Luận án Nghiên cứu ảnh hưởng của một số tham số động học, động lực học đến độ bền kết cấu thân và cánh tên lửa hành trình đối hải

ệ số chưa biết của đa thức được cho trong phương trình (3.2). Như vậy, phương trình (3.6) xác định ma trận [Am] cho trường hợp cụ thể của phần tử tam giác đối với trạng thái màng. Từ phương trình (3.6) nhận được: {} = [Am]-1 {me} (3.7) 56 Ma trận nghịch đảo [Am]-1 nhận được bằng phương pháp đại số và kết quả nghịch đảo có thể kiểm tra bằng cách nhân [Am]-1 với [Am] là đúng khi kết quả nhận được là ma trận đơn vị [I]. Sử dụng phương trình (3.7), phương trình tổng quát (3.6) được viết như sau     1 ( , ) ( , ) m m m me x y x yf A           (3.8) Trong đó 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 02 0 0 0 0 0 0 m x y x y x y x y x y x y y y y y y y x x x x x x A x y x y x y x y x y x y y y y y y y x x x x x x                                       (3.9) Ma trận [Am]-1 có kích thước (6x6) Trong đó: 1 1 2 2 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 2 det 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 x y x y x y x y x y x y x y x y x y          x diện tích tam giác 3. Biểu diễn quan hệ biến dạng  ( , )mx y tại điểm bất kỳ theo chuyển vị  ( , )mx y và theo chuyển vị nút  me Đối với bài toán ứng suất phẳng véctơ biến dạng được viết như sau, [36]:    ( , ) T m x y x y xy    (3.10) Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị, [36]: ; ; x y xy u v u v x y y x                (3.11) và đặt u, v từ phương trình (3.2), nhận được 1 2 3 2( )x x y x            4 5 6 6 1 2 3 4 5 6 3 5 ( ) ( ) ( ) y xy x y y x y x y y x                                 57 do đó:      ( , ) 2 6 3 5 T Tm x y x y xy          (3.12) hay:    ( , ) 1 2 3 4 5 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 x Tm x y y xy                             (3.13) hoặc có thể biểu diễn như sau:    ( , )m mx y C     (3.14) sau đó nhận được:     1 ( , ) m m m me x y C A           (3.15) biểu thức (15) có thể được viết như sau:    ( , )m m mex y B     (3.16) Trong đó: 1 m m mB C A             (3.17) nhận được ma trận biến dạng màng như sau 2 3 3 1 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 2 y y y y y y m B x x x x x x x x y y x x y y x x y y                          (3.18) 4. Quan hệ ứng suất  ( , )mx y theo biến dạng  ( , )mx y và chuyển vị nút  me       ( , ) ( , ) T m m x y x y xy x yA      (3.19) Hay      ( , )m m mex y A B     (3.20) trong đó [A] - ma trận đàn hồi của trạng thái màng 5. Biểu diễn quan hệ ứng suất  ( , )mx y với tải trọng nút tĩnh tương đương, quan hệ lực nút với chuyển vị nút và nhận được ma trận độ cứng phần tử [Kme] Phiến hàm thế năng toàn phần được xác định theo công thức [36]:        ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) 2 m m m m m x y x y x y x y S T T d vol F ds v       (3.21) Từ (3.21) có thể nhận được quan hệ giữa tải trọng nút  meF và chuyển vị nút  me và được biểu diễn trong phương trình sau      ( ) T me m m me v F B A B d vol                (3.22) Nhận thấy rằng ( )d vol chính bằng diện tích tam