Luận án Mô men từ dị thường của muon trong mô hình 3 - 3 - 1 tiết kiệm và phiên bản siêu đối xứng

A2m2 0 2BMY+ √ 2gw 2 √ 1+B2m3 gv′√ 2µρ gv√ 2MW 0 1 0 0 0 Agv√ 2(1+A2)m2 0 Bgv√ 2(1+B2)m3 1 gu′√ 2MW 2Mχ+ √ 2Agw′ 2 √ 1+A2m2 0 2µχ+ √ 2Bgw′ 2 √ 1+B2m3 0  , (3.28) trong đó Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 40 A = 2(µ2χ −MY2) + g2(w2 − w′2) 2 √ 2(MYw + µχw′) + √ −4(−2µχMY + g2ww′)2 + (2(µ2χ +MY2) + g2(w2 + w′2))2 2 √ 2(MYw + µχw′) , (3.29) B = −2(µ2χ −MY2)− g2(w2 − w′2) 2 √ 2(MYw + µχw′) + √ −4(−2µχMY + g2ww′)2 + (2(µ2χ +MY2) + g2(w2 + w′2))2 2 √ 2(MYw + µχw′) , (3.30) m2 = 1 4 (2(µ2χ +MY2) + g2(w2 + w′2) − √ (2(µχ +MY)2 + g2(w − w′)2) (2(µχ −MY)2 + g2(w + w′)2)), (3.31) m3 = 1 4 (2(µ2χ +MY2) + g2(w2 + w′2) + √ (2(µχ +MY)2 + g2(w − w′)2)2(µχ −MY)2 + g2(w + w′)2)). (3.32) 3.2.4 Trộn lepton Sự vi phạm số lepton (LFV) hiện tại đang được quan tâm. Sự trộn lepton đã được thực nghiệm xác nhận qua sự trộn ντνµ. Thực tế tồn tại sự trộn neutrino ở cả ba thế hệ tuy nhiên sự trộn ở thế hệ hai và ba là lớn nhất. Trong phần này chúng tôi giả thiết Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 41 rằng tồn tại sự trộn lẫn trong phần slepton, chính xác hơn là sự trộn lẫn của µ˜ trái và phải. 3.2.5 Khối lượng smuon và khối lượng sneutrino. Phần siêu thế của mô hình cho đóng góp vào (g − 2)µ được cho như sau: W ′ = µ0aLˆaLχˆ′ + µχχˆχˆ′ + µρρˆρˆ′ + γabLˆaLρˆ′lˆcbL + λaLˆaLχˆρˆ+ λ ′ abLˆaLLˆbLρˆ, (3.33) với µ0a, µρ và µχ mang chiều khối lượng bằng 1, các hệ số khác trong W ′ có chiều khối lượng bằng không và λ′ab = −λ′ba. Số hạng mềm phá vỡ đối xứng được cho bởi: −LSMT = M2abL˜†aLL˜bL +m2abl˜c∗aLl˜cbL + { M ′2a χ †L˜aL + ηabL˜aLρ′l˜cLb + υaL˜aLχρ +εabL˜aLL˜bLρ+ ωaαjL˜aLQ˜αLd˜ c jL + ω ′ aαβL˜aLQ˜αLd˜ ′c βL +H.c. } , (3.34) trong đó εab = −εba. Lagrangian ở trên cho sfermion khối lượng. Khối lượng của sfermion có được bằng cách kết hợp số hạng D và số hạng F [71]. Trong trường hợp tổng quát có số hạng trộn ở phần vị trong ma trận trộn khối lượng của slepton. Tuy nhiên nếu số hạng trộn lớn sẽ dẫn đến sự không đồng nhất trong quá trình rã của muon và tauon [72], [73]. Trong luận án này chúng tôi giả thiết rằng số hạng trộn vị nhỏ và được bỏ qua trong một số quá trình tính toán . Ma trận khối lượng của smuon có thể được viết dưới dạng: Msmuon = ( m2µ˜L m 2 µ˜LR m2µ˜LR m 2 µ˜R ) , (3.35) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 42 trong đó m2µ˜L = M 2 22 + 1 4 µ202 + v′2 18 γ222 + g2 2 ( −H3 + 1√ 3 H8 − 2t 2 3 H1 ) + 1 18 λ22(u 2 + w2), (3.36) m2µ˜R = ( m222 + v′2 18 γ222 + g 2t2H1 ) , (3.37) m2µ˜LR = 1√ 2 ( ηabv ′ + 1 6 µργabv ) , (3.38) với H3 = −1 4 ( u2 cos 2β s2β + v2 cos 2γ c2γ ) , (3.39) H8 = 1 4 √ 3 [ v2 cos 2γ c2γ − (u2 − 2w2)cos 2β s2β ] , (3.40) H4 = −1 2 uw cos 2β s2β , (3.41) H1 = 1 6 [ (u2 + w2) cos 2β s2β + 2v2 cos 2γ c2γ ] , (3.42) và tan β = u u′ = w w′ , tan γ = v v′ . Chéo hóa ma trận khối lượng trong (3.35) dẫn