Luận án Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều - Trần Thị Thơm

i riêng 51 gồm tám thành phần: dSθ = {ui wi wi,x θi u j w j w j,x θ j}T (3.28) trong đó ui,wi,wi,x,θi và u j,w j,w j,x,θ j tương ứng là các giá trị của u0,w0,w0,x và θ tại các nút i và j. Trong phương trình (3.28) và dưới đây, chỉ số trên ‘Sθ ’ được dùng để chỉ mô hình PTHH theo lý thuyết Shi với θ là hàm độc lập. Các chuyển vị u0, w0 và góc quay θ được nội suy từ các chuyển vị nút qua các hàm dạng theo phương trình: u0 = NudSθ , w0 = NwdSθ , θ =NθdSθ (3.29) trong đó Nu, Nw và Nθ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0, w0 và θ . Ở đây, các hàm dạng tuyến tính được sử dụng để nội suy cho chuyển vị dọc trục u0(x, t) và góc quay của thiết diện ngang θ(x, t), các đa thức Hermite được sử dụng để nội suy cho chuyển vị ngang w0(x, t). Cụ thể: - Hàm dạng cho u0: Nu1 = l− x l , Nu5 = x l , Nu2 = Nu3 = Nu4 = Nu6 = Nu7 = Nu8 = 0 (3.30) - Hàm dạng cho w0: Nw1 = Nw4 = Nw5 = Nw8 = 0, Nw2 = 1−3 (x l )2 +2 (x l )3 , Nw3 = x−2 x2 l + x3 l2 , Nw6 = 3 (x l )2 −2 (x l )3 , Nw7 =− x2 l + x3 l2 . (3.31) - Hàm dạng cho θ Nθ4 = l− x l , Nθ8 = x l , Nθ1 = Nθ2 = Nθ3 = Nθ5 = Nθ6 = Nθ7 = 0 (3.32) Với phép nội suy (3.29)-(3.31), ta có thể viết được biểu thức cho các thành 52 phần biến dạng dưới dạng ma trận thông qua véc-tơ chuyển vị nút (3.28) như sau: εSθm = u0,x = BSθm dSθ εSθb = 1 4 (5θ,x +w0,xx) = BSθb dSθ εSθhs = 5 3h2 (θ,x +w0,xx) = B Sθ hs d Sθ εSθs = θ +w0,x = BSθm dSθ (3.33) Trong (3.33), các ma trận biến dạng-chuyển vị BSθm , BSθb , B Sθ hs và B Sθ s có dạng sau: BSθm = { − 1 l 0 0 0 1 l 0 0 0 } BSθb = 1 4 { 0 − 6l2 + 12x l3 − 4 l + 6x l2 − 5 l 0 6 l2 − 12x l3 − 2 l + 6x l2 5 l } BSθhs = 5 3h2 { 0 − 6l2 + 12x l3 − 4 l + 6x l2 − 1 l 0 6 l2 − 12x l3 − 2 l + 6x l2 1 l } BSθs = { 0 − 6xl2 + 6x2 l3 1− 4x l + 3x2 l2 l− x l 0 6x l2 − 6x2 l3 − 2x l + 3x2 l2 x l } (3.34) Biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi UB trong phương trình (2.27) có thể viết dưới dạng (3.9), nhưng với ma trận độ cứng phần tử kSθ được định nghĩa như sau: kSθ = kSθm +kSθb +k Sθ s +kSθhs +k Sθ c (3.35) trong đó: kSθm = l∫ 0 ( BSθm )T A11BSθm dx kSθb = l∫ 0 ( BSθb )T A22BSθb dx kSθs = 25 l∫ 0 ( BSθs )T( 1 16B11− 1 2h2 B22 + 1 h4 B44 ) BSθs dx kSθhs = l∫ 0 ( BSθhs )T A66BSθhs dx kSθc = l∫ 0 [( BSθm )T A12BSθb − ( BSθm )T A34BSθhs − ( BSθb )T A44BSθhs ] dx (3.36) 53 tương ứng là ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng uốn, biến dạng trượt, biến dạng trượt ngang bậc cao và các biến dạng tương hỗ. Như ta thấy từ phương trình (3.36), bên cạnh các ma trận độ cứng sinh ta từ biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng trượt như trong FSDT, ma trận độ cứng phần tử trong lý thuyết biến dạng trượt bậc ba còn có thêm các thừa số sinh ra từ biến dạng trượt bậc cao. Tất nhiên, biểu thức cho ma trận độ cứng tương hỗ trong (3.36) cũng khác với trường hợp mô hình FBKo và mô hình FBHi. Động năng của dầm cũng có thể viết dưới dạng (3.13) với ma trận khối lượng phần tử nhất quán cho bởi: m=m11uu +m12uθ +m22θθ +m34uγ +m44θγ +m66γγ +m11ww (3.37) trong đó m11uu = l∫ 0 NTu I11Nudx