Luận án Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng

giả đề xuất các phương pháp chỉnh lặpNewton và Gauss-Newton giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. Ngoài chứng minh sự hội tụ, các tác giả cũng đánh giá được tốc độ hội tụ với các điều kiện nguồn thành phần đặt lên từng toán tử. Rất gần đây, C. V. Chung và P. K. Anh [15] đã đề xuất phương pháp lai ghép song song bằng cách kết hợp kĩ thuật lặp Mann và phương pháp CQ giải bài toán CFPP cho một họ các ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Banach. Luận án này nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp kết hợp giải các bài toán dạng GCFP trong không gian Hilbert và Banach. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia thành bốn chương. Kết quả chính tập chung trong các Chương 2, 3 và 4. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ được sử dụng trong luận án. Cụ thể, chương này nhắc lại các tính chất hình học của không gian Hilbert và Banach, phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach và các kĩ thuật hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh. Sau đó, một số kết quả quan trọng về bài toán FPP, bài toán VIP và bài toán EP được trình bày lại một cách hệ thống. Cuối chương, chúng tôi đề cập tới mối liên hệ giữa các bài toán đã nêu và một số bất đẳng thức sơ cấp sử dụng trong chứng minh sự hội tụ của các thuật toán đề xuất trong luận án. Phần đầu tiên của Chương 2, chúng tôi mở rộng các kết quả trong [12,13] cho hệ phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach. Về hình thức, sự mở rộng này rất tự nhiên, tuy nhiên chứng minh sự hội tụ của các phương pháp đề xuất là khá phức tạp trong không gian Banach. Trong chứng minh sự hội tụ của các phương pháp đề xuất, ngoài các tính chất của toán tử J - đơn điệu và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc (phi tuyến) J : X → X∗, ta còn sử dụng nhiều tính chất hình học của không gian Banach mà vốn dĩ các đánh giá của chúng là rất phức 21 tạp. So sánh với công bố [12], chúng tôi xét thêm trường hợp dữ liệu có nhiễu và đề xuất phương pháp chứng minh sự hội tụ đơn giản hơn. Cụ thể, chúng tôi trình bày và chứng minh sự hội tụ của các phương pháp: • Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (IPIRM). • Phương pháp chỉnh lặp song song hiện (EPIRM). Phần cuối Chương 2, chúng tôi đề xuất một số phương pháp lai ghép tuần tự và song song giải bài toán CFPP cho một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận). Ý tưởng của phương pháp là sử dụng kĩ thuật lặp Mann [63] hoặc Halpern [47], kĩ thuật phân rã song song [15] và phương pháp lai ghép đơn điệu (phương pháp chiếu co). Sử dụng phương pháp lai ghép đơn điệu ta dễ dàng chứng minh sự hội tụ của phương pháp đề xuất mà không cần tính bán đóng của toán tử, điều kiện Opial và tính chất Kadec-Klee của không gian Banach. Hơn nữa, phương pháp này có thể sử dụng giải hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không Banach. Chương 3 đề cập tới các bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp, tức là tìm nghiệm chung của ít nhất hai họ bài toán dạng GCFP trong không gian Hilbert và Banach. Trong chương này, chúng ta tập trung vào ba bài