Luận án Mô phỏng transistor ống nanô carbon đồng trục

xúc kênh dẫn µ1, µ2 chúng ta có thể tính toán ñược mật ñộ ñiện tử ρ bằng việc sử dụng hàm tương quan ñã ñược ñịnh nghĩa - 35 - từ hàm Green không cân bằng NEGF. ðây là một phương pháp ñịnh lượng sự vận chuyển lượng tử trong cấu trúc nanô. Nếu biết mật ñộ ñiện tử ρ thì chúng ta xác ñịnh ñược ñiện thế U bằng việc giải phương trình Poisson: ( ) khaùctích ñieän nhöõng+−=∇∇ ρε 2. qU (3.1) Những ñiện tử khác trong phương trình Poisson biểu thức (3.1) phụ thuộc vào ñiện tích hạt nhân trong những linh kiện phân tử. Nếu chúng ta muốn một mô hình cho sự tương tác ñiện tử - ñiện tử, chúng ta cần ñến ñối số cho việc giải phương trình Poisson thông qua việc sử dụng lý thuyết phiếm hàm mật ñộ DFT (Density Functional Theory). Nếu có ñiện thế U thì chúng ta tính toán mật ñộ ñiện tử ρ bằng việc sử dụng những phương trình NEGF. Lặp lại hai bước trên (từ ρ tính U và từ U tính ρ) mãi cho ñến khi ñạt ñược sự hội tụ. Mô hình phương pháp tự tương thích ñược thể hiện trên hình 3.2 Phương pháp giải phương trình Poisson và những phương trình NEGF là một kỹ thuật ñã ñược áp dụng trong lĩnh vực mô phỏng linh kiện ñiện tử cấu trúc nanô. Phương pháp lý thuyết phiếm hàm mật ñộ DFT ñược chuẩn hóa trong những tính toán cơ học lượng tử. 3.1.2. Dòng ñiện chảy qua một mức năng lượng rời rạc Sự truyền dẫn trong linh kiện phụ thuộc vào những trạng thái năng lượng xung quanh mức năng lượng Fermi E = µ. ðể hiểu tại sao, chúng ta hãy xét cái gì làm cho những dòng ñiện tử chảy từ ñiện cực nguồn S xuyên qua kênh dẫn ñến ñiện cực máng D. Ở phần này, chúng ta sẽ giới xem xét ñến trường hợp một dòng ñiện hữu hạn chảy xuyên qua một linh kiện phụ thuộc ñường dốc ñiện thế. Quá trình chảy của dòng ñiện tử trong kênh dẫn chỉ xảy ra khi có sự chênh lệch ñiện áp giữa cực máng và cực nguồn, nghĩa là có sự không cân bằng năng lượng ở những tiếp xúc nguồn và máng (như tieáp xuùc cuûa ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D trong tröôøng hôïp cuûa MOSFET), coù söï cheânh leäch möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2. Moät ñieän theá VD döông aùp vaøo töø beân ngoaøi ñieän cöïc maùng D ñoái vôùi ñieän cöïc - 36 - nguoàn S, taïo neân söï cheânh leäch möùc naêng löôïng Fermi ôû ñieän cöïc maùng D vaø ñieän cöïc nguoàn S (µ2 thaáp hôn µ1) bôûi qVD: µ1 – µ2 = qVD (3.2) Keát quaû taïi nhöõng tieáp xuùc cuûa ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D vôùi keânh daãn coù hai haøm Fermi khaùc nhau: ( )10]/)[(1 1 1)( 1 µµ −=+ = − Ef e Ef TkE B (3.3a) Với f1(E) laø haøm Fermi öùng vôùi möùc naêng löôïng Fermi µ1 cuûa tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S. ( )20]/)[(2 1 1)( 2 µµ −=+ = − Ef e Ef TkE B (3.3b) Và f2(E) laø haøm Fermi öùng vôùi möùc naêng löôïng Fermi µ2 cuûa tieáp xuùc ñieän cöïc maùng D theo công thớc (3.2). Caùc haøm Fermi phuï thuoäc vaøo caùc thoâng soá nhö: naêng löôïng E, möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2, nhieät ñoä T, ñieän theá aùp vaøo ñieän cöïc maùng D ñoái vôùi ñieän cöïc nguoàn S. Yêu cầu ñặt ra là tại mỗi tiếp xúc phải thiết lập và