1, 1)  X) Vì ̂ : U → (V) là hàm chỉnh hình và  có thể đƣợc xem nhƣ một phần tử của [ (V)]’ ta có  ̂ đƣợc thác triển chỉnh hình đến  ̂ trên U. 49 Do đó theo giả thiết  ̂ là hàm giải tích. Tuy nhiên, điều này không thể đƣợc vì bán kính hội tụ r(z) của dãy là khi Mệnh đề đƣợc chứng minh. Trong trƣờng hợp dimX = 1 chúng ta có kết quả Mệnh đề 2.2. Cho Z là một tập mở liên thông trong Khi đó (Z)  (DN) nếu và chỉ nếu mọi hàm giải tích yếu giá trị trong (Z) đều là hàm giải tích. Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Định lý 5. Ngƣợc lại, theo Mệnh đề 2.1 mọi hàm chỉnh hình bị chặn trên Z đều là hàm hằng. Do vậy  (̅\ Z) = 0, ở đây  ( ̅\Z) là dung lƣợng giải tích của ̅ \ Z [19]. Suy ra  ̅ {0}. Khi đó ( ̅ )  ̅   (DN) § 2.3 Sự thác triển hàm giải tích thực có thác triển yếu với giá trị trong không gian Fréchet có ( ̅̅ ̅̅ -chuẩn. 2.3.1. Với những ký hiệu nhƣ trong 1.3 chúng ta nói E có tính chất ( ̅̅ ̅̅ nếu và chỉ nếu Khi đó chuẩn || ||p gọi là ( ̅̅ ̅̅ -chuẩn của E. 50 Trong [48] Vogt đã chứng minh đƣợc rằng mọi không gian có ( ̅̅ ̅̅ -chuẩn đều có (LB)-chuẩn. Điều ngƣợc lại nói chung không đúng. 2.3.2. Kết quả đầu tiên của mục 2.3 là Định lý 6. Cho E,F là các không gian Fréchet thực, D là tập mở của Evà F có tính chất ( ̅̅ ̅̅ . Giả sử f: D → Flà hàm giải tích và f có thác triển giải tích yếu đến  Khi đó f có thác triển giải tích đến . Chứng minh. (i) Trƣờng hợp dim E <  ta có thể giả sử rằng E IRn và  là tập liên thông. Do F  ( ̅̅ ̅̅ dẫn đến F  (DN) [47], theo Định lý 5 ta có điều phải chứng minh. (ii) Bây giờ giả sử rằng E là không gian Banach. Theo (i), f có thác triển đến một hàm chỉnh hình Gateaux g : Ω→ F. Ta cần kiểm tra g là hàm giải tích. Cho x o  . Xét khai triển Taylor của g tại x°, Theo Ligocka và Siciak [31], là hàm giải tích với mọi q ≥ 1, ở đây Fq không gian Banach tƣơng ứng với nửa chuẩn || . ||q và q : F → Fq là ánh xạ chính tắc. Điều này dẫn tới tính liên tục của mọi Png. Với mỗi q ≥ 1, đặt 51 ở đây chúng ta có Vì F  ( ̅̅ ̅̅ ta có Khi đó Khi d → chúng ta nhận đƣợc và do đó Điều này dẫn đến g là hàm giải tích tại xo. iii) Trƣờng hợp tổng quát. Theo i) f đƣợc thác triển đến một hàm chỉnh hình Gateaux g: →F Cho x o . Với B  (E), họ tất cả các tập lồi cân compact trong E, ghi 52 ở đây E(B) ký hiệu không gian Banach sinh bởi B. Theo (ii) với mỗi B  (E) mà xo  E (B) tồn tại một lân cận lồi WB của 0 E(B) và một hàm chỉnh hình gB : x o + WB → F sao cho Đặt Do tính duy nhất, họ {gB} xác định một hàm ̂ : W → F sao cho Việc còn ta kiểm tra W là một lân cận của x° trong E. Thật vậy, nếu ngƣợc lại, tồn tại một dãy {zn}, zn = xn + iyn W với n ≥ 1, hội tụ về x°. Cho B = ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ {xn, yn}. Chọn B1  (E), B B1 sao cho ánh xạ chính tắc E (B) → E (B1) là ánh xạ compact. Một tập B1 nhƣ vậy tồn tại