m12uθ = 1 4 l∫ 0 NTu I12(Nw,x +5Nθ )dx m22θθ = l∫ 0 1 16(N T w,x +5NTθ )I22(Nw,x +5Nθ )dx m34uγ =− 5 3h2 l∫ 0 NTu I34(Nw,x +Nθ )dx m44θγ =− 5 12h2 l∫ 0 (NTw,x +5NTθ )I44(Nw,x +Nθ)dx m66γγ = 25 9h4 l∫ 0 (NTw,x +NTθ )I66(Nw,x +Nθ )dx m11ww = l∫ 0 NTwI11Nwdx (3.38) là các ma trận khối lượng phần tử nhất quán thành phần. 54 3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ Với γ0 là hàm độc lập, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử hai nút điển hình, (i, j), gồm các thành phần: dSγ = {ui wi wi,x γi u j w j w j,x γ j}T (3.39) trong đó γi và γ j tương ứng là các giá trị của góc trượt ngang γ0 tại nút i và j. Chỉ số trên ‘Sγ’ trong phương trình (3.39) dùng chỉ mô hình PTHH sử dụng γ0 làm hàm độc lập. Chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc trượt ngang được nội suy từ các chuyển vị nút bởi: u0 = NudSγ , w0 = NwdSγ , γ0 =Nγ dSγ (3.40) với Nu,Nw và Nγ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0,w0 và γ0. Ở đây hàm dạng tuyến tính (3.30) được dùng để nội suy cho chuyển vị dọc trục u0(x, t) và góc trượt ngang γ0, các hàm Hermite (3.31) được sử dụng cho chuyển vị ngang w0(x, t). Sử dụng sơ đồ nội suy (3.40), các biến dạng được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: εSγm = u0,x = BSγm dSγ εSγb = 1 4 (5γ0,x−4w0,xx) = BSγb d Sγ εSγhs = 5 3h2 γ0,x = B Sγ hs d Sγ εSγs = γ0 = BSγs dSγ (3.41) Trong (3.33), các ma trận biến dạng-chuyển vị BSγm , B Sγ b , B Sγ hs và B Sγ s được định nghĩa như sau: BSγm = { − 1 l 0 0 0 1 l 0 0 0 } BSγb = 1 4 { 0 24l2 − 48x l3 16 l − 24x l2 − 5 l 0 − 24 l2 + 48x l3 8 l − 24x l2 5 l } BSθhs = 5 3h2 { 0 0 0 − 1l 0 0 0 1 l } BSθs = { 0 0 0 l− xl 0 0 0 x l } (3.42) 55 Ma trận độ cứng phần tử thành phần cho mô hình TBSγ cũng có dạng tương tự như trong phương trình (3.36) nhưng với các ma trận biến dạng- chuyển vị cho bởi công thức (3.42). Tương tự, ma trận khối lượng phần tử nhất quán thành phần nhận được từ biểu thức động năng (2.40) có dạng: mˆ11uu = l∫ 0 NTu I11Nudx , mˆ11ww = l∫ 0 NTwI11Nwdx mˆ12uγ = 1 4 l∫ 0 NTu I12(5Nγ −4Nw,x)dx mˆ22γγ = 1 16 l∫ 0 (5NTγ −4NTw,x)I22(5Nγ −4Nw,x)dx mˆ34uγ =− 5 3h2 l∫ 0 NTu I34Nγdx mˆ44γγ =− 5 12h2 l∫ 0 (5NTγ −4NTw,x)I44Nγdx mˆ66γγ = 25 9h4 l∫ 0 NTγ I66Nγdx (3.43) 3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ Sử dụng các hàm nội suy cho chuyển vị ngang w0(x, t) ta có thể viết biểu thức cho năng lượng biến dạng sinh ra do nhiệt độ (2.42) dưới dạng ma trận như sau: UT = 1 2 nE ∑dTkTd (3.44) trong đó kT = l∫ 0 BTt NTBtdx (3.45) là ma trận độ cứng phần tử sinh ra do sự tăng của nhiệt độ. Với các lý thuyết dầm khác nhau, ma trận độ cứng phần tử do nhiệt độ đều có dạng (3.45). Điểm khác nhau duy nhất là sự khác nhau của các hàm dạng Nw được lựa chọn cho w0(x, t) dẫn tới sự khác nhau của ma trận biến dạng-chuyển vị Bt = (Nw),x trong (3.45). Cụ thể: 56 - Với FBKo, ma trận biến dạng-chuyển vị Bt có dạng: BKt = 1 1+φ { 0 6x 2 l3 − 6x l2 − φ l 3x2 l2 − (4+φ) x l +1+ φ 2 0 − 6x 2 l3 + 6x l2 + φ l 3x2 l2 − (2−φ) x l − φ 2 } (3.46) - Với FBHi, ma trận biến dạng-chuyển vị Bt có dạng: BHt = { 0 − 1l −2x+ l 2l −2(l2−6lx+6x2) 3l2 0 1 l 2x− l 2l } (3.47) - Với TBSθ , ma trận biến dạng-chuyển vị Bt có dạng: BSθt = { 0 − 6xl2 + 6x2 l3 1− 4x l + 3x2 l2 0 0 6x l2 − 6x2 l3 − 2x l + 3x2 l2 0 } (3.48) - Với TBSγ , Bt có dạng giống như phương trình (3.48). 