toán: Bài toán CFPP, bài toán CSVIP và bài toán CSEP. Đối với bài toán VIP, kĩ thuật chính được sử dụng là phép chiếu gradient. Đối với bài toán FPP, ngoài hai kĩ thuật lặp Mann vàHalpern chúng tôi đưa thêm phương pháp lặp song song tìm tổ hợp lồi của các xấp xỉ thành phần. Trong khi đó, bốn phương pháp PPM, EGM, GLM (Gradient- Like Method) và phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo được sử dụng cho bài toán EP. Các kĩ thuật cho từng bài toán trên được kết hợp lại theo một trình tự nhất định để thu được thuật toán. Khi đó, dãy lặp sinh bởi thuật toán đề xuất hội tụ mạnh tới nghiệm chung gần điểm xuất phát x0 nhất. Chương 4 đề cập tới bài toán tìm nghiệm chung của các bài toán EP tổng quát hơn, được gọi là bài toán cân bằng tách (SEP - Split Equilibrium Problem). Bài toán SEP là tìm một nghiệm của bài toán EP trong không gian này, có ảnh qua một ánh xạ tuyến tính bị chặn, là nghiệm của bài toán EP trong không gian khác. Sử dụng các kĩ thuật trong Chương 3, chúng tôi thiết kế hai thuật toán hội tụ yếu và mạnh tới nghiệm của bài toán SEP. Một ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức 22 biến phân tách (SVIP - Split Variational Inequality Problem) cũng được trình bày trong chương này. Cuối mỗi chương, chúng tôi minh họa một số kết quả thử nghiệm cho các phương pháp đề xuất và so sánh với các phương pháp đã biết khác. Chú ý rằng, các phương pháp lai ghép, nói chung, là không có đánh giá tốc độ hội tụ. Do đó, chúng ta không có tiêu chuẩn dừng hiệu quả. Để minh họa ưu điểm của các thuật toán, chúng tôi thường lấy các bài toán biết trước nghiệm. Tuy nhiên, chúng tôi cũng khảo sát một vài ví dụ số trong cuối Chương 3 khi bài toán chưa biết nghiệm. Các kết quả của luận án này đã được công bố trong 10 bài báo [1-10] trong danh mục công trình khoa học trang 140-141, trong đó 9 bài đã được đăng và 1 bài đã được nhận đăng trong các tạp chí chuyên ngành có uy tín, và cũng được báo cáo tại: 1. Xêmina của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng - Khoa Toán Cơ Tin học - Trường ĐH KHTN. Xêmina liên cơ quan ĐHKHTN, ĐHBK và Viện nghiện cứu cao cấp về Toán. 2. Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/8/2013. 3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, 23-25/4/2014 và lần thứ 13, Ba Vì, 23-25/4/2015. 4. International Conference for Applications of Mathematics, Saigon Univer- sity, Ho Chi Minh City, December 19-20, 2013. 5. Workshop on Equilibrium and Fixed Point Problems: Theory and Algo- rithms, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics (VIASM), Hanoi, Vietnam, August 25-29, 2014. 6. 6th International Conference on High Performance Scientific Computing. Modeling, Simulation andOptimization of Complex Processes, Hanoi, Viet- nam, March 16-20, 2015. 7. International Conference on Mathematical Education Vietnam 2015 (ICME Vietnam 2015), Hanoi, Vietnam, December 19-20, 2015. 