đến trị riêng khối lượng được cho như sau: m2µ˜L = 1 2 ( m2µ˜L +m 2 µ˜R −∆) , (3.43) m2µ˜R = 1 2 ( m2µ˜L +m 2 µ˜R + ∆ ) , (3.44) trong đó Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 43 ∆ = 1 2 √( m2µ˜L −m2µ˜R )2 + 4m2µ˜LR . Trị riêng khối lượng được cho bởi ( µ˜L µ˜R ) = ( sθµ˜ −cθµ˜ cθµ˜ sθµ˜ )( lµ˜R lµ˜L ) ≡ U−1µ˜ ( lµ˜R lµ˜L ) (3.45) µ˜L = sθµ˜lµ˜R − cθµ˜lµ˜L , (3.46) µ˜R = cθµ˜lµ˜R + sθµ˜lµ˜L , (3.47) với sθµ˜ = sin θµ˜, cθµ˜ = cos θµ˜ và θµ˜ được định nghĩa thông qua tan 2θµ˜ như sau: tan 2θµ˜ = t2θµ˜ = 2m2µ˜LR m2 µ˜L −m2 µ˜R . Sự trộn lẫn của hai thế hệ đầu là nhỏ nên nếu chúng ta bỏ qua sự trộn lẫn của hai thế hệ đầu thì khối lượng của sneutrinomν˜µ có dạng như sau: m2ν˜µL = M 2 22 + 1 4 µ202 + g2 2 ( H3 + 1√ 3 H8 − 2t 2 3 H1 ) + 1 18 v2(λ22 + 4λ ′2 c2) + 1 18 λ22w 2, (3.48) m2ν˜µR = M 2 22 + 1 4 µ202 − g2 ( 1√ 3 H8 + t2 3 H1 ) + 1 18 v2(λ22 + 4λ ′2 c2) + 1 18 λ22u 2. (3.49) 3.3 Thế vô hướng cho phần Higgs Ở các phần trước chúng tôi đã khảo sát mômen từ dị thường. Như ở phần đầu đã đề cập có mối liên hệ giữa mô men từ, mô men điện và vi phạm CP. Mô hình 331 có chứa nhiều nguồn vi phạm CP như Higgs có CP chẵn và Higgs có CP lẻ. Trong phần này chúng tôi sẽ khảo sát Higgs có CP chẵn và CP lẻ của mô hình SUSYE331 và phổ khối lượng. Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 44 Thế Higgs đầy đủ của mô hình SUSYE331 có dạng như sau [74]: VSUSYE331 ≡ Vscalar + Vsoft = µ2χ 4 ( χ†χ+ χ′†χ′ ) + µ2ρ 4 ( ρ†ρ+ ρ′†ρ′ ) + g′2 12 ( −1 3 χ†χ+ 1 3 χ′†χ′ + 2 3 ρ†ρ− 2 3 ρ′†ρ′ )2 + g2 8 8∑ b=1 (χ†iλ b ijχj − χ′†i λ∗bijχ′j + ρ†iλbijρj − ρ′†i λ∗bij ρ′j)2 +m2ρρ †ρ+m2χχ †χ+m2ρ′ρ ′†ρ′ +m2χ′χ ′†χ′ − (bρρρ′ + bχχχ′ + H.c.) . (3.50) Chúng ta có thể tái định nghĩa pha của trường Higgs để có được giá trị thực của bχ và bρ. Các tham số này phải dương để đảm bảo điều kiện phá vỡ đối xứng tự phát không cho giá trị bằng không đối với trường Higgs. Trường Higgs được khai triển quanh trung bình chân không VEVs như sau: χT = ( u+S1+iA1√ 2 , χ−, w+S2+iA2√ 2 ) , ρT = ( ρ+1 , v+S5+iA5√ 2 , ρ+2 ) , χ′T = ( u′+S3+iA3√ 2 , χ′+, w ′+S4+iA4√ 2 ) , ρ′T = ( ρ′−1 , v′+S6+iA6√ 2 , ρ′−2 ) .(3.51) Giải các phương trình sau chúng ta sẽ đạt được điều kiện của cực tiểu thế của mô hình SUSYE331 µ2ρ + 4m 2 ρ = 4 v′ v bρ − 2g 2′ + 9g2 27 [ 2 ( v2 − v2′)+ w2′ − w2 + u′2 − u2] , µ2χ + 4m 2 χ = 4 u′ u bχ − g ′2 27 [ w2 − w′2 + u2 − u′2 + 2 (v′2 − v2)] −g 2 3 [ 2 ( u2 − u′2 + w2 − w′2)+ v′2 − v2] , (3.52) m2ρ +m 2 ρ′ + 1 2 µ2ρ = bρ v2 + v′2 vv′ , (3.53) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 45 m2χ +m 2 χ′ + 1 2 µ2χ = bχ u2 + u′2 uu′ , (3.54) (−u′w + uw′) [ bχ + g2 4 (uu′ + ww′) ] = 0. (3.55) Từ điều kiện (3.55) ta có u/u′ = w/w′. Chúng tôi sử dụng kí hiệu sau: tan β = tβ = u u′ , tan γ = tγ = v v′ , t = g′ g , m2W = g2 4 ( v2 + v′2 ) , m2X = g2 4 ( u′2 + w′2 ) ( t2β + 1 ) , (3.56) trong đómX vàmW là khối lượng của X vàW boson. Phương trình (3.52), (3.54) có