giác  nhân với chiều dày phần tử t, do đó nhận được       T me m m meF B A B t            (3.23) 58 trong đó: 22 1 1 11 12 2 2 21 3 3 33 1 0 2 det 1 ; 0 1 0 0 x y a a x y A a a x y a               Do đó ma trận độ cứng nhận được:     T me m m K B A B t        (3.24) Tính   mA B   nhận được   11 2 3 12 3 2 11 3 1 12 1 3 11 1 2 12 2 1 21 2 3 22 3 2 21 3 1 22 1 3 21 1 2 22 2 1 33 3 2 33 2 3 33 1 3 33 3 1 33 2 1 33 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m a y y a x x a y y a x x a y y a x x A B a y y a x x a y y a x x a y y a x x a x x a y y a x x a y y a x x a y y                             (3.25) Ma trận có kích thước (3x6), và ma trận chuyển vị nhận được 2 3 3 2 3 2 2 3 3 1 1 3 1 3 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 0 01 02 0 0 T m y y x x x x y y y y x x B x x y y y y x x x x y y                                 (3.26) Ma trận T mB   có kích thước (6x3). Cuối cùng, nhận được ma trận độ cứng phần tử (3.27): 11 21 31 41 51 61 21 22 32 42 52 62 31 32 33 43 53 63 41 42 43 44 54 64 51 52 53 54 55 65 61 62 63 64 65 66 1 4 m m m m m m m m m m m m m m m m m m me m m m m m m m m m m m m m m m m m m k k k k k k k k k k k k k k k k k k K k k k k k k k k k k k k k k k k k k                        (3.27) Trong đó: 2 2 11 11 2 3 33 3 2( ) ( ) mk a y y a x x    21 21 3 2 2 3 33 3 2 2 3( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      2 2 22 22 3 2 33 2 3( ) ( ) mk a x x a y y    31 11 2 3 3 1 33 1 3 3 2( )( ) ( )( ) mk a y y y y a x x x x      32 12 3 2 3 1 33 1 3 2 3( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      2 2 33 11 3 1 33 1 3( ) ( ) mk a y y a x x    59 41 21 1 3 2 3 33 3 2 3 1( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      42 22 1 3 3 2 33 2 3 3 1( )( ) ( )( ) mk a x x x x a y y y y      43 12 1 3 3 1 33 1 3 3 1( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      2 2 44 12 1 3 33 3 1( ) ( ) mk a x x a y y    51 11 1 2 2 3 33 2 1 3 2( )( ) ( )( ) mk a y y y y a x x x x      52 12 3 2 1 2 33 2 1 2 3( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      53 11 1 2 3 1 33 1 3 2 1( )( ) ( )( ) mk a y y y y a x x x x      54 12 1 3 1 2 33 2 1 3 1( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      2 2 55 11 1 2 33 2 1( ) ( ) mk a y y a x x    61 21 2 1 2 3 33 3 2 1 2( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      62 22 2 1 3 2 33 1 2 2 3( )( ) ( )( ) mk a x x x x a y y y y      63 12 2 1 3 1 33 1 3 1 2( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      64 22 1 3 2 1 33 1 2 3 1( )( ) ( )( ) mk a x x x x a y y y y      65 21 2 1 1 2 33 2 1 1 2( )( ) ( )( ) mk a x x y y a x x y y      2 2 66 22 2 1 33 1 2( ) ( ) mk a x x a y y    Ma trận độ cứng [Kme] là ma trận đối xứng với các thành phần ij m m jik k . 