tạo trạng thái cân bằng cho kênh dẫn. ðiện cực nguồn S cần phải bơm ñiện tử vào trong kênh dẫn, hy vọng thiết lập ñược trạng thái cân bằng. Nhưng trạng thái cân bằng không bao giò ñạt ñược là do ñiện cực máng D tiếp tục kéo ñiện tử ra khỏi kênh dẫn ñể thiết lập trạng thái cân bằng. Theo cách này, kênh dẫn bắt buộc phải giữ thăng bằng giữa hai tiếp xúc (hai giếng lượng tử) với lộ trình khác nhau và ñặt kênh dẫn vào trong trạng thái không cân bằng trung gian giữa hai ñiện cực nguồn và ñiện cực máng. - 37 - Hình 3.3. Mô hình vận chuyển ñiện tử trong kênh dẫn [32] Khi có ñiện thế dương VD > 0 áp vào ñiện cực máng D ñối với ñiện cực nguồn S tạo nên sự chênh lệch mức năng lượng Fermi giữa hai ñiện cực. Kênh dẫn có một mức năng lượng ε nằm trong khoảng giữa vùng giới hạn bởi hai mức năng lượng Fermi là µ1 và µ2 lần lượt của ñiện cực nguồn và ñiện cực máng. Ở tiếp xúc ñiện cực nguồn S với kênh dẫn (tiếp xúc 1) tồn tại f1(ε) ñiện tử. Trong khi ñó, ở tiếp xúc của kênh dẫn với ñiện cực máng D (tiếp xúc 2) tồn tại f2(ε) ñiện tử. Ở trạng thái không cân bằng, số ñiện tử trung bình N có mức năng lượng xác ñịnh sẽ có giá trịc trung gian giữa f1(ε) và f2(ε). Moät ñieän tử có năng lượng treân möùc naêng löôïng ε coù theå thoaùt vaøo trong tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D laàn löôït vôùi vaän toác h1γ vaø h2γ . Hình 3.4. Doøng cuûa nhöõng ñieän töû vaøo trong vaø ra khoûi keânh daãn moät möùc naêng löôïng ε taïi ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D [32] - 38 - Doøng ñieän I1 xuyên qua tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S ñöôïc xaùc ñònh như sau: ( )[ ]NfqI −= εγ 111 h (3.4a) Trong ñoù: q laø ñieän tích cuûa ñieän töû. Töông töï, doøng ñieän I2 ngang qua tieáp xuùc ñieän cöïc maùng D là: ( )[ ]NfqI −= εγ 222 h (3.4b) Chuùng ta coù theå giaûi thích nhöõng vaän toác khoâng ñoåi h1γ vaø h2γ laø nhöõng vaän toác maø ôû ñoù moät ñieän töû ñaët vaøo ban ñaàu treân möùc naêng löôïng ε naèm trong khoaûng giöõa giôùi haïn bôûi hai möùc naêng löôïng Fermi cuûa ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D: µ1 vaø µ2 seõ thoaùt vaøo trong nhöõng tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D. Theo nguyeân taéc, chuùng ta coù theå ño nhöõng ñaïi löôïng naøy baèng thöïc nghieäm, trong ñoù γ1 vaø γ2 ñoä roäng cuûa möùc naêng löôïng. Doøng ñieän trong moâ hình moät möùc naêng löôïng: Döôùi ñieàu kieän traïng thaùi khoâng caân baèng coá ñònh, khoâng coù doøng vaøo trong hoaëc ra khoûi keânh daãn, I1 + I2 = 0, töø bieåu thöùc (3.4a) vaø (3.4b) chuùng ta thu ñöôïc keát quaû: ( ) ( ) 21 2211 γγ εγεγ + + = ffN (3.5) Coù trung bình N ñieän töû vôùi traïng thaùi coá ñònh trong keânh daãn ôû vaøo khoaûng giöõa f1(ε) vaø f2(ε). Doøng ñieän chaïy qua treân moät möùc naêng löôïng ε cho moät spin ñöôïc xaùc ñònh theo bieåu thöùc: ( ) ( )[ ]εε γγ γγ 21 21 21 2 ff qIII I − + =−== h (3.6a) Bieåu thöùc (3.6a) treân laø bieåu thöùc doøng ñieän I cho moät spin. Chuùng ta caàn phaûi nhaân 2 doøng ñieän I, neáu coù hai traïng thaùi spin coù cuøng naêng löôïng: - 39 - ( ) ( )[ ]εε γγ γγ 21 21 212 ffqI − + = h (3.6b) Keát quaû ñôn giaûn treân ñöôïc söû duïng ñeå minh hoaï quaù trình doøng ñieän töû chaûy trong keânh daãn töø tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S ñeán tieáp xuùc ñieän cöïc maùng D. Ñaàu tieân, khoâng coù doøng ñieän töû neáu f1(ε) = f2(ε). Moät möùc naêng löôïng ε cuûa keânh daãn maø noù ôû döôùi caû hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2, coù f1(ε) = f2(ε) = 1 vaø seõ khoâng ñoùng goùp vaøo quaù trình taïo doøng ñieän I vaø khi ñoù doøng ñieän I baèng khoâng (I = 0), gioáng nhö moät möùc naêng löôïng ε cuûa keânh daãn ôû treân caû hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 vaø coù f1(ε) = f2(ε) = 0. Duy nhaát khi moät möùc naêng löôïng cuûa keânh daãn naèm trong khoaûng giöõa giôùi haïn kBT cuûa hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 coù f1(ε) ≠ f2(ε) vaø moät doøng ñieän töû chaûy trong keânh daãn töø tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S ñeán tieáp xuùc ñieän cöïc maùng D, doøng ñieän I khaùc khoâng (I ≠ 0). Tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S caàn bôm nhöõng ñieän töû vaøo trong keânh daãn, coá gaéng naâng soá ñieän töû trong keânh daãn leân töø N ñeán f1(ε). Trong khi ñoù, tieáp xuùc ñieän cöïc maùng D keùo nhöõng ñieän töû ra khoûi keânh daãn coá gaéng haï soá ñieän töû N trong keânh xuoáng ñeán f2(ε). Hieäu öùng maïng löôùi laø moät söï di chuyeån lieân tuïc cuûa nhöõng ñieän töû töø tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S xuyeân qua keânh daãn ñeán tieáp xuùc ñieän cöïc maùng D töông öùng vôùi doøng ñieän I trong maïch ngoaøi. Hình 3.5. Söï hình thaønh doøng ñieän qua keânh daãn vôùi moät möùc naêng löôïng ε [32] - 40 - Nhö vaäy, chæ coù nhöõng möùc naêng löôïng ε cuûa keânh daãn naèm trong khoaûng giöõa giôùi haïn bôûi hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 cuûa tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D coù f1(ε) ≠ f2(ε) laø ñoùng goùp vaøo quaù trình taïo neân doøng I trong maïch ngoaøi. Caên cöù vaøo möùc naêng löôïng E = ε, söï môû roäng γ1, γ2 vaø nhöõng möùc naêng löôïng Fermi µ1, µ2 cuûa hai tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D, chuùng ta coù theå giaûi phöông trình trong bieåu thöùc (3.6) cho doøng ñieän I, neáu chuùng ta khoâng xem xeùt ñeán nhöõng hieäu öùng thay ñoåi ñieän tích trong nhöõng tính toaùn. Bôûi theá, chuùng ta seõ theâm moät ñieän theá U phuï thuoäc vaøo söï thay ñoåi soá ñieän töû töø giaù trò 2f0(µ), vôùi f0(µ) laø haøm Fermi töông öùng vôùi möùc naêng löôïng Fermi µ trong traïng thaùi caân baèng. Moät moâ hình moät möùc rôøi raïc ñôn giaûn caàn thieát ñeå moâ taû nhieàu tính chaát vaät lyù cuûa söï truyeàn daãn xuyeân qua keânh daãn ñöôïc gheùp noái ñeán nhöõng tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D. Chuùng ta coù theå cho raèng möùc naêng löôïng ε nhö möùc keânh daãn gaàn ngang vôùi möùc naêng löôïng Fermi µ. Möùc naêng löôïng Fermi µ naèm trong daûi naêng löôïng giöõa HOMO vaø LUMO, vaø ñoä daãn ñöôïc xaùc ñònh bôûi εµ − vôùi ε töông öùng möùc HOMO hoaëc möùc LUMO. Doøng ñieän töông öùng xuaát hieän