thể được viết như sau: 1 4 µ2ρ +m 2 ρ = bρ tγ + 2t2 + 9 27 [−m2X cos 2β + 2m2W cos 2γ] , (3.57) 1 4 µ2χ +m 2 χ = bχ tβ + t2 + 18 27 m2X cos 2β − (2t2 + 9) 27 m2W cos 2γ, (3.58) s2γ ≡ sin 2γ = 2bρ m2ρ +m 2 ρ′ + 1 2 µ2ρ , s2β ≡ sin 2β = 2bχ m2χ +m 2 χ′ + 1 2 µ2χ . (3.59) Từ (3.59) ta đạt được điều kiện ràng buộc của bρ và bχ 2bρ ≤ m2ρ +m2ρ′ + 1 2 µ2ρ 2bχ ≤ m2χ +m2χ′ + 1 2 µ2χ. (3.60) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 46 cos 2γ và cos 2β có thể được xác định thông qua tham số mềm như sau: c2γ ≡ cos 2γ = 2c2W ( 1 4 µ2ρ +m 2 ρ − bρtγ ) + ( 1 4 µ2χ +m 2 χ − bχtβ ) m2W , c2β ≡ cos 2β = ( 1 4 µ2ρ +m 2 ρ − bρtγ ) + 2 ( 1 4 µ2χ +m 2 χ − bχtβ ) m2X = 2m2W c2γ m2X − (3− 4s2W ) ( 1 4 µ2ρ +m 2 ρ − bρtγ ) m2X . (3.61) Do |c2γ|, |c2β| ≤ 1 và mW  mX nên tham số trong (3.61) sẽ ở thang O(m2W ) hoặc O(m2X). Điều này có nghĩa là ta sẽ có hai trường hợp:∣∣∣∣14µ2ρ +m2ρ − bρtγ ∣∣∣∣ ∼ ∣∣∣∣14µ2χ +m2χ − bχtβ ∣∣∣∣ ∼ O(m2W ), (3.62)∣∣∣∣14µ2ρ +m2ρ − bρtγ ∣∣∣∣ ∼ ∣∣∣∣14µ2χ +m2χ − bχtβ ∣∣∣∣ ∼ O(m2X). (3.63) Nếu sự phân bậc của µρ và µχ không lớn nên µρ,χ có thể coi là cùng bậc trường hợp (3.63) xuất hiện khi hai đại lượng 2c2W ( 1 4 µ2ρ +m 2 ρ − bρtγ ) và ( 1 4 µ2χ +m 2 χ − bχtβ ) ngược dấu do đó khử lẫn nhau. Trong phần sau chúng tôi sẽ khảo sát phổ khối lượng của phần Higgs. Ở đó chúng tôi sử dụng xấp xỉ  = m2W/m2X ,  1. Chúng tôi sẽ khảo sát trị riêng khối lượng của phần giả Higgs trung hòa trước, sau đó sử dụng như là tham số độc lập trong việc biểu diễn phổ khối lượng của Higgs. 3.3.1 Higgs CP lẻ Lagrangian khối lượng của giả vô hướng Higgs được chia làm hai phần. Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 47 −LmassA = 1 2 (A1, A2, A3, A4)×M2Aχ(A1, A2, A3, A4)T + 1 2 (A5, A6)M 2 Aρ(A5, A6) T (3.64) với M2Aχ = g2 4  w′2 + 4bχ g2tβ , −u′w′, ww′ + 4bχtβ g2 , −uw′tβ, −u′w′, u′2 + 4bχ g2tβ −uw′tβ uu′ + 4bχtβg2 ww′tβ + 4bχ g2 −uw′tβ w2tβ + 4bχt 2 β g2 −uwt2β −uw′tβ uu′tβ + 4bχg2 −uwt2β u2t2β + 4bχtβ g2  , và M2Aρ = 4bρ tγ × ( 1 tγ tγ t 2 γ ) . Chéo hóa các ma trận trên cho ta 3 trị riêng khác không và ba trị riêng bằng không tương ứng với 3 hạt có khối lượng và 3 hạt không có khối lượng: m2A1 ≡ m2HA1 = 2bρ s2γ = 1 2 µ2ρ +m 2 ρ +m 2 ρ′ , m2A2 ≡ m2HA2 = 2bχ s2β = 1 2 µ2χ +m 2 χ +m 2 χ′ , m2A3 ≡ m2HA3 = m2A2 +m2X . (3.65) Do ρ và ρ′ có vai trò như Higgs của mô hình MSSM , HA1 sẽ giống với Higgs có CP lẻ trong mô hình MSSM. Trong phần tính toán sau đây chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu như sau: k1 = m2A1 m2X , k2 = m2A2 m2X , hW = √ 1 3− 4s2W . (3.66) Ba trạng thái riêng có khối lượng có thể được viết như sau: Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 48 HA1 = A5cγ + A6sγ, HA2 = A1cβsζ + A2cβcζ + A3sβsζ + A4sβcζ , HA3 = −A1cβcζ + A2cβsζ − A3sβcζ + A4sβsζ , (3.67) trong đó tan ζ = u′/w′, cos ζ = cζ , sin ζ = sζ , cos β = cβ, sin β = sβ, cos γ = cγ, sin γ = sγ . Ba trạng thái riêng không có khối lượng là : HA4 = −A5sγ + A6cγ, HA5 = −A2sβ + A4cβ, HA6 = −A1sβ + A3cβ. (3.68) Chúng là các Goldstone bosons bị ăn bởi boson chuẩn trung hòa Z, Z ′ và X0. 