6. Thành lập ma trận chuyển vị ứng suất [Hme] Quan hệ ứng suất - chuyển vị được cho trong phương trình    ( , )m m mex y H     (3.28) Trong đó: [Hm] = [Am][Bm] (3.29) Từ (3.28) có thể xác định được ứng suất  ( , )mx y tại điểm bất kỳ (x,y) trong phần tử. Các ứng suất nhận được có chứa các số hạng phụ thuộc theo tọa độ x và y cho nên để nhận được ứng suất tại một điểm nào đó trong phần tử các tọa độ của điểm đó phải được đặt vào trong ma trận [Hm]. Trong trường hợp phần tử tam giác lấy tâm tam giác làm tọa độ của x, y tức là ứng suất nhận được tại tâm của tam giác. 3.2.2. Xác định ma trận độ cứng của phần tử tam giác phẳng chịu uốn [Kue] Chuyển vị và lực tác dụng lên phần tử tam giác được chỉ ra trên hình 3.3. Tại mỗi nút của phần tử có một độ võng w và 2 góc xoay x và y theo các trục x và y 60 tương ứng được xem là các bậc tự do của mỗi nút. Các góc xoay này chính là đạo hàm của hàm độ võng w theo y và x. Các chuyển vị của mỗi nút là w w w , và i xi yi ii y x                   Như vậy, 9 thành phần chuyển vị phải được xét cho mỗi phần tử có 9 bậc tự do, được viết dưới dạng véctơ sau đây, [29]:    1 1 1 2 2 2 3 3 3w w w T T ue x y x y x y       (3.30) 1. Chọn hàm chuyển vị w(x,y) và xác định véctơ chuyển vị  ( , )x y tại điểm bất kỳ của phần tử. Vì phần tử tam giác có 9 bậc tự do nên hàm độ võng w(x,y) được xấp xỉ bằng một đa thức chứa 9 tham số. Để đảm bảo tính đẳng hướng hình học hàm đa thức xấp xỉ của độ võng có dạng sau, [29]: 2 2 3 2 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9w( , ) ( )x y x y x xy y x x y xy y                  (3.31) hay được viết dưới dạng ma trận sau     2 2 3 2 2 3w( , ) 1 ( ) ( , )x y x y x xy y x x y xy y P x y      3.32) trong đó:    1 2 3 4 5 6 7 8 9 T T           Đến đây, chúng ta kiểm tra tính tương thích của phần tử đang xét với hàm độ võng w(x,y) được chọn trong (3.31). Điều này có nghĩa là cần xem xét chuyển vị và các đạo hàm của nó trên các cạnh biên có xác định một cách duy nhất theo các chuyển vị nút (bậc tự do) không. Giả sử xét cạnh biên ij là cạnh biên chung giữa hai phần tử A và B kề sát nhau như được chỉ ra trên hình 3.3. Trong hệ tọa độ địa phương cạnh ij có phương trình y = 0. Chuyển vị theo phương z hay độ võng theo cạnh này là 2 3 ij 0 1 2 4 7w (w)y x x x        (3.33) Độ dốc theo phương x hay w x   dọc theo cạnh này là 2 2 4 7 ij 0 w w 2 3 y x x x x                         (3.34) 61 Vì nút i và j là nút chung của cả hai phần tử A và B nên các bậc tự do hay các chuyển vị nút của 2 nút này cũng là chung đối với hai phần tử có cạnh biên chung ij này. Tuy nhiên, nếu để ý tới 4 chuyển vị nút wi , i w x       , wj , j w x       , ta có thể thấy rằng bằng phương pháp đồng nhất 4 bậc tự do này với giá trị hàm w và giá trị đạo hàm w x       tại hai điểm nút i (x = 0) và j (y = a), tức là chúng có 4 điều kiện sau ij ij w w tai 0 w w tai 0 w w tai w w tai i i ij j j ij x x x x x a x a x x                                            thì chúng ta hoàn toàn có thể xác định được 4 tham số 1 , 2 , 4 và 7 một cách duy nhất theo 4 bậc tự do trên. Do đó, w và w x   hoàn toàn xác định trên cạnh biên ij và tính liên tục của chuyển vị và độ dốc dọc theo cạnh này được bảo đảm khi chuyển từ phần tử A sang phần tử B. Độ dốc theo phương y hay w y   dọc theo cạnh biên chung ij. Thật vậy, trên cạnh biên ij (y=0), có 2 3 5 8 ij 0 w w y y