3.4. Phương trình chuyển động rời rạc Với các biểu thức của ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử xây dựng được ta có thể nối ghép để tạo thành các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng thể cho dầm. Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM sau khi rời rác hóa có thể viết dưới dạng ngôn ngữ PTHH như sau [133]: M ¨D+KD= Fex (3.49) trong đó D = nE ∑ e=1 de , ¨D = nE ∑ e=1 ¨de (3.50) tương ứng là các véc-tơ chuyển vị và gia tốc tổng thể tại các điểm nút của dầm, K = nE ∑ e=1 ke , M = nE ∑ e=1 me , Fex = nE ∑ e=1 fe (3.51) tương ứng là các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ tải trọng nút tổng thể. Trong các phương trình (3.50) và (3.51), nE là tổng số phần tử được sử dụng để rời rạc dầm; ký hiệu nE ∑ e=1 được hiểu theo nghĩa ghép nối các ma trận và véc-tơ lực nút phần tử thành các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ lực nút tổng thể theo phương pháp chuẩn của lý thuyết PTHH. Cùng với các điều kiện biên cơ bản trình bày trong Chương 2, cần đưa vào các điều kiện ban đầu cho phương trình (3.49) để tạo thành bài toán giá trị ban đầu hoàn 57 chỉnh. Phần lớn các bài toán trong thực tế thường có điều kiện ban đầu là dừng, tức là véc-tơ chuyển vị và vận tốc tại thời điểm ban đầu bằng 0: D|t=0 = ˙D|t=0 = 0 (3.52) Hệ các phương trình đạo hàm riêng (3.49) cùng với điều kiện ban đầu (3.52) tạo thành bài toán giá trị ban đầu, cho phép xác định đáp ứng động lực học của dầm. Luận án này sử dụng phương pháp gia tốc trung bình không đổi trong họ các phương pháp Newmark để giải hệ phương trình vi phân (3.49) và (3.52). Trong trường hợp dao động tự do, vế phải của phương trình (3.49) được gán bằng 0: M ¨D+KD= 0 (3.53) 3.5. Thuật toán số 3.5.1. Dao động tự do Một kết cấu không có cản và không chịu tác động của lực ngoài sẽ dao động điều hòa (có thể được gây ra bởi điều kiện ban đầu). Như vậy véc-tơ chuyển vị và gia tốc nút có thể biểu diễn dưới dạng: D= Vsinωt ¨D=−ω2Vsinωt (3.54) trong đó V là biên độ dao động, ω là tần số góc (rad/s). Thế (3.54) vào phương trình dao động (3.53) ta có: (K−λM)V= 0 (3.55) trong đó λ = ω2. Phương trình (3.55) là bài toán giá trị riêng. Khi ma trận (K−λM) không suy biến, phương trình (3.55) chỉ có nghiệm tầm thường V = 0. Trường hợp nghiệm không tầm thường ta có phương trình để xác định các giá trị riêng λi, đó là det (K−λM) = 0 (3.56) Cùng với các giá trị riêng λi là các véc-tơ riêng Vi (còn gọi là các mode trực giao). Tần số thấp nhất khác không, ω1, được gọi là tần số dao động cơ bản, chú ý rằng các véc-tơ riêng là trực giao và độc lập tuyến tính. Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ sử dụng mô hình TBSγ được minh họa trên Hình 3.2, với bài toán dao động tự do 58 Hình 3.2. Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ sử dụng mô hình TBSγ của dầm thon 2D-FGM ta cũng có quy trình tính toán tương tự. Chú ý rằng trong sơ đồ khối ở Hình 3.2 thì kSγ là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng đàn hồi của dầm dựa trên mô hình TBSγ , ma trận này nhận được tương tự (3.36). Ma trận độ cứng phần tử của dầm nhận được là tổng của ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến 59 dạng đàn hồi và ma trận độ cứng phần tử sinh ra do sự tăng của nhiệt độ. 3.5.2. Phương pháp gia tốc trung bình Các phương pháp tích phân trực tiếp khác nhau được biết tới trong lĩnh vực động lực học kết cấu dưới tên gọi họ các phương pháp Newmark (Newmark family of methods). Một số phương pháp tích phân trực tiếp thông dụng được kể đến là: phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp gia tốc tuyến tính, phương pháp gia tốc trung bình và phương pháp Fox-Goodwin. Một đặc tính quan trọng trong việc lựa chọn phương pháp tích phân trực tiếp là tính ổn định của phương pháp trên quan điểm số. Trong bốn phương pháp trên chỉ có phương pháp gia tốc trung bình là phương pháp ổn định không điều kiện, tức là thuật toán số luôn ổn định với mọi bước thời gian [137]. Các phương pháp còn lại là phương pháp ổn định có điều kiện, trong đó bước thời gian ∆t cần chịu các ràng buộc cụ thể tùy theo phương pháp lựa chọn. Phương pháp gia tốc trung bình được sử dụng trong Luận án để tính véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc tại các nút. Vì là phương pháp ổn định không điều kiện nên yêu cầu duy nhất của phương pháp gia tốc trung bình là tính chính xác của lời giải số. Giả sử tổng thời gian cần cho tải trọng đi hết dầm được chia làm nSTEP phần với độ lớn ∆t như nhau, véc-tơ chuyển vị và vận tốc tại các điểm nút trong phương pháp gia tốc trung bình có thể nhận được từ khai triển Taylor của véc-tơ chuyển vị nút quanh thời điểm i∆t và (i+1)∆t. Cụ thể [137]: Di+1 = Di +∆t ˙Di + ∆t2 2 ¨Di Di = Di+1−∆t ˙Di+1 + ∆t2 2 ¨Di+1 (3.57) Cộng và trừ các phương trình trong (3.57) cho nhau và bỏ qua các số hạng bé bậc cao ta nhận được: Di+1 = Di + ∆t 2 ( ˙Di + ˙Di+1) ˙Di+1 = ˙Di + ∆t 2 ( ¨Di + ¨Di+1) (3.58) Từ phương trình (3.58) ta có thể tìm các véc-tơ vận tốc và gia tốc nút tại thời 60 điểm (i+1)∆t như sau: ˙Di+1 = 2 ∆t (Di+1−Di)− ˙Di ¨Di+1 = 4 ∆t2 (Di+1−Di)− 4 ∆t ˙Di− ¨Di (3.59) Kết hợp phương trình (3.59) với phương trình chuyển động viết tại thời điểm (i+1)∆t: M ¨Di+1 +KDi+1 = Fi+1, (3.60) ta nhận được phương trình để xác định véc-tơ chuyển vị nút tại thời điểm mới (i+1)∆t như sau: KefDi+1 = Fefi+1, (3.61) trong đó Kef và Fef tương ứng là các ma trận độ cứng và véc-tơ lực nút hiệu dụng (effective stiffness matrix and effective load vector) với biểu thức cụ thể như sau: Kef = 4 ∆t2 M+K Fefi+1 = Fi+1 +M ( 4 ∆t2 Di + 4 ∆t ˙Di + ¨Di ) (3.62) Như vậy từ các phương trình (3.59), (3.61) và (3.62), ta hoàn toàn có thể xác định được các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm mới (i+1)∆t. 3.5.3. Véc-tơ lực nút Với dầm chịu một lực di động P, véc-tơ lực nút tổng thể Fex trong phương trình (3.49) gồm các số hạng bằng không ngoại trừ các số hạng liên quan tới phần tử trên đó có lực di động: Fex = {0 0 ... 0 0 ... PNw|xe ...0 0 ... 