3.3.2 Higgs trung hòa Trong hệ cơ sở (S1, S2, S3, S4, S5, S6) bình phương ma trận khối lượng của Higgs vô hướng thực có thể được viết như sau: M26S =  m2S11 m 2 S12 m 2 S13 m 2 S14 m 2 S15 m 2 S16 m2S21 m 2 S22 m 2 S23 m 2 S24 m 2 S25 m 2 S26 m2S31 m 2 S32 m 2 S33 m 2 S34 m 2 S35 m 2 S36 m2S41 m 2 S42 m 2 S43 m 2 S44 m 2 S45 m 2 S46 m2S51 m 2 S52 m 2 S53 m 2 S54 m 2 S55 m 2 S56 m2S61 m 2 S62 m 2 S63 m 2 S64 m 2 S65 m 2 S66  , (3.69) Trị riêng của ma trận này là bình phương khối lượng của Higgs có CP chẵn ở bậc cây được kí hiệu như sau: Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 49 λ = m2H0 . Các Higgs này thỏa mãn điều kiện det (M26S − λ I6) = 0, hay λ [ λ− (1 + t2β)(bχtβ + g 2 4 (u′2 + w′2) )] f(λ) = 0 (3.70) f(λ) = aλ4 + bλ3 + cλ2 + dλ+ e. (3.71) Phương trình (3.70) có một nghiệm không khối lượng và một nghiệm có khối lượng λ = m2A3 . Higgs không có khối lượng bị ăn bởi X boson. Hàm f(λ) có thể được viết gọn bằng biến mới như sau: λ = X ×m2X . (3.72) Từ (3.59) và (3.66) ta có: bχ = 1 2 m2A2s2β = 1 2 m2Xk1s2β, bρ = 1 2 m2A1s2γ = 1 2 m2Xk2s2γ, g′ = t× g (3.73) với t2 = 18s2W 3− 4s2W . Chúng ta định nghĩa đại lượng   = m2W m2X = v2 + v′2 (u′2 + w′2)(1 + t2β) , (3.74) Từ [46, 53, 69] chúng ta có:  ' m 2 W m2Z′ × 4c 2 W 4c2W − 1 , (3.75) trong đó mZ′ là khối lượng của boson nặng mới Z ′ và θW là góc Weinberg, cW = cos θW . Những giới hạn gần đây chomZ′ > 2500 GeV [75] dẫn đến  < 2.0× 10−3. Ta sẽ dùng giá trị này của  để giải xấp xỉ phương trình (3.71). Phương trình f(λ) = 0 có thể được viết dưới dạng g(X) = AX4 +BX3 + CX2 +DX + E = 0, (3.76) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 50 trong đó A = 1, B = − (4c2Wh2W + k1 + k2 + 4h2W × ) , C = 4c2Wh 2 W ( k1 + k2c 2 2β ) + k1k2 + h 2 W ( 1 + k1c 2 2γ + k2 )× , D = −4c2Wh2Wk1k2c22β − 4h2W [ k2c 2 2β + c 2 2γk1 (1 + k2) ]× , E = 4h2Wk1k2c 2 2γc 2 2β × . (3.77) Hàm g(X) sẽ được dùng để tìm một cách xấp xỉ trị riêng khối lượng của Higgs thực trung hòa trong phần sau. 3.3.3 Higgs mang điện Trong hệ cơ sở (χ+, χ+′, ρ+1 , ρ+2 , ρ+′1 , ρ+′2 ), bình phương ma trận khối lượng có thể được viết như sau: M26charged = g2 4  m2χ−χ+ m 2 χ−χ′+ uv vw −uv′ −v′w m2χ′+χ− m 2 χ′−χ′+ −vu′ −w′v v′u′ v′w′ uv −vu′ m2 ρ−1 ρ + 1 m2 ρ−1 ρ + 2 −4bρ g2 − vv′ 0 vω −vω′ m2 ρ+2 ρ − 1 −m2 ρ−2 ρ + 2 0 −4bρ g2 − vv′ −uv′ v′u′ −4bρ g2 − vv′ 0 m2 ρ−′1 ρ +′ 1 m2 ρ−′1 ρ +′ 2 −v′ω v′u′ 0 −4bρ g2 − vv′ m2 ρ+′2 ρ −′ 1 m2 ρ−′2 ρ +′ 2  . Chi tiết ma trận khối lượng được cho ở phụ lục E Khối lượng của Higgs mang điện là lời giải của phương trình Det(M26charged − λI6) = 0. (3.78) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 51 Mỗi lời giải của λ = m2H± tương ứng với trị riêng khối lượng củaM26charged và I6 là ma trận đơn vị 6× 6. Đổi biến như trường hợp của Higgs trung hòa ta