y x x                       (3.35) Có thể thấy rằng để xác định w y   dọc theo cạnh biên chung ij, ta cần xác định được 3 tham số 3 , 5 và 8 . Nhưng chúng ta chỉ có được hai phương trình từ việc thay thế vào hai điều kiện dưới đây: ij w w i y y                 tại x = 0; ij w w j y y                 tại x = a 62 Do đó độ dốc vuông góc với biên ij là không xác định (hình 3.3). Độ dốc w y   này tại các nút i và j là như nhau đối với cả hai phần tử, nhưng có thể là khác nhau tại các điểm khác dọc theo cạnh biên ij. Do vậy, phần tử này là không tương thích. Tuy nhiên, phần tử này vẫn có thể áp dụng được vì trên thực tế người ta thường sử dụng một loại phần tử tấm phẳng chỉ đòi hỏi sự liên tục của chuyển vị và góc xoay tại các nút. Do đó các bậc tự do của mỗi nút sẽ là giá trị của w, w x   và w y   tại nút đó. Hình 3.3. Tính tương thích dọc cạnh biên chung giữa hai phần tử kề nhau 2. Biểu diễn chuyển vị  ( , )ux y tại điểm bất kỳ bên trong phần tử theo chuyển vị nút  ue Đạo hàm (3.32) theo x và y nhận được véctơ chuyển vị, [29]:   2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 ( ) 0 0 1 0 2 0 ( 2 ) 3 0 1 0 2 0 3 (2 ) 0 x y w x y x xy y x x y xy y x y x xy y x y x xy y                            (3.36) Thay các tọa độ nút: nút 1 (0,0); nút 2 (x2 , 0); nút 3 (x3 , y3) nhận được    ue nA     (3.37) trong đó:   , nA   - véctơ hệ số chưa biết và ma trận hằng số chuyển vị dọc theo ij góc xoay dọc theo ij 63 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 3 0 0 1 ( ) 0 0 1 0 2 0 ( 2 ) 3 0 1 0 2 0 3 (2 ) 0 n x x x A x x x x x y x x y y x x y x y y x y x x y y x y x x y y                                           (3.38) Giải phương trình (37) nhận được     1 u ueA       (3.39) Ma trận 1 uA     nhận được nhờ phần mềm Maple như sau: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 51 52 53 54 55 56 59 1 1 1 1 1 1 1 1 61 62 63 64 65 66 692 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 81 82 83 84 85 86 89 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 u x x x x a a a a a a a A a a a a a a a y y x x x x a a a a a a a a                                 1 1 1 1 1 1 1 1 92 93 94 95 96 993 2 3 3 2 1 a a a a a a y y                                                Trong đó: 1ija  được xác định như sau: 1 3 3 2 51 2 2 3 3 3 2 6 ( ) (2 ) a x x x x y x y x     ; 1 3 3 52 2 3 3 2 2 (2 ) a x y x x y x      ; 2 2 1 3 2 3 2 53 3 2 3 3 2 3 4 (2 ) a x x x x y x x y x       ; 1 3 3 2 54 2 3 2 3 3 2 6 ( ) (2 ) a x x x y x x y x      ; 1 3 3 55 2 3 3 2 2 (2 ) a x y x x y x      ; 1 3 3 2 56 3 2 3 3 2 (3 2 ) (2 ) a x x x y x x y x      ; 64 1 2 59 3 3 3 2(2 ) a x y x y x     ; 2 2 2 2 3 1 3 3 2 3 3 2 2 3 2 61 2 2 2 3 3 3 2 3( 2 ) (2 ) a x y x x x x x y x x y x y x        ; 2 2 1 3 3 3 2 3 2 3 2 62 2 3 3 3 2 2 4 2 2 (2 ) a x x y x x x y x x y x y x        ; 2 2 1 3 3 3 3 2 3 2 3 2 63 2 3 2 3 3 2 ( 2 2 ) (2 ) a x x x y x x x y x y x x y x         ; 2 1 3 3 2 64 2 2 3 2 3 3 2 3 ( ) (2 ) a x y x y x x y x      ; 2 1 3 3 3 65 3 2 3 3 2 3 (2 ) (2 ) x x y a y x x y x      ; 2 1 3 3 3 2 66 2 3 