23 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ được sử dụng trong ba chương tiếp theo. Phần đầu chương trình bày các tính chất hình học của không gian Banach và Hilbert có sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phép chiếu metric và phép chiếu suy rộng. Các mục tiếp theo liên quan tới lý thuyết phương trình toán tử trong không gian Banach và các kĩ thuật hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh. Phần cuối chương giới thiệu về bài toán FPP, bài toán VIP, bài toán EP và mối liên hệ giữa chúng. Các khái niệm và kết quả được trình bày trong chương này chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 11, 41]. 1.1 Hình học không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn đều Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu của X. Trong luận án này, để đơn giản, ta dùng chung một kí hiệu ||.|| cho chuẩn trong cả hai không gian X và X∗. Với mỗi x∗ ∈ X∗ và x ∈ X, ta viết x∗(x) bởi 〈x∗, x〉 hoặc 〈x, x∗〉 (tích đối ngẫu). Nếu X = H là không gian Hilbert thì tích đối ngẫu chính là tích vô hướng 〈., .〉 và cảm sinh chuẩn tương ứng ||.||. Cho {xn} là một dãy trong X, khi đó dãy {xn} được gọi là hội tụ (hội tụ mạnh hoặc hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X nếu ||xn− x|| → 0 khi n→ ∞ và được viết là xn → x. Dãy {xn} được gọi là hội tụ yếu tới x, kí hiệu xn ⇀ x nếu 〈x∗, xn − x〉 → 0 khi n → ∞ với mọi x∗ ∈ X∗. Mọi dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, điều ngược lại nói chung không đúng. Mọi dãy hội tụ yếu đều bị chặn. Không gian Banach X được gọi là phản xạ nếu X∗∗ = X. Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là 24 1) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S(0, 1) = {x ∈ X : ||x|| = 1} lồi chặt, tức là với mọi x, y ∈ S(0, 1), x 6= y thì ||x+ y|| < 2. 2) lồi đều nếu với mọi e > 0, tồn tại δ = δ(e) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X với ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤ 1, ‖x− y‖ = e thì ‖x+ y‖ ≤ 2(1− δ). 3) trơn nếu giới hạn lim t→0 ‖x+ ty‖ − ‖x‖ t (1.1) tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1). Mô-đun lồi của X được xác định bởi δX(e) = inf { 1− ‖x− y‖ 2 : ‖x‖ = ‖y‖ = 1, ‖x− y‖ = e } . Mô-đun trơn của X xác định bởi ρX(τ) = sup {‖x+ y‖+ ‖x− y‖ 2 − 1 : ‖x‖ = 1, ‖y‖ = τ } . Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu lim τ→0 hX(τ) := lim τ→0 ρX(τ) τ = 0. Chú ý rằng nếu X là không gian Banach thực trơn đều và lồi đều thì mô-đun lồi δX là hàm tăng, liên tục trong đoạn [0, 2] (xem, [11]). X lồi đều khi và chỉ khi δX(e) > 0 với mọi 0 1, không gian Banach X được gọi là p-lồi đều nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho δX(e) ≥ cep. Ta biết rằng, các không gian Lp, lp vàWpm là p-lồi đều nếu p > 2 và 2-lồi đều nếu 1 < p ≤ 2. Không gian Hilbert H là trơn đều và 2-lồi đều. 1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu và một số tính chất Cho X là không gian Banach thực. Ánh xạ J : X → 2X∗ xác định bởi J(x) = { f ∈ X∗ : 〈 f , x〉 = ‖x‖2 = ‖ f ‖2 } được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Sau đây là một số tính chất hình học Banach của X và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó [11]: (i) Nếu X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt thì J−1 liên tục yếu ∗; 25 (ii) Nếu X là không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn thì J : X → 2X∗ là đơn trị, đơn ánh; (iii) Nếu X là không gian Banach trơn đều thì J liên tục trên mỗi tập bị chặn của X; (iv) Không gian Banach X trơn đều khi và chỉ khi X∗ lồi đều. (v) Không gian Banach X lồi đều có tính chất Kadec-Klee, tức là với mỗi dãy {xn} ⊂ X, nếu xn ⇀ x ∈ X và ‖xn‖ → ‖x‖ thì xn → x. Trong luận án này ta luôn giả thiết ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X∗, thỏa mãn điều kiện 〈x, J (x)〉 = ‖x‖2 = ‖J (x)‖2 , ∀x ∈ X, là đơn trị. Giả thiết này thỏa mãn nếu X là không gian Banach trơn. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach X được gọi là có tính chất xấp xỉ nếu tồn tại một họ các không gian con hữu hạn chiều lồng nhau {Xn} và các phép chiếu Pn : X → Xn, sao cho ||Pn|| = 1 với mọi n ≥ 0 và ∪nXn trù mật trong X. Dễ dàng thấy rằng, các không gian Lp, lp vàWpm đều có tính chất xấp xỉ [11]. Các kết quả sau đây được sử dụng để thiết lập sự hội tụ của các phương pháp chỉnh lặp song song hiện và ẩn trong phần đầu của Chương 2 Bổ đề 1.1. [11] Giả sử X là không gian Banach thực trơn đều. Khi đó, với mọi x, y ∈ X sao cho ‖x‖ ≤ R, ‖y‖ ≤ R, ta có ‖J(x)− J(y)‖ ≤ 8RhX ( 16L ‖x− y‖ R ) , trong đó L là hằng số Figiel, (1 < L < 1.7). Bổ đề 1.2. [11] Giả sử X là không gian Banach thực trơn đều. Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có ‖x‖2 ≤ ‖y‖2 + 2 〈x− y, J(x)〉 ≤ ‖y‖2 + 2 〈x− y, J(y)〉+ 2 〈x− y, J(x)− J(y)〉 . 26 Bổ đề 1.3. [11] Giả sử X là không gian Banach trơn đều. Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có 〈x− y, J(x)− J(y)〉 ≤ 8 ‖x− y‖2 + C (‖x‖ , ‖y‖) ρX(‖x− y‖), trong đó C (‖x‖ , ‖y‖) ≤ 4 max {2L, ‖x‖+ ‖y‖} . Bổ đề 1.4. [11] Giả sử X là không gian Banach trơn đều. Khi đó, với mọi x, y ∈ X, ta có 〈x− y, J(x)− J(y)〉 ≤ R2(‖x‖ , ‖y‖)ρX ( 4 ‖x− y‖ R(‖x‖ , ‖y‖) ) , trong đó R(‖x‖ , ‖y‖) = √ 2−1(‖x‖2 + ‖y‖2). Hơn nữa, nếu ‖x‖ ≤ R, ‖y‖ ≤ R thì 〈x− y, J(x)− J(y)〉 ≤ 2LR2ρX ( 4 ‖x− y‖ R ) . Bổ đề 1.5. [84] Nếu X là không gian Banach 2-lồi đều thì ||x− y|| ≤ 2 c2 ||Jx− Jy||, ∀x, y ∈ X, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X và 0 < c ≤ 1. Hằng số 1/c tốt nhất được gọi là hằng số 2-lồi đều của X. 1.1.3 Phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát Cho r là số thực dương, x0 ∈ X. Kí hiệu, B[x0, r] = {x ∈ X : ||x− x0|| ≤ r} là hình cầu đóng tâm x0 và bán kính r và B(x0, r) = {x ∈ X : ||x− x0|| < r} là hình cầu mở tâm x0 và bán kính r. Tương tự, S(x0, r) = {x ∈ X : ||x− x0|| = r} là mặt cầu tâm x0, bán kính r. Tập C trong không gian Banach X được gọi là: 1) bị chặn (giới nội) nếu tồn tại hình cầu B[x0, r] chứa C; 2) đóng (tương ứng, đóng yếu) nếu mọi dãy {xn} ⊂ C hội tụ (hội tụ yếu) tới x thì x ∈ C. Tập đóng bé nhất chứa C được gọi là bao đóng của C, kí hiệu là C¯; 3) compact tương đối (tương ứng, tương đối yếu) nếu mọi dãy vô hạn {xn} ⊂ C đều chứa một dãy con hội tụ (tương ứng, hội tụ yếu). Trong không gian Banach phản xạ, mọi tập bị chặn là compact tương đối yếu; 27 4) lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì đoạn thẳng [x, y] := {z = tx+ (1− t)y : t ∈ [0, 1]} ⊂ C. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C xác định bởi PCx = argmin {‖y− x‖ : y ∈ C} được gọi là phép chiếu (metric) từ H lên C. Vì C lồi đóng và khác rỗng nên PCx tồn tại và duy nhất. Sau đây là một số tính chất hình học của phép chiếu PC. Bổ đề 1.6. Giả sử PC là phép chiếu metric từ H lên tập con lồi đóng khác rỗng C. Khi đó (i) Với mọi x, y ∈ H, ta có 〈PCx− PCy, x− y〉 ≥ ‖PCx− PCy‖2 . (1.2) (ii) Với mọi y ∈ H, x ∈ C, ta có ‖x− PCy‖2 + ‖PCy− y‖2 ≤ ‖x− y‖2 . (1.3) (iii) z = PCx khi và chỉ khi 〈x− z, z− y〉 ≥ 0, ∀y ∈ C. (1.4) Phép chiếu metric PC trong không gian Hilbert là đơn điệu và không giãn. Trong Chương 3 khi nghiên cứu các phương pháp lai ghép trong không gian Ba- nach, chúng ta cần một số khái niệm và kết quả [11, 41] về phiếm hàm Lyapunov φ(x, y) và phép chiếu tổng quátΠC. Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng của không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn. Phiếm hàm Lyapunov φ : X × X → <+ được xác định bởi φ(x, y) = ‖x‖2 − 2 〈x, Jy〉+ ‖y‖2 , ∀x, y ∈ X. Từ định nghĩa của phiếm hàm φ, ta có (‖x‖ − ‖y‖)2 ≤ φ(x, y) ≤ (‖x‖+ ‖y‖)2 . (1.5) 28 Hơn nữa, phiếm hàm Lyapunov thỏa mãn đẳng thức φ(x, y) = φ(x, z) + φ(z, y) + 2 〈z− x, Jy− Jz〉 , x, y, z ∈ X. (1.6) Phép chiếu tổng quát ΠC : X → C được xác định bởi ΠC(x) = argmin y∈C φ(x, y). Trong không gian Hilbert, ta có φ(x, y) = ||x− y||2 và ΠC = PC. Ta có một số kết quả sau đây. Bổ đề 1.7. [9] Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng của không gian Banach X và ΠC : X → C là phép chiếu tổng quát từ X lên C. Khi đó (i) φ(x,ΠC(y)) + φ(ΠC(y), y) ≤ φ(x, y), ∀x ∈ C, y ∈ X; (ii) z = ΠC(x) khi và chỉ khi 〈z− y, Jx− Jz〉 ≥ 0, ∀y ∈ C; (iii) φ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. Bổ đề 1.8. [9] Cho X là không gian Banach trơn đều và lồi đều, {xn} và {yn} là hai dãy trong X. Nếu φ(xn, yn) → 0 và ít nhất một trong hai dãy {xn} hoặc {yn} bị chặn thì ‖xn − yn‖ → 0 khi n→ ∞. Bổ đề 1.9. [37] Cho X là không gian Banach lồi đều, r là số thực dương. Giả sử dãy {x1, x2, . . . , xN} ⊂ B[0, r] và dãy số thực dương λ1,λ2, . . . ,λN thỏa mãn ∑Ni=1 λi = 1. Khi đó, tồn tại hàm lồi, tăng chặt và liên tục g : [0, 2r) → [0,∞) với g(0) = 0 sao cho mọi i, j ∈ {1, 2, . . . ,N}, i < j,∥∥∥∥∥ N∑k=1λkxk ∥∥∥∥∥ 2 ≤ N ∑ k=1 λk ‖xk‖2 − λiλjg(||xi − xj||). Bổ đề 1.10. [55] Cho C là tập lồi đóng khác rỗng của không gian Banach trơn X, x, y, z ∈ X và λ ∈ [0, 1]. Khi đó, với mỗi số thực a cho trước, D := {v ∈ C : φ(v, z) ≤ λφ(v, x) + (1− λ)φ(v, y) + a} là tập lồi đóng. 29 Cho X là không gian Banach thực. Xét phiếm hàm V : X × X∗ → < xác định bởi V(x, x∗) = ||x||2 − 2 〈x, x∗〉+ ||x∗||2. Rõ ràng V(x, x∗) = φ(x, J−1x∗). Ta có đánh giá sau. Bổ đề 1.11. [9] Cho X là không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn với không gian đối ngẫu X∗. Khi đó V(x, x∗) + 2 〈 J−1x− x∗, y∗ 〉 ≤ V(x, x∗ + y∗), ∀x ∈ X và ∀x∗, y∗ ∈ X∗. 1.2 Phương trình toán tử trong không gian Banach 1.2.1 Các khái niệm liên tục của toán tử phi tuyến Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về tính liên tục và khả vi của toán tử. Cho X và Y là các không gian Banach. Xét toán tử A : X → Y, miền xác định của toán tử A, kí hiệu D(A) hoặc Dom(A), xác định bởi D(A) = {x ∈ X : A(x) 6= Ø} , và miền giá trị của A là R(A) = {A(x) : x ∈ D(A)} . Toán tử A được gọi là tuyến tính nếu 1) A(x+ y) = A(x) + A(y) và 2) A(αx) = αA(x) với mọi x, y ∈ D(A), α ∈ <. Định nghĩa 1.4. Toán tử A : X → Y được gọi là 1) liên tục tại x0 ∈ D(A) nếu A(x)→ A(x0) khi x → x0; 2) liên