do [24]. Khi đó zn → x° trong E(B1) và do đó zn  x o + WB1 W với n đủ lớn. Điều này không thể đƣợc. Định lý đƣợc chứng minh. 53 2.3.3. Chúng ta xét một kết quả khác về thác triển giải tích thực Định lý 7. Cho E là không gian Fréchet thực và F là không gian Fréchet phức Montel, D là một tập mở trong E và F có tính chất ̅̅ ̅̅ . Giả sử f: D → (F’) và uf có thác triển giải tích đến  ở đây F' là đối ngẫu mạnh của F và Khi đó f có thác triển giải tích đến . Để chứng minh Định lý 7, trƣớc tiên ta chứng minh hai bổ đề sau Bổ đề 2.1. Cho B là một không gian Banach và E là không gian Fréchet với E  (̃) Giả sử rằng f: B→ E' là một hàm chỉnh hình loại bị chặn. Khi đó tồn tại một lân cận V của 0 trong E sao cho : (1) với mọi r > 0 Chứng minh. Cho {|| . ||y : || x || < r}<  là một hệ cơ bản các nửa chuẩn liên tục của E và giả sử U là quả cầu đơn vị của B. Vì f(U) bị chặn trong E', tồn tại α 1 sao cho Theo giả thiết E  (̃) chúng ta có thể tìm    và d > 0 sao cho (2) Chúng ta kiểm tra rằng (1) đúng với V = {y  E : ||y|| < 1}. Thật vậy, cố định r 1. Chọn γ sao cho 54 ở đây  = (er)1+d + 1 Viết khai triển Taylor của f tại 0 ϵ B chúng ta có Bổ đề 2.2. Cho E và F là các không gian Fréchet với E  (̃ và F  (DN). Giả sử F là không gian Montel. Khi đó mọi hàm chỉnh hình từ F' vào E' đều có thể đƣợc phân tích qua một không gian Banach. Chứng minh. Cho f : F’ → E’ là một hàm chỉnh hình. Theo Vogt [49], F đẳng cấu với một không gian con của B ̂ s với B là không gian Banach nào đó và s là không gian các dãy giảm nhanh. Vì ánh xạ hạn chế R từ [B ̂ s ]’ B’ ̂ s’ vào F là ánh xạ mở, ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho g = foR. Mặt khác, vì mọi không gian Banach đẳng cấu với không gian thƣơng của không gian 1(I) với tập chỉ số I nào đó, không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng B’ 1(I) Với mỗi k ≥ 1 đặt 55 Khi đó và (3) với mọi i  I và với mọi j ≥ 1, ở đây { I j} là cơ sở chính tắc (mà không nhất thiết đếm đƣợc) của 1(I)̂ s’. Theo Bổ đề 2.1 với mỗi k ≥ 1 tồn tại  = (k) sao cho (4) M(k, , r) 0 Đặt  = (p) và lấy   , d > 0 sao cho (2) thỏa mãn. Chúng ta kiểm tra rằng g là một hàm chỉnh hình từ 1(I)̂ s’. vào E’. Cố định q ≥ p. Với q và d lấy k q và D > 0 sao cho (3) thỏa mãn. Khi đó với mọi u  Aq, |||u|||q < r chúng ta có 56 với ρ đủ lớn. Bây giờ chúng ta có thể chứng minh Định lý 7. Chúng ta chỉ chứng minh trƣờng hợp dimE <  phần còn lại chứng minh giống nhƣ trong Định lý 6. Cho f: D → (F’) là hàm giải tích sao u cho có thác triển giải tích đến  với mọi u  F’, ở đây D là một tập mở trong IRn và F là một không gian Fréchet phức Montel với Cố định xo D  và chọn một lân cận hình hộp chữ nhật W của x° trong  Xét hàm số ̂: F’ → (W) cảm sinh bởi f. a) Trƣớc tiên chúng ta chứng minh ̂ là hàm chỉnh hình. Chỉ cần chứng minh rằng ̂k: = f|F’k : F’k → (W) là các hàm chỉnh hình với k ≥ 1. Cho {Um} là một cơ sở lân cận của W trong . Với mỗi m ≥ 1, đặt Khi đó Am là các tập đóng trong . Theo Định lý Baire tồn tại m0 sao cho V = Int Amo  . Xét hàm số g: (W  F’k) (Umo  V) →  xác định bởi 57 Khi đó g là hàm chỉnh hình phân biệt. Vì W là tập không đa cực và V là tập mở khác rỗng, theo [45] với mọi không gian con hữu hạn chiều L F’k, tồn tại một hàm chỉnh hình duy nhất gL trên Umo  L mở rộng của hàm g|(W  L) (Umo  V) L). Theo Định lý Zorn [53], họ {gL} xác định một hàm chỉnh hình của hàm ̂ Umo  F’k →  . Điều này dẫn đến tính chỉnh hình của hàm ̂ : F’k → ). b) Vì [ )]’  (̃) [51], theo Bổ đề 2.2, chúng ta tìm đƣợc một nửa chuẩn liên tục  trên F’ và một hàm chỉnh hình ̂: F’ → (W) sao cho ̂ = ̂ . Theo Bổ đề 2.1 ta có một lân cận U của W trong n sao cho ̂: F’ → (U) là hàm chỉnh hình. Do vậy f : D → (F’) có thác triển chỉnh hình đến U, một lân cận của xo trong n §2.4. Về các không gian Fréchet có (DN), ( ̅̅ ̅̅ (LB)-chuẩn. 2.4.1. Không gian Fréchet có (DN)-chuẩn . a) Trƣờng hợp F là không gian Fréchet hạch, trong [47], ta có kết quả : F có (DN)-chuẩn nếu và chỉ nếu F đẳng cấu với một không gian con của không gian các dãy giảm nhanh s. b) Trƣờng hợp F là không gian Fréchet tổng quát thì lớp không gian F có (DN)- chuẩn đƣợc xem là lớp không gian Fréchet nhỏ nhất chứa các 58 không gian Banach, không gian s và lớp này đóng với phép toán lấy không gian con hoặc phép ̂ [49]. c) Ta nêu ở đây một số ví dụ cụ thể [47]. • (n) với n nguyên dƣơng là không gian có (DN)-chuẩn. Tổng quát, nếu z là một đa tạp Stein thỏa điều kiện Liouville đối với hàm đa điều hòa dƣới thì (Z) là không gian có (DN)-chuẩn. •Cho K là tập con compact,  là tập mở của IRn. Ký hiệu là không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên . không gian các hàm khả vi whitney trên K. ở đây Khi đó ([0,1]) là các không gian có (DN)-chuẩn, nhƣng là các không gian không có (DN)-chuẩn. Chúng ta chú ý rằng đều là các không gian không có chuẩn liên tục. 2.4.2. Không gian Fréchet có -chuẩn. Xét không gian Kothe (A) với ma trận A = (aij) có tính chất 59 Không gian này có (LB) -chuẩn [48]. 2.4.3. Không gian Fréchet có ( ̅̅ ̅̅ -chuẩn. a) Xét không gian Kothe (A) với ma trận A = (aij) với hoặc aij = i ji là các không gian có ( ̅̅ ̅̅ chuẩn. [48] b) (n) là không gian có (DN)-chuẩn nhƣng không có ( ̅̅ ̅̅ chuẩn. 60 CHƢƠNG 3 TÍNH CHẤT (), (̃ CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN CÁC MẦM HÀM CHỈNH HÌNH § 3.1. Mở đầu. Cho X là tập compact trong không gian phức Z. Ký hiệu là không gian các mầm các hàm chỉnh hình trên X. Trên ta trang bị tôpô giới hạn qui nạp với U chạy qua mọi lân cận của X và (U) là không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên U. Chúng ta biết rằng giới hạn qui nạp trên là chính qui [35] và do đó [ ]