2 3 3 2 ( ) (2 ) x x y x a y x x y x      ; 1 3 3 3 2 69 2 3 3 3 2 (2 2 ) (2 ) x x y x a y x y x      ; 1 3 3 2 81 3 3 2 3 3 2 6 ( ) (2 ) x x x a y x x y x     ; 1 82 2 3 3 2 1 (2 ) a x x y x     ; 2 2 1 3 3 2 2 83 2 3 2 3 3 2 3 4 (2 ) x x x x a y x x y x      ; 1 3 3 2 84 3 3 2 3 3 2 6 ( ) (2 ) x x x a y x x y x     ; 1 85 2 3 3 2 1 (2 ) a x x y x      ; 1 3 3 2 86 3 3 2 3 3 2 (3 2 ) (2 ) x x x a y x x y x     ; 1 89 3 3 3 2 1 (2 ) a y x y x      ; 2 2 3 4 3 3 4 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 91 3 3 3 2 3 3 2 2(y 3 2 2 2 ) (2 ) x y x y x x x x x x a y x x y x           ; 2 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 92 2 2 3 3 3 2 2 (2 ) x y x y x x x x a x y x y x         ; 2 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 2 3 3 93 3 2 3 2 3 3 2 (2y 4 2 3 3 ) (2 ) x x y x x y x x x x x x x a y x x y x           ; 2 2 1 3 2 3 3 3 2 3 3 94 3 3 3 2 3 3 2 2 (-3 y 2 2 ) (2 ) x x x y x x x a y x x y x        ; 1 3 3 3 95 2 3 2 3 3 2 (y ) (2 ) x x a y x x y x     ; 2 2 1 3 2 3 3 3 2 3 3 96 3 2 3 2 3 3 2 (-2 y 2 ) (2 ) x x x y x x x a y x x y x        ; 1 3 3 2 99 3 3 3 3 2 ( ) (2 ) x x x a y x y x      ; Ma trận nghịch đảo [Au]-1 nhận được bằng phương pháp đại số và kết quả nghịch đảo có thể kiểm tra bằng cách nhân [Au]-1 với [Au] đúng khi kết quả nhận được là ma trận đơn vị [I]. Đặt (3.39) vào (3.32) nhận được w = [P(x,y)] [A u ] -1 {ue} (3.40) 3. Biểu diễn  ( , )ux y tại điểm bất kì theo chuyển vị nút {ue} 65 Các biến dạng trong tấm là x , y và xy được xác định theo công thức (1.2) chương 1 và được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:     2 2 2 ( , ) 2 2 w w w 2 T T u x y x y xy z x y x y                   (3.41) Từ (3.40) và (3.41) véctơ biến dạng  ( , )ux y được biểu diễn qua chuyển vị nút {ue} như sau:               2 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) u u ue u ue x y P x y x x z P x y A z P x y A y y P x y x y x y                                                          (3.42) Hoặc có thể viết:    ( , )u u uex y B     Trong đó: ma trận biến dạng uốn [Bu] = -z[Cu][Au]-1 (3.43)     2 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 6 2 0 ( , ) 0 0 0 0 0 2 0 2 6 0 0 0 0 2 0 0 (4 4 ) 0 2 u x x y C P x y x y y x y x y                             (3.44) 4. Xác định ma trận độ cứng uốn của phần tử [Kue] Ma trận độ cứng uốn [Kue] phần tử tam giác 3 nút được xác định từ công thức tổng quát sau, [29]:   T ue u u Ve K B D B dV           (3.45) Bằng cách thay [Bu] xác định theo công thức (43) vào (4.45), nhận được     /2 1 1 2 /2 Tt T ue u u u u t S K z dz A C D C A dS                        (3.46) Vì [Au]-1 chỉ chứa các hằng số nên đưa ra khỏi dấu tích phân và nhận được     3 1 1 12 T T ue u u u u S t K A C D C dS A                            (3.47) Trong đó: t và S lần lượt là chiều dày và diện tích phần tử tam giác. Công thức (3.47) có thể viết như sau:    1 1 T ue u uK A I A              (3.48) 66 Trong đó:     T u u S I C D C dS        Ở đây [D] - ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn và xác định theo công thức (1.4) chương 1 như sau   11 12 21 22 33 0 0 0 0 d d D d d d          (3.49) Tính tích phân ma trận [I] trước hết phải tính tích của 3 ma trận [Cu]T[D][Cu] và được tiến hành dưới đây. Từ đó nhận được ma trận có kích thước (9x9) và lấy tích phân từng số hạng bij theo diện tích tam giác S:   ij S I b dS  (3.50) Các số hạng bij được xác định bằng cách lần lượt nhân [D][C u] và sau đó nhân tiếp [Cu]T,cuối cùng nhận được ma trận đối xứng sau đây     44 55 64 66 74 76 77 84 85 86 87 88 94 96 97 98 99 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T u u b b C D C b b b b b b b b b b b b b b b b                                    Các thành phần bij được xác định như sau: b44 = 4d11; b55 = 4d33; b64 = 4d21; b66 = 4d22; b74 = 12d11 x ; b76 = 12d12 x ; b77 = 36d11 2x ; b84 = 4(d11 xy + d21 x ); b85 = 8( x + y ) d33; b86 = 4(d12 y + d22 x ); b87 = 12(d11 xy + d21 2x ); b88 = 4y(d11 y + d12 x ) + 4 x (d21 y + d22 x ) + 16( x+ y )(d33 x + d33 y ); b94 = 12d12 y ; b96 = 12d22 y ; b97 = 12d21 xy ; b98 = 12y(d21 y + d22 x ); b99 = 36d22 2y ; (đối xứng) 67 Tích phân (50) có dạng, [29]:   m n S I x y dS  (3.51) Sử dụng tích phân số theo công thức sau, [29]: 1 1 1 1 3 3 2 3 3 1 1 0 ( 1) ! ( 1 )!( )! !( 1) ( 1)( 2) r s m n m s s n m m n r sS m x y x x y m r r s s n r m m n x y dS                            (3.52) Sử dụng phần mềm Maple tính được các giá trị tích phân Iij trong (3.50) và ma trận [I] có dạng   44 55 64 66 74 76 77 84 85 86 87 88 94 96 97 98 99 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I I I I I I I I I I I I I I I I                             (3.53) Các thành phần Iij được xác định như sau I44 = 2d11 2 3x y ; I55 = 2d33 2 3x y ; I64 = 2d21 2 3x y ; I66 = 2d22 2 3x y ; I74 = 2d11( 2 3 3xx y + 2 2 3x y ); I76 = 2d12( 2 3 3xx y + 2 2 3x y ); I77 = 3d11( 2 2 3x y + 2 2 3 3xx y + 2 2 3 3x x y ); I84 =  22 21 2 3 3 2 33 11 2 8 2 3 3 d x x y x yy d x   ; I85 =  2 233 2 3 3 2 3 33 2 34 4 3 3 d x x y x y d x y   ; I86 =   2 22 2 3 3 2 33 12 22 3 2 2 3 x x y x yx y d d   ; I87 =   2 2 2 3 2 22 3 11 2 3 3 21 2 3 2 3 3 2 3 3 2 x y d x x y d x y x x y x x y           ;         88 2 2 2 3 3 2 22 2 3 2 3 3 2 3 322 3 11 33 2 3 3 11 33 2 2 3 3 12 21 33 3 3 8 6 3 4 4I x y x x y x x yx y d d x x y d d x y x x y d d d                   I94 = 21 2 2 32d x y ; I96 = 2 22 2 3 2d x y ; I97 = 21 2 22 3 2 3 3 2 2d x y x x y        ; (đối xứng) 68 I98 = 21 22 2 2 2 2 23 2 3 2 3 3 ;2 2d d x y x y x x y         I99 = 22 3 2 33d x y Từ biểu thức (3.48) nhận được ma trận độ cứng của phần tử tam giác [Kue]. Ma trận [Kue] nhận được bằng cách nhân từng đôi các ma trận [I][Au]-1 sau đó nhân với ([Au]-1)T nhận được ma trận có kích thước (9x9) và ma trận có tính chất đối xứng ij u u jik k . 