0 0}T (3.63) trong đó Nw|xe là ma trận các hàm dạng Nw của chuyển vị ngang w0(x, t), được đánh giá tại vị trí xe - vị trí hiện tại của lực P tính từ nút trái của phần tử chịu lực. Như vậy, véc-tơ lực nút nhận được từ các lý thuyết dầm khác nhau sẽ khác nhau vì các hàm nội suy cho w0(x, t) là khác nhau. Hơn nữa, để xác định véc-tơ Fex ta cần biết hoành độ xe. Hoành độ này dễ dàng xác định được khi biết quãng đường mà lực di động đi được kể từ khi lực này tiến vào nút trái dầm tới thời điểm hiện tại. 61 Giả sử s là khoảng cách hiện tại từ lực P tới đầu trái của dầm. Thuật toán để tính véc-tơ lực nút tổng thể Fex cho dầm chịu một lực di động với vận tốc không đổi gồm các bước sau: Bước 1: Tính quãng đường mà lực P đã đi được từ đầu trái dầm, s = vt Bước 2: Xác định số thứ tự của phần tử mà trên đó lực P đang tác dụng, chẳng hạn lấy phần nguyên của tỷ số s/l, trong đó l là chiều dài phần tử. Với MATLAB, ta có thể dùng lệnh "fix" để lấy phần nguyên: ne = fix(s/l), số thứ tự phần tử trên đó có chứa lực P là ne +1 Bước 3: Xác định hoành độ của lực P so với nút trái của phần tử ne + 1: xe = s−nel Bước 4: Đánh giá ma trận hàm dạng Nw tại hoành độ xe nhận được từ bước 3 Bước 5: Tính toán véc-tơ lực nút cho phần tử này: f= PNTw Bước 6: Ghép nối véc-tơ f vào véc-tơ lực nút tổng thể 3.5.4. Quy trình tính toán Để giải bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp gia tốc trung bình, ngoài các điều kiện biên hình học, vật liệu dầm và các thông số về lực di động, ta cần đưa vào các giá trị ban đầu là các véc-tơ chuyển vị nút D và vận tốc nút ˙D tại thời điểm ban đầu t = 0, theo (3.52). Gia tốc tại thời điểm ban đầu t = 0 là đại lượng chưa biết nhưng có thể tính được từ phương trình chuyển động viết tại thời điểm t = 0: M ¨D0 +KD0 = F0 (3.64) Từ đó ¨D0 = (M)−1(F0−KD0) (3.65) Sơ đồ khối để tính toán đáp ứng động lực học của dầm chịu tác động của lực di động theo phương pháp gia tốc trung bình sử dụng mô hình FBKo được minh họa trên Hình 3.3. Các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ lực nút tổng thể trong sơ đồ nhận được bằng cách sử dụng hàm dạng Kosmatka để nội suy trường chuyển vị. Trên Hình 3.3, "nSTEP" là tổng số bước dùng trong thuật toán Newmark; D, ˙D, ¨D là véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc nút tại thời điểm mới (i+ 1)∆t; D0, ˙D0, ¨D0 là véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc nút tại 62 Hình 3.3. Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM chịu lực di động sử dụng mô hình FBKo thời điểm cũ i∆t, chú ý rằng vị trí hiện tại của lực di động và véc-tơ tải trọng nút được tính ở mỗi bước thời gian. Các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc mới được gán thành các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc cũ ở đầu vòng lặp bằng các lệnh: D0 = D, ˙D0 = ˙D, ¨D0 = ¨D. Kết luận Chương 3 Chương 3 xây dựng mô hình PTHH cho một phần tử dầm hai nút dựa trên hai lý thuyết biến dạng trượt. Với phần tử dầm FSDT, mô hình PTHH được xây dựng dựa trên hai hàm dạng khác nhau, hàm dạng Kosmatka và hàm dạng thứ bậc. Mô hình PTHH sử dụng ITSDT được xây dựng từ các hàm tuyến tính và hàm dạng Hermite, 63 trong đó hàm Hermite được dùng để nội suy