khi moät möùc keânh daãn ñöôïc di chuyeån vaøo trong khoaûng giöõa giôùi haïn bôûi hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 cuûa tieáp xuùc ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D. 3.1.3. Tác ñộng của ñiện thế ngoài. Nhöõng ñieän theá ngoaøi ñöôïc aùp vaøo nhöõng ñieän cöïc (ñieän cöïc nguoàn S, maùng D vaø coång G) laøm thay ñoåi ñieän theá tónh ñieän trong keânh daãn vaø nhöõng möùc naêng löôïng. Linh kieän moät möùc vôùi möùc naêng löôïng Fermi µ cuûa hai tieáp xuùc ôû - 41 - traïng thaùi caân baèng ñöôïc xaùc ñònh ôû möùc cao hôn möùc naêng löôïng E = ε khoâng lôùn laém ñöôïc theå hieän nhö hình 3.6. Hình 3.6. Moâ hình transistor moät möùc trong traïng thaùi caân baèng [32] Khi aùp vaøo moät ñieän theá VD giöõa ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D taïo neân söï cheânh leäch giöõa hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 laø µ1 – µ2 = qV. Doøng ñieän töû chæ chaûy trong keânh daãn khi möùc naêng löôïng ε naèm trong khoaûng giôùi haïn bôûi hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 và phuï thuoäc vaøo söï dòch chuyeån cuûa möùc naêng löôïng ε, coù nhöõng khaû naêng khaùc nhau: Hình 3.7. Khi ñieän theá keânh daãn naèm giöõa ñieän theá ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D [32] - 42 - Khi ñặt nhöõng ñieän theá döông vaø ñieän theá aâm vào ñiện cực cổng G (chuù yù raèng giaû thieát ñieän theá ñieän cöïc nguoàn S laø khoâng thay ñoåi, trong khi ñieän theá ñieän cöïc maùng D thay ñoåi). Möùc naêng löôïng trong keânh daãn bị dịch chuyển naèm trong khoaûng giôùi haïn bôûi hai möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2, doøng ñieän töû seõ chaûy trong keânh daãn tùy theo chieàu phaân cöïc ñieän theá (V > 0 hoaëc V < 0), taïo neân dòng ñiện chạy qua kênh dẫn. Hình 3.8. Möùc naêng löôïng trong keânh daãn dòch chuyeån theo ñieän theá aùp vaøo ñieän cöïc coång G vaø khoâng bò aûnh höôûng bôûi ñieän theá ñieän cöïc maùng D [32] Doøng ñieän töû seõ chaûy trong keânh daãn vôùi V > 0, nhöng khoâng vôùi V < 0, taïo neân nhöõng ñaëc tröng doøng – theá gioáng nhö chænh löu. Neáu keânh daãn phaân töû ñöôïc caùch ñieän, chuùng ta coù theå giaûi phöông trình Laplace ñeå tính ñieän theá beân trong keânh daãn: ( ) 0. =∇∇ Vrε Và tuyø thuoäc vaøo nhöõng ñieàu kieän biên : V = 0 (ñieän cöïc nguoàn S), V = VG (ñieän cöïc coång G) vaø V = VD (ñieän cöïc maùng). - 43 - Trong ñoù: εr laø haèng soá ñieän moâi tương ñối của lớp caùch ñieän giöõa ñieän cöïc coång G vaø keânh daãn phaân töû. Coù theå tröïc quan hoaù phöông trình Laplace döôùi daïng moâ hình maïch ñieän dung ñöôïc trình baøy treân hình 3.9, neáu coi keânh daãn CNT nhö moät ñieåm ñôn vaø boû qua baát kyø söï bieán ñoåi naøo veà ñieän theá beân trong noù. ðieän theá trong keânh daãn thu ñöôïc bôûi vieäc nhaân ñieän theá tónh ñieän V vôùi ñieän tích cuûa ñieän töû (– q), ñieän theá Laplace ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: ( ) ( )D E D G E G L qVC CqV C CU −+−= (3.7) Trong ñoù: CE = CS + CG + CD laø ñieän dung toång coäng vaø UL laø ñieän theá Laplace ñöôïc tính töø phöông trình