5. Thành lập ma trận chuyển vị - ứng suất [Hue] Quan hệ ứng suất - chuyển vị được cho trong phương trình (3.28) và (3.29) như sau:    ( , ) u ue ue x y H     Trong đó: [Hue] = [D][Bu] Trong trường hợp phần tử tam giác, nếu lấy tâm tam giác làm tọa độ của x, y thì nhận được ứng suất tại tâm tam giác. 3.2.3. Xác định ma trận độ cứng tổng thể [Ke] của phần tử tam giác đồng thời chịu lực màng và chịu lực uốn Ma trận độ cứng phần tử [Ke] có kích thước (18x18) và được tập hợp bởi hai ma trận độ cứng của trạng thái màng được biểu diễn trong công thức (3.27) và ma trận độ cứng của trạng thái uốn được biểu diễn trong biểu thức (3.48). Trước hết xem xét quan hệ giữa lực và chuyển vị tại nút 1 trong trạng thái màng và uốn được biểu diễn như sau    1 11 1m m mF k     (3.54)    1 11 1u u uF k     (3.55) Sử dụng các quan hệ nhận được trong các phương trình (3.54) và (3.55), nhận được quan hệ giữa tất cả các lực và chuyển vị tại nút 1 như sau                           111 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 mm m u u u z z kF F F k T                                          (3.56) Trong đó: các chỉ số trên m, u chỉ ma trận độ cứng trong các trạng thái màng và uốn tương ứng, ma trận con 11 mk   có kích thước (2x2), ma trận con 11 uk   có 69 kích thước (3x3) và kết hợp với xoắn trong mặt phẳng nên ma trận tập hợp trong phương trình (3.56) có kích thước (6x6). Đến đây, quan hệ giữa lực và chuyển vị tại nút 1 đã được xác định. Quan hệ tương tự như vậy sẽ tồn tại tại 2 nút còn lại của phần tử. Chẳng hạn như, lực tại nút 2 có thể biểu diễn theo chuyển vị tại nút 3 như sau:                           232 3 2 2 23 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 mm m u u u z z kF F F k T                                          (3.57) Tập hợp tất cả các quan hệ giữa lực và chuyển vị nút cho tất cả các phần tử có thể viết dưới dạng phương trình (3.58) đối với bài toán tính toán trường ứng suất - biến dạng của thân tên lửa được xấp xỉ bằng những phần tử phẳng dạng tam giác và ma trận độ cứng [Ke] có kích thước (18x18)                                                                   11 11 21 22 21 22 31 32 33 31 32 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m u m m e u u m m m u u u k k k k K k k k k k k k k                                                                        (3.58) Đối với những vị trí đặt khoang thân và thanh dọc của thân tên lửa thì ma trận độ cứng [Ke] trong (3.58) được tính như sau: với giả thiết vỏ bọc của thân tên lửa được gắn chặt với khung thân ghép nối và thanh dọc tăng cường của thân tên lửa, như vậy với các vị trí liên kết này giả thiết các khung thân và thanh dọc được coi như dầm chịu lực màng và đồng thời chịu uốn. Ma trận độ cứng phần tử đối với các vị trí khung thân và thanh dọc chịu lực được cộng thêm độ cứng đối với trạng thái màng và uốn của phần tử dầm, [29]: - Đối với trạng thái màng: ij ij Em A L k k              (đối xứng) 70 - Đối với trạng thái uốn: 3ij ij 12EJu L k k             - đối với vị trí độ võng w 2ij ij 6EJu L k k             - đối với vị trí góc xoay y Trong đó: A - tiết diện mặt cắt ngang của khung thân hoặc thanh dọc J - mômen quán tính của mặt cắt ngang khung thân hoặc thanh dọc L - chiều dài phần tử dầm của khung thân hoặc thanh dọc 3.2.4. Chuyển hệ trục tọa độ Khi xây dựng các công thức tính ma trân độ c