chuyển vị ngang. Biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho mô hình dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở coi góc quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu thức cho ma trận độ cứng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và véc-tơ lực nút cho trường hợp dầm chịu lực di động cũng được xây dựng trong Chương 3. Ngoài ra trong Chương 3 cũng trình bày thuật toán số theo phương pháp gia tốc trung bình để tính toán đáp ứng động lực học cho dầm 2D-FGM chịu tác động của tải trọng di động. Sơ đồ khối để tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM, dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ được minh họa cho hai mô hình PTHH cụ thể. Quy trình tính toán bài toán dao động tự do của dầm thon 2D-FGM có thể nhận được tương tự như dầm 2D-FGM có thiết diện không đổi. Mô hình PTHH dựa trên FSDT với các hàm dạng Kosmatka được trình bày trong bài báo số [4], mô hình FSDT sử dụng các hàm thứ bậc được công bố trong bài báo số [1], [3], trong khi mô hình dựa trên ITSDT được trình bày trong bài báo số [2], [5], [6] trong Mục “Danh mục công trình liên quan tới Luận án”, trang 106. Chương 4 KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN Mô hình PTHH và thuật toán số xây dựng trong Chương 3 được sử dụng để phát triển chương trình tính toán số viết trên ngôn ngữ MATLAB và ứng dụng để phân tích các bài toán cụ thể. Một số kết quả phân tích số sử dụng chương trình tính toán phát triển trong Luận án được trình bày trong Chương này. Kết quả số được trình bày trên cơ sở phân tích ba bài toán: (1) Dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ; (2) Dao động tự do của dầm thon 2D-FGM; (3) Dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM chịu tác động của lực di động. Từ kết quả số nhận được, một số kết luận liên quan tới ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số thiết diện, nhiệt độ môi trường và độ mảnh dầm tới tần số dao động riêng và mode dao động được rút ra. Ứng xử động lực học của dầm 2D-FDM dưới tác dụng của lực di động cũng được thảo luận trong Chương. Sự hội tụ và độ tin cậy của các mô hình PTHH trong đánh giá các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGM cũng được đề cập trong Chương này. 4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH 4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH Dầm 2D-FGM với tỉ số giữa chiều dài và chiều cao L/h = 20, làm từ thép không gỉ (SUS304), nhôm (Al), nhôm ô-xit (Al2O3), zirconia (ZrO2) được sử dụng để nghiên cứu trong Mục này. Tính chất của các vật liệu này được cho trong Bảng 2.1. Để thuận lợi cho việc thảo luận, ta đưa vào ký hiệu cho tham số tần số dao động cơ bản, được định nghĩa như sau: µ = ω1 L2 h √ρAl EAl (4.1) với ω1 là tần số cơ bản của dầm. Bảng 4.1 và Bảng 4.2 minh họa sự hội tụ của bốn mô hình PTHH phát triển trong Luận án trong đánh giá tham số tần số dao động cơ bản µ của dầm 2D-FGM có thiết diện ngang không đổi (c = 0), tựa giản đơn, không tính tới ảnh hưởng của nhiệt độ (∆T = 0K). Tham số tần số dao động cơ bản được tính toán cho các giá trị khác nhau của cặp tham số vật liệu (nx,nz) theo chiều cao và chiều dài dầm. 64 65 Bảng 4.1. Sự hội tụ của các mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần số cơ bản nz = nx Mô hình nE=10 nE=12 nE=14 nE=16 nE=18 nE=20 1/3 FBKo 3.5054 3.5052 3.5051 3.5051 3.5050 3.5050 FBHi 3.5053 3.5051 3.5051 3.5050 3.5050 3.5050 TBSγ 3.5053 3.5052 3.5051 3.5051 3.5051 3.5051 TBSθ 3.5201 3.5155 3.5127 3.5109 3.5096 3.5087 1/2 FBKo 3.5403 3.5401 3.5399 3.5398 3.5398 3.5397 FBHi 3.5401 3.5399 3.5398 3.5397 3.5397 3.5397 TBSγ 3.5401 3.5400 3.5399 3.5398 3.5398 3.5398 TBSθ 3.5548 3.5501 3.5474 3.5455 3.5443 3.5434 1 FBKo 3.5303 3.5500 3.5498 3.5497 3.5495 3.5495 FBHi 3.5500 3.5498 3.5496 3.5495 3.5495 3.5494 TBSγ 3.5499 3.5497 3.5496 3.5495 3.5494 3.5494 TBSθ 3.5637 3.5592 3.5566 3.5549 3.5537 3.5528 3 FBKo 3.4131 3.4128 3.4126 3.4124 3.4123 3.4122 FBHi 3.4127 3.4125 3.4123 3.4123 3.4122 3.4122 TBSγ 3.4119 3.4117 3.4116 3.4115 3.4115 3.4115 TBSθ 3.4234 3.4198 3.4176 3.4161 3.4151 3.4144 Bảng 4.2. Sự hội tụ của mô hình phần tử TBSθ trong đánh giá tham số tần số cơ bản nE=30 nE=40 nE=50 nE=60 nE=70 nz = nx = 1/3 3.5067 3.5059 3.5056 3.5055 3.5053 nz = nx = 1/2 3.5413 3.5406 3.5403 3.5401 3.5401 nz = nx = 1 3.5508 3.5501 3.5498 3.5496 3.5495 nz = nx = 3 3.4127 3.4121 3.4118 3.4117 3.4116 Từ Bảng 4.1 và Bảng 4.2 ta có thể rút ra các nhận xét sau đây: • Tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM nhận được từ bốn mô hình PTHH phát triển trong Luận án rất sát nhau. Ba trong số bốn mô hình PTHH, cụ thể là mô hình FBKo, mô hình FBHi và mô hình TBSγ , có tốc độ hội tụ cao. Khi sử dụng 66 ba mô hình này để tính toán, tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGM hội tụ tới giá trị không thay đổi chỉ với 16 hoặc 18 phần tử. • Mô hình phần tử TBSθ hội tụ rất chậm, cần tới 70 phần tử để tính toán tần số dao động cơ bản của dầm. Điều này có thể giải thích bởi trường nội suy tuyến tính sử dụng cho góc quay không đặc trưng tốt cho góc quay của thiết diện ngang θ(x, t). Theo lý thuyết dầm, θ(x, t) là đạo hàm của độ võng dầm w0(x, t). Với các hàm nội suy Hermite sử dụng cho w0(x, t), góc quay của thiết diện ngang, như vậy cần các hàm bậc hai để nội suy. Khi sử dụng γ0 làm hàm độc lập và nội suy tuyến tính tham biến này, góc quay được tính qua chuyển vị ngang, θ =w0,x−γ0, và vì thế là hàm bậc hai của x. Điều này lý giải cho sự hội tụ tốt của mô hình TBSγ . • Giá trị của cặp tham số vật liệu (nx,nz) không ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của các mô hình PTHH. Mô hình FBHi có tốc độ hội tụ tương đương với mô hình FBKo. Như đã nói trong Chương 3, do không phải thiết lập lại các hàm dạng, mô hình FBHi, như vậy có ưu điểm hơn trong nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM. Tuy nhiên, mô hình này vẫn cần sử dụng hệ số điều chỉnh trượt mà sự lựa chọn giá trị của nó vẫn còn là điều tranh cãi. Từ sự hội tụ của các mô hình PTHH phân tích trên đây, Luận án sẽ chỉ sử dụng các mô hình có sự hội tụ tốt để tính toán và so sánh kết quả số. Cụ thể, Luận án sẽ sử dụng mô hình phần tử TBSγ để nghiên cứu dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ, mô hình FBHi để phân tích dao động tự do của dầm thon 2D-FGM và mô hình phần tử FBKo dùng để nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm chịu lực di động. Bảng 4.3 minh họa sự hội tụ của mô hình phần tử FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ bản của dầm thon 2D-FGM tựa giản đơn, với dạng thon C, cho các giá trị khác nhau của tham số vật liệu (nx,nz) và tham số thiết diện c. Do các mô hình FBKo và TBSγ có tốc độ hội tụ tương tự như mô hình FBHi nên sự hội của các mô hình này trong đánh giá tần số dao động cơ bản không minh họa trong Bảng. Bảng 4.3 cho thấy tốc độ hội tụ của mô hình PTHH trong tính toán tần số dao động cơ bản của dầm thon chậm hơn khi tính toán tần số dao động của dầm có thiết diện không đổi. Mô hình FBHi cần tới 30 phần tử để đạt được tốc độ hội tụ trong đánh giá tần số của dầm. Sự hội tụ của mô hình FBHi phát triển trong Luận án trong đánh giá tham số tần số 67 dao động cơ bản của dầm thon tương đương với mô hình PTHH do Shahba và cộng sự [138] xây dựng dựa trên các hàm dạng Kosmatka để nghiên cứu dao động tự do của dầm thon 1D-FGM với cơ tính biến đổi dọc. Như vậy, sự biến thiên của cơ tính theo chiều cao dường như không ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của mô hình PTHH. Với kết quả hội tụ này, lưới gồm 30 phần tử sẽ được sử dụng để tính toán các đặc trưng dao động của dầm thon 2D-FGM trong phần dưới đây. Bảng 4.3. Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ bản của dầm thon 2D-FGM (Dạng thon C) c (nx,nx) nE=10 nE=15 nE=20 nE=25 nE=30 nE=35 nE=40 0.2 (1/2, 1/2) 3.1423 3.1420 3.1419 3.1418 3.1418 3.1418 3.1418 (5/6, 5/6) 3.1491 3.1487 3.1486 3.1485 3.1484 3.1484 3.1484 (1, 1) 3.1428 3.1423 3.1422 3.1421 3.1420 3.1420 3.1420 0.6 (1/2, 1/2) 2.1602 2.1597 2.1596 2.1596 2.1596 2.1596 2.1596 (5/6, 5/6) 2.1482 2.1476 2.1474 2.1473 2.1472 2.1472 2.1472 (1,1) 2.1389 2.1383 2.1381 2.1380 2.1379 2.1379 2.1379 0.9 (1/2, 1/2) 1.0178 1.0162 1.0154 1.0151 1.0149 1.0149 1.0149 (5/6, 5/6) 0.9930 0.9912 0.9904 0.9900 0.9898 0.9898 0.9898 (1, 1) 0.9818 0.9800 0.9791 0.9787 0.9785 0.9785 0.9785 4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH Để đảm bảo độ tin cậy của các mô hình PTHH phát triển trong Chương 3, trước khi đi vào tính toán cụ thể, Luận án tiến hành so sánh một số kết quả số nhận được từ các mô hình với các số liệu đã công bố của các tác giả khác. Do chưa có kết quả công bố về dao động của dầm 2D-FGM tạo từ bốn vật liệu thành phần với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa như nghiên cứu trong Luận án, việc so sánh, vì thế, sẽ được thực hiện cho dầm 1D-FGM, trường hợp riêng của dầm 2D-FGM. Việc tính toán được thực hiện bằng cách gán nx = 0 trong chương trình tính toán và kết quả nhận được sẽ là của dầm 1D-FGM. Trong Bảng 4.4, tham số tần số cơ bản µ¯ của dầm 1D-FGM tạo bởi Al và Al2O3 được so sánh với kết quả của Sina và cộng sự trong Tài liệu [32] sử dụng phương pháp 68 Bảng 4.4. So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và Al2O3. nz Nguồn L/h = 10 L/h = 30 L/h = 100 0 Luận án, FBKo 2.8042 2.8439 2.8486 Tài liệu [32] 2.7970 2.8430 2.8480 Tài liệu [50]