Laplace, boû qua baát kyø söï thay ñoåi naøo veà ñieän tích cuûa ñieän töû, coù quaù ít traïng thaùi ñieän töû trong daûi naêng löôïng xung quanh µ1 vaø µ2. Maët khaùc, khi coù moät thay ñoåi ∆ρ cuûa maät ñoä ñieän töû trong keânh daãn caàn giaûi phöông trình Poisson cho ñieän theá: ( ) 0. ερε ∆−=∇∇ Vr (3.8) Hình 3.9. Moâ hình maïch ñieän dung ñôn giaûn cho ñieän theá Laplace (UL) cuûa vuøng tích cöïc ñaùp ứng laïi ñieän theá ñieän cöïc coång VG vaø ñieän theá cöïc maùng VDS ñöôïc aùp vaøo töø beân ngoaøi [32] - 44 - Ñieän theá thöïc teá U coù theå khaùc vôùi ñieän theá Laplace UL neáu coù maät ñoä traïng thaùi ñaùng keå trong daûi naêng löôïng xung quanh µ1 vaø µ2. Ñieän dung toång ñöôïc bieåu thò laø CE. Döôùi daïng moâ hình maïch ñieän dung, coù theå vieát söï thay ñoåi ñieän tích nhö laø toång cuûa nhöõng ñieän tích treân ba tuï ñieän: – q∆N = CSV + CG(V – VG) + CD(V – VD) (3.9) Nhö vaäy, naêng löôïng ñieän theá beân trong keânh daãn U = – qV chính laø toång cuûa ñieän theá Laplace UL vaø moät soá haïng tyû leä cuûa söï thay ñoåi soá ñieän töû: N C qUU E L ∆+= 2 (3.10) Haèng soá EC qU 2 0 = laø naêng löôïng ñieän tích cuûa ñieän töû ñôn. Bieåu thöùc (3.10) cho bieát söï thay ñoåi naêng löôïng ñieän theá beân trong keânh daãn phuï thuoäc vaøo moät ñieän töû theâm vaøo vaø ñöôïc goïi laø naêng löôïng ñieän tích cuûa ñieän töû ñôn. Söï thay ñoåi soá ñieän töû ∆N = N – N0 ñöôïc xaùc ñònh qua moái quan heä vôùi soá ñieän töû N0 luùc ñaàu trong keânh daãn phaân töû, töông öùng vôùi naêng löôïng möùc ε ñöôïc bieát. Söï phaân boá tự tương thích: Ñoái vôùi linh kieän ñieän töû phaân töû, hieäu öùng cuûa ñieän theá U seõ naâng maät ñoä traïng thaùi DOS treân möùc naêng löôïng. Soá ñieän töû N vaø doøng ñieän I cho moät möùc naêng löôïng coù tính ñeán hieäu öùng môû roäng: ( ) ( ) ( ) 21 2211 γγ γγ ε + + −= ∫ +∞ ∞− EfEfUEDdEN (3.11) vaø: ( ) ( ) ( )[ ]EfEfUEDdEqI 21 21 212 − + −= ∫ +∞ ∞− γγ γγ pi ε h (3.12) Trong bieåu thöùc (3.11) coù ñieän theá U xuaát hieän ôû veá phaûi, noù laø moät haøm soá cuûa soá ñieän töû N xuyeân qua trong haøm töông quan tónh ñieän ôû bieåu thöùc (3.9). - 45 - Ñieàu ñoù yeâu caàu moät thuaät toaùn “self – consistent” (“töï töông thích”) laø lôøi giaûi cuûa hai phöông trình trong moät voøng laëp ñöôïc theå hieän trong hình 3.10. Hình 3.10. Quá trình laëp cho vieäc tính toaùn soá ñieän töû N vaø ñieän theá U trong phöông phaùp “self – consistent” [32] Baét ñaàu vôùi söï phoûng ñoaùn cho ñieän theá U, töø ñoù tính soá ñieän töû N töø bieåu thöùc (3.11) vôùi maät ñoä traïng thaùi DOS laø Dε(E) ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc (3.9), tính toaùn U thích hôïp töø bieåu thöùc (3.9), vôùi ñieän theá Laplace UL ñöôïc xaùc ñònh bôûi bieåu thöùc (3.8) vaø so saùnh vôùi giaù trò U ñaõ phoûng ñoaùn ban ñaàu. Neáu giaù trò U môùi naøy khoâng gaàn vôùi söï phoûng ñoaùn ban ñaàu xem laïi söï phoûng ñoaùn cuûa chuùng ta cho vieäc söû duïng giaûi thuaät thích hôïp: (3.13) Trong ñoù: α laø moät soá döông nhoû hôn 1 (α < 1) ñöôïc ñieàu chænh caøng lôùn caøng toát. Quaù trình ñöôïc laëp ñi laëp laïi cho ñeán khi chuùng ta tìm thaáy moät ñieän theá N → U , bieåu thöùc (3.9) U → N , bieåu thöùc (3.11) Doøng I , bieåu thöùc (3.12) Vaän chuyeån Tónh ñieän ( )00 UUUU Cn −+= α Söï phoûng ñoaùn môùi Söï phoûng ñoaùn cuõ Tính toaùn - 46 - U môùi gaàn vôùi giaù trò ñieän theá U trong söï phoûng ñoaùn ban ñaàu, doøng ñieän I coù theå ñöôïc tính töø bieåu thöùc (3.12). 