có X2 [ λ− (m2A1 +m2W )]× f(X) = 0. (3.79) với X = m2H±/m2X trong đó mW là khối lượng của W boson. Hàm f(X) là đa thức bậc 3 có dạng như sau: f(X) = X3 + AX2 +BX + C, (3.80) trong đó A = −(1 + k1 + k2 + ), B = −c22β + k1(1 + c2γc2β + k2) + [k2 + c2γc2β(2 + k2)]× − c2γ × 2, C = (1 + ) [c2β − c2γ(+ k1)] [c2β(1 + k2)− c2γ] . (3.81) Đối với phần Higgs mang điện, có hai Goldstone boson bị "ăn" bởiW± và Y ± boson. Có một lời giải chính xác cho khối lượng của Higss là m2 H±4 = m2W + m 2 A1 . Ba giá trị còn lại sẽ được khảo sát ở phần sau. 3.3.4 Điều kiện ràng buộc của khối lượng Higgs Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát chi tiết phổ khối lượng của Higgs. Chúng ta sẽ khảo sát hai trường hợp tham số mềm ở thang điện yếu và ở thang SU(3)L 3.3.4.1 Trường hợp tham số mềm ở thang điện yếu Trường hợp này được cho như trong công thức (3.62). Vì k1, k2 và c2β ở bậc O() nên ta có thể định nghĩa: k1 = k ′ 1 × , k2 = k′2 ×  (3.82) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 52 với k′1, k′2 ∼ O(1). Số hạng c2β sẽ được khảo sát sau: Phương trình trong (3.77) cho thấy phương trình (3.76) cho 4 lời giải dương tương đương với bình phương khối lượng của Higgs. Không mất tính tổng quát ta có thể kí hiệu những nghiệm này như sau: X1 ≤ X2 ≤ X3 ≤ X4. Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện: 4∑ i=1 Xi = 4c 2 Wh 2 W + k1 + k2 + 4h 2 W × , 4∑ i<j;i,j=1 XiXj = 4c 2 Wh 2 W ( k1 + k2c 2 2β ) + k1k2 + h 2 W ( 1 + k1c 2 2γ + k2 )× ,∑ i<j<k XiXjXk = 4c 2 Wh 2 Wk1k2c 2 2β + 4h 2 W [ k2c 2 2β + c 2 2γk1 (1 + k2) ]× , X1X2X3X4 = 4h 2 Wk1k2c 2 2γc 2 2β × . (3.83) Số hạng 4c2Wh2W trong phương trình (3.83) cho thấy sự tồn tại của Higgs nặng có khối lượng tương đương O(m2X). Phương trình thứ tư cho thấy X1X2X3X4 ≤ O() do đó có ít nhất một Higgs nhẹ có khối lượng liên hệ với Xi ≤ O(). Bằng cách gán X1 = X ′ 1 ×  với X ′1 ≤ O(1) chúng ta có thể ước lượng được khối lượng ở trên. Chèn X1 vào phương trình (3.76) và cho số hạng ở bậc thấp nhất của  bằng không ta có: (X ′1 − k′1c22β) [ c2WX ′2 1 − (1 + c2Wk′1)X ′1 + c22γk′1 ] = 0. (3.84) Phương trình (3.84) cho thấy có 3 Higgs nhẹ và một trong số đó liên hệ vớiX ′1 thông qua: X ′1 = k ′ 1c 2 2β ∼ m2A1 m2W × |c2β|2. (3.85) Giá trị này là rất nhỏ do số hạng c22β ∼ O(2). Do đó X ′1 = m2 H01 m2W ∼ m 2 A1 m2W × ( m2W m2X )2 → mH01 ∼ mA1 ×O(10−3). Bởi vìmA1 ∼ O(mW ) trong trường hợp này nên nếu đây là SM HiggsmH01 thì giá trị sẽ là rất nhỏ nếu so sánh với các kết quả thực nghiệm gần đây nhất tại LEP [76]. Một Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 53 trong hai lời giải còn lại trong (3.84) sẽ được đồng nhất với giá trị cỡ 125.5 GeV. Công thức biểu diễn hai giá trị trên là: m2H02,3 ' 1 2 ( m2Z +m 2 A1 ∓ √( m2A1 −m2Z )2 + 4s22γm 2 Zm 2 A1 ) . (3.86) Công thức (3.86) có dạng giống với công thức biểu diễn Higgs trung hòa trong mô hình MSSM. Tại bậc cây Higgs nhẹ hơn có khối lượng nhỏ hơn mZ |c2γ|. Higgs này được đồng nhất với hạt giống Higgs mới phát hiện tại LHC [77, 78]. Qua nhữngđánh giá trên ta có thể kết luận rằng tham sốmềmcủamôhình SUSYE331 được khảo sát tại thang phá vỡ SU(2)L không phải là lựa chọn tốt do đo trong phần sau chúng ta sẽ khảo sát ở thang phá vỡ SU(3)L. 3.3.4.2 Trường hợp tham số mềm ở thang SU(3)L 3.3.4.3 Higgs trung hòa CP chẵn Ma trận khối lượng của Higgs trong phần này rất phức tạp, do vậy ta sẽ sử dụng phương pháp xấp xỉ để tìm trị riêng khối lượng bằng cách sử dụng giá trị rất nhỏ của . Đối với Higgs trung hòa nhẹ phương trình cuối cùng trong (3.77) cho thấy có duy nhất Higgs nhẹ trung hòa. Bình phương khối lượng của Higgs này làX1 = X ′1 × + O(2) trong đóX ′1 ∼ O(1). Thay giá trị này vào (3.76) và cho thừa số với bậc nhỏ nhất của  bằng không, ta có: X ′1 ' c22γ c2W ⇐⇒ m2H01 'M 2 Zc 2 2γ. (3.87) Công thức cho khối lượng của Higgs trung hòa tương tự như trong mô hình MSSM. Đối với Higgs nặng trung hòa ta có thể kí hiệu các khối lượng lần lượt là Xi = X ′i + X ′′i ×  trong đó X ′i, X ′′i ∼ O(1) và i = 2, 3, 4. Các khối lượng trên có thể được viết Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 54 như sau: m2H0i = X ′im 2 X +X ′′ i ×m2W +O()×m2W . (3.88) Đóng góp chính vào khối lượng của Higgs nặng đến từ số hạngXi×m2X ∼ m2H0i hay chi tiết hơn là: m2H02 ' X ′2m2X = m2A1 , (3.89) m2H03,4 ' X ′3,4 ×m2X = 1 2 ( m2A2 +m 2 Z′ ∓ √( m2A2 −m2Z′ )2 + 4m2Z′m 2 A2 s22β ) , (3.90) trong đó mZ′ là khối lượng của boson trung hòa Z ′ [46], m2Z′ = 4m2Xc2W/(4c2W − 1). Các giá trị của X ′′i được xác định thông qua: X ′′i = A0 B0 , (3.91) trong đó A0 = 4h 2 W ( X ′i − k1c22γ ) ( X ′2i − (k2 + 1)X ′i + k2c22β ) , B0 = 4c 2 Wk2(2X ′ i − k1)c22β +X ′i [ 4h2W c 2 W (2k1 − 3X ′i) + 2k1k2 − 3(k1 + k2)X ′i + 4X ′2i ] . (3.92) Giá trị xấp xỉ của khối lượng của Higgs là mH0i = √ X ′im 2 X +X ′′ i ×m2W +O()×m2W ' mX × √ X ′i + X ′′i√ X ′i × m 2 W mX . (3.93) Nếu chúng ta giả thiết rằng thang mX ' O(TeV), bổ đính vào khối lượng Higgs là X ′′i / √ X ′i× 2.4 GeV. Bổ đính này là rất nhỏ so với khối lượng của Higgs cỡ TeV, do đó trong tính toán chúng tôi sẽ bỏ qua bổ đính này. Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 55 Trong hình 3.1 chúng tôi so sánh các công thức giải tích với tính toán số ở đó chúng tôi giải số trị riêng của bình phương ma trận khối lượng (3.69). Ta có thể thấy bốn đường cong mầu xanh biểu diễn bốn Higgs nặng còn Higgs nhẹ nhất có khối lượng mH01 ' mZ khi tγ  1. 1000 1500 2000 2500 100 1000 500 200 2000 300 3000 150 1500 700 mA1 @GeVD m H 0 @G eV D Hình 3.1:Hình vẽ khối lượng củamH0j (j = 1, 2, ..., 5) theomA1 . Các tham số cố định như sau: mX = 2.5 TeV, mA2 = 1.0 TeV, u 2+u′2 v2+v′2 = 10 −4 và mW = 80.4 GeV, tγ = 50, tβ = 10. Đường đỏ biểu diễn khối lượng của Higgs trung hòa nhẹ nhất. Đường gạch cố định giá trị củamZ ' 92.0 GeV. Như vậy mô hình SUSYE331 có năm Higgs vật lý với CP chẵn bao gồm 1 