tục yếu theo tia hay h-liên tục (hemicontinuous) tại x0 nếu A(x0+ th) ⇀ A(x0) khi t→ 0+ với mọi h ∈ D(A) và x0 + th ∈ D(A); 3) bán liên tục (demicontinuos) tại x0 ∈ D(A) nếu A(x) ⇀ A(x0) khi x → x0; 4) liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số dương L sao cho ||A(x)− A(y)|| ≤ L||x− y|| với mọi x, y ∈ D(A); 30 5) compact trên tập Ω ⊂ D(A) nếu A biến mỗi tập giới nội của Ω thành tập compact tương đối trong Y; 6) hoàn toàn liên tục trên tập Ω ⊂ D(A) nếu A liên tục và compact trong Ω; 7) liên tục yếu theo dãy (sequentially weakly continuous) tại x0 ∈ D(A) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(A) sao cho xn ⇀ x0 thì A(xn) ⇀ A(x0) khi n→ ∞. Ta nói toán tử A có tính chất trên nếu nó thỏa mãn tính chất này tại mọi x0 ∈ D(A). Hiển nhiên, nếu A liên tục Lipschitz thì nó liên tục, nếu A liên tục thì bán liên tục, nếu A bán liên tục thì liên tục yếu theo tia. Chú ý rằng điều ngược lại nói chung là không đúng. Toán tử A được gọi là không giãn nếu nó liên tục Lipschitz với hằng số L = 1. Nếu A liên tục Lipschitz với hằng số L ∈ (0, 1) thì ta nói A là toán tử (ánh xạ) co. Định nghĩa 1.5. Toán tử A : X → Y được gọi là 1) đóng trên D(A) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(A) sao cho xn → x, A(xn)→ y khi n→ ∞ thì x ∈ D(A) và y = A(x); 2) đóng yếu trênD(A) nếu vớimọi dãy {xn} ⊂ D(A) sao cho xn ⇀ x, A(xn) ⇀ y khi n→ ∞ thì x ∈ D(A) và y = A(x); 3) bán đóng yếu trên D(A) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(A) sao cho xn ⇀ x, A(xn) → y hoặc xn → x, A(xn) ⇀ y khi n → ∞ thì x ∈ D(A) và y = A(x). 1.2.2 Toán tử khả vi Toán tử A được gọi là khả vi Gaˆteaux tại x nếu với mọi h ∈ X tồn tại giới hạn lim t→0 A(x+ th)− A(x) t = dA(x, h). Biểu thức dA(x, h) gọi là vi phân Gaˆteaux của A tại x. Nếu tồn tại một toán tử tuyến tính A′(x) : X → Y sao cho dA(x, h) = A′(x)h thì A′(x) gọi là đạo hàm Gaˆteaux của toán tử A tại điểm x. Toán tử A được gọi là khả vi Fre´chet tại x ∈ D(A) nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A′(x) : X → Y sao cho với mọi h ∈ X, ta có A(x+ h)− A(x) = A′(x)h+ω(x, h), 31 trong đó x+ h ∈ D(A) và lim ||h||→0 ||w(x, h)|| ||h|| = 0. Khi đó, A′(x)h và A′(x) tương ứng được gọi là vi phân Fre´chet và đạo hàm Fre´chet của toán tử A tại điểm x. Hiển nhiên, nếu A khả vi Fre´chet thì khả vi Gaˆteaux, ngược lại nếu A khả vi Gaˆteaux tại x và liên tục trong lân cận U(x) nào đó của x thì A khả vi Fre´chet tại x và đạo hàm Fre´chet và đạo hàm Gaˆteaux trùng nhau. 1.2.3 Phiếm hàm lồi và dưới vi phân của phiếm hàm lồi Phiếm hàm ϕ : X → < được gọi là lồi nếu ϕ(tx+ (1− t)y) ≤ tϕ(x) + (1− t)ϕ(y), (1.7) với mọi x, y ∈ D(ϕ) và t ∈ [0, 1]. Nếu đẳng thức trong (1.7) chỉ xảy ra khi x = y thì ta nói ϕ là lồi chặt. Nếu tồn tại một hàm tăng, liên tục γ : [0,∞)→ <,γ(0) = 0 sao cho ϕ(tx+(1− t)y) ≤ tϕ(x)+ (1− t)ϕ(y)− t(1− t)γ(||x− y||), ∀x, y ∈ D(ϕ), (1.8) thì ϕ gọi là lồi đều. Đặc biệt nếu γ(t) = ct2, c > 0 thì ϕ được gọi là lồi mạnh. Phiếm hàm ϕ được gọi là chính thường (proper functional) nếu tập M(ϕ) := {x ∈ D(ϕ) : ϕ(x) 6= +∞} 6= ∅. Phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng, dưới yếu) tại x0 ∈ D(ϕ) nếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(ϕ) và xn → x0 (tương ứng, xn ⇀ x0) thì ϕ(x0) ≤ limn→∞ inf ϕ(xn). Trong không gian tuyến tính định chuẩn, ta có ϕ(x) = ||x||2 là phiếm hàm lồi và chuẩn ||.