3.1.4. ðieän dung löôïng töû hoaù ðieän theá U hieän thôøi beân trong keânh daãn hoaït ñoäng coù moät vai troø quan troïng trong vieäc xaùc ñònh hình daïng cuûa nhöõng ñöôøng ñaëc tröng doøng – theá. Taát nhieân, ñieàu naøy ñöôïc töï ñoäng hoaù töø vieäc tính toaùn self – consistent ñaõ ñöôïc moâ taû ôû treân trong vieäc tính toaùn doøng ñieän I. Ñieän dung löôïng töû laø moät khaùi nieäm raát höõu ích giuùp cho söï hieåu bieát naøy. Thöïc hieän moät giaûi phaùp ñoàng thôøi cuûa hai moái töông quan giöõa ñieän theá U hieän thôøi beân trong keânh daãn vaø soá ñieän töû N: moái töông quan tónh ñieän (bieåu thöùc (3.9)) hoaøn toaøn tuyeán tính vaø moät moái töông quan vaän chuyeån (bieåu thöùc (3.11)) khoâng tuyeán tính. Coù theå ñònh nghóa moät ñieän theá U = UN laøm cho N = N0 vaø giöõ cho keânh daãn trung laäp chính xaùc: vaø: ( ) ( ) ( )∫ +∞ ∞− + + −= 21 2211 0 γγ γγ ε EfEfUEDdEN N (3.14) Baát kyø söï taêng theâm naøo cuûa ñieän theá U beân trong keânh daãn cuõng seõ naâng nhöõng möùc naêng löôïng leân cao hôn vaø giaûm bôùt soá ñieän töû N. Trong khi ñoù, söï haï thaáp ñieän theá U seõ haï thaáp hôn nhöõng möùc naêng löôïng vaø laøm taêng soá ñieän töû N. Nhö vaäy, coù nhöõng cheânh leäch nhoû töø ñieàu kieän trung laäp, coù theå vieát: vaø: ( ) 20 q UUC NNN NQ − ≈−=∆ (3.15) Trong ñoù: NUU Q dU dNqC =       −≡ 2 (3.16) goïi laø ñieän dung löôïng töû, noù phuï thuoäc vaøo maät ñoä traïng thaùi xung quanh phaïm vi naêng löôïng quan taâm. - 47 - ( ) QE NQLE N E Q L CC UCUC U UU C C UU + + =⇒ −+= (3.17) Ñieàu ñoù chæ ra raèng, ñieän theá U hieän thôøi beân trong keânh laø trung gian giöõa ñieän theá Laplace UL vaø ñieän theá trung laäp UN, phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa ñieän dung tónh ñieän CE vaø ñieän dung löôïng töû CQ, ñöôïc trình baøy trong hình 3.11. Hình 3.11. Ñieän theá U hieän thôøi beân trong keânh daãn ñöôïc ñieàu khieån bôûi nhöõng ñieän theá ñieän cöïc coång VG, ñieän thế cöïc maùng VD vaø ñieän thế cöïc nguoàn VS xuyeân qua ba tuï ñieän [32] Moät keânh daãn vôùi maät ñoä traïng thaùi thaáp trong phaïm vi naêng löôïng quan taâm coù moät CQ thaáp laøm cho U = UL nhö mong ñôïi ñối với chất cách ñiện. Moät keânh daãn vôùi maät ñoä traïng thaùi cao trong phaïm vi naêng löôïng quan taâm coù CQ cao laøm cho U = UN ñối với kim loaïi. Moái töông quan giöõa ñieän dung löôïng töû CQ vaø maät ñoä traïng thaùi: Thieát laäp moái töông quan giöõa ñieän dung löôïng töû CQ vaø maät ñoä traïng thaùi, chuùng ta coù theå vieát bieåu thöùc (3.11) döôùi daïng: - 48 - ( ) ( ) ( )∫ +∞ ∞− + −++−+ = 21 202101 γγ µγµγ ε UEfUEfEDdEN (3.18) Söû duïng bieåu thöùc (3.16) cho ñieän dung löôïng töû CQ: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −++−+= 22112 µµ NTNTQ UEFEDUEFEDdEqC (3.19) Trong ñoù: ( ) ( ) 21 1 1 γγ γ ε + = EDED vaø ( ) ( ) 21 2 2 γγ γ ε + = EDED Khaùi nieäm haøm môû roäng nhieät FT(E) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: ( ) ( TkETkTk E TkEd fd EF BBBB T 2cosh 1 4 1 2 sech 4 1 2 20 =      =−≡ (3.20) Giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm môû roäng nhieät FT(E) laø [1/(4kBT)], trong khi chieàu roäng cuûa noù caân xöùng vôùi kBT. Ñieàu naøy coù nghóa laø taïi nhieät ñoä thaáp haøm môû roäng nhieät FT(E) trôû neân raát roäng, coøn khi duy trì moät vuøng khoâng thay ñoåi cuûa moät vaø coù theå ñöôïc lyù töôûng hoaù gioáng nhö moät haøm delta: FT(E) → δ(E) thì noù trôû neân raát heïp. Töø ñoù cho pheùp chuùng ta ñôn giaûn hoaù bieåu thöùc ñieän dung löôïng töû hoùa CQ: ( ) ( ) ][ 22112 NNQ UDUDqC −+−≈ µµ (3.21) Bieåu thöùc (3.21) chæ phuø hôïp taïi nhieät ñoä thaáp, vaø chæ ra raèng ñieän dung löôïng töû hoùa CQ phuï thuoäc vaøo söï thay ñoåi maät ñoä traïng thaùi xung quanh möùc naêng löôïng Fermi µ1 vaø µ2 gaây ra bôûi ñieän theá UN. Hieäu öùng nhieät ñieän: Doøng ñieän töû chaûy trong keânh daãn khi moät ñieän theá aùp vaøo giöõa hai tieáp xuùc, trong tröôøng hôïp naøy, doøng ñieän phuï thuoäc vaøo maät ñoä nhöõng traïng thaùi gaàn NUU Q dU dNqC =       −≡ 2 - 49 - möùc naêng löôïng Fermi vaø noù khoâng quan troïng nöõa khi möùc naêng löôïng Fermi µ1 trong traïng thaùi caân baèng naèm thaáp hôn (loaïi n) hoaëc cao hôn (loaïi p) cuûa maät ñoä nhöõng traïng thaùi DOS ñöôïc theå hieän treân hình 3.12a vaø hình 3.12b. Hình 3.12. Sự ï truyeàn daãn loaïi n vaø loaïi p phuï thuoäc vaøo theá ñieän hoaù naèm treân mức hay döôùi mức cuûa maät ñoä traïng thaùi DOS [32] 3.1.5. Nhöõng phöông trình NEGF cho nhieàu möùc naêng löôïng Moâ hình moät möùc ñaõ moâ taû cho vieäc xaùc ñònh nhöõng khaùi nieäm quan troïng nhö: doøng ñieän xuyeân qua moät keânh daãn, söï ñònh vò cuûa möùc naêng löôïng Fermi µ trong traïng thaùi caân baèng coù lieân quan ñeán maät ñoä traïng thaùi D(E), söï môû roäng cuûa möùc naêng löôïng γ1 vaø γ2 phuï thuoäc vaøo söï gheùp noái ñeán nhöõng tieáp xuùc 1 vaø tiếp xúc 2 cuûa ñieän cöïc nguoàn S vaø ñieän cöïc maùng D, Tuy nhieân, keânh daãn cuûa nhöõng linh kieän coù kích thöôùc nanô thöïc teá coù nhieàu möùc naêng löôïng thöôøng ñöôïc môû roäng vaø choàng cheùo leân nhau. Lyù thuyeát haøm Green traïng thaùi khoâng caân baèng nhieàu möùc NEGF (Multi – level Non – Equilibrium Green’s Function) ñöôïc mở rộng cho linh kieän nhieàu möùc naêng löôïng. - 50 - Trong moâ hình chung tính doøng ñieän qua transistor coù kích thöôùc nanô cho moät keânh daãn phaân töû coù nhieàu möùc naêng löôïng ‘n’ coù keå ñeán hieäu öùng môû roäng, taát caû ñöôïc thay theá bôûi moät ma traän töông öùng coù kích thöôùc (n x n): Bảng 3.1: Các ñại lượng thay thế trong mô hình nhiều mức năng lượng mở rộng ðại lượng Thay thế Möùc naêng löôïng ñôn ε Ma traän Hamiltonian [H] Möùc naêng löôïng mở rộng γ1,2 Ma traän môû roäng [Γ1,2 (E)] Maät ñoä traïng thaùi 2piD(E) Haøm phoå [A(E)] Giaù trò 2pin(E) Haøm töông quan ñieän töû [Gn(E)] Giaù trò 2pip(E) Haøm töông quan