Higgs nhẹ và 4 Higgs nặng. Higgs nhẹ có thể được đồng nhất với "giống" Higgs của mô hình chuẩn. Một trong Higgs nặng có khối lượng chính xác là m2 H05 = m2A2 + m 2 X . Bình phương khối lượng của 3 Higgs khác được xấp xỉ O()×m2W . Khối lượng của Higgs nhẹ nhất có thể đạt giới hạn của thực nghiệm có tính đến bổ đính. Trong mô hình SUSYE331 chúng ta có thể chỉ ra rẳng Higgs nhẹ nhất có thể có bổ đính khối lượng giống như trường hợp MSSM. Chi tiết về bổ đính khối lượng được cho trong phụ lục. Những ước lượng đơn giản cho thấy phổ khối lượng của Higgs trung hòa có CP chẵn là phù hợp với thực nghiệm. Hình 3.2 chúng tôi khảo sát khối lượng của Higgs trung hòa nhẹ nhất theo bổ đính của top và stop quark. Có thể thấy khối lượng của Higgs nhẹ nhất có thể đạt giá trị 125-126 GeV với lựa chọn MX = 2TeV. Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 56 600 800 1000 1200 1400 90 100 110 120 130 m t Ž @GeVD m h @G eV D Hình 3.2:Khối lượng của Higgs trung hòa nhẹ nhất bao gồm bổ đính của top và stop quark. Đường đen(chấm) thể hiện khối lượng trongmô hình SUSYE331(MSSM) theo khối lượng stop quark. Hai đường gạch tương ứng với khối lượng 125 và 126 GeV. Trong mô hình SUSYE331mX = 2TeV. 3.3.4.4 Higgs mang điện Nếu tham số mềm ở thang SU(3)L, công thức thứ hai trong (3.61) cho thấy giá trị của c2β không được quá nhỏ. Áp dụng ràng buộc này vào phương trình (3.81), ta có thể chứng minh được rằng các lời giải của (3.79) tương đương với giá trị rất lớn của khối lượng của Higgs mang điện. Giống như trường hợp của Higgs trung hòa, nếu ta kí hiệu Xi = X ′i +X ′′i ×  (i = 1, 2, 3) thì ta có: m2 H±i = Xi ×m2X = X ′i ×m2X +X ′′i ×m2W +O()×m2W , (3.94) trong đó đóng góp chính vào khối lượng của 3 Higgs mang điện là: m2 H±1 ' X ′1 ×m2X = m2X +m2A2 , (3.95) m2 H±2,3 ' X ′2,3 ×m2X = 1 2 ( m2A1 ∓ √( m2A1 − 2m2Xc2βc2γ )2 + 4m4Xc 2 2βs 2 2γ ) , (3.96) Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 57 và X ′′i ≡ ax/bx phụ thuộc vào X ′i theo công thức sau: ax = −c2βc2γ [1 + (k1 + 1)(k2 + 1) + (k2 + 2)X ′i] + c22γk1 + c 2 2β(1 + k2) + k2X ′ i −X ′2i , bx = c 2 2β − c2βc2γk1 − k1(k1 + k2) + 2(1 + k1 + k2)X ′i − 3X ′2i . (3.97) Điều kiện khối lượng của Higgs (3.96) dương dẫn đến điều kiện: c2β (c2β − k1c2γ) < 0. (3.98) do đó k1c2γ 1. Kết hợp với điều kiện c2γ < 0, ta có điều kiện chính xác cho tất cả khối lượng Higgs mang điện: (k1 + )c2γ < c2β < c2γ 1+k2 < 0, có nghĩa (m2A1 +m 2 W )c2γ m2X < c2β < c2γm 2 W m2X +m 2 A2 < 0. (3.99) Nếu điều kiện này được đảm bảo thì khối lượng củaHiggsmang điện trongmô hình SUSYE331 ở thang SU(3)L. Giống như trường hợp Higgs trung hòa chúng tôi khảo sát số khối lượng của Higgs mang điện. Kết quả như hình 3.3 và 3.4. Hình 3.3 cho thấy trường hợp tγ và tβ lớn trong đó chúng tôi cố định c2γ ' c2β = −1. Chèn các giá trị này vào (3.96) ta có hai giá trịm2H± = {m2X , m2A1 −m2X}. Điều này có nghĩa để loại bỏ tachyon Higgs thìmA1 có giá trị