|| là phiếm hàm nửa liên tục yếu dưới. Phần tử w ∈ X∗ được gọi là dưới gradient (subgradient) của phiếm hàm lồi ϕ tại điểm x ∈ X nếu ϕ(y) ≥ ϕ(x) + 〈w, y− x〉 , ∀y ∈ X. (1.9) Toán tử ∂ϕ : X → 2X∗ được gọi là dưới vi phân của phiếm hàm lồi ϕ nếu và chỉ nếu (1.9) thỏa mãn với w ∈ ∂ϕ(x). Ta có một số kết quả sau [11]. 32 Bổ đề 1.12. (i) Nếu ϕ(x) là phiếm hàm lồi, khả vi Gaˆteaux, thì 〈 ϕ′(x)− ϕ′(y), x− y〉 ≥ 0, ∀x, y ∈ D(ϕ); (ii) Nếu ϕ(x) là phiếm hàm lồi đều, thì 〈 ϕ′(x)− ϕ′(y), x− y〉 ≥ 2γ(||x− y||), ∀x, y ∈ D(ϕ); Đặc biệt, nếu ϕ(x) là phiếm hàm lồi mạnh, thì 〈 ϕ′(x)− ϕ′(y), x− y〉 ≥ 2c||x− y||2, ∀x, y ∈ D(ϕ). Bổ đề 1.13. Cho ϕ là phiếm hàm lồi chính thường trên X. Nếu ϕ khả vi Gaˆteaux tại x ∈ X, thì tồn tại duy nhất dưới gradient của phiếm hàm ϕ tại x và ∂ϕ(x) = {ϕ′(x)}. Bổ đề 1.14. Phiếm hàm ϕ : X → < đạt cực tiểu tại x ∈ D(∂ϕ) khi và chỉ khi θX∗ ∈ ∂ϕ(x). Bổ đề 1.15. Giả sử phiếm hàm ϕ : X → < lồi chính thường và nửa liên tục dưới. Khi đó, ϕ khả dưới vi phân trên int(Domϕ). Bổ đề 1.16. [40] Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và g : C → < là hàm lồi, khả dưới vi phân và nửa liên tục dưới trên C. Khi đó, x∗ là nghiệm của bài toán tối ưu lồimin {g(x) : x ∈ C} khi và chỉ khi 0 ∈ ∂g(x∗) +NC(x∗), trong đó ∂g(.) là dưới vi phân của g và NC(x∗) là nón chuẩn tắc của C tại x∗. Chúng tôi nhắc lại rằng nón chuẩn tắc NC(x) của C tại điểm x ∈ C được xác định bởi NC(x) = {x∗ ∈ X∗ : 〈x− y, x∗〉 ≥ 0, ∀y ∈ C} . 1.2.4 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Trong phần đầu của Chương 2, chúng ta xét phương trình toán tử A(x) := F(x)− f = 0, x ∈ X, f ∈ Y, (1.10) trong đó F : X → Y là toán tử và X,Y là các không gian Banach. Ta có khái niệm sau đây về bài toán đặt không chỉnh. 33 Định nghĩa 1.6. Cho X,Y là các không gian metric. Bài toán (1.10) được gọi là đặt chỉnh (well-posed) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) Bài toán (1.10) giải được với mọi f ∈ Y; 2) Bài toán (1.10) có nghiệm duy nhất x ∈ X với mọi f ∈ Y; 3) Nghiệm x ∈ X phụ thuộc liên tục và vế phải f ∈ Y. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard [4] đề xuất trong những năm đầu của thế kỉ 20. Khi ít nhất một trong ba điều kiện 1) − 3) không thỏa mãn, thì bài toán (1.10) được gọi là đặt không chỉnh (ill-posed). Một trường hợp rất thường gặp của các bài toán đặt không chỉnh là chúng không ổn định theo nghĩa với thay đổi nhỏ của dữ liệu (F, f ) dẫn tới sự thay đổi lớn của nghiệm x ∈ X. Trong các bài toán thực tế, dữ liệu (F, f ) không biết. Khi đó, chúng ta cần thiết phải nghiên cứu và thiết lập sự phụ thuộc liên tục của nghiệm xấp xỉ với dữ liệu đầu vào (F, f ). Tuy nhiên, đây là nhiệm vụ không dễ dàng. Một trong các phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh đó là phương pháp hiệu chỉnh. Giả sử thay vì biết (F, f ), ta chỉ biết các xấp xỉ (Fh, f δ) sao cho || f δ − f || ≤ δ và ||Fh(x)− F(x)|| ≤ hg(||x||), ∀x ∈ D(F), trong đó h, δ > 0 là các hằng số, g : <+ → <+ là hàm không âm, không giảm trên <+ := [0,+∞). Khi đó, ta có phương trình Fh(x) = f δ. (1.11) Như