loã troáng [Gp(E)] Ñieän theá U Ma traän ñieän theá self – consistent [U] Soá ñieän töû N Ma traän maät ñoä [ ρ ] = ∫ (dE/2pi)[Gn(E)] Taùn xaï vaøo γiin Ma traän taùn xaï vaøo [ Σiin(E) ] Taùn xaï ngoaøi γiout Ma traän taùn xaï ra [ Σiout(E) ] Hình 3.13. Moâ hình ma traän chung döïa treân phöông phaùp NEGF nhiều mức năng lượng. Tieáp xuùc ‘S’ dieãn taû quaù trình taùn xaï [32] - 51 - 3.2. XÂY DỰNG THUẬT TOÁN NEGF CHO LINH KIỆN CNTFET 3.2.1. Hàm green không cân bằng (NEGF) Thuật toán hàm Green không cân bằng (non-equilibrium Green’s function – NEGF) cho phép ta có cách tiếp cận lí tưởng là do: (1) Có thể dễ dàng thực hiện mô tả các linh kiện ở mức ñộ nguyên tử. (2) Giải quyết ñược các ñường bao mở. (3) Mô phỏng ñược một số hiện tượng (tán xạ không ñàn hồi, ñặc trưng AC, phát sáng). Hình 3.1 tóm tắt sơ lược làm thế nào ñể áp dụng thuật toán NEGF vào một transistor. Kênh của transistor có thể là một tấm silic, ống nanô, hay một phân tử ñơn ñược nối với cực nguồn và máng. ðộ dẫn của kênh ñược ñiều biến nhờ cực cổng. Quy trình từng bước cho thuật toán NEGF ñược mô tả như sau: 1. Xác ñịnh nhóm thông số cơ bản phù hợp và viết ma trận Hamilton H cho kênh ñã bị cô lập. Thành phần ñẳng thế là một phần của ma trận Hamilton [H] và nằm trong thành phần chéo của [H]. Kích thước NxN của ma trận ñược xác ñịnh bằng tổng số hàm cơ bản trong vùng kênh. 2. Tính các ma trận năng lượng riêng Σ1, Σ2 và ΣS. Các ma trận này mô tả tiếp xúc giữa kênh dẫn với cực nguồn, cực máng và các quá trình tiêu tán (tán xạ, kết cặp electron-phonon) tương ứng. Mức năng lượng nguồn và máng có thể tính sử dụng hàm ñệ quy. Tại giới hạn ñạn ñạo, ΣS = 0. Ở ñây ta vẫn xét ñến ñại lượng này khi chiều dài ống nhỏ hơn 20 nm, khi ñó ΣS ≠ 0. 3. Tính hàm Green [32]: 1 21 ])0[()( −+ Σ−Σ−Σ−−+= SHIiEEG (3.22) 0+: giá trị dương vi phân I : ma trận ñồng nhất Lưu ý rằng các hàm năng lượng là ñộc lập. - 52 - 4. Xác ñịnh các ñại lượng vật lý cần quan tâm trong ma trận hàm Green. Ví dụ, mật ñộ ñiện tử có thể tính ñược bằng cách tích hợp các nhóm chéo của hàm tương quan theo năng lượng như sau: Gn (E) = G [ Γ1 f1(E) + Γ2 f2 (E) + Σsin] G+ (3.23) Trong ñó, f1,2 là hàm Fermi cân bằng của hai ñiện cực, Γ1,2 = i ( Σ1,2 – Σ1,2 +) là hàm mở rộng của cực 1 và 2 và ΣSin là hàm tán xạ nội của quá trình tiêu tán [30]. 5. Phương trình chuyển ñổi NEGF ñược giải cùng với phương trình Poisson và lặp ñi lặp lại quá trình này cho ñến khi ñạt ñến sự tự ổn ñịnh. Dòng tại cực nguồn có thể ñược tính theo công thức sau: IS =(4q/h) [ ]∫+∞ ∞− Γ−Σ nGAfTracedE 111. (3.24) Trong ñó, A = i(G −G+ ) là hàm phổ và hệ số 4 có ñược là do sự suy giảm spin xuống 2 và giảm vùng thung lũng xuống 2 trong dải năng lượng của ống nanô carbon. Một kênh CNT với chiều dài hàng chục nanômét chứa vài nghìn nguyên tử carbon. Ta có thể tính hàm Green [G] bằng cách ñảo trực tiếp ma trận Ginv = SHIiE Σ−Σ−Σ−−+ + 21)0( (3.25) 3.2.2. ðặc trưng linh kiện ở giới hạn ñạn ñạo ðiện tử chuyển ñộng qua CNT ñược xem là rất ít va chạm vào các nút mạng hay những ñiện tử khác. Khi ñó, ñộng năng của ñiện tử gần như ñược bảo toàn trong suốt quãng ñường