lớn hơnmX . Có thể thấy rằng hai đường hằng số bên trái biểu diễn hai giá trị m2H± = {m2X + m2A2 , m 2 X} trong khi hai đường cong khác biểu diễn giá trịm2H± = {m2A1 +m2W , m2A1− m2X}. Hai đường cong này song song vì khác nhaumột giá trị cố địnhm2X+m2W . Điều này không xảy ra trong trường hợp tγ nhỏ, nhưđược thể hiện bênphải hình 3.3. Trong mọi trường hợp luôn xuất hiện cận dưới giá trị củamA1 để khử tachyon Higgs mang điện. Giá trị này nhỏ hơn thang SU(3)L trừ khi |c2β| (tβ) là nhỏ như được minh họa bên trái hình 3.4. Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 58 2000 2500 3000 3500 -2.0´106 0 2.0´106 4.0´106 6.0´106 8.0´106 1.0´107 1.2´107 mA1 @GeVD m H ± 2 @G eV 2 D 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 0 1´106 2´106 3´106 4´106 5´106 mA1 @GeVD m H ± 2 @G eV 2 D Hình 3.3:Hình vẽm2 H±i theomA1 . Các tham số được cố định như sau:mX = 2.5 TeV (hình trái ) vàmX = 2.0 TeV (hình phải ),mA2 = 1.0 TeV, u 2+u′2 v2+v′2 = 10 −4 vàmW = 80.4 GeV. Hình trái tương ứng với giá trị lớn của tγ và tβ : tγ = 50., tβ = 10. Hình phải tương ứng với giá trị nhỏ hơn của tγ và tβ : tγ = 5.0, tβ = 1.2. Chấm đỏ tương ứng với giá trị củam2A1 = m2Xc2β c2γ −m2W cho giá trị của bình phương khối lượng của Higgs mang điện nhẹ nhất làm2 H±2 ' 0. -10.´104 0 0.81´104 10.´104 2350 2400 2450 2500 2550 2600 5 10 15 20 25 30 35 40 mA1 @GeVD Ta nΒ mH± 2 @ GeV2D -10.´104 0 0.81´104 10.´104 2400 2450 2500 2550 2600 5 10 15 20 25 30 mA1 @GeVD Ta nΓ mH± 2 @ GeV2D Hình 3.4: Đường đồng mức của giá trị nhỏ nhất của m2H± theo hai giá trị của : (mA1 , tβ) (hình trái) hoặc (mA1 , tγ) (hình phải). Các tham số được cố định như sau: mX = 2.5 TeV, mA2 = 1.0 TeV, u 2+u′2 v2+v′2 = 10 −4 và m2W = 80.2; tγ = 30 (hình trái) và tβ = 10 (hình phải). Đường nét đứt tương ứng vớim2H± = 0. Hình 3.4 cho thấy đường đồng mức của giá trị nhỏ nhất của Higgs mang điện m2H± như là hàm của m2A1 và tβ (tγ). Vùng cho phép tương đương với điều kiện m 2 H± > 902[GeV 2] tại bậc cây. Giá trị nhỏ của tγ dẫn đến giá trị rất lớn của mA1 . Mặt khác vùng cho phép giá trị lớn của mA1 cho thấy giá trị lớn của tβ . Ta có thể thấy được rằng trong vùng giá trị lớn của tγ (tβ) khối lượng của Higgs mang điện nhẹ nhất không phụ thuộc vào giá trị của tγ (tβ). Chương 3. Mô men từ dị thường và thế Higgs trong mô hình E331 siêu đối xứng 59 3.3.5 So sánh MSSM Higgs và SUSYE331 Higgs Để so sánhmột cách chính xác đặc điểm củaMSSMHiggs và SUSYE331Higgs chúng tôi sẽ nghiên cứu hằng số tương tác của hạt Higgs trong mô hình SUSYE331. Trong mô hìnhMSSM, để khử dị thường và cho khối lượng fermion hai lưỡng tuyến Higgs Hu, Hd được sử dụng. Sau khi phá vỡ đối xứng SU(2)L × U(1)Y → U(1)Q, boson chuẩnW±, Z có khối lượng và phổ khối lượng của Higgs chứa hai Higgs trung hòa có CP chẵn H, h, 1 Higgs trung hòa có CP lẻ A và hai Higgs mang điện H±. Trong mô hình SUSYE331 đối xứng điện yếu bị phá vỡ bởi VEV u, u′, v, v′, tro