đã nhận xét ở trên, do tính đặt không chỉnh nên phương trình (1.11) có thể vô nghiệm hoặc có nghiệm khác xa với nghiệm của phương trình ban đầu (1.10). Dùng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, thay bài toán (1.10) bằng một họ các bài toán tối ưu không ràng buộc ||Fh(x)− f δ||2 + αΩ(x)→ min x (α > 0), (1.12) trong đó α > 0 gọi là tham số hiệu chỉnh, và Ω(x) là phiếm hàm ổn định hóa. Chúng ta thường dùng phiếm hàm ổn định hóaΩ(x) = ||x− x0||2 trong các tính toán số, trong đó x0 là điểm được gợi ý ban đầu. Ngoài ra ta có một phương pháp 34 hiệu chỉnh khác, được đề xuất bởi M. M. Lavrentiev, trong trường hợp F là tuyến tính, xác định không âm thì phương trình hiệu chỉnh có dạng Fx+ αM(x) = f , (α > 0), (1.13) trong đó M là toán tử liên tục yếu theo tia (hemicontinuous), d-đơn điệu với d(t) → +∞ khi t → +∞. Phương pháp này được F. Browder mở rộng cho toán tử đơn điệu phi tuyến F trong không gian Banach X. Khi đó, phương trình hiệu chỉnh có dạng F(x) + αx− f = 0, (α > 0). (1.14) Khi X = H là không gian Hilbert, ta thường sử dụng toán tử M = I − x0, x0 ∈ H và I là toán tử đơn vị trong H. Phương pháp hiệu chỉnh trên được gọi là phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev. Khi F : X → X∗, ta thường dùng toán tử M là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Khi đó ta gọi phương pháp là hiệu chỉnh Tikhonov- Browder. 1.3 Phương trình với toán tử J - đơn điệu 1.3.1 Toán tử J - đơn điệu (accretive) và toán tử đơn điệu Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về toán tử J - đơn điệu và toán tử đơn điệu. Xét toán tử A : D(A) ⊂ X → X, tập G(A) = {(x, A(x)) ⊂ X× X : x ∈ D(A)} gọi là đồ thị của toán tử A. Toán tử A được gọi là bức nếu |〈A(x), Jx〉| /||x|| → ∞ khi ||x|| → ∞. Định nghĩa 1.7. Toán tử A : X → X được gọi là 1) J - đơn điệu (hoặc accretive), nếu 〈A(x)− A(y), J(x− y)〉 ≥ 0 ∀x, y ∈ X; 2) J - đơn điệu cực đại, nếu nó là J - đơn điệu và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì toán tử J - đơn điệu nào; 35 3) m - J - đơn điệu, nếu nó là J - đơn điệu và R(A+ αI) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử đơn trị trong không gian X; 4) J - đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm tăng chặt ψ : <+∗ → <+∗ ,ψ(0) = 0, sao cho 〈A(x)− A(y), J(x− y)〉 ≥ ψ(||x− y||) ∀x, y ∈ X; (1.15) 5) J - đơn điệu mạnh, nếu tồn tại hằng số dương c sao cho (1.15) thỏa mãn với ψ(t) = ct2; 6) J - đơn điệu mạnh ngược, nếu tồn tại hằng số dương c sao cho 〈A(x)− A(y), J(x− y)〉 ≥ c||A(x)− A(y)||2 ∀x, y ∈ X. Ta có kết quả sau: Bổ đề 1.17. Nếu A : X → X là toán tử J - đơn điệu và h- liên tục với D(A) = X thì A là J - đơn điệu cực đại. Trong phần đầu tiên của Chương 2, chúng ta tập trung vào lớp toán tử sau đây. Định nghĩa 1.8. Toán tử liên tục A : X → X được gọi là J - đơn điệu ϕ - đều ngược (hay đơn giản là J - đơn điệu đều ngược), nếu tồn tại một hàm ϕ : <+×<+∗ → <+∗ liên tục, tăng chặt theo biến thứ hai và ϕ(s, t) = 0 khi và chỉ khi t = 0 với mỗi s > 0 cố định, sao cho, với mọi R > 0 và x, y ∈ X, ‖x‖ , ‖y‖ ≤ R, ta có 〈A(x)− A(y), J(x− y)〉 ≥ ϕ (R, ‖A(x)− A(y))‖) . (1.16) Chú ý rằng lớp các toán tử J - đơn điệu mạnh ngược là lớp con thực sự của lớp các toán tử J - đơn đi